DYNAMIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ. Konstrukce citlivé na dynamické zatížení štíhlé konstrukce. Vítr. Chodci. Vítr. Vítr. Vítr

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

DYNAMIKA

1

STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ Konstrukce citlivé na dynamické zatížení – štíhlé konstrukce

Vítr

Chodci Vítr


Vítr Chodci

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Vlastislav Salajka 2009

Vítr

Vítr

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Vítr

Vítr

Účinky strojů

turbíny

kolo turbíny


generátor

Účinky strojů – na okolní objekty – tech. seizmicita Účinky dopravy

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Účinky dopravy – na okolní objekty – tech. seizmicita

Účinky dopravy

2

© Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Účinky dopravy – na histor. objekty – tech. seizmicita Přírodní seizmicita - zemětřesení 3 Mexiko

Účinky dopravy

Mexico City 1985

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Přírodní seizmicita ČR

Japonsko


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 POSUZOVÁNÍ STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ VYSTAVENÝCH DYNAMICKÝM ÚČINKŮM Dynamicky proměnné zatížení – silami nebo přemístěním částí konstrukce (dynamický – v čase se měnící) Cílem je najít se odezvu na dynamické zatížení - měření nebo výpočet Výpočet – deterministický nebo stochastický

VÝPOČET – je nutno vydefinovat (sestavit, popsat) – nejčastěji MKP Výpočtový model konstrukce Výpočtový model zatížení © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 Deterministický model zatížení a – spojitý model (parciální diferenciální rovnice)

b – diskrétní model s jedním stupněm volnosti obyč. dif. rovnice

a) Zadán funkcí b) Zadán tabulkou

Stochastický model zatížení zatížení známo pouze ve smyslu statistického vyjádření

c – diskrétní model se třemi stupni volnosti. obyč. dif. rovnice Výpočtový model konstrukce – MKP © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislavmostu Salajka 2009 30 tis. stupňů volnosti

1 4

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Požadavky na výpočtové modely

5

a) model zachoval (v metodě konečných prvků) nejvěrněji geometrii nosného systému konstrukce b) model musí vystihovat co nejlépe mechanické vlastnosti skutečné konstrukce Mechanické vlastnosti a) Statické b) Dynamické Statické vlastnosti a) Přetvárné b) Napjatostní

Dynamické © Vlastislav c) © Setrvačné Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 d) Útlumové

Přetvárné – vztahy mezi statickým účinkem a statickým přemístěním Napjatostní – vztahy mezi přemístěním (přetvořením) a statickou napjatostí Setrvačné – velikost a rozložení hmot (setrvačné síly) Útlumové – velikost a rozložení tlumících sil


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Vliv okolního prostředí Konstrukce je obklopena prostředím, které na ni působí Prostředí se nahrazuje modely charakterizující účinky prostředí

6

Účinky stálé a proměnné Stálé – uložení konstrukce (model vazby mezi konstrukcí a podzákladím) – propojení se sousedními konstrukcemi – technologie uložená na konstrukci atd. Proměnné – vítr (dynamický model zatížení větrem) © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 – pohyb základu (model seizmického buzení – akcelerogramy, spektra) – nevývažky rotujících částí strojů (náhrada budicími silami – výbuch (náhrada v čase proměnným zatížením – tlakem) – dopravní proud (model zatížení vozidly, chodci apod.) – rázy (stavební a strojní technologie, vodní ráz atd.) Náhrada skutečných účinků na konstrukci se řeší sestavením modelu zatížení, který se aplikuje na model konstrukce ! Řešení přímé je značně náročné a provádí se zřídka


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 NÁVRH A POSUZOVÁNÍ DYNAM. NAMÁHANÝCH KONSTRUKCÍ Návrh konstrukce – výkres. dokumentace, geologie, technický popis atd. Analýza konstrukce s posouzením – výpočet, posouzení podle norem Experimentální ověření konstrukce – experiment v souladu s předpisy a normami

Analýza konstrukce – vytvoření matematického popisu konstrukce a zatížení (abstraktní modely konstrukce a zatížení) OBECNÉ ZÁSADY PŘI POSUZOVÁNÍ DYNAMICKY NAMÁHANÝCH KONSTRUKCÍ


OBJEKTY MAJÍ PO CELOU DOBU ŽIVOTNOSTI VYHOVOVAT SVÉMU ÚČELU!

Z tohoto hlediska vyplývají pro staticky a dynamicky namáhané konstrukce stavebních objektů dva požadavky: 1. Bezpečnost 2. Provozní způsobilost

Bezpečnost – posuzování převážně podle zásad ČSN 73 00 31 Provozní způsobilost – dynamické namáhání konstrukcí 1. Účinky kmitání na lidi 2. Účinky kmitání na měřicí a jiné přístroje 3. Účinky kmitání na strojní a jiná technologická zařízení 4. Účinky kmitů šířících se podložím na stavební objekty a provozy © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

7

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Kritéria bezpečnosti a provozní způsobilosti - až na výjimky podle 1. a 2. mezního stavu

1. mezní stav – stav únosnosti - nejnepříznivější kombinace statických a dynamických účinků (přihlíží se k působení během provádění stavby, k únavě materiálu apod.) Extrémní napjatost musí vyhovovat podmínce S st + extr S dyn ≤ S u

Sst – napětí, vnitřní síla od výpočtového statického účinku extr Sdyn – extrém téhož napětí, vnitřní síly od výpočtového dynamického účinku Su – mezní hodnota posuzované veličiny stanovená podle příslušných norem

Posouzení na únavu – konstrukční prvky a detaily Únava materiálu - výrazné snížení meze© pevnosti materiáluSalajka v závislosti 2009 na: Vlastislav © Vlastislav Salajka 2009 charakteru zatížení, změně napětí (pulzující, míjivá, střídavá), úroveň vytížení průřezu, počet cyklů, tvar namáhaného prvku, prostředí, úpravě povrchu atd.

2. mezní stav – přemístění, přetvoření - kombinace statických a dynamických účinků, které jsou obvyklé při běžném provozu.

K nejextrémnějším kombinacím (výjimečným) se nepřihlíží Extrémní hodnoty přemístění musí vyhovovat podmínce ust + extr udyn ≤ uu ust – přemístění od statického účinku extr udyn – extrémní přemístění od dynamického účinku uu – mezní hodnota posuzované veličiny, stanovené dle příslušných norem


8

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Méně významné stavby – zjednodušení posouzení

9

1. Velikost extrémních statických přemístění se posoudí podle statických kritérií samostatně 2. Namísto hodnocení absolutních extrémů přemístění se posuzuje odolnost konstrukce vůči vibracím podle kritéria extr X dyn ≤ X u dyn

extr Xdyn – značí absolutní extrém rychlostí a zrychlení pole přemístění než extrémní hodnoty přemístění. Xu dyn – mezní hodnota posuzované dynamické veličiny

Účinky kmitání na člověka Účinky kmitání na běžné stavby © Vlastislav 2009 © technologická Vlastislav Salajka Salajka 2009 Účinky kmitání na strojní a jiná zařízení

Účinky kmitání na člověka Kmitání narušuje od určité intenzity psychosomatickou rovnováhu člověka Nepříznivé účinky kmitání se projevují zvýšenou únavou a vibrace jisté intenzity poškozují zdraví Podrobnosti jsou uvedeny v nařízení vlády 148/2006 (258/2000) o ochraně zdraví před nepříznivými účinky hluku a vibrací a upraveny normou ČSN ISO 2631 Vibrace a rázy - Hodnocení expozice člověka celkovým vibracím

Převládá názor, že pro rozsah od 1 do 10 Hz je intenzita vnímání úměrná zrychlení, zatímco v rozsahu nad 10 Hz je úměrná rychlosti


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Účinky kmitání na běžné stavby Norma ČSN 73 0032 dělí běžné stavby na 3 třídy z hlediska jejich odolnosti vůči vibracím

10

A – Budovy, u nichž mohou vzniknout trhlinky v omítce nebo jiné viditelné poruchy, stavby z neopracovaného kamene… B – Běžné cihelné stavby, stavby z bloků, prefabrikátů… Neporušené budovy v dobrém stavebně technickém stavu C – Dobře vyztužené stavby, s kvalitně provedenou železobetonovou nebo ocelovou kostrou, dokonale vyhotovené dřevěné konstrukce

Účinky kmitání na strojní a jiná technologická zařízení © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Hodnoty dle metodiky „Swiss standard“ Citlivé a historické objekty Zděné objekty s horní částí dřevěnou Betonové nebo zděné budovy na betonových základech Železobetonové, ocelové průmyslové objekty

Frekvenční rozsah Maximální Maximální svislá použití [Hz] rychlost vi [mm·s-1] složka vmax [mm·s-1] 3 10 ÷ 30 1,8 ÷ 3 3 ÷ 5 30 ÷ 60 1,8 ÷ 5 5 10 ÷ 30 3÷5 5 ÷8 30 ÷ 60 3÷8 10 ÷ 30 30 ÷ 60 10 ÷ 30 30 ÷ 60

8 8 ÷ 12

4,8 ÷ 8 4,8 ÷ 12

Třída I – zvláště přesné stroje a automaty. Třída II – brusky, přesné kovoobráběcí stroje, brousící automaty a jiné přesné stroje Třída III – kovoobráběcí stroje obvyklé přesnosti, přádací, tkalcovské a tiskařské stroje Třída IV – ventilátory, elektromotory, lisy, šicí stroje, ap.

12 7,2 ÷ 12 © Salajka 2009 ©12Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 ÷ 18 7,2 ÷ 18


11

Účinky kmitů šířících se podložím na stavební objekty a provozy Šíření kmitání směrem od zdroje – přibližný výpočet


ZÁKLADY KMITÁNÍ STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ Výchozí předpoklady a) Nosný systém konstrukce je tvarově určitý b) Materiál nosných částí je lineárně pružný c) Vyšetřují se malé kmity


2

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 MODELY S JEDNÍM STUPNĚM VOLNOSTI – tři části

1

Nehmotná pružina k

12 Energie V akumulovaná v pružině V =

(

1 k ∆u 2 2

)

Prodloužení pružiny ∆u = u 2 − u1

Vztah mezi silou a prodloužením pružiny nebo momentem a pootočením

Vlastislav ©k ∆u Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 fs =©

k je pružnostní konstanta [N/m] a nebo [N.m/rad]

2

Lineárně viskozní tlumič c Reálně blokový základ se strojem na pružném podkladu vodojem, ….. ÷

3 Vztah mezi silou a rychlostí prodloužením pružiny fd = c (u& 2 − u&1 ) = c ∆u&

Soustředěná hmotnost m [kg] pro translaci hmotného tělesa

2] Hmotný moment setrvačnosti I [kg.m m c je koeficient viskozního tlumení [N.s.m-1] pro rotaci © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009hmotného tělesa

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 POHYBOVÁ ROVNICE modelu s jedním stupněm volnosti (SV)

13

Pro uvedený model soustředěná hmota může konat Pouze 1 (translační) pohyb – 1 SV

Cíl – zapsat (sestavit) pohybovou rovnici popisující pohyb části tělesa (hmotného tělesa) přiřazenému k bodu Popis je vázán na jedinou výchylku u(t) Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Matematické základy přírodní filosofie) 1687

Vychází se z 2. Newtonova zákona

∑F = m a


F je síla působící na soustavu (M moment) m je soustředěná hmotnost (IG hmotný moment setrvačnosti) a je zrychlení v referenční inerciální soustavě (ε úhlové zrychlení)

Sir Isaac Newton 4. 1. 1643 31. 3. 1727

Kinetická energie

M I = −I G ε = −

1 M = −I ε = − (mr )ε ( © Vlastislav ) 2 2009 © Vlastislav Salajka Salajka 2009

m 2 b + c2 ε 12

2

I

G

T =

1 mv 2 2

T =

1 1 2 2 m v Gx + v Gy + IGω 2 2 2

(

)

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Lze použít jiný postup zápisu

14

Zaveďme d‘Alembertovy síly – setrvačné síly fI = −ma

∑F′ = f + ∑F = 0 I

Rovnice dynamické rovnováhy

Sestavení pohybové rovnice (diskrétní soustava) – buzení silami využití 2. Newtonova zákona Předpoklady Pouze svislý pohyb, nehmotná pružina a tlumič, odpor vzduchu zanedbán, Postup

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 +↓ Silový diagram

∑F

x

= mu&&

p − fS − fD + pt = mu&& fS = k (u − 0 ) = ku fD = c (u& − 0) = cu& pt vlastní tíha p(t) vnější síla

Pohybová rovnice zapsaná v závislosti na mu&& + cu& absolutní souřadnici u(t) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

+ ku = pt + p(t )

mu&& + cu& + ku = pt + p(t )


Nehomogenní obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu 15 s konstantními koeficienty!

Dále ust =

pt k

statická výchylka

ur je posunutí soustředěné hmoty (závaží) vůči statické rovnovážné poloze ust Celkové posunutí u = ur + ust Po dosazení u do pohybové a úpravách

mu&&r + cu& r + kur = p(t )© Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009u (t) relativní souřadnici

Pohybová rovnice zapsaná v závislosti na r

Odvození pohybové rovnice kyvadla Podle 2. Newtonova zákona Mθ = k θ θ

+ ∑ M 0 = I 0θ&&

− M θ − p t L sin θ = I 0θ&&,

kde

I 0 = I G + mL2 je hmotný modul setrvačnosti

(

)

2 && Pohybová rovnice zapsaná v závislosti I + mL G © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 θ + kθ θ na relativní souřadnici θ (t)

= pt L sin θ

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Sestavení pohybové rovnice (diskrétní soustava) – buzení silou a pohybem základu - využije se d’Alembertův postup

16

Předpoklady: Stejné jako v předchozím příkladu + Soustředěná hmota se beze tření může pohybovat pouze ve směru výchylky u. Na počátku děje je pružina nenapjatá, tedy u = z = 0. Funkce pohybu základu z(t) je známa.

Postup +

Silový diagram a d’Alembertův princip

→ ∑ Fx′ = 0

p(t ) − fS − fD − mu&& = 0

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 mu&& + c (u& − z& ) + k (u − z ) = p(t ) Po rozepsání sil

Pohybová rovnice zapsaná v závislosti na absolutní souřadnici u(t) vzhledem

mu&& + cu& + ku = cz& + kz + p(t )

k inerciální referenční soustavě Častěji uvedená rovnice přepisuje v relativních souřadnicích ur = u – z .

Po dosazení za u = ur + z

mu&&r + cu&r + kur = p(t ) − mz&&

© Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 sil Pohyb základu se projevuje přidáním reverzích setrvačných

peff(t) = − mz&&

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Aplikace principu virtuálních přemístění k diskrétnímu modelu s jedním stupněm volnosti

17

Základní pojmy a) Souřadnice (přemístění) je hodnota používaná pro určení změny konfigurace systému b) Omezení (vazba) je kinematické omezení (vazba) v systému c) Virtuální přemístění jsou infinitesimální imaginární (smyšlené) změny konfigurace systému, které jsou konzistentní s omezeními (vazbami) Příklad Proměnné posunutí (souřadnice) u a v jsou závislé (nehmotná abs. tuhá tyč) lze je vyjádřit pomocí © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 jedné proměnné úhlu θ

u = L cos θ

a

Omezující rovnice

u2 +v2 = L2

v = L sinθ

v + δv = L sin(θ + δθ ) = L(sin θ cos δθ + sin δθ cos θ )

cos δθ ≅ 1 a v + δv = L sin θ + L cos(θ ) δθ

Virtuální změna δθ je infinitesimální

Virtuální změna

δv = L cos(θ ) δθ

sin δθ ≅ δθ

δu, δv jsou diferenciály

uvedených funkcí Obdobně virtuální změna δu = −L sin(θ ) δθ © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

θ

théta

© 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 d) Množina zobecněných (generalizovaných) souřadnic je množina lineárně nezávislých souřadnic přemístění, které jsou konzistentní s omezeními a popisují 18 libovolnou konfiguraci systému; označují se qi (i = 1, ..., N) n-stupňové soustavy. N

e) Virtuální práce dW je práce sil na virtuálních přemístěních δW = ∑ Qiδq,i i =1 kde Qi jsou zobecněné (generalizované) síly Příklad: Určete virtuální práci sil působících na tuhý nosník L

δW = ∫ p(x, t )δv (x, t )dx 0

p (x, t ) = p 0

x f (t ) L © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

δv = xδθ

2  p 0 xf (t )   p 0 Lf (t )  2Lδθ  p 0 f (t )L δW = ∫  δθ (xδθ )dx =   = L 2 3 3     0 L

Zobecněná síla (moment) Qθ (f) Princip virtuálních přemístění - obdobně jako ve statice, s tím rozdílem, že je nutno uvažovat setrvačné síly Princip virtuálních přemístění lze zapsat ve tvaru δW ′ = δWrf + δWIf = 0 Pro libovolné virtuální přemístění systému virtuální práce „skutečných“ sil a setrvačných sil je rovna nule © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009


Příklad: Sestavte pohybovou rovnici soustavy 1SV s využitím principu virtuálních přemístění

19

δW ′ = 0

Jediná proměnná θ

Virtuální změna v místech reakcí je rovna nule, podmínka konzistence Reakce Ax a Ay se v rovnici neuplatní.

L 2

 

2 3

 

δW ′ = −f S (aδθ ) − f I  δθ  − M I (δθ ) + f P  Lδθ  − f D (Lδθ ) = 0

f S = kaθ  mL2   3

Pohybová rovnice

© 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2    mL  && fI =  θ  2 

mL && θ M I =  12  

p L fP =  0 f (t ) f D = cLθ&  2 

 && p 0 L2 f (t ) 2 & 2 θ + cL θ + ka θ − δθ = 0 3  

( ) ( )

 mL2   3

δθ ≠ 0

 p 0 L2   && 2 & 2  θ + cL θ + ka θ =   3 f (t )   

( ) ( )

⇒

&& & Princip virtuálních přemístění © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 [F (q, q, q, t )]δq = 0

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Aplikace principu virtuálních přemístění ke spojitým modelům V předchozí části byl aplikován princip virtuálních prací na tuhé těleso v rovině Ve skutečnosti nosník je poddajný spojitý model a popis poddajnosti je možný zavedením vybraných funkcí aproximujících chování nosníku V tomto případě hovoříme o sestavení zobecněného parametrického modelu spojitého systému.

20

Definujme další pojmy: a) Spojitý (kontinuální) systém je takový systém, jehož deformace je popsána jednou nebo více funkcemi jedné, dvou, tří prostorových souřadnic a času © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 omezení (posunutí, b) Geometrické okrajové podmínky jsou kinematická pootočení) na části hranice tělesa (modelu) c) Virtuální přemístění spojitého systému je infinitesimální imaginární změna konfigurace systému popsaná funkcemi přemístění a je konzistentní se všemi geometrickými okrajovými podmínkami Funkce průhybu v(x, t).

v (0, t ) = v ′(0, t ) = v (L, t ) = 0

δv (0, t ) = δv ′(0, t ) = δv (L, t ) = 0 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009


21 d) Přípustná funkce která vyhovuje geometrickým okrajovým podmínkám systému Funkce musí mít derivace nejméně do řádu vyskytujícího se ve výrazu pro energii deformace systému e) Tvarová (aproximační) funkce je přípustná funkce pro aproximaci deformací spojitého systému. v (x, t ) = ψ (x )v (t ) f) Princip virtuálních přemístění δW ′ = δWrf + δWIf = 0 v případě spojité (kontinuální) poddajné soustavy je doplněn o člen zahrnující virtuální změnu potenciální energie deformace δV, neboli jinak 2009 virtuální práci konservativních sil © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 δWc δWrf = δWc + δWnc , kde − δV = δWc

δW ′ = δWnc − δV + δWIf = 0

Potom

L

L

Vosov

1 2 = ∫ AE (u′) dx 20

Vohyb

L

L

δVohyb = ∫ (EIv ′′)δv ′′dx

δVosov = ∫ (AEu′)δu′dx 0

1 2 = ∫ EI (v ′′) dx 20


0

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Elementární příklad: Sestavte pohybovou rovnici pro pohyb nosníku v podélném směru

22

Předpoklady: Lineárně pružný nosník konstantního průřezu A Materiálové vlastnosti E a ρ konstanty

u(0,t) = 0, ψ(0) = 0 u (x, t ) = ψ u (t ) x Výběr tvarové (přípustné funkce): ψ (x ) = L du x x ′ u = ε = u (x, t ) = u (t ) δu (x, t ) = δ u (t ) x dx L L

Okrajové podmínky:

Princip virtuálních posunutí δW ′ = δWnc − δV + δWIf = 0 © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009  Virtuální práce (nekonzervativních vnějších Salajka sil)  AE 

 ρAL   P (t ) −  L u −  3 u&&δ u = 0      

δW nc = P (t )δu (L, t ) = P (t ) δ u = P (t )δ u

L L Virtuální změna potenciální energie deformace δV

δV =

Pohybová rovnice mu&& + ku = p(t )

 u  δ u   AE u  ′ ′ ( ) AE u δ u dx = AE dx =      δ u ∫ ∫ L

L

0

0

 L  L 

 L 

Vyčíslí se u (t ) u (x, t ) =

Virtuální práce setrvačných sil  ρAu&&δ u  2  ρAL  && δW If = ∫ (− ρAu&&)δudx = − x dx = −   uδ u ∫ 2 3 L    0 0 L

 ρAL  &&  AE  u +   u = P (t )  L   3 

L


u0 = u(t = 0) u& 0 = u& (t = 0 )

x u (t ) L


Zobecnění

(t ) mv&& + cv& + k v = p23

v funkce průhybu v(x,t) = ψ(x) v (t )

δW ′ = δW nc − δV + δW i = 0 L

δWIf = ∫ (− ρAv&&)δvdx − msv&&(xst )δv (xst ) 0

L 2 2 δWIf = −  ∫ ρAψ (x ) dx + msψ (xs ) v&&δ v 0  δWIf = −mv&&δ v L Zobecněný © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2 2 m = ∫ ρAψ (x )dx + msψ s koeficient hmotnosti

δW d = −c r v& (x r , t )δv (x r , t ) 2 δWd = −cψ (x r ) v&δ v

0

δW d = −cv&δ v

δVb = ∫ EI v ′′δv ′′dx

c = −c rψ r2 Zobecněný

0

koeficient útlumu

L

δW p = ∫ p(x, t )δv (x, t )dx + P j δv (x i , t ) 0

δW p = p(t ) δ v L

p(t ) = ∫ p(x, t )ψ (x )dx + Pj (t )ψ i 0

δVs = k i v i δv i = k i v (x i , t )δv (x i , t )

L

L  2 δVb =  ∫ EI (ψ ′′) dx v δ v 0 

δVs = k iψ i2 v δ v

δVs + δVb = k v δ v L

2 Zobecněná k = ∫ EI [ψ ′′(x )] dx + k iψ i2 © Salajka 2009 vnější síla © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 0

Zobecněný koeficient tuhosti

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 VOLNÉ (VLASTNÍ) KMITÁNÍ SOUSTAVY S 1SV Soustředěná hmota může konat jediný přímočarý nebo otáčivý pohyb Pohyb je popisován funkcí (výchylky) posunutí u(t) Pohybová rovnice

mu&& + cu& + ku = p(t )

s počátečními podmínkami u (0 ) = u 0 a u& (0 ) = u& 0 Cílem je určit odezvu na působení budicí síly p(t) při zadaných počátečních podmínkách v čase t = 0 © Salajka &2009 © Vlastislav Vlastislav (0) = 0 u (0) = Salajka 0 a u2009 Je-li na počátku soustava v klidu .

Pohybovou rovnici upravíme na tvar (:m)  ω n2 2 u&& + 2ζω n u& + ω n u =   k

ωn

ζ ccr

 1 ω n2  k   =  ωn =  p(t ) , kde nebo   m k  m  c 2k ζ = ω c = 2 m = = 2 km , kde cr n ccr ωn

- netlumená vlastní úhlová frekvence [rad·s-1] - parametr viskozního tlumení (poměrný útlum) [–] -1] - koeficient kritického © tlumení [N.s.m Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

3 24

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Rovnice je lineární obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními 25 koeficienty Řešení této rovnice, neboli jinak celková odezva u(t), sestává ze dvou částí

u (t ) = u p (t ) + u c (t ) část, up(t) odpovídá působení síly p(t) - potom se mluví o vynuceném kmitání část řešení uc(t) odpovídá volnému (vlastnímu) kmitání Z matematického hlediska celkové řešení diferenciální rovnice sestává a) z obecného řešení uc(t) b) z partikulárního řešení up(t)

Salajka ©=Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Volné (vlastní) kmitání – p(t)© 0 Z rovnice

Řešení rovnice

u = C es t

u&& + 2ζωnu& + ωn2u = 0

(s

2

)

+ 2ζωns − ωn2 C e s t = 0

Pro všechny hodnoty t platí charakteristická rovnice .


s 2 + 2ζωns + ωn2 = 0

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Volné kmitání netlumené soustavy ζ = 0 s 1SV u&& + ωn2u = 0

charakteristická rovnice s 2 + ω n2 = 0

Řešení v komplexních číslech

s 2 + 2ζωns + ωn2 = 026

kořeny rovnice

s 1,2 = ±iω n

u = C 1e iω n t + C 2 e − iω n t

± iθ S využitím Eulerovy rovnice e = cosθ ± isinθ

Řešení vyjádřeno pomocí trigonometrických funkcí

u = A1 cos ωnt + A2 sin ωnt

A1, A2 - integrační konstanty – se získají z počátečních podmínek © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 u (0 ) = u0 = A1 u& (0 ) = u&0 = A2ωn  u&  u = u0 cos ωnt +  0  sin ωnt  ωn  jednoduchá harmonická funkce kmitání Tn =

2π

ωn ω fn = n 2π

u (0 ) = u 0 u& (0 ) = u& 0

u (0 ) = u 0 u& (0) = 0

- perioda netlumené soustavy [s] Tn =

- netlumená vlastní frekvence (kmitočet) © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 [Hz]

1 2π = fn ω n

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009  u&  u = u0 cos ωnt +  0  sin ωnt  ωn 

 u& 0 2 2 U = u 0 +   ωn

Rotující vektor

  α27  u (t ) = U cos(ωnt − α ) = U cos ωn  t − ω n   u& 0   

2

tan α =

ωn u0

C = Ce iθ

( ) ( )

C =RC © + iIVlastislav C = C R +Salajka CI 2009 © Vlastislav Salajka 2009

CR = C cos θ

C I = C sin θ

Závěry Vlastní úhlová frekvence ωn je závislá pouze na tuhosti soustavy k a hmotnosti soustavy m Veličiny ωn, fn a Tn nejsou závislé na amplitudě kmitání - kmitání netlumené soustavy je pohyb izochronní, neboť se jedná o harmonické kmitání stejné frekvence Frekvence fn je na změnu parametrů k a m málo citlivá vzhledem k odmocnině ve výrazu Je-li nutno soustavu frekvenčně přeladit, lze to realizovat změnou tuhosti a hmotnosti soustavy Měnit hmotnost m soustavy je prakticky těžko proveditelné, tedy přeladění soustavy se zpravidla realizuje změnou tuhosti k


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Volné kmitání viskózně tlumené soustavy s 1SV Kmitání soustavy s viskozním tlumením

28

ζ ≠0

u&& + 2ζωnu& + ωn2u = 0 Pohybové rovnici odpovídá charakteristická rovnice

s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1

s 2 + 2ζωns + ωn2 = 0

Podle možných kořenů dostáváme řešení vlastního kmitání Parametr, který významně ovlivňuje způsob pohybu tlumené jednostupňové soustavy je poměrný útlum ζ © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 V závislosti na velikosti tohoto parametru rozlišujeme tři případy:

0 < ζ <1

- podkritický útlum

2. Poměrný útlum

ζ =1

- kritický útlum

3. Poměrný útlum

ζ >1

- nadkritický útlum

1. Tlumení je malé


1. Podkritický útlum ζ < 1 s1,2 = −ζω n ± iω d

ωd = ωn 1 − ζ 2 fd =

ωd 2π

Td =

1 2π = fd ω d

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1

29

dva kořeny - tlumená vlastní úhlová frekvence [rad·s-1] - tlumená vlastní frekvence (kmitočet) [Hz] - perioda tlumené soustavy [s] z počát. podmínek

Pohyb

Salajka ©dVlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 u (t ) = e −ζωn t (A1cosω d t + A2 sin© ω t)   u& + ζω n u 0 u (t ) = e −ζω n t u 0 cosω d t +  0 ωd   nebo u (t ) = Ue −ζωnt cos(ωd t − α )  u& + ζω n u 0 U = u +  0 ωd  2

2 0

u& 0 + ζω n u 0 tanα = ωnu0

  

2

  sinω d t   

Soustředěná hmota viskózně tlumené soustavy koná harmonický pohyb Amplituda klesá podle exponenciální funkce, v čase t = ∞ , je rovna nule, prakticky při 1/20 Časový průběh výchylky většinou dobře souhlasí se skutečnou Frekvence kmitavého pohybu ω d = ωn 1 − ζ 2 se nemění V praktických případech rozdíl ve frekvencích je tak malý, že jej často zanedbáváme


2. Kritický útlum ζ = 1

s = −ζω n


s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1

jeden kořen

u (t ) = (C1 + C2t )e −ζω n t u (t ) = [u0 + (u&0 + ξωnu0 )t ]e −ζωn t Nedochází k oscilacím! 3. Nadkritický útlum ζ > 1 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Dva záporné kořeny

u (t ) = e −ζω n t (C1 cosh ωˆ t + C2 sinh ωˆ t )

ωˆ = ω n ζ

2

C1 a C2 se určí opět z počátečních podmínek

−1

Nedochází k oscilacím!

