KONSISTENSI ESTIMATOR
TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA II
Oleh 1. Wahyu Nikmatus S. (121810101010) 2. Vivie Aisyafi F.
(121810101050)
3. Rere Figurani A.
(121810101052)
4. Dwindah Setiari W. (121810101054) 5. Yasmin Farida
(121810101056)
6. Reyka Bella D.
(121810101080)
7. Ratna Savitri
(121810101086)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER 2014
Misalkan sebuah koin dilempar sebanyak n kali, dengan peluang munculnya gambar kepala yang dihasilkan adalah p. Jika lemparan tersebut independen, maka Y, jumlah gambar kepala yang dihasilkan diantara n lemparan, memiliki distribusi binomial. Jika nilai sebenarnya dari p tidak diketahui, proporsi sampel
⁄ adalah estimator dari p. Kemudian, apakah yang akan terjadi pada
proporsi sampel tersebut jika jumlah lemparannya meningkat? Kita beranggapan bahwa jika n semakin besar, maka ⁄ harus mendekati nilai kebenaran dari p. Artinya, jika sampel meningkat, maka estimator harus lebih dekat dengan besaran yang ditaksir.
Gambar 9.1 mengilustrasikan nilai-nilai
⁄
untuk barisan tunggal
dari 1000 percobaan Bernoulli dengan nilai sebenarnya dari p adalah 0,5. Perhatikan bahwa nilai-nilai p memantul di sekitar 0,5 ketika jumlah percobaannya kecil, namun mendekati dan berada sangat dekat dengan p = 0,5 saat jumlah percobaannya meningkat.
Barisan tunggal dari 1000 percobaan diilustrasikan pada Gambar 9.1 menghasilkan (untuk n yang lebih besar) nilai estimasi yang sangat dekat dengan nilai kebenarannya, yaitu p = 0,5. Apakah penambahan barisan akan menghasilkan hasil yang sama? Gambar 9.2 menunjukan hasil
dari
penggabungan 50 barisan dari 1000 percobaan. Perhatikan bahwa 50 barisan berbeda tidak sama. Sebaliknya, Gambar 9.2 menunjukkan “konvergensi”dengan nilai kebenaran p=0,5. Hal ini ditunjukkan dengan lebih luasnya nilai estimasi untuk percobaan dengan jumlah yang lebih kecil, tetapi banyaknya nilai lebih terbatas ketika jumlah percobaan lebih besar. Pada gambar 9.2, kita dapat menunjukkan jenis dari konvergensi. Pada umumnya, kita menguji peluang menggunakan selisih antara estimator dan parameter target yaitu
⁄
, akan kurang dari
yang berubah-ubah. Pada
gambar 9.2 terlihat bahwa untuk mengindikasikan bahwa peluang mungkin meningkat selama n juga lebih besar. Jika asumsi kita benar dan n itu besar, maka peluang akan mendekati 1. Jika pada kenyataannya peluang itu cenderung mendekati 1 untuk n → ∞, maka dapat dikatakan ⁄ adalah estimator konsisten dari , atau ⁄ adalah peluang yang konvergen untuk p.
Definisi 9.2
Estimator ̂ dikatakan estimator konsisten untuk bilangan
jika, untuk setiap sebarang
positif. |̂
|
|̂
|
Atau ekuivalen,
Notasi
̂ menyatakan bahwa estimator untuk
dihitung dengan
menggunakan sampel ukuran n. Misalnya, ̅ adalah rata-rata dari dua pengamatan sedangkan ̅̅̅̅̅ adalah rata-rata dari 100 pengamatan yang terdapat dalam sebuah sampel berukuran n = 100. Jika ̂ adalah estimator tak bias, teorema berikut sering digunakan untuk membuktikan kekonsistenan estimator. Teorema 9.1 Sebuah estimator tak bias ̂ untuk
disebut estimator konsisten dari
jika,
̂ Bukti: Jika Y adalah peubah acak dengan
dan
dan jika
maka berdasarkan teorema Tchebysheff’s mengakibatkan
