PENGANTAR
6
MONTE CARLO
Pada bab ini dibahas pengantar ke pemahaman tentang metode Monte Carlo, yang sangat berperan dalam bidang fisika lanjut, terutama diimplementasikan pada sistem-sistem dengan sejumlah besar derajat kebebasan, dan cocok dipakai dalam pembicaraan mengenai kasus-kasus mekanika kuantum dan mekanika statistik. Materi disini, hanya menyinggung konsep dan strategi dasar dari metode Monte Carlo,
se bagai gambaran awal komputasi numerik untuk tinjauan sistem skala
mikroskopik.
A. SASARAN UMUM Sasaran umum dari perkuliahan ini adalah memberikan pemahaman mendasar kepada mahasiswa sebuah konsep komputasi numerik dari metode Monte Carlo, di dalam menyelesaikan kasus-kasus sistem banyak derajat kebebasan.
B. SASARAN KHUSUS Setelah perkulia han selesai dilaksanakan, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menjelaskan strategi dan konsep dasar dari metode Monte Carlo 2. Menjelaskan sistem skala mikroskopik dan pendekatan komputasi numerik 3. Menjelaskan kedudukan bilangan acak (random) dan cara membangkitkannya dalam metode Monte Carlo. 4. Mengimplementasikan metode Monte Carlo dalam program terkait kasus-kasus sederhana integral lipat yang ditangani.
C. URAIAN MATERI 6.1 Sistem Banyak Derajat kebebasan Sistem dengan sejumlah besar derajat kebebasan seringkali menarik perhatian di fisika. Gambaran sistem seperti ini seringkali melibatkan ( atau bisa direduksi menjadi ) evaluasi terhadap integral dimensi tinggi. Sebagai contoh, fungsi partisi klasik untuk sejumlah A atom-atom gas, pada temperatur 1/â yang berinteraksi melalui potensial v adalah sebanding dengan integral 3A dimensi Äfisika-komputasi ⊇
102
Z = ∫ d 3 r1 ...d 3 rA e
− β ∑i < j v (rij )
(6.1)
Dalam bidang fisika, integral lipat dua dan lipat tiga atau bahkan integral untuk dimensi yang lebih tinggi lagi sering dijumpai. Proses perhitungan integral semacam ini akan memakan waktu yang sangat lama jika dikerjakan untuk h yang kecil sedangkan batas integrasi yang harus dihitung cukup besar. Sebagai contoh, untuk memahami bentuk penyelesaian integral pada persamaan (6.1) , berarti harus ditinjau bahwa integral meliputi tiap koordinat untuk mengambil 10 nilai berbeda, sehingga integrand harus mengevaluasi sebanyak 103A titik. Misal sederhananya nilai A=20 dan sebuah komputer yang super cepat mampu melakukan 107 evaluasi perdetik, maka proses ini akan memakan waktu 1053 detik, lebih dari 1034 kali umur alam semesta! Untuk mengatasi hal ini metode Monte Carlo dapat dipakai untuk mempercepat hitungan. Nama
Monte
Carlo
diambil
dari
meja
kasino
di
Monaco
yang
menggambarkan adanya sifat aca k (random) atau kebolehjadian dari perhitungan ini. Ide dasarnya adalah tidak mengevaluasi integrand pada tiap titik pada sejumlah besar titik-titik integrasi, tetapi hanya mengambil beberapa titik acak pada sumbu absis, sebagai pengganti dari titik integrasi yang sudah dibahas pada bab sebelumnya. Metode seperti ini sangat cocok untuk meramalkan hasil in tegrasi berdimensi tinggi dan dengan batas integrasi yang luas karena hasil integrasinya dapat diwakili oleh beberapa titik sampel yang jumlahnya dapat dipilih sesuai kebutuhan.
6.2 Strategi Dasar Metode Monte Carlo Meskipun kekuatan metode Monte Carlo adalah mengevaluasi integral multi dimensi, tetapi metode ini bisa memberikan ilustrasi ide dasar pada situasi 1 dimensi dengan sangat mudah. Tinjau suatu bentuk integral sebagai berikut: I=
b
∫a f ( x)dx
(6.2)
untuk fungsi sebarang f. Salah satu alternatif penyelesaiannya adalah rata-rata f pada interval [a,b], dengan formula I = (b − a )
1 N
N
∑ f ( xi)
(6.3)
1
Äfisika-komputasi ⊇
103
dimana xi terdistibusi mera ta antara x=a dan x=b, dan dalam hal ini ada N buah xi yang diambil secara acak sebagai sampel dalam perhitungan integrasi tersebut. Jika diambil interval [0,1] formula (6.3) memberikan hasil I≈
1 N ∑ f ( xi) N 1
(6.4)
Untuk memperkirakan ketidakpastian berkaitan dengan formula integrasi ini, bisa ditinjau f i ≡ f ( xi ) sebagai variabel acak dan memenuhi teorema batas pusat untuk N yang besar. Dari hukum statistik, kita dapatkan bahwa σi
2
1 11 2 ≈ σf = N N N
N
∑ i =1
1 fi − N 2
N
∑ i =1
fi
2
(6.5)
dimana σi adalah variansi dalam f. 2
Persamaan (6.5) memberikan dua aspek penting pada integrasi Monte Carlo, yaitu: 1. Ketidakpastian pada estimasi integral, σ i , berkurang sebagai N-1/2. Semakin banyak titik yang digunakan, akurasi akan semakin baik, meskipun kesalahan akan berkurang sangat lambat. 2. Presisi akan semakin baik, jika σ
f
semakin kecil. Artinya f sehalus mungkin.
