Konsep Dasar Peluang
Pendahuluan Prediksi kejadian sangat diperlukan dan diminati dalam
berbagai bidang kehidupan. Seperti peramalan cuaca, penelitian ilmiah, permainan, bisnis, dll. Ruang contoh : Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, dan dilambangkan dengan huruf S. S = {1,2,3,4,5,6} adalah kejadian angka pada sebuah dadu. Kejadian : suatu himpunan bagian dari ruang contoh. S = {merah, jingga, kuning} A = {merah} adalah kejadian sederhana B = {jingga U kuning} = {jingga, kuning} adalah kejadian majemuk
Pengertian Probabilitas adalah harga perbandingan jumlah
kejadian (A) yang mungkin dapat terjadi terhadap (N) jumlah keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi dalam sebuah peristiwa.
P(A) = Peluang
n(A) = Banyaknya kejadian A n(N) = Banyaknya seluruh kejadian
Contoh Berapakah peluang munculnya angka ganjil pada
pelemparan sebuah dadu? Answer: Peluang munculnya angka ganjil pada tiap lemparan adalah 1,3, dan 5. Maka :
Keterkaitan Antar Kejadian Hubungan atau
Peluang akan semakin besar Ex: Peluang munculnya angka 3 atau 4 pada pelemparan sebuah dadu adalah :
Hubungan dan
Peluang akan semakin kecil Peluang munculnya angka 3 dan 4 pada pelemparan sebuah dadu adalah :
Kaidah Penjumlahan Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka :
example: Peluang seorang mahasiswa lulus statistika adalah 2/3 dan peluang lulus matematika adalah 4/9. Peluang sekurangkurangnya lulus salah satu pelajaran tersebut adalah 4/5. Berapa peluang lulus kedua pelajaran tersebut?
Kaidah Penjumlahan Bila A dan B adalah dua kejadian terpisah, maka :
example : Dari pelemparan 2 buah dadu, A adalah kejadian munculnya jumlah 7 dan B adalah kejadian munculnya angka 11. Kejadian A dan B adalah saling terpisah karena tidak mungkin terjadi bersamaan. Berapa peluang jumlah 7 atau jumlah 11? p(A) = 1/6 p(B)=1/18
Kaidah Penjumlahan Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu
merupakan komplemen lainnya, maka : Example:
Peluang tidak munculnya angka 3 pada pelemparan sebuah dadu adalah:
Peluang Bersyarat Adalah peluang dengan suatu syarat kejadian lain. Contoh : Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui suatu kejadian A telah terjadi. Dilambangkan : P(B|A) Didefinisikan :
Contoh : Populasi sarjana berdasarkan jenis kelamin dan status pekerjaan. Laki-Laki Perempuan
Bekerja 300 200
Menanggur 50 30
Peluang Bersyarat Kejadian-kejadian
A = yang terpilih laki-laki B = yang telah bekerja Jawaban :
Peluang Bersyarat Peluang bersyarat untuk kejadian bebas, kejadian
satu tidak berhubungan dengan kejadian lain. P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A)
Contoh : Percobaan pengambilan kartu berturut dengan pengembalian. A : Kartu pertama Ace B : Kartu kedua sekop Karena kartu pertama kemudian dikembalikan, ruang contoh untuk pengembalian pertama dan kedua tetap sama yaitu 52 kartu yang mempunyai 4 ace dan 13 sekop.
Peluang Bersyarat Jawab :
atau
Jadi A dan B adalah kejadian yang saling bebas.
Kaidah Penggandaan Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B
keduanya dapat terjadi sekaligus, maka
Contoh :
A : kejadian bahwa sekering pertama rusak. B : kejadian bahwa sekering kedua rusak. : A terjadi dan B terjadi setelah A terjadi
Kaidah Penggandaan Peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan pertama adalah ¼ dan peluang mendapatkan sekering rusak pengambilan kedua adalah 4/19. Jadi :
Kaidah Penggandaan Bila dua kejadian A dan B bebas, maka
Contoh: A dan B menyatakan bahwa mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap digunakan, maka: P(A) = 0.98 p(B) = 0.92 A dan B saling bebas.
Kaidah Bayes Jika kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk merupakan
sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) != 0 untuk i = 1, 2, …, k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) != 0. P( Br | A)
P( Br ) P( A | Br ) P( B1) P( A | B1) P( B 2) P( A | B 2) P( Bk ) P( A | Bk )
untuk r = 1, 2, …, k
Kaidah Bayes Contoh
Tiga anggota organisasi A telah dicalonkan sebagai ketua. Peluang Pak Andi terpililih adalah 0.4. Peluang Pak Budi terpilih adalah 0.1. Peluang Pak Dedi terpilih adalah 0.5. Seandainya Pak Andi terpilih kenaikan iuran anggota 0.5, Pak Budi dan Pak Dedi masing-masing 0.3 dan 0.4 Berapa peluang Pak Andi terpilih setelah terjadinya kenaikan iuran anggota. Jawab: A : iuran anggota dinaikkan B1 : Pak Andi terpilih B2 : Pak Budi terpilih B3 : Pak Dedi terpilih
Kaidah Bayes P(B1) P(A|B1) = (0.4)(0.5) = 0.20 P(B2) P(A|B2) = (0.1)(0.3) = 0.30 P(B3) P(A|B3) = (0.5)(0.4) = 0.20
0.20 P( B1 | A) 0.285 0.20 0.30 0.20
Permutasi Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda. Permutasi adalah urutan unsur-unsur dengan memperhatikan urutannya, dan dinotasikan dengan nPr , yang artinya ‘Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia‘
Contoh : Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua. Hitung banyaknya titik contoh dalam ruang contohnya.
Permutasi Banyaknya permutasi n benda dari n benda yang berbeda ada
n! Contoh : Banyaknya permutasi empat huruf a, b, c, d adalah 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1n2 cara. (peraturan general) Contoh : Banyaknya permutasi yang mungkin bila kita mengambil 2 huruf dari 4 huruf tersebut.
Permutasi Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun
dalam suatu lingkaran adalah (n-1)! contoh : Banyaknya permutasi empat huruf a, b, c, d jika keempatnya disusun dalam sebuah lingkaran adalah 4-1! = 3x2x1=6 Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 di antaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, nk berjenis ke-k adalah
Permutasi Contoh : Berapa banyak susunan berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk pohon Natal dari 3 lampu merah, 4 kuning dan 2 biru?
Kombinasi Kombinasi adalah urutan r unsur dari n unsur yang tersedia dengan tidak memperhatikan urutannya, dan dirumuskan dengan: Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :
Contoh: Dari 4 orang anggota partai Republik dan 3 orang partai Demokrat, hitunglah banyaknya komisi yang terdiri atas 3 orang dengan 2 orang dari partai Republik dan 1 orang dari partai Demokrat yang dapat dibentuk.
Kombinasi Bayaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang partai Republik : Bayaknya cara memilih 1 orang dari 3 orang partai Demokrat: Dengan menggunakan peraturan general, maka banyaknya komisi yang dibentuk dari 2 orang partai Republik dan 1 orang partai Demokrat adalah 6 x 3 = 18.
Soal Permutasi 6P5 Ada 4 pasang suami istri, maka berapa carakah yang
dapat dilakukan agar dapat dibentuk kelompok yang terdiri atas 3 orang?, lalu berapa cara yang dapat dilakukan agar dapat dibentuk kelompok yang terdiri atas 3 orang (2 orang laki- laki dan 1 orang wanita)?
Resource Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H. 2003. Ilmu
Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 6. Bandung: Penerbit ITB.
