ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

ÖKONOMETRIA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter 2010. június

ÖKONOMETRIA 8. hét Heteroszkedaszticitás, multikollinearitás Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Heteroszkedaszticitás fogalma Próbák Következmények Megoldások Multikollinearitás – definíció, következmények Röviden az endogenitásról

Heteroszkedaszticitás fogalma Alapmodell feltevése Var(ui) = σ2 minden i-re – homoszkedaszticitás Hibatagok varianciája nem állandó Var(ui) = σi2 minden i-re – heteroszkedaszticitás

2

Példa heteroszkedaszticitásra Fogyasztás modell (adatok: SHARE, 2004, Németország – élelmiszer kiadások)

Ci   0  1Inci   2Th _ Wealthi  ui Cˆ i  379.6  0.02 Inci  0.007Th _ Wealthi Reziduálisok eloszlása jövedelem függvényében

2,000

1,500

RESID01

1,000

500

0

-500

-1,000

Alternatív modell log Ci   0  1 log Inci   2 log Th _ Wealthi  ui log Cˆ i  4.63  0.15 log Inci  0.05Th _ Wealthi

0

10,000

20,000

30,000

40,000

30,000

40,000

INC

Reziduálisok eloszlása jövedelem függvényében

1.6 1.2 0.8

RESID02

0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 -1.6 -2.0 0

10,000

20,000 INC

Próbák 1. White-próba Kérdés: Van-e szisztematikus tényező maradéktag varianciájában? 2

White-próba: uˆi regressziója magyarázó változókon, azok négyzetein és keresztszorzatain → F- vagy khi-négyzet próba együtthatók szignifikanciájára 3

Próbák 2. Breusch-Pagan próba 2

Segédregresszió: uˆi regressziója z1,..., zk magyarázó változókon (amikről azt gondoljuk, hogy a varianciát befolyásolják) S0 segédregresszió négyzetösszege (ESS) R2 segédregresszió det. együtthatója σ2 (eredeti!) hibatagok becsült varianciája LM-teszt a segédregresszió használhatóságára, ami u normális eloszlása esetén kifejezhető másképpen is:

  nR 2 ~  k2

(és (és 

S0 hauu normális) normális) ha 2ˆ 4

Következmény 1. Szokásos standard hiba becslés nem jó Egyváltozós modell yi = α + βxi + ui, Var(ui) = σi2 →

ˆ  

xi  x  yi  y  x  x ui  i 2  xi  x   xi  x 2

Torzítatlan (E(ui) = 0; xi, ui függetlenek)   xi  x ui   xi  x 2  i2  Var ( ˆ )  Var  2 2   x  x 2  i    xi  x 



Homoszkedaszticitás esetén:

Var ( ˆ ) 



2

 x  x 

2

i

Torzított varianciabecslést ad heteroszkedaszticitás esetén! – Szokásos tesztek nem használhatók.

4

Következmény 2. OLS nem hatásos Példa: σi2 = σ2zi2 Súlyozott (homoszkedasztikus) modell:

yi x   i  vi zi zi

Új modellOLS (WLS) :  *    

( xi / zi )vi  ( xi / zi ) 2

Eredeti modellOLS : V ( ˆ )  V ( * )  V ( ˆ )

 x 

2 2 i 2

 (x / z )  x i

Cauchy–Schwarz:

i

2 2 i i

z

x   x  2 i

2 i 2 2 i

 2

V ( * ) 

2

 (x / z ) i

x z  x 

2

i

2 2 i i 2 2 i

1

 (a b )   a  b  2

i i

2 i

2 i

Megoldás 1. – White SE Heteroszkedaszticitás robusztus becslés becsült együttható varianciájára  ( xi  x )2 uˆi2 Kétváltozós modell: Var ( ˆ1 )  2 S xx Többváltozós modell:

Var ( ˆ j ) 

 rˆ uˆ

2 2 ij ij

RSS j

,

rij : reziduális x j regresszió jából többi magyarázó változón reziduális xj regressziójából többi magyarázó változón reziduálisnégyzetöss négyzetösszeg ugyanebbőlaaregresszió regresszióból RSS j : reziduális zeg ugyanebbőg ból ˆ   0 t t-teszt: robosztus SE

Aszimptotikusan t-eloszlású: nagy mintára használható csak

5

Megoldás 2 – WLS Súlyozott legkisebb négyzetek (WLS)

yi    xi  ui ,

V (ui )   2 zi2

yi x 1     i  vi , V (vi )   2 zi zi zi Ez utóbbi egyenletet becsüljük OLS-sel, ami súlyozott összeg minimalizálásának felel meg n

min  i 1

1 yi  ˆ  ˆxi 2 2 zi

Ha a variancia jól specifikált, akkor – hatásosabb, mint a sima OLS (sőt BLUE), – és kismintában is t- és F-eloszlású tesztek.

