ESTIMASI PARAMETER MODEL SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) DENGAN RESIDU BERPOLA AUTOREGRESSIVE ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE PARK

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id i

ESTIMASI PARAMETER MODEL SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) DENGAN RESIDU BERPOLA AUTOREGRESSIVE ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE PARK

oleh KHAMSATUL FAIZATI M0108052

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

commit to user i


digilib.uns.ac.id

commit to user ii


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK Khamsatul Faizati, 2012. ESTIMASI PARAMETER MODEL SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) DENGAN RESIDU BERPOLA AUTOREGRESSIVE ORDE SATU (AR(1)) MENGGUNAKAN METODE PARK. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret Surakarta. Data panel merupakan gabungan antara data cross section dan data time series. Penerapan data ini dalam sistem persamaan regresi linear, yang merupakan salah satu bahasan dari model regresi linear multivariat, dapat menimbulkan masalah pada korelasi residu regresi. Salah satu masalah tersebut adalah korelasi antar pengamatan dan antar persamaan. Suatu sistem persamaan yang dapat mengatasi masalah korelasi residu antar persamaan untuk menghasilkan estimator model regresi adalah model SUR. Jika dalam sistem tersebut, setiap persamaan regresi mempunyai pola residu antar pengamatan yaitu AR(1) maka model yang sesuai dengan keadaan ini adalah model SUR dengan residu berpola AR(1). Tujuan dari skripsi ini adalah menurunkan ulang estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) menggunakan metode Park. Metode ini merupakan penerapan dari metode Generalized Least Square (GLS). Hasil estimasi parameter yang diperoleh adalah dengan dan merupakan bentuk transformasi Prais-Winsten. Kata kunci: model SUR, AR(1),GLS, metode Park, Prais-Winsten.

commit to user iii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Khamsatul Faizati, 2012. PARAMETER ESTIMATION OF SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) MODEL WITH FIRST-ORDER AUTOREGRESSIVE (AR(1)) PATTERN RESIDUAL USING PARK METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Panel data is a combination of cross section data and time series data. The application of these data in the system of linear regression equations, which is one of discussion of the multivariate linear regression model, it can cause problems on the correlation of regression residual. One of the problems is the correlation among observations and equations. A system of equations that can overcome the problem of residual correlation among equations to produce the estimator of regression model is SUR model. If in such a system, each regression equation has residual pattern between observation AR(1), the model corresponding to this situation is SUR model with AR(1) pattern residual. The purpose of this final project is to generate parameter estimation of SUR model with AR(1) pattern residual using Park method. This method is the application of Generalized Least Square (GLS) method. The result of the parameter estimation is with and are Prais-Winsten transformation.

Key words: SUR model, AR(1),GLS, Park method, Prais-Winsten.

commit to user iv


digilib.uns.ac.id

MOTO Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan, sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah selesai (dari sesuatu urusan), tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain), dan hanya kepada Tuhanmulah engkau berharap. (QS. Al-Insyirah :5-8)

Sesungguhnya Allah beserta orang-orang yang sabar (QS.Al-Anfaal :46)

commit to user v


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini saya persembahkan kepada Bapak dan Ibu yang tercinta Saudara-saudara dan keponakan-keponakan yang tersayang Pembaca yang budiman.

commit to user vi


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah yang senantiasa melimpahkan rahmat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selama proses penyusunan skripsi, penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa dukungan dan bimbingan dari banyak pihak. Maka dalam hal ini penulis megucapkan terima kasih kepada : 1. Ibu Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si dan Bapak Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. yang telah memberikan bimbingan selama menyelesaikan skripsi. 2. Teman-teman angkatan 2008 yang selalu menularkan semangatnya. 3. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Akhirnya penulis berharap semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan pembaca pada umumnya.

Surakarta,

Oktober 2012

Penulis

commit to user vii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL....................................................................................

i

HALAMAN PENGESAHAN .....................................................................

ii

ABSTRAK ..................................................................................................

iii

ABSTRACT ..................................................................................................

iv

MOTO .........................................................................................................

v

PERSEMBAHAN .......................................................................................

vi

KATA PENGANTAR ................................................................................

vii

DAFTAR ISI ...............................................................................................

viii

BAB I PENDAHULUAN ...........................................................................

1

1.1 Latar Belakang ...........................................................................

1

1.2 Perumusan Masalah....................................................................

2

1.3 Tujuan Penelitian........................................................................

3

1.4 Manfaat Penelitian......................................................................

3

BAB II LANDASAN TEORI .....................................................................

4

2.1. Tinjauan Pustaka .......................................................................

4

2.1.1. Data Panel .......................................................................

5

2.1.2. Harga Harapan ...............................................................

5

2.1.3. Variansi dan Kovariansi .................................................

6

2.1.4. Matriks dan Operasi Matriks ...........................................

7

2.1.5. Sistem Persamaan Regresi Linear ...................................

9

2.1.6. Model Seemingly Unrelated Regression (SUR) ..............

10

2.1.7. Autoregressive .................................................................

12

2.1.8. Ordinary Least Square (OLS) .........................................

14

2.1.9. Generalized Least Square (GLS) ....................................

14

2.1.10. Koefisien Determinasi ...................................................

15

2.2. Kerangka Pemikiran ..................................................................

16

BAB III METODE PENELITIAN ............................................................

