KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol, obce a ekologických sdružení. Reg. číslo CZ.1.07/1.1.00/14.0143

Předmluva Tento materiál, který právě čtete na monitoru nebo v papírové podobě, obsahuje vybrané partie matematiky, které se často objevují v přijímacích zkouškách na fakulty ekonomického směru. Najdete zde řešené úlohy, souhrny klíčových pojmů a vztahů. Je zde akcentována „matematická představivost“ – významnou část obsahu tvoří grafy často se vyskytujících funkcí, jejichž systematickým prostudováváním do hloubky získá uchazeč často více, než při bezmyšlenkovitém počítání příkladů. Dále zde najdete pracovní listy na procvičování. Vhodným doplňkem této e-publikace je sbírka úloh, kterou rovněž můžete stáhnout ze serveru www.vseweb.cz. Hodně štěstí (nejen) při přípravě na přijímací zkoušky přejí autoři.

Pojem absolutn´ı hodnoty, rovnice s absolutn´ı hodnotou Definice a z´ akladn´ı vlastnosti Absolutn´ı hodnota re´ aln´eho ˇc´ısla x je definov´ana pˇredpisem: |x| = x, jestliˇze x ≥ 0, a |x| = −x, jestliˇze x < 0. Pˇr´ıklady: |5| = 5, | − 10| = 10. Absolutn´ı hodnota dan´eho ˇc´ısla vlastnˇe ˇr´ık´a, jak´ a je jeho vzd´ alenost od poˇc´atku re´aln´e osy (tj. bodu 0). Je dobr´e si uvˇedomit, ˇze absolutn´ı hodnota ˇc´ısla x je rovna nule pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze x = 0. Z definice tak´e vid´ıme, jak´ ym zp˚ usobem je moˇzn´e nakl´adat s v´ yrazy s absolutn´ı hodnotou: mˇejme napˇr. v´ yraz |x − 3|. Tento v´ yraz je roven x − 3 v pˇr´ıpadˇe, ˇze x − 3 ≥ 0, tj. x ≥ 3, jin´ ymi slovy, pokud x ∈ h3, +∞). Naproti tomu na intervalu (−∞, 3) je v´ yraz x − 3 < 0, v´ yraz |x − 3| je roven −(x − 3), ˇcili 3 − x. Z tohoto postupu je nyn´ı jasn´e, jak´ ym zp˚ usobem postupujeme pˇri ˇreˇsen´ı rovnic (pˇr´ıpadnˇe nerovnic) s absolutn´ı hodnotou. Nejprve urˇc´ıme nulov´e body, tj. takov´e hodnoty nezn´ am´e, pro kter´e v´ yrazy, kter´e jsou v absolutn´ı hodnotˇe (pˇresnˇeji jsou argumenty absolutn´ı hodnoty), nab´ yvaj´ı hodnoty nula. Podle tˇechto nulov´ ych bod˚ u n´ aslednˇe rozdˇel´ıme re´alnou osu (budeme se zab´ yvat pouze rovnicemi o jedn´e nezn´ am´e) na jednotliv´e intervaly. Na tˇechto intervalech n´ aslednˇe budeme ˇreˇsit jednotliv´e z´ıskan´e rovnice zvl´aˇsˇt.

Pˇ r´ıklad ˇ reˇ sen´ı rovnice s absolutn´ı hodnotou ˇ ste v oboru re´ Reˇ aln´ ych ˇc´ısel rovnici |x + 1| + 3 = |2x − 1|. ˇ sen´ı: nulov´ Reˇ ymi body jsou v tomto pˇr´ıpadˇe body −1 a 21 . Na intervalu (−∞, −1i z´ısk´av´ame rovnici −(x + 1) + 3 = 1 − 2x. Po zjednoduˇsen´ı m´ ame x + 1 = 0. Tato rovnice m´a ˇreˇsen´ı x = −1. Nyn´ı je nutn´e zkontrolovat, zda v´ ysledek n´aleˇz´ı do intervalu, na kter´em jsme rovnici ˇreˇsili! (Na to se ˇcasto zapom´ın´a!). V tomto pˇr´ıpadˇe je vˇse v poˇr´adku, neboˇt −1 do intervalu (−∞, −1i skuteˇcnˇe n´aleˇz´ı. ˇ Pojdme se nyn´ı pod´ıvat na interval (−1, 12 i. Opˇet podle definice odstran´ıme absolutn´ı hodnoty. Dostaneme rovnici (x + 1) + 3 = 1 − 2x, ˇcili 3x + 3 = 0,

1

tedy x = −1. Ovˇsem pozor: v tomto pˇr´ıpadˇe nalezen´ y “koˇren” do pˇr´ısluˇsn´eho intervalu nepatˇr´ı! Tedy zat´ım daˇs´ı koˇren nez´ık´av´ame. Pod´ıvejme se tedy na posledn´ı interval, tedy na interval ( 12 , +∞). Po odstranˇen´ı absolutn´ıch hodnot podle definice dostaneme rovnici (x + 1) + 3 = 2x − 1. Po u ´pravˇe dostaneme jiˇz jednoduchou rovnici x = 5. P˚ uvodn´ı rovnice tedy m´ a koˇreny x1 = −1 a x2 = 5.