Tlumení stavebních konstrukcí malé poměrný útlum ζ (0,003 ÷ 0,2)


30

© Určování tlumicích parametrů © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

31

Metoda logaritmického dekrementu útlumu Metoda poloviční amplitudy

Metoda logaritmického dekrementu útlumu Na počátku cyklu Na konci cyklu Jejich poměr

u i = u (t i ) u i +1 = u (t i + Td ) ui Ue −ζω n t i e −ζω n t i ζω nTd = = = e u i +1 Ue −ζω n (t i +Td ) e −ζω n (t i +Td )

© 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka Logaritmický dekrement δ útlumu  ui  2009  = ζωnTd δ = ln je bezrozměrné číslo, kterým se  ui +1  vyjadřuje intenzita viskózního tlumení, neboť nezávisí na rychlosti 2πζ δ ξω T = = n d kmitání 1− ζ 2 Vztah mezi logaritmickým dekrementem útlumu a parametrem tlumení ζ (poměrným útlumem).

δ =& 2πζ ⇒ ζ =&

Td =

δ 2π

2π

ωd

=

2π

ωn 1− ζ 2

 1   u  ζ =&  ln i   2π   u i +1 

Při experimentálním zjišťování útlumu  u (t i )   u  se bere v čase poměr výchylek od sebe  = kζω nTd = kδ ln i  = ln ( ) u u t + kT vzdálených o k celých cyklů, potom d   i +k   i © Vlastislav Salajka 2009 přijdeme k důležitému vzorci © Vlastislav Salajka 2009

© 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Volné (vlastní) kmitání soustavy s 1SV sSalajka útlumem vyvolaným smykovým třením

32

Na pohybující se část modelu působí třecí síla fD směřující proti pohybu

f D = µ k N = µ k mg Pohybová rovnice

model

− fS − f D = mu&&

mu&& + ku = −µk mg, pro u& > 0 Nechť

potom u&& + ω n2 u = +ω n2 u 0 , pro

u& > 0

u&& + ω n2 u = −ω n2 u 0 , pro

u& < 0

Po zavedení substituce u&& + ω uˆ = 0

mu&& + ku = + µk mg , pro u& < 0

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009Vlastní kmitání soustavy

 1 µ g u D = fD   = k2  k  ωn

.

silový diagram

uˆ (t ) = u (t ) + u0

Průběh pohybu při suchém tření

2 n

Mezi jednotlivými krajními polohami vzdálenými o půl periody je pohyb harmonický se skokově posunutým středem Vlastislav Salajka 2009 ©pohybu Vlastislav Salajka 2009 amplituda Charakteristickým rysem tohoto© je lineárně klesající

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ODEZVA SOUSTAVY S 1 SV NA HARMONICKÉ BUZENÍ - zatížení je možné popsat pomocí harmonické funkce (sin, cos)

4 33

nevývažky točivých strojů, obtékání konstrukce proudem tekutiny (kapalina, plyn), synchronním pohybem osob po mostní konstrukci a pod.

Odezva netlumené soustavy s 1 SV na harmonické buzení p(t ) = p 0 cos Ωt Funkce buzení p0 amplituda budicí síly Ω je úhlová frekvence budicí síly (získá se z otáček za minutu) p0 cos Ωt Salajka Pohybová rovnice mu&& + ku© 2009 ©=Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Řešení pohybové rovnice Řešení se skládá z vlastního kmitání uc a z vynuceného kmitání up - vynucené kmitání (u harmonického buzení ustálená odezva)

u p = U cos Ωt U=

p0 k − mΩ 2

U0 =

p0 k

u&&p = −UΩ 2 cos Ωt

po dosazení do zjistíme, že

za podmínky ( k − mΩ 2 ) ≠ 0 U

H(Ω) =

1 1− r 2

Funkce frekvenční odezvy v absolutní hodnotě dynamický součinitel ustáleného kmitání

Nechť potom H ( Ω ) = U0 Ω je statická výchylka r = © Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2009 2009 je frekvenční poměr ωn

r ≠1

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 faktor zesílení při ustálené odezvě - dynamický součinitel

Ds = H (Ω )

Pro r < 1

Pro

r >1

 U  up =  0 2  cos Ωt 1− r 

up =

U0 (− cos Ωt ) r 2 −1

(

)

- podrezonanční kmitání odezva up je ve fázi s buzením p(t) (1 − r 2 ) > 0 - nadrezonanční kmitání up je v protifázi (180°) s buzením p(t)

(1 − r 2 ) < 0 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009  U  u(t ) = u p (t ) + uc (t ) =  0 2  cos Ωt + A1 cos ωn t + A2 sin ωn t  1− r  − U0 Ω u& = sin Ωt − A1ωn sin ωn t + A2ωn cos ωn t 2 1− r 2 − U Ω 0 u&& = cos Ωt − A1ωn2 cos ωnt − A2ωn2 sin ωnt 2 1− r

Konstanty A1 a A2 možné vyčíslit u0 = u (t = 0 ) z počátečných podmínek &0 Vlastislav u = u& (t = 0 ) Salajka © © Vlastislav Salajka 2009 2009

34

© = 40002009 N·m-1 © Vlastislav Vlastislav kSalajka Salajka 2009 m = 10 kg Vyčíslete odezvu na buzení harmonickou Příklad silou

Počáteční podmínky

Budicí síla

p(t ) = 10 cos(10t )

u= u& = u=

U0 1− r

u 0 = u& 0 = 0

p0

Řešení 2

Ω

1− r 2

Číselně

cos Ωt +

1 2

U0 1− r 2

1 2

cos ω n t

Výpočet konstant A1 a A2 u (0) = 0 =

cos Ωt + A1 cos ω n t + A2 sin ω n t

− U0 Ω sin Ωt − A1ω n sinω n t + A2ω n cos ω n t 1− r 2 u (mm) U0

35

U0

1− r 2

+ A1

u& (0 ) = 0 = A2ω n

k  4000  ωn =   =   = 20 rad·s-1 m 10     p 10 U0 = 0 = = 2,5·10-3 m = 2,5 mm k 4000

-

U0 1− r 2

U0 2,5 ⋅ 10 −3 = 1 − r 2 1 − (0,5 )2

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 +

A1 = −

t (s)

= 3,333 10-3 m = 3,333 mm

u = 3,33[cos(10t ) − cos(20t )]

Výsledná odezva se skládá z pohybu od působení sil a pohybu při vlastním kmitání Výsledná odezva není jednoduchým harmonickým pohybem Dynamický součinitel Ustálená odezva je ve fázi s buzením (r < 1). Ω 10 ustáleného kmitání = r = = 0,5 Maximální hodnota odezvy je větší než faktor zesílení ω n 20 (dynamický součinitel) ustáleného stavu kmitání 1 1 © Vlastislav Salajka 2009 u(t ) © Vlastislav Salajka 2009 = = 1,333 2 2 Úplný dynamický faktor zesílení = 2,666 D max = s 1− r 1 − (0,5 ) t U0

Rezonanční kmitání Budící frekvence fb = Ω/2π

U0Vlastislav  ©  2009 Vlastislav Salajka 2009 up =  © cos Ωt Salajka neplatí pro frekvenční poměr r = 1 2  1 − r  

=

Vlastní frekvenci fn = ωn /2π

36

Amplituda kmitání pro oblast r blízké 1 prudce roste pro r = 1 není její teoretická hodnota u soustav bez tlumení konečná Při r = 1 nastává rezonanční kmitání!

Prakticky rezonanční oblast 0,7 < r < 1,3

Pohybová rovnice v případě rezonance u p = Ct sin Ωt C=

p0 2mωn

mu&& + ku = p0 cos Ωt © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Odezva za rezonance

up =

1 (U0ωnt ) sin ωnt 2

Podrezonanční Nadrezonanční oblast oblast Rezonanční oblast Amplituda kmitání roste lineárně jako funkce času © 2009 MůžeSalajka nastat samobuzení konstrukce © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

© © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Odezva viskózně tlumené soustavy s 1Salajka SV na 2009 harmonické buzení

37

Soustava s 1 SV je tlumená odpovídá více reálnému chování konstrukcí.

Pohybová rovnice v případě harmonického buzení c

mu&& + cu& + ku = p0 cos Ωt u p = U cos( Ωt − α )

☺

Grafické vyjádření v komplexní rovině

u& p = − ΩU sin( Ωt − α )

u&&p = − Ω 2U cos(Ωt − α )

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 U je amplituda ustáleného kmitání α je fázový posun Ustálená odezva již není ve fázi nebo protifázi s buzením což je zapříčiněno tlumením

jednotlivé složky jsou rotující vektory v této rovině

Silový diagram

− mΩ 2U cos( Ωt − α ) − cΩU sin( Ωt − α ) + kU cos( Ωt − α ) = p0 cos(Ωt ) p0 = (kU − mΩ 2U )2 + (cΩU )2 2

cΩ tan α = 2 k − mΩ2009 © Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2009

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Faktor zesílení – dynamický součinitel při ustálené odezvě Ds =

U = U0

1

(1− r ) + (2ζ r ) 2 2

Úplná odezva

u (t ) =

2ζ r 1− r 2

38

2

Dynamický součinitel za rezonance (Ds )r =1 =

u = u p + uc

U0

(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2

tan α =

Velikost fázového posunutí

2 2

1 2ζ

cos( Ωt − α ) + e −ζωnt [A1 cos(ωd t ) + A2 sin(ωd t )]

Vlastní kmitání Ustálená odezva © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Konstanty A1 a A2 se určí z počátečních podmínek Pohyb odpovídající vlastnímu kmitání v čase zanikne Po zániku vlastního kmitání soustava kmitá ustáleným kmitáním

u (t ) = 3,22 cos(10t2009 − 0,26 ) − e © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

−4 t

[3,1cos(19,6t ) + 1,1sin(19,6t )]

© 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 pro případ ustálené odezvy Poznámky Pohyb podle rovnice u p = U cos( Ωt −39 α) je pohyb harmonický se stejnou frekvencí jako frekvence buzení Amplituda ustálené odezvy je funkcí jak amplitudy a budicí frekvence, tak i vlastní frekvence a tlumení Odezva u p = U cos( Ωt − α ) a buzení p(t ) = p0 cos(Ωt ) Amplitudo frekvenční závislost (charakteristika) jsou fázově posunuty © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 (dochází ke zpoždění α/Ω) ( Ds ) r =1 =

.

1 2ζ

Dynamický součinitel za rezonance (Ds )r =1 =

1 2ζ

je limitován pouze úrovní tlumení

U stavebních konstrukci je tlumení malé musíme vyloučit vznik rezonančního kmitání nebo snížit kmitání za rezonance (tlumiče kmitů) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Fázový posun v závislosti na úrovni tlumení

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Frekvenční odezva v komplexních číslech Výchozí pohybovou rovnici lze rozložit jako projekce do osy R a osy I. Předpokládá se, že pohyb odpovídá ustálenému kmitání. Rovnice pro pohyb ve směru osy R mu&&R + cu& R + ku R = p0 cos(Ωt ) Rovnice pro pohyb ve směru osy I mu&&I + cu& I + ku I = p0 sin(Ωt )

u R = U cos(Ωt − α ) + u I = U sin(Ωt − α )

Ustálená odezva

mu&& + cu& + ku = p = p0 e iΩt

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Ustálené kmitání hledáme ve tvaru u = U e iΩt p0 k − mΩ 2 + icΩ

(

i = −1

Pohybová rovnice zapsaná v komplexních číslech

Odezva u = u R + uI U =

x

40

)

tanα =

Jednotlivé složky jsou rotující vektory

uI 2ζ r = uR 1− r 2

Funkce frekvenční odezvy v komplexních číslech H (Ω) =

U 1 = U0 1 − r 2 + i (2ζ r )

(

)

Faktor zesílení při ustálené odezvě (dynamický součinitel) H (Ω) =

U U0

=

1

(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2

2

© 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 Silový diagram

u = U e iΩ t

u& = iΩU e iΩ t = iΩu 2 u&& = (iΩ ) U e iΩ t = − Ω 2u

© © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 a) Silový přenos. Síla je přenášena přesSalajka pružinu2009 a tlumící člen do pevného uchycení (základu) - jako příklad lze uvést přenášenou sílu do podzákladí41

při kmitání základu se strojem (stroj generuje harmonické buzení od nevývažku rotoru)

b) Buzení pohybem základu (podepření). Pohyb hmotného tělesa ve spojení pomocí pružiny a tlumiče s pohybujícím se základem (podepřením) - například se jedná o ustálené kmitání konstrukce (hmotného tělesa) připojené pomocí pružiny a tlumiče k vibračnímu stolu, který koná harmonický pohyb

Silový přenos ftr = fs + fd = ku + cu& po dosazení ustálené odezvy u a derivace u& © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 iΩt ftr = (k + icΩ )U e  1 + i (2ζr )   (k + icΩ )U 0  iΩt iΩt f kU e = nebo ftr =  e tr 0   2  2  1 − r + i (2ζr )  1 − r + i (2ζr )

(

(

)

kU0 1 + (2ζr )

2

ftr =

(1 − r ) + (2ζr ) 2 2

)

( eiΩt = 1,

B A =B

A )

2

Koeficient přenosu ∆TR =

ftr kU0

[

]

1 2 2

= DS 1 + (2ζr )

- poměr amplitudy dynamické síly ftr k síle p0 © kde p0 = kU 0 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

∆TR U/Z

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Buzení pohybem základu (podepření) Pohyb základu (podepření) je popsán analyticky pomocí harmonické

Pohybová rovnice mu&& + cu& + ku = cz& + kz = (k + icΩ )Ze iΩt

42

funkce

z = Z cos(Ωt )

Pohybová rovnice zapsaná pomocí relativní souřadnice w = u – z && + cw& + kw = −mz&& = Ω 2mZeiΩt mw Ustálená odezva pro oba zápisy pohybových rovnic

u = U e iΩt .

iΩt w = W e© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Funkce komplexní frekvenční odezvy H (Ω) =

U k + icΩ 1 + i (2ζr ) = = Z k − mΩ 2 + icΩ 1 − r 2 + i (2ζr )

H (Ω) =

W mΩ 2 r2 = = Z k − mΩ 2 + icΩ 1 − r 2 + i (2ζr )

(

(

)

)

(

)

(

)

Faktor zesílení (dynamický součinitel) při ustálené odezvě na kinematické buzení U U 2 D = = = Ds 1 + (2ζr ) Z Z z s

W W Ds = D© =Vlastislav = = Salajka r 2Ds 2009 © Vlastislav Salajka 2009 Z Z z s

1

(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2

2

Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 Po analýze těchto průběhů © lzeVlastislav učinit tyto závěry: 1. Při buzení pohybem s frekvencí Ω, která je výrazně menší než vlastní frekvence ωn 43 soustavy, tj. při r << 1, je relativní pohyb tělesa vůči základu malý. Těleso se pohybuje se základem 2. Za rezonance, tj. když Ω = ωn, při malém pohybu základu vznikají velké amplitudy relativního pohybu tělesa. Pouze tlumící síly limitují amplitudu pohybu 3. Při buzení pohybem s frekvencí Ω, která je výrazně větší než vlastní frekvence ωn soustavy,tj. při r >> 1, setrvačné síly pohybujícího se tělesa jsou tak veliké, že relativní pohyb sestává z pohybu základu vzhledem ke sledovanému tělesu. Těleso se prakticky nepohybuje. 4. Z uvedené teorie vychází návrh přístrojů pro měření vibrací. Přístroje lze rozdělit do dvou skupin podle © Salajka vůči kmitající konstrukci © Vlastislav Vlastislav naladění Salajka 2009 2009 V případě, že výstup je proporcionální pohybu podkladu (konstrukce) (musí mít velkou frekvenci) ω n << Ω , jedná se o vibrometry Naopak, je-li výstup proporcionální zrychlení podkladu (konstrukce) (větší využití) r << 1 ⇒ DS ≅ 1 , jedná se o akcelerometry


3D MEMS akcelerometr

© Salajka 2009 ODEZVA SOUSTAV S 1 SV NA SPECIÁLNÍ PŘÍPADY © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 BUZENÍ Odezva viskózně tlumené soustavy s 1SV vyvolaná náhlým účinkem zatížení stálé velikosti

mu&& + cu& + ku = p0

5 44

t ≥0

Soustava je v čase před přiložením zatížení v klidu u (0) = u& (0 ) = 0 p0 k

Partikulární řešení

up =

Obecné řešení pro ζ < 1

u c = e −ζωnt [A1 cos(ωd t ) + A2 sin(ωd t )]

Pohybová rovnice - tlumená soustava © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009   2009    ζωn  p − ζω n t 0 Po dosazení počátečních podmínek  sin ωd t   u= cos ωd t +  1 − e ω k      d  Celkové řešení u = up + uc

Poměr odezvy (dynamický součinitel zatížení) R (t ) =

ku (t ) ku (t ) = max p(t ) pmax

R(t) = 1 je statická rovnovážná poloha

t

Pro pmax = p0    ζω t  R (t ) = 1 − e −ζω n t cos ωd t +  n  sin ωd t  Salajka   © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009  ωd  ©

Netlumená soustava

u (t ) =

p0 (1 − cos ωnt ) k

Rmax = 2

t=

Tn 2

Vlastislav Salajka 2009 Odezva netlumené soustavy s© na účinek obdélníkového impulsu ©1SV Vlastislav Salajka 2009 Z předchozího případu vyplývá, že maximální rozkmit nastane během poloviny cyklu T a) Je-li t d > n maxima je dosaženo 2 během působení zatížení b) Je-li t d <

Tn 2

45

maxima je dosaženo během dokmitávání.

Průběh odezvy je nutno řešit jako odezvu pro časovou oblast, kdy působí zatížení, a kdy již zatížení nepůsobí. © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009v časové oblasti 0 ≤ t ≤ t a) Odezva na zatížení náhlým účinkem stálého zatížení d  Tn  Tn p0 ( ) R = R =2 ( ) R t = 1 − cos ω t Při t = ( ) ( ) ut = 1 − cos ω n t 1 max 1 1 n 2 2   k b) Odezva v čase t > td - zatížení nepůsobí dochází k dokmitávání Vlastní (volné kmitání) při „počátečních“ podmínkách u(td) a u&(td) 1/ 2 2   &   R1 (t d )  2  u& (t d ) ( ) [ ( ) ] R = R t +     2 1 d max u (t ) = u (t d ) cos ω n (t − t d ) +  ω  sin ω n (t − t d ) n      ωn   R& 1 (t d ) R 2 (t ) = R1 (t d ) cos ω n (t − t d ) +   sin ωSalajka n (t − t d ) © Vlastislav 2009 © Vlastislav Salajka 2009 ω  n 

(R2 )max

π t = 2 sin d  Tn

  

Salajka 2009 Odezva netlumené soustavy© 1SV na zatížení počátku lineárně rostoucí ©sVlastislav Vlastislav Salajkaod 2009 do hodnoty p0 a dále stále působící  t  mu&& + ku =  t r   Pro 0 ≤ t ≤ t r

  p0 , 0 ≤ t ≤ t r ,  p0 , t r ≤ t.

u (0) = u& (0 ) = 0

46

partikulární řešení

 t  p  u p =   0   t r  k 

 t  p  Pohybová rovnice u =   0  + A1 cos(ω n t ) + A2 sin(ω n t )  t r  k © Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 Po zavedení počátečních podmínek 0 ≤ t ≤ tr pro časovou oblast p u = 0  k

  t     t r

  1  −    ωn t r

Pro časovou oblast p u= 0  k

  1 1 +    ω n t r

   sin ω n t   

t ≥ tr   [sin ω n (t − t r ) − sin ω n t ]  

Je-li tr >> Tn potom dynamická odezva přechází ve statickou odezvu

 t  p0     u = Maximum odezvy Rmax = 2, když tr se pseudostat © Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009  t r  k  blíží nule

© Salajka © Vlastislav Salajka 2009 2009impuls Odezva netlumené soustavy sVlastislav 1SV na krátkodobý

47

Na soustavu působí síla velké intenzity velmi krátkou dobu

u (0) = u& (0) = 0

p , 0 ≤ t ≤ td , mu&& + ku =  0 td ≤ t.  0,

td << Tn

Po integraci + počáteční podmínky td

Impuls síly I = ∫ p(t )dt

mu& (t d ) + ku pr t d = I

0

0 ≤ t ≤ td + Při td → 0, tj. td << Tn , druhý člen v levé části rovnice lze zanedbat mu& 0 = I

upr je (malá) průměrná hodnota přemístění v časovém intervalu

( )

( )

+ © u 0 + =Salajka 0 Počáteční podmínky v čase 0 )= u& (2009 0 ©+ Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

( )  sin ω t

 u& 0+ u = u 0 cos ωnt +   ωn

( ) +

 

n

I m

 I   sin(ωnt ) u (t ) =  ω m  n 

Odezva na jednotkový impuls I = 1 netlumená soustava  1   sin(ωnt ) h(t ) =   mωn 

Odezva tlumené soustavy

Odezva na jednotkový impuls I = 1

 I  −ζω n t  1  −ζω t e u (t ) =  sin(ωd t ) e h(t ) =  sin(ωd t ) © Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 ω m m ω  n  n   n

© Salajka Příklad: Dokažte, že rovnice pro řešení netlumené soustavy s 1SV na účinek © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 obdélníkového impulsu se bude shodovat s odezvou na krátkodobý impuls v případě td << Tn p  u (td ) =  0 [1 − cos(ωntd )] Řešení: Ke konci působení zatížení k  ω p Derivace podle času u& (t d ) = n 0 sin(ωn t d ) k Protože platí ωnTn = 2π potom pro td << Tn platí ωn t d << 2π Funkci cos rozložíme do řady a [1 − cos(ωntd )] ≅ 1 (ωntd )2 použijeme první dva členy řady 2 α2 α4

ωn t d ≅ ω Salajka 2009 Pro malé hodnoty argumentu ω© platí sin ©ntVlastislav Vlastislav Salajka 2009 ntd d

sin α = α −

Impuls I pro konstantní sílu je roven p0td u (t d ) ≅

1  p0   I  t  2  (ω n t d ) =   d  2 k   2  m 

ω p u& (t d ) ≅  n 0  k

I  (ω n t d ) = m 

 It   I u (t ) = lim  d  cos[ω n (t − t d )] +  t d →0  mω n  2m 

cos α = 1 −

2!

α3 3!

+

+

4!

α5 5!

48

− −

α6 6!

α7 7!

