ESTIMATOR PARAMETER TERBAIK PADA DISTRIBUSI -STABLE

ESTIMATOR PARAMETER TERBAIK PADA DISTRIBUSI -STABLE skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

oleh Putut Mitasarhi 4111409016

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2013

i

PERNYATAAN

Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya akan bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan perundang-undangan.

Semarang, 22 Juli 2013

Putut Mitasarhi NIM 4111409016

ii

PENGESAHAN Skripsi yang berjudul Estimator Parameter

Terbaik pada Distribusi -Stable

disusun oleh Putut Mitasarhi 4111409016 telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA UNNES pada tanggal 22 Juli 2013.

Panitia: Ketua

Sekretaris

Prof. Dr. Wiyanto, M. Si. NIP 19631012 198803 1001

Drs. Arief Agoestanto, M. Si. NIP 19680722 199303 1005

Ketua Penguji

Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. NIP 19820818 200604 2001 Anggota Penguji/ Pembimbing Utama

Anggota Penguji/ Pembimbing Pendamping

Dr. Scolastika Mariani, M.Si. NIP 19650210 199102 2001

Drs. Wuryanto, M.Si. NIP 19530205 198303 1003

iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN Motto: Peluang berhasil tercipta dari mencoba. Persembahan: Orang tua terhebat dalam hidupku Subandi dan Sujiati, terima kasih atas segalanya. Wiwik, Santoso, Agus, Ana, kakak-kakak terbaik yang Allah SWT kirimkan untukku, terima kasih seluruh dukungannya. Frestika, Ratnaningtyas, sahabat terbaik yang Allah SWT perkenalkan padaku. Kyuhyun, yang telah mengajarkan arti perjuangan untukku. Anak-anak kos Alif, teman-teman seperjuangan MIRC.

iv

KATA PENGANTAR Alhamdulillahirobil’alamin, puji syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan berkah serta hidayah-Nya kepada penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Sholawat serta salam semoga senantiasa tercurah kepada suri teladan yang mulia, Nabi Muhammad SAW yang telah memberikan tuntunan yang bijaksana untuk umat manusia umumnya dan pada penulis khususnya. Terselesaikannya skripsi ini, merupakan sebuah usaha dan perjuangan yang berlandaskan keteguhan, kesabaran, dan keikhlasan. Terima kasih atas kemurahan dari kekuasaan-Nya yang tidak tertandingi oleh apapun dan siapapun. Penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari berbagai pihak yang dari awal hingga akhir memberikan segenap dukungan, baik moral dan spiritual. Hanya ucapan terima kasih yang bisa penulis haturkan kepada pihak-pihak yang selalu memberikan dukungan tenaga, pikiran, dan semangat. 1.

Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum., Rektor Universitas Negeri Semarang.

2.

Prof. Dr. Wiyanto, M.Si., Dekan Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang.

3.

Drs. Arief Agoestanto, M.Si., Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang.

4.

Dra. Kristina Wijayanti, M.S., Ketua Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang.

5.

Dr. Scolastika Mariani, M.Si serta Drs. Wuryanto, M.Si, dosen pembimbing yang telah mencurahkan segenap bimbingan, kesabaran, dan pengertian

v

kepada penulis dari awal penyusunan sampai akhir selesainya skripsi ini. Mohon maaf jika selama ini banyak sikap yang kurang berkenan di hati Ibu dan Bapak. 6.

Iqbal Kharisudin, S.Pd., M.Sc. Terimakasih atas bimbingan, inspirasi dan semangat yang telah Bapak bagikan kepada penulis, sehingga semua ini bisa tercapai dengan maksimal.

7.

Seluruh Dosen di Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang yang telah membagikan banyak ilmu tentang berbagai hal kepada penulis.

8.

Bapakku Subandi dan Ibuku Sujiati yang selalu memberikan kekuatan dan inspirasi untuk tetap berjuang. Berbagai saran maupun kritik demi penyempurna lebih lanjut atas

penelitian pengembangan skripsi ini sangat diharapkan oleh penulis. Semoga memberi manfaat bagi penulis dan bagi pembaca.

Semarang, 22 Juli 2013

Penulis

vi

ABSTRAK Mitasarhi, Putut. 2013. Estimator Parameter Terbaik pada Distribusi -Stable. Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing I: Dr. Scolastika Mariani, M.Si., Pembimbing II: Drs. Wuryanto, M.Si. Kata Kunci: estimasi parameter distribusi stable, mean squared error, estimator Hint, estimator Hill, estimator McCulloch Kegagalan distribusi normal dalam menangani salah satu masalah yaitu kerugian ekstrim pada indeks saham yang terjadi menyebabkan konsekuensi yang cukup besar dalam menjalankan bisnis dalam dunia finansial dan khususnya untuk penilaian resiko. Solusi untuk menangani masalah tersebut adalah dengan mengganti distribusi normal dengan keluarga distribusi -stable. Sebagai awal dalam mengasumsikan bahwa sekumpulan data tersebut merupakan salah satu wujud dari keluarga distribusi -stable, maka perlu diketahui nilai indeks stabilitas dari sekumpulan data, selain untuk mengetahui ketebalan suatu ekor, dapat digunakan untuk mengindikasikan kemungkinan dari kenjadian-kejadian ekstrem, menunjukkan keberadaan momen yang paling maksimal dari suatu data dan membantu memilih pengujian statistik yang tepat untuk sekumpulan data tersebut. Pembahasan kali ini berpusat pada bagaimana menentukan estimator parameter terbaik pada distribusi stable dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum. Tiga estimator yang dipakai adalah estimator Hill, estimator Hint, dan estimator McCulloch, melalui simulasi data random hasil pembangkitan dengan dengan masing-masing ukuran sampel , ditentukan nilai MSE minimum untuk masing-masing estimator. Diperoleh hasil bahwa, MSE minimal dengan ukuran sampel ( ) optimal terjadi pada estimator Hint dengan yang berlaku untuk setiap yang diperiksa yaitu .

vii

DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL .................................................................................

i

PERNYATAAN ..........................................................................................

ii

PENGESAHAN ..........................................................................................

iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ..............................................................

iv

KATA PENGANTAR ................................................................................

v

ABSTRAK .................................................................................................. vii DAFTAR ISI ............................................................................................... viii DAFTAR TABEL .......................................................................................

xi

DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xii DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... xiv BAB 1.

2.

PENDAHULUAN ...............................................................................

1

1.1 Latar Belakang ...............................................................................

1

1.2 Rumusan Masalah ..........................................................................

8

1.3 Tujuan Penelitian ...........................................................................

8

1.4 Manfaat Penelitian .........................................................................

8

1.5 Sistematika Penulisan ....................................................................

8

LANDASAN TEORI ..........................................................................

10

2.1 Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang ......................... 10 2.1.1

Fungsi Distribusi ..................................................................... 10

2.1.2

Fungsi Kepadatan Peluang .....................................................

11

2.2 Fungsi Karakteristik ....................................................................... 15 2.3 Distribusi Kontinu .......................................................................... 18 viii

2.3.1

Distribusi Normal .................................................................... 18

2.3.2

Distribusi Normal Standar ....................................................... 23

2.3.3

Distribusi Cauchy Standar ....................................................... 26

2.3.4

Distribusi Cauchy ..................................................................... 29

2.4 Distribusi Stable ............................................................................ 30 2.5 Estimator ........................................................................................ 57 2.5.1

Estimator Parameter

............................................................. 57

2.5.1.1 Estimator Hill ....................................................................... 57 2.5.1.2 Estimator McCulloch ........................................................... 58 2.5.1.2.1 Estimasi untuk

dan

.................................................. 58

2.5.1.3 Estimator Hint ...................................................................... 60 2.6 R Studio Version 0.97.318 dengan R i386 2.15.3 ........................ 63

3.

2.6.1

Interface R Studio .................................................................... 63

2.6.2

Perintah dalam R Studio .......................................................... 67

METODE PENELITIAN ..................................................................... 71 3.1 Perumusan Masalah ........................................................................ 71 3.2 Studi Pustaka .................................................................................. 71 3.3 Pengumpulan Data .......................................................................... 71 3.4 Pemecahan Masalah ........................................................................ 71 3.5 Prosedur Penelitian ......................................................................... 72 3.6 Penarikan Kesimpulan .................................................................... 73

4.

HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 74 4.1 Simulasi dan Hasil Analisis............................................................. 74 4.1.1

Fungsi Penghitung Estimasi di Rstudio ................................... 74

4.1.2

Pembangkit Data ..................................................................... 74

4.1.3

Simulasi Data Hasil Bangkitan ................................................ 77

4.1.3.1 Simulasi untuk Estimator McCulloch .................................... 77 4.1.3.2 Simulasi untuk Estimator Hill ................................................ 77 4.1.3.3 Simulasi untuk Estimator Hint ............................................... 79 4.1.4

Analisis Hasil Simulasi ............................................................ 80

4.2 Contoh ............................................................................................ 82

ix

5.

PENUTUP ........................................................................................... 84 5.1 Simpulan ......................................................................................... 84 5.2 Saran ............................................................................................... 84

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 86 LAMPIRAN ................................................................................................ 90

x

DAFTAR TABEL Tabel

Halaman

4.1 MSE minimum untuk setiap

............................................................... 80

4.2 MSE minimum untuk setiap

............................................................... 81

xi

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Koefisien

Halaman ( )

untuk Perpotongan ̂

( ).......................

61

2.2 Interface R Studio ................................................................................. 63 2.3 Bagian Menu Utama .............................................................................. 64 2.4 Jendela Dokumen .................................................................................. 64 2.5 Jendela Console ..................................................................................... 65 2.6 Jendela Workspace dan History ............................................................. 65 2.7 Jendela Files, Plots, Packages, dan Help .............................................. 66 4.1 Jendela Packages Berisi Package stabledist ............................. ............ 75 4.2 Script generating.R ................................................................................ 75 4.3 Jendela Workspace R studio .................................................................. 76 4.4 Plot Garis dan Histogram 4.5 Hasil Simulasi Data

............................................................ 76 Menggunakan Estimator

McCulloch ............................................................................................ 77 4.6 Hasil Simulasi Data Hill

.......................................................................................... 78

4.7 Hasil Simulasi Data Hill

Menggunakan Estimator


....................................................................................... 79

4.8 Hasil Simulasi Data


Hint ....................................................................................................... 79 4.9 Scatter plot dan Histogram Data TLKMRETURN2 ............................. 82

xii

4.10 Hasil Estimasi data TLKMRETURN2 ...............................................

xiii

82

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran

Halaman

1.

Tabel McCulloch................................................................................... 90

2.

Plot Garis dan Histogram Data Random Berdistribusi Stable Hasil Bangkitan..................................................................................... 93

3.

Daftar Nilai ̂, MSE untuk Data Random Berditribusi Stable................................................................................ 115

4.

MSE Parameter

untuk Masing-masing Estimator ............................ 126

5.

Script Membangkitkan Data Random Berdistribusi Stable .............................................................................. 128

6.

Script Fungsi Estimator untuk Simulasi .............................................. 129

7.

Script Fungsi Estimator ........................................................................ 136

8.

Data Saham TLKM ................................................................... ........... 143

xiv

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Salah satu topik terpenting dalam statistika adalah masalah distribusi.

Permasalahan distribusi telah diajarkan namun hanya terbatas untuk beberapa model distribusi seperti distribusi binomial, poisson, gamma, chi-kuadrat, cauchy, dan normal. Dalam kehidupan nyata, distribusi normal adalah salah satu distribusi yang popular digunakan. Kenyataannya ada kalanya terdapat data-data yang berfluktuasi tinggi. Grafik data tersebut berupa grafik heavy-tail dan sering dijumpai dalam permasalahan finansial, pemrosesan signal, telekomunikasi, kimia, fisika, dan biologi (misal dalam Zolotarev (1986)). Data dengan karakteristik, grafiknya berupa grafik heavy-tail dengan puncaknya berada di sekitar pusat dikatakan berdistribusi Leptokurtik. Kelas distribusi yang penting dalam konteks ini adalah distribusi stable, yang merupakan kelas yang fleksibel untuk memodelkan data. Sekitar tahun 1920 sampai 1930, teori distribusi stable univariat mulai dikembangkan oleh Paul Levy dan Aleksander Yakovlevich Khinchine, disusul oleh Gnedenko & Kolmogorov (1954), Feller (1971), Zolotarev (1986), dan Sato (1999). Banyak aplikasi statistik dari distribusi stable yang digunakan untuk memodelkan fenomena fat-tail dalam observasi finansial ekonomi maupun dalam

1

2

lingkup lain statistika. Lebih lengkapnya dapat dilihat dalam Mandelbrot (1963), Paulson et al., (1975), Nolan (2001), tidak hanya sebatas itu masalah kekinian tentang penggunaan distribusi stable dapat diperiksa dalam Burnecki et al., (2008) yang berhasil menunjukkan bahwa proses FARIMA dengan -stable noise dapat menyediakan suatu alat stokastik baru untuk mempelajari fenomena letupan matahari dalam kerangka kerja dari pemecahan persamaan Langevin,

dalam

bidang finansial Burnecki et al., (2011) membicarakan tentang logaritma return dari index Hang Seng mulai 2 Januari 1987 sampai 14 November 2005, secara statistik menyerupai suatu barisan independen yang identik dengan variabel random berdistribusi Levy stable. Pengembangan secara teoritis dari distribusi stable dapat dilihat dalam Magdziarz (2009), Taqqu & Levy (2008) yang melakukan pengujian terhadap proses log-fractional stable motion (log-FSM), yang merupakan suatu proses stable dengan

(

-

). Rosadi & Deistler (2009) fokus pada kodifferen dan

fungsi kodifferen yang dinormalisasi sebagai ukuran ketergantungan untuk proses stasioner. Selain itu Rosadi (2009) mempertimbangkan suatu tes tipe Portmanteau dari keacakan untuk variabel random

-stable dengan eksponen

,

menggunakan suatu tes statistik yang berbeda namun memiliki bentuk umum yang sama dengan Box-Pierce Q-statistik, yang didefinisikan menggunakan fungsi Kodifferen. Dalam Wylomanska (2011) menyelidiki struktur dependen untuk proses Ornstein-Uhlenbeck dengan sifat distribusi stable, yang biasanya perluasan dari proses Ornstein-Uhlenbeck klasik dengan Gaussian dan perilaku stable.

3

Penelitian aplikasi distribusi stable dalam permasalah finansial dibahas dalam Frain (2009). Kegagalan distribusi normal dalam menangani salah satu masalah yaitu kerugian ekstrim pada indeks saham yang terjadi menyebabkan konsekuensi yang cukup besar dalam menjalankan bisnis dalam dunia finansial dan khususnya untuk penilaian resiko. Solusi untuk menangani masalah tersebut adalah dengan mengganti distribusi normal dengan keluarga distribusi Dalam penelitiannya diungkapkan bahwa distribusi keistimewaan yang mengakibatkan distribusi

-stable.

