(S.3) EVALUASI INTEGRAL MONTE CARLO DENGAN METODE CONTROL VARIATES

Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010

(S.3) EVALUASI INTEGRAL MONTE CARLO DENGAN METODE CONTROL VARIATES

1

Zulhanif, 2Yadi Suprijadi Jurusan Statistika, FMIPA Universitas Padjadjaran, Bandung, Indonesia

1

2

Jurusan Statistika, FMIPA Universitas Padjadjaran, Bandung, Indonesia e-mail: [email protected], [email protected]

Metode Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika, matematika dan statistika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit yang dikenal sebagai metoda integral Monte Carlo. Pada makalah ini akan diteliti penggunaan metoda Control Variates untuk mereduksi varians dari proses evaluasi integral Monte Carlo

Kata kunci : Integral Monte Carlo, Control Variates

1. Pendahuluan Penggunaan simulasi sering untuk mengevaluasi integral yang dikenal dengan integral Monte Carlo, salah satu contoh penggunaannya dalah untuk menghitung nilai harapan dari suatu variable acak :

E ( X ) = ∫ xf ( x ) dx.

(1)

Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi | 210


Dalam banyak kasus terdapat kesukaran dalam menghitung nilai harapan secara analitis dari suatu variabel acak X . Oleh karena akan diambil sampel acak berukuran n , x1 , x 2 , K , xn dari distribusi X , dan menggunakan sampel ini untuk memperkirakan nilai rata-

rata dari X : E( X ) ≈

1 n ∑ xi n i =1

(2)

Argumen ini dengan mudah dapat generalisasi. Misalkan untuk menghitung nilai harapan dari beberapa fungsi dari X , katakanlah φ (⋅) . Kemudian

θ = ∫ φ ( x ) f ( x ) dx (3)

dan θ = E (φ ( X )) merupakan nilai harapan variable acak φ ( X ) dengan fungsi densitas f (x ) . Kemudian jika diambil sampel x1 , x 2 , K , xn dari distribusi X , kita mendapati

bahwa

θˆn =

1 n ∑ φ ( xi ) n i =1

(4)

θˆn merupakan taksiran takbias untuk θ . Proses ini persis sama dengan menghitung nilai harapan dari rata-rata

sampel untuk memperkirakan nilai rata-rata teoritisnya.

Pendekatan ini sangat mudah digunakan, bahkan untuk distribusi multidimensi. Namun, metoda ini memiliki sisi negatifnya, yaitu, nilai varians yang besar dari estimator θˆn . Pada makalah ini akan dikemukakan metoda pengurangan varians dalam simulasi yang dikenal sebagai metoda Control Variates untuk mereduksi varians dari estimator θˆn .



2. Metode Control Variates Andaikan dalam nilai θ = E (Y ) dimana Y = h(Y ) dan merupakan output dari suatu experimen simulasi. Andaikan juga terdapat variabel Z yang juga merupakan output dari suatu experimen simulasi dan diasumsikan nilai E (Z ) dapat diperoleh dengan mudah dan penaksir tak bias untuk θ adalah : 1. θˆ = Y 2. θˆc = Y + c( Z − E ( Z ))

dimana c merupakan sebuah bilangan real sehingga E (θˆc ) = θ dan memiliki nilai varians

Var(θˆc ) adalah : Var(θˆc ) = Var(Y ) + c 2Var( Z ) + 2cCov(Y , Z )

(5)

diharapkan nilai Var(θˆc ) minimum dengan memilih nilai c tertentu, dengan menggunakan kalkulus didapat nilai c adalah :

c∗ = −

Cov(Y , Z ) Var ( Z )

(6) Subsitusi nilai c ∗ kedalam persamaan 1 didapat:

Cov(Y , Z ) Var (θˆc ) = Var (Y ) − Var ( Z )

2

(7) Dari persamaan 3 dapat dilihat bahwa nilai Var(θˆc ) akan tereduksi jika nilai Cov (Y , Z ) ≠ 0 dalam hal ini variabel Z adalah control variate Y . Modifikasi algoritma

simulasi yang akan dilakukan adalah dengan memasukan variabel Z dalam persamaan sbb:


Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010 n

∑ (Y + c (Z ∗

θˆc∗ =

i

− E ( Z ))

i

i =1

(8)

n

Sedangkan nilai Cov (Y , Z ) ditaksir melalui simulasi awal sbb: p

∑ (Y Cov(Y , Z ) =

j

− Y p )( Z j − E ( Z ))

j =1

p −1

(9)

p

∑ (Z Var ( Z ) =

− E ( Z j )) 2

j

j =1

(10)

p −1

Sehingga didapat

cˆ∗ = −

Cov(Y , Z ) Var(Z )

Secara lengkap algoritma metode control variates disajikan sbb:

3. Desain Simulasi



Untuk mengetahui performasi nilai taksiran dengan

menggunakan algoritma

Metode Control Variates akan ditaksir nilai taksiran dari nilai ekspektasi 2

θ = E (e (U +W ) ) dengan prosedur simulasi sbb: 1. Bangkitkan 1000 sampel IID U(0,1) untuk masing-masing nilai U1 ,...,U n dan

W1 ,...,Wn 2. Hitung nilai fungsi 2

2

Y1 = e (U1 +Wn ) ,..., Yn = e (U n +Wn ) dan Z1 = (U 1 + W1 ) 2 ,..., Z n = (U n + Wn ) 2

3. Hitung nilai cˆ∗ = −

Cov(Y , Z ) Var(Z )

4. Ulangi langkah 1 dan 2 dan hitung nilai V = Y + cˆ∗ ( Z − E ( Z )) 5. Hitung E (V )

2

Tabel 1 Nilai Taksiran θ = E (e (U +W ) )

Metoda

Rata-rata

Varians

Control Variates

4.9329

3.1218

Non Control Variates

5.0340

6.2507

4. Kesimpulan dan Saran Integral Monte Carlo dengan metode Control Variates merupakan salah satu alternatif yang dapat dipilih untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu. Ada beberapa keuntungan dari metoda ini:



1.

Perhitungan dengan metoda ini relatif mudah

2.

Dapat digunakan untuk mencari hampiran integral tentu yang interval pengintegralannya berupa interval yang panjangnya tak berhingga.

3.

Dapat digunakan untuk mencari hampiran dari integral tentu dari fungsi lebih dari satu peubah.

4.

Nilai hampiran yang diperoleh relatif cukup baik, asal dipilih n yang cukup besar

Daftar Pustaka

Edwin J.Purcell , Calkulus and Analytic Geometri , 7th ed.,Prentice Hall. Hogg, R.V., and Craig, Introduction to Mathematical Statistics,5th ed. . Macmillan. Ross, Shelldon.M, Simulation,Harcourt Academic Press, 1997.


(S.3) EVALUASI INTEGRAL MONTE CARLO DENGAN METODE CONTROL VARIATES

Recommend Documents