17

commit to user viii


digilib.uns.ac.id

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ....................................................

18

4.1. Model SUR dengan Gangguan Autokorelasi ...........................

18

4.2. Matriks Variansi Kovariansi Model ..........................................

19

4.3. Estimasi Parameter. ...................................................................

24

4.4. Contoh Kasus. ...........................................................................

27

BAB V PENUTUP ......................................................................................

31

4.1. Kesimpulan ...............................................................................

31

4.2. Saran .........................................................................................

32

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................

33

LAMPIRAN

commit to user ix


digilib.uns.ac.id 1

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Menurut Gujarati (2004), analisis regresi berkaitan dengan studi ketergantungan satu atau lebih variabel pada satu atau lebih variabel yang lain dengan maksud untuk memprediksi nilai yang terbentuk dari fungsi nilai-nilai tetap yang diketahui. Variabel-variabel tersebut dikategorikan menjadi variabel independen yang biasa dinotasikan dengan

dan variabel dependen yang

dinotasikan dengan . Jika hubungan antara variabel tersebut linear, maka disebut model regresi linear. Yan dan Su (2009) menuliskan dua tipe regresi linear yaitu regresi linear sederhana dan regresi linear ganda. Regresi linear sederhana adalah regresi yang memodelkan hubungan linear antara dua variabel,

dan

. Sedangkan regresi

linear ganda adalah regresi yang memodelkan hubungan linear antara satu variabel

dan lebih dari satu variabel

. Menurut Johnson dan Wichern (2007),

regresi linear multivariat adalah regresi yang memodelkan hubungan antara beberapa variabel

dan beberapa variabel .

Dalam proses estimasi parameter model regresi, tipe data menjadi perhatian utama. Salah satu tipe data yang diamati dalam regresi linear multivariat adalah data panel. Data ini dihasilkan dari proses penggabungan antara data cross section dan data time series. Data ini diperoleh dengan mengamati beberapa subyek pada satu satuan waktu dan perubahan subyek tersebut selama waktu tertentu. Residu

dalam

model

regresi

linear

selalu

diasumsikan

bersifat

homoskedastik dan serially uncorrelated. Penerapan data panel, yang merupakan gabungan dari data time series dan cross section, dalam regresi linear multivariat akan menimbulkan masalah dalam sifat residu tersebut. Korelasi residu menjadi tiga macam, yaitu korelasi residu antar waktu, korelasi residu antar subyek, dan korelasi residu antar keduanya. Masalah residu tersebut akan berpengaruh dalam matriks variansi-kovariansi yang berakibat pada estimasi parameter model regresi.

commit to user


digilib.uns.ac.id

Menurut Davidson dan Mackinnon (1999), sistem persamaan regresi linear merupakan bahasan dari model regresi linear multivariat yang terdiri atas beberapa persamaan regresi linear. Dalam sistem ini, setiap subyek dalam data panel dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan regresi linear sehingga korelasi residu antar subyek dan antar waktu dalam data panel dapat diartikan sebagai korelasi residu antar persamaan dan antar pengamatan dalam sistem. Model SUR merupakan sistem persamaan regresi linear yang dapat mengatasi masalah korelasi residu antar persamaan dimana korelasi residu antar pengamatan sudah tidak berkorelasi untuk menghasilkan estimator model regresi. Dalam skripsi ini akan dikaji tentang estimasi parameter dari sistem persamaan regresi ketika residu setiap persamaan berkorelasi antar persamaan dan antar pengamatan. Bentuk korelasi residu antar pengamatan dalam skripsi ini adalah autoregressive orde satu (AR(1)). Oleh karena itu, model yang sesuai dengan keadaan ini adalah model SUR dengan residu berpola AR(1). Menurut Messemer dan Parks (2004), estimator metode Park didesain sebagai estimator untuk sistem persamaan dengan residu berkorelasi antar pengamatan dan antar persamaan. Pada model SUR yang residunya berpola AR(1), proses estimasi parameternya tidak dapat dilakukan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS) karena tidak memenuhi asumsi nonautokorelasi dalam estimator OLS (Gujarati, 2004). Oleh karena itu, metode Park bisa mengatasi masalah tersebut. Dalam skripsi ini, penulis tertarik untuk menurunkan ulang estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) menggunakan metode Park.

1.2. Perumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini adalah bagaimana menurunkan ulang estimasi parameter model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive orde satu menggunakan metode Park.

commit to user 2


digilib.uns.ac.id

1.3. Tujuan Penelitian Tujuan dari skripsi ini adalah menurunkan ulang estimasi parameter model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive orde satu menggunakan metode Park.