-stable memiliki beberapa

-stable menjadi model yang

menarik untuk permasalahan keuntungan, yaitu: 1.

memungkinkan seseorang untuk memperhitungkan frekuensi garis besar nilai-nilai ekstrim,

2.

memungkinkan seseorang untuk memodelkan kemiringan dalam data. Apakah nilai-nilai negatif yang ekstrim lebih mungkin dibandingkan positif ekstrim?,

3.

jika kita bisa menjelaskan kemungkinan waktu dalam sehari, sehari dalam seminggu, efek musiman dan ketidakstasioneran lainnya yang melekat dalam proses menghasilkan keuntungan, kita mungkin mengasumsikan bahwa kumpulan keuntungan dari waktu ke waktu memiliki distribusi yang sama, hingga faktor skala dan faktor lokasi, sebagai data frekuensi tinggi asli. Data tersebut kemudian harus memiliki suatu distribusi -stable. Distribusi normal adalah salah satu anggota dari distribusi

-stable. Distribusi

-stable

memungkinkan seseorang untuk mempertahankan sifat ini ketika data dimodelkan dengan cara yang lebih fleksibel,

4

4.

distribusi

-stable menggantikan distribusi normal seperti yang diketahui

sebagai generalisasi teorema limit pusat, dan 5.

dalam beberapa kasus seseorang bisa memodelkan keuntungan sebagai suatu distribusi

-stable dengan memeriksa nilai ekstrim atau mengurai nilai

ekstrim melalui beberapa proses. Wang et al., (2008) membahas pengembangan Constant False Alarm Rate (CFAR) algoritma deteksi kapal pada citra radar apertur sintetik pesawat ruang angkasa (SAR) berdasarkan model distribusi

-stabel. Algoritma CFAR

menggunakan model distribusi normal untuk menggambarkan karakteristik statistik dari suatu gejolak citra SAR. Seperti gelombang air laut dalam citra SAR menunjukkan karakteristik runcing atau heavy-tail, distribusi normal sering gagal untuk menggambarkan gelombang air laut. Distribusi

-stable digunakan untuk

menggantikan distribusi normal yang banyak digunakan dalam pemrosesan sinyal impulsif untuk menggambarkan gelombang air laut dalam pencitraan SAR. Model distribusi stable merupakan generalisasi dari beberapa model distribusi yang telah dikenal, selain distribusi normal, distribusi cauchy juga merupakan anggota dari distribusi stable. Distribusi normal yang merupakan salah satu kasus khusus dalam distribusi stable terjadi ketika nilai parameter sehingga dapat dituliskan

(

distribusi cauchy terjadi ketika nilai parameter (

)

(

dan

dan

). Sedangkan untuk

, dapat dituliskan

). Selain distribusi normal dan cauchy, ada dua model distribusi lain

yang merupakan kejadian khusus dalam distribusi stable yaitu distribusi levy yang

5

terjadi ketika nilai parameter berbentuk

(

Distribusi

dan

, kemudian distribusi menurun yang

) untuk suatu

suatu

variabel

. random

biasanya

digambarkan

dengan

menggunakan bentuk fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dan fungsi pembangkit momennya. Namun dalam distribusi stable bentuk fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dan momen ke-2 nya tidak diketahui dengan pasti. Jadi untuk dapat mengenali distribusi stable diberikan suatu fungsi yang disebut fungsi karakteristik. Oleh sebab itu fungsi karakteristik dapat dijadikan jalan untuk menggambarkan suatu variabel random karena eksistensi dari fungsi karakteristik selalu ada. Meskipun bentuk fungsi kepadatan peluang dari distribusi stable tidak diketahui secara pasti kecuali untuk kasus khusus, Zolotarev (1964) berusaha menyajikan perhitungan tentang distribusi stable dan fungsi kepadatannya dengan menggunakan gambaran integral yang baik. Kemudian DuMouchel (1971) menyajikan tabulasi fungsi distribusi untuk

dengan

. Sebelumnya Fama and Roll (1968) telah mampu menyajikan tabulasi untuk

dengan

grafik dari fungsi kepadatan untuk

. Tabulasi dan dan

disajikan oleh Holt dan Crow (1973). Distribusi stable memiliki empat parameter yaitu indeks stabilitas (index of stability)

(

- yang menyatakan ketebalan ekor dari distribusi (dimana nilai

yang lebih kecil menerangkan ekor yang lebih tebal pada distribusi), parameter kemiringan (skewness parameter)

,

- menyatakan ukuran dari asimetri,

6

parameter skala (scale parameter) parameter)

(

, dan parameter lokasi (location

).

Paolella (2001) dalam penelitiannya menyebutkan bahwa dengan mengetahui nilai indeks stabilitas

dari sekumpulan data, dapat memberikan

keuntungan yaitu dapat menjadi suatu alasan penting untuk mengasumsikan bahwa sekumpulan data tersebut merupakan wujud dari salah satu keluarga distribusi yang memiliki domain of attraction dalam ekor yang sama. Seperti dalam data finansial, Stable Paretian, Pareto, dan, untuk tingkat kebebasan yang cukup kecil, Student’t dan generalisasi t (dalam McDonald & Newey (1988), Bollerslev et al., (1994)) yang menunjukkan tipe ekor Pareto. Selain untuk mengetahui ketebalan suatu ekor, dapat digunakan untuk mengindikasikan kemungkinan dari kenjadian-kejadian ekstrem, menunjukkan keberadaan momen yang paling maksimal dari suatu data dan membantu memilih pengujian statistik yang tepat untuk sekumpulan data tersebut. Jadi, untuk dapat melakukan hal tersebut dibutuhkan suatu estimator ekor. Beberapa metode estimasi untuk parameter kunci distribusi stable telah diusulkan. Penyelidikan penggunaan metode maksimum likelihood untuk mengestimasi parameter telah dilakukan oleh DuMouchel (1971) dan Nolan (1997) telah memperluas algoritma numerik dari penaksiran likelihood. Fama dan Roll (1968, 1971) mengusulkan metode lain yaitu metode estimasi praktis berdasarkan distribusi empiris persentil dan kemudian metode tersebut dikembangkan oleh McCulloch (1986). Kemudian Press (1972) mengusulkan metode estimasi fungsi karakteristik empiris, studi lain yang berhubungan

7

dilakukan oleh Paulson et al., (1975), Koutrouvelis (1980), Kogon & Williams (1998), Feuerverger & McDunnough (1981). Ada pula yang mengusulkan metode likelihood empiris. Metode ini awalnya diperkenalkan oleh Owen (1988, 1990) untuk membangun konstruksi interval kepercayaan nonparametrik dan kemudian dikembangkan untuk estimasi masalah persamaan dilakukan oleh Qin & Lawless (1994). Hill (1975) mengusulkan estimator grafik untuk indeks sebagai estimator Hill ( ̂

). Mittnik dan Paolella (1999) memperbaiki

kekurangan-kekurangan yang ada dalam estimator Hill ( ̂ McCulloch ( ̂ (̂

yang dikenal

) dan estimator

) sehingga tercipta estimator baru yang disebut estimator Hint

).

Nilai estimasi dari suatu parameter untuk setiap estimator berbeda-beda, namun untuk menentukan nilai estimasi parameter terbaik dari beberapa estimator dapat menggunakan beberapa kriteria yang telah diperkenalkan misal Unbias, Efisiensi, Mean Squared Error, dan Best Linear Unbiased Estimator. Mittnik dan Paolella (1999), menunjukkan bahwa untuk dengan ukuran sampel Stable yang simetris yaitu untuk seluruh rentang Dibandingkan ̂

,̂

dan dan

,̂

pada kasus distribusi

hampir sempurna simetris bias

yang dipertimbangkan, dengan pengecualian

.

unggul dalam hal bias dan varian.

Dalam penelitian kali ini, dipusatkan untuk mencari estimator terbaik untuk parameter

dalam distribusi Stable dengan banyaknya sampel optimum

menggunakan data random hasil bangkitan dengan variasi

dengan

menggunakan kriteria Mean Squared

8

Error (MSE). Estimator yang digunakan adalah estimator McCulloch, estimator Hill, dan estimator Hint. 1.2 Rumusan Masalah Permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Bagaimana menentukan estimator parameter

terbaik dengan kriteria MSE

minimum dan banyaknya sampel optimum? 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Untuk menentukan estimator parameter

terbaik dengan kriteria MSE

minimum dan banyaknya sampel optimum. 1.4 Manfaat Penelitian Melalui tulisan ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam pengenalan dan pemahaman tentang model distribusi stable, karena model distribusi stable sendiri memberikan ruang yang lebih luas dalam penggunaannya sehingga mampu memberikan solusi lain dalam penyelesaian suatu masalah statistika dalam kehidupan nyata. 1.5 Sistematika Penulisan Skripsi ini terbagi atas lima bab. Bab 1 berisi pendahuluan. Bab 2 landasan teori yang berisi teori konsep-konsep dasar probabilitas dan statistika serta karakteristik distribusi stable yang digunakan dalam pembahasan bab selanjutnya. Bab 3 berisi metodologi penelitian. Bab 4 berisi pembahasan menentukan estimator parameter

terbaik dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya

9

sampel optimum. Bab 5 berisi simpulan yang diperoleh dari pembahasan dalam bab 4 disertai saran.

BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan berbagai teori pendukung berkaitan dengan fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi, fungsi karakteristik, distribusi normal, distribusi cauchy dan distribusi stable. 2.1

Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang

2.1.1 Fungsi Distribusi Untuk suatu variabel random ( ( ) Jelas ( ⋃

). Maka (

( )

adalah fungsi peluang karena )

)

, didefinisikan himpunan fungsi

dengan (

, dan jika

, yang juga setiap pasangannya disjoin dan

. Oleh karena itu

(⋃

)

*

(⋃

)+

*⋃(

∑ (

∑

10

( )

)+

)

( )

untuk setiap ) (⋃

, .

)

11

disebut sebagai distribusi peluang dari variabel random menjadi (

memilih (

-

, dipunyai

). Dari sini didefinisikan fungsi

dari

. Jadi bila diketahui

( )

(

. Dengan (

-)

yang disebut sebagai fungsi distribusi

maka dapat ditentukan

nya dan berlaku

sebaliknya (Roussas, 2003:33-34). Fungsi distribusi dari variabel random

memiliki beberapa sifat dasar,

yaitu: Sifat 2.1.1. (Roussas, 2003:34) ( )

(i)

untuk setiap

(ii)

fungsi tak turun;

(iii)

kontinu dari kanan; dan

(iv)

( )

(

)

;

.

2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang Dipunyai variabel random diskrit { } dan pada himpunan

definisikan fungsi

({ }). Selanjutnya, perpanjang untuk ( ∑

atas seluruh

. Kemudian )

∑

( )

( ) (

)

dan ambil nilai

untuk

( ) .

. Pilih dengan

dengan menetapkan

( ) ( )

untuk setiap , jelas bahwa Khususnya,

. Dalam Roussas (2003), fungsi

∑

( ) yang telah

didefinisikan tersebut disebut sebagai fungsi kepadatan peluang dari variabel random .

12

(

Dengan memilih ∑

- untuk suatu

( ). Misalkan dipunyai titik ( )

( )

, dipunyai .

( )

(

) (2.1)

( )

dengan

( ).

Dipunyai

variabel random kontinu, pilih semua nilai dalam interval

(berhingga ataupun tidak berhingga) dalam ( )

. Dipunyai sifat

∫

( )

( )

∫

( )

(

, sehingga

(

) dengan

. Khususnya,

)

(

) (2.2)

Jika ( ) ∫

tidak semuanya elemen untuk

, perpanjang

. Jadi untuk semua

( ) . Berakibat (

∫

)

( )

( )

∫

,

( )

( )

∫

( )

dari

(

dengan mengatur dan

( )

dan khususnya,

) (2.3)

Fungsi ∫

( )

dengan sifat:

( )

untuk semua

dan

(

)

, merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel random

(Roussas, 2003:34-36). Dalam Hogg & Craig (1978:23) fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.1.2. Dipunyai ruang berdimensi satu yaitu

dinotasikan sebagai suatu variabel random dengan . Misalkan ruang

adalah suatu himpunan titik-

13

titik yang berhingga dalam setiap interval berhingga. Misalkan himpunan ( ) dengan

disebut himpunan titik-titik diskrit. Dipunyai fungsi

( )

, dan ( )

∑

Bagaimanapun peluang

( ) dengan

, dapat dinyatakan dalam bentuk

( ) sebagai berikut. ( )

(

)

Dipunyai himpunan berdimensi satu yaitu

( )

, dan

sehingga integral Riemann

( )

∫

dengan

( )

∑

( ) memiliki paling banyak suatu bilangan

berhingga kontinu dalam setiap interval berhingga yang merupakan subset dari . Jika

merupakan ruang variabel random

dapat dinyatakan dalam bentuk

( )

Maka

dan jika peluang

( )

,

( ) sebagai berikut.

(

)

∫

( )

( ) disebut fungsi kepadatan dari variabel random . Dalam Aunon & Chandrasekar (1997), fungsi kepadatan peluang

didefinisikan sebagai turunan dari fungsi distribusi untuk ( )

( ) kontinu.

( ) (2.4)

14

Jika variabel random diskrit maka fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai ( )

{

(

) (2.5)

Jadi dapat dituliskan, untuk setiap ( )

∑ ( )

(

) ( )

∫ {

(2.6) atau, lebih umum ( )

∑ ( )

(

) ( )

∫ {

(2.7) Teorema 2.1.3. (Stone, 1996:62) Dipunyai Maka fungsi distribusi dari

, dimana

dinyatakan sebagai ( )

.

/

Fungsi kepadatannya dinyatakan sebagai ( ) ( )

dan

untuk

.

/

yang lain, dan kuantil ke- dinyatakan sebagai

. Bukti. Dipunyai

,

,

.

.

15

Jadi ( )

(

)

( )

.

Kuantil ke- dari .

)

.

/

.

/

( ) merupakan fungsi kontinu dari .

berakibat Jelas

(

/

yaitu

.

/

adalah penyelesaian yang unik untuk

/. Karena terdapat secara unik

yang memenuhi persamaan

(

)

(

)

. Jadi

, berakibat

2.2 Fungsi Karakteristik Berawal dari suatu tranformasi integral yang dijelaskan dalam Lukacs (1970) yaitu Integral Lebesgue-Stieltjes yang didefiniskan dengan ∫

(

)

( ) (2.8)

Kondisi untuk menentukan adanya integral ini tentu sangat penting. Ada beberapa kemungkinan pilihan untuk ( 1.

(

)

.

2.

(

)

| |.

3.

(

)

( )

4.

(

)

.

5.

(

)

6.

(

)

(

)

).

(

)

. (

)

√

.

( )

.

16

Dalam kasus 4, 5, dan 6 parameter

adalah suatu nilai real dan variabel

kontinu. Transfomasi 1, 2, dan 3 mentransformasikan fungsi distribusi

( )

kedalam suatu barisan (dengan syarat integralnya ada). ∫

( ) (2.9)

disebut sebagai aljabar momen ke- dari dari

( ) atau lebih singkatnya momen ke-

( ). ∫| |

( ) (2.10)

( ).

disebut momen mutlak ke- dari Momen faktorial

∫

( )

( ) (2.11)

jarang digunakan. Kernel 4, 5, dan 6 mentransformasikan fungsi distribusi

( ) kedalam

fungsi variabel real . Fungsinya adalah ( )

∫

( )

( ) (2.12)

dan ini merupakan asal usul dari fungsi pembangkit momen. Kernel 5 hanya digunakan ketika

( ) murni distribusi tak kontinu yang semua nilai variabel

17

memiliki lompatan pada bilangan bulat tak negatif. Dari kasus ini diperoleh fungsi pembangkit peluang ( )

( )

∫

∑ (2.13)

dengan ∑

Disini

( ) pada titik

adalah saltus (lompatan) dari

( bilangan

bulat tak negatif). Fungsi pembangkit peluang diperkenalkan oleh Laplace, fungsi ini jarang digunakan. Substitusi 6 dalam persamaan 2.8. Diperoleh ( )

(

∫

)

( ) (2.14)

Transformasi ini yang disebut sebagai fungsi karakteristik fungsi distribusi Dalam

Uchaikin

dan

Zolotarev

(1999:69),

didefinisikan

( ). fungsi

karakteristik sebagai berikut: Definisi 2.2.1. Fungsi bernilai kompleks ( )

,

(

)(2.15)

disebut sebagai fungsi karakteristik dari variabel real . Dengan

suatu variabel bernilai real. Jika fungsi kepadatan peluang

2.15 transformasi fouriernya berbentuk

( ) ada,

18

( )

(

∫

)

( ) (2.16)

Invers transformasi fouriernya adalah (

∫

( )

) ( ) (2.17)

2.3 Distribusi Kontinu 2.3.1 Distribusi Normal Zwilinger dan Kokoska (1957) fungsi karakteristik variabel random (

) dengan parameter

parameter

dalam hal ini merupakan mean (rataan) dan

merupakan standard deviasi dinyatakan sebagai berikut. ( )

4

5

Stone (1996:148) menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random (

) ( )

√

4

(

)

5

Bukti. Dipunyai integral

∫

4

5

Integral ini ada karena integrand nya merupakan suatu fungsi kontinu positif yang dibatasi oleh suatu fungsi integrable; yaitu,

19

4

( | |

5

)

dan

∫

( | |

Untuk menilai integral , perhatikan

∫ ∫

Misal

dan

∫∫

4

√

∫

5

√

dan

4

∫

5

4

dan bahwa

4

, diperoleh

∫

Berakibat

)

5

5

dituliskan sebagai:

20

∫

4

√

5

Diperkenalkan variabel integrasi , dengan

sehingga

∫

4

√

∫

5

(

4

√

Oleh sebab

)

5

, berakibat

( )

.

√

(

)

/

memenuhi syarat untuk menjadi fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel random bertipe kontinu. Variabel random bertipe kontinu yang memiliki fungsi kepadatan peluang

( ) disebut berdistribusi normal (dalam Hogg dan Craig

(1978)). Selanjutnya menentukan fungsi pembangkit momen untuk distribusi normal.