Példák: WLS yi = α + βxi + ui 1. gyakori eset: Var(ui) = σ2xi2 yi/xi = α/xi + β + ui/xi OLS-sel becsülendő 2. gyakori eset: Var(ui) = σ2xi yi/(xi1/2) = α/(xi1/2) + βxi1/2 + ui/(xi1/2) OLS-sel becsülendő Sokszor a magyarázó változó transzformálása (pl. logaritmizálása) megoldja a heteroszkedaszticitási problémát.

Megoldás 3.: TWLS, FGLS TWLS: two-step weighted least squares FGLS: feasible generalalised least squares 6

Lépések: 1. yi    1 x1i  ... k xki  ui becsléseOLS - sel 2. uˆi becsült hibatagok képzése 3. variancia specifikációja, pl. σ i2  exp( 0  1 x1i  ...) 4. log (uˆi2 ) regresszálása konstans,x1i , ..., xki változókon 5. gˆ i az illesztett értékek, hˆi  exp( gˆ i ) 6. Eredeti egyenlet becsléseWLS - sel,a hˆi súlyokkal

FGLS tulajdonságai Mivel a súlyokat becsültük, a becslőfüggvény nem torzítatlan. De konzisztens és aszimptotikusan hatásosabb, mint az OLS. Ha úgy gondoljuk, hogy nem specifikáltuk tökéletesen a varianciát, akkor használhatjuk itt is a White-féle standard hibákat.

Példa: dohányzást meghatározó tényezők vizsgálata Adatok (forrás: Wooldridge) CIGS: naponta elszívott cigaretták száma INCOME: éves jövedelem CIGPRIC: egy doboz cigaretta ára (cent) EDUC: iskolai évek száma AGE: életkor RESTAURN: vannak-e az adott tagállamban éttermi dohányzást korlátozó rendelkezések

7

OLS szokásos és robusztus standard hibákkal

Próbák

8

FGLS becslés

Eviews program equation eq_ols equation eq_olsrob eq_ols.ls cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn delete white delete breuschpagan freeze(white) eq_ols.hettest(type=white) freeze(breuschpagan) eq_ols.hettest(BPG) @regs eq_olsrob.ls(h) cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn forecast olsf genr olsres=cigs-olsf equation eq_logu2 genr logu2=log(olsres^2) eq_logu2.ls logu2 c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn forecast logu2f genr h=exp(logu2f) genr sqrth=h^(1/2) equation eq_fgls equation eq_fgls2 9

eq_fgls.ls(w=1/(h)^(1/2)) cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn eq_fgls2.ls cigs/sqrth 1/sqrth lincome/sqrth lcigpric/sqrth educ/sqrth age/sqrth age^2/sqrth restaurn/sqrth

Multikollinearitás Magas korreláció magyarázó változók között: Egyedi hatás nehezen kiszűrhető Alapmodell feltevéseinek nem mond ellent Tökéletes kollinearitás: függvényszerű kapcsolat Pl.: y = β1x1 + β2x2 + u, x2 = ax1 y = (β1 + aβ2) x1 + u

Következmények, megoldások Becsült együttható érzékeny változók hozzáadására, kihagyására Becsült együttható varianciája nőhet

2 2 Var ( ˆi )   RSS i Sii (1  Ri2 ) Magas, ha hibatag varianciája nagy vagy Sii alacsony vagy Ri2 magas (multikoll.: sem szükséges, sem elégséges) Lehetséges megoldások Változó kihagyása: variancia csökken, de torzítás! Adatgyűjtés (nagyobb variancia x-ben) Változók „összevonása” (pl. hányados)

Endogenitás Endogenitás: az eltérésváltozó korrelált a magyarázó változóval Yi= α + βXi + ui E(ui|xi) ≠ 0 Következmény: β OLS becslése torz és inkonzisztens 10

Endogenitás néhány lehetséges oka Kihagyott változó (u tartalmaz valamit, ami korrelált X-szel) Szimultaneitás (nemcsak X hat Y-ra, hanem Y is X-re: u miatt változik Y, és ez hat X-re) Pl. kereslet–kínálati modellek Önszelekció hatásvizsgálatokban: „kezelés” (pl. programba való beválogatás) nem független a hibatagtól Vállalatoknak nyújtott támogatás hatása az eredményességre Stb.

Összefoglalás Házi feladatok Példatípusok a zárthelyin Regressziós outputok értelmezése Elméleti, kifejtősebb kérdések Hogyan ismerhetők fel a kiugró értékek, milyen teendők vannak outlierek esetén? Gauss-Markov tétel kimondása Előrejelzés standard hibája mitől függ az egyváltozós esetben Rövid válaszos feladatok Igaz / hamis állítások

Gyakorlat Heteroszkedaszticitás, multikollinearitás Maddala: 5/7, 5/8, 7/1, 7/3 Wooldridge: 8.1, 8.2, 8.3, 8.7, 8.9, (3.7, 3.11) 11

Megbeszélendő Heteroszkedaszticitás tesztelése, kezelése Multikollinearitás – valóban „probléma”? Adatok Egészségügyi kiadások modellje (HRS vagy SHARE rész-adatbázis) Heteroszkedaszticitás tesztelése Multikollinearitás: különböző jövedelem vagy vagyon indikátorok együttes bevonása

12