Jurnal ILMU DASAR, Vol. 9 No. 2, Juli 2008 : 165-171
165
Estimator Robust S Pada Model Seemingly Unrelated Regression The S Robust Estimator in Seemingly unrelated Regression Model Suliyanto Jurusan Matematika FMIPA Universitas Airlangga
ABSTRACT Regression parameter estimation is mainly used to describe the effect of dependent variable to the response variable. On development of it, parameter estimation is also used to case of multivariate regression. Seemingly Unrelated Regression model is one of regression multivariate cases which has especially assumption, i.e., correlation between errors on the multivariate regression. Robust S is one of robust estimation methods. This estimation can be resistant in presence of outlier in the data. In this research, we studied about parameter estimation for Seemingly Unrelated Regression model using robust S. We applied the model obtained to General Electric and Westinghouse data from 1935 to 1954 Keywords: Seemingly Unrelated Regression Model, Robust S Estimation. PENDAHULUAN Model regresi linier berganda merupakan perluasan dari model regresi linier sederhana. Model regresi linier berganda terdiri atas variabel respon yang bergantung pada dua atau lebih variabel bebas. Model regresi linier berganda multivariat pada dasarnya dibagi menjadi tiga model, yaitu model tunggal, model simultan, dan model Seemingly Unrelated Regression (SUR). Model tunggal adalah model yang terdiri atas beberapa macam persamaan tetapi antara persamaan-persamaan tersebut tidak saling berkaitan. Model Simultan adalah suatu model yang terdiri dari beberapa persamaan yang saling terkait, artinya suatu variabel bebas pada persamaan yang satu berfungsi sebagai variabel respon pada persamaan yang lain atau sebaliknya. SUR adalah suatu model yang terdiri dari beberapa persamaan dan variabel-variabelnya tidak bersifat dua arah, akan tetapi antara persamaan-persamaan tersebut terjadi kaitan satu sama lainnya sehingga terjadi korelasi antara galat-galat persamaan tersebut (Zellner 1962). Estimasi parameter model SUR diperkenalkan oleh Greene (2000) yang dilakukan dengan metode Generalized Least Square (GLS). Metode ini merupakan pengembangan dari metode Ordinary Least Square (OLS) yang digunakan untuk model multivariat. Model SUR memiliki matriks kovarian antar persamaan untuk menunjukkan
korelasi error antar persamaan. Jika matriks kovarian tidak diketahui maka dilakukan pendugaan matriks kovarian dengan metode two stage Aitken (Zellner 1962). Namun metode ini kurang mampu bertahan terhadap kehadiran outlier. Estimasi robust S adalah salah satu bentuk estimasi yang digunakan pada data yang memuat outlier. Estimator robust S untuk kasus regresi linier berganda telah dibahas oleh Kumala (2005). Dalam perkembangannya estimator robust S juga dapat diterapkan pada model SUR. Pada penelitian ini dibahas cara mendapatkan estimator model SUR dengan metode robust S tetapi tidak dibahas sifat-sifat estimatornya, kemudian model tersebut diterapkan pada data sekunder. Model seemingly unrelated regression Sistem persamaan regresi multivariat dinyatakan sebagai berikut : y1t = β 10 + β 11 X 1t ,1 + β 12 X 1t , 2 + ... + β 1 p1 X 1t , p1 + ε 1t y 2 t = β 20 + β 21 X 2 t ,1 + β 22 X 2 t , 2 + ... + β 2 p 2 X 2 t , p 2 + ε 2 t M