( )

,

(

)-

∫

( )

( )

21

( )

∫

√

√

√

√

√

√

√

4

4

(

(

4

√

∫

4

∫

4

∫

4

∫

4

∫

4

∫

4

∫

(

(

)

)

5

5

5

5

(

)

(

(

)

(

(

)

(

(

)

5 ∫

)

))

√

5

5

)

5

5

(

)

( 4

)

(

5

4

4

(

(

(

)

)

(

5

))

)

)

5

22

4

5

Jelas [

(

)]

[

(

)] (

( ) ) 5(

4 )

( Jadi ( )

.

Jelas [

(

)(

[

(

)] (

)]

( ) ) ( (

)

(

)

4

4

5(

4

5 ,(

Jadi ( ) ( )

)

(

( ))

5

)

)

4

-

5

)

23

(

Jadi dapat dituliskan

) dengan

merupakan mean dan

merupakan

varian. 2.3.2 Distribusi Normal Standar Stone (1996:146) menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random berdistribusi normal standar. ( ) (

Dinotasikan sebagai

4

√

5

)

Bukti. (

Dipunyai variabel random (

Jelas variabel random

). ) mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai

berikut. ( )

4

√ 4

√

(

)

5

5

Fungsi pembangkit momen dari variabel random dinyatakan sebagai: ( )

,

∫

√

(

)-

( )

∫

∫

√

4

( )

4

5

( )

5

(

) dapat

24

√

√

√

√

√

∫

4

∫

4

∫

4

∫

4

5

(

)

(

)

(

)

4 5 ∫

4

4 5 ∫

√

4

5

5

5

(

)

(

)

5

5

4 5 Jelas [

( )]

[

( )] ( )

( )

( )

4 5 Jadi

( )

Jadi mean dari variabel random

(

) adalah .

25

Jelas ( )]

[ ( ) [

, -

( )]

4 5

(

)

( )

4 5

4 5

Jadi ( ) Jadi varian dari variabel random ( )

(

) adalah sebagai berikut.

( ))

(

Kelebihan distribusi normal didukung dengan keberadaan teorema limit pusat, dalam Roussas (2003:210) dinyatakan sebagai berikut. Teorema 2.3.1. Dipunyai dengan

berhingga dan

dari

variabel random yang saling bebas stokastik positif berhingga, dan dipunyai ̅ rataan sampel

. Maka: ̅

,̅ -

√

,̅ -

̅

√ (̅

)

(

⇒

√

selama atau √ (̅ 4

)

5→

( )

∫

√

4

5

)

26

2.3.3 Distribusi Cauchy Standar (

Zwilinger dan Kokoska (1957) menyatakan bahwa jika (

) saling independen, maka distribusi dari

memiliki fungsi

kepadatan peluang ( )

(

)

disebut sebagai distribusi cauchy standar dinyatakan sebagai

(

)

Bukti. (

Dipunyai

) dan

(

) saling independen.

Misal (


( ) (


( )

) memiliki fungsi kepadatan peluang 4

√

5

) memiliki fungsi kepadatan peluang 4

5

Jelas fungsi kepadatan peluang bersama dari

dan

(

)

√

√

4

√ 4

Berdasarkan transformasi . Jacobiannya adalah

5

5

4

adalah 4

5

5

, dengan invers transformasi , berakibat

) dan

27

(

)

| |

(

4

)

5

4

Jelas ( )

(

∫

)

∫| |

(

4

)

5

4

5

kasus ( )

∫

4

∫

4

∫

∫

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4

∫

5

5

(

(

(

5

))

4

(

(

))5

4

(

(

))5

(

(

(

(

(

(

)

)

))| )

( ))

5

28

(

)

kasus

( )

∫(

)

4

∫

(

∫

)

(

)

(

)

(

)

5

4

(

5

))

(

(

))5

∫ 4

(

(

))5

)

(

)

4

(

(

(

(

(

(

(

( )

(

)

))|

(

))

)

berakibat ( )

∫| |

∫(

4

)

(

)

4

5

(

4

)

5

5

4

5

)

29

∫

4

(

(

)

5

4

(

)

5

(

)

)

(

)

2.3.4 Distribusi Cauchy Dalam Zwilinger dan Kokoska (1957) fungsi karakteristik variabel random (

) dengan

merupakan parameter lokasi dan

parameter skala

dinyatakatan sebagai: ( )

| | (

Zwilinger dan Kokoska (1957) menyatakan bahwa jika maka distribusi dari variabel random

memiliki fungsi

kepadatan peluang ( ) (

.

/ )

disebut sebagai distribusi cauchy dan dinyatakan sebagai

(

).

Bukti. (

Dipunyai Misal

),

.

.


(

) memiliki fungsi kepadatan peluang ( )

Berdasarkan Teorema 3.2.3 diperoleh ( )

.

/

(

)

),

30

(

.

/ )

(

.

/ )

untuk Dalam Zwilinger dan Kokoska (1957), distribusi cauchy tidak memiliki fungsi pembangkit momen, mean, maupun varian. 2.4 Distribusi Stable Ada beberapa definisi yang memberikan gambaran tentang distribusi stable, yaitu: Definisi 2.4.1. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:1) Variabel random berdistribusi Stable jika untuk setiap bilangan positif positif

dan bilangan real

dikatakan

dan , terdapat bilangan

sehingga

(2.18) Dimana

dan

independent copies dari , dan

menyatakan persamaan

dalam distribusi. Terdapat beberapa macam distribusi stable seperti stable mutlak (strictly stable) dan stable simetri (symmetric stable). Variable random stable jika pada Definisi 2.4.1 terjadi dengan nilai

dikatakan strictly

. Variable random stable

dikatakan symmetric stable jika distribusinya simetris yaitu dengan

dan

31

memiliki distribusi yang sama. Variable random stable simetris dipastikan dia stable mutlak. Teorema 2.4.2 (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:2) Untuk setiap variable random stable

, terdapat suatu bilangan

(

- sehingga bilangan

dalam Definisi

2.4.1 memenuhi

(2.19) Bukti di Feller (1971), Section V1.1. Dalam Teorema 2.4.2 muncul suatu nilai

yang kemudian disebut

sebagai index stabilitas atau eksponen karakteristik. Suatu variable random stable dengan index

selanjutnya disebut -stable.

Definisi 2.4.3. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:3) Suatu variable random dikatakan berdistribusi stable jika untuk setiap dan bilangan real

, terdapat bilangan positif

sehingga

(2.20) dengan

independent copies dari .

Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3 saling ekivalen. Untuk menunjukkannya dari Definisi 2.4.1 ke Definisi 2.4.3, dilakukan induksi. Untuk bukti sebaliknya ada di Feller (1971), SectionV1.1. Definisi 2.4.4. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:5) Suatu variable random dikatakan berdistribusi stable jika memiliki suatu domain of attraction, atau bisa dikatakan jika terdapat suatu deret variable random

yang saling

32

bebas stokastik dan suatu deret bilangan positif *

+ dan bilangan real *

+,

sehingga

⇒ (2.21)

⇒ menunjukkan kekonvergenan dalam distribusi. Definisi 2.4.3, dan Definisi 2.4.4 saling ekivalen. Definisi 2.4.5. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:5) Suatu variable random dikatakan berdistribusi stable jika terdapat parameter , dan  real sehingga fungsi karakteristik mengikuti bentuk: 0 ,

(

)-

| | .

(

)

| |(

(

) | |)

/

1

{ [

]

(2.22) {

 bersifat unik ( menyimpang ketika

Parameter

).

Fungsi karakteristik Definisi 2.4.5 dapat dituliskan ,

)-

(

[

( | |

(

))

]

(2.23) dengan | | (

)

{ | |

33

Fungsi (

) tak kontinu pada

dan

.

Fungsi karakteristik yang berbentuk ,

(

)-

( | |

[

(

))

]

(2.24) dengan (| | (

)

)

{ | |

{

adalah suatu fungsi yang kontinu bersamaan di

dan

(Samorodnitsky dan

Taqqu, 1994:7). Fungsi Karakteristik di atas merupakan salah satu alat yang digunakan untuk mengidentifikasi bahwa suatu variabel random berdistribusi stable. Distribusi stable dengan varian berhingga merupakan distribusi normal. Kepadatan peluang variabel random

-stable ada dan kontinu dengan

beberapa pengecualian, mereka tidak diketahui bentuk terdekatnya (Zolotarev, 1986). Distribusi yang telah dipelajari dan merupakan kasus khusus distribusi stable yaitu: 1.

distribusi normal

(

)

(

), dengan kepadatan peluangnya

berbentuk (

( )

(

√ )

)

34

Bukti. Fungsi karakteristiknya ,

(

,

)-

( )

| | (

(

-

)

)

Fungsi kepadatan peluang dari suatu distribusi (

( )) dapat dicari melalui

fungsi karakteristiknya. ( )

( )

∫

∫

(

)

∫

(

)

∫

∫

(

∫

∫

∫

∫

)

(

[

6(

)

6(

)

) ]

(

)

(

)

.

/

.

.

/ 7 .

/ 7

/

35

.

/

∫

.

/

∫

misal

6(

(

)

.

/

.

.

misal

√

maka

.

( )

√

/

.

/

/

.

/

/

.

∫

∫

dan

. Berakibat

.

∫

.

/ 7

. Maka

∫

/

.

/

dan

( )

)

/

∫

.

∫

.

/

√

(

/

√

)

√ (

)

√

merupakan fungsi kepadatan peluang dari 2.

distribusi cauchy

(

(

).

), dengan kepadatan peluangnya berbentuk ( )

((

)

)

Bukti. Fungsi Karakteristiknya ,

(

)-

,

| |(

)

-

36

( )

(

| |

) ( )) dapat dicari melalui

Fungsi kepadatan peluang dari suatu distribusi ( fungsi karakteristiknya. ( )

( )

∫

∫

(

| |

)

∫

(

| |

)

| |

∫

*∫

*∫

∫

(

)

[

[

[

(

[

(

[

[

+

(

∫

(

)

)

+

]

[

)

(

)

(

(

)

] ]

)]

)]

]

(

)(

)

(

)(

)

]

37

6

( )(

(

) 7 )

[

]

[

]

[

]

[

(

]

)

,(

)

-

merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi cauchy dengan parameter dan . Selain dua distribusi di atas, ada distribusi lain yang merupakan kasus khusus dari distribusi stable, yaitu sebagai berikut. 1.

Distribusi levy

(

), dimana kepadatan peluangnya berbentuk

( )

.

/

(

( 2.

)

(

)

Konstant  yang mempunyai distribusi menurun

(

)

) untuk suatu

. Sifat 2.4.6. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:10) Dipunyai random

independen (

), dengan

dengan

(

)

dan

variabel .

Maka

38

(

)

Bukti. Kasus ( [

( (

( ,

))])

(

(

(

| | (

)| |

(

( ,

)-)

)-)

).

)

/(

)

)| | 6

(

(

(

).

)

Kasus ( [

( (

( ,

))])

(

(

)| |

(

)

(

)| | [

(

)

)-)

| |(

( ,

(

)-)

) (

(

) (| |)

) (| |)]

/7

39

 disebut parameter geseran (shift parameter). (

Sifat 2.4.7. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Dipunyai (

suatu konstanta real. Maka

) dan

).

Bukti. Kasus ( [

( (

))])

( ,

(

| | 4

,

( ,

)-)

(

)-)

(

).

/5

| | 4

(

).

/5

| | 4

(

).

/5

(

)-

(

)

Kasus ( [

( (

))])

( ,

(

| |(

,

( ,

)-)

(

)-)

(

) (| |))

| |(

(

) (| |))

| |(

(

) (| |))

(

)-

(

)

40

(

Sifat 2.4.8. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Dipunyai

) dan

suatu konstanta real tak nol. Maka (| | (

(| | (

)

)

( (| |))

)

) (2.25)

Bukti. Kasus ( [

( (

))])

|

(

| 4

(

(| | ) | | 4

(

).

(

/5

)(

)

).

/5

)

Kasus

( [

( (

( | |)|

))])

|(

|

|(

(

(

) (

) (|

) (| || |))

|))

(

(

)

)

disebut parameter skala (scale parameter). Sifat 2.4.9. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Untuk suatu (

)

(

,

) (2.26)

41

Bukti. Kasus (i) Ditunjukkan pernyataan “ (

Dipunyai

(

)⇒

)”, benar.

(

).

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh | (

)) (

) )

Jadi terbukti bahwa pernyataan “

(

(| ( (

)

(

( )

)

(ii) Ditunjukkan pernyataan “ (

Dipunyai (

Jelas

)⇒

(

)”, benar.

(

)⇒

(

)”, benar.

).

).

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh (

)

(|

( (

)(

(

)

| (

(

))(

)(

) )

) )


(


)⇒ (

)

)”, benar.

( (

benar. Kasus (i) Ditunjukkan pernyataan “

(

)⇒

(

)”, benar.

)”,

42

(

Dipunyai

).

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh | (

(| ( (

(

)

(

))

(

(

)( ( ))

(

)( (|

|))

)

)

)

Jadi terbukti bahwa pernyataan “ (ii) Ditunjukkan pernyataan “ (

Dipunyai (

Jelas

)

(

)⇒

(

)”, benar.

(

)⇒

)”, benar.

(

).

).

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh (

)

4|

4 (

(

)(

| (

)(

(

))(

)

(

)(

)

(

)( ( )) (

)( (|

|)) (

)5

)5

)

Jadi terbukti bahwa pernyataan “ Jadi terbukti bahwa pernyataan “

( (

)⇒ )

)”, benar.

( (

)”, benar.

disebut parameter kemiringan (skewness parameter). Sifat 2.4.10. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) hanya jika Bukti.

dan 

.

(

) simetri jika dan

simetri terhadap  jika dan hanya jika

.

43

Ditunjukkan pernyataan “

(

dan “ simetris terhadap (i) Ditunjukkan

”, benar

) ”, benar.

pernyataan

“

(

”,

)

benar. a)

Ditunjukkan

pernyataan

“

(

)

”,

⇒

benar. (

Dipunyai Jelas

)

simetris jika

.

dan

berdistribusi sama atau

.

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh kasus | (

(| (

(

)) (

) )

(

)) (

)

)

kasus (|

| (

( (

)

(

(

terjadi ketika

Jadi terbukti pernyataan “ b) Ditunjukkan pernyataan “ (

Dipunyai

Jelas

)( ( ))

)( (|

|))

)

)

)

Jadi

Jelas

(

(

), ).

dan (

. ”, benar.

) simetris ⇒ ⇒

dan .

(

) simetris”, benar.

44

(

)

(

)

Jadi diperoleh

atau dengan kata lain

Jadi terbukti pernyataan“ Jadi terbukti pernyataan “

⇒

dan (

(

) simetris.

(

) simetris”, benar. ”, benar.

)

(ii) Ditunjukkan pernyataan “

(

) simetri terhadap 

”, benar.

a) Ditunjukkan pernyataan “

(

) simetri terhadap  ⇒

”, benar.

) simetri terhadap  ⇒

”, benar.

Dipunyai

. (

Jelas

), jadi

Jadi terbukti pernyataan “

. (

b) Ditunjukkan pernyataan “ (

Dipunyai

), jelas

) simetri terhadap ”, benar.

(

⇒ .

Jelas (

)

(

)

dan (

) (

( )

Berakibat

(

⇒ (

) ) simetri terhadap .

(

, jadi

Jadi terbukti pernyataan “ Jadi terbukti pernyataan “

)

(

) simetri terhadap ”, benar.

) simetri terhadap 

”, benar.

45

Suatu variabel random stable simetri (symmetric stable) adalah stable sempurna (strictly stable) tetapi variabel random stable sempurna (strictly stable) tak perlu simetri. (

Sifat 2.4.11. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12) Dipunyai

) dengan

stable sempurna (strictly stable) jika dan hanya jika 

. Maka

.

Bukti. Dipunyai

independent copies dari

dan dipunyai

dan

secara berturut-

turut konstanta positif. Dari Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.8 diperoleh 4 (

Dengan mengatur

(

)

(

)5

) dalam Definisi 2.4.1. Dari Sifat 2.4.7 dan

Sifat 2.4.8 diperoleh ( (

(

)

dan, dipunyai

dengan

)

)

jika dan hanya jika

.

Akibat 2.4.12. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12), Akibat 1.2.7) Dipunyai (

) dengan

. Maka

 stable sempurna (strictly stable).

