I N T E G R A S IN U M E R I K
INTEGRASINUMERIK DENGANMENGGUNAKAN METODEMONTECARLO OLeh, Or.Drs. lKhoe Nao.tung ,-M,]1.'
Abstruct Spprox.Lmate integrals bg generating a larga numfor ol random numbers and taking ss oul spproxLmstion the sueraga usluB ol tts functions..IhLs approach to approxi,matlng intagrals is cqlLad the .Ilonte carlo approsch. ona ol tha most uselul approach as a model ol complexes exparimant. ,.llonte carLo approach rsing the random sampling for probabiListtc euent. not for exact result but approxlms,te result.'this ptper trg to dlscrts hom to pnerate the pseudo-random numbers. and hom to approximate the defintte intagrals.
Pendahuluan Pada dasamya Metode Monte carlo dipergunakanurtuk menjawab pertanyaan-perlanyaan berikut: Bagaimanakah kemurgkinansuatukeladianatau kombinasikejadian-kejadian yang timbul padasmtu proses?Atau padafrekuensi yang keberapakah suatukejadiandiikuti kejadian-ke.iadian yang lain sehubungan denganaltematif-altematif yang ada.Jugarnisalnyakemungkinanrusaknyaproses tertenfu. Pembangkit bilangan acak Pendekatan integrasidenganmetodeini tidak mementingkanke "eksak"an hasil,tetapicukup rnendekatihasil eksaknya.Hal ini dikarenakanmetodeMonte Carlo menggunakanbilanganrandom(acak),tetapiperlu diingat bahwabilangan acak ini tidak dihasilkansepertikita melemparmaLauang logamataupemutaran rodakuis berangka.Bilanganacakini dihasilkandariprosesaritmatikadeterministik *
'Ietap 'l'eknik nga.iar Stat'Pe Fakultas I J n i v e r s i t aK s r i s t e nK r i d a W a c a n a J, a k a r t a . Dircktur PusatPendidikanKomputcr Widyaloka. .lakarta
Meditek
59
I N T E G R A S IN U M E R I K
arlinyasekumpulan bilanganyangmempunyaivariasihargastatistiktertentusecara yang disebutdengankeacakan. bersamaan Tipc mekanismenya adalahsebagaiberikut: ..(l) {,,r:rx' (modN) denganr danN tertentudanx disebutdenganseecl(benih)dari sederetan bilangan "acak" x. Metode yang sering digunakansebagaipembangkitbilangarradatah modelmultiplikatil Dengankomputerdesimaldidapatkan : : / 4, (modl0') \, = I ..(2) X,,,1 Yangbiasadigunakanolehpembangkitkomputerbineradalah: (mod2') xn= I x,,,,: (8t- 3) >q, dengant yang cukup besar.Beberapapembangkitmempmyai elemenpertambahan denganjalan sebagaiberikut: x',,,: (r \, + s)(rnodN). LJntuklebih lebih memahamikeacakan,sederetan bilanganx harusmelalui sekumpulantes statistik.Bilangantersebutharusterdistribusipadainterval(0.N). lmrusmempunyai bilanganharapanke atasatauke bawahputarankedu,a(13. 69, putaranketiga (09. 17,21,73) dan seterusnya.Seringkali 97, dan seterusnya), sederetankeacakan yang baik (artinya benar-benaracak) tetapi terbuat dari perumu$n tefientudikalakansederetan bilangankeacakansemu. Sebagaicontoh putaran kedua sederetanbilangan denganperkalian 13 modulusl0 dibuatdenganperkalianl3 dandiambil duanilai puluhanterakhirakan didapatkanbilangandenganduadigit yaitu : 0 1 ,1 3 ,6 9 , 9 7 , 6 19,3 . . . Sebuahcontohklasik denganmenggunakan metodeMonte Carlo kita dapat menenflrkanharga (prrbandinganantarakeliling lingkarandengandianretemya) dalamarri probabilitas.Awal abadkesembilanbelasGeorgede Bu/fon,Naturalis Perancismenggunakanjaruun halus yang panjangnyaa dilemparkansembarang pada papan yang sama jaraknya dengan garis paralel. Kemungkinanjarum memotongsalah satu garis adalah Zalnb. di mana b adalah jarak dari garis
60
Meditek