1.4. Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari skripsi ini adalah menambah wawasan dan pengetahuan mengenai model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive orde satu dan estimasi parameter dengan metode Park. Selain itu, dapat digunakan sebagai acuan bagi praktisi untuk menggunakan metode Park dalam mengestimasi parameter model SUR yang mempunyai residu berpola AR(1).

commit to user 3


digilib.uns.ac.id 4

BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini terdiri dari dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Pada tinjauan pustaka diberikan hal-hal yang mendasari penulisan skripsi ini, yaitu pengertian dan teori yang berkaitan dengan estimasi parameter model

Seemingly

Unrelated

Regression

(SUR)

dengan

residu

berpola

Autoregressive orde satu (AR(1)). Melalui kerangka pemikiran digambarkan langkah dan arah penulisan untuk mencapai tujuan penulisan.

2.1 Tinjauan Pustaka Estimator suatu parameter model regresi dapat dihasilkan menggunakan metode maksimum likelihood. Frasher et al. (2005) telah menggunakan metode ini untuk mengestimasi parameter model SUR. Metode lainnya adalah metode Ordinary Least Square (OLS). Estimator metode ini harus memenuhi asumsiasumsi dalam metode OLS, salah satunya asumsi homoskedastis (residu tidak berkorelasi). Adanya korelasi residu antar persamaan dalam model SUR menyebabkan metode ini tidak dapat digunakan. Zellner (1962) menganjurkan metode GLS dua langkah untuk mengestimasi parameter model SUR karena metode ini sudah mempertimbangkan matriks variansi-kovariansi residu dalam estimasi parameter model. Metode GLS dapat dilakukan jika matriks variansikovariansi residu dalam model SUR non-singular. Takada et al. (1995) meneliti estimator model SUR ketika matriks variansi-kovariansinya singular. Di sisi lain, Alaba et al. (2010) membandingkan estimasi parameter model SUR dengan OLS satu-satu (setiap persamaan dalam model diestimasi satu per satu) dan GLS. Hasil penelitiannya menyimpulkan bahwa estimator model SUR dengan metode GLS lebih baik dari pada metode OLS satu-satu karena standar eror OLS lebih besar. Estimasi parameter model SUR dengan metode GLS telah dikaji ulang oleh Muflichah (2012). Adanya korelasi residu antar pengamatan dalam skripsi ini menyebabkan invers dari matriks variansi kovariansi sulit untuk ditentukan sehingga metode GLS tidak bisa langsung digunakan. Metode Park merupakan

commit to user


digilib.uns.ac.id

penerapan dari metode GLS yang dapat mengatasi masalah korelasi residu antar waktu pengamatan dalam model SUR. Oleh karena itu, model SUR dengan residu berpola AR(1) dapat diestimasi menggunakan metode Park. Teori-teori relevan dan mendukung yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut meliputi data panel, harga harapan, variansi dan kovariansi, matriks dan operasi matriks, sistem persamaan regresi linear, model Seemingly Unrelated Regression (SUR), autoregressive, Ordinary Least Square (OLS), Generalized Least Square (GLS) dan koefisien determinasi.

2.1.1

Data Panel

Gujarati (2004) memberikan tiga tipe data yang sering digunakan dalam analisis yaitu data time series, data cross section dan data panel. Data time series merupakan suatu himpunan pengamatan yang dikumpulkan pada interval waktu tertentu seperti harian, mingguan, dan sebagainya. Data cross-section merupakan suatu data yang dikumpulkan dari beberapa subyek yang diamati pada satu satuan waktu. Sedangkan data panel merupakan gabungan data yang mempunyai unsurunsur data time series dan data cross-section yang diamati sepanjang waktu. Data ini dikumpulkan dari beberapa subyek sejenis, seperti keluarga, perusahaan, negara, dan lain-lain yang diukur pada satu satuan waktu dan diamati pada interval waktu tertentu.

2.1.2

Harga Harapan

Harga harapan disebut juga mean adalah rata-rata terbobot dan merupakan ukuran pusat suatu distribusi probabilitas. Harga harapan variabel random diskrit adalah jumlahan dari hasil perkalian setiap harga variabel random dengan probabilitas dari harga variabel random tersebut. Jika variabel randomnya kontinu, maka operasi yang digunakan adalah operasi integral. Definisi tentang harga harapan variabel random diambil dari Bain dan Engelhardt (1992). Definisi 2.1 Jika X adalah variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas (fdp) f(x), maka harga harapan dari X didefinisikan sebagai

commit to user 5


digilib.uns.ac.id

Definisi 2.2 Jika X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka harga harapan dari X didefinisikan sebagai

Teorema 2.1 Jika X adalah variabel random dengan fdp

dan

adalah

fungsi bernilai real yang domainnya meliputi nilai yang mungkin untuk X, maka

Menurut Neter et al. (1990) ; Bain dan Engelhardt (1992), harga harapan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut. Jika

dan

adalah variabel random, a dan c adalah konstanta, maka

1. 2. 3. 4. 5.

2.1.3

Variansi dan Kovariansi

Variansi merupakan ukuran penyebaran variabel random dalam suatu distribusi. Bain dan Engelhardt (1992) mendefinisikan variansi dan kovariansi sebagai berikut. Definisi 2.3 Variansi dari variabel random X adalah

Teorema 2.2 Jika

adalah suatu variabel random, maka

commit to user 6


digilib.uns.ac.id

Sifat-sifat variansi menurut Neter et al. (1990) sebagai berikut 1. 2. dengan a dan c adalah konstanta. Definisi 2.4 Kovariansi dari pasangan variabel random

dan

didefinisikan

sebagai

Teorema 2.3 Jika

dan

adalah variabel random dan a,b adalah konstanta,

maka 1.