+ ... + ...

 u& (t ) u (t ) = u (t d )cos ω n (t − t d ) +  d  sin ω n (t − t d )  ωn 

   sin[ω n (t − t d )]  

td → 0


 I   sin(ωnt ) u (t ) =  ω m n  

Odezva soustav s 1SV na obecné © dynamické Salajka buzení 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Podstata metody řešení dynamické odezvy soustavy s 1SV na obecné buzení vychází z funkce odezvy na impulsní zatížení a využívá princip superpozice. dI = p(τ )dτ  dI   sin[ω n (t − τ )] du (t ) =   mω n  Úplná odezva v čase t je součtem odezev na všechny elementární impulsy Pro netlumenou soustavu na počátku v klidu u (0) = u& (0) = 0 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 t  1   ∫ p(τ ) sin[ωd (t − τ )]dτ u (t ) =   mωd  0 nebo

Duhamelův integrál popřípadě konvoluční integrál

t

u (t ) = ∫ p(τ )h(t − τ )dτ 0

kde

 1 h(t − τ ) =   mω n

  sin[ω n (t − τ )] 

Výpočet odezvy u(t) se provádí numerickými © Vlastislav 2009 ©speciálními Vlastislav Salajka Salajka 2009 postupy

6 49

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Pro netlumené soustavy s nenulovými počátečními podmínkami  1 u (t ) =   mω n

  u&  ∫ p(τ ) sin[ω n (t − τ )]dτ + u 0 cos(ω n t ) +  0 0  ωn t

  sin(ω n t ) 

Pro tlumené soustavy s nenulovými počátečními podmínkami  1 t  ∫ p(τ )e −ζωn (t −τ ) sin[ω d (t − τ )]dτ + u 0 e −ζωn t cos(ω d t ) + u (t ) =   mω d  0  1  (u& 0 + ζω n u 0 )e −ζωn t sin(ω d t ). +  ©  ωd  © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Spektrum odezvy je graf maxim „odezvy“ (posunutí, zrychlení, napětí atd.) jednostupňové soustavy na zadanou funkci buzení v závislosti na některém parametru - nejčastěji na vlastní frekvenci (periodě) Spektra odezvy se sestavují pro různé úrovně tlumení soustavy

Spektrum odezvy relativního posunutí © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

50

7

© Vlastislav Salajka ©odezvy Vlastislav Salajka 2009 2009 Numerické řešení dynamické soustavy s jedním stupněm volnosti Numerické řešení založené na aproximaci derivací – přímá integrace pohybové rovnice

51

Existuje spousta postupů jak derivace aproximovat a tím získat integrační schéma Postupy (metody) vycházejí z předpokladu, že čas se diskretizuje - oblast řešení se rozdělí na konečný počet časových úseků Řešení získáme pomocí integračních schémat pouze ve vybraných diskrétních časových okamžicích - kroková integrace pohybové rovnice – step by step Metoda průměrného zrychlení - Newmarkova metoda (β = 1/4) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Pohybová rovnice mu&& + cu& + ku = p(t ) Počáteční podmínky

u0

u& 0

Derivace podle času se nahradí přibližným vyjádřením Předpokládá se, že v časovém kroku je zrychlení průměrem hodnot v čase ti a v čase ti+1 Zrychlení v intervalu ti ÷ ti+1,, v čase τ u&&(τ ) =

1 (u&&i + u&&i +1 ) 2


© Po integraci © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ∆t i   ∆t i2   (u&&i + u&&52 (u&&i + u&&i +1 ) Rychlost u& i +1 = u& i +  Výchylka u i +1 = u i + u& i ∆t i +  i +1 )  2 4     Změna za časový úsek ∆t i = t i +1 − t i ∆pi, ∆ui, ∆u& i a ∆u&&i  4 ∆u&&i =  2  ∆t i

∆pi = pi +1 − pi

 (∆u i + u& i ∆t i ) − 2u&&i  

 2  ∆u i − 2u& i ∆u& i =   ∆t i 

Pohybová rovnice

m∆u&&i + c∆u& i + k∆u i = ∆pi Po dosazení do pohybové rovnice k ∆u i = ∆p *

* i

kde

Vyčíslí se ∆u i .

 4m   © Salajka 2009  * ©Vlastislav Vlastislav 2c   4m Salajka 2009  + 2c u& i + 2mu&&i  +  2  a ∆p i = ∆p i +  k = k +   ∆t i    ∆t i   ∆t i 

Po dosazení do rovnic Nakonec

,

u i +1 = u i + ∆u i

* i

se vyčíslí ∆u& i

u& i +1 = u& i + ∆u& i

a ∆u&&i

u&&i +1 = u&&i + ∆u&&i

a jde se na další krok

Získané řešení je přibližné a přesnost je závislá na výběru velikosti integračního kroku Doporučuje se volit časový krok z podmínky

T T je nejmenší perioda buzení anebo vlastní ∆t ≤© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 perioda Tn soustavy 10

8

© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Odezva soustavy s jedním stupněm volnosti na2009 periodické buzení Frekvenční analýza

53

1. Odezva na periodické buzení. Fourierův rozvoj v reálných číslech Periodické buzení s periodou T1

Zatížení, které se mění s periodou T1

p(t + T1 ) = p(t ) Zatížení lze rozložit na součet harmonických zatížení! Rozklad funkce do Fourierovy řady ∞

∞

p(t ) = a0 + ∑ an cos(nΩ1t ) +©∑ bn sin(nΩ 1t ) Vlastislav Salajka 2009 n =1

kde

Ω1 =

1 a0 = T1

©n Vlastislav Salajka 2009 =1

2π , an a bn jsou koeficienty n-té harmonické složky T1

τ +T1

∫τ p(t )dt

2 an = T1

τ +T1

∫τ p(t )cos(nΩ t )dt 1

2 bn = T1

τ +T1

∫τ p(t )sin(nΩ t )dt 1

kde τ je libovolný čas Uspokojivé přesnosti v aproximaci funkce zatížení lze dosáhnout při relativně malém počtu členů řady © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Příklad: Vyjádřete výrazy pro koeficienty Fourierovy řady popisující funkci Vykreslete grafy pro 1, 2 a 3 členy Fourierovy řady T 2

1 1 a0 = p(t )dt ∫ T1 −T1 2

− T1 2 ≤ t ≤ T1 2 144 42444 3 perioda T1

T 2

T 2

2 1 bn = p(t ) sin(nΩ1t )dt T1 −T∫1 2

2 1 an = p(t )cos(nΩ1t )dt ∫ T1 −T1 2 kde

− p p(t ) =  0  p0

T1 < t < 0, 2 T1 < pro 0 < t © . Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 2

pro −

Po úpravě a vyčíslení výše uvedených vztahů 4p a0 = an = 0 bn = 0 T1

T1 2

∫ sin(nΩ t )dt 1

0

− 2 p0 [cos(nπ ) − 1] bn = nπ nebo bn =

4 p0 , n = 1, 3, 5, ... nπ

4 p0 bn = T1 ∞

T 2  −1    cos(nΩ1t ) 1 0  nΩ1  Ω1t 1 = 2π

p(t ) = ∑ bn sin(nΩ1t ) n =1

4 p0  1 p(t ) =   sin(nΩ1t ) ∑ π n =1,3,...  n  © Vlastislav © Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

54

© 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Příklad: Určete ustálenou odezvu soustavySalajka na periodické obdélníkové zatížení s ω n = 6Ω1 Řešení: Pro ustálenou odezvu při harmonickém buzení p k u =  0 2  cos(Ωt )  1− r 

Ω

r =

ωn

∞

p(t ) = ∑ Pn sin(nΩ1t ) n =1

Typický člen ustálené odezvy

Pn un = k 1 − r n2

(

rn =

)

u = ∑ U n sin(nΩ1t ) 4 p0

[

nkπ 1 − (nΩ1 ω n )

2

]

Pro liché členy u=

4 p0 kπ

∑

n =1,3,...

 4 p0  Pn =  nπ   0

[

pro n liché pro n sudé

ωn

n =1

kde U n =

=Ω m k

© Vlastislav Salajka 2009 nΩ1 © Vlastislav Salajka 2009

∞

Ustálená odezva

p0 cos(Ωt )

sin(nΩ1t )

n 1 − (nΩ1 ω n )

2

 4 pro n liché Pn  nπ = p0   0 pro n sudé

4   nπ 1 − (n 6 )2 Un = p0 k  © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009  0

]

[

]

pro n liché pro n sudé

55

2. Odezva na periodické buzení. Fourierův rozvoj2009 v komplexních číslech © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Komplexním Fourierův rozvoje zatížení p(t ) =

∞

∑P e

n = −∞

i (nΩ1t )

Pruh nad Pn ukazuje, jsou koeficienty řady mohou být komplexní

n

τ +T1

Platí vztah Potom 1 Pn = T1

τ +T1

 0 pro n ≠ m i (nΩ1t ) − i (mΩ1t ) e e dt =  ∫τ T1 pro n = m

∫τ p(t )e

− i (nΩ1t )

56

dt , n = 0, ±1, P− n

Po vynásobení rovnice

e − i (mΩ 1 t )

1 = P komplexně sdružené k Pn a P0 = T1 * n

τ +T1

∫τ p(t )dt

Ustálená odezva v komplexních číslech k © Salajka12009 © Vlastislav Vlastislav kde H (Ω ) = Salajka 2009 u (t ) = U e iΩ t = H (Ω )p e iΩ t

[1− (Ω ω ) ]+ i (2ζ Ω ω )

0

2

n

n

Periodické buzení popsané komplexní Fourierovou řadou

p(t ) = ∑ Pne i (nΩ1t )

Časová oblast

p(t )

Pn

1k u (t ) 2 1 − (nΩ1 ω© + i (2ζn Ω1 Salajka ωn ) 2009 ©n )Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

Un

Ustálená odezva u (t ) =

∞

∑ Une i (nΩ1t ) kde

n = −∞

a

Hn (Ω ) =

Frekvenční oblast

[

Un = HnPn = Hn Pn e

]

(

i αHn + αPn

)

9

© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Matematické modely spojitých soustav

57

Soustavy s nekonečným počtem stupňů volnosti - kontinuum Popis s použitím rovnic pružnosti – v každém bodě 3 složky posunutí U prostorové poddajného tělesa v prostoru 3x ∞ stupňů volností Sestavení pohybových rovnic (spojitá soustava) – využití 2. Newtonova zákona Podélně namáhaný prut osovými silami p(x,t) Výchozí předpoklady: a) průřezy zůstávají po deformaci rovinné b) materiál je lineárně pružný, Vlastislav Salajka 2009 ©jsou Vlastislav Salajka 2009 ale mohou se měnit při c) materiálové vlastnosti (E, ρ)© konstantní v průřezu, změně souřadnice x du du σ x = Eε x P = Aσ x Platí: ε x = P = AE dx dx Newtonův zákon +

→ ∑ Fx = (∆m )a x

∂ 2u p∆x + P (x + ∆x, t ) − P (x, t ) = ρA∆x 2 ∂t

∂ 2u  P (x + ∆x, t ) − P (x, t )  lim   + p = ρA 2 ∆x →0 ∆x ∂t  

∆x → 0

/ ∆x

Silový diagram

∂  ∂u  ∂ 2u ∂P ∂ 2u  AE  + p = ρA 2 + p = ρA © Vlastislav Salajka 2009 2 © Vlastislav Salajka 2009 ∂x  ∂x  ∂t ∂x ∂t

2009 ©vVlastislav Vlastislav Salajka 2009 Typy okrajových podmínek© místě x =Salajka xe Silová okrajová podmínka – volný nezatížený konec

P (x e , t ) = 0

Kinematická okrajová podmínka – volný nezatížený konec Kinematická okrajová podmínka – neposuvný konec

∂u ∂x

u (x e , t ) = 0

Další možnosti Příklad: Určete okrajové podmínky v místě x = 0 pro případ a) Na volném konci je soustředěná hmotnost m Pohybová rovnice pro připojenou soustředěnou © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajkahmotnost 2009 ∂ 2u P (0, t ) = m 2 ∂t

∂u P (0, t ) = AE ∂x

P = AE

Dále platí

x =0

x =0

Nakonec

∂u AE ∂x

x =0

du dx

∂ 2u =m 2 ∂t

x =0

b) Konec prutu je pružně opřen - lineární pružina s tuhostí k Síla v pružině

P (0, t ) = ku (0, t )

∂u x = 0 = ku (0, t ) ∂x © Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2009 2009

Potom viz

platí

AE

xe

58 =0

© Salajka Příčné kmitání lineárně pružných prutů (Bernoulliho © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 – Eulerova teorie) Bernoulliho–Eulerovy předpoklady:

59

a) osa nosníku je neutrální osou – není roztahována ani stlačována b) příčné průřezy jsou rovinné a kolmé k neutrální ose jak před deformací, tak i po deformaci – tj. vliv smykové deformace je zanedbán c) materiál je lineárně pružný a prut je homogenní v libovolném průřezu d) napětí σy a σz jsou zanedbatelné ve srovnání s napětím σx e) rovina xy je hlavní rovinou

−y Z kinematiky je známo, že deformace εx je závislá na křivosti 1/ρ vztahem ε x = ρ © Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 EI M ( x, t ) = E modul pružnosti, I je moment setrvačnosti průřezu ρ Pohybové rovnice pro část nosníku délky ∆x s použitím Newtonova zákona + ↑ ∑ Fy = (∆m )a y

a

∑M

G

= (∆IG )α

Ve druhé rovnici G označuje těžiště a α je úhlové zrychlení Po zanedbání rotačních setrvačných sil ∑ MG = 0 Po rozepsaní rovnice ∂ 2v S (x, t ) − S (x + ∆x, t ) + p(x, t )∆x ©= Vlastislav A∆x 2 Salajka 2009 ©ρ Vlastislav ∂t Salajka 2009

M(x,t) je ohybový moment, S(x,t) je příčná síla, V(x,t) je příčný posuv, p(x,t) je spojité zatížení na j.d.

© ∂ 2v Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 S (x, t ) − S (x + ∆x, t ) + p(x, t )∆x = ρA∆x 2 rovnice se dělí členem ∆x ∂t ∂S ∂ 2v při ∆x → 0 − + p(x, t ) = ρA 2 ∂x ∂t ∂M Diferenciální podmínka rovnováhy S= ∂x ∂v ∂ 2v V případě malých pootočení lze křivost aproximovat vztahem ∂x ∂x 2

60

Ohybový moment v závislosti na křivosti

∂ 2v M (x, t ) = EI 2 ∂x

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ∂2 ∂x 2

Pohybová rovnice příčného kmitání

 ∂ 2v  ∂ 2v  EI 2  + ρA 2 = p(x, t ) ∂t  ∂x 

Typy okrajových podmínek a) Vetknutí

v (x e , t ) = 0

∂v ∂x

b) Prosté podepření na konci v (x e , t ) = 0

∂ 2v ∂x 2

x = xe

x = xe

=0

c) Nezatížený volný konec

∂ 2v ∂x 2

∂  ∂ 2v   EI 2  = 0 M (x e , t ) = 0 ∂x2009 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009  ∂x 

x = xe

=0

M (x e , t ) = 0

x = xe

=0

S (x e , t ) = 0

© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Příklad: Sestavte pohybovou rovnici prutu zatíženého spojitým zatížením a silou N rovnoběžnou s osou x Osové stlačení prutu je zanedbáno

61

Pohybové rovnice pro část nosníku + ↑ ∑ Fy = (∆m )a y

∑M

G

= (∆IG )α

Dvě podmínky rovnováhy 1. rovnice

∂S ∂ 2v − + p(x, t ) = ρA 2 ∂x ∂t


2. rovnice

M (x + ∆x, t ) − M (x, t ) + N [v (x + ∆x, t ) − v (x, t )] − S (x + ∆x, t )∆x = 0 Dělením ∆x, a pro ∆x → 0 v limitě

∂M ∂v +N −S = 0 ∂x ∂x

∂ 2v Spojením rovnic 1 , 2 a M (x, t ) = EI 2 ∂x 2 2 2 ∂ 2  ∂ 2v  ∂ 2v ∂ 2v ∂ M ∂ v ∂ v  EI 2  + N 2 + ρA 2 = p(x, t ) + N 2 + ρA 2 = p(x, t ) 2  2 ∂x  2009 ∂x  ∂x ∂t © ∂x ∂x ∂t © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009

Hamiltonův princip

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Hamiltonův princip pracuje s kinetickou a potenciální energií (skaláry) Okrajové podmínky jsou zaváděny v procesu sestavování rovnic Základní předpoklad - konfigurace soustavy jsou specifikovány v čase t1 a t2 t2

t2

∫ δ (T − V )dt + ∫ δW

t1

nc

dt = 0

62

Hamiltonův princip

t1

T je úplná kinetická energie soustavy V je potenciální energie soustavy (energie deformace a potenciální energie konzervativních © vnějších sil) © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 dWnc je virtuální práce nekonzervativních sil zahrnující tlumení a vnějších sil nezahrnutých do V

δ( ) je symbol první variace, virtuální změna t1, t2 je čas, ve kterém je konfigurace známa

Sir William Rowan Hamilton (4. srpna, 1805 - 2. září, 1865) byl Irský matematik, fyzik, a astronom

HP lze použít také pro klasická pole (např. elektromagnetické nebo gravitační pole) a byl také rozšířen pro použití v dalších oblastech, např. kvantové mechanice nebo kvantové teorii pole © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

© Salajka 2009 Aplikace Hamiltonova principu – ohýbaný prut se smykovou deformací © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 a rotační setrvačností (Timošenkova teorie) Element prutu se smykovou deformací a deformací od ohybu ∂v β = α − Pro úhel β platí ∂x Z teorie ohýbaného prutu M = EIα ′ Energie deformace od ohybu L

1 smykový koeficient κ Vs = ∫ κGAβ 2 dx 2 0 Salajka © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 obdel. průřez κ = 5/6 L

1 2 Vb = ∫ EI (α ′) dx 20

Kinetická energie prutu L

Energie deformace od smyku

L

1 1 2 2 T = ∫ ρA(v& ) dx + ∫ ρI (α& ) dx 20 20

Virtuální práce - spojité příčné zatížení p(x,t) L

δW nc = ∫ p(x, t )δv (x, t )dx 0

Po dosazení do vztahu popisující Hamiltonův princip t L

[

]

t L

2 12 2 2 2 2 δ ρAv& + ρIα& − EI (α ′) − κGA(α − v ′) dxdt + ∫ ∫ pδvdxdt = 0. ∫ ∫ 2 t1 0 t1 0 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

63

© 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Po integraci per partes (lze vyloučit ()′ a ()⋅Salajka z výrazů δ()) a pro konfiguraci v čase t1 a t2 položíme δv(x,t1) = δv(x,t2) = δa(x,t1) = δa(x,t2) = 0

∫ ∫{

t2 L

t1 0

}

64

t2 L

′ ′ − ρAv&& − [κGA(α − v ′)] + p δvdxdt + ∫ ∫ − ρIα&& + (EIα ′) − κGA(α − v ′) δαdxdt +   t 0 1

t2

t2

+ ∫ [κGA(α − v ′)]δv dt − ∫ [EIα ′]δα L0 dt = 0

δv a δa jsou libovolné

L 0

t1

potom

t1

[κGA(α − v ′)]′ + ρAv&& = p(x, t )

′

κGA(α − v ′) − (EIα ′) + ρIα&& = 0

a

Zobecněné okrajové podmínky © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 (κGAβ )δv = 0 , x = 0 (EIα ′)δα = 0 , x = 0

(EIα ′)δα = 0 , x = L

(κGAβ )δv = 0 , x = L

Okrajové podmínky musí vyhovovat jednak geometrickým podmínkám (v nebo α jsou hodnoty zadané) a také přirozeným okrajovým podmínkám (β = 0 nebo α ′ = 0 ) Prut konstantního průřezu ( Po derivování rovnice

)

 1  (p − ρAv&&)  κGA 

α ′ = v ′′ + 

a po dosazení rovnice

∂ 4v  ∂ 2v  ∂ 4v EI ∂ 2  ∂ 2v  ρI ∂ 2  p − ρA 2  − EI 4 −  p − ρA 2  − ρI 2 2 + 2  κGA ∂x  ∂x dt  ∂x ∂t ∂t  κGA ∂t 2  © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Bernoulli- Eulerova teorie Vliv hm. rotace průřezu

Smyková deformace

 ∂ 2v   p − ρA 2  = 0 ∂t  

Vazba mezi hm. rotací průřezu a smykem

10

© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Volné (vlastní) kmitání spojitých soustav Znalost řešení vlastního kmitání spojitých soustav je důležitá z hlediska srovnání 65 s řešením pomocí konečného počtu stupňů volnosti Při zavedených předpokladech lze považovat řešení na spojitých soustavách (konstrukcích) za přesné řešení. Volné (vlastní) podélné kmitání přímého prutu Pohybová rovnice pro podélně namáhaný prut

∂  ∂u ∂ 2u  + p = ρ A 2  AE ∂x  ∂x ∂t 

Volné kmitání podélné zatížení p = 0

∂©uVlastislav Salajka 2009 Vlastislav Salajka 2009 Rovnice popisuje volné podélné kmitání prutu , kde u ′ = © ∂x u (x, t ) = U (x ) cos(ω t − α ) Předpoklad - kmitání je harmonické

(AEu ′)′ = ρAu&&

(AEU ′)′ + ρAω 2U = 0 Řešení diferenciální rovnice - obyčejná diferenciální rovnice vyhovuje okrajovým podmínkám Existuje řešení pro jisté hodnoty ωr a odpovídající funkci Ur(x) Hodnoty ωr a odpovídající funkce Ur(x) jsou vlastními hodnotami rovnice © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

© Salajka Předpoklad: Průřezové a materiálové charakteristiky prutu jsou konstantami © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 plocha průřezu A = konst, modul pružnosti E = konst. a hustota ρ = konst. d 2U  ρω 2   U = 0 +  2 dx  E 

d 2U + λ2U = 0 , kde 2 dx

nebo

λ = 2

ρω 2 E

U (x ) = A1 cos(λx ) + A2 sin(λx ) Okrajové podmínky a) neposuvný konec prutu u(xe, t)= 0

U=0

∂u

dU

=0 b) volný konec prutu ε x | x = © Vlastislav x = 0 dx 2009 Salajka 2009 ∂x© Vlastislav Salajka e

e

Příklad: Odvoďte výrazy pro vlastní úhlovou frekvenci a pro vlastní tvary podélného vlastního kmitání nosníku konstantního průřezu Levý konec pevně uchycen dU U | x =0 = Okrajové podmínky x =L = 0 dx Pravý konec – průřez je volný

U (x ) = A1 cos(λx ) + A2 sin(λx ) dU = − A1λ sin(λx ) + A2 λ cos(λx ) dx

U | x =0 = A1 = 0 dU dx

x =L

= A2 λ cos(λL ) = 0

© 2009 Netriviální Triviální řešení A1 = A2 = 0 nemá smysl Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 řešení

cos(λL ) = 0

66

1 π 3π  © λLSalajka = ; 2009 ,...,  r − π ,... Charakteristická rovnice má kořeny © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2 2 2 

S přihlédnutím k rovnici Vlastní úhlová frekvence

λ = 2

ρω 2

ωr = λr

Ur (x ) = A2sin(λr x ) = Csin(λr x )

E

E

ρ

(λL )r = L

⋅

E

ρ

67 ωr =

(2r − 1)π 2L

 1  πx  U r (x ) = C sin r −   2 L  

Funkce Ur (x ) je r-tým vlastním tvarem kmitu odpovídající úhlové frekvenci ωr C je libovolný násobitel


Průběhy funkce U1 a U2 zobrazující první dva vlastní tvary kmitu  1 πx  U1 (x ) = C sin  2 L 

 3 πx  U 2 (x ) = C sin  2 L 


E

ρ

© 2009 Volné (vlastní) ohybové kmitání tenkéhoSalajka přímého prutu © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 ∂2 ∂x 2

 ∂ 2v  ∂ 2v  EI 2  + ρA 2 = p ∂t  ∂x 

Volné kmitání - příčné zatížení p = 0

Řešení se hledá ve tvaru harmonické funkce

(EIV ′′)″ − ρAω 2V = 0

(EIv ′′)″ + ρAv&& 68 =0

v (x, t ) = V (x ) cos(ωt − α )

Řešení uvedené rovnice v uzavřeném tvaru není možné pro proměnné koeficienty (A, E a ρ)

Příčné vlastní kmitání prutu konstantního průřezu d 4V − λ 4V = 0 , kde 4 dx

λ = 4

ρAω 2 EI

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Diferenciální rovnice čtvrtého řádu, má obecné řešení V (x ) = A1e λx + A2 e − λx + A3 e iλx + A4 e − iλx

nebo

V (x ) = B1e λx + B 2 e − λx + B3 sin(λx ) + B 4 cos(λx )

nebo

V (x ) = C1 sinh(λx ) + C 2 cosh(λx ) + C 3 sin(λx ) + C 4 cos(λx )

Uvedené rovnice obsahují čtyři integrační konstanty a vlastní číslo λ Integrační konstanty lze určit z okrajových podmínek a) vetknutí

v(xe, t)= 0

∂v ϕ z | xe = V=0 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ∂x

xe

=0

dV =0 dx

b) prosté podepření na konci prutu

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ∂ 2v v(xe, t) = 0 M |x = 2 V=0 e

∂x

xe

d 2V =0 dx 2 69

=0

c) na volný nezatížený konec ∂ 2v M |xe = 2 ∂x

xe

d 2V =0 dx 2

=0

∂  ∂ 2v   EI  x =x = 0 S= ∂x  ∂x 2  e

d 3V =0 dx 3

Příklad: Odvoďte výrazy pro vlastní úhlovou frekvenci a pro vlastní tvary příčného vlastního kmitání prostého nosníku konstantního průřezu V (x ) = C1 sinh(λx ) + C 2 cosh(λx ) + C 3 sin(λx ) + C 4 cos(λx )

d 2V dx 2

V(x=0) = 0 ,

x =0

2 d V =0 , © a V(x=L) = 0 =0 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 2 x =L dx

d 2V 2 [C1 sinh(λx ) + C2 cosh(λx ) − C3 sin(λx ) − C 4 cos(λx )] = λ 2 dx

C 2 + C 4 = 0 , λ2 (C 2 − C 4 ) = 0

OP - levý konec (x = 0)

C2 = C4 = 0

2 OP - pravý konec (x = L) ☻ C1 sinh(λL ) + C 3 sin(λL ) = 0, ☻ λ [C1 sinh(λL ) − C 3 sin(λL )] = 0

sinh(λL )

sin(λL )

λ sinh(λL ) − λ sin(λL ) 2

2

=0

− 2λ2 sinh(λL ) sin(λL ) = 0 , λ ≠ 0

sinh(λL ) sin(λL ) = 0

= řešení z rovnice sinh(λL ) = 0 pouze, když (λL) © Vlastislav Salajka ©0 VlastislavNetriviální Salajka 2009 2009

sin(λL ) = 0

sin(λL ) = 0

Vlastislav ©rovnice Vlastislav Salajka 2009 charakteristická© proSalajka určení 2009 λr

70

Po dosazení rovnice do ☻ nebo ☻ je zřejmé, že C1 = 0 Tedy C1 = C2 = C4 = 0 - nenulová konstanta C3 je C V (x ) = C sin(λx )

Potom

Rovnice platí pro různá vlastní čísla λr

λ1L = π , λ2 L = 2π , ..., λr L = rπ

λ = 4

ρAω 2

První tři vlastní tvary kmitu

EI r=1

Potom © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 V1 (x ) = C sin(πx )

EI  rπ  EI =  ω =λ ρA  L  ρA 4

2 r

4 r

r=2 Nakonec Úhlová frekvence

 rπ  ωr =   L 

Vlastní tvar kmitu

 rπ  Vr (x ) = C sin(λ r x ) = C sin x   L 

C je libovolný násobitel

2

EI ρA

V2 (x ) = C sin(2πx )

V3 (x ) = C sin(3πx ) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

r=3

© Salajka 2009 Příklad: Odvoďte výrazy pro vlastní úhlovou frekvenci a pro vlastní tvary příčného © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 vlastního kmitání konzoly konstantního průřezu V (x ) = C1 sinh(λx ) + C 2 cosh(λx ) + C 3 sin(λx ) + C 4 cos(λx ) dV d 2V d 3V a =0 V(x=0) = 0 , x =0 = 0 , x =L = 0 3 x =L dx dx 2 dx dV = λ [C1 cosh(λx ) + C 2 sinh(λx ) + C 3 cos(λx ) − C 4 sin(λx )] dx d 2V = λ2 [C1 sinh(λx ) + C 2 cosh(λx ) − C 3 sin(λx ) − C 4 cos(λx )] 2 dx

v (x, t)

71

a

d 3V ©) −Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 = λ3 [C1 cosh(λx ) + C 2 sinh(λx© C 3 cos(λxSalajka ) + C 4 sin2009 (λx )] 3 dx

. .