Bukti. Berdasarkan Sifat 2.4.7 diperoleh untuk variabel random

(

). Oleh sebab parameter

, menurut Sifat 2.4.11 maka variabel random

stable mutlak. (

Sifat 2.4.13. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12), Sifat 1.2.8) berdistribusi stable mutlak (strictly stable) jika dan hanya jika

.

)

46

Bukti. Dipunyai

dan

berdistribusi sama dengan

dan dipunyai

.

Maka, dari Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.6, 4 (

)

(

(

)

)5

mengingat (

)

( (

Oleh sebab itu (

)

(

)

(

) (

))

dalam Definisi 2.4.1 jika dan hanya jika

) atau dengan kata lain jika dan hanya jika (

untuk suatu

)

(

) (

. Jadi cukup bahwa

)

.

Akibat 2.4.14. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:13) Jika (

stokastik

bebas

), maka (

) (2.27)

jika

, dan ( ) (2.28)

jika

.

Bukti. Dipunyai

bebas stokastik

(

).

47

Ditunjukkan (i) kasus

.

ditunjukkan

/.

ditunjukkan generalisasi Sifat 2.4.6 yaitu (

)

dengan

4⏟

(

5

)

⏟

⏟ untuk (

) sesuai dengan yang didefinisikan.

Andaikan pernyataan

, benar.

(

dibuktikan

)

, benar.

)

.( (

)

(

(

) / )

48

dengan

((

)

(

)

(

)

. (

(

))

(

)

)

jadi stokastik

(

),

/, benar untuk

bebas

.

Berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh (

)

(|

(

)

(

(

)

(

jadi untuk

|

,

(ii) kasus

(

4

)5

(

) )

.

/; dan ( ). Berdasarkan

, ditunjukkan

generalisasi Sifat 2.4.6 diperoleh ( dengan ⏟

⏟

))

)

49

⏟ berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh

jadi

( )

(| | (

( )

(

( )

(

( ))

( ) ( )

( )) ( ))

)

( ).

,

Akibat 2.4.15. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:13) 1.

Tidak ada variabel random -stable yang tidak mutlak bisa dibuat menjadi stable mutlak dengan menggunakan geseran.

2.

Setiap variabel random -stable mutlak bisa dibuat simetri melalui penggeseran.

Bukti. 1.

(

Ambil sembarang ( (

),

, dengan melakukan geseran

) )

berdasarkan Sifat 2.4.13 maka variabel random

tidak dapat dinyatakan

stable mutlak. 2.

(

Ambil sembarang ( (

), dengan menggunakan Akibat 2.4.12 maka

) ).

Menurut Sifat 2.4.10 maka

dinyatakan simetris.

50

Karena parameter  hanya memperngaruhi pada lokasi maka biasanya dianggap

(

. Distribusi

miring ke kiri jika

) dikatakan miring ke kanan jika

dan

. Kemudian dikatakan miring seluruhnya ke kanan jika

dan miring seluruhnya ke kiri jika

.

Sifat 2.4.16. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:16) Dipunyai (

) dengan

dan

dengan distribusi lazim

berdistribusi

. Maka terdapat dua variabel yang bebas stokastik yaitu

(

(

) sehingga

)

(

) (2.29)

dan

(

)

(

)

(

(

)

(

))

(2.30) Bukti. (

Dipunyai Kasus

) dengan .

, ditunjukkan

,

(

/

.

) /

(

. Berdasarkan Sifat 2.4.8

diperoleh

(

)

(|(

) |

(

*(

) +)

).

)

51

(

)

((

)

(

)

((

)

)

(

(|(

)

)

) |

(

)

((

)

(

)

((

)

(

*(

) +)

((

)

)

)

)

Berdasarkan Sifat 2.4.9 diperoleh

(

)

)

Berdasarkan Sifat 2.4.6 diperoleh

(

)

* (

)

+

(

)

(

)

(

dengan

*((

)

)

((

)

) +

(

)

)

52

(

)

)

((

((

(

)

)

)

(

)

(

)

.

Jadi

Kasus

( )

/

) ((

((

.

)

)

(

)

/

.

)

)

, ditunjukkan (

)

(

)

(

(

[(

)])

)

(

))

Berdasarkan Sifat 2.4.8

(

)

(|(

)

(

(

(

(

)

(

)|

(

(| (

)

(

)|

)

(

(

)

)

(|

|) )

) )

[ (

(

(

)])

(

Berdasarkan Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.7 diperoleh

(

) )

)

(|

|) )

53

(

)

[ (

)

(

]

(

)

(

))

(

)

dengan

(

(

)

(

(

(

(

)

(

)

)

(

)

(

))

)

(

)

(

)

. /

(

)

(

[

(

(

)

)]

))

Jadi (

)

(

)

(

(

)

Sifat 2.4.17. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:19) Ketika geseran

sama dengan rataannya.

(

))

, parameter

54

Bukti. (

Dipunyai

)

. Variabel random

berhingga (melalui Sifat 2.4.19 dalam kasus ketika

). Selain itu,

Dipunyai

dan

mempunyai mean , dan karena

normal

stable mutlak berdasarkan Akibat 2.4.12.

masing-masing berdistribusi sama dengan

. Berdasarkan

Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3, hubungan ( Untuk suatu

dan

)

(

)

(

) (

)

positif. Ekspektasi yang diberikan untuk kedua sisi adalah

( ,

-)

dan dengan begitu ,

( ,

-)

(

) ( ,

-)

-.

Dalam Bilik (2008) dijelaskan bahwa dari Definisi 2.4.4. menghantarkan pada satu versi dari teorema limit pusat heavy-tail. Teorema 2.4.18. (Breiman, 1968) Suatu fungsi distribusi F berada dalam domain of attraction suatu hukum stable dengan konstanta

jika dan hanya jika terdapat

, sehingga (

) ( )

dan untuk setiap

,

⇒

( ) ( )

:

55

( (

⇒

) )

Versi lain dari teorema dengan penyajian yang lebih kongkret. Pertama, diperkenalkan definisi baru: terdefinisi pada (

Definisi 2.4.19. (Whitt, 2002) Suatu fungsi regularly varying dengan indeks

) disebut

jika ( ) ( )

Suatu fungsi

terdefinisi pada (

) disebut slowly varying jika ( ) ( )

Misalkan

adalah variabel random dengan fungsi distribusi . Dipunyai

menyatakan komplemen fungsi distribusi fungsi distribusi dari |

dan

menyatakan komplemen

| yang dinyakatan sebagai berikut. (|

|

)

( )

(

)

Dalam versi teorema selanjutnya digunakan notasi

( dengan

,

)

(

)

suatu deret variable random yang

saling bebas stokastik. Diperoleh versi selanjutnya untuk teorema limit pusat heavy-tale distribusi Stable:

56

Teorema 2.4.20. (Whitt, 2002) Dipunyai *

+ bariasan dari nilai nyata

variabel random yang i.i.d dengan fungsi distribusi . Fungsi distribusi termasuk dalam domain of attraction dari

(

) untuk

jika dan

hanya jika ( ) dengan

( )

adalah slowly varying, dan ( ) ( )

Ruang skala konstanta

harus memenuhi ( )

untuk

(∫

Dan konstanta

)

yang dipilih memenuhi

∫

( )

∫

( )

( )

{

Dalam kasus ini, berbeda dengan ).

( ), dengan

adalah slowly varying (secara umum

57

2.5 Estimator 2.5.1

Estimator Parameter Untuk menemukan estimasi dari parameter-parameter di dalam distribusi

Stable diperkenalkan beberapa macam estimator yang digunakan. 2.5.1.1 Estimator Hill Estimator Hill yang diperkenalkan Hill (1975), merupakan salah satu estimator grafik yang popular untuk indeks , yang berdasarkan urutan statistik, dalam kelas heavy-tailed yang tidak hanya distribusi stable. Diberikan urutan statistik

dari sampel

, estimator Hill dapat

didefinisikan sebagai

̂

∑ (

)

(

) (2.31)

dengan ̂ (̂

)

̂

(

) (

) (2.32)

Akurasi dari nilai estimasi ̂ bergantung pada parameter mengindikasi dimana ekor distribusi berawal. Nilai

( ) yang

lebih mudah ditentukan jika

kita mengetahui distribusi samplingnya. Estimator ini hanya digunakan untuk nilai-nilai ekstrim terbesar. Jika , distribusi Pareto berada di dalam domain distribusi stable maka estimator Hill dapat digunakan untuk mengestimasi indeks

stable.

58

2.5.1.2 Estimator McCulloch Estimator lain yang dapat digunakan untuk melakukan estimasi terhadap parameter dalam distribusi stable adalah estimator yang diperkenalkan oleh McCulloch (1986). Metode yang dikembangkan oleh McCulloch (1986) merupakan generalisasi dari pendekatan Fama and Roll (1968, 1971) yang mengembangkan metode yang lebih sederhana, menggunakan fungsi sederhana dari satistik yang telah ditentukan, mereka bisa mengestimasi begitu juga untuk

dan

secara konsisten

yang hampir konsisten. Namun metode yang telah

mereka kembangkan terbatas pada kasus simetris

,

, dan pada nilai

-.

Generalisasi ini dimaksudkan untuk menyediakan estimator yang konsisten untuk yang berada pada range ,

keempat parameter, dengan ,

-, dan

pada range

-. Seperti pada estimator Fama/Roll, estimator ini menggunakan fungsi

sederhana dari lima sampel quantil yang telah ditentukan, normal asimtotik dapat dihitung dengan error standart asimtotik. Metode ini menghilangkan bias asimtotik yang kecil dalam estimator Fama/Roll dari parameter waktu yang sama ini mengurangi keterbatasan pada 2.5.1.2.1

Estimasi untuk

independen

parameter tersebut akan diestimasi. Dipunyai (

)

. Dipunyai ̂

sesuai tepat untuk kekontinuan. Jika estimator konsisten untuk

; pada

dan .

dan

Misalkan dipunyai

sehingga

dan

.

dari distribusi stable

(

),

merupakan quantil populasi ke- , merupakan quantil sampel, yang

urutannya tersusun naik, ̂ merupakan

59

Didefinisikan

(2.33) Indeks ini independen terhadap fungsi

(

dan

. Tabulasi nilai sebagai suatu

) ada pada Lampiran 1 Tabel 1. Dipunyai ̂ menjadi nilai sampel

yang bersesuai yaitu ̂ ̂ ̂

̂ ̂ (2.34)

̂ merupakan estimator konsisten dari indeks

.

Didefinisikan

(2.35) Dipunyai ̂ menjadi nilai sampel yang bersesuaian, yaitu ̂

̂

̂ ̂

̂ ̂ (2.36)

Sama seperti Tabulasi fungsi

(

,

juga tidak bergantung pada salah satu

atau

.

) ada pada Lampiran 1 Tabel 2. ̂ merupakan estimator

konsisten dari indeks Hubungan (

)

(

)

60

dapat dibalik untuk menghasilkan hubungan

Parameter

dan

(

),

(

)

dapat diestimasi oleh ̂

( ̂

̂ ),

̂

( ̂

̂ )

Tabel 3 dan Tabel 4 (lihat Lampiran 1) menunjukan dan

dan

sebagai fungsi

. Dengan sampel berhingga, dapat terjadi bahwa ̂ mungkin kurang dari

nilai terkecil yang diizinkan yaitu 2.439, dan oleh karena itu akan keluar dari skala pada Table 3 (lihat Lampiran 1). Pada kasus ini ̂ harusnya diatur sama dengan 2.0 dan ̂ mungkin diatur secara paksa ke signum ( ̂ ). Standart Error (SE) dari estimator McCulloch dinyatakan sebagai

̂ (̂

)

√ (2.37)

dengan

merupakan Normalized Asymptotic Standart Deviations of Parameter

Estimates, dan

merupakan ukuran sampel. Lebih lengkap lihat Lampiran 1

Tabel 5. 2.5.1.3 Estimator Hint Estimator yang baru dikembangkan oleh Mittnik dan Paolella (1999) dimana seperti McCulloch, didesain untuk memperjelas data berdistribusi stable,

61

akan tetapi berdasarkan fungsi estimasi Hill untuk suatu nilai ini, dinyatakan sebagai Hill-intercept atau ̂

(dalam estimator

. Telah ditemukan bahwa

keduanya perpotongan dan kemiringan penaksir linear ini bisa digunakan untuk memperoleh ketepatan estimasi

tertinggi. Bentuk dari estimatornya adalah ̂

̂

̂ (2.38)

dimana ̂ merupakan perpotongan dalam regresi linear sederhana dari ̂ pada

, dimana elemen dari

langkah maksimum 2⌊

⌋

sedemikian sehingga

( ) dalam

3. ̂

( ) (2.39)

melalui grafik koefisien

( )

untuk perpotongan ̂

( ), dalam

Mittnik dan Paolella (1999, Gambar 2) seperti disajikan pada Gambar 2.1 diperoleh

62

Gambar 2.1 Koefisien ( )

( )

untuk Perpotongan ̂

( )

( )

( )

diperoleh ̂

̂

̂ (2.40)

Tidak seperti estimator McCulloh, ̂

baru diaplikasikan untuk simetri,

stable Paretian dengan lokasi sama dengan nol, dengan

dan rataan sama

dengan nol, tetapi skalanya invarians. ̂(̂

) (2.41)

dengan

. Untuk menentukan bahwa suatu estimator merupakan estimator yang baik,

dapat digunakan beberapa kriteria salah satunya kriteria Mean Squared Error (MSE). Dalam Dekking et al. (2005), definisi dari MSE dinyatakan sebagai berikut.

63

Definisi 2.5.1. Dipunyai Error dari

suatu estimator dari suatu parameter . Mean Squared ( )

adalah bilangan

,(

) -.

Berdasarkan kriteria Mean Squared Error (MSE), estimator daripada estimator

( )

jika

lebih baik

( ).

2.6 R Studio Version 0.97.318 dengan R i386 2.15.3 R Studio merupakan semacam alat pendukung dalam penggunaaan program R yang masing-masing secara bebas beredar di internet, dengan menggunakan R Studio beberapa pekerjaan yang belum bisa dilakukan di R dapat dilakukan di R Studio misal mendefinisikan fungsi sendiri melaui R script, menyimpan fungsi tersebut dan menggunakannya kembali. Menggunakan R Studio dengan interface yang lebih baik dapat mempermudah penggunanya daripada menggunakan R secara langsung. 2.6.1

Interface R Studio Gambar 2.2 merupakan interface dalam program R Studio yang masing-

masing bagian dapat dilihat pada Gambar 2.3, Gambar 2.4, Gambar 2.5, Gambar 2.6, dan Gambar 2.7. 1

2

4

3

5

Gambar 2.2 Interface R Studio

64

1.

Menu Utama Terdiri dari File, Edit, Code, View, Plot, Session, Project, Build, Tools,

dan Help. Ditambah pula shortcut seperti (6) New, (7) Open an existing file, (8) Save current document, (9) Save all open documents, (10) Print the current document, dan (11) Go to file/function. 6

7

8

9

10

11

Gambar 2.3 Bagian Menu Utama 2.

Jendela Dokumen Tempat untuk melakukan editing dokumen yang dibuat maupun membuat

R script, dan tempat untuk menjalankan script yang telah dibuat. Dilengkapi dengan shortcut seperti (12) Go back/forward to the previous/next source location, (13) Save current document, (14) Source on Save, (15) Find/Replace, (16) Code Tools, (17) Run the current line or selection, (18) Re-run the previous code region, (19) Source the active document, dan (20) Compile an HTML notebook from the current R script. 12

13

14

15

16

Gambar 2.4 Jendela Dokumen

17

18

19

20

65

3.

Jendela Console Jendela console berisi suatu keinstanan dari R, dengan kata lain tidak perlu

menjalankan program R secara terpisah.

Gambar 2.5 Jendela Console 4.

Jendela Workspace dan History Jendela workspace menampilkan hasil dari perintah yang dijalan di R

Studio, sedangkan jendela history menampilkan perintah apa saja yang telah dijalankan di R Studio. Terdapat shorcut (21) Load Workspace, (22) Save Workspace, (23) Import Dataset (import data yang telah tersimpan), (24) Clear all objects from workspace, (25) Send the selected commands to the R console, (26) Insert the selected commands into the current document, (27) Remove the selected history entries. 21

22

23

24

25

26

27

Gambar 2.6 Jendela Workspace dan History

66

5.

