PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
ESTIMASI PARAMETER DALAM MODEL RETURN STOKASTIK DENGAN LOMPATAN MENGGUNAKAN METODE MARKOV CHAIN MONTE CARLO Yessy Okvita1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika 2) 3) Dosen Program Studi Matematika 1) email:
[email protected] 2)
[email protected] 3)
[email protected] Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
PENDAHULUAN Pergerakan harga saham dapat terjadi secara berkala hampir di semua pasar saham. Tetapi hal ini belum bisa menjawab pertanyaan finansial yang penting: apakah times dan sizes lompatan dapat diprediksi? Apakah ada variabel yang dapat memprediksi lompatan? Apakah lompatan mempengaruhi distribusi return harian? Karena itu diperlukan model lompatan yang akurat untuk menjawab beberapa pertanyaan tersebut (). Kemungkinan terjadinya lompatan dapat mencakup lompatan sebelumnya. Model yang akan digunakan adalah model Return Stokastik dengan lompatan yang biasa dikenal dengan Jump diffusion model with volatility constant (Witzany,2011). Algoritma Gibb Sampling adalah salah satu algoritma Monte Carlo. Dalam algoritma Gibb Sampling tidak menggunakan mekanisme accept-reject karena hasil simulasi diterima sampai konvergen yang akan diuji menggunakan Heidelberg-Welch test. Dari model Return Stokastik dengan lompatan parameter-parameter yang akan
diestimasi menggunakan algoritma Gibb Sampling adalah , , , , , , . Sebagai ilustrasi digunakan data sekunder yaitu harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang diperoleh dari finance.yahoo.com.
KAJIAN TEORI Model Return Stokastik dengan Lompatan
dengan
,
1,2, … , ,
adalah
harga saham penutupan pada hari ke-t (Tsay,2010), adalah drift, adalah volatility, yang mana diasumsikan ~ , , ~ 0,1 , dan ~ dengan 1 menunjukkan jump saat dan 0 sebaliknya, sehingga 1 , 0 1 , 0 1 (Witzany,2011) Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Metode MCMC
296
ln
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW Markov Chain Monte Carlo digunakan untuk menghasilkan 1 sampel titik yang 1 ditetapkan oleh distribusi posterior 1 gabungan. Secara 1 umum untuk 1 menghitung distribusi posterior gabungan melibatkan distribusi gabungan parameter, yang sulit untuk di pecahkan. Namun, dengan menggunakan distribusi posterior bersyarat untuk parameter yang belum di ketahui dapat diestimasi dengan mudah.
Penentuan distribution
conditional
Distribusi yang diperoleh dari distribusi gabungan dari semua komponen, yakni sebagai berikut : ,
, ,
,
, . . . Bangkitkan
, ,
,
,
, ,
, 1 1
, ,
1
,…,
,
,
,
1 2
,…, dari
Bangkitkan
, ,
1. Menetapkan vektor nilai awal x ,…, 2. Ulangi langkah untuk 1,2, … , Bangkitkan ,
, ,
Algoritma Gibbs Sampling
dari
posterior
1 2
√2 1
1 2
1
.
√2
dari
,…, 3. Langkah diulang M kali. Gibbs Sampling dapat diterapkan apabila distribusi bersyarat dari setiap parameter diketahui (Witzany,2011). Algoritmanya sebagai berikut :
exp
1 2
Setelah distribusi posterior gabungan diketahui, kemudian menentukan distribusi posterior masing-masing parameter. Simulasi Algoritma Gibb Sampling
Spesifikasi Prior Parameter distribusi prior adalah distribusi probabilitas yang merepresentasikan ketidakpastian tentang parameter sebelum data saat diperiksa. Sehingga pendekatan bayesian untuk pemodelan tidak bisa dilakukan tanpa menggunakan distribusi sebelumnya (Didit,2011). Menurut Witzany (2011) diasumsikan bahwa distribusi priornya sebagai berikut :
Menurut Witzany (2011) estimasi Gibb Sampling dilakukan sebagai berikut • Menetapkan , , , • Menyampel 0, maka
Jika ;
, 1, maka
Jika ; ;
297
nilai ,
,
, ,
awal ,
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW , • Menyampel 0,1 , 1 ⁄ , di mana ; , 1 ; , • Menyampel , dari yang berdistribusi normal Misalkan y , y , … , yT ; y ~N µ, σ dengan y Z J dan prior 1 serta | ,
; , ∑
1
2
√2 ∑
2 2 ;
∑
,
√
Demikian pula ,
| ,
T
,
,
1
φ y ; µ, σ
;
, ∑
∑
1
2
2
√2
2 ∑
; , 2
2 ;
∑
,
Demikian pula | ,
Berikut ini adalah grafik data harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang ditunjukkan oleh Gambar 1 sedangkan Gambar 2 grafik return harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang diskalakan.
