Výpočet nejistot metodou Monte carlo

ˇ INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVÁNÍ

Výpočet nejistot metodou Monte carlo ˇ Mgr. Martin Šíra, Ph.D. (CMI, Brno) cˇ erven 2012

ˇ Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpoˇctem Ceské republiky. – p. 1

Výpočty nejistot V metrologii jsou převážně používány dvě metody: GUM Uncertainty Framework (GUF) dokument Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM), 1995 Metoda Monte Carlo dokument Evaluation of measurement dat – Suplement 1 to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement"– Propagation of distributions using a Monte Carlo method, 2008

dokumenty online http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html

– p. 2


schéma metody GUF

– p. 3


vzorce v metodě GUF standardní nejistoty:

u 2 (x

i) =

1 n(n−1)

u 2 (xi ) = a2 /3, u 2 (xi ) = a2 /6, . . .

P

2, (q − q) i i

– p. 4



u 2 (x

i) =

1 n(n−1)

u 2 (xi ) = a2 /3, u 2 (xi ) = a2 /6, . . . ∂f ∂xi .

P

2, (q − q) i i

= i ci2 u 2 (xi ). citlivostní koeficienty: ci = P P 1 ∂ 2 f 2 ∂f ∂ 3 f 2 (x )u 2 (x ) + u 2 i j j i 2 ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi ∂x u 2 (y )

P

j

– p. 4



u 2 (x

i) =

1 n(n−1)

u 2 (xi ) = a2 /3, u 2 (xi ) = a2 /6, . . . ∂f ∂xi .

P

2, (q − q) i i


P

j

korelované vstupní veličiny: 2

P P i

∂f ∂f j ∂xi ∂xj u(xi , xj )

– p. 4



u 2 (x

i) =

1 n(n−1)

u 2 (xi ) = a2 /3, u 2 (xi ) = a2 /6, . . . ∂f ∂xi .

P

2, (q − q) i i


P

j


P P

efektivní stupeň volnosti: νeff =

i


uc4 (y ) P ui4 (y ) i

νi

– p. 4



u 2 (x

i) =

1 n(n−1)

u 2 (xi ) = a2 /3, u 2 (xi ) = a2 /6, . . . ∂f ∂xi .

P

2, (q − q) i i


P

j


P P i


uc4 (y ) P ui4 (y ) i

koeficient pokrytí: 1 − α = p = 1 − 2α

R t1−α

− inf


νi

f (t, νeff )dt, k = tp ,

– p. 4



u 2 (x

i) =

1 n(n−1)

u 2 (xi ) = a2 /3, u 2 (xi ) = a2 /6, . . . ∂f ∂xi .

P

2, (q − q) i i


P

j


P P i


uc4 (y ) P ui4 (y ) i

koeficient pokrytí: 1 − α = p = 1 − 2α

R t1−α

− inf


νi

f (t, νeff )dt, k = tp ,

rozšířená nejistota: U = kuc (y ), Y − U ≤ Y ′ ≥ Y + U – p. 4



u 2 (x

i) =

1 n(n−1)

P

2, (q − q) i i

Z Z u 2 (x ) = a2 /3, u 2 (x ) = a2 /6, . . . i Z i P Z ∂f 2 u 2 (x ). 2 (y ) = Z c . u citlivostní koeficienty: c = i i i i ∂xi Z Z 2 P P 1Z ∂ 2 f ∂ 3 f ∂f 2 (x )u 2 (x ) + u 2 Z i j j i 2 ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj Z Z P P ∂f ∂f Z korelované vstupní veličiny: 2 i j ∂xi ∂xj u(xi , xj ) ZZ Z uc4 (y ) Z efektivní stupeň volnosti: νeff = P u4 (y ) Z i i Z νi R t1−αZZ koeficient pokrytí: 1 − α = − inf f (t, Z νeff )dt, k = tp , Z p = 1 − 2α Z Z rozšířená nejistota: U = kuc (y ), Y − U ≤ YZ′Z≥ Y + U

KOMPLIKOVANÉ(?)

– p. 4


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů využití:

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů využití: ◮ řešení diferenciálních rovnic

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů využití: ◮ řešení diferenciálních rovnic ◮ počítání určitých integrálů

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů využití: ◮ řešení diferenciálních rovnic ◮ počítání určitých integrálů ◮ simulace experimentů, převážně:

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů využití: ◮ řešení diferenciálních rovnic ◮ počítání určitých integrálů ◮ simulace experimentů, převážně: štěpné reakce

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů využití: ◮ řešení diferenciálních rovnic ◮ počítání určitých integrálů ◮ simulace experimentů, převážně: štěpné reakce difuze plynů

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů využití: ◮ řešení diferenciálních rovnic ◮ počítání určitých integrálů ◮ simulace experimentů, převážně: štěpné reakce difuze plynů proudění tekutin