,

2. 3.

.

Teorema 2.4 Jika X dan Y adalah variabel random, maka

dan

ketika

2.1.4

dan

independen.

Matriks dan Operasi Matriks

Menurut Anton dan Rorres (2005), matriks adalah susunan segi empat siku-siku yang terdiri dari entri (unsur) berupa bilangan-bilangan. Matriks ini biasanya dinyatakan dengan sebuah huruf besar bercetak tebal. Berikut diberikan beberapa sifat matriks. Definisi 2.5 Jika A adalah matriks dengan

, maka transpos dari A, dinyatakan

, didefinisikan sebagai matriks

yang didapatkan dengan

mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A. Toerema 2.5 Sifat dari transpos matriks. Jika A dan B adalah matriks berukuran dan suatu skalar , maka 1. 2. 3.

commit to user 7


digilib.uns.ac.id

4. Definisi 2.6 Jika

adalah matriks bujur sangkar, dan jika terdapat matriks

yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga invertible dan maka

disebut invers dari

. Jika matriks

, maka

disebut

tidak dapat didefinisikan,

dinyatakan sebagai matriks singular.

Teorema 2.6 Jika

adalah matriks yang invertible, maka

Teorema 2.7 Jika

dan

yang sama, maka

juga invertible dan

adalah matriks-matriks yang invertible dengan ukuran

invertible dan

Teorema 2.8 Jika A adalah matriks berukuran

, maka pernyataan

pernyataan di bawah ini ekuivalen. a.

adalah orthogonally diagonalizable, orthogonal,

b.

dengan P matriks

, dan D matriks diagonal.

simetris,

Sebagai pendukung dalam skripsi ini, digunakan operasi matriks khusus yang dikenal sebagai perkalian Kronecker. Perkalian Kronecker dari 2 buah matriks akan menghasilkan matriks dalam bentuk partisi yang masing-masing submatriksnya adalah entri dari matriks pertama dikalikan matriks kedua. Definisi 2.7 (Schott,2005) Jika matriks berukuran dituliskan dengan

adalah matriks berukuran

dan

, maka perkalian Kronecker antara matriks

adalah dan

,

, adalah

Teorema 2.9 (Schott,2005) Misal ,

, dan

adalah matriks dan

vektor, maka 1.

commit to user 8

dan

adalah


digilib.uns.ac.id

2. 3. 4.

, jika

dan

berukuran sama

5.

, jika A dan B berukuran sama

6. 7. 8.

, jika

dan

nonsingular.

Turunan dari suatu matriks juga diperlukan dalam penurunan estimasi parameter. Sifat-sifat turunan suatu matriks diambil dari Schott (2005). Definisi 2.8 Matriks terhadap

adalah matriks fungsi dari . Matriks

jika semua entri dalam matriks

Teorema 2.10 Jika

dan

matriks fungsi terhadap

dan

dapat diturunkan

dapat diturunkan terhadap .

adalah matriks fungsi dari

, d adalah turunan

adalah matriks konstan, maka

1. 2. 3. 4.

2.1.5

Sistem Persamaan Regresi Linear

Dalam suatu sistem persamaan regresi linear, diasumsikan bahwa terdapat M persamaan dan T pengamatan yang masing-masing persamaan mempunyai satu variabel dependen dan

variabel independen dengan persamaan regresi

sebagai berikut :

dengan

.

commit to user 9


digilib.uns.ac.id

Bentuk matriks dari persamaan regresi ke- dituliskan sebagai

dengan

sehingga masing-masing persamaan dapat dinyatakan sebagai

Persamaan-persamaan tersebut dapat diringkas dalam satu matriks dengan menyusun M persamaan dalam bentuk (2.3) dengan

Berdasarkan persamaan (2.3), diasumsikan bahwa terdapat korelasi residu antar persamaan sehingga estimasi parameternya dapat diselesaikan menggunakan model Seemingly Unrelated Regression (SUR).

2.1.6

Model Seemingly Unrelated Regression (SUR)

Model SUR merupakan model regresi linear multivariat yang diperkenalkan oleh Zellner pada tahun 1962. Model ini mengandung T pengamatan pada setiap M variabel dependen dengan variabel-variabel tersebut sejenis dan diukur pada satu waktu yang sama (cross section). Model ini digunakan ketika residu berautokorelasi antar persamaan untuk menghasilkan estimasi model. Persamaan (2.3) merupakan model SUR dengan asumsi

commit to user 10


digilib.uns.ac.id

dan

dengan

adalah matriks variansi kovariansi model SUR (Greene, 2002). Semua

pengamatan digunakan untuk mengestimasi parameter dari

persamaan dan

diasumsikan juga bahwa residu tidak berkorelasi antar pengamatan sehingga . Matriks variansi-kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan ke- diberikan oleh

sehingga

dengan

merupakan perkalian Kronecker antara

yang dijelaskan dalam

subbab 2.1.4. Matriks variansi kovariansi model SUR dapat dituliskan

dengan matriks variansi kovariansi residu untuk semua persamaan regresi pada waktu pengamatan ke-t adalah

Hal yang penting untuk dilakukan sebelum mengestimasi parameter model SUR adalah menguji apakah struktur variansi kovariansi residu merupakan struktur SUR. Menurut Greene (2002); Ullah dan Su (2006), untuk menguji

commit to user 11


digilib.uns.ac.id

apakah ada korelasi residu antar persamaan digunakan statistik hitung Lagrange Multiplier yaitu

dengan

untuk semua

(struktur SUR). Dengan tingkat signifikansi ditolak jika

dan , diperoleh daerah kritis yaitu

.