y qt = β q 0 + β q1 X qt ,1 + β q 2 X qt , 2 + ... + β qp q X qt , p q + ε qt
(1) untuk t = 1,2, … , n . Persamaan (1) juga dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut :
166
Estimator Robust…………….(Suliyanto)
⎧y1 = X1β1 + ε1 , ⎪ ⎨M ⎪y = X β + ε , q q q ⎩ q dengan yi dan
εi
⎛ β1 0 ⎜ ⎜ 0 β2 B=⎜ M M ⎜ ⎜0 0 ⎝
(2) adalah vektor n × 1 , X i
adalah matrik n × ( pi + 1) ,
β i adalah vektor ( pi + 1) × 1 , dengan asumsi E (ε i ) = 0 dan var(ε i ) = σ ii Ι n , untuk i = 1,2,K, n . Jika
Estimasi
dengan
y
=
( y1T , ... , y qT ) T ,
ε
⎛ X1 ⎜ ⎜ 0 X=⎜ M ⎜ ⎜ 0 ⎝ dengan
0 X2 M 0
0 ⎞ ⎟ L 0 ⎟ O M ⎟ ⎟ L X q ⎟⎠ L
asumsi
E (ε) = 0
dan
var( ε ) = V = Σ ⊗ I n , dimana
⎛ σ 11 σ 12 ⎜ σ σ 22 Σ = ⎜ 21 ⎜ M M ⎜ ⎜σ ⎝ q1 σ q 2
⎛ εˆ 1T ⎞ ⎜ ⎟ ˆ = 1 ⎜ M ⎟(εˆ , K , εˆ ) Σ 1 q n⎜ T ⎟ ⎝ εˆ q ⎠ atau
~ˆ ~ˆ n ˆ = (Y − XB)' (Y − XB) = 1 ∑ eˆ eˆ ' Σ i i n n i =1 (5)
ESTIMATOR ROBUST S Misalkan ρ adalah sebuah fungsi sedemikian sehingga berlaku : (i) ρ adalah simetris dan kontinu, serta ρ (0) = 0 ; (ii) ρ adalah fungsi naik pada [0, c] dan konstan pada [c, ∞ ] untuk c >0 ; (iii)
L σ 1q ⎞ ⎟ L σ 2q ⎟ O M ⎟ ⎟ L σ qq ⎟⎠
Model SUR pada persamaan (3) juga dapat ditulis dengan menggunakan regresi multivariat : ~ Y = XB + E (4) dimana Y = ( y1 ,..., y q ) , E = (e1 ,..., e n )T dengan ei = (ε1i , ε 2i , ... , ε qi )T adalah vektor
~ q × 1 , X = ( X1 ,..., X q ) , dan
adalah
Duchesne 2000) adalah :
=
(ε 1T , ... , ε qT ) T , β = ( β1 , ... , β q ) T dan
β
βˆ = (βˆ 1 ,..., βˆ q ) dan untuk Σ (Bilodeau &
)
i, j = 1,2,K, q , maka sistem persamaan regresi multivariat tersebut dikenal dengan model Seemingly Unrelated Regression (SUR). Model SUR pada persamaan (2) secara umum dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai berikut : y = Xβ + ε (3)
untuk T
pada persamaan (2) ditambahkan asumsi khusus yaitu cov ε i , ε j = σ ij Ι n , untuk
(
0⎞ ⎟ 0⎟ O M ⎟ ⎟ L β q ⎟⎠ L L
b , dengan b = EΦ ρ (c ) dan ρ (c) Φ( x) adalah fungsi distribusi Normal baku, 0 < λ ≤ 0,5 .
λ=
Fungsi ρ didefinisikan sebagai berikut (Rousseuw dan Yohai, 1984) :
⎧ x2 x4 x6 − + ⎪⎪ 2 4 ρ ( x) = ⎨ 22 2c 6c ⎪c ⎪⎩ 6
jika x ≤ c jika x > c (6)
Estimator robust S pada model SUR adalah penyelesaian dari masalah optimasi : 12 1 n min Σ , dengan kendala ∑ ρ ei' Σ −1ei =b ( β ,Σ) n i =1 (7)
{(
)
}
167
Jurnal ILMU DASAR, Vol. 9 No. 2, Juli 2008 : 165-171
dengan memilih b = EΦ ρ (c ) , Φ ( x) adalah fungsi distribusi normal baku dan λ = b / ρ (c) adalah breakdown point (Ruppert, 1992). persamaan (6) dan
ρ
Jika
seperti
∞
−c
c
∞
−∞
−∞
−c
c
pada
∫ ρ ( x ) dΦ ( x ) = ∫ ρ ( x ) dΦ ( x ) + ∫ ρ ( x ) dΦ ( x ) + ∫ ρ ( x ) dΦ ( x )
b=
(8) Maka diperoleh : ∞ 2 c ⎛ x2 x4 c2 x6 ⎞ c dΦ ( x) + ∫ ⎜⎜ − 2 + 4 ⎟⎟dΦ ( x) + ∫ dΦ ( x) 6 2 6 2 c 6 c ⎠ −∞ −c ⎝ c
∫
−c