Jendela Files, Plots, Packages, dan Help Jendela Files menampilkan bermacam-macam file yang tersimpan, jendela

Plots menampilkan gambar hasil dari berbagai perintah yang berhubungan dengan plot gambar misal histogram, scatterplot, dan grafik-grafik yang lain, jendela Packages menampilkan berbagai packages yang telah ada di R Studio selain bisa menggunakan packages yang sudah ada dapat pula menambah package dengan cara melakukan download package, jendela Help menampilkan berbagai informasi yang berhubungan dengan packages yang telah ada di R Studio. Tambahan shortcut yang cukup penting adalah (28) New Folder, (29) Delete, (30) Rename, (31) More (berisi perintah Copy, Move, dll), (32) Zoom, (33) Export (menyimpan plot dalam bentuk gambar atau pdf), (34) Install Packages (untuk melakukan download packages yang diperlukan), dan (35) Check for Updates. 28

29

30

31

32

33

Gambar 2.7 Jendela Files, Plots, Packages, dan Help

67

2.6.2

Perintah dalam R Studio.

Disajikan beberapa macam perintah yang digunakan dalam R Studio. 1.

Aritmatika (Enter)

, (Enter) , Operator matematika yang sering digunakan seperti +, -, ^, *, /, ==(sama dengan), >= (lebih dari atau sama dengan), dan <= (kurang dari atau sama dengan). 2.

Objek (Enter)

, Dapat pula menuliskan objek lain misal temp, seperti contoh berikut. (Enter) (Enter) , 3.

Vektor (

) (Enter) #Vektor dengan tiga elemen.

(Enter) , , - (Enter) #Menampilkan elemen ke-2 dari vektor x. [1] 2

68

, (

)- (Enter) #Menampilkan elemen ke-2 dan ke-3 dari vektor x.

, 4.

Matriks ( (

)

) (Enter)

#Dua perintah terakhir dari fungsi matrix tersebut adalah ukuran baris dan kolom dari matriks yang dibuat. (Enter) , -

, -

, , ( ) (Enter) #Menampilkan elemen baris pertama dari matriks y. , 5.

Mode ( ) (Enter) #Menyatakan panjang total dari vektor x.

, Fungsi lain yang mendukung selain length, dim, mode, names adalah sebagai berikut. (a) sin, cos, tan, asin, acos, atan: fungsi trigonometri. (b) log*, log10, exp: fungsi log dan eksponensial. (c) min, median, max, quantile*: urutan statistik untuk suatu vektor. (d) sum, prod: jumlah, produk dari elemen-elemen suatu vektor. (e) var, sd, cov, cor: varian, standar deviasi, covarian, korelasi. (f) union, intersect: gabungan, irisan dari himpunan. (g) t: transpose matriks.

69

(h) %*%: perkalian matriks. (i) solve*: inverse jika hanya satu matrik, penyelesaian untuk x dalam a%*%x=b jika dua matriks. (j) diag: diagonal matriks. Selain menggunakan fungsi yang ada, fungsi baru dapat dibuat dalam R script dengan perintah dasar fungsi sebagai berikut. function ( ) { } 6.

Plot

(a) Scatterplots Membuat matriks yang dinamakan regdata, seperti berikut. ( (

(

))

)

, -, , , , , , , # plot titik dari data: (

, -

, -) #sumbu x merupakan argumen pertama.

# plot titik dari data dan dihubungkan dengan garis:

70

(

, -

, -

)

, -

, -

)

# plot garis: (

# menambahkan label sumbu dan judul pada scatterplot: (

, -

, )

# mengatur pembatasan dari sumbu y: (

, -

, -

(

))

(b) Histograms # plot histogram data random uniform(0,1): > hist(runif(1000, min=0, max=1)) > hist(rnorm(1000, mean=0, sd=1)) #fungsi hist diijinkan untuk beberapa pilihan, lebih lengkapnya ketikan `help(hist)'. Untuk

lebih

lengkapnya,

tutorial

tentang

R

http://research.pomona.edu/johardin/[email protected].

dapat

dilihat

di

BAB 3 METODE PENELITIAN Pada penelitian ini langkah-langkah yang dilakukan adalah merumuskan masalah, studi pustaka, penyelesaian masalah dan penarikan kesimpulan. 3.1 Perumusan Masalah Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga mempermudah pambahasan selanjutnya. 3.2 Studi Pustaka Dalam studi pustaka ini digunakan sumber pustaka yang relevan yang digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi pustaka dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat berupa buku, jurnal, makalah dan sebagainya. Setelah sumber pustaka terkumpul dilanjutkan dengan pengkajian dari sumber pustaka tersebut. Pada akhirnya sumber pustaka itu dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan. 3.3 Pengumpulan Data Data yang digunakan adalah data hasil pembangkitan melalui R studio, berupa data random berdistribusi stable dengan

dan

.

Ukuran sampel 3.4 Pemecahan Masalah 3.4.1 Membuat fungsi untuk menghitung nilai estimasi dari parameter

beserta

MSE nya berdasarkan teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint dengan menggunakan program R studio.

71

72

3.4.2 Membangkitkan data menggunakan program R studio, berupa data berdistribusi Stable dengan

dan

. Ukuran sampel

3.4.3 Melakukan simulasi dengan data yang telah disediakan dan fungsi penghitung estimasi serta MSE yang telah dibuat, diperoleh MSE untuk masing-masing nilai

dengan ukuran sampel

3.4.4 Mencari minimum MSE untuk setiap

dari masing-masing estimator.



3.4.6 Mencari minimum MSE dari masing-masing estimator. 3.5 Prosedur Penelitian 3.5.1 Mencari jurnal ataupun buku-buku yang berhubungan dengan teori distribusi stable, distribusi normal, distribusi cauchy, teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint. 3.5.2 Mengkaji informasi tentang distribusi stable, distribusi normal, distribusi cauchy, estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint. 3.5.3 Membuat fungsi untuk menghitung nilai estimasi dari parameter

beserta

MSE nya berdasarkan teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint dengan menggunakan program R studio. 3.5.4 Membangkitkan data menggunakan program R studio, berupa data berdistribusi Stable dengan

dan

. Ukuran sampel

3.5.5 Melakukan simulasi dengan data dan fungsi yang telah dibuat.

73





3.5.8 Mencari minimum MSE dari masing-masing estimator. 3.6 Penarikan Kesimpulan Langkah ini merupakan langkah terakhir dari penelitan. Penarikan kesimpulan didasarkan pada studi pustaka dan pembahasan permasalahan. Simpulan

yang

diperoleh

merupakan

hasil

analisis

dari

penelitian.

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini dijelaskan tentang penentuan estimator parameter

terbaik

dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum untuk distribusi stable. 4.1 Simulasi dan Hasil Analisis 4.1.1 Fungsi Penghitung Estimasi di R Studio Fungsi dibuat dalam dua bentuk yaitu fungsi untuk melakukan simulasi dan fungsi untuk diterapkan dalam contoh menggunakan program R Studio. Pada dasarnya landasan teori yang digunakan untuk kedua fungsi itu sama meliputi estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint, perbedaannya terletak pada tambahan perhitungan untuk MSE (Mean Squared Error). Perhitungan MSE dibutuhkan dalam simulasi karena dalam pembahasan kali ini kriteria untuk menentukan estimator parameter

terbaik menggunakan kriteria MSE.

Sedangkan fungsi yang digunakan dalam perhitungan contoh, dibatasi hingga perhitungan SE (Standart Error). Script lengkapnya lihat Lampiran 6 dan Lampiran 7. 4.1.2 Pembangkitan Data Pembangkitan data random berdistribusi Stable yang dibutuhkan dalam simulasi menggunakan program Rstudio, melalui langkah-langkah berikut. (i) Aktifkan package stabledist di Rstudio, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.

74

75

Gambar 4.1 Jendela Packages Berisi Package stabledist (ii) Aktifkan script untuk membangkitkan data, dalam pembahasan ini script dinamakan generating.R.

Gambar 4.2 Script generating.R Pada baris pertama script yang ditunjukkan pada Gambar 4.2 gantikan T dengan nama yang diinginkan dan isikan nilai n, alpha, beta dengan nilai yang diinginkan,

untuk script selanjutnya sesuaikan nilai variabel yang

76

dibutuhkan dengan nilai variabel yang telah diisikan pada script baris pertama. Seperti yang telah dicontohkan pada gambar. Script lengkapnya lihat Lampiran 5. Untuk menggunakan script generating.R, tekan tombol Ctrl+Shift+Enter. Pembahasan kali ini data yang dibangkitkan menggunakan batas dan

, dengan ukuran sampel

.

Plot data hasil bangkitan dapat dilihat di Lampiran 2. Data yang telah dibangkitkan muncul pada jendela Workspace di R studio, lihat Gambar 4.3. Secara otomatis grafik plot data dan histogram data muncul di jendela Plots, lihat Gambar 4.4. Contoh digunakan data random hasil bangkitan yaitu dengan

.

Gambar 4.3 Jendela Workspace Rstudio

Gambar 4.4 Plot Garis dan Histogram

77

4.1.3 Simulasi Data Hasil Bangkitan Fungsi

simulasi

yang

telah

dibuat

dinamakan

functionhill.R,

functionhill.R, dan functionmccnew.R. 4.1.3.1 Simulasi untuk Estimator McCulloch Aktifkan script functionmccnew.R - Ctrl+Shift+Enter Console ketikkan mcc(

)(

Pada jendela

merupakan nama data yang dibangkitkan)

diikuti – Enter, maka muncul hasil yang ditunjukkan pada Gambar 4.5.

Gambar 4.5 Hasil Simulasi Data

Menggunakan Estimator McCulloch

Representasi dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut. ̂

̂

̂

4.1.3.2 Simulasi untuk Estimator Hill Untuk estimator Hill, setiap data dilakukan dua kali simulasi, alasannya hasil dari estimasi dengan menggunakan estimator Hill selanjutnya akan digunakan untuk estimasi dengan menggunakan estimator Hint.

78

Untuk estimator Hill, dipilih menggunakan

seperti

dalam Paolella (2001), sebelumnya Mittnik & Paolella (1999) menggunakan interval

, kemudian Paolella (2001) mengungkapkan interval dianjurkan untuk

dengan ukuran sampel

. Walaupun dalam simulasi menggunakan dengan ukuran sampel kurang dari

, karena interval simulasi yang dilakukan

lebih mendekati dengan syarat-syarat tersebut, maka interval (2001) yang dipilih untuk digunakan, dengan interval

dari Paolella

demikian memberikan

MSE yang cenderung bernilai kecil. Aktifkan script functionhill.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console ketikkan hill( adalah nilai

) (

merupakan nama data yang dibangkitkan,

yang dipilih dimana

) – Enter, hasil dapat dilihat pada

Gambar 4.6.


Menggunakan Estimator Hill

Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut. ̂

̂

79

Untuk simulasi kedua, dipilih nilai


. Hasil ditunjukkan pada gambar 4.7.

Menggunakan Estimator Hill


̂

4.1.3.3 Simulasi untuk Estimator Hint Aktifkan script functionhint.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console ketikkan hint( yang dibangkitkan,

) ( dan

dan

secara berturut-turut menyatakan nilai

yang digunakan pada estimasi data

menggunakan estimator Hill, nilai ̂

dari data

merupakan nama data

dan dengan

dengan dengan

berturut-turut merupakan dan

) – Enter, hasilnya

seperti pada Gambar 4.8.


Menggunakan Estimator Hint

80


̂

Hasil dari estimasi setiap data hasil bangkitan untuk setiap estimator lihat Lampiran 3, MSE masing-masing estimator untuk setiap

dan

dapat dilihat di

Lampiran 4. 4.1.4 Analisis Hasil Simulasi Berikut ini disajikan Tabel 4.1 yang memuat MSE minimum untuk ketiga estimator yang digunakan untuk setiap nilai

.

Tabel 4.1 MSE minimum untuk setiap Hint

Hill MSE

Dari

McCulloch

MSE

MSE

1.0

100

0.020979

40

0.006147

90

0.02704

1.1

100

0.034533

40

0.006147

90

0.02704

1.2

90

0.024085

40

0.006147

90

0.02704

1.3

90

0.026161

40

0.006147

90

0.02704

1.4

90

0.049709

40

0.006147

90

0.04761

1.5

100

0.052967

40

0.006147

100

0.042849

1.6

80

0.077512

40

0.006147

80

0.053561

1.7

70

0.106858

40

0.006147

90

0.095388

1.8

100

0.061001

40

0.006147

70

0.055441

1.9

100

0.069422

40

0.006147

80

0.067861

2.0

90

0.061999

40

0.006147

60

0.0081451

nilai-nilai

MSE

minimal

untuk

masing-masing

nilai

untuk setiap estimator yang digunakan, MSE terkecil di antara untuk estimator Hill terjadi pada

dengan

. MSE terkecil di antara

81

untuk estimator Hint terjadi pada semua

yang diperiksa dengan

kemudian untuk estimator McCulloch MSE terkecil di antara dengan

,

terjadi pada

.

Disajikan pula Tabel 4.2 yang memuat MSE minimum untuk ketiga estimator yang digunakan untuk setiap nilai

.

Tabel 4.2 MSE minimum untuk setiap Hint

Hill MSE

McCulloch MSE

MSE

30

1.1

0.072458

[1.0,2.0]

0.019099

1.2

0.07803

40

1.1

0.048717

[1.0,2.0]

0.006147

1.1

0.05041

50

1.3

0.052828

[1.0,2.0]

0.023287

1.3

0.040323

60

1.0

0.031827

[1.0,2.0]

0.032005

2.0

0.008145

70

1.2

0.025223

[1.0,2.0]

0.034715

1.2

0.028806

80

1.0

0.042932

[1.0,2.0]

0.03447

1.0

0.034031

90

1.2

0.024085

[1.0,2.0]

0.032928

[1.0,1.3]

0.02704

100

1.0

0.020979

[1.0,2.0]

0.030899

1.1

0.032041

Nilai MSE minimal untuk masing-masing nilai telah disajikan, terlihat bahwa nilai MSE terkecil di antara terjadi pada

dengan nilai

estimator Hint terjadi ketika

untuk estimator Hill

. MSE terkecil di antara yaitu pada semua

untuk estimator McCulloch, MSE terkecil di antara nilai

yang

untuk

yang diperiksa, dan

terjadi saat

dengan

. Dari hasil pengamatan tabel nilai MSE masing-masing estimator,

diperoleh hasil bahwa MSE minimal dengan ukuran sampel ( ) optimum terjadi

82

pada estimator Hint dengan yaitu

yang berlaku untuk setiap

yang diperiksa

.

4.2 Contoh Menggunakan data return harian dari saham TLKM dengan nama TLKMRETURN2, sebanyak 50 buah sampel yang mulai pada 20 Oktober 2011 sampai

30

Desember

2011.

Hasil

scatter

plot

dan

histogram

TLKMRETURN2 disajikan pada Gambar 4.9.

Gambar 4.9 Scatter plot dan Histogram Data TLKMRETURN2 Diperoleh hasil sebagai berikut.

Gambar 4.10 Hasil Estimasi data TLKMRETURN2 Representasi dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut. ̂

̂

data

83

̂ ̂ ̂

̂ ̂ ̂

Disebutkan bahwa estimator dengan standart error terkecil adalah estimator Hint dengan ̂

dan ̂

.

BAB 5 PENUTUP 5.1 Simpulan Berdasarkan hasil pembahasan pada Bab 4, diperoleh simpulan bahwa berdasarkan estimator yang dipilih untuk digunakan yaitu estimator Hill, estimator Hint, dan estimator McCulloch, dengan kriteria Mean Squared Error (MSE) diperoleh hasil bahwa MSE minimal dengan ukuran sampel ( ) optimum terjadi pada estimator Hint dengan yaitu

yang berlaku untuk setiap

yang diperiksa

.

5.2 Saran 1.

Ukuran sampel

yang relatif kecil seperti hasil simulasi

lebih

disarankan menggunakan estimator Hint karena mampu menghasilkan MSE minimal. 2.

Pendekatan distribusi stable pada permasalahan finansial seperti pengambilan keputusan menjual atau membeli saham tertentu dilihat dari plot histogram histori return data saham tersebut. Bila puncak plot dari return saham tersebut runcing(leptokurtik) simetris pada daerah positif atau condong ke daerah positif artinya peluang saham tersebut mampu memberikan keuntungan lebih besar sehingga investor lebih baik memutuskan untuk membeli saham tersebut dan pemilik saham lebih baik memutuskan untuk menjual saham. Tapi bila sebaliknya, artinya peluang saham akan menimbulkan kerugian

84

85

lebih besar sehingga tidak akan menguntungkan bila investor membeli saham tersebut. Pemilik saham lebih baik tetap mempertahankan sahamnya.