2.1.7

Autoregressive

Model SUR dapat digunakan ketika residu berkorelasi antar persamaan. Dalam sistem persamaan regresi linear, residu pada masing-masing persamaan kadang-kadang berkorelasi antar persamaan dan antar waktu. Menurut Sembiring (2003), uji yang digunakan untuk menentukan bahwa data tidak berkorelasi adalah statistik Durbin-Watson. Uji tersebut didasarkan pada statistik

dengan

, sisa pada pengamatan ke- . Rentangan nilai d adalah . Nilai d akan kecil (dekat dengan 0) jika selisih

kecil, jadi

berkorelasi positif. Nilai d akan besar (dekat dengan 4) jika selisih besar, jadi

berkorelasi negatif. Jika

tidak ada

korelasi maka nilai d akan dekat dengan 2. Dalam skripsi ini, diasumsikan bahwa bentuk korelasi antar waktu pengamatan adalah autoregressive orde satu (AR(1)) sehingga model sistem ini dapat disebut sebagai Model SUR dengan residu berpola AR(1). Proses autoregressive adalah suatu proses regresi pada dirinya sendiri. Menurut Cryer (1986) bentuk umum suatu proses autoregressive orde p (AR(p)) adalah

commit to user 12


Nilai

digilib.uns.ac.id

merupakan kombinasi linear dari p nilai dirinya sendiri sebelum waktu

ditambah suatu bentuk perubahan baru

, dengan

independen terhadap

Model proses AR(1) adalah

dengan

adalah koefisien parameter,

, dan

dengan mean nol dan variansi konstan,

adalah variabel random

.

Selanjutnya, untuk menguji apakah residu benar-benar berpola AR(1), digunakan plot Partial Autocorrelation Function (PACF). PACF pada lag k didefinisikan sebagai korelasi antara dua prediksi eror, yaitu,

dengan ketentuan

. Model Autoregressive dikatakan AR(1) jika

Menurut Cryer (1986), suatu data dapat dikatakan stasioner jika data tersebut stasioner terhadap mean dan variansi. Selain model Autoregressive, model untuk data stasioner yang lain adalah Moving Average dan Autoregressive Moving Average. Model Moving Average dengan order , atau proses MA

, didefinisikan

sebagai berikut

dimana

independen dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi

adalah parameter Moving Average dan Moving Average orde satu (MA

dengan

,

adalah mean yang konstan. Proses

) adalah

. Model

Autoregressive

Moving

Average

(ARMA(

))

merupakan

kombinasi dari model Autoregressive (AR( )) dan model Moving Average (MA( )). Bentuk umum dari model ARMA(p,q) adalah

commit to user 13


digilib.uns.ac.id

Model ARMA(p,q) dikatakan stasioner jika

dan

.

Model ARMA(1,1) dapat ditulis sebagai

dengan

dan

2.1.8

.

Ordinary Least Square (OLS)

Bentuk umum model regresi linear dalam matriks adalah . Residu dalam model di atas dapat dituliskan sebagai

Weisberg (2005) menuliskan fungsi jumlah kuadrat residu sebagai

yang merupakan fungsi dari meminimumkan fungsi

. Estimator OLS,

, dari

, yaitu menurunkan

diperoleh dengan terhadap parameter

kemudian menyamakan dengan nol. Dalam skripsi ini, parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) diestimasi menggunakan metode Park.

Metode ini menggunakan OLS untuk

mengestimasi setiap persamaan. Hasil estimasi digunakan untuk memperoleh residu yang akan digunakan untuk mengestimasi parameter AR(1).

2.1.9

Generalized Least Squares (GLS)

Greene (2002) memberikan bentuk umum

model regresi linear

tergeneralisir dalam matriks adalah (2.5) dengan asumsi

dan

dimana

merupakan matriks

simetris definit positif, sehingga berdasarkan Teorema 2.8,

dapat difaktorkan

dalam

dimana kolom-kolom dari C adalah vektor-vektor eigen dari

dan nilai-nilai

eigen dari

adalah matriks

disusun dalam matriks diagonal

commit to user 14

. Misalkan


digilib.uns.ac.id

diagonal dengan elemen diagonal ke- adalah . Misalkan pula

maka

, dan

maka

.