c ⎛ x2 c2 x4 x6 b = ∫ φ ( x)dx + ∫ ⎜⎜ − 2 + 4 6 2 2c 6c −∞ −c ⎝ −c
b=
∫
−∞
c2 6
1 2π
e
− 1 x2 2
∞ 2 ⎞ c ⎟⎟φ ( x)dx + ∫ φ ( x)dx 6 ⎠ c
c ⎛ x2 x4 x6 ⎞ 1 dx + ∫ ⎜⎜ − 2 + 4 ⎟⎟ 2c 6c ⎠ 2π − c⎝ 2
e
− 1 x2 2
∞
dx + ∫ c
c2 6
1 2π
e
− 1 x2 2
dx
dengan c adalah suatu konstanta. Menurut Marazzi dan Randriamihariosa (1993), jika dipilih c =1,547 maka akan diperoleh nilai breakdown sebesar 50 %. Estimator robust S pada persamaan (7) dipenuhi oleh persamaan estimasi (Bilodeau & Duchesne 2000) : ˆ −1 ⊗ D )X}−1 XT ( Σ ˆ −1 ⊗ D )y βˆ = {XT ( Σ u u (9) ~ T ~ ˆ = q(Y − X Σ B ) D u (Y − XB) / ∑ v ( d i ) n
i =1
(10) dengan d i = e i' ∑ −1 e i , D u = diag {u (d i )}, u ( d i ) = ρ' ( d i ) / d i , v( d i ) = ρ' ( d i )d i − ρ ( d i ) + b ,
dan nilai
ρ ' ( x)
adalah sebagai berikut :
termodifikasi. Langkah-langkah algoritma Ruppert termodifikasi dibangun dengan mendefinisikan : ~ ~ ~~ ~~ (13) Δ(β , Σ) = (Δ1 (β ,Σ), Δ 2 (β ,Σ)) dimana fungsi Δ1 dan Δ 2 berturut-turut adalah nilai β dan Σ setelah satu kali iterasi dari masing-masing persamaan estimasi (9) dan (10). Dalam metode ini nilai dugaan awal βˆ yang digunakan adalah estimasi yang diperoleh dengan menggunakan metode ordinary least square. Algoritma estimator robust S pada model SUR Proses perhitungan untuk mendapatkan hasil dari estimasi robust S model SUR tidak mempunyai bentuk baku (close form), sehingga didekati dengan suatu algoritma. Secara rinci algoritma estimator Robust S pada model SUR dijelaskan sesuai dengan langkahlangkah sebagai berikut :
~
(11) Nilai koefisien determinasi R2 berada dalam batas 0 ≤ R ≤ 1 dan didefinisikan sebagai berikut (Rousseuw & Leroy, 2003) : 2
2
~
Menghitung β dan Σ , dengan cara sebagai berikut : a. memilih sub sampel acak sebesar p dari data berukuran n dengan metode resampling bootstrap untuk setiap persamaan (1) ;
~ (i )
(12) dengan
pada model SUR dari persamaan (4). Estimasi robust S untuk mengestimasi parameter β dan
Langkah 1 Mengambil ~ s cukup besar. Langkah 2
⎧ 2x3 x5 + , jika x ≤ c ⎪x − ρ' ( x ) = ⎨ c2 c4 ⎪ , jika x ≥ c ⎩0
⎛ med ε it ⎞ ⎟ R 2 = 1 − ⎜⎜ ⎟ ⎝ mad ( yit ) ⎠
dan t = 1,2, … ,n Estimasi parameter pada model SUR dengan metode robust S merupakan pengembangan dari metode robust S pada regresi linier berganda yang telah dibahas oleh Kumala (2005). Estimasi robust S memberikan bobot pada n pengamatan pada residual multivariat ei
Σ yang berturut-turut dinyatakan oleh βˆ dan ˆ diselesaikan dengan algoritma Ruppert Σ
−c
b=
mad( yit ) = med{ yit − med( yit ) } , i = 1,2, … ,q
b. menghitung estimator awal β , i = 1,2,…,q dari langkah 2 point (a) dengan menggunakan estimator OLS dari persamaan (1) ;
168
Estimator Robust…………….(Suliyanto)
c. mendapatkan
dan
Bilodeau & Duchesne (2000) merekomendasikan tiga titik berbeda yang terletak pada segmen garis yang
~ ⎛ β (1) ⎞ ⎟ ⎜ ~ β =⎜ M ⎟ ⎜⎜ ~ ( q ) ⎟⎟ ⎝β ⎠
~ ⎛ β (1) ⎜ ~ ⎜ 0 B=⎜ ⎜ M ⎜ 0 ⎝
menghubungkan dua titik. Dalam hal ini
0
dan titik akhir.
d. menghitung matrik kovarian ~ ~~ T ~~ , dengan Y dan Σ = ( Y − XB) (Y − XB ) / n
~ X seperti pada persamaan (4).