DAFTAR PUSTAKA Aunon, J. I., & Chandrasekar, V. 1997. Introduction to Probability and Random Processes. McGraw-Hill Companies, Inc. Bilik, A. 2008. Heavy-Tail Central Limit Theorem. Preprint diperoleh dari http://www.math.ucsd.edu/~williams/courses/.../bilikHeavy_Tail_Notes. pdf. Bollerslev, T., Engle, R. F., & Nelson, D. B. 1994. ARCH models, In Handbook of Econometrics. (Edited by R. Engle & D. McFadden). Elsiver Science, Amsterdam. Breiman, L. 1968. Probability. Boston: Addison-Wesley Publishing Company Inc. Burnecki, K., Gajda, J., & Sikora, G. 2011. Stability and lack of memory of the returns of the Hang Seng index. Elsevier, 390:3136-3146. Burnecki, K., Klafter, J., Magdziarz, M., & Wero, A. 2008. From solar flare time series to fractional dynamics. Elsevier, 387:1077-1087. Dekking, F. M., Kraaikamp, C., Lopuhaa, H. P., & Meester, L. E. 2005. Introduction to Probability dan Statistics Understdaning Why dan How. Springer. DuMouchel, W. H. 1971. Stable Distributions in Statistical Inference. PhD thesis, Yale University. Fama, E. F., & Roll, R. 1968. Some properties of symmetric Stable distributions. Journal of the American Statistical Association, 63:817–836. Fama, E. F., & Roll, R. 1971. Parameters estimates for symmetric Stable distribution. Journal of the American Statistical Association, 66(334):331–338. Feller, W. 1971. An Introduction to Probability Theory dan Its Applications. John Wiley, New York, 2nd edition. Feuerverger, A., & McDunnough, P. 1981. On the efficiency of empirical characteristic function procedures. Journal of the Royal Statistical Society, 43:20–27. Frain, J. C. 2009. Studies on the applications of the alpha-Stable distribution in economics. Master’s thesis, University of Dublin. Gnedenko, B. V., & Kolmogorov, A. N. 1954. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. Addison-Wesley Publishing Company.

86

87

Hill, B. M. 1975. A simple general approach to inference about the tail of a distribution. The Annals of Statistics, 3(5):1163–1174. Hogg, R. V., & Craig, A. T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics. Macmillan Publishing Co., Inc., New York. Holt, D. R., & Crow, E. L. 1973. Tables and Graphs of the Stable Probability Density Functions. Journal of Research of the National Bureau of Standards B, 77:143-198. Kogon, S. M., & Williams, D. B. 1998. Characteristic function based estimation of Stable distribution parameters. In Adler, R. J., Feldman, R. E., dan Taqqu, M. S., editors, A Practical Guide to Heavy Tailed Data, pages 311–335. Birkhauser, Boston. Koutrouvelis, I. A. 1980. Regression-type estimation of the parameters of Stable laws. Journal of the American Statistical Association, 75:918–928. Lukacs, E. 1970. Characteristic Functions. Charles Griffin & Company Limited 42 Drury Lane, London. Magdziarz, M. 2009. Correlation cascades, ergodic properties and long memory of infinitely divisible processe. Elsevier, 119:3416-3434. Mandelbrot, B. 1963. The variation of certain speculative prices. Journal of Business, 36:394–419. McCulloch, J. H. 1986. Simple consistent estimators of Stable distribution parameters. Communications in Statistics - Simulation dan Computation, 15(4):1109–1136. McDonald, J. B., & Newey, W. K. 1988. Partially adaptive estimation of regression models via the generalized t distribution, Econometric Theory, 4:428-457. Mittnik, S., & Paolella, S. 1999. A Simple Estimator for the Characteristic Exponent of the Stable Paretian Distribution. Mathematical and Computer Modelling, 29:161-176. Nolan, J. P. 1997. Numerical calculation of Stable densities and distribution functions. Communications in Statistics : Stochastic Models, 13:759– 774. Nolan, J. P. 2001. Maximum likelihood estimation dan diagnostics for Stable distributions. In Barndorff-Nielsen, O. E., Mikosch, T., dan Resnick, S. I., editors, Lévy Processes: Theory dan Applications, pages 379–400. Birkhauser, Boston. Owen, A. B. 1988. Empirical likelihood ratio confidence intervals for a single functional. Biometrika, 75:237–249.

88

Owen, A. B. 1990. Empirical likelihood ratio confidence regions. The Annals of Statistics, 18:90–120. Paolella, M. S. 2001. Testing the Stable paretian assumption. Mathematical dan Computer Modelling, 34:1095–1112. Paulson, A. S., Holcomb, E. W., & Leitch, R. A. 1975. The estimation of the parameters of the Stable laws. Biometrika, 62:163–170. Press, S. J. 1972. Estimation in univariate dan multivariate Stable distributions. Journal of the American Statistical Association, 67:842–846. Qin, J., & Lawless, J. 1994. Empirical likelihood dan general estimating equations. The Annals of Statistics, 22:300–325. Rosadi, D. 2009. Testing for independence in heavy-tailed time series using codifference function. Elsevier, 53:4516-4529. Rosadi, D., & Deistler, M. 2009. Estimating the codifference function of linear time series models with infinite variance. Metrik, 73:395-429. Roussas, G. 2003. An Introduction to Probability dan Statistical Inference. Academic Press. Sato, K. 1999. L’evy Processes dan Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press. Stone, C. J. 1996. A Course in Probability dan Statistics. China Machine Press. Taqqu, M. S., & Levy, J. B. 2008. The dependence structure of log-fractiona stable noise with analogy to fractional Gaussian noise. Rendiconti di Matematica, 28:97-115. Samorodnitsky, G., & Taqqu, M. S. 1994. Stable Non-Gaussian Random Processes. Chapman and Hall. Uchaikin, V. V., & Zolotarev, V. M. 1999. Chance and Stability Stable Distributions dan their Applications. VSP. Wang, C., Liao, M., & Li, X. 2008. Ship Detection in SAR Image based on the Alpha-Stable Distribution. Sensors, 8:4948–4960. Whitt, W. 2002. Stochastic-Process Limit: An Introduction to StochasticProcess Limits and Their Application to Queues. Springer. Wylomanska, A. 2011. Measures of dependence for Ornstein-Uhlenbeck processes with tempered stable distribution. Acta Physica Polonica B, 42:2049-2062.

89

Zolotarev, V. M. 1964. The First Passage Time of a Level and the Behavior at Infinity for a Class of Processes with Independent Increments. Theory Probability & Its Application, 9(4):653-662. Zolotarev, V. M. 1986. One-Dimensional Stable Distributions. American Mathematical Society, Providence. Zwillinger, D., and Kokoska, S. 1957. Standard Probability and Statistics Tables and Formulae. Chapman and Hall, Florida.

LAMPIRAN-LAMPIRAN

90

LAMPIRAN 1 (

Tabel 1

)

(

Tabel 2

(McCulloch (1986), Tabel I)

)

(McCulloch (1986), Tabel II)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

2.00

2.439

2.439

2.439

2.439

2.439

1.90

2.512

2.512

2.513

2.513

1.80

2.608

2.609

2.610

1.70

2.737

2.738

1.60

2.912

1.50

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

2.00

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

2.515

1.90

0.0

0.018

0.036

0.053

0.071

2.613

2.617

1.80

0.0

0.039

0.077

0.113

0.148

2.739

2.742

2.746

1.70

0.0

0.063

0.123

0.178

0.228

2.909

2.904

2.900

2.902

1.60

0.0

0.089

0.174

0.248

0.309

3.148

3.136

3.112

3.092

3.089

1.50

0.0

0.118

0.228

0.320

0.390

1.40

3.464

3.436

3.378

3.331

3.316

1.40

0.0

0.148

0.285

0.394

0.469

1.30

3.882

3.834

3.720

3.626

3.600

1.30

0.0

0.177

0.342

0.470

0.546

1.20

4.447

4.365

4.171

4.005

3.963

1.20

0.0

0.206

0.399

0.547

0.621

1.10

5.217

5.084

4.778

4.512

4.451

1.10

0.0

0.236

0.456

0.624

0.693

1.00

6.314

6.098

5.624

5.220

5.126

1.00

0.0

0.268

0.513

0.699

0.762

0.90

7.910

7.590

6.861

6.260

6.124

0.90

0.0

0.303

0.573

0.770

0.825

0.80

10.448

9.934

8.779

7.900

7.687

0.80

0.0

0.341

0.634

0.834

0.881

0.70

14.838

13.954

12.042

10.722

10.370

0.70

0.0

0.387

0.699

0.890

0.927

0.60

23.483

21.768

18.332

16.216

15.584

0.60

0.0

0.441

0.768

0.936

0.962

0.50

44.281

40.137

33.002

29.140

27.782

0.50

0.0

0.510

0.838

0.970

0.985

(

)

(

Catatan:

)

Catatan:

(

)

(

)

91

(

Tabel 3

)

)

(McCulloch (1986), Tabel IV)

(McCulloch (1986), Tabel III)

0.0

(

Tabel 4

0.1

0.2

0.3

0.5

0.7

1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.5

0.7

1.0

2.439

2.0

2.0

2.0

2.0

2.0

2.0

2.0

2.439

0.0

2.160

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

2.5

1.916

1.924

1.924

1.924

1.924

1.924

1.924

2.5

0.0

1.592

3.390

1.0

1.0

1.0

1.0

2.6

1.808

1.813

1.829

1.829

1.829

1.829

1.829

2.6

0.0

0.759

1.800

1.0

1.0

1.0

1.0

2.7

1.729

1.730

1.737

1.745

1.745

1.745

1.745

2.7

0.0

0.482

1.048

1.694

1.0

1.0

1.0

2.8

1.664

1.663

1.663

1.668

1.676

1.676

1.676

2.8

0.0

0.360

0.760

1.232

2.229

1.0

1.0

3.0

1.563

1.560

1.553

1.548

1.547

1.547

1.547

3.0

0.0

0.253

0.518

0.823

1.575

1.0

1.0

3.2

1.484

1.480

1,471

1,460

1.448

1.438

1.438

3.2

0.0

0.203

0.410

0.632

1.244

1.906

1.0

3.5

1.391

1.386

1.378

1.364

1.337

1.318

1.318

3.5

0.0

0.165

0.332

0.499

0.943

1.560

1.0

4.0

1.279

1.273

1.266

1.250

1.210

1.184

1.150

4.0

0.0

0.136

0.271

0.404

0.689

1.230

2.195

5.0

1.128

1.121

1.114

1.101

1.067

1.027

0.973

5.0

0.0

0.109

0.216

0.323

0.539

0.827

1.917

6.0

1.029

1.021

1.014

1.004

0.974

0.935

0.874

6.0

0.0

0.096

0.190

0.284

0.472

0.693

1.759

8.0

0.896

0.892

0.887

0.883

0.855

0.823

0.769

8.0

0.0

0.082

0.163

0.243

0.412

0.601

1.596

10.0

0.818

0.812

0.806

0.801

0.780

0.756

0.691

10.0

0.0

0.074

0.147

0.220

0.377

0.546

1.482

15.0

0.698

0.695

0.692

0.689

0.676

0.656

0.595

15.0

0.0

0.064

0.128

0.191

0.330

0.478

1.362

25.0

0.593

0.590

0.588

0.586

0.579

0.563

0.513

25.0

0.0

0.056

0.112

0.167

0.285

0.428

1.274

(

)

(

)

Catatan:

(

)

Catatan:

(

)

92

Tabel 5

untuk parameter

(McCulloch (1986), Table VIII a)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

2.00

4.02

4.02

4.02

4.02

4.02

1.75

2.81

2.85

2.93

3.05

3.17

1.50

1.97

2.07

2.33

2.64

2.85

1.25

1.65

1.79

2.03

2.42

2.55

1.00

1.42

1.56

1.87

2.16

2.16

0.75

1.13

1.41

1.53

1.77

1.65

0.50

1.32

1.54

1.73

1.70

1.75

93

LAMPIRAN 2 Plot Garis dan Histogram Data Random Berdistribusi Stable Hasil Bangkitan

94

95

96

97

LAMPIRAN 2

98

99

100

101

102

LAMPIRAN 2

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

LAMPIRAN 3 Daftar Nilai ̂, MSE untuk Data Random Berditribusi Stable Daftar nilai ̂, MSE untuk data random berditribusi Stable dengan Hill