Metode GLS sudah mempertimbangkan matriks variansi-kovariansi pada model. Dalam metode ini, didefinisikan fungsi jumlah kuadrat tergeneralisir. Untuk memperoleh fungsi ini, persamaan (2.5) dikalikan dengan P sehingga

atau

Vektor residu persamaan (2.6) adalah

dan fungsi jumlah kuadrat tergeneralisir

Menurut Greene (2002), prinsip metode GLS meminimumkan menurunkan

terhadap parameter

dengan cara

kemudian menyamakan dengan nol.

2.1.10 Koefisien Determinasi Menurut Sembiring (2003), koefisien determinasi

dapat digunakan

untuk mengukur kecocokan data dengan model. Koefisien determinasi didefinisikan

dengan

adalah nilai taksiran dari variabel dependen,

dari variabel dependen dan

adalah nilai pengamatan pada variabel random.

Nilai koefisien determinasi, dengan

, berkisar antara

sampai . Semakin dekat

maka makin baik kecocokan model dengan data, sebaliknya jika

makin dekat dengan Besar

adalah nilai rata-rata

maka makin jelek kecocokan model tersebut.

dipengaruhi oleh banyaknya variabel independen dalam model.

Jika jumlah variabel independen lebih dari satu, maka digunakan yang didefinisikan sebagai

commit to user 15

-adjusted


dengan

digilib.uns.ac.id

adalah banyaknya pengamatan dan

banyaknya parameter.

2.2 Kerangka Pemikiran Model SUR digunakan dalam analisis regresi multivariat ketika residu berkorelasi antar persamaan. Namun, dalam regresi multivariat residu masingmasing persamaan kadang-kadang juga berkorelasi antar waktu pengamatan, seperti berpola AR(1). Model regresi multivariat ini dapat dikatakan sebagai model SUR dengan residu berpola AR(1). Estimasi parameter model SUR menggunakan metode GLS lebih baik daripada metode OLS satu-satu, namun adanya korelasi antar waktu menyebabkan metode GLS kurang sesuai untuk estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1). Oleh karena itu, metode Park yang merupakan penerapan metode GLS dan estimatornya didesain sebagai estimator dari sistem persamaan yang residunya berkorelasi antar persamaan dan antar waktu pengamatan (Messemer dan Park, 2004) sesuai untuk mengestimasi model SUR dengan residu berpola AR(1). Setelah estimator model didapatkan, kemudian diaplikasikan dalam contoh kasus.

commit to user 16


digilib.uns.ac.id 17

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dengan pengumpulan bahan melalui buku buku referensi dan karya ilmiah yang meliputi hasil-hasil penelitian dan jurnal yang berkaitan dengan model SUR dan metode Park. Langkah langkah penelitian adalah sebagai berikut 1. mengkonstruksi model SUR dengan residu berpola AR(1), 2. menentukan estimasi parameter model, a. menentukan matriks variansi-kovariansi model beserta inversnya, b. mengestimasi parameter model dengan metode generalized least square dengan membentuk

kemudian menentukan nilai

minimumnya, c. menentukan estimasi parameter setiap persamaan regresi model dengan metode OLS untuk memperoleh residu yang akan digunakan untuk estimasi koefisien korelasi AR(1), d. menentukan langkah-langkah penerapan metode Park dalam data. 3. menerapkan dan mengambil kesimpulan dari suatu contoh kasus.

commit to user



BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan diturunkan ulang cara melakukan estimasi terhadap parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) serta penerapannya. Pembahasan di sini mengacu pada Messemer dan Park (2004), Dey et al. (2008) dan Greene (2002).

4.1 Model SUR dengan Gangguan Autokorelasi Persamaan regresi ke- dari model SUR yang terdiri dari

persamaan

regresi dapat dituliskan sebagai

dengan

adalah vektor observasi terurut adalah matriks observasi

pada variabel dependen pada variabel independen

adalah vektor parameter adalah vektor residu

.

persamaan regresi tersebut dapat disusun dalam matriks blok yang dituliskan sebagai

dengan

Jika residu dalam masing-masing persamaan pada model SUR memiliki pola AR(1), maka bentuk hubungan residu untuk persamaan ke- ,

dengan AR(1), dan

adalah residu pengamatan kepada periode ,

adalah parameter

adalah residu AR(1) yang tidak berkorelasi antar pengamatan.

commit to user


digilib.uns.ac.id

4.2 Matriks Variansi Kovariansi Model Estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) dilakukan dengan mengestimasi parameter

dalam persamaan

digunakan untuk mengestimasi

. Metode yang akan

adalah metode Park. Langkah pertama dalam

estimasi parameter adalah menentukan matriks variansi kovariansi model SUR. Model SUR mengasumsikan bahwa atau

untuk

yaitu, residu pengamatan tidak berkorelasi antar waktu. Akan tetapi, residu pengamatan dalam skripsi ini berkorelasi antar waktu pengamatan dengan pola korelasi tersebut adalah AR(1). Bentuk hubungan residu untuk persamaan ke- ,

dengan

,

dan

jika

. Variansi residu

adalah

Residu

diasumsikan stasioner (

) sehingga diperoleh

Dengan cara yang sama, kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan kedapat diperoleh.