0

1

0

λ

0

λ

λ sinh(λL ) λ cosh(λL ) − λ sin(λL ) λ3cosh(λL ) λ3 sinh(λL ) − λ3cos(λL ) 2

2

2

C1  0 C    0  2  0  =  − λ2cos(λL ) C3  0 λ3 sin(λL ) C4  0 1

Charakteristická rovnice

cosh(λL ) cos(λL ) + 1 = 0

2 První tři vlastní úhlové frekvence λ1L = 1,8751, ( λr L ) EI λ 2L = 4,6941, ωr = 2 L ρA 3,516 EI 22,03 EI 61,70 EI ω1 = 2 λ 3L = 7,8549, , ω3 = 2 , ω2 = 2 ρA 2009 L ρA L ρA © © Vlastislav VlastislavLSalajka Salajka 2009 λ 4L = 10,996 atd.

Výpočet konstant Z prvních dvou rovnic Třetí rovnice má tvar Spojením rovnic

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 C4 = - C2 a C3 = - C1 C1 sinh(λr L ) + C2 cosh(λr L ) − C3 sin(λr L ) − C4 cos(λr L ) = 0

72

C1 sinh(λr L ) + C 2 cosh(λr L ) + C1 sin(λr L ) + C2 cos(λr L ) = 0 Potom

 cosh(λr L ) + cos(λr L )  C1 = −C 2   = −k r C 2  sinh(λr L ) + sin(λr L ) 

Funkce popisující tvar r-tého kmitu © Vlastislav Salajka 2009 )] −Vlastislav Vr (x ) = C[cosh(λr x ) − cos(λr x© k r [sinh(λrSalajka x ) − sin(2009 λr x )] kde

 cosh(λr L ) + cos(λr L ) kr =    sinh(λr L ) + sin(λr L ) 

ω1 =

3,516 L2

EI ρA

První vlastní tvar kmitu V1 (x ) = Cf1 (x )

ω2 =

22,03 L2

EI ρA

Druhý vlastní tvar kmitu © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 V2 (x ) = CfSalajka 2 (x )

ω3 =

61,70 L2

EI ρA

Třetí vlastní tvar kmitu V3 (x ) = Cf3 (x )

Vlastislav © Vlastislav Salajka 2009 2009 Některé vlastnosti vlastních © tvarů kmituSalajka

73 Spojitá soustava má nekonečně mnoho vlastních dvojic Vlastní dvojice - vlastní úhlová frekvence ωr (resp. frekvence fr) a vlastní tvar kmitu Vr A Spektrum vlastních úhlových frekvencí (frekvencí) Z praktického hlediska je nutno mít množinu frekvencí uspořádanou vzestupně

ω1 ≤ ω 2 ≤ ... ≤ ω r ≤ ...ω ∞

popřípadě

Frekvence odpovídají vlastním tvarům kmitu

f1 ≤ f2 ≤ ... ≤ fr ≤ ...f∞ V1, V2 , ..., Vr , ..., V∞

Poznámky:

Vlastislav Salajka ©tvary Vlastislav Salajka 2009 Oblasti zájmu frekvence a vlastní© kmitu do 500 Hz2009 Jsou-li hodnoty frekvencí od sebe významně vzdáleny potom spektrum je řídké Husté spektrum - hodnoty dvou následujících frekvencí se liší méně než o 10 % Skupiny blízkých frekvencí se nazývají shluky (clustery) frekvencí – frekvence mohou mít stejnou nebo blízkou hodnotu B Normování vlastních tvarů kmitu Způsob úpravy amplitudy tvaru kmitu se nazývá normováním a takto upravené tvary se nazývají normované vlastní tvary kmitu

Vr (x ) = Cr φr (x ) , kde Cr je násobitel nesoucí rozměr a φr (x ) je bezrozměrná funkce

Způsob úpravy měřítka funkce© VrVlastislav se nazýváSalajka normování 2009 © Vlastislav Salajka 2009

Základní typy normování: © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ( ) φ x = 1 1. V určitém místě funkce r s 74 2. Tam, kde funkce φr dosahuje absolutní maximum φr (x ) = 1 L 3. Normování vzhledem k hmotnosti, tak že modální hmotnost M r = ∫ ρAφr2dx 0 má určitou velikost – nejvýhodnější případ Mr = 1. Způsob úpravy amplitudy tvaru kmitu se nazývá normováním a takto upravené tvary se nazývají normované vlastní tvary kmitu Příklad: Tenký ohýbaný prut - modální tuhost pro r-tý vlastní tvar kmitu L

2 K r = ∫ EI (φr′′) dx

″

0

Rovnice popisující vlastní kmitání tenkého prutu (EIφr′′) − ρ Aω r2φr = 0 © Salajka © Vlastislav Vlastislavohýbaného Salajka 2009 2009 Po vynásobení rovnice násobitelem φr a integrací v oblasti od 0 do L L

L

0

0

″ 2 2 ′ ′ ( ) EI φ φ dx − ω ρ A φ dx = 0 r r r r ∫ ∫

(EIφr′′)′φr

L 0

L

− (EIφr′′)φ ′ + ∫ EI (φr′′) dx − ω 2

L r 0

0

L

2 r

2 ρ A φ dx = 0 r ∫

#

0

Okrajové podmínky (EIφ ′′)′δφ = 0, x = 0 (EIφ ′′) δφ ′ = 0, x = 0

(EIφ ′′) δφ ′ = 0,

x =L

(EIφ ′′)′ δφ = 0,

x =L

S přihlédnutím k okrajovým podmínkám - první dva členy v rovnici # jsou rovny nule L

L

2 ′ ′ ( ) EI φ dx − ω ρ A φ r dx = 0 ∫ r ∫ 2

0

2 r

0

© (, ) Salajka ωr2 = © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009

Kr Mr

Analogie se soustavou s 1SV

C Ortogonalita vlastních tvarů© Vlastislav ©kmitu Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Ortogonalita vlastních tvarů kmitu je nejdůležitější vlastností vlastních tvarů (EIφr′′)″ − ρAωr2φr = 0 x φs (φs ≠ φr ) a integrace v oblasti od 0 do L L

75

L

∫ EIφ ′′φ ′′dx − ω ∫ ρAφ φ dx = 0 2 r

r s

0

r s

▲

0

(EIφs′′)″ − ρAωs2φs = 0 L

x

φr

(φr

≠ φs )

a integrace v oblasti od 0 do L

L

∫ EIφ ′′φ ′′dx − ω ∫ ρAφ φ dx = 0 2 s

s r

0

s r

▼

0

Po odečtení rovnice ▼ od rovnice ▲ © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 L 2 2 (ωr − ωs )∫ ρAφr φsdx = 0 . 0

Úhlové frekvence jsou různé - potom pro dva vlastní tvary musí platit L

∫ ρAφ φ dx = 0, r s

♪

ω r ≠ ωs

tvary jsou ortogonální vzhledem k hmotnosti

0

Rovnice vyjadřuje „ortogonalitu“ vlastních tvarů Po dosazení ♪ do ▲ nebo ▼ L

∫ EIφ ′′φ ′′dx = 0 r s

0

tvary jsou také ortogonální vzhledem k tuhosti L

2 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 ρ A φ dx = 1 Tvary, kdy Mr = 1 (normování na © hmotnost) MSalajka = r ∫ r 0

Normované tvary se nazývají ortonormální

D Teorém o rozkladu © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Libovolnou funkci V(x), která vyhovuje stejným okrajovým podmínkám jako množina ortonormálních tvarů φr (r = 1, 2, …) a za podmínky, že d 2 dx 2 EI d 2v dx 2 je 76 spojitou funkcí, lze vyjádřit pomocí absolutně monotónně konvergentní řady

(

)

L

∞

V (x ) = ∑ c r φr (x ) , kde r =1

∫ ρAVφ dx r

cr =

0 L

2 ρ A φ dx r ∫

E Rayleighův podíl (kvocient)

L

s uvážením normování c r = ∫ ρAVφr dx 0

0

Nechť funkce V(x) vyhovuje okrajovým podmínkám a požadovaným spojitostem, potom L 2 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 1842 - 1919 ′ ′ ( ) EI V dx ∫ k John William Strutt R (V ) = = 0L R (V ) = ωr2 , (Lord Rayleigh) m 2 ∫ ρAV dx když V = cr φr (x ) 0

Po dosazení

do

Nobelova cena za fyziku 1904

c12ω12 + c 22ω22 + c32ω32 + ... R (V ) = c12 + c 22 + c32 + ...

1 + (c 2 c1 )2 (ω2 ω1 )2 + (c 3 c1 )2 (ω3 ω1 )2 + ...  R (V ) = ω   2 2 1 + (c 2 c1 ) + (c3 c1 ) + ...   2 1

Čitatel je větší nebo roven jmenovateli (ωr+1/ωr) R (V ) ≥ ω12

© Salajka Rayleighův podíl (kvocient) slouží k odhadu úhlové frekvence © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009

Vlastní kmitání tenkých desek© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Desky jsou tělesa, kdy pro popis vystačíme s funkcí v závislosti na dvou souřadnicích 77 – 2D úloha Pohybová rovnice volného kmitání tenké desky - Kirchhoffova teorie desek && = 0 D∇ 4w + ρhw

Eh 3 D= 12 1 − ν 2

(

h w(x, y, t) ∇4 ( ) = (

)xxxx

)

- ohybová tuhost desky

- tloušťka desky - průhyb (příčné posunutí střednice) + 2( )xxyy + ( )yyyy - biharmonický operátor © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Obdélníková deska Lze zapsat zobecněné okrajové podmínky pro okraj y = konst [wyy + ν wxx]δw = 0 a

[wyyy + (2 - ν)wxxy]δw = 0

Analogicky podmínky pro okraj x = konst (záměna indexů x a y) [wxx + ν wyy]δw = 0 a [wxxx + (2 - ν)wxyy]δw = 0 Prostě podepřená obdélníková deska okrajové podmínky w(0, y) = w(a, y) = w(x, 0) = w(x, b) = 0, 2009 ©=Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 w (0, y) = w (a, y) = w (x, 0)© w (x, b) =Salajka 0 xx

xx

yy

yy

Předpokládá se, že při volném kmitání desky koná deska © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 harmonický pohyb

w (x, y , t ) = W (x, y )cos(ωt − α )

&& = 0 D∇ 4w + ρhw

78

Rovnice pro výpočet vlastních hodnot ω 2 ρh 4 4 4 λ = ∇ W −λ W =0 D Funkce vyhovující okrajovým podmínkám  mπx   nπy  W(m,n ) (x, y ) = C sin  sin   a   b 

ω(m,n )

 mπ   nπ  =  +  a b     2

λ2(m,n )

2

2 2 4    π 4D  2 a π D b     2 2 2 Salajka = ω(m,n ) = 2009 m + n    © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 4 m   + n  nebo ρ hb   a  ρha 4  b   .  

ω1 = ω1,1 ω2 = ω2,1 ω 3 = ω1, 2 ω 4 = ω2,2

Parametry (m, n) popisují tvar kmitu Prostě podepřená čtvercová deska a = b

Objevuje se (dvou) násobnost vlastních hodnot ω(m,n ) = ω(n,m ) např. ω1,2 = ω 2,1 = ω1 = ω 2 Vlastním číslům λ(m,n) = λ(n,m) odpovídají vzájemně různé vlastní tvary W(m,n) a W(n,m) Potom libovolná lineární kombinace W(m,n) + cW(n,m) vyhovuje rovnici ∇ 4W − λ4W = 0 Dva různé tvary definují dvourozměrný podprostor © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 vlastních tvarů W = A(m,n )W(m,n ) + A(n,m )W(n,m )

Modely soustav s konečným© počtem stupňů volnosti Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009

Propiler

Podélné kmitání prutu

11 79

300 k SV Model s ∞ množstvím stupňů volnosti Řešení lze nalézt ve speciálních případech (pruty, deska) ui(x, t)

100 k SV Model s konečným počtem stupňů volnosti (216 SV)

u1(x, t)

Model s jedním stupněm volnosti Řešení nepřesně vystihuje chování © složité soustavy © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Modely se soustředěnou hmotou Tří rotující disky Tří podlažní objekt

Přivaděč VE Matka, Makedonie

1,3 M SV 3 SV hmotné Kontejment JE Temelín

Posuvy, rotace jsou nezávislé parametry

3 SV - hmotné


Příklad: Sestavte pohybové rovnice netlumené soustavy © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 se třemi stupni volnosti Pro řešení použijte 2. Newtonův zákon Řešení: + ∑ F1 = m1u&&1 = P1 + f2 − f1

80

→

+ ∑ F2 = m2u&&2 = P2 + f3 − f2

→

+ ∑ F3 = m3u&&3 = P3 − f3

→

Silové diagramy

f1 = k1e1 = k1u1

f2 = k 2e2 = k 2 (u2 − u1 )

f3 = k 3e3 = k 3 (u3 − u2 )

Soustava rovnic je zapsána v absolutních přemístěních © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 u1, u2, u3

&& + ku = p(t ) mu

,

Pohybové rovnice netlumené soustavy m1u&&1 + (k1 + k 2 )u1 − k 2u2 = P1(t ) m2u&&2 − k 2u1 + (k 2 + k 3 )u2 − k 3u3 = P2 (t ) m3u&&3 − k 3u2 + k 3u3 = P3 (t )

Rovnice se dají zapsat v maticovém tvaru m1 0  0 m. 2   0 0

0  u&&1  (k1 + k 2 )   0  u&&2  +  − k 2 m3  u&&3   0

Soustava simultánních rovnic nenulové prvky matice tuhosti . .

0  u1  P1(t ) (k2 + k3 ) − k3  u2  = P2 (t ) © Vlastislav Salajka © Salajka 2009  P2009  − kVlastislav k u 3 3  3   3 (t ) − k2

m je matice hmotností k je matice tuhostí u je vektor přemístění p(t) je vektor zatížení Soustava rovnic je zapsána v absolutních přemístěních u1, u2, u3

V případě rotačního pohybu m hmotné momenty setrvačnosti k torzní tuhosti u pootočení p(t) kroutící momenty

Příklad: Sestavte pohybové rovnice – © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 řešení vyjádřete v posunutích relativně vůči pohybu základu K odvození použijte 2. Newtonův zákon

81

Řešení:

Relativní posunutí w1 = u1 – z w2 = u2 – z

Silové diagramy

&&1 + z&&) + ∑ F1 = m1u&&1 = −f1 − f2 + f3 + f4 = m1(w

→

&&2 + z&&) + ∑ F2 = m2u&&2 = −f3 − f4 = m2 (w

→

Síly v pružinách a tlumící síly Vlastislav Salajka 2009 (©u&2Vlastislav f4 = c 2 © − u&1 ) = c2 (Salajka w& 2 − w& 1 )2009 f1 = k1(u1 − z ) = k1w1 f3 = k 2 (u2 − u1 ) = k 2 (w 2 − w 1 ) f2 = c1(u&1 − z& ) = c1w& 1 Pohybové rovnice tlumené soustavy v relativních posunutích &&1 + c1w& 1 + k1w1 − c2 (w& 2 − w& 1 ) − k 2 (w 2 − w1 ) = −m1z&& m1w Soustava rovnic je závislá – nenulové &&2 + c2 (w& 2 − w& 1 ) + k 2 (w 2 − w1 ) = −m2 z&& m2w

mimodiagonální prvky matice tuhosti a útlumu

Maticový zápis &&1  (c1 + c 2 ) − c2  w& 1  (k1 + k 2 ) − k 2  w1   − m1z&& m1 0  w +   & +   =   0 m  w   & & & & − c c w − k k w − m z 2  2  2 2  2  2 2  2  2      Obecný zápis

© Vlastislav Salajka 2009 2009 && + cw &© mw + Vlastislav kw = p eff Salajka

Příklad: Model popisuje budovu© vlivem Salajka seizmického Vlastislav 2009 ©pod Vlastislav Salajka 2009 zatížení Proveďte odvození pohybových rovnic při využití Newtonova zákona Předpoklady: Úhel θ je malý, hmotnost základu m je soustředěna do těžiště Rovnice + ∑ Fx = mu&& = −2f1 − 2f2 + f3 Řešení: 1 odpovídá u →

82

2

+ ∑ Fx = Mx&&G = −f3

→

2

+ ↑ ∑ Fy = My&&G = f4 − Mg

∑M

G

= IGθ&& = −M1 + f4a sinθ + f3a cosθ

Relativní síly

f1 =

k (u − z ) 2

Rovnice odpovídá θ

c (u& − z& ) M1 = Kθ Silové diagramy 2 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

f2 =

Vzájemná vazba mezi xG, yG a u, θ je dána kinematickými vztahy Pro malý úhel θ. platí sinθ ≅ θ

1

cosθ ≅ 1 potom

xG = f(u, θ)

xG = u + a sinθ ≅. u + aθ

yG = f(u, θ)

y G = a cos θ ≅ a

Soustava rovnic je závislá – nenulové prvky matice hmotnosti

Pohybové rovnice v maticovém zápisu (M + m )  Ma 

Ma  u&& c 0 u&  k  +  + IG + Ma 2  θ&& 0 0 θ& 0

(

)

0  u  cz& + kz  = (K − Mga) θ   0 

© Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 && + cu& + ku =© mu p eff

Rovnice odpovídá u Rovnice odpovídá θ

Lagrangeovy rovnice druhého © Vlastislav ©druhu Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Použití Newtonova zákona není vždy výhodné pro odvození pohybových rovnic, 83 protože je třeba separovat každou část, a interaktivní síly je nutno eliminovat s cílem získat hledané rovnice Jednodušší odvození pohybových rovnic je možné aplikací Lagrangeových rovnic využívajících k popisu skalárních veličin (práce a energie) místo vektorových (síly a přemístění)

Lagrangeovy rovnice se vyjadřují pomocí zobecněných souřadnic Jedná se o množinu N nezávislých hodnot qi , i = 1, N dostatečných pro určení polohy každého bodu soustavy (v předešlém příkladě to byly u, θ, tj. q1, q2). Lagrangeovy rovnice budou odvozeny z Hamiltonova principu t2

t2

t1

t1

δ ∫ (T − V )dt + ∫ δWnc dt = 0


Kinetická energie T je funkcí qi a , q& i T = T (q1, q2 ,..., qN , q&1, q& 2 ,..., q& N , t )

Potenciální energie V je funkcí qi V = V(q1, q2,…, qN, t) Virtuální práce nekonzervativních sil δWnc = Q1δq1 + Q2δq2 + ... + QN δqN ,

Joseph-Louis Lagrange, comte de l'Empire (25. ledna 1736 – 10. dubna 1813; narozen v Turíně, pokřtěn jako Giuseppe Lodovico Lagrangia) italsko-francouzský matematik a astronom Významně rozvinul matematickou analýzu, teorii čísel, klasickou a nebeskou mechaniku. Je zakladatelem oblasti matematiky nazývané variační počet Byl jedním z největších matematiků 18. století

kde Q1, Q2, …, QN jsou zobecněné síly © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Q s takovým rozměrem, aby součin© mělSalajka rozměr2009 práce i δq i

Příklad: Najděte výraz pro kinetickou energiiSalajka pomocí2009 členů q1 a q2 © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Hmotnost m se posouvá po nehmotné tyči Řešení: 1 Kinetická energie systému T = m (y& 2 + z& 2 ) 2

Z kinematiky lze odvodit

y = q1 cosq2

Derivací kinematických vztahů y& = q&1 cos q2 − q1q& 2 sin q2

z = q1 sinq2

z& = q&1 sin q2 + q1q& 2 cos q2

Po dosazení do T získáme T =

(

1 &2 m q1 + q12q& 22 2

)


. Příklad: Určete výraz pro potenciální energii částice tíhy W a virtuální práci síly P

Řešení: Nechť potenciální energie je rovna nule v poloze θ = π 2 , potom

δs = Lδθ

V = −Wy = −WL cos θ - dráha, po které se přemístí síla P

Virtuální práce síly P

δW p = Pδs = (PL )δθ

Zobecněná síla Qθ = PL © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

84

© 2009 Dosadíme do výrazu pro Hamiltonův principSalajka výrazy pro energie a virtuální prácí nek. sil © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

85

 ∂T ∂T ∂T ∂T & ∂T & ∂T &  δ δ δ δ δ δqN − q + q + ... + q + q + q + ... + 1 2 N ∫t  ∂q1 1 ∂q2 2 & & & ∂ q ∂ q ∂ q ∂ q 1 2 N N 1

t2

−

 ∂V ∂V ∂V δq1 − δq2 − ... − δqN + Q1δq1 + Q2δq2 + ... + QNδqN dt = 0 ∂q1 ∂q2 ∂qN 

Členy obsahující δq& i integrujeme per partes

t2

2  ∂T  ∂T & d  ∂T δ q dt = δ q − ∫t ∂q&i i  ∂q& i i  t∫ dt  ∂q& i t1 1 1

t2

Člen ve hranatých závorkách je roven nule, protože

t

 δqi dt 

δqi (t1 ) = δqi (t 2 ) = 0

Výchozí podmínka Hamiltonova principu © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 t  ∂T ∂T ∂T d ∂T d ∂T d ∂T  δ δ δ δ δ δqN − q + q + ... + q + q + q + ... + 1 2 N 1 2 ∫t  ∂q1 & & & dt ∂q1 dt ∂q2 dt ∂qN ∂q2 ∂qN 2

1

−

 ∂V ∂V ∂V δq1 − δq2 − ... − δqN + Q1δq1 + Q2δq2 + ... + QN δqN dt = 0 ∂q1 ∂q2 ∂qN 

Po dosazení d  ∂T  dt  ∂q& i

do

(

a za předpokladu, že variace je δqi i = 1, N

 ∂T ∂V Lagrangeovy rovnice  − + = Qi , i = 1, N  ∂qi ∂qi © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

)

nenulová

Příklad: Model popisuje pohyb © budovy při buzení seismickým zatížením Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 Úhel θ je malý a hmotnost základu m je soustředěna do těžiště

Sestavte pohybové rovnice s využití Lagrangeho rovnic

86

Řešení: 2SV s nezávislými zobecněnými souřadnicemi q1 → u a q2 → θ Výrazy pro T, V a δWnc T =

(

)

1 1 1 mu& 2 + M x&G2 + y& G2 + IGθ& 2 2 2 2

Z kinematiky

xG = u + a sinθ a

y G = a cos θ

1

Pro malé hodnoty úhlu θ, sinθ ≅ θ a cos θ ≅ 1 − θ 2 2009 © Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2009 Potom x&G = u& + aθ& a y& G ≅ 0 (θθ& nelineární člen a byl zanedbán) 2

Po dosazení do výrazu pro kinetickou energii T =

(

)

2 1 1 1 mu& 2 + M u& + aθ& + IGθ& 2 2 2 2

Potenciální energie deformace v pružině a gravitační potenciální energie 1 k  1 2 V = 2  (u − z )  + Kθ 2 + Mga cos θ 2  2   2

Pro malé hodnoty úhlu θ

Nekonzervativní (tlumicí) síly

1 & &  1 k  1  1 2 2 = − 2 δ W c (u − z )δu © Vlastislav Salajka 2009 1 V = 2  (u − z )  + Kθ 2 + Mga − θ   Salajka 2009 nc © Vlastislav  2    2  2  2   2

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009   ∂T ∂V d ∂T Aplikace Lagrangeových rovnic   − + = Qi , i = 1, 2 dt  ∂q& i 

(

∂T = mu& + M u& + aθ& ∂u&

)

a

(

∂qi

∂qi

)

∂T = Ma u& + aθ& + IGθ& & ∂θ

∂T ∂T = =0 ∂u ∂θ ∂V = k (u − z ) ∂u

∂V = Kθ − Mga θ ∂θ

a

Qu = −c (u& − z& )

Qθ = 0

a

T =

(


Pohybové rovnice se shodují s řešením při použití Newtonova zákona  u&& c 0 u&  k  +  + IG + Ma 2  θ&& 0 0 θ&  0

(

)

 u  cz& + kz  = (K − Mga ) θ   0  0


1 2

 

δWnc = −2 c (u& − z& )δu

)

Ma

)

1 k  1  1  2 V = 2  (u − z )  + Kθ 2 + Mga1 − θ 2   2  2  2   2

Mau&& + Ma 2 + IG θ&& + (K − Mga )θ = 0

(M + m )  Ma 

87

2 1 1 1 mu& 2 + M u& + aθ& + IGθ& 2 2 2 2

(M + m )u&& + Maθ&& + k (u − z ) = −c (u& − z& )

(

q1 ← u q2 ← θ

Příklad: Odvoďte pohybové rovnice pro případ pohybující © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 se hmoty m po tenké tyči o délce L a hmotnosti M Pro odvození použijte Lagrangeovy rovnice. Řešení: Výrazy pro T a V T =

(

1  1 2  &2 1 2 2 2  ML θ + m u& + u θ& 23 2 

)

a

 L  V = − Mg   + mgu  cos θ  2 

Aplikace Lagrangeových rovnic ∂T 1 2 & ∂T 2 & = ML θ + mu θ = mu& ∂θ& 3 ∂u& ∂T = muθ& 2 ∂u

∂T =©0Vlastislav Salajka 2009 ∂θ © Vlastislav Salajka 2009

 ∂V   L  = Mg   + mgu  sinθ ∂θ   2  

∂V = −mg cos θ ∂u

d  ∂T  ∂T ∂V + = Qu  − dt  ∂u&  ∂u ∂u d  ∂T  ∂T ∂V + = Qθ  − dt  ∂θ&  ∂θ ∂θ

Qu = Qθ = 0

d  ∂T    = mu&& Dále & dt  ∂u 

a

88

d  ∂T  1 2 && 2  &  = ML θ + 2muu&θ& + mu θ&& dt  ∂θ  3 mu&& − muθ& 2 − mg cos θ = 0

 L  1 2 2 + mgu θ = 0 2009  ML + mu θ&& + 2muu&θ& + Mg©    sin Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2009 3 2      