Langkah 3 Menghitung nilai b = EΦ ρ (c ) dengan menggunakan persamaan (8). Langkah 4 Menghitung β J , 0 dan Σ J , 0 , dengan cara sebagai berikut : a. memilih sub sampel acak sebesar p dari data berukuran n dengan metode resampling bootstrap untuk setiap persamaan (1) ; (i ) b. menghitung estimator β J , 0 , i = 1,2,…,q dari langkah menggunakan persamaan (1) ; c. mendapatkan β J ,0
4 point estimator
(a) dengan OLS dari
⎛ β (J1,)0 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ M ⎟ ⎜ (q) ⎟ ⎝ β J ,0 ⎠
dan B J ,0
⎛ β(J1,)0 0 ⎜ ⎜ 0 β (J2,)0 =⎜ M ⎜ M ⎜ 0 0 ⎝
L 0 ⎞ ⎟ L 0 ⎟ O M ⎟⎟ L β (Jq, 0) ⎟⎠
d. menghitung matrik kovarian
~ ~ Σ J , 0 = (Y − XB J , 0 )' (Y − XB J ,0 ) / n ~ dimana Y dan X seperti pada persamaan
(4). Langkah 5 Mencari titik-titik pada segmen garis yang
~ menghubungkan β dan β J , 0 yang dinyatakan
Segmen garis yang menghubungkan
⎛ β (J1,)j ⎞ ⎜ ⎟ , j = 1,2, … ,n =⎜ M ⎟ ⎜ (q) ⎟ ⎝βJ,j ⎠
~ β dan
β J , 0 terbagi menjadi empat ruas garis yang masing-masing memiliki peluang 0,25, sehingga masing-masing nilai β J , j untuk j = 1,2, … ,nr adalah ~ β J ,1 = 0,25β J ,0 + 0,75β ~ β J , 2 = 0,5β J , 0 + 0,5β dan
~
β J ,3 = 0,75β J ,0 + 0,25β
Langkah 6 Mencari titik-titik pada segmen garis yang menghubungkan
~ Σ dan Σ J ,0 dan dinyatakan
oleh
ΣJ , j
⎛ Σ (J1,) j ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ M ⎟ , j = 1, 2, ... ,nr. ⎜ Σ( q ) ⎟ ⎝ J, j ⎠
Bilodeau dan Duchesne (2000) merekomendasikan tiga titik berbeda yang terletak pada segmen garis yang menghubungkan dua titik awal.
~
Segmen garis yang menghubungkan Σ dan Σ J ,0 terbagi menjadi empat ruas garis yang masing-masing memiliki peluang 0,25, sehingga masing-masing nilai β J , j untuk j = 1, 2,... ,nr adalah
~ Σ J ,1 = 0,25Σ J ,0 + 0,75Σ ~ Σ J , 2 = 0,5Σ J , 0 + 0,5Σ
oleh βJ, j
β J , 0 masing-masing menjadi titik awal
dan 0 ⎞; ⎟ 0 ⎟ ⎟ M ~ ( q ) ⎟⎟ L β ⎠
0 L ~ ( 2) β L M O
~ β
dan
~ Σ J ,3 = 0,75Σ J , 0 + 0,25Σ
169
Jurnal ILMU DASAR, Vol. 9 No. 2, Juli 2008 : 165-171
Langkah 7 Untuk j = 0,1,…,nr, C J , j ← Σ J , j
−1 / q
~ −1 / q ~ C← Σ Σ
iii.
ΣJ , j
{(
1 n ρ eTi C −1e i ∑ n i =1
iv.