Residu AR(1),

, diasumsikan independen terhadap residu pengamatan sehingga

,

diperoleh

commit to user 19

dan


Misalkan

digilib.uns.ac.id

,

dan asumsi kestasioneran

maka

atau

Nilai kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan ke- untuk satu periode waktu pengamatan yang berbeda diperoleh

Untuk dua periode waktu pengamatan yang berbeda,

sehingga untuk suatu

satuan waktu yang berbeda diperoleh

Matriks variansi kovariansi model SUR dengan residu berpola AR(1) adalah

commit to user 20


digilib.uns.ac.id

dengan

Langkah selanjutnya adalah menentukan invers dari matriks variansi kovariansi residu model SUR dalam skripsi ini, yaitu

. Variansi kovariansi

persamaan ke- berdasarkan persamaan (4.2) dan (4.3),

Untuk memudahkan dalam menentukan

invers dari

, didefinisikan matriks

adalah

dengan

commit to user 21

dengan


digilib.uns.ac.id

Berdasarkan persamaan (4.5) dan persamaan (4.6) diperoleh

commit to user 22


digilib.uns.ac.id

atau

dan untuk persamaan ke-i dan persamaan ke-j,

Jika matriks

dari M persamaan disusun dalam matriks blok

dan W dengan

dan

maka berdasarkan persamaan (4.3), (4.7) dan (4.8) diperoleh

atau

Kedua sisi baik kanan dan kiri dalam persamaan (4.9) diinverskan,

commit to user 23


digilib.uns.ac.id

4.3 Estimasi Parameter Estimator parameter model diperoleh dengan mengestimasi parameter menggunakan metode GLS, yaitu dengan mencari nilai minimum dari . Fungsi

merupakan suatu fungsi kuadrat dari

dengan koefisien

positif sehingga fungsi ini mempunyai titik ekstrim minimum. Oleh karena itu, titik ekstrim minimum dari fungsi kuadrat dari persamaan

dicapai ketika

. Nilai

dalam bentuk matriks adalah

Langkah-langkah estimasi parameter

adalah

1. Menentukan fungsi

2. Menurunkan

terhadap

3. Meminimumkan fungsi

dengan cara persamaan

dengan nol

Persamaan (4.10) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.12) diperoleh

commit to user 24

disamakan


Estimator

digilib.uns.ac.id

dapat juga ditulis dengan

(4.13) Greene

(2002)

menjelaskan

transformasi

Prais-Winsten

untuk

menghilangkan autokorelasi pada data. Jika diketahui pasangan data time series [

] dan

adalah koefisien korelasi maka transformasi Prais-Winsten dari data

tersebut adalah

dan

Hasil transformasi yang diperoleh sama dengan perkalian matriks . Misalkan

dan

dan

maka persamaan (4.13) dapat ditulis sebagai

Setiap persamaan regresi linear dalam model SUR diestimasi parameternya masing-masing untuk menentukan pola autokorelasi residu. Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter tiap persamaan adalah metode OLS. Setelah dilakukan estimasi parameter, akan diperoleh nilai residu tiap waktu dari masing-masing persamaan. Residu dalam skripsi ini diasumsikan berpola AR(1). Estimator untuk koefisien korelasi AR(1),

, diperoleh berdasarkan residu

tersebut. Bentuk umum model regresi linear dalam bentuk matriks adalah

Weisberg (2005) menuliskan fungsi jumlah kuadrat residu sebagai

commit to user 25


yang merupakan fungsi dari , yaitu menurunkan

digilib.uns.ac.id

. Prinsip OLS adalah meminimumkan fungsi terhadap parameter

kemudian menyamakan

dengan nol

diperoleh estimator OLS, , dari

adalah (4.17)

Estimator OLS tersebut diterapkan dalam setiap persamaan pada model SUR. Hasil estimasi digunakan untuk memperoleh estimator dari koefisien korelasi. Bentuk korelasi residu pengamatan persamaan ke- adalah

Menurut Greene (2002), estimator untuk

adalah

Langkah-langkah estimasi parameter menggunakan metode Park adalah 1. mengestimasi parameter setiap persamaan dengan persamaan (4.17), 2. menghitung residu dan estimator

yaitu

berdasarkan residu berpola

AR(1) dengan persamaan (4.18), 3. untuk setiap persamaan, data ditransformasi menggunakan transformasi Prais-Winsten yang dituliskan dalam persamaan (4.14) dan persamaan (4.15), 4. parameter model SUR diestimasi dengan menggunakan data hasil transformasi dan persamaan (4.16).

commit to user 26


digilib.uns.ac.id

4.4 Contoh Kasus Contoh data yang digunakan dalam kasus skripsi ini adalah data investasi dari dua perusahaan yaitu Perusahaan A dan Perusahaan B. Masing-masing perusahaan diambil 20 waktu pengamatan, dengan dua variabel yang diamati adalah : investasi, : nilai pasar perusahaan (nilai saham di bursa efek). Semua variabel dalam satuan juta dollar. Data yang diperoleh dapat dilihat pada Lampiran 3. Model yang diestimasi adalah untuk

dan

.