Soustava rovnic je silně nelineární

Použití Lagrangeových rovnic© spojitýchSalajka modelů 2009 ©uVlastislav Vlastislav Salajka 2009 Metoda přípustných funkcí Posunutí průřezu lze vyjádřit (aproximovat) pomocí funkce u (x, t ) = ψ (x ) u (t ) V tomto případě získáme jednostupňovou soustavu

89

Při vytváření spojitého modelu s N stupni volnosti pracujeme s N nezávislými funkcemi N

Potom u (x, t ) = ∑ψ i (x ) u i (t ) i =1

Funkce ψ i (x ) musí mít derivace do řádu derivací, které se objevují ve výrazu pro potenciální energii deformace a vyhovovat kinematickým okrajovým podmínkám tj. musí patřit do třídy přípustných funkcí © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Požadavky obdobné jako v metodě konečných prvků (MKP) Například pro příčné kmitání konzoly

v (0, t ) = v ′(0, t ) = v (L, t ) = 0

ψ i (0 ) = ψ i′(0 ) = ψ i (L ) = 0

Přirozené okrajové podmínky (např. M(L, t) jsou splněny automaticky Okrajové podmínky musí být splněny pro všechna t Výraz pro energii deformace ohýbaného Bernoulliho-Eulerova prutu obsahuje v ′′(x, t ) Tedy každá funkce ψ i (x ) musí být spojitou funkcí v x, a první derivace těchto funkcí podle x musí být spojitými funkcemi – nosník nemá nespojitost v průhybu © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 a pootočení průřezu

Příklad: Využití metody přípustných funkcí vSalajka případě podélného kmitání prutu © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Řešení: Energie deformace prutu

Kinetická energie prutu

L

90

L

1 2 V = ∫ EA(u ′) dx 20

1 2 T = ∫ ρA(u& ) dx 20

E - modul pružnosti, A - plocha průřezu, ρ - hustota materiálu N

Po dosazení u (x, t ) = ∑ψ i (x ) u i (t ) do výrazu pro energii deformace i =1

1 N ♠ V = ∑ 2 i =1

N

∑k u u j =1

ij

i

L

j

k ij = ∫ EAψ i′ψ ′j dx

, kde

♠

0

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 V je kvadratická funkce zobecněných souřadnic s koeficienty kij  k11 k12 u 1  k u  k 22 1 T   k =  21 Maticový zápis rovnice ♠ V = u ku u =  2 ,  2  ...   u 3  k N 1 k N 2 u vektor hledaných parametrů, k matice tuhostí Obdobně pro kinetickou energii

1 N ♣ T = ∑ 2 i =0

N

∑ m u& u& j =0

ij

i

L

j

, kde

♣ mij = ∫ ρAψ iψ j dx © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 0

... k1N  ... k 2N   ...  ... k NN 

© u& 1  © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 u&  1   T Maticový zápis rovnice ♣ T = u& mu& u& =  2  2  ...  u& vektor rychlostí parametrů, u& 3  m (konzistentní) matice hmotností

 m11 m12 m m22 m =  21   mN 1 mN 2

... m1N  ... m2N  91  ...  ... mNN 

Virtuální práce spojitého zatížení působícího na prut L

N

δw = ∫ p(x, t )δu (x, t )dx = ∑ p i δ u i

Poznámka: V případě, že členy Matice hmotnosti jsou určeny i =1 0 podle vztahu ♣ , potom se tato N matice nazývá konzistentní matice δu x, t = ψ i δ u i Z výchozí rovnice hmotnosti i =1 L © - je sestavena na stejných funkcích © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ♥ p i (t ) = p(x, t )ψ i (x )dx jako matice tuhosti

( ) ∑

∫ 0

S využitím Lagrangeho rovnic získáme N pohybových rovnic N

N

∑ m u&& + ∑ k u j =1

ij

j

j =1

ij

j

= pi

V maticovém tvaru

&& + ku = p mu

♦

i = 1, 2, …, N Postup pro získání pohybových rovnic 1. výběr množiny N přípustných funkcí ψi(x) 2. výpočet koeficientů matice tuhosti (rov. ♠) 3. výpočet koeficientů matice hmotnosti (rov. ♣) 4. výpočet zobecněných sil (rov. ♥) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 5. sestavení výsledných rovnic (rov. ♦)

Příklad: Použijte metodu přípustných funkcí pro aproximaci © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 funkce posunutí u(x,t), s cílem získat dvoustupňový model podélného kmitání konzoly zatížené silou P(t) (Aproximujte pomocí polynomů) Řešení: 1. výběr funkcí ψ i (x ) - funkce musí vyhovovat okrajové podmínce u (0, t ) = 0 ψ 1(0) = ψ 2 (0) = 0 2 x x a ψ 2 (x ) =   Nechť ψ 1 (x ) = L L 2. výpočet koeficientů kij 1  2  x  ′ ψ = ′ ψ = a    - je třeba určit derivace tvarových funkcí 1 L 2  L  L  L © Salajka EA , EA EA © Vlastislav Vlastislav Salajka42009 2009 2 k11 = ∫ EA(ψ 1′ ) dx = k12 = k 21 = a k 22 = L

0

L

. 3. výpočet koeficientů m ij L

m11 = ∫ ρA(ψ 1 ) dx = 2

0

ρAL

m12 = m21 =

3

4. výpočet zobecněných sil p i

δu (L, t ) = ψ 1(L )δ u 1 + ψ 2 (L )δ u 2

5. výsledná soustava rovnic v maticovém zápisu

ψ 1 (x ) =

x L

x L

ψ 2 (x ) =  

2

3 L

m22 =

ρAL

a 5 4 - virtuální práce zatížení

δW = P (t )δu (L, t ) = p1δ u 1 + p 2δ u 2 .

ρAL

92

p1 = P (t )ψ 1 (L ) = P (t ) 123 1

a

p 2 = P (t )ψ 2 (L ) = P (t ) 123 1

1 3 1 4 u&&1  EA 1 1  u 1  P (t ) ρAL  Salajka  &&2009 +  =  ©    © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 u u ( ) 1 4 1 5 L 1 4 3 P t   2    2   

Stejným postupem lze získat pohybové rovnice i jiných pružných soustav © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Například pro tenký ohýbaný prut (Bernoulliho-Eulerův prut) L

1 2 ′ ′ EI ( v ) dx ∫ 20

Energie deformace prutu

V=

Kinetická energie

1 2 T = ∫ ρA(v& ) dx 20

kde v je funkce příčného posunutí

L

Z rovnic ♠ a ♣ lze získat výrazy pro koeficienty tuhosti a hmotnosti L

k ij = ∫ EIψ i′′(x )ψ ′j′(x )dx a 0

93

L

mij = ∫ ρAψ i (x )ψ j (x )dx 0

L © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 p i = ∫ p(x, t )ψ i (x )dx je zobecněné zatížení Spojité příčného zatížení p(x,t) 0

Příklad: Vrtná základna je modelována jako pružný prut konstantního průřezu a délky L se soustředěnou hmotností ve vrcholu a torzní pružinou o tuhosti k v místě částečného vetknutí Odvoďte pohybové rovnice této konstrukce metodou přípustných funkcí na 2SV modelu Předpokládají se malé hodnoty pootočení v místě částečného vetknutí © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

v (0, t ) = 0 - okrajováSalajka podmínka Řešení: 1. výběr tvarových funkcí © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Potom musí platit ψ 1(0 ) = ψ 2 (0 ) = 0 2 x x Nejjednodušší funkce jsou ψ 1 = a ψ2 =   L L

94

2. výpočet tuhostních koeficientů kij L

V=

1 2 2 ′ ′ ( ) EI v dx + kθ 0 , kde θ0 je pootočení v místě ∫0 2 123 částečného vetknutí 14243 energie deformace pružiny

energie ohybu prutu

N

Pro malé hodnoty pootočení je θ 0 =& v ′(0, t ) = ∑ψ 1′(0 )v i (t ) i =1

Po dosazení do předchozí rovnice a s přihlédnutím ke vztahu © Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 L 2 2x 1 ′ ′ ψ = ′ ψ = ′  , 2 ′ ′j′dx + kψ i′(0)ψ ′j (0 ) , kde pro i, j = 1, 2 ψ 1 = , ψ 1′′ = 0 , 2 k ij = ∫ EIψ i′ψ L2 L L L   0 Tuhostní koeficienty  1  1  k k11 = 0 + k    = 2 , k12 = k 21 = 0 + 0 = 0 ,  L  L  L 3. výpočet hmotnostních koeficientů mij

k 22 =

4EI 4EI + 0 = L3 L3

,

Vzhledem ke vztahu s uvážením hmotnosti M v místě x = L L

mij = ∫ ρAψ iψ j dx + Mψ i (L )ψ j (L ) 0

Potom

ρAL ρAL Salajka x ©⋅ 1Vlastislav Vlastislav 2009 = m21 = +M, , m122009 m11 = ρA ∫   dx + M ⋅ 1© = + MSalajka 4 3 L 0 L

2

m 22 =

ρAL 5

+M

4. výpočet zobecněných sil

Vnější síly nepůsobí © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009  M +  M + 

5. výsledné pohybové rovnice

ρAL 3 ρAL 4

p1 = p 2 = 0

 k   0   M+  2  q  0 && 4  q1  +  L   1  =      ρAL q&&2    4EI  q2  0  M+ 0  3   5   L 

ρAL 

Příklad: Zahrnutí tlumicího efektu při příčném kmitání základu Tlumení je spojitě rozděleno pod základem a je proporcionální rychlosti pohybu základu, tj p(x, t ) = −ξ (x )v& (x, t ) ξ je koeficient tlumení na jednotku délky základu Najděte vztah pro zobecněnou sílu p i odpovídající uvedenému tlumení © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Řešení: L L N   nebo p i = ∫ p(x, t )ψ i (x )dx = ∫ − ξ (x )∑ψ j (x )v& j (t )ψ i (x )dx j =1  0 0 L  p i = −∑ v& j (t ) ∫ ξ (x )ψ i (x )ψ j (x )dx  j =1 0  N

V případě diskrétního (jednotlivého) viskózního tlumiče

p i = −∑ cij v& j (t )

V obecném případě (s tlumením) platí

&& + cq& + kq = Q mq

N

kde c je matice tlumení © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

j =1

95

Volné (vlastní) kmitání netlumené soustavy s 2SV © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Pohybové rovnice dvoustupňové netlumené soustavy Volné (vlastní) kmitání pi = 0 m11 m12  u&&1  k11 k12  u1   p1 (t ) m  u&&  + k  u  =  p (t ) m k 22   2  22   2   21  21  2 

12 96

m11 m12  u&&1  k11 k12  u1  0 m  u&&  + k  u  = 0 m k 22   2   21  21 22   2   

Při vlastním kmitání je pohyb harmonický u2 = U2 cos(ωt − α ) u1 = U1 cos(ωt − α ) Úlohu o vlastních hodnotách   k11 k12  m12  U1  0 2  m11 soustava homogenních lineárních    =   − ω     k  0 m21 m22  U 2 ©   21 k 22  algebraických Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 rovnic

2 Netriviální řešení pro ω vyhovuje charakteristické rovnici

 k k12  m12   2  m11 =0 det   11 − ω     m21 m22    k 21 k 22  2 2 Polynomiální rovnice 2. řádu má dva kořeny ω1 a ω2 - vlastní čísla

ω1 ≤ ω2

jsou vlastní úhlové frekvence 2SV β 2 = (U 2 U1 )

= (U U1 ) Po dosazení kořenů do rovnice lze určit poměr β 11 4422 44 3 a 1442443 pro ω pro ω Tento poměr určuje tvar kmitu © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 V matematické terminologii jsou tvary kmitu nazývány vlastními vektory (1)

1

(2)

2

Obecné řešení soustavy rovnic je lineární kombinací vlastního kmitání © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 odpovídajícího frekvencím u1 = A1 cos(ω1t ) + B1 sin(ω1t ) + A2 cos(ω2t ) + B2 sin(ω2t )

97

u2 = β1A1 cos(ω1t ) + β1B1 sin(ω1t ) + β 2 A2 cos(ω2t ) + β 2B2 sin(ω2t ) Konstanty A1, A2, B1, B2 se určují z počátečních podmínek Alternativa zápisu obecného řešení

u1 = A1 cos(ω1t − α1 ) + A2 cos(ω2t − α 2 )

u2 = β1A1 cos(ω1t − α1 ) + β 2 A2 cos(ω2t − α 2 )

Konstanty A1, A2, α1, α2 se určují opět z počátečních podmínek © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Příklad: Určete vlastní úhlové frekvence a tvary kmitu soustavy . Pohybové rovnice soustavy jsou dány vztahy mu&&1 + 2ku1 − ku2 = 0 m 0  u&&1   2k − k  u1  0  0 m  u&&  + − k 2k  u  = 0 mu&&2 − ku1 + 2ku2 = 0   2    2   

Řešení: Předpoklad - pohyb je harmonický u1 = U1 cos(ωi t − α ) a u 2 = U 2 cos(ωi t − α )

Je zřejmé, že platí u2 u1 = U2 U1 Po dosazení do jednotlivých rovnic získáme soustavu algebraických rovnic

(

 2k − mωi2  −k 

)

−k

 U1  0 Zobecněný problém vlastních hodnot =      Salajka 2009 ©i Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2k − mωi2  U 2 © - dvoustupňová soustava 0

(

)

U  U 2 i

2 1 Vlastní čísla ωi a vlastní vektory© Vlastislav  Salajka ©U Vlastislav Salajka 2009 2009 i = 

98

Charakteristická rovnice úlohy o vlastních hodnotách

(

 2k − mωi2 det  −k 

)

 −k =0 2  2k − mωi 

(

)

(2k − mω )

2 2 i

− k2 = 0

m 2ωi4 − 4kmωi2 + 3k 2 = 0

Charakteristická rovnice má kořeny – např. rozkladem polynomu (mωi2 − k )(mωi2 − 3k ) = 0 k 3k 2 ω12 = a ω2 = m m k 3k Vlastní úhlové frekvence netlumené soustavy ω1 =2009 ω2 = © Salajka ©, Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 m m . Po dosazení vlastních čísel do soustavy algebraických rovnic

(2k − mω )U ( ) − kU ( ) = 0 2 i

nebo

i

1

(i )

i 2

 U2  2k − mω mω  = = 2− k k  U1 

β1 = 

2 i

2 i

k, ω1 = m

1 U1 =   1 Uzlový bod

Pro vyčíslená vlastní čísla jsou

β1 = 2 − 1 = 1 (i ) Nechť u1 = 1

3k , U2 =  1  © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajkam 2009 − 1

β 2 = 2 − 3 = −1 U1 a U2

ω2 =

Obecné řešení volného (vlastního) kmitání netlumené soustavy se dvěma stupni volnosti © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 se zakládá na lineární kombinaci pohybu soustavy ve tvaru kmitu odpovídajícím 99 frekvenci ω1 a pohybu soustavy ve tvaru kmitu odpovídajícím frekvenci ω2 . Příklad: Zkoumaná soustava je stejná jako v předchozím příkladě s počátečními podmínkami u1 (0) = u&1 (0) = u& 2 (0) = 0 Vnucená výchylka na počátku děje u2 (0 ) = u0 Určete volné kmitání soustavy Řešení: Vlastní kmity soustavy u1 = A1 cos(ω1t ) + B1 sin(ω1t ) + A2 cos(ω2t ) + B2 sin(ω2t )

u2 = A1β1 cos(ω1t ) + B1β1 sin(ω1t ) + A2 β 2 cos(ω2t ) + B2 β 2 sin(ω2t ) © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav 2009kmitu Po derivaci podle času - rychlosti kmitání - Salajka vlastní tvary u&1 = − A1ω1 sin(ω1t ) + B1ω1 cos(ω1t ) − A2ω2 sin(ω2t ) + B2ω2 cos(ω2t ) u& 2 = − A1β1ω1 sin(ω1t ) + B1β1ω1 cos(ω1t ) − A2 β 2ω2 sin(ω2t ) + B2 β 2ω2 cos(ω2t )

Po zavedení počátečních podmínek – soustava 4 rovnic o 4 neznámých

u1(0 ) = A1 + A2 = 0 , u 2 (0 ) = A1β1 + A2 β 2 = u0 , u&1(0 ) = B1ω1 + Bω2 = 0 , u& 2 (0 ) = B1β1ω1 + B2 β 2ω2 Řešením této soustavy rovnic A2 =

− u0 2

A1 =

u0 2

B1 = 0

Výsledné kmitání u1, u2

B2 = 0

 u0   uVlastislav 0  © Salajka 2009 ) − cos(ω2009 ) ] u = u1 =© t  [cos(ω1t ) + cos(ω2t )]  Vlastislav [cos(ω1tSalajka 2 2  2  2

u(t) [mm] © Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 Pro u0 = 2 mm , ω1 = 1 rad ⋅ s -1

a

ω2 = ω1 3 , tedy ω2 = 3 rad ⋅ s

-1

u2(0)

100

-

Uvedené příklady ilustrují základní kroky potřebné pro určení volného kmitání dvoustupňové soustavy Výpočet vlastních frekvencí a tvarů kmitu podélného kmitání konzoly při použití různých modelů Modely s dvěma stupni volnosti © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 A. Řešení metodou přípustných funkcí Salajka „přesné“ řešení - model ∞SV Pohybové rovnice

ρAL 20 15 u&&1  EA 3 3 u1  0  &&  +  =      60 15 12 u2  3L 3 4 u2  0

Předpokládá se harmonický pohyb u1  U1    =   cos(ωt − α ) u2  U 2 

1 3 1 4 u&&1  EA 1 1  u 1  P (t )    +    =  1 4 1 5  u&&2  L 1 4 3 u 2  P (t )

ρAL 

u&&1  U1  2  &&  =  ω cos(ωt − α ) u2  U2 

Úloha o vlastních hodnotách – zobecněný problém vlastních hodnot 2   2 L ρ  3 3  U 20 15 0       2 1 2  ωi µ =   = Vlastislav i Vlastislav  , kdeSalajka  2009  3 4 − µi 15 12 U  © © Salajka 2009 20 E       2 i 0 


(3 − 20 µ )(4 − 12µ ) − (3 − 15 µ ) 2 i

2 2 i

2 i

Po úpravě © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 2 15(µ i2 ) − 26(µ i2 ) + 3 = 0 =0

Kořeny charakteristické rovnice 26 ± 496 µ = = 30

101

0,1243

(ω1L )2 =  20E µ12 = 2,486 E 

ω1 =

1,5577 E L ρ

1,6090

(ω2L )2 =  20E µ22 = 32,18 E 

ω2 =

5,673 E L ρ

2 i

 ρ 

ρ

 ρ 

ρ

„Přesné řešení“ - odvozeno dříve

(ω1L )

2 exact

E  2 1,571 E ( )   L = 22 , 21 ω 2 ω1 = exact ρ L ρ © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009

E  = 2,467  ρ

ω2 =

4,712 E L ρ

Poznámky: Obě získané úhlové frekvence jsou vyšší než jejich „přesné“ řešení Uvedený postup dává aproximaci shora Základní frekvence je vyčíslena s podstatně větší přesností než druhá frekvence Výpočet tvarů kmitu Po dosazení µi do první rovnice pro výpočet vlast. hodnot (i )

( (

 U2  3 − 20 µ i2 Poměr β i =   = − 3 − 15 µ i2  U1 

) )

Číselně

β1 = −

(3 − 20 µ )U ( ) + (3 − 15 µ )U ( ) = 0

0,514 = −0,453 1,136

Pro získání funkce tvaru kmitu využijeme již dříve odvozený vztah 2

2 i

x x © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 u (x, t ) =  u1(t ) +   u2 (t ) © L L

i 1

2 i

i 2

β 2 = −1,381

Pro i-tý tvar kmitu platí  x  x u (x, t ) =   + β i   L  L  (i )

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 2

  cos(ωi t − α i ) 

102

nebo L

u (i ) (x, t ) = φi (x )cos(ωi t − α i ) ,

kde tvar kmitu

x x φi =   + β i   L L

2 L

Přibližné tvary kmitu a jejich „přesné“ ekvivalenty B. Řešení pomocí diskrétního modelu s náhradou tuhosti pomocí pružin a soustředěnými hmotnostmi © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 2EA kde k = a m = ρAL L

Soustava pohybových rovnic

ρAL 1 0 u&&1  2EA  1

 + L − 1 4 0 2 u&&2 

− 1 u1  0  =  2  u2  0

Předpokládáse harmonický pohyb u = U cos(ωi t − α i )

  1 − 1  0 2  1 0  U1    − µ =    , kde i Salajka Úloha o vlastních hodnotách  ©  Salajka  2009 Vlastislav © Vlastislav 2009 U − 1 1 0 2     2 i 0 

 ρL2  2 ωi µ =   8E  2 i


(1 − µ ©©)(2Vlastislav − 2µ ) − (−Salajka 1)(− 1) =2009 0 Vlastislav Salajka 2009 2 i

Kořeny charakteristické rovnice µ i2 =

µ12 = 0,2929

4± 8 4

µ 22 = 1,707

2µ i4 − 4 µ i2 + 1 = 0

2 i

1,531 103 E ω1 = L ρ

(ω1L )2 = 8(0,2929 ) E  = 2,343 E  ρ ρ (ω2L )2 = 8(1,7070 ) E  = 13,66 E  ρ ρ

ω2 =

3,696 E L ρ

Tvary kmitu – z rovnice pro výpočet vlastních hodnot

(1 − µ )U ( ) − U ( ) = 0 2 i

i 1

i 2

 1  U1 =   0 , 707  

(i )

U  β1 =  2  = 1 − µ i2  U1 

β1 = 0,707

a

β 2 = −0,707

 1 © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka U = 2009 2

   − 0,707 

Obě získané úhlové frekvence jsou nižší než jejich přesné hodnoty Základní frekvence je opět vyčíslena s podstatně větší přesností než druhá frekvence Soustavy obsahující tvary kmitu odpovídající pohybu soustavy jako tuhého celku Tvary kmitu odpovídají nulovým hodnotám vlastních frekvencí Soustava nebo její část přemísťuje (se posouvá a/nebo pootáčí) bez vzniku deformace Zpravidla se jedná o volné nepodepřené soustavy, © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajkadále 2009o případy špatně rozmístěných vazeb, zapomenuté vazby, apod.

ω=0 ω=0 ω>0

Vlastislav Salajka Příklad: Určete vlastní úhlovou© frekvenci a odpovídající © Vlastislav Salajka 2009 2009tvary kmitu soustavy Řešení: Soustava se 2SV se může volně posouvat horizontálně Jedna vlastní frekvence je nulová Pohybové rovnice mu&&2 − 2ku1 + 2ku2 = 0 2mu&&1 + 2ku1 − 2ku2 = 0 u1 = U1 cos ωi t

Předpokládá se

u2 = U 2 cos ωi t

Úloha o vlastních hodnotách

(

 2k − 2mωi2  − 2k 

)

− 2k 2k − mωi2

(

ω12 = 0

Kořeny


(

)

ω22 =

)

(

1 U1 =   1

ω1 = 0

i 2

1

)

3k m

(2k − 2mω )U ( ) − 2kU ( ) = 0 i

)(

2  U1  0 2k − 2mωi2 2k − mωi2 − (2k ) = 0 ,   =    0  U 2© resp. m ωi2 2mωi2 − 6k = 0 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009

Výpočet tvarů kmitu 2 i

104

(i )

 U2  2k − 2mωi2 m β i =   = = 1 − ωi2   2k k  U1 

Potom β1 = 1 − 0 = 1

a

β 2 = 1 − 3 = −2

 3k  ω2 =   m

1 2009 1 Salajka ©UVlastislav Vlastislav Salajka 2009 U = = a Nechť U1 = 1 v obou tvarech ©    2 1

1

 − 2

1 2

1 U2 =   − 2

Odezva netlumené dvoustupňové soustavy na harmonické buzení © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Metoda rozkladu podle vlastních tvarů kmitu Odezva na harmonické buzení byla řešena pro soustavy s 1 SV Možnost vniku rezonance Ω = ωn Soustavy s více stupni volnosti mají větší počet vlastních frekvencí, a tedy i rezonančních oblastí

105

Příklad: Dvoustupňová soustava je buzena harmonickou silou p1 = P1 cos Ωt Určete ustálenou odezvu každé z obou soustředěných hmotností (u1 a u2) v závislosti na frekvenci Řešení proveďte rozkladem podle vlastních tvarů kmitu (metoda superpozice tvarů kmitu). © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Pohybové rovnice Vlastní frekvence a tvary kmitu 1. úhl. fr. a tvar kmitu 1 0 u&&1   2 − 1 u1  P1  1 k m  &&  + k    =   cos Ωt   ω = φ = 1 1 1 0 2 u2  − 1 3  u2   0  m  2. úhl. fr. a tvar kmitu  1  5k = φ ω = 2 2  − 1 / 2 Řešení: m   a) Vlastní tvary kmitu sestavíme do matice Φ 1  1 Φ = [φ1, φ 2 ] =   1 − 1 2

se Salajka nazývá © Vlastislav 2009 © Matice Vlastislav Salajka modální 2009 (mode lat. tvar)

η 2009 b) Po zavedení hlavních (přirozených) souřadnic a η2 © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka12009 souřadnic  η1 + η 2 

lze zapsat transformaci

1  η1   u1  1  = 1  =      η η − η u 1 − 1 2 1 2   2    2  2 

u = Φη

&& && = Φη u

106

Vlastní vektory (tvary kmitu) jsou ortogonální – bázové vektory c) Transformace pohybových rovnic z fyzikálních souřadnic do hlavních souřadnic

&& + ku = p mu

(Φ mΦ)η&& + (Φ kΦ)η = Φ p(t )

&& ) + k (Φη) = p(t )] ΦT [m(Φη

&& + Kη = P , kde M = ΦT mΦ , Mη

K = ΦT kΦ

T

a

T

T

P = ΦT P

Salajka 2009 M - modální matice hmotnosti, K© modální matice tuhosti, ©- Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 P - modální zatěžovací vektor Číselné vyjádření 1  m 0  1 1  1 3 0  = M= m    0 3 2 1 − 1 2  0 2m  1 − 1 2  

1   2k 1 K=  1 − 1 2 − k

− k  1 1  0  3 = k 0 15 4 3k  1 − 1 2  

1  P1  P1  1 ( ) P= cos Ωt =     cos(Ωt )  0 − 1 1 2    P1 

Pohybové rovnice zapsané pomocí hlavních souřadnic Pohybové rovnice v hlavních souřadnicích 0  η1  P1  3 0  η&&1  3 jsou soustavou nezávislých rovnic ) m   cos(ΩtSalajka  =Vlastislav 2009  η&&  + k 0 15 4 η © © Vlastislav Salajka 2009 P 0 3 2 (rovnic s 1 neznámou – soustava s 1 SV)   2    2   1

Jedná se o rovnice

 15  3 Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 & & m η + ( ) 3mη&&1 + 3© kηVlastislav = P cos Ωt a    kη 2 = P1 cos(Ωt ) 2 1 1 2

d) Řešení ustálené odezvy Předpokládá se harmonický pohyb Potom

Y1 =

η1 = Y1 cos(Ωt )

(1 3 k )P1 P1 = 3k − 3mΩ 2 1 − (Ω ω1 )2

a

Y2 =

e) Zpětná transformace do fyzikálních souřadnic

u1 = U1 cos(Ωt ) kde

a

a

 4 

107

η2 = Y2 cos(Ωt )

(4 15 k )P1 P1 = (15 4 )k − (3 2)mΩ 2 1 − (Ω ω2 )2 1  η1   η1 + η 2  u1  1  =  η  = η − 1 η  u − 1 1 2   2   1 2 2   2 

u2 = U2 cos(Ωt ) , © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Amplitudo-frekvenční závislost (charakteristika)

 P1 3k   4P1 15k  +  U1 =  2  2    1 − (Ω ω1 )   1 − (Ω ω2 ) 

U1(Ω )

U 2 (Ω )

a  P1 3k  1  4P1 15k  −   U 2 =  2  2    1 − (Ω ω1 )  2  1 − (Ω ω2 ) 

Rezonance při

Ω = ω1

a

Ω Vlastislav = ω2 © Salajka © Vlastislav Salajka 2009 2009 Ω = ω1

Ω = ω2

Vlastní kmitání soustav s mnoha stupni volnosti © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Zobecnění soustavy s dvěma stupni volnosti

13 108

Vlastní frekvence a vlastní tvary kmitů a) Vlastnosti matic k a m 1 T u ku 2

Potenciální energie deformace soustavy (konstrukce)

V =

funkce zobecněných souřadnic u s koeficienty kij 1 Kinetická energie soustavy (konstrukce) T = u& T mu& 2 funkce zobecněných souřadnic u& s koeficienty mij

je kvadratická

je kvadratická

Matice tuhosti a hmotnosti jsou čtvercové matice symetrické vůči hlavní diagonále © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 T T k =k a m =m Ve většině případů modelů soustav (konstrukcí) jsou matice k a m pozitivně definitní .