Hill

̂

̂

12

1.3212

0.45577

0.207726

16

1.3991

0.39886

20

1.2925

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

0.94448

0.3085

0.095172

2.292

-0.1382

0.159089

18

1.32797

0.3515

0.123552

1.4278

0.32069

0.102842

22

1.3009

0.3048

0.092903

0.8201

0.18244

0.033284

26

0.8402

0.1784

28

1.1624

0.23639

0.05588

31

1.22867

32

1.1707

0.2206

0.048664

35

36

1.0086

0.17791

0.031652

40

0.9107

0.15152

0.022958

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

1.128

0

0.3012474

0.09075

0.0784

0.006147

1.73

0.482

0.463237

0.2146225

1.0461

0.1526

0.023287

1.21

-0.689

0.3422397

0.117128

0.031827

0.5536

0.1789

0.032005

0.896

0

0.18332121

0.03360667

0.2358

0.055602

0.51701

0.18632

0.034715

1.273

-0.136

0.19721272

0.03889286

1.15612

0.2072

0.042932

1.1159

0.18566

0.03447

1.279

0

0.18447561

0.03403125

40

1.02747

0.17095

0.029224

0.78789

0.18146

0.032928

1.004

0.284

0.1644384

0.02704

44

0.9173

0.14484

0.020979

0.79262

0.17578

0.030899

1.128

0

0.165

0.27225

30 40 50 60 70 80 90 100

116

Daftar nilai ̂, MSE untuk data random berditribusi Stable dengan Hill

Hill

̂

̂

12

1.0232

0.35298

0.124595

16

1.10199

0.31416

20

1.15916

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

0.8241

0.26918

0.072458

1.8842

-0.1382

0.098697

18

0.83382

0.22072

0.048717

1.8433

0.2875971

0.082712

22

1.2517

0.2932239

0.08598

1.08129

0.24055588

0.057867

26

1.1261

0.2390583

28

1.03778

0.21106394

0.044548

31

0.9822

32

1.13783

0.2144403

0.045985

35

36

1.20019

0.21171233

0.044822

40

1.26187

0.20995154

0.04408

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

1.128

0

0.3012474

0.09075

0.0784

0.006147

1.021

0.096

0.2245217

0.05041

0.0974

0.1526

0.023287

1.378

-0.332

0.2927422

0.085698

0.057149

0.51667

0.1789

0.032005

1.014

0.19

0.2013951

0.04056

0.18846889

0.035521

1.23965

0.18632

0.034715

1.114

0.216

0.18645566

0.03476571

1.1663

0.20899215

0.043678

0.78419

0.18566

0.03447

1.266

-0.271

0.20012808

0.04005125

40

1.1401

0.18968875

0.035982

1.32857

0.18146

0.032928

1.114

-0.216

0.1644384

0.02704

44

1.1769

0.18583127

0.034533

1.48549

0.17578

0.030899

1.25

-0.404

0.179

0.032041

30 40 50 60 70 80 90 100

117


Hill

̂

̂

12

0.8478

0.2924783

0.085544

16

1.2042

0.343305

20

1.4628

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

0.91736

0.2996441

0.089787

-0.58311

-0.1382

0.117858

18

1.23974

0.3281652

0.107692

0.85064

0.3629295

0.131718

22

1.21561

0.28476287

0.08109

1.4816

0.3296121

0.108644

26

1.31936

0.28008508

28

0.78683

0.1600249

0.025608

31

0.82766

32

1.39557

0.2630147

0.069177

35

36

0.99827

0.17609405

0.031009

40

1.35742

0.2258483

0.051007

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

0.823

0.601

0.2793385

0.07803

0.0784

0.006147

1.386

-0.165

0.3114843

0.0970225

1.99987

0.1526

0.023287

1.664

0

0.397394

0.157922

0.078448

1.88808

0.1789

0.032005

1.56

-0.253

0.2672359

0.071415

0.1588166

0.025223

0.35575

0.18632

0.034715

1.021

-0.096

0.16972246

0.02880571

1.49347

0.2676259

0.071624

0.28273

0.18566

0.03447

1.471

-0.41

0.23143304

0.05356125

40

0.93276

0.15519365

0.024085

1.25534

0.18146

0.032928

1.004

0.284

0.1644384

0.02704

44

1.20165

0.18973132

0.035998

1.75364

0.17578

0.030899

1.386

-0.165

0.197

0.038809

30 40 50 60 70 80 90 100

118


Hill

̂

̂

12

1.1147

0.3845567

0.147884

16

1.1733

0.3344957

20

0.9427

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

0.9873

0.3224965

0.104004

1.672

-0.1382

0.111887

18

1.1714

0.310066

0.096141

1.0337

0.2338802

0.0547

22

0.9812

0.2298433

0.052828

1.33488

0.29697147

0.088192

26

1.2697

0.26954989

28

1.2184

0.24779029

0.0614

31

1.2147

32

1.3091

0.24672465

0.060873

35

36

1.1055

0.1950039

0.038027

40

1.5682

0.2609106

0.068074

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

1.378

-0.332

0.3779286

0.14283

0.0784

0.006147

1.378

0.332

0.3272957

0.1071225

0.5316

0.1526

0.023287

1.121

-0.109

0.2008183

0.0403228

0.072657

1.4923

0.1789

0.032005

1.480

-0.203

0.2672359

0.071415

0.23307371

0.054323

1.073

0.18632

0.034715

1.279

0

0.19721272

0.03889286

1.3115

0.2350214

0.055235

1.0911

0.18566

0.03447

1.364

0.499

0.2269609

0.05151125

40

0.9721

0.1617443

0.026161

1.5583

0.18146

0.032928

1.101

-0.323

0.1644384

0.02704

44

1.4736

0.23267493

0.054138

1.6302

0.17578

0.030899

1.386

-0.165

0.197

0.038809

30 40 50 60 70 80 90 100

119


Hill

̂

̂

12

1.1265

0.3886229

0.151028

16

1.9389

0.5527246

20

1.6859

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

1.0761

0.3514865

0.123543

1.3241

-0.1382

0.305504

18

1.5996

0.4234318

0.179294

2.1305

0.4183062

0.17498

22

1.4161

0.3317351

0.110048

1.3686

0.30447134

0.092703

26

1.2729

0.2702307

28

1.3407

0.27266536

0.074346

31

1.3645

32

1.5578

0.2935793

0.086189

35

36

1.6769

0.2958197

0.087509

40

1.9275951

0.3207151

0.102858

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

1.004

0.284

0.2848157

0.08112

0.0784

0.006147

1.663

-0.36

0.4506246

0.2030625

2.0849

0.1526

0.023287

1.56

-0.253

0.2927422

0.0856980

0.073025

1.6311

0.1789

0.032005

1.364

-0.499

0.26207187

0.06868167

0.2618201

0.06855

0.9892

0.18632

0.034715

1.553

-0.518

0.27848827

0.07755571

1.3863

0.24842918

0.061717

1.8780985

0.18566

0.03447

1.471

-0.41

0.23143304

0.05356125

40

1.34

0.22295612

0.049709

2.1394716

0.18146

0.032928

1.471

0.41

0.2181972

0.04761

44

1.6802

0.2652918

0.07038

2.0880698

0.17578

0.030899

1.73

0.482

0.293

0.085849

30 40 50 60 70 80 90 100

120


Hill

̂

̂

12

1.9342

0.6672396

0.445209

16

2.1391

0.6098155

20

1.8249

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

1.4504

0.4737475

0.224437

2.4474

-0.1382

0.371875

18

2.1028

0.5566283

0.309835

1.6017

0.45278

0.20501

22

1.8746

0.4391301

0.192835

2.2029

0.4900893

0.240188

26

1.8792

0.3989292

28

1.9096

0.3883811

0.15084

31

1.7687

32

1.9183

0.3615356

0.130708

35

36

1.5838

0.27937239

0.078049

40

1.4373

0.23913377

0.057185

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

1.664

0

0.5130335

0.2632033

0.0784

0.006147

2

1

0.6356178

0.40401

1.1169

0.1526

0.023287

2

-1

0.5685139

0.323208

0.159145

2.3178

0.1789

0.032005

2

0

0.5189798

0.26934

0.3393895

0.115185

1.8375

0.18632

0.034715

1.663

0.36

0.3406402

0.1160357

1.8817

0.3371982

0.113703

1.5593

0.18566

0.03447

2

1

0.4494497

0.202005

40

1.4659

0.24390706

0.059491

1.6725

0.18146

0.032928

1.364

-0.499

0.21398079

0.04578778

44

1.4576

0.23014609

0.052967

1.0618

0.17578

0.030899

1.56

-0.253

0.207

0.042849

30 40 50 60 70 80 90 100

121


Hill

̂

̂

12

1.9961

0.6886071

0.47418

16

2.2872

0.6520385

20

1.5135

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

1.7664

0.5769814

0.332908

2.1464

-0.1382

0.425154

18

2.1677

0.5738128

0.329261

1.8423

0.3517938

0.123759

22

1.5018

0.3517938

0.123759

2.1566

0.4797849

0.230194

26

2.0877

0.4431924

28

2.2361

0.4547699

0.206816

31

1.7303

32

1.5516

0.29242127

0.08551

35

36

2.0158

0.3555809

0.126438

40

2.0109

0.3345757

0.111941

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

2

1

0.7339482

0.53868

0.0784

0.006147

2

-1

0.6356178

0.40401

1.2763

0.1526

0.023287

1.663

0.76

0.4313351

0.18605

0.19642

1.7729

0.1789

0.032005

2

-1

0.5189798

0.26934

0.3320159

0.110235

2.3955

0.18632

0.034715

1.664

0

0.3358592

0.1128014

1.5536

0.27840917

0.077512

1.2263

0.18566

0.03447

1.56

0.253

0.23143304

0.05356125

40

1.8622

0.3098317

0.095996

1.88078

0.18146

0.032928

1.663

-0.36

0.3004164

0.09025

44

1.8368

0.2900163

0.084109

1.9616

0.17578

0.030899

1.663

0.76

0.305

0.093025

30 40 50 60 70 80 90 100

122


Hill

̂

̂

12

1.7534

0.6048836

0.365884

16

2.0592

0.5870314

20

2.0359

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

1.8254

0.5962564

0.355522

0.8275

-0.1382

0.344606

18

1.7996

0.4763719

0.22693

2.0395

0.5051416

0.255168

22

1.6761

0.3926407

0.154167

1.7167

0.3819228

0.145865

26

1.7066

0.3622949

28

1.6073

0.326891

0.106858

31

1.5891

32

2.0439

0.3852079

0.148385

35

36

1.9159

0.3379722

0.114225

40

2.189

0.3642136

0.132652

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

1.73

-0.482

0.5349424

0.2861633

0.0784

0.006147

1.56

0.253

0.3272957

0.1071225

2.2675

0.1526

0.023287

2

1

0.5685139

0.3232080

0.131258

1.3722

0.1789

0.032005

1.829

1

0.4092452

0.1674817

0.3049235

0.092978

1.3451

0.18632

0.034715

1.663

0.36

0.3406402

0.1160357

2.0015

0.3586729

0.128646

1.6242

0.18566

0.03447

1.663

-0.36

0.3186397

0.1015312

40

1.8611

0.3096466

0.095881

1.5946

0.18146

0.032928

1.73

0.482

0.30884912

0.09538778

44

1.8951

0.2992184

0.089532

2.2021

0.17578

0.030899

1.916

0

0.402

0.161604

30 40 50 60 70 80 90 100

123


Hill

̂

̂

12

2.2219

0.7665121

0.587541

16

2.1486

0.6125328

20

2.2771

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

2.3149

0.7561402

0.571748

0.9809

-0.1382

0.375196

18

2.2516

0.5960002

0.355216

1.1149

0.5649644

0.319185

22

1.9249

0.4509253

0.203334

1.8924

0.4209935

0.177236

26

1.9099

0.4054405

28

1.732

0.3522588

0.124086

31

1.7409

32

2.1065

0.3969957

0.157606

35

36

1.6447

0.2901204

0.08417

40

1.6173

0.269081

0.072405

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

2

1

0.7339482

0.53868

0.0784

0.006147

2

1

0.6356178

0.40401

2.2867

0.1526

0.023287

1.563

0

0.2786001

0.0776180

0.164382

1.3012

0.1789

0.032005

1.924

1

0.5189798

0.26934

0.3340533

0.111592

1.2852

0.18632

0.034715

1.563

0

0.23546004

0.05544143

2.0149

0.3610755

0.130376

1.8004

0.18566

0.03447

1.73

-0.482

0.327584

0.1073113

40

1.5995

0.2661196

0.07082

1.4618

0.18146

0.032928

1.813

0.759

0.3214982

0.1033611

44

1.5643

0.2469829

0.061001

1.4993

0.17578

0.030899

1.664

0

0.281

0.078961

30 40 50 60 70 80 90 100

124


Hill

̂

̂

12

1.8039

0.6222911

0.387246

16

1.5233

0.4342737

20

2.4346

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

1.5339

0.501016

0.251017

2.1901

-0.1382

0.188594

18

1.6617

0.4398666

0.193483

0.3689317

0.604041

0.364866

22

2.3229

0.5441534

0.296103

2.1126

0.4699875

0.220888

26

2.1919

0.4653168

28

1.8099

0.3680969

0.135495

31

1.8964

32

1.6281

0.3068447

0.094154

35

36

1.8772

0.3311343

0.10965

40

2.1116

0.3513217

0.123427

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

1.729

0

0.5130335

0.2632033

0.0784

0.006147

1.729

0

0.4443

0.1974025

1.9169

0.1526

0.023287

2

-1

0.5685139

0.323208

0.21652

1.0165

0.1789

0.032005

2

0

0.5189798

0.26934

0.363897

0.132421

0.9107

0.18632

0.034715

1.73

-0.482

0.350202

0.1226414

1.6378

0.2934903

0.086137

1.2234

0.18566

0.03447

1.553

0.518

0.26050192

0.06786125

40

1.6149

0.2686823

0.07219

2.0586

0.18146

0.032928

1.663

0.36

0.3004164

0.09025

44

1.6687

0.2634799

0.069422

2.3117

0.17578

0.030899

1.924

-1

0.402

0.161604

30 40 50 60 70 80 90 100

125


Hill

̂

̂

12

2.0487

0.706748

0.499493

16

1.9348

0.5515579

20

2.4556

24

Hint

̂

̂

̂

̂

13

2.1325

0.6965416

0.48517

0.9389

-0.1382

0.304216

18

1.8744

0.4961614

0.246176

1.5977

0.6092545

0.371191

22

1.9748

0.4625963

0.213995

2.0899

0.4649628

0.21619

26

1.8419

0.3910333

28

2.2081

0.4490877

0.20168

31

2.0522

32

1.6714

0.314991

0.099219

35

36

1.6666

0.2939825

0.086426

40

1.847

0.3073127

0.094441

McCulloch ̂

̂

̂

0.019099

2

-1

0.7339482

0.53868

0.0784

0.006147

2

-1

0.6356178

0.40401

2.4177

0.1526

0.023287

2

1

0.568539

0.323208

0.152907

2.1933

0.17891

0.032009

2

0

0.518989

0.26934958

0.393785

0.155067

1.9422

0.18632

0.034715

2

1

0.4804819

0.2308629

1.6563

0.2968074

0.088095

1.3698

0.18566

0.03447

1.813

-0.759

0.3410004

0.1162812

40

1.4965

0.2489955

0.061999

1.8289

0.18146

0.032928

1.829

1

0.3341473

0.1116544

44

1.6908

0.2669632

0.071269

1.8834

0.17578

0.030899

1.916

0

0.402

0.161604

30 40 50 60 70 80 90 100

126

LAMPIRAN 4 MSE Parameter untuk Masing-masing Estimator MSE parameter dengan menggunakan estimator Hill 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

30

0.207726

0.124595

0.085544

0.147884

0.151028

0.445209

0.47418

0.365884

0.587541

0.387246

0.499493

40

0.159089

0.098697

0.117858

0.111887

0.305504

0.371875

0.425154

0.344606

0.375196

0.188594

0.304216

50

0.102842

0.082712

0.131718

0.0547

0.17498

0.20501

0.123759

0.255168

0.319185

0.364866

0.371191

60

0.033284

0.057867

0.108644

0.088192

0.092703

0.240188

0.230194

0.145865

0.177236

0.220888

0.21619

70

0.05588

0.044548

0.025608

0.0614

0.074346

0.15084

0.206816

0.106858

0.124086

0.135495

0.20168

80

0.048664

0.045985

0.069177

0.060873

0.086189

0.130708

0.08551

0.148385

0.157606

0.094154

0.099219

90

0.031652

0.044822

0.031009

0.038027

0.087509

0.078049

0.126438

0.114225

0.08417

0.10965

0.086426

100

0.022958

0.04408

0.051007

0.068074

0.102858

0.057185

0.111941

0.132652

0.072405

0.123427

0.094441

MSE parameter

dengan menggunakan estimator Hill

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

30

0.095172

0.072458

0.089787

0.104004

0.123543

0.224437

0.332908

0.365884

0.571748

0.251017

0.48517

40

0.123552

0.048717

0.107692

0.096141

0.179294

0.309835

0.329261

0.344606

0.355216

0.193483

0.246176

50

0.092903

0.08598

0.08109

0.052828

0.110048

0.192835

0.123759

0.255168

0.203334

0.296103

0.213995

60

0.031827

0.057149

0.078448

0.072657

0.073025

0.159145

0.19642

0.145865

0.164382

0.21652

0.152907

70

0.055602

0.035521

0.025223

0.054323

0.06855

0.115185

0.110235

0.106858

0.111592

0.132421

0.155067

80

0.042932

0.043678

0.071624

0.055235

0.061717

0.113703

0.077512

0.148385

0.130376

0.086137

0.088095

90

0.029224

0.035982

0.024085

0.026161

0.049709

0.059491

0.095996

0.114225

0.07082

0.07219

0.061999

100

0.020979

0.034533

0.035998

0.054138

0.07038

0.052967

0.084109

0.132652

0.061001

0.069422

0.071269

127

MSE parameter

dengan menggunakan estimator Hint

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

30

0.019099

0.019099

0.019099

0.019099

0.019099

0.019099

0.019099

0.019099

0.019099

0.019099

0.019099

40

0.006147

0.006147

0.006147

0.006147

0.006147

0.006147

0.006147

0.006147

0.006147

0.006147

0.006147

50

0.023287

0.023287

0.023287

0.023287

0.023287

0.023287

0.023287

0.023287

0.023287

0.023287

0.023287

60

0.032005

0.032005

0.032005

0.032005

0.032005

0.032005

0.032005

0.032005

0.032005

0.032005

0.032005

70

0.034715

0.034715

0.034715

0.034715

0.034715

0.034715

0.034715

0.034715

0.034715

0.034715

0.034715

80

0.03447

0.03447

0.03447

0.03447

0.03447

0.03447

0.03447

0.03447

0.03447

0.03447

0.03447

90

0.032928

0.032928

0.032928

0.032928

0.032928

0.032928

0.032928

0.032928

0.032928

0.032928

0.032928

100

0.030899

0.030899

0.030899

0.030899

0.030899

0.030899

0.030899

0.030899

0.030899

0.030899

0.030899

MSE parameter 1

1.1

1.2

30

0.09075

0.09075

0.07803

40

0.2146225

0.05041

0.0970225

50

0.117128

0.085698

0.157922

60

0.0336067

0.04056

70

0.0388929

80

1.3

dengan menggunakan estimator McCulloch 1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

0.14283

0.08112

0.2632033

0.53868

0.2861633

0.53868

0.2632033

0.53868

0.1071225

0.2030625

0.40401

0.40401

0.1071225

0.40401

0.1974025

0.40401

0.0403228

0.085698

0.323208

0.18605

0.323208

0.077618

0.323208

0.323208

0.071415

0.071415

0.0686817

0.26934

0.26934

0.1674817

0.26934

0.26934

0.0081451

0.0347657

0.02880571

0.0388929

0.0775557

0.1160357

0.1128014

0.1160357

0.0554414

0.1226414

0.2308629

0.0340313

0.0400513

0.05356125

0.0515113

0.0535613

0.202005

0.0535613

0.1015312

0.1073113

0.0678613

0.1162812

90

0.02704

0.02704

0.02704

0.02704

0.04761

0.0457878

0.09025

0.0953878

0.1033611

0.09025

0.1116544

100

0.27225

0.032041

0.038809

0.038809

0.085849

0.042849

0.093025

0.161604

0.078961

0.161604

0.161604

128

LAMPIRAN 5 Script Membangkitkan Data Random Berdistribusi Stable T <- rstable(n = a, alpha =b , beta =c ) plot(T, type = "l", main = "stable: alpha=b beta=c ", col = "steelblue") hist(T, n = round(1+(3.3*log10(length(T)))), probability = TRUE, border = "white", col = "steelblue") x <- seq(-10, 10, 0.25) lines(x, dstable(x, alpha = b, beta = c, tol= 1e-3), lwd = 2)