INTEGRAS NIU M E R I K paralel. Apa yang didapat cukup menakjubkantemyata besamyan dapat ditentukansebesar 3,1415926....Dalamgeometrielementerpendekatan dari keliling pada poligon teraturteftutup dalam lingkarandari .ie.fari0.5. Apa yang didapat Bullbn mengandrurg arti n'rakinbesardari lemparan. makanilai perbandinganyarig melaluigaris semakinmendekati2a/nb. Karenanilai n sekarangdiketahuimaka n :3.1519 (utuk 5000lemparan)dan rnendekati 3.155(unhrk3204 lernparan) dalampertengahan abadke sembilanbelas. Dalambentukumumny4\,,r : r x,,modQll); r dan N harusdipilih bulat positifdanmemenuhitiga kriteria: l. [-intuksetiapmulai benih arval.hasil dcretanyang tampakharusbebas dari variabelacakyang lebih seragamdi antara0 dan l. 2. Untuk setiap benih awal, variabel bilangan dapat dibentuk sebelum pengulangan rnenjadibesar. 3. Nilainya dapatmudahdihitungdengar.r komputerdigital (efisien). Sebagaicontoh yang mudah.suatusistemkomputeryang menggturakan empat digit bilangan, katakanlah 3571. dan angka itu dikuadratkanalian rnenghasilkan 12752041. empatangkatengahnya. dalam hal ini 7520diambildan diset untuk ernpatangkalagi, dikuadratkandidapatkan56550400diarnbil empat angka tengahnyalagi yaitu 5504 dan seterusny4te4adilahsuatu deretanyang mengandungbilangan empat digit dari keacakansemu yang bergura dalam keperluanpraktis. Dalam berbagaibahasakomputer biasanyabilangan acak sudah ada temrasuk di dalamnya dan dapat dibangkitkarl sebagai contoh. bahasa pemrogamanPseudoprogram Basicmenggunakanduaperintah: RANDOMIZE IJ = RND
Hasil dari instmksirandomizeadalahpermintaanuntuk menggunakaninpul denganbenih x. nilai dari RND akanmewakilibilangan keacakansemuyang berikutrya. Sebagaicontoh, berikut ini adalah pro$am turtuk menghasilkan cetakandari hargadesimalkeacakansemu( 10p,seudtrcrndom). RANDOMIZE -fO F O Rt - I l0 U=RND
Meditek
6l
I N T E C R A S IN U M E R I K
PRIN'f U NEXT Perhitungan Integrasi integralmerupakansalahsatuhasilaplikasidasardari bilangan Perhitungan integasi..fikag(x) sebuahfturgsimakakita dapat randomyangdisebutpendekatan rnenghihngintegal dari : 0 : J,|g(x) dx acakharusterdistribusisecaraseragam Unhrknrenghitungnilai 0 bilar-rgan antara(0.1) dandapatkita tuliskan0 sebagai:
0 : E[e(u)]
[)i manat]. . . . [J* adalahvariabclacakyiurgbebasdan seragamdalam daerahjangkarnn (0,1). nilainya rnengikutivariabelacak g(U'), . . . g(UJ yang bebasdanvariabelacakterdishibusiidentikmempunyairata-rataOolehdalil r-urtuk bilanganbesaryangmengikuti.Denganprobabilitasl didapatkan: L
t i=l
.,,.
{:t!
E(gO) ):0 untuknilaik yangbesar.k
hasildari : Sebagaicontohrnengl-ritung
J,lx dx perkalianI 3 modulo 10 duadigit (01. Kita mencobadenganmenggunakan 13. 69. 97 ...)makanilai integasidiatasdapatdihiturg sebagai: * r o . o t+ 0 , 1 3+ 0 . 6 9+ 0 . 9 7+ 0 . 6 1 ) : 0 . 4 8 di atasjika dituliskandalarnbentukumunnya sebagaiberikut: Prosedursederhana
fl e(*)d,:,ii st.l
62
Meditek
INTEGRAS NIU M E R I K I'lasilpembangkitacakdanhasilintcgraldi atasdapatkita tabelkandankita sketsagrafiknyamasing-masing denganmenggunakan perkalian13, 17. l9 modulo l0 berdigit2 (lihatGambar1.2dan3).
E'.,-"-
perdd
x dx. nilairandomperkalianl3 danhasilintegrasi Gambar 1. Menunjukkanhasilpembangkitan
PadaGambar I terdapathasil dari integrasix dx. denganperkalianangka 13 padan:20, untukn yang diambilduadigit terakhir.Hasil yang eksak didapatkan pemilihansampling karena deviasi, hal ini disebabkan lebih besarkembali terdapat keacakanyang harusmemenuhikriteria keacakansemuyang baik. Itulah sebabnya kita tidak dapatmenemukansuatuhasil yang eksaksetelah dilakukan sekiankali iterasi.