Karena ̂ merupakan estimator tak bias untuk ̂
, maka
( ̂)
. Misalkan
√ ( ̂ ) menunjukkan standart error dari estimator ̂ . Jika teorema
Tchebysheff’s diaplikasikan untuk peubah acak ̂ , didapatkan |̂
|
̂
Misalkan n ukuran sampel yang ditentukan. Untuk setiap bilangan
positif,
̂
adalah sebuah bilangan positif. Penerapan teorema Tchebysheff’s untuk n yang ditetapkan dan pilihan dari k menunjukkan bahwa
(| ̂
|
(| ̂
)
|
[
̂
]
(̂)
̂)
[
̂
]
Dengan demikian, untuk sebarang n yang ditetapkan, (| ̂ ̂
Jika
|
)
(̂)
dan kita ambil limit
dari barisan peluang
sebelumnya, (| ̂
|
(̂)
)
Dengan demikian, ̂ adalah estimator konsisten untuk . Sifat konsistensi yang diberikan dalam definisi 9.2 dan dibahas dalam teorema 9.1 melibatkan jenis tertentu konvergensi dari ̂ ke . Untuk alasan ini, pernyataan “ ̂ adalah estimator konsisten dari
” terkadang digantikan dengan
pernyataan ekuivalen “ ̂ konvergen pada ”. Contoh 9.2 Misalkan dengan mean
menunjukkan sampel acak dari distribusi . Tunjukkan bahwa ̅̅̅
dan varians
∑
adalah
estimator estimator konsisten dari . (catatan:kita menggunakan notasi ̅̅̅ secara eksplisit menunjukkan bahwa ̅ dihitung dengan menggunakan sampel ukuran n). Solusi : kita tahu dari bab-bab sebelumnya bahwa Karena ̅̅̅ adalah bias untuk
dan
̅̅̅
selama
menentukan bahwa ̅̅̅ adalah estimator konsisten mengatakan bahwa ̅̅̅ konvergen ke
̅̅̅
dan
̅̅̅
.
, teorema 9.1
. Ekuivalen, kita dapat
, terkadang disebut dengan the law of large
numbers. Ini membuktikan bahwa untuk proses rata-rata digunakan oleh banyak peneliti untuk mendapatkan presisi dalam pengukuran. Sebagai contoh, suatu percobaan mengambil rata-rata bobot banyak hewan untuk mendapatkan perkiraan yang lebih tepat dari berat rata-rata hewan spesies ini. Percobaan ini didukung oleh Teorema 9.1 dimana nilai rata-rata yang dipilih harus cukup dekat dengan nilai yang sebenarnya berarti berat badan dengan probabilitas tinggi.
Pada bagian 8.3 kita menganggap sebuah estimator intuisif untuk selisih rata-rata dua populasi. Estimator yang dibahas adalah
,
, selisih rata-
rata independen contoh acak yang dipilih dari sampel dua populasi. Hasil Teorema 9.2 akan sangat berguna dalam membangun konsistensi penduga tersebut. Teorema 9.2 Misalkan ̂ konvergen di
dan ̂ konvergen di
a. ̂ + ̂ konvergen ke b. ̂
̂ konvergen ke ̂ ⁄ ̂ konvergen ke ⁄
c. Jika d. Jika
adalah fungsi real yang kontinu di
ke
, maka
̂ konvergen
.
Bukti dari Teorema 9.2 sama dengan bukti yang sesuai dengan kasus ini dimana {
} dan {
} adalah urutan bilangan real konvergen ke limit real dengan
batas a dan b. Sebagai contoh, jika
Contoh 9.3 Misalkan ,
dan
merupakan contoh acak sehingga
dan
semua terbatas. Tunjukkan bahwa ̅̅̅
∑ adalah estimator konsisten dari subscript
n
pada
maka
kedua
. (Catatan: kami menggunakan dan
̅
secara
eksplisit
menyampaikan
ketergantungannya pada nilai ukuran sampel n.) Solusi. Kita telah melihat pada bab-bab sebelumnya bahwa sebagai
,adalah ∑
Statistik
, dapat ditulis
⁄
∑
̅̅̅
(
)( ∑
̅ )
adalah rata-rata n independen dan terdistribusi secara
identik variabel acak, dengan
dan
.
Berdasarkan the law of large numbers (Contoh 9.2), kita tahu bahwa ⁄
∑
konvergen ke
.