– p. 5


Metoda Monte Carlo

třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodných dějů využití: ◮ řešení diferenciálních rovnic ◮ počítání určitých integrálů ◮ simulace experimentů, převážně: štěpné reakce difuze plynů proudění tekutin ˇ nejistot ◮ výpocet

– p. 5


historie MMC

vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a Nicholas Metropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomové bomby

– p. 6


historie MMC

vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a Nicholas Metropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomové bomby Ulam měl myšlenku používání náhodných čísel

– p. 6


historie MMC

vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a Nicholas Metropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomové bomby Ulam měl myšlenku používání náhodných čísel von Neumann použil generování náhodných čísel místo seznamu náhodných čísel

– p. 6


historie MMC

vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a Nicholas Metropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomové bomby Ulam měl myšlenku používání náhodných čísel von Neumann použil generování náhodných čísel místo seznamu náhodných čísel Metropolis vypracoval algorithmy

– p. 6


historie MMC

vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a Nicholas Metropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomové bomby Ulam měl myšlenku používání náhodných čísel von Neumann použil generování náhodných čísel místo seznamu náhodných čísel Metropolis vypracoval algorithmy pojmenováno po městě Monte Carlo, kde Ulamův strýc často prohrálval v kasinu

– p. 6


Monte Carlo, Monako

Autor fotografie: Joseph Plotz

– p. 7


Příklad použití MMC Výpočet Ludolfova čísla: π = 3, 14159 . . . 1

0.5

0 -1

-0.5

0 -0.5

-1

0.5

1

Obsah kruhu: Obsah čtverce: Počet bodů: Počet bodů v kruhu:

S1 = πr 2 S2 = r 2 N M

S1 M M πr 2 ⇒π= = 2 = S2 r N N

– p. 8


Průběh výpočtu π 1 0.8 0.6

10:

0.4 0.2 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

– p. 9


Průběh výpočtu π

10:

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

100:

0.4 0.2

0.4 0.2

0

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

– p. 9



10:

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

100:

0.4 0.2

0.4 0.2

0

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 0.8 0.6

1000:

0.4 0.2 0

– p. 9



10:

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

100:

0.4 0.2

0.2

0

0 0

1000:

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

10000:

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.4

0.2 0

0

– p. 9


Výsledek výpočtu π MMC 3.2 3.1 3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 10

100

1000

10000

100000

1e+06

Zvýšením řádu opakování získáme obvykle jednu cifru π. (Moderní iterační metody přidají 5 cifer π každým výpočetním krokem.)

– p. 10


Čísla musí být náhodná

1

0.5

0 -1

-0.5

0

0.5

1

100 π 6= =1 100

-0.5

-1

– p. 11


Proč ne pravidelné rozložení čísel? Hra lodě: hrací pole:

hrací pole:

– p. 12


Proč ne pravidelné rozložení čísel? Hra lodě: pravidená střelba:

náhodná střelba:

– p. 12


Proč ne pravidelné rozložení čísel? Hra lodě: žádný zásah

čtyři zásahy!

– p. 12


Nejistoty metodou Monte Carlo

Postup: vytvoření matematického modelu děje

– p. 13



Postup: vytvoření matematického modelu děje určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličin

– p. 13



Postup: vytvoření matematického modelu děje určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličin provedení dostatečného počtu simulací

– p. 13



Postup: vytvoření matematického modelu děje určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličin provedení dostatečného počtu simulací zpracování výpočetních hodnot stochastickými metodami

– p. 13



Postup: vytvoření matematického modelu děje určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličin provedení dostatečného počtu simulací zpracování výpočetních hodnot stochastickými metodami určení nejpravděpodobnější hodnoty a nejistoty

– p. 13


Jednoduchý příklad matematický model: Y = A + B

– p. 14


Jednoduchý příklad matematický model: Y = A + B hodnoty: A = B = 0.5

– p. 14


Jednoduchý příklad matematický model: Y = A + B hodnoty: A = B = 0.5 nejistoty: u(A) = u(B) = 0.5, normální rozdělení

– p. 14


Jednoduchý příklad matematický model: Y = A + B hodnoty: A = B = 0.5 nejistoty: u(A) = u(B) = 0.5, normální rozdělení

Y =

1

0

0,5

1

+ 0

0,5

– p. 14


Jednoduchý příklad – výpočet A1 = 0, 8 1, ⇒ Y = 1, 3 B1 = 0, 5

Histogram:

0

1

– p. 15



Histogram:

A2 = 0, 34 2, ⇒ Y = 0, 54 B2 = 0, 1

0

1

– p. 16



Histogram:

A2 = 0, 34 2, ⇒ Y = 0, 54 B2 = 0, 1 A3 = 0, 07 3, ⇒ Y = 1, 3 B3 = 1, 23 0

1

– p. 17



Histogram:

A2 = 0, 34 2, ⇒ Y = 0, 54 B2 = 0, 1 A3 = 0, 07 3, ⇒ Y = 1, 3 B3 = 1, 23 ... 106 ,

A = 0, 11 ⇒ Y106 = 0, 52 B106 = 0, 42 106

0

1

– p. 18



Histogram:

A2 = 0, 34 2, ⇒ Y = 0, 54 B2 = 0, 1 A3 = 0, 07 3, ⇒ Y = 1, 3 B3 = 1, 23 ... 106 ,

A = 0, 11 ⇒ Y106 = 0, 52 B106 = 0, 42 106

0

1

– p. 19


Určení nejistoty Nejistota: pravá hodnota Y se nachází v daném intervalu s nejistotou p. Určení nejistoty odpovídá nalezení plochy pod křivkou odpovídající p z celkové plochy křivky.

– p. 20


Určení nejistoty Nejistota: pravá hodnota Y se nachází v daném intervalu s nejistotou p. Určení nejistoty odpovídá nalezení plochy pod křivkou odpovídající p z celkové plochy křivky. 68,27% plochy 15,87% plochy

15,87% plochy

-u

+u

– p. 20


Určení nejistoty Nejistota: pravá hodnota Y se nachází v daném intervalu s nejistotou p. Určení nejistoty odpovídá nalezení plochy pod křivkou odpovídající p z celkové plochy křivky. 95,45% plochy 2,28% plochy

-U

2,28% plochy

+U

– p. 20


schéma metody Monte Carlo

– p. 21


GUF vs MMC x1, u(x1)

GUF

x2, u(x2)

Y = f (X )

y, u(y)

x3, u(x3)

gX 1 (ξ1)

MMC Y = f (X )

gX 2 (ξ2)

gY (η)

gX 3 (ξ3)

– p. 22


výhody a nevýhody MMC

Lze počítat i s kompikovanými rozděleními a komplexními čísly.

– p. 23



Lze počítat i s kompikovanými rozděleními a komplexními čísly. Je třeba mít generátor náhodných čísel a vhodný software.

– p. 23



Lze počítat i s kompikovanými rozděleními a komplexními čísly. Je třeba mít generátor náhodných čísel a vhodný software. Není třeba derivovat.

– p. 23



Lze počítat i s kompikovanými rozděleními a komplexními čísly. Je třeba mít generátor náhodných čísel a vhodný software. Není třeba derivovat. Nelze počítat na papíře.

– p. 23



Lze počítat i s kompikovanými rozděleními a komplexními čísly. Je třeba mít generátor náhodných čísel a vhodný software. Není třeba derivovat. Nelze počítat na papíře. Není třeba odhadovat a počítat stupně volnosti.

– p. 23


složitý příklad – ukázka chyby GUF Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements, Annex H, příklad koncových měrek:

– p. 24


složitý příklad – ukázka chyby GUF

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements, Annex H příklad koncových měrek GUF:

δL = (838 ± 62) nm, k = 2, t-rozdělení, p = 95, 45%

– p. 25


složitý příklad – ukázka chyby GUF

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements, Annex H příklad koncových měrek GUF:

δL = (838 ± 62) nm, k = 2, t-rozdělení, p = 95, 45% MMC:

δL = (838 ± 67) nm, p = 95, 45%, 53 × 104 opakování

– p. 25


kdy použít MMC?

když vstupní veličiy mají "divoká rozdělení"

– p. 26


kdy použít MMC?

když vstupní veličiy mají "divoká rozdělení" když citlivostní koeficienty jsou nulové

– p. 26


kdy použít MMC?

když vstupní veličiy mají "divoká rozdělení" když citlivostní koeficienty jsou nulové když zvítězí lenost derivovat

– p. 26


Centrální limitní věta Velké množství libovolných vstupních rozdělení dá výsledné normální rozdělení.

– p. 27


software pro MMC

Obecné programy:

Matlab ($), Octave, R, . . .

– p. 28


software pro MMC

Obecné programy:

Matlab ($), Octave, R, . . . Specializované programy:

Gum Workbench Pro, Qualisyst QMSys GUM Professinal, OpenBugs.

– p. 28


software pro MMC

Obecné programy:

Matlab ($), Octave, R, . . . Specializované programy:

Gum Workbench Pro, Qualisyst QMSys GUM Professinal, OpenBugs. Nevhodné programy:

Excel 2000, 2003, skriptovací jazyk VBA v Excelu 2007, (Excel 2010?)

– p. 28


Děkuji za pozornost

– p. 29


Výpočet nejistot metodou Monte carlo

Recommend Documents