3.4.12
Konstrukce na základě výpočtu II
Předpoklady: 3411 Př. 1:
Je dána úsečka o jednotkové délce a úsečky o délkách a, b, a > b . Narýsuj: a) úsečku o délce c = a 2 + b 2 , b) úsečku o délce d = a 2 − b 2 . Při rýsování si délky úseček a, b vhodně zvol.
Problém: Oba výrazy ani náhodou nepřipomínají rovnost dvou poměrů. Řešení: Oba výrazy připomínají Pythagoru větu ⇒ při rýsování využijeme vztahy mezi stranami pravoúhlého trojúhelníka. Volíme: a = 4 cm , b = 3cm . a
b a) úsečka o délce c = a 2 + b 2 Vztah uvedený v zadání udává délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ⇒ úsečku o délce c sestrojíme jako přeponu v pravoúhlém trojúhelníku o stranách a, b.
c
b a
Numerická kontrola: c = a 2 + b 2 = 42 + 32 = 5 b) úsečka o délce d = a 2 − b 2 Vztah uvedený v zadání udává délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou a a odvěsnou b ⇒ sestrojíme tento trojúhelník pomocí Thaletovy kružnice.
d
b a
Numerická kontrola: d = a 2 − b 2 = 4 2 − 32 = 7 ≐ 2, 65
Pedagogická poznámka: Většina žáků samostatně nepřijde na to, že musí použít Pythagorovu větu, ale ta bystřejší menšina by měla dostat šanci. Př. 2:
Je dán obdélník o stranách a, b. Sestroj čtverec o stejném obsahu.
Řešení předchozích příkladů vycházelo ze vzorců ⇒ popíšeme si zadání vzorcem. Obsah obdélníku: S = ab , obsah čtverce S = x 2 ⇒ hledáme délku úsečky x, tak aby platilo x 2 = ab , kde a, b jsou úsečky známých délek.
1
x b = ⇒ nejde řešit pomocí podobnosti, protože v a x obou trojúhelnících, které bychom rýsovali, by se vyskytovala úsečka o neznámé délce x ⇒ musíme najít jiný vzorec. Vzorec x 2 = ab připomíná: • Euklidovu větu o odvěsně: a 2 = c ⋅ ca ( b 2 = c ⋅ cb ), Zkusíme upravit na rovnost poměrů:
• Euklidovu větu o výšce: v 2 = ca ⋅ cb . Volíme: a = 5 cm , b = 3cm .
Řešení pomocí Euklidovy věty o odvěsně: a 2 = c ⋅ ca Rýsujeme pravoúhlý trojúhelník, u kterého známe, přeponu c = 5cm (úsečka o délce a) a jeden její úsek ca = 3cm (úsečka o délce b) ⇒ zbývající vrchol leží na Thaletově kružnici a kolmici na přeponu vztyčené v patě výšky (tam, kde je přepona rozdělena na úseky).
x
a b Numerická kontrola: x 2 = ab = 5 ⋅ 3 ⇒ x = 15 ≐ 3,87 cm Řešení pomocí Euklidovy věty o výšce: v 2 = ca ⋅ cb Rýsujeme pravoúhlý trojúhelník, u kterého známe oba úseky přepony, ca = 5cm (úsečka o délce a) a cb = 3cm (úsečka o délce b) ⇒ zbývající vrchol leží na Thaletově kružnici a kolmici na přeponu vztyčené v patě výšky (tam, kde je přepona rozdělena na úseky).
x
a
b
Oba obrázky opět můžeme položit na sebe a přesvědčit se, že výsledky se rovnají.
x
a
x
b
a
b 2
Úsečka o délce x = ab se nazývá geometrický průměr úseček o délkách a, b.
Pedagogická poznámka: Předchozí příklad by samozřejmě mohl být zadán rovnou vzorcem, ale tím by žáci přišli o asi nejužitečnější část řešení. Pokud žáci v tomto okamžiku konstrukcím na základě výpočtu rozumí, měli by poté, co se ujasní, že jde o Euklidovy věty, zvládnout rýsování sami. Př. 3:
Je dána úsečka o jednotkové délce. Narýsuj co nejjednodušším způsobem úsečky o velikosti: a) 2 , b) 5 , c) 6 , d) 8 .