Contoh 9.2 juga mengatakan bahwa ̅ konvergen untuk . Karena fungsi kontinu di semua x, Teorema 9.2(d) menyatakan bahwa ̅ konvergen untuk
. Kemudian mengikuti dari teorema 9.2(a) dimana ̅
∑ konvergen untuk
⁄
. Karena
konvergen ke 1 dimana
adalah barisan konstan
, kita dapat menyimpulkan bahwa
untuk
. Hal ini ekuivalen dengan
untuk
(ragam populasi).□
konvergen
(ragam contoh) adalah estimator konsisten
Teorema 9.3 Misal Un memiliki fungsi distribusi yang konvergen pada fungsi distribusi normal standar dimana
. Jika Wn konvergen pada peluang mendekati 1, maka
fungsi distribusi dari Un/Wn konvergen pada fungsi distribusi normal standar. Teorema tersebut mengikuti dari teorema umum yang diketahui sebagai teorema Slutsky(Serfling,2002). Pembuktian dari teorema tersebut berada di luar pembahasan subbab ini. Adapun kegunaan dari teorema di atas diilustrasikan pada contoh di bawah ini. Contoh 9.4 Misal Y1,Y2,...,Yn adalah contoh acak berukuran n dari sebuah distribusi dengan E(Yi) = µ and V(Yi) = σ2. Didefinisikan
sebagai
∑ Tunjukkan bahwa fungsi distribusi dari √
(
)
konvergen ke fungsi distribusi normal standar. Solusi : pada contoh 9.3, kita ditunjukkan bahwa mendekati σ2. Perhatikan bahwa
konvergen di dalam peluang
√ ⁄ adalah fungsi kontinu dari x,
jika x dan c keduanya bernilai positif. Maka, sesuai dengan teorema 9.2(d) bahwa
⁄
√ ⁄
konvergen pada peluang mendekati 1. Kita juga mengetahui
dari teorema limit pusat (teorema 7.4) dimana fungsi distribusi
√ (
)
konvergen pada fungsi distribusi normal standar. Oleh karena itu, teorema 9.3 mengartikan bahwa fungsi distribusi
√ (
) ⁄
√ (
) konvergen pada fungsi
distribusi normal standar. Dari contoh 9.4 menunjukkan bahwa, ketika n besar, √ (
) kira-kira memiliki
distribusi normal standar meskipun dibentuk dari distribusi yang samplenya sudah ditetapkan. Jika sample ditetapkan dari distribusi normal, berdasarkan pada bab 7 diperoleh bahwa √ (
) merupakan distribusi t dengan n – 1. Berdasarkan
informasi tersebut dapat dilihat jika sebuah sampel besar dapat diambil dari distribusi normal, dengan fungsi distribusi √ (
) dapat di approksimasi
dengan menggunakan fungsi standart distribusi normal. Oleh karena itu ketika n besar maka derajat bebas juga akan membesar, sehingga fungsi distribusi t konvergen menuju fungsi standart distribusi normal. Jika mengambil sampel besar dari setiap distribusi, berdasarkan contoh 9.4 bahwa √ (
) dapat diapproksimasi menggunakan distribusi normal. oleh
karena itu, diperoleh [
√ (
⁄
)
⁄
]
Jika kita memanipulasi ketidaksetaraan dalam sebuah pernyataan peluang untuk mengisolasi µ di tengah, maka :
[ Oleh karena itu
⁄
⁄
√
√
⁄
√
]
terbentuk suatu selang kepercayaan dengan sampel
besar untuk µ, dengan pendekatan koefisien kepercayaan menuju 1 – α . Berdasarkan teorema 9.3 dapat diaplikasikan untuk menunjukkan
⁄
√
merupakan selang kepercayaan dengan sample besar untuk p dengan pendekatan koefisien kepercayaan menuju 1 – α Pada bagian ini, kita dapat melihat sifat konsistensi menunjukkan sesuatu tentang jarak antara estimator dan estimator kuantitas. Kita dapat melihat, dimana ukuran sample adalah besar, Yn mendekati pada µ, dan
mendekati pada σ2,
dengan peluang tinggi. Kita akan melihat contoh lain estimator konsisten di dalam tugas – tugas dan chapter selanjutnya. Pada bagian ini, kita dapat menggunakan notasi Yn, umumnya,
, pn, dan, pada
, pada lebih eksplisit menyatakan kepercayaan estimator pada
ukuran sample n. Kita membutuhkan melakukan karena kita tertarik pada komputer ̂ Jika limit itu 1, maka ̂n adalah sebuah estimator “konsistensi” untuk
(lebih
tepatnya, ̂n sebuah urutan estimator konsistensi untuk θ). Sayangnya, notasi ini membuat estimator terlihat terlalu rumit. Selanjutnya, kita akan kembali pada notasi ̂ sebagai estimator untuk θ dan tampilan tidak eksplisit bergantung estimator pada n. Bergantung ̂ pada ukuran sample n selalu implisit dan harus digunakan kapanpun estimator konsistensi memungkinkan.