1 1 Pro nenulový vektor u a u& platí V = uT ku > 0 a T = u& T mu& > 0 2 2 Nemá-li soustava (konstrukce) dostatečný počet vazeb, potom matice k je pozitivně semidefinitní, platí 1 V = uT ku ≥ 0 2

Při výpočtu se to projeví tím, že determinant matice k má nulové kořeny, neboli jinak © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 matice k je singulární

Matice hmotnosti může být semidefinitní v případě, kdy máme soustavu rovnic, u které © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 některé prvky matice hmotnosti odpovídající stupňům volnosti jsou nulové 109 Řečeno jinak soustava obsahuje nehmotné stupně volnosti Příklad: Tenký Bernoulli-Eulerův prut m1 0 0 m 2 m= 0 0  0 0

0 0 0 0 0 0  0 0

Rotační stupně volnosti jsou nehmotné I1 a I2 jsou zanedbány

b. Úloha o vlastních hodnotách soustavy bez tlumení – zobecněný problém vlastních čísel && + 2009 © Pohybová rovnice volného (vlastního) kmitáníSalajka mu ku =0 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 m a k jsou matice dimenze (N, N) a vektor u(t) je dimenze (N, 1) Předpokládá se při kmitání harmonický pohyb

u = U cos(ωt − α ) Po dvojí derivaci podle času && = −ω 2Ucos(ωt − α ) u Po dosazení do pohybové rovnice a po drobných úpravách

(k − ω m)U = 0 2

Soustava lineárních algebraických rovnic Zobecněný problém vlastních © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 hodnot svazku (k, m)

(

)

− ω 2m = 0Salajka Netriviální řešení odpovídá det© ©kVlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009

Vyjádření determinantu vede na charakteristickou rovnici o N kořenech

110

Úloha má N kořenů λ = ω2 Uspořádaná množina kořenů podle velikosti tvoří spektrum vlastních čísel ω2 Spektrum vlastních čísel

0 ≤ ω12 ≤ ω22 ≤ ... ≤ ωr2 ... ≤ ωN2

Každému vlastnímu číslu ωr2 odpovídá vlastní vektor

 U1  U    Ur =  2  , kde r = 1, 2, …, N.  ...  U N 

Řešením je N vlastních úhlových frekvencí ωr respektive frekvencí fr a N vlastních © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 tvarů kmitu sestavených z vlastních vektorů ω 2π 1 fr = r T = = r-tá perioda r 2π ω r fr Z praktického hlediska mají pro stavební konstrukce význam pouze frekvence v oblasti od 0 do 500 Hz Vysoké hodnoty frekvencí při řešení kmitání konstrukcí nemají zpravidla fyzikální smysl c. Normování Vlastní vektor lze zapsat ve tvaru

Ur = cr φ r , kde cr je konstanta

Salajka 2009 Tři základní způsoby normování© obdobně jako u soustav ©- Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 ∞ mnoha stupni volnosti

(©φi Vlastislav )Vlastislav vybranou souřadnici = 1 pro Salajka 1) Úprava r-tého tvaru tak, že © r Salajka 2009 2009 2) Úprava r-tého tvaru tak, že (φi )r = 1 , pro (φi )r = max j (φ j )r tj. maximální hodnota přemístění odpovídá souřadnici i 3) Úprava r-tého tvaru tak, že modální (zobecněná) hmotnost M r = φTr mφ r je rovna jedné, tj. Mr = 1

111

d. Vlastní tvary – případ jednonásobných vlastních čísel Nechť matice D je dána rovnicí D(ωr ) = k − ωr2m

Předpokládá se, že souřadnice 1 v rovnici neodpovídá uzlovému bodu v r-tém tvaru © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Potom rovnici lze přepsat takto

Daa (ωr ) Dab (ωr )  1  0 D (ω ) D (ω ) φ  =   , 0 bb r   b r  ba r kde vlastní tvar (vektor) φr je upraven tak, že (φ1 )r = 1 a (φ b )r Je-li ωr nenásobná, potom hodnost matice Dbb (ωr ) je (N - 1)

φ2  φ    =  3  ...  φN 

Dbb (ωr ) není singulární

Dopočet členů tvaru φr lze provést podle předpisu (φ b )r = −[Dbb (ωr )] Dba (ωr ) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 např. Gaussovou eliminací −1

2 Příklad: Pro soustavu určete ω© r = 1, 2, 3 r pro © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 a vykreslete průběh charakteristického polynomu Vyčíslete tvar kmitu odpovídající ω2

112

Řešení: Matice tuhosti a hmotnosti  2 −1 0  k = − 1 2 − 1  0 − 1 2 

(

Potom

 2 − ω2  D(ω ) =  − 1  0 

 1 0 0 m = 0 1 0 0 0 1

)

−1

 Charakteristický polynom soustavy  je roven 0 2 − ω2 −1  2 − ω 2  −1 det[D(ω )] = 2 − ω 2 ω 4 − 4ω 2 + 2 = 0 © Vlastislav Salajka 2009

(

)

0

(

)

(

© Vlastislav Salajka 2009 2 Vypočtené kořeny polynomu (vlastní čísla) ω12 = 2 − 2 , ω2 = 2

)(

)

a

ω32 = 2 + 2

det D(ω )

Průběh determinantu Výpočet vlastního vektoru (tvaru kmitu) odpovídajícího ω2  0 −1 0  Daa (ω2 ) Dab (ω2 )   0 − 1  ( ) = − 1 0 − 1 D ω = bb Salajka 2 D (ω ) D (ω )  − 1  © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 0  bb 2   ba 2   0 − 1 0 

− 1 Dba (ω2 ) =   0

Inverzní matice Protože (φ1 )2 = 1

0© 1  0 − 1 − 1  0  −1 Salajka 2009 © −Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 ( ) [ ( ) ] ( ) φ D ω D ω = − = b 2 bb 2 ba 2 − 1 0   0  = − 1       − 1 0  113 1   3 φ2 =  0  potom tvar kmitu odpovídající ω2 2 − 1 1  

[Dbb (ω2 )]−1 = 

e. Ortogonalita vlastních tvarů obdobně jako u modelů spojitých soustav Pro různé frekvence ωr ≠ ωs platí φTs mφ r = 0

- ortogonalita vzhledem k matici hmotnosti

φTs kφ r = 0

- ortogonalita vzhledem k matici tuhosti © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 f. Vlastní tvary – případ násobných vlastních čísel Může nastat případ, kdy frekvence jsou velmi blízké (numericky) popř. teoreticky stejné (čtvercová deska, cyklická symetrie u turbín apod.) Potom se může jednat o násobné frekvence Pokud platí ωr = ωr +1 = ... = ωr + p −1 je vlastní číslo p-násobné nebo p-násobná vlastní frekvence p-násobnému vlastnímu číslu odpovídá p lineárně nezávislých vlastních vektorů Tyto vektory tvoří podprostor vlastních vektorů dimenze p Vlastislav Salajka ©speciální Vlastislavpostupy Salajka 2009 2009 Výpočet těchto vektorů vyžaduje©

g. Modální matice © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Modální matice soustavy je matice tvořená sloupcově uspořádanými vlastními vektory 114 (tvary kmitu) Φ = [φ1 φ 2 ...φN ] h. Zobecněná matice hmotnosti a zobecněná matice tuhost Diagonální matice hmotnosti M

M = ΦT mΦ = diag (M1, M 2 ,... M N )

Diagonální matice tuhosti K

K = ΦT kΦ = diag (K1, K 2 ...K N )

Jsou-li vlastní tvary normovány tak, že Mr = 1, potom množina vektorů (tvarů kmitu) se nazývá ortonormální – ortogonální a normovaná © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Matice M je potom jednotkovou maticí ΦT mΦ = I a

ΦT kΦ = Λ , kde

(

Λ = diag ω12 ,ω22 ,... ωN2

)

i. Teorém o rozkladu Obdobně jako u spojitých systému platí pro soustavy s mnoha stupni volnosti lze libovolný vektor u vyjádřit jako lineární kombinaci nezávislých vlastních vektorů

 1  T φ r mu cr =  r =1  Mr  © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 tvarů kmitu Uvedený vztah je základem metody rozkladu do vlastních N

u = ∑ c r φ r , kde

Obecné řešení volného (vlastního kmitání) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Vlastní kmitání netlumené soustavy o N stupních volnosti v r-tém tvaru můžeme s využitím teorému o rozkladu zapsat

115

ur = cr φ r cos(ωr t − α r ) Potom obecné řešení, dle rovnice N

N

u = ∑ c r φ r cos(ωr t − α r )

nebo

r =1

u = ∑ φ r [ar cos(ωr t ) + br sin(ωr t )] r =1

2N koeficientů (cr ,α r ) nebo (ar , br ) se určí z počátečních podmínek u(0 ) a u& (0 ) N

u(0 ) =2009 Například koeficienty ar a br určíme z výrazů Salajka ∑ φr ar © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 r =1

Po vynásobení rovnic členem φTr mu(0 ) ar = Mr

a

N

a

u& (0 ) = ∑ φ r br r =1

φ m T r

φTr mu& (0 ) br = M r ωr

Příklad: S využitím uvedených rovnic sestavte výrazy pro odezvu při vlastním kmitání dvoustupňové soustavy Počáteční podmínky Mat. hmotností Vlastní tvary kmitu 1 1 0 m = m 0  0  , & φ = , φ2 =   u(0 ) =   u(0 ) =   0  Salajka   2009 1 © Vlastislav m © Vlastislav Salajka 2009 1 u   0  − 1  0  

Řešení:

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 M r = φTr mφ r a) Výpočet modálních hmotností Mr  M1 = [1 1] 

m

0

0  1   = 2m m  1

b) Výpočet koeficientů ar a br

M 2 = [1

 − 1] 

φTr mu(0 ) ar = Mr

m 0   0   0  mu(0 ) =   u  = mu  0 m   0   0 

m

0

116

0  1    = 2m m  − 1 φTr mu& (0 ) br = M r ωr

m 0  0 0 mu& (0 ) =   =    0 m  0 0

©0Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 ©  u0 Salajka φT1 mu(0 )  1  a1 = = [1 1] = mu M1 m 2    0 2  0  u0 φT2 mu(0 )  1  = a2 = [1 − 1] =− 2 M2  2m  mu0  2

c) Nakonec u = ∑ ar φ r cos(ωr t ) r =1

u1  u0  = u2  2

1 u0   cos(ω1t ) − 2 1

u  u1 (t ) =  0 [cos(ω1t ) − cos(ω2t )]  2

1   cos(ω2t ) nebo  u0  − 1 ( ) u t =  [cos(ω1t ) + cos(ω2t )] 2 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009  2

Rayleighův kvocient (podíl) u © soustav s mnoha stupni volnosti © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Obdobně jako u soustav s ∞ mnoho stupni volnosti

117

UT kU ω = R (U) = T U mU 2 R

N

U rozložíme do řady ortonormálních tvarů φ r (Mr = 1 pro všechna r) U = ∑ c r φ r Vzhledem k ortogonalitě vlastních tvarů R (U) =

ω12c12 + ω22c22 + ... + ωN2 cN2

Lze dokázat, že

c12 + c 22 + ... + cN2 2 ω12 ≤ R (U) ≤ ω© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 N

Je-li ω1 ≠ 0 potom 1 + (c 2 c1 )2 (ω2 ω1 )2 + ... + (cN c1 )2 (ωN ω1 )2  R (U) = ω   2 2 ( ) ( ) 1 + c c + ... + c c 2 1 N 1   2 1

Protože ω1 ≤ ω2 ≤ ... ≤ ωN , potom každý člen v čitateli je větší nebo roven odpovídajícímu členu ve jmenovateli Tedy

R (U) ≥ ω12

Obdobně lze dokázat, že

Salajka ©)Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 R (© U ≤ ω N2

r =1

- slouží© aproximaci základní frekvence ω R Salajka 2009 ©k Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

Rayleighova metoda Nechť

u(t ) = U cos(ωR t ) = ψUˆ cos(ωR t ) , kde ψ je přípustný tvar (vektor)

Potom

u& (t ) = −ωRU sin(ωR t ) = −ωR ψUˆ sin(ωR t )

118

1 T 1 u ku a T = u& T mu& 2 2 1 1 Potom Vmax = kÛˆ 2 a Tmax = ωR2 mˆ Uˆ 2 , kde ˆ = ψT mψ kˆ = ψT kψ a m 2 2 Pro konservativní soustavu (soustavu bez disipace energie) platí Vmax = Tmax

Protože V =

Potom

R (U ) = ωR2 =

kˆ ˆ m


2 2 2 Opět platí ω1 ≤ ωR ≤ ωN

Je-li přípustný vektor blízký tvaru kmitu φR , potom lze určit s velkou přesností ωR Rayleighova-Ritzova metoda - metoda dovoluje získat aproximace frekvencí Nˆ tvarů, kde Nˆ < N

u(t ) = U cos(ωt − α )

Předpokládá se harmonický pohyb N

Vektor U lze rozložit do řady

ˆ , kde Ψ = [ψ , ψ ...ψ ] U = ∑ Uˆ i ψ i = ΨU 1 2 N i =1

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ψi jsou lineárně nezávislé přípustné vektory (tvary)

ˆ Nˆ 2009 Za předpokladu, že Vmax = Tmax © © Vlastislav VlastislavNSalajka Salajka 2009 ˆ ˆ U U ∑ ∑ i j k ij ˆ T kˆ U ˆ U i =1 j =1 2 Rayleighův kvocient (podíl) R (U) = ωˆ = ˆ ˆ = T N N ˆ m ˆ Û U ˆ Uˆ m U ∑ ∑ i j ij T T ˆ ˆ i =1 j =1 kde k = Ψ kΨ a m = Ψ mΨ 2 i = 1, 2,..., Nˆ Hodnota ωˆ je závislá na hodnotách Uˆ ,

119

,

i

Ritz předpokládal, že koeficienty Uˆ i je možné určit z podmínky stacionarity R(U) ∂D(U) ∂N (U) N (U) ∂R (U) ˆ ( ) ( ) N U − D U =0 = 0 , i = 1, 2,..., N Záměna R (U) = ˆ ˆ ˆ ∂U i ∂U i ∂U i D (U) Nˆ Nˆ ∂N (U) ( ) U ∂ D Nˆ ˆ N ( ) ∂ U = 2∑ kîj Uˆ j , ˆ 2 = m U ∑ ij j 2∑ kîjUˆ j ∂Uˆ i Salajka 2009 j =1 ∂Uˆ i © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 j =1© ˆ Nˆ Nˆ N (U) ∂Ui j =1 2 2 ω = = = Nˆ ω ∑ mˆ ijUˆ j = ∑ kîj Uˆ j ( ) D U ∂ D(U) Rovnice má tvar j =1 j =1 ˆ ijUˆ j 2∑ m ˆ ∂Ui j =1

∑ (kˆ Nˆ

j =1

ij

)

ˆ ij Uˆ j = 0 , i = 1, 2,..., Nˆ − ωˆ 2 m

nebo

(kˆ − ωˆ mˆ )Uˆ = 0 2

ˆ Úloha o vlastních hodnotách vede na N aproximací frekvencí ωˆ r a tvarů kmitu Uˆ r Nˆ

Metoda dovoluje redukovat soustavu s N SV na soustavu s Nˆ SV

u(t ) = ∑ ψi uˆ i (t ) = Ψuˆ (t ) i =1

S využitím Lagrangeho rovnic v obecném případě © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 &ˆ& + cˆ u&ˆ + kˆ uˆ = pˆ (t ) , kde m ˆ© û = ΨT mΨ, cˆ = ΨT cΨ , kˆ = ΨT kΨ a pˆ (t ) = ΨT p(t ) m

Numerické metody pro výpočet tvarů a frekvencí soustav s mnoha stupni volnosti © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 A Výpočet všech vlastních hodnot redukované soustavy 120 Householder – bisekce – inverzní iterace metoda je účinná, když hledáme všechny vlastní frekvence a tvary kmitu a matice jsou plné nebo s velkou šířkou pásu (do 5000 rovnic) – a) Guyanova redukce – převod z velkého počtu stupňů volnosti na malý počet b) Převedení na standardní problém vlastních čísel c) Aplikace Householderova postupu na převedení matice na tridiagonální tvar d) Kombinace bisekce s kontrolou pomocí Sturmových posloupností – výpočet vlastních čísel e) Metoda inverzních iterací s posunutím – výpočet vlastních vektorů f) Přepočet na původní (neredukovaný) počet stupňů volností

B Výpočet vlastních hodnot v© levé části spektra Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2009 2009 Iterace podprostoru metoda je účinná při hledání nejnižších vlastních frekvencí a odpovídajících tvarů kmitu u soustav s velkým počtem rovnic (řádově 100 000 rovnic) – využívá podobnostní transformaci s Rayleighovou-Ritzovou metodou Lanczosova metoda provádí řešení po blocích – převod na tridiagonální tvar pomocí podobnostní transformace V současné době nejefektivnější metoda nahrazující iteraci podprostoru Metoda dovoluje určovat frekvence a odpovídající vlastní tvary v zadaných frekvenčních mezích (řádově do 1 000 000 a více rovnic) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Všechny uvedené metody jsou iterační

Dynamická odezva soustav s© mnoha stupni volnosti Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 Metoda rozkladu podle tvarů kmitu Soustava pohybových rovnic && + cu& + ku = p(t ) mu

Počáteční podmínky u(0 ) = u0 a u& (0 ) = u& 0

14 121

Obecně mají matice m, c a k nenulové mimodiagonální (svazující) členy - nejčastěji k ij = k ji ≠ 0 Pohybové rovnice představují soustavu N simultánních rovnic o N neznámých V metodě rozkladu podle tvarů kmitu soustava závislých rovnic je transformována na soustavu N nezávislých rovnic s využitím tvarů kmitu Základním krokem metody rozkladu podle tvarů kmitu je výpočet vlastních frekvencí a Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 tvarů kmitu (předpokládá se, že © veVlastislav výpočtu jsou použity všechny tvary), tj. N tvarů kmitu Prakticky lze pracovat pouze s několika tvary kmitu Úloha o vlastních hodnotách (modální analýza, zobecněný problém vlastních hodnot) (k − ωr m)φr = 0 , r = 1,..., N

(

)

2 Řešením získáme dvojice ωr , φ r , pro r = 1,..., N Tvary φr mohou být normovány, jak bylo uvedeno dříve

Výpočet modální hmotnosti

M r = φTr mφ r

Výpočet modální tuhosti

K r = ωr2M r

© © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Platí podmínky ortogonality vlastních tvarů Salajka φTr mφ s 2009 = φTr kφ s = 0 pro r ≠ s

Vlastní tvary jsou uspořádané do matice © Vlastislav Salajka © modální Vlastislav Salajka 2009 2009 Φ = [φ1, φ 2 ...φ N ]

122

Stěžejním krokem metody rozkladu podle tvarů kmitu je transformace souřadnic N

u(t ) = Φη(t ) = ∑ φ rη r (t ) r =1

Souřadnice η r (t ) se nazývají hlavní (vlastní, přirozené) souřadnice Po dosazení do pohybových a po vynásobíme zleva transponovanou modální maticí ΦT - pohybové rovnice v hlavních souřadnicích η r (t ) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 - modální matice hmotnosti - modální matice tlumení

&& + Cη& + Kη = P(t ) , Mη kde

M = ΦT mΦ C = ΦT cΦ K = ΦT kΦ

P(t ) = ΦT p(t )

- modální matice tuhosti - modální zatěžovací vektor

Vzhledem k podmínkám ortogonality matice M a K jsou diagonální Soustava rovnic je vzájemně závislá pouze pomocí mimodiagonálních členů matice tlumení C Existují však speciální typy tlumení, kdy modální matice C je diagonální Potom soustava pohybových rovnic v hlavních souřadnicích představuje soustavu N © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 nezávislých rovnic

Celková odezva η(t ) může být získána po zavedení počátečních podmínek © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009

u(0) = Φη(0)

a

u& (0) = Φη& (0)

123

Po vynásobení těchto rovnic členem ΦT m zleva získáme ΦT mu(0 ) = Mη(0 )

a

ΦT mu& (0 ) = Mη& (0 )

Matice M je diagonální, potom lze modální počáteční podmínky zapsat takto

 1 η r (0) =   Mr

 T  1 & φ r mu(0) a η r (0) =    Mr

 T φ r mu& (0) , pro 

r = 1, 2,..., N

Vyřeší se soustava pohybových rovnic v hlavních souřadnicích – soustava nezávislých © rovnic – jednostupňové soustavy hlavních Salajka souřadnicích ©vVlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Řešení numerickou integrací s modálními počátečními podmínkami – Duhamelův integrál Po nalezení řešení v hlavních souřadnicích η r (t ) se provede přepočet do původních N

Souřadnic podle vztahu

u(t ) = Φη(t ) = ∑ φ rη r (t ) r =1

Řešení odezvy netlumené soustavy rozkladem podle tvarů kmitu v přemístěních Původní úvahy se vztahují k případům, kdy se pracuje s plnou množinou N vlastních tvarů Metoda rozkladu podle tvarů kmitu je efektivnější, pracuje-li se pouze se zúženou množinou vlastních tvarů soustavy Výběr počtu vlastních tvarů ovlivňuje přesnost řešení2009 © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Relativně malý počet tvarů produkuje velmi dobrou aproximaci přesného řešení

Přemístění u(t) lze aproximovat© Vlastislav ©výrazem Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

[

Nˆ

ˆ = φ , φ ...φ ˆ ˆ ηˆ (t ) = φ η (t ) , kde Φ uˆ (t ) = Φ 1 2 ∑ r r N r =1

]

124

Je využito pouze Nˆ vlastních tvarů z celkového počtu N tvarů, kdy Nˆ << N (například Nˆ = 50 , N = 1000) Pro netlumenou soustavu pohybové rovnice v hlavních souřadnicích &ˆ& + Kˆ ηˆ = Pˆ (t ) ˆη M Modální matice tuhosti a hmotnosti jsou diagonální soustava pohybových rovnic je soustavou Nˆ nezávislých rovnic © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 T Mrη&&r + K rηr = Pr (t ) , r = 1, 2,..., Nˆ , kde M r = φ r mφ r , K r = φTr kφ r a Pr (t ) = φTr P(t ) Celková odezva v r-tém tvaru může být vyjádřena jako superpozice odezvy na modální počáteční podmínky a odezvy na modální síly Pr(t)

 1 ηr (t ) = ηr (0 )cos(ωr t ) +   ωr

  1 η&r (0 ) sin(ωr t ) +    M r ωr

t  ∫ Pr (τ ) sin[ωr (t − τ )]dτ 0

Řešením jsou funkce přemístění ηr (t ) Po vyřešení odezvy v hlavních souřadnicích se provede zpětná substituce Nˆ

ˆ ηˆ (t ) = φ η (t ) uˆ (t ) = Φ ∑ r r r =1


Ustálená odezva netlumené soustavy na Salajka harmonické © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 buzení

(

)

p(t ) = P cos(Ωt )

Pr (t ) = Fr cos(Ωt ) , kde Fr = φTr P  U  p Při užití vztahu pro soustavu s 1 SV u p =  0 2  cos(Ωt ) , kde U 0 = 0 k  1− r    F  1 η r (t ) =  r   cos(Ωt ) 2  K r  1 − (Ω ωr )  Modální zatížení

P(t ) = ΦT P cos(Ωt )

nebo

125

Nˆ

ˆ ηˆ (t ) = φ η (t ) Po zpětné transformaci – dosazení ηr (t ) do uˆ (t ) = Φ ∑ r r r =1

  1   - ustálená odezva bez útlumu cos(Ωt ) 2 ( ) 1 − Ω ω  r  © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Příklad: Čtyřpatrová budova ,je modelována jako rovinná konstrukce s ohybově poddajnými sloupy. Harmonická budící síla P1 cos(Ωt ) působí v úrovni střechy F uˆ (t ) = ∑ φ r  r r =1  Kr Nˆ

Určete: a) Modální hmotnosti Mr a modální tuhosti Kr b) Modální síly Pr(t) c) Výraz pro ustálenou odezvu ηr (t ) d) Výraz pro uˆ1(t ) e) Vytvořte tabulku amplitud funkce uˆ1(t ) při Nˆ = 1 , Nˆ = 2 a Nˆ = 3 pro budicí frekvence Ω = 0 , Ω = 0,5ω1 a Ω = 1,3ω3 Určete u1(t) při N = 4 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 f) Proveďte rozbor řešení

u1 u2 u3 u4

Je dáno:

Matice tuhostí konstrukce Matice hmotností konstrukce © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 1 0 0 0