Estimasi parameter model tersebut dengan metode OLS dan nilai statistik Durbin Watson adalah

statistik Durbin-Watson = 2,95782

statistik Durbin-Watson = 2,85406 Nilai statistik Durbin-Watson kedua perusahaan tidak mendekati 2, berarti residu kedua perusahaan mengalami autokorelasi. Dari hasil estimasi tersebut, dihitung nilai residu pengamatan kedua perusahaan. Residu tersebut mempunyai pola stasioner (Lampiran 4). Gambar 1 menunjukkan plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) untuk residu perusahaan A.

Dapat dilihat

bahwa lag 1 kedua plot keluar dari garis interval kepercayaan 5%, itu berarti residu perusahaan dapat berpola AR(1), MA(1), dan ARMA(1,1). MSE dari AR(1) lebih kecil daripada MA(1) dan ARMA(1,1) sehingga residu berpola AR(1) dengan estimasi koefisien korelasi

commit to user 27

(Lampiran 5).


digilib.uns.ac.id

Gambar 1. Plot ACF dan PACF residu perusahaan Diamond Match Gambar 2 menunjukkan plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) untuk residu perusahaan B.

Dapat dilihat

bahwa lag 1 kedua plot keluar dari garis interval kepercayaan 5%, itu berarti residu perusahaan dapat berpola AR(1), MA(1), dan ARMA(1,1). MSE dari AR(1) lebih kecil daripada MA(1) dan ARMA(1,1) sehingga residu berpola AR(1) dengan estimasi koefisien korelasi

(Lampiran 5).

Gambar 2. Plot ACF dan PACF residu perusahaan American Steel Selanjutnya data ditransformasi menggunakan transformasi Prais-Winston. Hasil transformasi dapat dilihat dalam Lampiran 6. Data hasil transformasi digunakan untuk mengestimasi parameter model dengan metode generalized least square. Hasil estimasi yang diperoleh ditunjukkan dalam Tabel 1.

commit to user 28


digilib.uns.ac.id

Tabel 1. Estimasi Parameter Model SUR Perusahaan A

Parameter

Nilai estimasi

(intercept)

p-value 0,0000 0,0000

B

(intercept)

0,0000 0,0000

Matriks koefisien korelasi residu model adalah

Hipotesis null untuk Model SUR adalah

untuk

(struktur

variansi kovariansi bersifat heteroskedastis dan tidak ada korelasi residu antar persamaan) dengan nilai statistik Lagrange Multiplier,

Daerah kritis khi-kuadrat untuk

dan

adalah

3,8415. Karena

, dapat disimpulkan bahwa

ditolak,

artinya model ini memenuhi struktur SUR (terdapat korelasi residu antar persamaan). Dari Tabel 1, diperoleh persamaan investasi untuk dua perusahaan adalah sebagai berikut dan . Nilai p-value dari parameter kedua perusahaan adalah 0,000 lebih kecil dari tingkat signifikansi

, berarti bahwa nilai estimator parameter kedua

perusahaan signifikan (sesuai/cocok) dengan data. Nilai Adjusted R-squared diperoleh sebesar 0,999, artinya

99,9% variasi variabel dependen (Y) dapat

dijelaskan oleh variabel independen nilai pasar perusahaan ( ), dan sisanya dipengaruhi oleh variabel lain.

commit to user 29


digilib.uns.ac.id

Pada perusahaan A, nilai investasi menurun sebesar 13,99 juta dolar ketika nilai pasar perusahaan tidak berpengaruh. Apabila nilai pasar perusahaan mengalami peningkatan sebesar 1 juta dolar akan mengakibatkan nilai investasi meningkat sebesar

dolar.

Pada perusahaan B, nilai investasi meningkat sebesar 33,32 juta dolar ketika nilai pasar perusahaan tidak berpengaruh. Apabila nilai pasar perusahaan mengalami peningkatan sebesar 1 juta dolar akan mengakibatkan nilai investasi meningkat sebesar

dolar.

commit to user 30



BAB V PENUTUP

5.1

Kesimpulan

Berdasarkan uraian dalam pembahasan dapat ditarik kesimpulan bahwa model SUR memiliki bentuk umum masing-masing persamaan ke- adalah

dengan residu berpola AR(1) mempunyai bentuk untuk persamaan ke- ,

Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) adalah metode Park. Langkah-langkah estimasi parameter menggunakan metode Park adalah 1. mengestimasi parameter setiap persamaan dengan

2. menghitung residu dan estimator

yaitu

berdasarkan residu berpola

AR(1) dengan

3. untuk setiap persamaan, data ditransformasi menggunakan transformasi Prais-Winsten. Jika diketahui pasangan data time series [ adalah estimator dari

] dan

maka transformasi Prais-Winsten dari data

tersebut adalah

4. parameter model SUR diestimasi dengan menggunakan data hasil transformasi dan persamaan

commit to user


digilib.uns.ac.id

5.2

Saran

Skripsi ini mengkaji ulang tentang teori estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1). Oleh karena itu dapat dilakukan penelitian dengan menerapkan teori ini dalam studi kasus. Metode yang digunakan pada skripsi ini adalah metode Park, untuk itu dapat dilakukan penelitian lain dengan metode yang berbeda.

commit to user 32

ESTIMASI PARAMETER MODEL SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) DENGAN RESIDU BERPOLA AUTOREGRESSIVE ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE PARK

Recommend Documents