Meditek
63
I N T E G R A S IN U M E R I K
Integrasi ke. : menunlukkan banyalcrya bilatgiur n proses: mentu{ukkanperkaliankuadratnya Random: hasilacak.r-nengambil duadigit tcrakhirdariproses hasilyangdidapatdarinurus(7). Hasil : merupakan
PenGkahn krteqrasiN/onteCark)
G a m b a r 2 . M e n u n j u k k a r r h a s i l p e m b a n g k i l raannndi loarir p c r k a l ilaTnd a n h a s i ln t e g r a sxid x
PadaGambar2, bilanganacakclibentrkdari pcrkalian17,terlihattnencapai nilai eksakpadapukrzmke 20 (bilangiuracakberulangpadaputaranke 2l) sama halnyapadaperkaliar13. PadaGantbar3 bilanganacakdibentukdaripcrkalian19,nilaieksaktcriacli padaputaranke l0 dar-r20 (bilangarracakbcnrlangpadaputarankc I I dan2l). .lika
64
Mcditek
I N T E G R A S IN U M E R I K
semuyangbaik,makanilai keacakarr kita menemukansuatubilanganacakdengzur prendekatan akanlebihmendekatihasileksaknya. NhiFlarrtrn
rrorilp.,nuu"ng;;;,,", Gambar 3. Menuniukkan
randomperkalia.l9 danhasitintegrasix dx
Dalam pendekatandilakukan pembentukansejumlah bilangan acak. perhitunganintegasi di atas adalah dengan rata-ratadari nilai yang terbenhrk. Pencapaianpendekataninilah yang disebut dengan metode pendekatanMonte untuk menghiturg hasil Carlo. Di bawah ini adalahalgoritma Pseucloprogratn MonteCarlo. trlendekatan RANDOMIZE INPUTK S:O
Meditek
65
I N T E G R A S IN U M E R I K
F O RI : I T OK U _ RNI-) s: g+ g(U) NEXT PRIN-fSiK dari : pendekatan yangtefcetakmerupakanha^sil I largake|-rara1
I,1g(x)
(b-a)dY: h(Y)dY e : I; g(a+(b-a)y)
Di mananilaih(y): (b-a)g(a+(b-a)y) 0 sccarakontinudilakukandengancara dapatmencaripendekatan LJnturli prcmbangkitkrur bilanganacakdan mengambilnilai ra[a-ratadari h yangdievaluasi padabilangarrandomnYa. Dengancarayangsamakita dapatmerrghiturg:
e : J; g(x)dx dariy: Dengansubstitusi suatuidentitas:
l(x+l): dy: -d;/(x+l)t: -y'dx urtuk mendapatkan
o:il h0)dy dimana:
hry):ql bilangan acak kita unhrk dapat pembang]
6(>
Meditek
I N T E C R A SN I UMERTK
0 : I; fi ... fi B(x,,..., \,) ttx,dx,...d4, Krurcidari pendekatan Monte Carloadalahdenganmemperkirakan terlcleli dalamsuatudaerah.iangkauan tertentu.dengan0 dapatdinyatakandalamekspektasi sebagaiberikutberikut: 0:E(g(U,,...,U,,)) Di manaur-- u,, bebasdan seragamdaramjangka,an(0.1) padavariabcr acak. .lika kita ingin rnembangkitkank sebagai himpunan bebas, yang nrasing-nrasing terdiri dari n variabelbebasciimseragamdalam jangkauan 10.1J a k a nk i t a d a P a t l i a n ' ,,'.'...,,'r [,]r,.. . . . [ ],,r
ur'.....[ ],,1 Di nranakurnpulanbilanganacakg(Ui,.... .t-J',,). i : 1,...,k semuanya bebasclan variabelacakterdistribusimerata.identikdenganrata-rata hargaperkiraaan yaitu: A
U,,'Yk L s(U,'.... Kesimpulan l. MetodependekatanintegrasiMonte Carlo tidak bcrtujuantntuk mencarinilai eksakdari integral,tetapihanyamendekatihargaeksaknyasaja.Pendekatinakan Iebihbaik untuk nilai acakdengankeacakanscmLryangsesuaidannilai n yang besar. 2. MetodeMonte Carlo ini dapatmenghitungpendekatan integrasidengandirnensi n. Serta dapat diselesaikandengancepat dan murah dengeu-r mcnggunakan mikrokomputer. 3. Karenamenggunakan bilanganacak.nretodcMonteCarloini banyakcligr-urakap dalarn trerbagaidisiplin ilmu, antara lain studi tentanstumbukanclcktron
Meditek
67
NUMERIK INTEGRASI denganphoton,hamburandari neuton. simulasieliminasi biaya bangunandan operasiperalatannya.
Kepustakaan 1.Ross,SheldonM; A coursein Simulation,MacMillan PublishingCornpany. NewYork.1991. 2. Scheid Francis;. Numerical Analysis, Schaum Series, McGraw Hill. Singapore.1989. 3. Btnden, Ricard L., FairesJ. Douglas.;Numerical Analysis,4th edition PWS-KENTPublishingCompany,Boston1989. 4. Rice,JohnR.; NumericalMethods,&fware andAnnlysis.2edMcgraw-Hill. 1985. Singapore, 5. Miller Irwin. FreundJohn E.:Probabilityund Statisticsfor Engineers,3ed. PrenticeHall lntemational.New Jenev 1985.
68
Meditek