0  1 −1 0 − 1 3 − 2 0   k = 8 ⋅ 10 6   0 − 2 5 − 3   − 0 0 3 7  

Vlastní čísla zobecněné úlohy

0 2 0 0  m = 1⋅ 10  0 0 2 0   0 0 0 3 4

126

Vlastní vektory (tvary kmitu)

0,17672  0,87970    2 3 ω =  ⋅ 10 1,68746  3,12279 

 1,00000 1,00000 − 0,90145 0,15436  0,77910 − 0,09963 1,00000 − 0,44817   Φ= 0,49655 − 0,53989 − 0,15859 1,00000    0 , 23506 − 0 , 43761 − 0 , 70797 − 0 , 63688  

Vlastní úhlové frekvence

© Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Vlastní tvary kmitu

13,294  29,660    ω=  41 , 079   55,882 

f1 = 2,116 Hz

Řešení:

f2 = 4,714 Hz

a) Výpočet modálních hmotností a modálních tuhostí M r = φTr mφ r

a

© Salajka ©r2Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Kr = ω M r

f3 = 6,538 Hz

f4 = 8,894 Hz

T

 1,00000  0,77910    M1 =   0 , 49655   0,23506 

1⋅ 10 4   0  0   0

0 0 0   1,00000  © Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009   4 2 ⋅ 10 0 0  0,77910    0 2 ⋅ 10 4 0  0,49655   0 0 3 ⋅ 10 4  0,23506 

K1 = ω12M1 = 507,695 ⋅ 10 4 K 2 = ω22M 2 = 1915,39 ⋅ 10 4 b) Výpočet modálních sil P1  0    p=  0   0 

Fr = φTr p

K 3 = ω32M 3 = 7368,43 ⋅ 10 4 K 4 = ω42M 4 = 11374,4 ⋅ 10 4

M1 = 2,97288 ⋅ 10 4 M 2 = 2,17732 ⋅ 10 4 M 3 = 4,36653 ⋅ 10 4 M 4 = 2,97288 ⋅ 10 4

127

F1 = P1, F2 = P1, F3 = −0,90145P1 a F4 = 0,15436P1

© Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav ( (Ωt ) , kde r = Ω FrSalajka / K r )cos2009 ( ) η t = r c) Jedná se o harmonické buzení r 2 ωr 1 − rr d) Hledaná aproximace uˆ1(t ) (v posunutích)

(

Nˆ

uˆ1 (t ) = ∑ (φ1 )r ηr (t ) r =1

e) Výraz pro všechny tvary kmitu u1(t )

)

1,0 ⋅ P1 cos(Ωt ) ˆ u1 (t ) = N =1 507,695 ⋅ 10 4 1 − Ω 2 / 176,72  1,0 ⋅ P1 cos(Ωt ) + 1915,39 ⋅ 10 4 1 − Ω 2 / 879,70 − 0,90145 ⋅ (− 0,90145 ) ⋅ P1 cos(Ωt ) + 7368,43 ⋅ 10 4 1 − Ω 2 / 1687,46

[

]

[

]

[

  Nˆ = 2  

]

0,15436 ⋅ 0,15436 ⋅ P1 cos(Ωt ) © © Vlastislav Vlastislav+Salajka Salajka 2009 2009 11374,4 ⋅ 10 4 1 − Ω 2 / 3122,79

[

]

   Nˆ = 3    

Konstanta c ve výrazu u1(t ) = cP© tabulka2009 (Ωt ) vizSalajka 1 cos Vlastislav © Vlastislav Salajka 2009 Nˆ = 1 Ω=0

Ω = 0,5ω1 Ω = 1,3ω 3

1,970·10

Nˆ = 3

Nˆ = 2 –7

2,626·10–7

2,492·10

–7

3,176·10–7

2,602·10

Nˆ = 4 –7

3,289·10–7

2,604·10

128

–7

3,290·10–7

–1,301·10–8 –3,630·10–8 –5,228·10–8 –4,987·10–8

f) Závěry Při užití pouze jednoho tvaru kmitu pro žádnou budící frekvenci nebyla získána dostatečně přesná aproximace řešení Při užití tří tvarů kmitu bylo získáno prakticky přesné řešení pro Ω = 0 a Ω = 0,5ω1 Protože budící frekvence Ω = 1,3ω3 vlastní frekvenci ω4 není možné získat věrohodné řešení při menším počtu tvarů © Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2009 2009 Fr φTr P Modální statická výchylka Dr = = Kr

Kr

hraje stejnou roli jako statické přemístění U0 u jednostupňových soustav Příklad: Pro čtyřpatrovou budovu řešenou v předchozím příkladě se má vyčíslit 1 1 1 0    Fr a Dr pro dva případy zatížení pa =   a pb =   1 0 Řešení: S využitím tvarů kmitu 0 1 T T 1,00000  1  1,00000  1 0,77910  0 0,77910  1        T T F1a = φ1 pa =  F1b = φ1 pb =     = 1,00000 ,    = 2,51071 0 , 49655 0 0 , 49655       1 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 0,23506  0 0,23506  1

atd.

Modální síly

F1a = 1,00000 F2a = 1,00000 F3a = –0,90145 F4a = 0,15436

F1b = 2,51071 © Vlastislav © Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 F = –0,07713 2b

F3b = –0,76801 F4b = 0,06931 D1a = 1,9697·10–7 F D2a = 5,2209·10–8 Výpočet modálních výchylek Dr = r D3a = –1,2234·10–8 Kr D4a = 1,3571·10–9

129 D1b = 4,9453·10–7 D2b = –0,4027·10–8 D3b = –1,0423·10–8 D4b = 0,6094·10–9

Tvar kmitu společně s rozdělením sil určuje hodnotu Fr V případě, že tvary jsou normovány vzhledem k 1,0 potom tuhost vzrůstá s číslem tvaru Řešení odezvy netlumené soustavy rozkladem podle tvarů kmitu ve zrychleních © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Při řešení v přemístěních - nedostatky: Řešení selhává v případě statického zatížení Konvergence ke správnému řešení je obvykle pomalá Řešení ve zrychleních - nedostatky odstraňuje && + ku = p(t ) je přepsána u = k −1(p(t ) − mu && ) Soustava pohybových rovnic mu &ˆ& obdobně jako u řešení v přemístěních && lze aproximovat pomocí u Člen u Aproximace

(

&ˆ& ~ = k −1 p(t ) − mu u

S využitím vztahu

Nˆ

)

Nˆ

~ = k −1p(t ) − k −1 mφ η&& &ˆ&(t ) = φ η&& (t ) aproximace u u ∑ r r ∑ r r r =1

1,..., N 2009 ©=Vlastislav Vlastislav 0 , kde r =Salajka Salajka 2009 Vzhledem ke vztahu (k − ωr m)φ r©

r =1

Nˆ  1  −1 ~ u = k p(t ) − ∑  2 φrη&&r r =1  ωr 

Nˆ  1  −1 ~ u = k p(t ) − ∑  2 φ rη&&r r =1  ωr 

První člen rovnici představuje pseudostatickou odezvu © Salajka ©vVlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Druhý člen v rovnici dává uvedené variantě název (řešení ve zrychleních)

130

Člen ω ve jmenovateli zvyšuje rychlost konvergence variantě řešení v přemístěních 2 r

Příklad: Zadání je shodné s předchozím příkladem Určete: ~ a) Výraz pro u1(t ) b) Vytvořte tabulku amplitud funkce u~1(t ) při Nˆ = 1, Nˆ = 2 a Nˆ = 3 pro budicí frekvence Ω = 0, Ω = 0,5ω1 a Ω = 1,3ω3 c) Porovnejte s řešením při N = 4 a s předchozí variantou řešení Proveďte rozbor řešení 2,60417 1,35417 0,72917 0,31250  © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009  1,35417  1 , 35417 0 , 72917 0 , 31250 −1  ⋅ 10 −7 Matice a inverzní k matici tuhosti k a ≡ k =  Řešení: Nˆ  1  a) u~1(t ) = a11P1 cos(Ωt ) − ∑  2 (φ1 )r η&&r r =1  ωr   Fr  Kr

Dále η r (t ) = 

  1   cos(Ωt ) 2  1 − (Ω ωr ) 

0,72717 0,72917 0,72917 0,31250    0,31250 0,31250 0,31250 0,31250 

2 Z čehož plyne, že η&&r (t ) = Ω η r (t )

Po dosazení do výchozí rovnice Nˆ  Ω2  ~ u1(t ) = a11p1 cos(Ωt ) + ∑  2 © (φ1Vlastislav )r ηr Salajka © Vlastislav Salajka 2009 2009 ω r =1  r 

Potom

  (Ωt )  Salajka u1 (t ) = 2,60417 ⋅ 10 −7 P1© cos Vlastislav 2009 © Vlastislav Salajka 2009    Ω 2 / 176,72 ⋅ 1,0 ⋅ P1 cos(Ωt ) Nˆ = 1   + ˆ  N = 2 507,695 ⋅ 10 4 1 − Ω 2 / 176,72  ˆ  N =3 Ω 2 / 879,70 ⋅ 1,0 ⋅ P1 cos(Ωt )   +   1915,39 ⋅ 10 4 1 − Ω 2 / 879,70  Ω 2 / 1687,46 ⋅ (− 0,90145 ) ⋅ (− 0,90145 ) ⋅ P1 cos(Ωt )  +  7368,43 ⋅ 10 4 1 − Ω 2 / 1687,46 Ω 2 / 3122,79 ⋅ 0,15436 ⋅ 0,15436P1 cos(Ωt ) + 11374,4 ⋅ 10 4 1 − Ω 2 / 3122,79

(

) [ ( ) [ (

(

(

)

(

)

131

)]

)]

[ (

[ (

)]

)]

b) Konstanta c ve výrazu u1(t ) = cP1 cos(Ωt ) viz tabulka © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

c) Závěry

Nˆ = 1

Nˆ = 2

Nˆ = 3

N=4

Ω=0

2,604·10–7

2,604·10–7

2,604·10–7

2,604·10–7

Ω = 0,5ω1

3,261·10–7

3,288·10–7

3,291·10–7

3,291·10–7

Ω = 1,3ω3

5,044·10–8 –2,506·10–8 –5,207·10–8 –4,987·10–8

1) Přesné statické řešení lze získat při Ω = 0 bez uvažování tvarů kmitu 2) Pro nízkou frekvenci 0,5ω1 stačí pouze jeden člen řady pro získání uspokojivého řešení - po přidání dalších členů přesnost aproximace prudce vzrůstá 3) Protože budící frekvence Ω = 1,3ω3 je blízká vlastní frekvenci ω4 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 není opět možné získat věrohodné řešení při menším počtu tvarů

2009 1 1 Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 &   Rovnice η r (t ) = η r (0 )cos(ωr t ) +© ( ) ( ) + η 0 sin ω t r ω  r M ω  r  r r Může být použita pro výpočet výrazu η&&r (t )

t  ∫ Pr (τ ) sin[ωr (t − τ )]dτ 0

132

P (t ) ω Obecný výraz pro η&&r = −ω η (0 )cos(ωr t ) − ωrη&r (0 ) sin(ωr t ) + r − r ∫ Pr (τ ) sin[ωr (t − τ )]dτ Mr Mr 0 může být upraven integrací po částech (per partes) t

2 r r

t  1  d & & & [Pr (τ )]cos[ωr (t − τ )]dτ  η r = −ω η (0 )cos(ωr t ) − ωrη r (0 ) sin(ωr t ) + Pr (0 )cos(ωr t ) + ∫ Mr  d τ 0  2 r r

Řešení rovnic se zpravidla provádí numericky © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Výpočtový postup ukázal na možnost pracovat pouze s Nˆ vlastními frekvencemi a odpovídajícími vlastními tvary kmitu – takto se často postupuje u praktických úloh Důležitý krok je výběr počtu frekvencí a tvarů – vyžaduje se min. 90% kmitající hmoty Řešení rozkladem podle vlastních tvarů kmitu viskózně tlumených soustav Popisuje se metoda metoda rozkladu podle vlastních tvarů kmitu při řešení odezvy soustav s viskózním modelem tlumení - soustava modálních pohybových rovnic je opět vzájemně nevázaná Speciální pozornost je věnována odezvě na harmonické buzení - tato odezva hraje důležitou roli při návrhu a posouzení konstrukcí zatížených rotujícími účinky strojů, © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 harm. buzením větrem, dopravním proudemSalajka (chodci)2009 apod.

Pohybové rovnice v modálních © souřadnicích popisující soustavu s mnoha stupni volnosti 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009

&& + Cη& + Kη = P(t ) Mη

133

Předpokládá se, že soustava je tlumena – viskózní model tlumením T Matice tlumení c je taková, že platí φ r cφ s = 0 , pro r ≠ s

Potom soustava pohybových rovnic je soustavou vzájemně nevázaných rovnic Soustava rovnic může být zapsána (jednostupňové soustavy v modálních souřadnicích)  1 

Pr (t ) , pro r = 1, 2,..., N η&&r + 2ζ r ωrη&r + ωr2η r =   Mr 

kde ξr je modální tlumící faktor© tlumení) Vlastislav Salajka ©(modální Vlastislav Salajka 2009 2009 Lze jej vyčíslit ze vztahu

Řešení rovnic

ζr =

 1 Cr =  2M r ωr  2M r ωr

 T φr cφ r 

se provádí stejným způsobem jako u jednostupňové soustavy

 1 ηr (t ) =   M r ωdr

t ∫ Pr (τ )e −ζ r ωr (t −τ ) sin[ωdr (t − τ )]dτ + η r (0 )e −ζ r ωr t cos(ωdr t ) + 0  1   [η&r (0) + ζ r ωrη r (0)] e −ζ r ωr t sin(ωdr t ) , + Duhamelův integrál  ωdr 

kde

ωdr = ωr 1 − ζ r2

© 2009 - vlastní úhlováSalajka frekvence tlumené soustavy © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

Po vyřešení N modálních rovnic© se provede zpětná Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009substituce do rovnice N

u(t ) = ∑ φ rη r (t )

134

r =1

Je-li použito pouze Nˆ tvarů (řešení v přemístěních), potom řešení úplně ignoruje vliv tvarů Nˆ + 1 až N V případě řešení ve zrychleních se vychází z rovnice &&] u = k −1[p(t ) − cu& − mu

Potom aproximace řešení  1  ~(t ) = k p(t ) − k c φ η& (t ) −©kVlastislav  2 Salajka u m φ rη&&r (t ) 2009 © Vlastislav Salajka 2009 ∑ ∑ r r ω r =1 r =1  r  −1

−1

Nˆ

−1

Nˆ

Metoda rozkladu podle vlastních tvarů kmitu v případě výpočtu ustálené odezvy viskózně tlumené soustavy harmonicky buzené silou p(t ) = P cos(Ωt )  1 

2 Fr cos(Ωt ) V tomto případě η&&r + 2ζ r ωrη&r + ωr ηr =   Mr  kde Fr se určí ze vztahu Fr = φTr P ♠

Stejně jako v případě soustavy s 1 SV, lze získat řešení v komplexních číslech 2 2  Fr  iΩ t  e 2009 Vlastislav η&&r + 2ζ r ωr η&© + ω η = ω © Salajka 2009 r Vlastislav r r r Salajka K  r

Ustálený stav η r lze vyčíslit ze© Vlastislav ©vztahu Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

η r = Hη

r

/ Fr

(Ω )Fr e iΩ t

♣

135

kde H η IF (Ω ) je funkce komplexní frekvenční odezvy pro hlavní souřadnice r

r

H r (Ω ) = H ηr / Fr (Ω ) =

1 Kr 1 − rr2 + i (2ζ r rr )

(

♥

)

Obdobně jako dříve u jednostupňových soustav ηr (t ) =

Fr K r

(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2 r

2

cos(Ωt − α r ) , kde tan α r =

r r

2ζ r rr 1 − rr2

Komplexní frekvenční odezva u© veVlastislav fyzickýchSalajka (zobecněných) 2009 © Vlastislav Salajka 2009 souřadnicích v komplexním vyjádření N

u(t ) = Φη(t ) = ∑ φ rη r (t ) r =1

Po dosazení rovnice ♣,

♠a♥

 φ r φTr P    iΩ t 1  u(t ) = ∑  e 2  K 1 − r + i ( 2 ζ r ) r =1  r r r r   N

(

)

Funkce komplexní frekvenční odezvy H ij (Ω ) pro fyzické souřadnice dává odezvu ui na jednotkové harmonické buzení pj  (φi )r (φ j )r    1 H ij (Ω ) = H ui p j (Ω ) = ∑  © Vlastislav Salajka ©Vlastislav Salajka 2009   2009 2 ( ) K 1 − r + i 2 ζ r r =1  r r r r   N

(

)

Ustálená odezva u(t )


  φ r φTr P   1  cos(Ωt − α r )  u(t ) = ∑   2 K r   1 − r 2 + (2ζ r )2  r =1  r r r  

136

N

(

)

kde αr se určí z rovnice tan α r =

,

2ζ r rr 1 − rr2

Graf funkce H ij (Ω ) v komplexní rovině se nazývá grafem komplexní frekvenční odezvy V tomto případě Ω je parametr a složka I H je vykreslována vzhledem k R H

( )

R H ij

 (φi )r (φ j )r = ∑ Kr r =1  N

( )

( )

(

( )

)

( )

a IH

( ) 

N  (φ ) φ   1 − rr2 i r j  I H a ij = ∑   2 2 © Vlastislav Salajka 2 Salajka 2009 2009 Kr rr )    1 − rr + (2©ζ rVlastislav r =1 

Někdy se zobrazuje R H

( )

( )

vzhledem k f =

r

   2 2 2   1 − rr + (2ζ r rr ) 

(

Ω 2π

Funkce frekvenční komplexní odezvy se nazývá také přenosná funkce a často se využívá pro určování vibračních charakteristik při experimentu


− 2ζ r rr

)

Dynamická napjatost v případě metody rozkladu podle tvarů kmitu © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Metoda rozkladu podle vlastních tvarů kmitu byla aplikována pro určení časové odezvy 137 funkce přemístění u(t) – jednoduše se dají určit derivace dle času (rychlost a zrychlení) V dynamické analýze se často vyžaduje určit časový průběh napjatosti (moment, posouvající síla, normálové a smykové napětí apod.) nebo extrémní hodnoty napětí v určitých místech konstrukce Symbolicky lze napjatost získanou metodu rozkladu podle vlastních tvarů kmitu v přemístěních vyjádřit takto: Nˆ

σˆ (t ) = ∑ Srη r (t ) r =1

© Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 kde Sr je příspěvek do vektoru napětí σ od r-tého tvaru kmitu při ηr = 1 V případě řešení ve zrychleních Nˆ ~ (t ) = σ −  1  S η&& (t ) σ ∑ ps  2 r r r =1  ωr  kde index ps označuje pseudostatické řešení Řešení ve zrychleních je výhodnější vůči řešení v přemístěních z hlediska rychlosti konvergence Příklad: Pro řešený příklad čtyřpodlažní budovy se mají určit výrazy pro příčné síly σi na úrovni © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 jednotlivých podlaží odpovídající r-tému tvaru kmitu.

Řešení: Z relativních posunutí © jednotlivých podlaží 2009 -2009 napjatosti Vlastislav © Vlastislav Salajka Salajka

σ 1 = k1(u1 − u2 ) ,

σ 2 = k 2 (u2 − u3 ) ,

Maticově 0 σ 1  k1 − k1 σ   0 k − k2  2  2 =   0 k3 σ 3   0 σ 4   0 0 0

σ 3 = k 3 (u3 − u4 )

a

σ 4 = k 4 (u4 − u0 )

138

Pro r-tý tvar kmitu platí 0  u1  0  u2    − k 3  u3   k 4  u 4 

0 S1  k1 − k1 S   0 k − k2   2 Sr =  2  =  0 k3 S3   0 S4   0 0 0 r

0  φ1  0  φ2    − k 3  φ3   k 4  φ4 

r

Pro hodnoty k a Φ z uvedeného příkladu 176,72  452,08   4 S1 =   ⋅ 10 , 627,58 752,19 

 879,70   − 1521,16   704,©  1853  Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009 42Vlastislav ,74     4 4 S2 =  S3 =   ⋅ 10 ,  ⋅ 10 a  − 254,47   1318,51  − 1400,35  − 2265,50

 482,02  − 2317,07    4 S4 =   ⋅ 10  3928,51  − 2038,02

Hodnoty modálních sil vzrůstají s číslem tvaru kmitu - z tohoto důvodu konvergence hodnot napjatosti je pomalejší než konvergence hodnot přemístění Proto se při určování napjatosti s výhodou se využívá metoda rozkladu podle tvarů kmitu ve zrychleních Závěrečná poznámka k metodě rozkladu podle vlastních tvarů kmitů Metodu rozkladu podle tvarů kmitu nelze použít pro řešení úloh, kdy matice k a m se mění v čase (materiálová a geometrická © Salajka © Vlastislav Vlastislav nelinearita), Salajka 2009 2009změna okrajových podmínek (kontaktní úloha) a v případě neproporcionálního útlumu

Metody přímé integrace při řešení dynamické odezvy © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

15

Útlum mnohostupňových soustav 139 Při řešení odezvy rozkladem podle vlastních tvarů kmitu byl uvažován speciální případ viskozního tlumení - tlumení vyhovovalo rovnici ortogonality φTr cφ s = 0 , pro r ≠ s

Matice c je matice viskózního tlumení ve fyzických (nebo zobecněných) souřadnicích a φ jsou vlastní tvary kmitu soustavy Vztah mezi modálním útlumem a útlumem v zobecněných souřadnicích

ζr =

 1 Cr =  2M r ωr  2M r ωr

 T φr cφ r 


Modální faktory tlumení (modální útlum) ζr jsou závislé na tom jak kmitá konstrukce nebo její část – kmitání lze odečíst z tvaru kmitu Kmitá-li například v určitém tvaru ocelová část je možné odhadnou úroveň tlumení pro tento tvar kmitu U tvarů kdy kmitají části z různých materiálů je těžké určit úroveň tlumení – příklad blokového základu, který je uložen na antivibrační vrstvě v betonové vaně; vana leží na podzákladí – železobeton beton základu 5-7 %, antivibrační vrstva 16 %, želbet. vana 5-7 %, podzákladí 10-20 % je těžké naladit tlumení pro tvar kdy kmitají všechny části Uvedený typ tlumení je nazýván© literatuře Salajka jako ortogonální, klasický, modální 2009 ©vVlastislav Vlastislav Salajka 2009 nebo proporcionální útlum

● Existuje celá řada případů, kde uvedený tlumení © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislavmodel Salajka 2009 není možné použít např. modely budov včetně podzákladí – úroveň tlumení budov je podstatně nižší 140 než tlumení zemin ● Mimo to se vyskytují případy neproporcionálního tlumení jako vliv kapaliny na konstrukci, silně tlumící části konstrukce (tlumiče na komínech apod.) ● V uvedených případech matice modálních tlumení není diagonální a použití metody rozkladu podle vlastních tvarů kmitu v reálném oboru není možné ● Výhodnějším postupem řešení odezvy se jeví metody přímé integrace pohybových rovnic ve fyzických (nebo zobecněných) souřadnicích – lze zahrnout do výpočtu matice fyzického tlumení zemin a tlumení jednotlivých částí konstrukce ● Obdobným postupem lze řešit nelineární úlohy (velké deformace, plasticita, kontakt apod.), kdy metody rozkladu podle tvarů kmitu nelze použít. © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ● Vzniká však otázka, jak jednoduše zahrnout fyzický útlum do výpočtu – definovat matici tlumení c přímo z vlastností každé části konstrukce je značně problematické – většinou nemáme dostatek informací o tlumení jednotlivých částí konstrukce Existuje postup, kterým lze jednoduše sestavit matici tlumení c Model proporcionálního tlumení - nazývaný Rayleighův model útlumu

c =α m+ β k

Matice tlumení c je lineární kombinací matic hmotností m a tuhostí k soustavy (konstrukce) Koeficienty α a β lze stanovit experimentálně nebo podle © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 modálního tlumení dvou vybraných významných tvarů kmitu

vyhovující rovnicím Nechť (ωr , φ r ) jsou vlastní dvojice © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 k − ωr2m φ r = 0 , pro r = 1, 2,..., N

(

)

141

Platí podmínky ortogonality φTr m φ s = M r δ rs

a

φTr k φ s = ωr2M r δ rs ,

Podle definice Rayleighova útlumu

(

)

φTr c φ s = α + βω r2 M r δ rs

kde δ rs je Kroneckerovo delta 1 je - li r = s δ rs = 0 je - li r ≠ s

Dříve bylo definováno, že Cr = φTr cφ r = 2M r ωr ζ r

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Kombinací posledních dvou rovnic

 1 α ζ r =  + βω r  2  ωr  Parametry Rayleighova útlumu lze jednoduše určit na základě výběru dvou hodnot ζr odpovídající dvěma vvybraným tvarům kmitu Řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých získáme parametry α a β Člen αm představuje inverzně proporcionální tlumení vzhledem k ωr Člen βk oproti tomu vede k lineárnímu nárůstu tlumení vzhledem k ωr Nevýhodou Rayleighova modelu je, Salajka že nezaručuje © Vlastislav 2009 ©tlumení Vlastislav Salajka 2009 realistické tlumení všech uvažovaných tvarů kmitu

Existuje postup, jak zahrnout do© tlumení vliv 2009 tlumení více tvarů Vlastislav Salajka ©matice Vlastislav Salajka 2009 Platí C = ΦT cΦ = diag (2ζ r ωr M r ) Potom c = Φ −T CΦ−1 Protože modální matice Φ je matice ortogonálních vektorů a platí M = ΦT mΦ Lze ukázat, že

(

)

I = M−1M = M−1ΦT m Φ = Φ−1Φ

Tedy

Φ−1 = M−1ΦT m

#


Kombinací rovnic a #

(

) (

c = m Φ M−1 C M−1ΦT m

)

Protože matice M a C jsou matice diagonální - potom N  2ζ ω  T c = ∑  r r (mφ r )(mφ r ) r =1  M r  .