Langkah 8 Untuk j = 0,1, … , nr, jika
{(
1 n ρ eTi C−J1, j ei ∑ n i =1
)
12
maka iterasi selesai, tetapi jika
{(
1 n ρ eTi C−J1, j ei ∑ n i =1
)
12
;
)
12
}
s
Langkah 9 Mengulang langkah 4 sampai 8 sebanyak n kali sampai didapat bilangan terkecil m, inputkan
}
s ≥b /~
~ ~ ~ s ← s (β , C), Σ ← ~ s 2C
}
dan
s
~ ~ ~~ β ← β (1 − 2 − m ) + Δ1 ( β ,Σ) 2 − m
dilanjutkan ke langkah berikut :
~
a. β ← β J , j
~ b. ~ s ← s (β , C J , j )
dengan
penyelesaian dari :
{(
1 n ρ ei' C−J1, j ei ∑ n i =1
)
12
~ s(β , C J , j )
}
~ / s(β, C J , j ) = b
PENERAPAN
(14) Untuk mendapatkan nilai lokal minimum
~ s(β , C J , j )
dari
pada
persamaan
(14)
digunakan metode iterasi Newton-Raphson dengan input nilai awal tertentu, yaitu : ~ f ((s(β, C J , j ))k ) ~ ~ ( s (β, C J , j ))k +1 = ( s(β, C J , j ))k − ~ f ' ((s(β , C J , j ))k ) dengan
{(
}
)
1 n ~ ~ f ((s ( β , CJ , j ))k ) = ∑ ρ eiT CJ , j ei /( s ( β , CJ , j ))k − b n i =1
dan
~ ∂f (( s(β , C J , j ))k ) ~ . f (( s(β, C J , j )) k ) = ~ ∂ ((s(β , C J , j ))k ) '
~ c. Σ ← ~ s 2C J , j . d. mencari
bilangan
bulat
terkecil
~ ~ 0 ≤ m(β, Σ) ≤ 10 , yang memenuhi : ~ ~ ~ ~ −m −m i. β ← β (1 − 2 ) + Δ1 (β ,Σ)2 , ~ ~ dengan Δ1 (β , Σ) adalah penyelesaian dari (9);
ii.
~~ ~ ~ Σ ← Σ(1 − 2 − m ) + Δ 2 (β ,Σ) 2 − m , ~ ~
Langkah 10 Menghitung koefisien determinasi dengan menggunakan persamaan (12).
dengan Δ 2 (β , Σ) adalah penyelesaian dari (10) ;
Penerapan estimator robust S pada model SUR menggunakan data sekunder yang diambil dari hasil penelitian Grunfeld (1958) dalam Judge et al. (1982). Data model SUR telah memenuhi asumsi-asumsi khusus. Data ini menjelaskan tentang jumlah investasi tahunan dua perusahaan di Amerika yang bergerak dalam bidang yang sama yaitu pembuatan mesin pesawat jet. Dua perusahaan yang dilibatkan disini adalah General electric (GE) dan Westinghouse(WH). Jumlah investasi sebagai variabel dependen. Harga penjualan dan stok total sebagai variabel bebas. Model regresi yang digunakan adalah sebagai berikut : (Jumlah investasi GE) = β10 + β11 (harga penjualan GE) + β12 (stok total GE) (Jumlah investasi WH) = β 20 + β 21 (harga penjualan WH) + β 21 (stok total WH) Jumlah pengamatan sebanyak 20 yaitu pengamatan berturut-turut dari tahun 19351954. Datanya disajikan pada Tabel 1. Untuk selanjutnya variabel y1 , y 2 , X 11 ,
X 21 , X 12 , dan X 22 berturut-turut menjelaskan jumlah investasi GE, jumlah investasi WH, harga penjualan GE, harga penjualan WH, stok total GE, dan stok total WH. Sehingga model regresi yang digunakan adalah sebagai berikut :
170
Estimator Robust…………….(Suliyanto)
y1 = β10 + β11 X 11 + β12 X 12 + ε 1 y 2 = β 20 + β 21 X 21 + β 22 X 22 + ε 2
(15)
Program komputer untuk mengestimasi parameter model SUR dengan menggunakan estimator robust S dibuat dengan bahasa pemrograman yang tersedia di S-Plus 2000. Hasilnya secara ringkas disajikan pada Tabel 2.