129

LAMPIRAN 6 Script Fungsi Estimator untuk Simulasi Estimator Hill hill <- function(x,a){ k <- a*length(x) kbulat <- round(k) absx <- abs(x) sortabsx <- sort(absx) sum <- sum((1/kbulat)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat))])) alfainvers <- sum-log(sortabsx[length(x)-kbulat]) alfahill <- 1/alfainvers sehill <- (kbulat*alfahill)/((kbulat-1)*(sqrt(kbulat-2))) MSEhill <- (sehill*sehill) myvec <- c(kbulat,alfahill,sehill,MSEhill) return (myvec) }

Estimator Hint hint <- function(x,k1,k2,alfa1,alfa2){ Tperseribu <- length(x)/1000 k <- c(k1,k2) kperseribu <- k/1000 alfahill <- c(alfa1,alfa2) sumalfahillkperseribu <- sum(alfahill*kperseribu) sumalfahill <- sum(alfahill) sumkperseribu <- sum(kperseribu) sumkperseribukuadrat <- sum(kperseribu*kperseribu) ratakperseribu <- mean(kperseribu) rataalfahill <- mean(alfahill) m <- ((length(k)*sumalfahillkperseribu) -(sumalfahill*sumkperseribu))/((length(k)*sumkperseribukuadrat)(sumkperseribu*sumkperseribu)) b <- rataalfahill-(m*ratakperseribu) alfahint <- -0.811-0.3079*b+2.0278*sqrt(b) sehint <- 0.0322-0.00205*Tperseribu+0.02273/Tperseribu-0.0008352/(Tperseribu*Tperseribu) MSEhint <- (sehint*sehint) myvec <- c(alfahint,sehint,MSEhint)

130

return (myvec) }

Estimator McCulloch mcc <- function(x){ sortx <- sort(x) va <- (quantile(sortx,0.95)-quantile(sortx,0.05))/(quantile(sortx,0.75)-quantile(sortx,0.25)) vb <- (quantile(sortx,0.95)+quantile(sortx,0.05)-2*quantile(sortx,0.5))/(quantile(sortx,0.95) -quantile(sortx,0.05)) rva <- round(va,3) rvb <- round(abs(vb),1) alfamcc <- if (rva<=2.445&(0.0<=rvb&rvb<=1.0)) {print(2.0)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.916)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.1<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.924)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.808)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(1.813)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.829)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.0){print(1.729)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(1.730)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.737)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.745)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.0){print(1.664)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.1<=rvb&rvb<=0.2)){print(1.663)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.668)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.676)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.0){print(1.563)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(1.560)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(1.553)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.548)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.547)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.0){print(1.484)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(1.480)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(1.471)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.460)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.448)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.438)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.0){print(1.391)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(1.386)}else

131

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(1.378)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.364)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.337)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.318)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.0){print(1.279)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(1.273)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(1.266)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.250)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.210)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.184)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.150)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.0){print(1.128)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(1.121)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(1.114)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.101)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.067)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.027)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.973)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.0){print(1.029)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(1.021)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(1.014)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.004)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.974)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.935)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.874)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.0){print(0.896)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.892)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.887)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.883)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.855)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.823)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.769)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.0){print(0.818)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&r==0.1){print(0.812)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.806)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.801)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.780)}else

132

if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.756)}else if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.691)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.0){print(0.698)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.695)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.692)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.689)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.676)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.656)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.595)}else if(rva>=24.446&rvb==0.0){print(0.593)}else if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.590)}else if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.588)}else if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.586)}else if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.579)}else if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.563)} else {print(0.513)} betamcc <- if (rva&rvb==0.0){print(0.0)} else if (rva<=2.445&rvb==0.1){print(1.0)}else if(rva<=2.445&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.1){print(1.0)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.2){print(1.0)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(0.759)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.2){print(1.0)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(0.482)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.0)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.694)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.1){print(0.360)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.2){print(0.760)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.232)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.6<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(0.253)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(0.518)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.823)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

133

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(0.203)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(0.410)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.632)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=6)){print(1.0)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(0.165)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(0.332)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.499)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.943)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(0.136)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(0.271)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.404)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.689)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(0.109)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(0.216)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.323)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.539)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.827)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(0.096)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(0.190)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.284)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.472)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.693)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.082)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.163)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.243)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.412)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.601)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.1){print(0.074)}else

134

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.147)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.22)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.377)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.546)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.064)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.128)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.191)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.330)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.478)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.056)}else if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.112)}else if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.167)}else if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.285)}else if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.428)}else {print(1.0)} nasdmcc<-if(alfamcc<=0.625&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.32)}else if(alfamcc<=0.625&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.54)}else if(alfamcc<=0.625&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.73)}else if(alfamcc<=0.625&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.70)}else if(alfamcc<=0.625&betamcc>=0.926){print(1.75)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.13)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.41)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.53)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.77)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&betamcc>=0.926){print(1.65)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.42)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.56)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.87)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.16)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&betamcc>=0.926){print(2.16)}else if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.65)}else if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.79)}else if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.03)}else if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.676=0.926){print(2.55)}else if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.97)}else

135

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.07)}else if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.33)}else if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.85)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(2.81)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.85)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.93)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(3.05)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&betamcc>=0.926){print(3.17)}else {print(4.02)} semcc <- nasdmcc/sqrt(length(x)) MSEmcc <- (semcc*semcc) betatruemcc <- if (vb<0){print(-betamcc)}else {print(betamcc)} myvec <- c(semcc,alfamcc,betatruemcc,MSEmcc) return(myvec) }

136

LAMPIRAN 7 Script Fungsi Estimator estimator <- function(x,a1,a2){ k1 <- a1*length(x) kbulat1 <- round(k1) absx <- abs(x) sortabsx <- sort(absx) sum1 <- sum((1/kbulat1)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat1))])) alfainvers1 <- sum1-log(sortabsx[length(x)-kbulat1]) alfahill1 <- 1/alfainvers1 sehill1 <- (kbulat1*alfahill1)/((kbulat1-1)*(sqrt(kbulat1-2))) k2 <- a2*length(x) kbulat2 <- round(k2) sum2 <- sum((1/kbulat2)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat2))])) alfainvers2 <- sum2-log(sortabsx[length(x)-kbulat2]) alfahill2 <- 1/alfainvers2 sehill2 <- (kbulat2*alfahill2)/((kbulat2-1)*(sqrt(kbulat2-2))) Tperseribu <- length(x)/1000 k <- c(k1,k2) kperseribu <- k/1000 alfahill <- c(alfahill1,alfahill2) sumalfahillkperseribu <- sum(alfahill*kperseribu) sumalfahill <- sum(alfahill) sumkperseribu <- sum(kperseribu) sumkperseribukuadrat <- sum(kperseribu*kperseribu) ratakperseribu <- mean(kperseribu) rataalfahill <- mean(alfahill) m<-((length(k)*sumalfahillkperseribu) -(sumalfahill*sumkperseribu))/((length(k)*sumkperseribukuadrat) - (sumkperseribu*sumkperseribu)) b <- rataalfahill-(m*ratakperseribu) alfahint <- -0.811-0.3079*b+2.0278*sqrt(b) sehint <- 0.0322-0.00205*Tperseribu+0.02273/Tperseribu-0.0008352/(Tperseribu*Tperseribu) sortx <- sort(x) va <- (quantile(sortx,0.95)-quantile(sortx,0.05))/(quantile(sortx,0.75)-quantile(sortx,0.25)) vb<-(quantile(sortx,0.95)+quantile(sortx,0.05)-2*quantile(sortx,0.5))/(quantile(sortx,0.95)quantile(sortx,0.05))

137

rva <- round(va,3) rvb <- round(abs(vb),1) alfamcc <- if (rva<=2.445&(0.0<=rvb&rvb<=1.0)) {print(2.0)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.916)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.1<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.924)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.808)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(1.813)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.829)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.0){print(1.729)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(1.730)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.737)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.745)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.0){print(1.664)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.1<=rvb&rvb<=0.2)){print(1.663)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.668)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.676)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.0){print(1.563)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(1.560)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(1.553)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.548)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.547)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.0){print(1.484)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(1.480)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(1.471)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.460)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.448)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.438)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.0){print(1.391)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(1.386)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(1.378)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.364)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.337)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.318)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.0){print(1.279)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(1.273)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(1.266)}else

138

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.250)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.210)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.184)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.150)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.0){print(1.128)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(1.121)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(1.114)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.101)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.067)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.027)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.973)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.0){print(1.029)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(1.021)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(1.014)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.004)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.974)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.935)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.874)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.0){print(0.896)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.892)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.887)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.883)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.855)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.823)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.769)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.0){print(0.818)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&r==0.1){print(0.812)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.806)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.801)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.780)}else if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.756)}else if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.691)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.0){print(0.698)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.695)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.692)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.689)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.676)}else

139

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.656)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.595)}else if(rva>=24.446&rvb==0.0){print(0.593)}else if (rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.590)}else if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.588)}else if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.586)}else if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.579)}else if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.563)} else {print(0.513)} betamcc <- if (rva&rvb==0.0){print(0.0)}else if(rva<=2.445&rvb==0.1){print(1.0)}else if(rva<=2.445&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.1){print(1.0)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.2){print(1.0)}else if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(0.759)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.2){print(1.0)}else if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(0.482)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.0)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.694)}else if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.1){print(0.360)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.2){print(0.760)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.232)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.6<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(0.253)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(0.518)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.823)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(0.203)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(0.410)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.632)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=6)){print(1.0)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(0.165)}else

140

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(0.332)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.499)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.943)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(0.136)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(0.271)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.404)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.689)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(0.109)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(0.216)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.323)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.539)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.827)}else if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(0.096)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(0.190)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.284)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.472)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.693)}else if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.082)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.163)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.243)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.412)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.601)}else if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.1){print(0.074)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.147)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.22)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.377)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.546)}else if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.064)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.128)}else

141

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.191)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.330)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.478)}else if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.056)}else if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.112)}else if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.167)}else if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.285)}else if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.428)}else {print(1.0)} nasdmcc<-if(alfamcc<=0.625&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.32)}else if(alfamcc<=0.625&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.54)}else if(alfamcc<=0.625&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.73)}else if(alfamcc<=0.625&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.70)}else if(alfamcc<=0.625&betamcc>=0.926){print(1.75)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.13)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.41)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.53)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.77)}else if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&betamcc>=0.926){print(1.65)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.42)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.56)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.87)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.16)}else if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&betamcc>=0.926){print(2.16)}else if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.65)}else if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.79)}else if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.03)}else if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.676=0.926){print(2.55)}else if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.97)}else if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.07)}else if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.33)}else if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.85)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(2.81)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.85)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.93)}else

142

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(3.05)}else if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&betamcc>=0.926){print(3.17)}else {print(4.02)} semcc <- nasdmcc/sqrt(length(x)) betatruemcc <- if (vb<0){print(-betamcc)}else {print(betamcc)} minimal <- min(sehill1,sehill2,sehint,semcc) est <- if (minimal==sehill1){print('Hill Estimator',a1)}else if(minimal==sehill2){print('Hill Estimator',a2)}else if(minimal==sehint){print('Hint Estimator')}else {print('McCulloch Estimator')} simpulan <- if (minimal==sehill1){print(alfahill1)}else if(minimal==sehill2){print(alfahill2)}else if(minimal==sehint){print(alfahint)}else {print(alfamcc)} se <- c(sehill1,sehill2,sehint,semcc) alf <- c(alfahill1,alfahill2,alfahint,alfamcc) myvec <- c(se,alf) return (myvec) }

143

LAMPIRAN 8 Data Saham TLKMRETURN2 Data

Date

Open High

Low

Close

Volume

7150 7250 7100 7250 7300 7400 7350 7300 7400 7350 7500 7500 7400 7400 7450 7350 7400 7400 7400 7450 7500 7450 7350 7350 7400 7450 7300 7200 7150 7200 7300 7300 7250 7250 7250 7250 7100

7250 7250 7250 7350 7400 7500 7450 7400 7400 7550 7500 7600 7500 7500 7500 7400 7400 7500 7450 7550 7550 7500 7450 7450 7550 7500 7300 7300 7150 7350 7300 7350 7250 7350 7300 7250 7200

14460000 11297500 25272500 18935500 14632500 23000000 21185500 11012000 9112500 17162500 8350500 7488500 7821000 5409500 15396500 9176000 9981000 6056000 10944000 8607000 6532000 9325500 13900500 8789000 10087000 4384000 9227500 10154500 15538500 19157000 16020000 7610000 9804000 9851000 14142000 10316000 28515000

ke-i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

20-Oct-11 21-Oct-11 24-Oct-11 25-Oct-11 26-Oct-11 27-Oct-11 28-Oct-11 31-Oct-11 1-Nov-11 2-Nov-11 3-Nov-11 4-Nov-11 7-Nov-11 8-Nov-11 9-Nov-11 10-Nov-11 11-Nov-11 14-Nov-11 15-Nov-11 16-Nov-11 17-Nov-11 18-Nov-11 21-Nov-11 22-Nov-11 23-Nov-11 24-Nov-11 25-Nov-11 28-Nov-11 29-Nov-11 30-Nov-11 1-Dec-11 2-Dec-11 5-Dec-11 6-Dec-11 7-Dec-11 8-Dec-11 9-Dec-11

7150 7300 7350 7350 7350 7400 7500 7450 7500 7400 7500 7550 7550 7450 7550 7400 7500 7400 7500 7450 7500 7550 7450 7400 7400 7450 7450 7300 7250 7200 7450 7300 7400 7350 7350 7250 7200

7250 7350 7350 7350 7400 7500 7550 7500 7500 7650 7600 7650 7550 7500 7550 7450 7500 7500 7500 7550 7600 7600 7500 7450 7550 7550 7500 7400 7350 7400 7500 7400 7400 7350 7400 7350 7300

Adj Close 7250 7250 7250 7350 7400 7500 7450 7400 7400 7550 7500 7600 7500 7500 7500 7400 7400 7500 7450 7550 7550 7500 7450 7450 7550 7500 7300 7300 7150 7350 7300 7350 7250 7350 7300 7250 7200

Return

0 0 0,01369884 0,00677969 0,01342302 -0,006689 -0,006734 0 0,02006756 -0,0066445 0,01324523 -0,0132452 0 0 -0,013423 0 0,01342302 -0,006689 0,01333353 0 -0,0066445 -0,006689 0 0,01333353 -0,0066445 -0,0270287 0 -0,020762 0,02758796 -0,006826 0,00682597 -0,0136988 0,01369884 -0,006826 -0,0068729 -0,0069204 0,00692044

144

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

12-Dec-11 13-Dec-11 14-Dec-11 15-Dec-11 16-Dec-11 19-Dec-11 20-Dec-11 21-Dec-11 22-Dec-11 23-Dec-11 27-Dec-11 28-Dec-11 29-Dec-11 30-Dec-11

7250 7150 7050 7050 7150 7150 7150 7050 7150 7100 7200 7200 7000 7150

7300 7250 7150 7150 7200 7200 7150 7150 7150 7200 7200 7200 7200 7150

7200 7100 7050 7000 7150 7050 6900 7000 7050 7100 7100 6950 6950 7000

7250 7150 7100 7150 7150 7050 7000 7100 7150 7150 7200 7050 7150 7050

5550000 15612000 7224000 21306500 6582500 12016500 25250500 24268000 4899000 3517500 3745500 13480500 9322000 10884000

7250 7150 7100 7150 7150 7050 7000 7100 7150 7150 7200 7050 7150 7050

-0,0138891 -0,0070176 0,00701757 0 -0,0140847 -0,0071175 0,01418463 0,00701757 0 0,00696867 -0,0210534 0,01408474 -0,0140847

ESTIMATOR PARAMETER TERBAIK PADA DISTRIBUSI -STABLE

Recommend Documents