V případě limitovaného počtu Nc tvarů kmitu odpovídajících nízkým frekvencím lze výše uvedenou rovnici upravit  2ζ ω c = ∑  r r r =1  M r Nc

 (mφ r )(mφ r )T © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 

142

Tento postup vytváří matici tlumení c, ve které není 2009 zahrnut © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 vliv tlumení tvarů (Nc + 1), (Nc + 2), …, N 143 Je možné modifikovat tuto rovnici tak, že tvary r = 1, 2, …, Nc mají definovaný (zadaný) poměrný poměrný útlum a tvary (Nc + 1), (Nc + 2), …, N mají tlumení větší než tvar Nc To je možné za předpokladu, že N −1  2ζˆr ωr  (mφ r )(mφ r )T , c = β k + ∑   r =1  M r  kde  zadané hodnoty, s = 1, 2,..., Nc   2ζ ω  β= N , ζ s =   ωs  ζˆr = ζ r − ζ Nc  r  , ζ , s = (Nc + 1), (Nc + 2),..., N  ωN  ωN  N ω   c   N  © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Přímá integrace pohybových rovnic vyžadujeSalajka použití2009 fyzické matice tlumení c c

c

c

c

c

Pro aproximaci tlumení lze použít Rayleighův model tlumení , model zobecněného proporcionálního tlumení nebo Příklad: a) Použijte rovnici pro určení matice tlumení ve fyzických souřadnicích pro případ čtyřpodlažní budovy (viz dříve řešený příklad) – dáno ζ1 = ζ2 = 0,01 b) Určete parametry tlumení ζ3 a ζ4 Řešení: a) Podle rovnice je pro Nc = 2  2ζˆ1ω1  2ζ 2 (mφ1 )(mφ1 )T© β = c = β k +  , kde a 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009  ω M 2 1  

 ω1   ω  2

ζˆ1 = ζ 1 − ζ 2 

Číselně

β=

 13,294  2 ⋅ 0,01 © Vlastislav Salajka 2009 −3 Salajka 2009 −4 ζˆ1 = 0,01 − 0,01  = 5,5179 ⋅ 10 = 6,7431© ⋅ 10Vlastislav 29,660  29,660 

144

1  4 0 mφ1 = 10 ⋅ 0  0

0 0 0  1,00000  1,00000  2 0 0 0,77910  1,55820  4  =  ⋅ 10 0 2 0 0,49655  0,99310   0 0 3 0,23506  0,70518 

0   2 −1 0  3 − 2 0  6 − 1 k = 8 ⋅ 10  0 − 2 5 − 3   0 −3 7  0

Po dosazení do výrazu pro c

.

0,03601   0,59051 − 0,45988 0,05071 − 0,45988 1,74233 − 0,99987 0,05611   ⋅ 10 4 c= Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2009  0,05071 − 0,99987 2,©  2009 74760 − 1,58258   0,05611 − 1,58258 3,80153   0,03601

b) Podle rovnice

 ωs    ω2 

ζ s = ζ 2  Potom

ζ 3 = 0,01⋅

pro s = 3, 4

41,079 = 0,0138 29,660

a

ζ 4 = 0,01⋅

55,882 = 0,0188 29,660

Při řešení dynamické odezvy soustavy s 1SV byla uvedena kroková metoda – metoda přímé integrace pohybové rovnice © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Existují obdobné postupy pro řešení soustav s konečným počtem stupňů volnosti

Základní myšlenka numerické integrace spočívá v tom, že řešení soustavy pohybových © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 rovnic && + cu& + ku = p(t ) mu 145 se hledá pouze v konečném počtu časových okamžiků t0, t1, …, tN – řešení po krocích Délka časového kroku je ∆t i = t i +1 − t i Na počátku řešení je nutno zohlednit počáteční podmínky u(0 ) = u0 a u& (0 ) = u& 0 Předpokládá se, že jsou známá přibližná řešení v časech t0, t1, t2, …, ti-1 Hledá se přibližné řešení v čase ti Použitý postup řešení definuje metodu numerické integrace Výběr metody numerické integrace ovlivňuje nároky na výpočet a přesnost řešení Metody se dělí na explicitní a implicitní © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Explicitní metody jsou vhodné pro řešení rychlých dynamických jevů – crash testy, návrh airbagů, výbuchy a rázy – krátká časová oblast – nelineární dynamika F(t)

Implicitní metody jsou vhodné pro řešení pomalých dynamických jevů – kmitání, © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 lineární dynamika – dlouhá časová oblast

Diferenční metoda – patří mezi© Vlastislav Salajka ©explicitní Vlastislavmetody Salajka 2009 2009 Využívá náhrady derivací podle času diferencemi Nechť ti+1 odpovídá časovému okamžiku t + ∆t a ti časovému okamžiku t

146

∆t i je časovým krokem ∆t

V případě nejjednodušší diferenční náhrady 1 (ut + ∆t − ut −∆t ) u& t = 2∆t 1 &&t = 2 (ut + ∆t − 2ut + ut − ∆t ) u ∆t &&t + cu& t + kut = p t © mu Po dosazení do soustavy pohybových rovnicSalajka - čas t 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 vznikne rovnice 1  2 1   1    1 c ut + ∆t = pt −  k − 2 m ut −  2 m − c ut − ∆t  2 m+ 2∆t  ∆t 2∆t   ∆t    ∆t

Diferenční metoda je výhodná, pokud je matice c = 0 nebo c = αm a při diagonální matici hmotnosti m Metoda je podmíněně stabilní T Podmínka stability - délka zvoleného integračního kroku ∆t ≤ , kde T je π nejmenší perioda kmitání soustavy © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Nevýhodou metody je, že v prvním kroku výpočtu je2009 třeba použít speciální postup

Newmarkova metoda - metoda© (průměrného) zrychlení - implicitní metoda Vlastislav 2009 ©konstantního Vlastislav Salajka Salajka 2009 Vztahy mezi přemístěním, rychlostí a zrychlením v čase t a t + ∆t  1  2 && & & ut + ∆t = ut + ∆tu& t +  − α u + α u t t + ∆t  ∆t   2 

&&t + δu &&t + ∆t ]∆t u& t + ∆t = u& t [(1 − δ )u

Parametry α a δ volíme tak, aby metoda byla stabilní 1 1 α = a δ = Při se jedná o metodu konstantního (průměrného) zrychlení 4 2 Soustava pohybových rovnic v čase t + ∆t &&t + ∆t + cu& t + ∆t + kut + ∆t = p t + ∆© mu © Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 t Vlastislav

&&t + ∆t vznikne soustava algebraických rovnic pro výpočet u

Po dosazení rovnic

(m + δ∆tc + α∆t k )u&& 2

&&t + ∆t Vyčíslený vektor u

  1  & &&t ( ) ( ) = − ku − c + ∆ t k u − 1 − δ c + − α ∆ t k ∆tu   t + ∆t t t   2    zrychlení se dosadí do rovnic pro přemístění a rychlost

Vypočtou se vektory přemístění ut + ∆t a rychlostí u& t + ∆t a jde se na další krok Je zřejmé, že není vhodné často měnit matici kˆ = m + δ∆tc + α∆t 2k Toho lze dosáhnou, kdy m, c, k a ∆t jsou konstantní – lineární úlohy dynamiky © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Metoda je jednoduchá a stabilní – velký integrační krok

147

Wilsonova θ-metoda metoda lineárního zrychlení rozšířeném intervalu t, t + θ∆t © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajkav2009 2009 - implicitní metoda 148 V libovolném časovém okamžiku platí τ && &&t +τ = u &&t + (ut +θ∆t − u&&t ) u θ∆t Po integraci 2 τ && t + (u&&t +θ∆t − u&&t ) u& t +τ = u& t + τ u 2θ∆t

τ 2 &&

3 τ (u&&t +θ∆t − u&&t ) ut +τ = ut + τ u& t + ut + 2 6θ∆t Po dosazení za τ = θ∆t θ∆t && Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 (ut +θ∆t + u&&t )©© Vlastislav u& t +θ∆t = u& t + 2 2 θ ∆t 2 (u&&t +θ∆t + 2u&&t ) ut +θ∆t = ut + θ∆tu& t +

&&t + ∆t u

6

Obdobně jako v Newmarkově metodě je nutno rovnice Tentokrát pro t + θ∆t

dosadit. do pohybových rovnic

&&t +θ∆t + cu& t +θ∆t + kut +θ∆t = p t +θ∆t mu &&t +θ∆t - po dosazení do rovnic , Vyčíslí se u a pro τ = ∆t lze vypočítat ut + ∆t a u& t + ∆t a jde se na další krok Stabilita a přesnost metody je závislá na výběru koeficientu © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 θ Metoda je stabilní při θ ≥ 1,37 - používá se θ = 1,4; optimální hodnota je θ = 1,420815

Vlastnosti krokových numerických integračních algoritmů – využití operátorů © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 Pohybová rovnice jednostupňové soustavy v čase ti+1 mu&&i +1 + cu& i +1 + kui +1 = pi +1 149 Derivace podle času lze nahradit konečnými diferencemi 2 ∆t ∆t & u = u + ∆ t u + u&&i + u&&i +1 a & & & & & & ui +1 = ui + ( ui + u ) i i i i +1 4 L Výše uvedené vztahy je možné zapsat maticově

(

i +1

   k c m  ui +1  0 0  − ∆t i     0 1  u& i +1  = 0 1 2     − ∆t i2  u&&i +1    1 ∆t i  1 0    4 

 0  ui   pi +1  ∆t i       u& i  +  0  2     ∆t i  u&&i   0  4 

nebo

Vlastislav Přímé řešení získáme po inverzi© k1 Salajka ©matice Vlastislav Salajka 2009 2009  − ∆t     4   −1 −1   ⋅  − ∆t i L = k1 = 2  c∆t i k∆t i   2 + m+    2 4   −1  

2 i

)

c∆t i c∆t i  − m + 4 2   k∆t i2  k∆t i  −  m + 4  2  −k c

        

k1ui +1 = k 0ui + p i +1

Součinitelé ξ a η k∆ti2 2 2 ξ= =ωn∆ti m c∆t η = i = 2ζωn∆ti m

 ∆t i2   Potom ui +1 = Aui + Lp i +1 ,  η    ∆t  η 4 1 t 1 + ∆ +         i   4  4    2      ∆t  p    1 1 −ξ ∆t i  ξ  a Fi +1 ≡ Lp i +1 =   i  i +1   kde A = k1−1k0 =  1 −     1 + η + ξ  2  m  4 2  1 + η + ξ   2∆t i       2 4    2 4  − ξ ©  ( ) ξ η η ξ − +   Vlastislav Salajka 2009  © Vlastislav Salajka 2009  − +  1  2  ∆t i   ∆t i  2 4    2 i

Příklad: © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Použijte metodu průměrného zrychlení pro získání vlastního kmitání netlumené soustavy o jednom stupni volnosti, kdy k = 1, m = 1, u(0) = 1 a u& (0 ) = 0 Vyberte odpovídající integrační krok a proveďte integraci pro 0 ≤ t ≤ 2 Řešení: Vlastní frekvence a perioda

ωn =

Volba časového kroku ∆t i = 0,2

k =1 m

Tn =

2π

ωn

= 2π

krok je menší než Tn/10

Dále ξ = ωn2 ∆t 2 = 12 0,22 = 0,04 , η = 2ζωn ∆t = 0 neboť ζ =0 0,20 0,01   0,99 © Vlastislav Vlastislav Salajka  − 0,01 0,98  ui +1 = Aui ,Salajka Protože se jedná o volné kmitání© kde A 2009 =2009 0 , 10   − 0,99 − 0,20 − 0,01 u (0 )  1      Pohybová rovnice u&& + u = 0 spolu s počátečními podmínkami u0 = u& (0 ) =  0  u&&(0 ) − 1 u&&(0 ) je určeno z pohybové rovnice    

Přesné řešení úlohy je u(t) = cos(t)  0,92158   0,98020      u(0,2) = u1 = Au0 =  − 0,19802  , u(0,4 ) = u2 = Au1 = − 0,38820  −2009 − 0,98020  © 0,92158  Vlastislav Salajka Salajka  2009   © Vlastislav

atd.

150

i

ti

u&&i

0

0,0

-1,00000

1

0,2

-0,98020

© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Přesnost algoritmů cos(ti)2009 ui 0,00000 1,00000 1,00000 - v amplitudě ( pokles amplitud) 151 - v periodě (protažení periody) -0,19802 0,98020 0,98007

2

0,4

-0,92158

-0,38820

3

0,6

-0,82646

4

0,8

-0,69861

5

1,0

-0,54309

6

1,2

-0,36606

7

1,4

-0,17454

8

1,6

0,02390

9

1,8

0,22139

10

2,0

0,41011

Stabilita algoritmů - podmíněně stabilní -0,71551 0,69861 0,69671 ∆t i ≤ ∆t cr -0,83968 0,54309 0,54030 při větší hodnotě než je -0,93059 0,36606 0,36236 kritická, řešení se rozpadne -0,98465 0,17454 0,16997 - nepodmíněně stabilní -0,99971 -0,02390 -0,02920 při velkém časovém -0,97519 © -0,22139 -0,22720 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 kroku algoritmy fungují -0,91204 -0,41011 -0,41615 - nárůst numerické chyby

u& i

-0,56300

0,92158 0,82646

0,92106 0,82534

Soustava s 1 SV – buzení počáteční výchylkou

Newmarkova metoda

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Wilsonova θ-metoda - θ = 1,4

Odezva konstrukcí na buzení © seismickým zatížením Vlastislav 2009 © Vlastislav Salajka Salajka 2009– pohybem podzákladí Dělení na technickou seizmicitu a přírodní seizmicitu

16 152

● Technická seizmicita vzniká jako následek působení člověka ● Přírodní seizmicita - nezávisle na působení člověka

Charakteristiky ● intenzita zemětřesení seizmického zatížení ● velikost zemětřesení

Problémy při určování seizmického zatížení © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ● náhodnost buzení ● nelineární charakter buzení Zrychlení - akcelerogramy Rychlosti Přemístění Potřeba stanovení odezvy na seizmické buzení pro návrh Seismické oblasti světa mezi roky 1990 - 2000 s uvedenou hloubkou ohniska Z obrázku je jasné, že ve většině oblastí vnikají otřesy v hloubkách do 70 km a posouzení Hlubší ohniska jsou vázána čistě na desková rozhranní, především subdukční ● stavebních objektů zóny Tichého oceánu (zdroj: http://www.usgs.gov/). © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ● technologie

Intenzita zemětřesení


je veličina, která je určována na základě pozorování makroseizmických účinků 153 zemětřesení Tyto zahrnují různé stupně poškození staveb, vznik prasklin a puklin v povrchu, případný pokles nebo vzestup terénu, sesuvy apod. Intenzita je tedy čistě subjektivní veličina závislá na určení míry škod, které vznikly V souvislosti s otřesy Její velikost je v každém místě pozorování odlišná a klesá se vzdáleností od epicentra Popis stupnice MM (Modified Mercalli) s uvedeným zrychlením povrchu (BRÁZDIL, R., et al, 1988) Zrychlení (mm.s-2)

Stupeň

Označení

I.

nepozorovatelné

do 2,5

Člověk nerozpozná, pouze přístroje

II.

velmi slabé

2,5 - 5

Rozpoznatelné v horních patrech budov citlivými lidmi

II.

slabé

5 - 10

Vibrace, lustry se pohybují; srovnatelné s vibracemi způsobenými projíždějícím těžkým nákl. automobilem

IV.

mírné

10 - 25

Drnčení oken, cinkot příborů a nádobí, zdi vydávají praskavé zvuky

V.

málo silné

25 - 50

Lze rozpoznat v krajině, probouzí spící, praskání oken, kyvadlové hodiny se mohou zastavit

VI.

silné

VII.

velmi silné

100 - 250

Lze jen obtížně stát, zvony zvoní, trhliny ve zdech

VIII.

bořivé

250 - 500

Padají komíny, poškození budov, pohybující se těžký nábytek

IX.

pustošivé

X.

ničivé

1000 - 2500

Zničené budovy, porušení přehrad, velké trhliny v půdě

XI.

katastrofické

2500 - 5000

Roztržení kolejí a potrubí, zničené mosty, změny terénu

XII.

globální

50 - 100

500 - 1000

přes 5000

Popis


Vrávorání při chůzi, padají předměty, rozbíjí se nádobí, praskliny v omítce

Panika, vážné poškození domů, větší trhliny v půdě

Velké předměty létají vzduchem, úplné zničení, rozsáhlé terénní změny


Velikost zemětřesení je objektivně změřitelnou veličinou © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Vyobrazení stavby a funkce seismografu

Posunutí

154

http://www.parautochthon.com/

Přírodní seizmicita ČR Rychlost

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Zrychlení

Technická seizmicita ČR Poddolované území – Sev. Morava

El Centro 1940 – horizontální směr Ukázka záznamů zemětřesení – © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 akcelerogramy - zrychlení ve svislém směru

Postupy při řešení odezvy na© seizmické Vlastislav Salajka © Vlastislavbuzení Salajka 2009 2009 Řešení s využitím akcelerogramů – řešení v časové oblasti Řešení s pomocí lineárních spekter odezvy

155

Řešení s využitím akcelerogramů – stejný postup jako při řešení na obecné buzení – buzení akcelegramy Řešení s pomocí lineárních spekter odezvy Odezva soustavy s 1SV buzené zemětřesením - spektra odezvy Pohybová rovnice v případě buzení pohybem základu Absolutní pohyb u(t) Relativní pohyb w(t)

mu&& + cu& + ku = cz& + kz © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 & & & & & mw + cw + kw = −mz +

Řešením rovnice + pomocí Duhamelova integrálu lze získat wmax a maximum absolutního zrychlení Pro případ ignorování znaménka v + a rozdílu mezi ωn a ωd potom t  1  w (t ,w n ,ξ ) =  W (t ) , kde W (t ) = ∫ z&&(τ )e −ξωn (t −τ ) sin ωn (t − τ )dτ  ωn  0 Maximální hodnota relativní výchylky se objeví v čase tm a označuje se symbolem Sd – spektrální výchylka  1  Sd (T ,ξ ) = w max =  W (t n )© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 ω  n

T = 2πSalajka ωn se2009 Graf Sd v závislosti na vlastní periodě nazývá spektrum odezvy výchylky © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009

W(t) má rozměr rychlosti

156

Maximální hodnota W(t) se nazývá spektrální pseudorychlost (Sv). Graf Sv v závislosti na periodě T se nazývá spektrum odezvy pseudorychlosti Sv (T ,ξ ) = W (t n ) = ωnSd 2 Maximum absolutního zrychlení pro netlumenou soustavu u&&max = ωn w max

Uvedený vztah neplatí pro tlumenou soustavu, maximální absolutní zrychlení slabě tlumené soustavy může být aproximováno spektrálním pseudozrychlením Sa

Sa (T ,ξ ) = ωd2Sd = ωd Sv


Graf Sa versus T se nazývá spektrum odezvy pseudozrychlení Maximální síla v pružině – kSd

(fs )max = kSd m1 c1

a1max … k1

 k  =  2 Sa = mSa  ωn 

mi ci

aimax ki

ci+1

ai+1max

anmax mn … kn ki+1 cn © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Mi+1

Pro frekvence (periodu) od f1 do fn s krokem ∆f se určí max. odezva – např. zrychlení a a sestaví se tabulka Sa v závislosti na f nebo T a útlumu

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Upravené spektrum zrychlení Spektrum zrychlení

Akcelerogram Směr x

Směr x

157

1,7 Sa [m.s-2]

1,6

X00 X02 X05 X07

1,5 1,4

Sax

1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Frekvence [Hz]

Směr y

1,3

Směr y Say © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009

Sa [m.s-2]

1,2

Y00 Y02 Y05 Y07

1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Frekvence [Hz]

Směr z

Směr z Saz

1,5 Sa [m.s-2]

1,4

Z00 Z02 Z05 Z07

1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1


0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Frekvence [Hz]

20

22

24

26

28

30

32

Ostré špičky a propady jsou výsledkem lokálních rezonancí © Salajka 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 a antirezonancí při pohybu základu 158 Pro návrh je nutno spektra vyhladit a normalizovat vzhledem ke standardní intenzitě Návrhové spektra dle EC8 s různým poměrným útlumem Vertikální směr buzení

Horizontální směr buzení 0.45

0.40 Sa (0%)

0.40

Sa (5%)

0.30

Sa (10%)

0.25 Sa [g]

0.30 Sa [g]

0.35

Sa (2%)

0.35

0.25 0.20

0.20 0.15

Sa (0%)

0.15

Sa (2%)

0.10

0.10

Sa (5%)

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 0.05

0.05 0.00

Sa (10%)

0.00

0

5

10

15

20

25

30

35

0

5

f [Hz]

10

15

20

25

30

35

f [Hz]

Uvedená spektra platí pro úroveň základu Pro posouzení konstrukcí (např. příček, technologie) je třeba získat tzv. podlažní spektra odezvy – sestavují se stejně, ale z odezvy na úrovni podlaží Základové spektrum © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Spektrum – poslední patro panelového domu

Odezva vícestupňové soustavy na buzeníSalajka zemětřesením © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Příklad: Třístupňové soustava – model třípatrové budovy hmotnosti m1, m2, m3, tuhosti k1, k2 a k3 Soustava pohybových rovnic v relativních souřadnicích m1 0 0 m 2   0 0

&&1  k1 + k 2 − k 2 0  w1  0  w m1 0  &&      m2 0  w 2  +  − k 2 k 2 + k 3 − k 3  w 2  = −  0 &&3   0  0 m3  w − k 3 k 3  w 3  0

0  1  0  1z&&(t ) m3  1

&& + kw = −m1z&&(t ) Nebo kompaktněji mw V případě s tlumením

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 && + cw & + kw = p eff (t ) , kde p eff (t ) = −m1z&&(t ) mw ☻

Řešení bude provedeno rozkladem podle vlastních tvarů kmitu Transformace souřadnic N

w = Φη = ∑ φ r ηr (t )

☺

r =1

Po transformaci - nezávislé rovnice

 1 

Pr (t ) , η&&r + 2ζ r ωrηr + ωr2ηr =   Mr 

T kde Pr (t ) = φ r m1z&&(t )

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 - zanedbáno znaménko oproti rovnici ☻

159

Nechť

γ r = φTr m1 = 1T mφ r

Potom Pr (t ) = γ r z&&(t )

je © participační faktor odpovídající vlastnímu tvaru kmitu r Vlastislav 2009 © Vlastislav Salajka Salajka 2009

160

Analogicky vztahům pro jednostupňovou soustavu  γ ηr (t ) =  r  M r ωr

t  Wr (t ) , kde Wr (t ) = z&&(τ )e −ζ r ωr (t −τ ) sin ωr (t − τ )dτ ∫0 

Sloučením rovnic ☺ a  γ W (t )  w = ∑ φ r  r r  r =1  M r ωr  N

Vlastislav Salajka 2009 © Vlastislav Salajka 2009pohybem základu metodou Uvedená rovnice je vhodná pro © řešení odezvy na buzení rozkladu podle vlastních tvarů kmitů – jako buzení jsou použity akcelerogramy (záznamy zrychlení pohybu základu) Maximální relativní přemístění (dynamická odezva) odpovídající r-tému tvaru vyjádřené pomocí spektra odezvy (maximum pro frekvenci odpovídající r-tému tvar kmitu)  γr   γr     Sa (Tr ,ζ r ) (Sa (T ,ξ ) = ωd2Sd = ωd Sv ) ( ) max w r (t ) = φ r  S T , ζ = φ v r r r  M  t  M r ωr   r Výsledná odezva se skládá s odezev všech tvarů kmitu Po vyčíslení všech odezev pro jednotlivé tvary kmitu je třeba tyto odezvy sečíst Objevuje se komplikace v důsledku toho, žeSalajka dosažené maxima odezvy pro jednotlivé © 2009 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 tvary nastávají v různých časech

Potom maximum odezvy získané přímo se nerovná maximu součtu odezev získaných © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 2009 N pomocí spektra odezvy max w (t ) ≠ ∑ max w r (t ) t

r =1

t

161

Přímý součet jednotlivých odezev dává konzervativní výsledky Uspokojivé přibližné maximum se velmi často definuje pomocí sumace SRSS - dobré výsledky pro oddělené frekvence

(

)

N 2 max Q(t ) ≅ ∑ max Q r (t )  t  r =1 t 

1/ 2

kde Q je libovolná odezvová veličina && r )eff = ωr2 w r odpovídajícího Odezva při použití modálního efektivního zrychlení (w r-tému tvaru kmitu © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Například smykové síly přenášené na základ r-tý vlastní tvar kmitu – viz třípodl. budova N N  γ r ωr   γ r2ωr  2 T 2 T && ir )eff = ∑ ωr mi w ir = 1 mφ r ωr η i (t ) = 1 mφ r  Sr (t ) = ∑ mi (w  M Wr (t ) =  M Wr (t ) i =1 i =1  r   r  Maximum smykové síly přenášené na základ od r-tého vlastního tvaru  γ r2  Sa (Tr ,ζ r ) max S (t ) =  t  Mr  S využitím sumace odezev podle pravidla SRSS aproximace maxima smykové síly přenášené na základ  N  φ γ  max w (t ) = ∑  r r t  r =1  M r ωr

1/ 2

   SV© Salajka r ,ζ r )  Vlastislav Salajka 2009 2009  ©(TVlastislav    2

Salajka 2009 Horizontální směr buzení © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2009 Vertikální směr buzení 0.45

0.35

Sa (2%)

0.35

Sa (5%)

0.30

Sa (10%)

0.25 Sa [g]

0.30 Sa [g]

162

0.40 Sa (0%)

0.40

0.25 0.20

0.20 0.15

0.15 0.10

0.10

0.05

0.05

0.00

0.00

Sa (0%) Sa (2%) Sa (5%)

0

5

10

15

20

25

30

35

f [Hz]

Sa (10%)

0

5

10

15

20

25

30

35

f [Hz]

Odezva na spektra

Návrhové spektra dle EC8 s různým poměrným útlumem © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

Směr x

Směr y

Směr z

Ze spekter odezv lze vytvořit tzv. syntetické akcelerogramy - příklad syntetických akcelerogramů v časové oblasti 0 až 16 s © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009 Odezva na syntetické akcelerogramy

Dynamické výpočty metodou© konečných prvků (MKP) Vlastislav 2009 © Vlastislav Salajka Salajka 2009 Soustava pohybových rovnic v MKP && + cu& + ku = p(t ) mu

včetně počátečních podmínek u(0 ) = u0 a u& (0 ) = u& 0

a) Modální analýza – výpočet vlastních frekvencí a tvarů kmitů b) Řešení odezvy na obecné buzení ● přímá integrace pohybových rovnic ● metoda rozkladu podle vlastních tvarů kmitů c) Řešení odezvy na harmonické buzení u =Vlastislav f Salajka ● přímý postup (k − Ω m + iΩc )© © Vlastislav Salajka 2009 2009 ● metoda rozkladu podle vlastních tvarů kmitů 2

d) Spektrální analýza – dynamická odezva na buzení spektry odezvy ● buzení spektry v jednom „bodě“ – jedno spektrum pro všechny základy ● buzení spektry ve více „bodech“ – pro některé základy různá spektra Lineární dynamika a nelineární dynamika Programy na bázi MKP ANSYS, ABAQUS, LS-DYNA, ADINA, COSMOS, SYSTUS atd. © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2009 2009

163

DYNAMIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ. Konstrukce citlivé na dynamické zatížení štíhlé konstrukce. Vítr. Chodci. Vítr. Vítr. Vítr

Recommend Documents