Kelemahannya adalah ketika f adalah konstant yang dalam hal ini hanya bisa dievaluasi pada 1 titik saja .
Contoh 6.1 Buatlah program sederhana integrasi fungsi trigonometri f(x)=sin(2x) pada batas x=ð/2 sampai x= ð , dengan jumlah titik sampel N=100 buah, dan eveluasi deklarasinya solusi Dalam bentuk program berdasarkan persamaan (6.3) DEF FNF(x)=sin(2*x) N=100 Äfisika-komputasi ⊇
104
Integral=0 a=3,1416/2; b=3,1416; FOR i=1 TO N x=a+ RND*(b-a) Integral=Integral+FNF(x) NEXT i Hasil Integral=Integral*(b-a)/N END a adalah batas bawah integrasi dan b adalah batas atasnya. x=a+ RND*(b-a) pada baris ke 7 menyatakan bahwa nilai x terdistribusi merata pada selang [a,b]. RND adalah deklarasi untuk membangkitkan fungsi Random yang biasanya disediakan sebagai library pada bahasa pemrograman.
Contoh 6.2 Evaluasi dengan program, untuk menghitung integral fungsi 1
dx
∫1+ x 0
2
=
π = 0,78540 4
dengan input nilai N, dan estimasikan presisinya. Solusi Program dalam BASIC 10 DEF FNF(x)=1/( 1+X^2) 20 INPUT “masukkan nilai N”; N% 30 JumF=0; JumF2=0 40 For I%=1 TO N% 50 x=RND: Fx=FNF(x) 60 JumF=JumF+Fx: JumF2=JumF2+Fx^2 70 Next I% 80 Frerata=JumF/N% 90 Sigma=SQR((JumF2/N% -Frerata^2)/N%) 100 Print Using “integral=#.#### +- #.####”; Frerata, Sigma Running program untuk variasi nilai N diberikan pada tabel berikut ini: N
I
10 20 50 100 200 500 1000 2000
0,81491 0,73535 0,79606 0,79513 0,78677 0,78242 0,78809 0,78790
σi 0,04638 0,03392 0,02259 0,01632 0,01108 0,00719 0,00508 0,00363 Äfisika-komputasi ⊇
105
5000
0,78963
0,00227
Hasil komputasi sama dengan nilai eksak dengan kecilnya standar deviasi ( biasanya kurang dari satu) dan integrasi menjadi lebih presisi dengan bertambahnya N.
Jika Monte Carlo diimplementasikan untuk menyelesaikan integral dua dimensi seperti pada persamaan berikut I=
b
d
a
c
∫ ∫ f ( x, y)dxdy
(6.6)
akan memberikan formula penyelesaian: I = (b − a )(d − c)
1 N
N
∑ f ( xi, yi)
(6.7)
1
dimana xi terdistribusi merata antara x=a dan x=b, dan yi terdistribusi merata antara y=c dan y=d. Dalam hal ini ada N buah xi dan yi yang diambil secara acak sebagai sampel dalam perhitungan integral.
Contoh 6.3 Buatlah program sederhana untuk mengevaluasi fungsi integral lipat dua berikut: 7
10
∫ ∫ (−2 xy)dydx
x= 5 y= 2
dengan jumlah titik sampel N=100.
solusi Dalam bentuk program berdasarkan persamaan (6.7), proses ini dapat digambarkan sebagai berikut DEF FNF(x,y)= -2*x*y N=100 Integral=0 a=5; b=7; c=2; d=10; FOR i=1 TO N x=a+ RND*(b-a); Äfisika-komputasi ⊇
106
y=c+RND*(d-c); Integral=Integral+FNF(x,y); NEXT i Hasil_Integral=Integral*(b-a)*(d-c)/N PRINT Hasil_Integral; END D. SOAL-SOAL (6.1)
Hitunglah integral fungsi 3
x 2 dx ∫1 3 dengan N=5,20,40 dan 100 serta cek dengan nilai analitiknya. (6.2)
Buatlah program sederhana untuk mengevaluasi fungsi integral lipat dua berikut: 4
5
∫ ∫ (x x= 2 y =1
2
y)dydx
dengan jumlah titik sampel N=100. (6.3)
Sempurnakan program pada contoh (6.1) dan running untuk memperoleh hasil komputasinya. Sertakan analisa presisinya.
(6.4)
Jelaskan bagaimana Bilangan random dibangkitkan !
(6.5)
Hitunglah integral lipat tiga berikut dengan Monte Carlo 2
2
4
∫ ∫ ∫ (6 xyz)dydxdz
x= 0 y= 1 z = 1
dengan N=10, 20 dan 40. cek dengan nilai analitiknya. E. DAFTAR PUSTAKA Koonin, S.E., Computational Physics, Addison-Wesley Inc, 1986 Potter, David., Computational Physics , John Willey & Sons, 1988 Payne, James A., Introduction to Simulation, Programming Technique and Methods of Analysis, McGraw-Hill International Editions, 1988.
Äfisika-komputasi ⊇
107