Jako jednotkovou zvolíme kvůli snazšímu rýsování vzdálenost 2 cm . 2 = 12 + 12 ⇒ hledáme přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 1 a 1.
a)
2
1
1 1 b) 5 = 9 − 4 = 32 − 22 ⇒ hledáme odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku s přeponou 3 a odvěsnou 2.
5
2
1 3 6 = 2⋅3 ⇔
c)
( 6)
2
= 2 ⋅ 3 ⇒ hledáme odvěsnu v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou
3 a jednou částí přepony 2 (nebo výšku v pravoúhlém trojúhelníku, jehož přepona má části o délkách 3 a 2).
6
1 3 d)
2
8 ⇒ více možností
8 = 4 + 4 = 22 + 22 ⇒ hledáme přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 2 a 2. 8 = 9 − 1 = 32 − 12 ⇒ hledáme odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku s přeponou 3 a odvěsnou 1. 3
8 = 2⋅4 ⇔
( 8)
2
= 2 ⋅ 4 ⇒ hledáme odvěsnu v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou 4 a
jednou částí přepony 2 (nebo výšku v pravoúhlém trojúhelníku, jehož přepona má části o délkách 4 a 2 - narýsováno na obrázku).
8
1 4 Př. 4:
2
Je dána úsečka o délce a. Sestroj úsečku o délce: a) a 7 ,
b) a 15 .
Stejný postup jako v předchozím příkladu, pouze nevycházíme z úsečky o délce 1, ale z úsečky o délce a. a) a 7 = a 16 − 9 = a 42 − 32 =
( 4a ) − ( 3a ) 2
2
⇒ hledáme odvěsnu pravoúhlého
trojúhelníku s přeponou 4a a odvěsnou 3a .
3a
a 7
a 4a a) a 15 = a 5 ⋅ 3 = 5a ⋅ 3a ⇒ hledáme odvěsnu v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou 5a a jednou částí přepony 3a . 2
a 15
a 5a
3a
Pedagogická poznámka: Samozřejmě existují i jiné možnosti, jak předchozí příklady řešit. 4
Př. 5:
Jsou dány dvě úsečky o délkách a, b. Sestroj úsečku x, jejíž velikost je dána vztahem a 2 + b 2 − ab x= . a+b
Problém: Výraz je podstatně složitější než vše, co jsme zatím řešili. Řešení: Některé jeho části jsou povědomé ⇒ zkusíme je nahradit délkami nových úseček (které bychom dokázali zkonstruovat) a budeme doufat, že se výraz postupně zjednoduší. Umíme: c 2 − ab • c = a 2 + b2 ⇒ a 2 + b2 = c 2 ⇒ x = , a+b c2 − d 2 2 • d = ab ⇒ ab = d ⇒ x = , a+b e2 • e = c2 − d 2 ⇒ c2 − d 2 = e2 ⇒ x = . a+b e2 x e • x= /:e ⇒ = ⇒ podobnost trojúhelníků. a+b e a+b Začneme konstruovat (za délky úseček volíme například a = 4 cm , b = 3cm ).
c = a 2 + b 2 ⇒ hledáme přeponu v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a, b. a c
b
b a
d = ab ⇒ hledáme odvěsnu v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou a a jednou částí přepony b.
a
d
b
e = c −d 2
2
a b ⇒ hledáme odvěsnu v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c a odvěsnou d.
e
c
d
d c x e = ⇒ dva podobné trojúhelníky. e a+b
5
x e = ⇒ úsečky o délkách e, a + b e a+b tvoří modrý (na obrázku šrafovaný) trojúhelník, jemuž je podobný červený trojúhelník se stranami x, e. Jednu dvojici stran tvoří strany o délkách x, e, druhou strany o délkách e, a + b . a
e x e
a+b
b e
Shrnutí: Při konstrukcích můžeme využívat i jiné planimetrické vzorce.
6