Berdasarkan Tabel 2 didapat hasil estimasi model SUR. sebagai berikut : y1 = −37,89448495 + 0,04209415 X 11 + 0,16786478 X 12 y2 = 15,29550734 + 0,01309584 X 21 + 0,26641302 X 22
(16) dengan R
2
= 0,8802155
Tabel 1. Data Sekunder General Electric dan Westinghouse tahun 1935-1954
y1t
X 1t ,1
X 1t , 2
y 2t
X 2t ,1
X 2t , 2
11,3178 80,3581 90,2841 83,0991 55,0247 44,7318 84,9829 99,9387 107,947 101,311 89,3714 138,92 98,1969 110,585 116,509 138,573 164,167 141,249 198,478 234,675
1170,6 2015,8 2803,3 2039,7 2256,2 2132,2 1834,1 1588 1749,4 1687,2 2007,7 2208,3 1656,7 1604,4 1431,8 1610,5 1819,4 2079,7 2371,6 2759,9
97,8 104,4 118 156,2 172,6 186,6 220,9 287,8 319,9 321,3 319,6 346 456,4 543,4 618,3 647,4 671,3 726,1 800,3 888,9
10,9348 38,5463 36,9759 37,0381 22,2987 15,3332 37,0427 35,4941 38,9034 58,0168 44,0455 51,7816 30,207 54,4416 45,5923 44,0503 60,3298 56,2601 95,0585 97,455
191,5 516 729 560,4 519,9 628,5 537,1 561,2 617,2 626,7 737,2 760,5 581,4 662,3 583,8 635,2 723,8 864,1 1193,5 1188,9
1,8 0,8 7,4 18,1 23,5 26,5 36,2 60,8 84,4 91,2 92,4 86 111,1 130,6 141,8 136,7 129,7 145,5 174,8 213,5
Tabel 2. Hasil Estimasi Parameter Model SUR metode Robust S
~
β0 ~ β1 ~ β2
persamaan 1
persamaan 2
-37,89448495
15,29550734
0,04209415
0,01309584
0,16786478
0,26641302
Koefisien determinasi KESIMPULAN Hasil estimasi parameter model SUR dengan metode robust S yang diterapkan pada data General Electric dan Westinghouse (19351954) adalah :
0,8802155 y1 = −37,89448495 + 0,04209415 X 11 + 0,16786478 X 12 y2 = 15,29550734 + 0,01309584 X 21 + 0,26641302 X 22
dengan variabel y1 , y 2 , X 11 , X 21 , X 12 , dan X 22 berturut-turut menjelaskan jumlah investasi GE, jumlah investasi WH, harga penjualan GE, harga penjualan WH, stok total
Jurnal ILMU DASAR, Vol. 9 No. 2, Juli 2008 : 165-171
GE, dan stok total WH. Nilai koefisien determinasi R = 0,8802155 . 2
DAFTAR PUSTAKA Bilodeau & Duchesne, 2000, Robust Estimation of The SUR Model, The Canadian Journal of Statistics, Canada.www.dms.umontreal.ca/~duchesne/sur.pdf. 8 Agustus 2005. Efron B & Tibshironi RJ, 1993, Introduction to The Bootstrap, Chapman Hall, USA. Greene H & William, 2000, Econometric Analysis, 4thedition, Prentice Hall Inc, USA. Judge, 1982, Introduction to The Theory and Practice of Econometrics, John Wiley and Sons, New York. Kumala N, 2005, Estimasi Parameter Regresi Linier Berganda Dengan Metode Robust S, Skripsi FMIPA Universitas Airlangga, Surabaya. Marazzi A, Joss J, Randriamihariosa A, 1993, Algorithms, Routines, and S Functions for Robust Statistics, Chapman & Hall, New York.
171
Rousseuw PJ & Leroy AM, 2003, Robust Regression and Outlier Detection, Wiley Interscience, New York Ruppert D, 1992, Computing S Estimators for Regression and Multivariate Location / Dispersion, American Statistical Association, Institute of Mathematical Statistics, and Interface Foundation of North America, Ithaca, NY. Rousseuw PJ & Yohai VJ, 1984, Robust regression by means of S-estimator. Robust and Nonlinear Time Series Analysis, Lecture Notes in Statist, 26: 256-272, Springer, Berlin. Zellner A.,1962. An Efficient Methods of Estimation SUR and Test for Aggregation Bias. Journal of American Statistical Association, 57: 348 – 368.