; , ∑ 2 ∑ 2
• Menyampel dari berdistribusi bernoulli Jika , ,…, ; dengan prior 1 | | 1
yang
4600 4400
~
4200
harga saham
; , 2
,
2
ANALISA DAN PEMBAHASAN
√
| ,
1
∑
1
4000 3800 3600
Gambar 1. Harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010.
3400 3200
;
1,
1
3000
0
50
100
150 waktu
• Menyampel , dari berdistribusi normal dan 1 serta
yang prior
298
200
250
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW 0.15
0.6
0.1
0.4
0.2 return harga saham
return harga saham
0.05
0
-0.05
-0.1
0
-0.2
-0.4 -0.15
-0.2
-0.6 0
50
100
150
200
250
waktu
-0.8 10
Gambar 2. Harga return dari saham
20
30
40
50 60 waktu
Gambar 3b. model return saat
Dengan menggunakan estimasi Gibb Sampling menurut Witzany (2011), pada Tabel 1 menunjukkan beberapa hasil simulasi masing-masing parameter model return stokastik dengan lompatan dengan kata lain 1. Tabel 1. Beberapa Hasil Estimasi parameter menggunakan Gibb Sampling
70
80
90
10 sampai
100
100
Berikut ini adalah grafik data harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang ditunjukkan oleh Gambar 1 sedangkan Gambar 2 grafik return harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang tidak diskalakan. 0.4 0.3 0.2
0.0045 0.0047 0.0054 0.0047 0.0051 0.0047 0.0045 0.0044 0.0046 0.0051
0.5918 0.4580 0.5510 0.4911 0.3897 0.5609 0.5325 0.6548 0.4514 0.5745
0.0046 0.0051 0.0053 0.0049 0.0057 0.0042 0.0044 0.0047 0.0044 0.0044
0.0029 0.3017 0.0027 0.2917 0.0015 0.1993 0.0062 0.6072 0.0018 0.2937
0.1
return harga saham
4.722 0.0047 0.2455 0.2935 0.0091 0.0367 0.4478 0.0119 0.2965 0.0118
0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5
0
50
100
150
200
250
waktu
1 sampai
Gambar 4a model return saat
246
0.3 0.2
Sedangkan jika 0, ternyata memberikan peluang lebih banyak tidak ada lompatan sehingga hal ini tidak mungkin. Dari hasil estimasi gibb sampling menurut witzany grafik model return stokastik dengan lompatan dan return dari harga penutupan saham yang diskalakan ditunjukkan pada Gambar 3a dan 3b.
0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
Gambar 4b model return saat
0.5
10 sampai
100
return harga saham
0
KESIMPULAN
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5 0
50
100
150
200
250
Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana mengestimasi parameter model return stokastik dengan lompatan. Metode yang digunakan adalah Markov Chain Monte Carlo
waktu
Gambar 3a model return saat
1 sampai
246
299
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW khususnya algoritma Gibb Sampling. Parameter mempengaruhi harge return. Hasil simulasi parameter perlu dicek kekonvergenannya. Saran untuk penelitian selanjutnya hasil simulasi parameter sampai konvergen maka perlu melakukan HeidelbergWelch test / Geweke test. UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih ditujukan kepada : Didit Budi Nugroho untuk informasi literatur, bimbingan tentan makalah ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Kumar.J, Polson.1999. State Dependent Jump Models. GSB, University of Chicago [2]Malik dan Pitt. 2008. Modeling Stochastic Volatility with Leverage and Jumps. Department of Economics, University of Warwick, Coventry CV4 7AL [3] Nugroho, D. B, Morimoto, T. 2008. Comparison of Griddy Gibbs and MetropolisHastings Sampler for Estimation of the Standard LNSV. Department of Mathematical Sciences, Kwansei Gakuin University [4] Tsay, R.S., 2010, Analysis of Financial Time Series, John Wiley & Sons. [5] Witzany, J. 2011. Estimating Correlated Jumps and Stochastic Volatilities IES Working Paper IES FSV. Charles University.
300