Geometrick´ y v´ yznam absolutn´ı hodnoty Mˇejme re´ aln´ a ˇc´ısla a a b. V´ yraz |x − a| m´a hodnotu odpov´ıdaj´ıc´ı vzd´alenosti ˇ sen´ım rovnice |x − a| = b jsou ty (dva) body, ˇc´ısla x od ˇc´ısla a na ˇc´ıseln´e ose. Reˇ kter´e maj´ı od bodu a vzd´ alenost pr´avˇe b. Je zˇrejm´e, ˇze ˇreˇsen´ım nerovnice |x−a| < b by byl pr´avˇe interval, jehoˇz prvky (ˇc´ısla) by mˇely od ˇc´ısla a vzd´ alenost menˇs´ı neˇz b.

Pracovn´ı list ´ Ulohy k ˇreˇsen´ı maj´ı rostouc´ı obt´ıˇznost.

Element´ arn´ı pr´ ace s absolutn´ı hodnotou 1. Odstraˇ nte absolutn´ı hodnotu ve v´ yrazech: (a) | − 2| (b) |0| (c) |3 − 1| 2. Najdˇete nulov´e body pro v´ yrazy v absolutn´ı hodnotˇe: (a) |2x − 3| (b) | − x − 5| (c) |5 − x| 3. Odstraˇ nte absolutn´ı hodnotu ve v´ yrazech na dan´ ych intervalech: (a) |5x − 1| na intervalu h−10, −5) (b) |x + 5| na intervalu (−5, 10) (c) |2 − 3x| na intervalu (−10, −5) ˇ ste rovnice s absolutn´ı hodnotou: 4. Reˇ (a) |x| − 4 = 1 (b) |x − 4| = 1 (c) |x| − x = |2x + 3| − 1

2

Posloupnosti Obecn´ y pojem posloupnosti Posloupnost je speci´ aln´ı funkce, kter´a je definov´ana na pˇrirozen´ ych ˇc´ıslech. V tomto textu budeme uvaˇzovat pouze posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel, ˇcili jde o funkci s definiˇcn´ım oborem pˇrirozen´ ych ˇc´ısel a oborem hodnot re´aln´ ych ˇc´ısel. Tento n´ ahled je moˇzn´ a ponˇekud krkolomn´ y, nicm´enˇe jde o pˇrirozen´e zachycen´ı faktu, ˇze na “nˇejak´e pozici” je “nˇejak´ y” prvek. M´ısto slovn´ıho vyj´adˇren´ı “patn´act´ ym prvkem posloupnosti a je ˇc´ıslo 17” lze napsat a(15) = 17. Zpravidla se ovˇsem v pˇr´ıpadˇe posloupnost´ı pouˇz´ıv´a z´apis s indexy, a tak se v tomto kontextu p´ıˇse a15 = 17. Posloupnost je moˇzno zadat nˇekolika zp˚ usoby. V pˇr´ıpadˇe koneˇcn´ ych posloupnost´ı napˇr. tabulkou, obvyklejˇs´ı – a na nekoneˇcn´e posloupnosti vyuˇziteln´e – jsou zp˚ usoby zad´ an´ı n-t´ ym ˇclenem ˇci rekurentnˇe. Zad´ an´ı pomoc´ı n-t´eho ˇclenu znamen´a, ˇze hodnotu ˇclenu an z´ısk´ame nˇejak´ ym zp˚ usobem pˇr´ımo z indexu n. Pˇr´ıkladem takov´eho zad´an´ı je napˇr. an = n2 + 15. Potˇrebujeme-li tˇreba zjistit hodnotu a3 , dosad´ıme pouze do “vzoreˇcku definovan´e posloupnosti”, tj. a3 = 32 + 15 = 26. Zad´ an´ı pomoc´ı rekurentn´ıho vztahu znamen´a, ˇze hodnotu n-t´eho ˇclenu z´ısk´ame z hodnot ˇclen˚ u pˇredchoz´ıch, tj. ˇclen˚ u s niˇzˇs´ımi indexy. V takov´emto pˇr´ıpadˇe je ale nutn´e zadat nˇekter´ y ze ˇclen˚ u pˇr´ımo (typicky ten prvn´ı, resp. nult´ y). Pˇr´ıkladem rekurentn´ıho zad´ an´ı m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad posloupnost an+1 = 2an +5, a1 = 2. Kdybychom pak chtˇeli urˇcit hodnotu ˇclenu napˇr. a3 , museli bychom nejprve urˇcit hodnotu ˇclenu a2 : a3 = 2a2 + 5 a a2 = 2a1 + 5, kde a1 = 2. Tedy, a2 = 4 + 5 = 9 a a3 = 18 + 5 = 23. Je zˇrejm´e, ˇze v´ ypoˇcet hodnoty rekuretnˇe zadan´e posloupnosti m˚ uˇze b´ yt pomˇernˇe pracn´ y, zejm´ena pro velk´a n. Pˇrev´est rekurentn´ı zad´an´ı do podoby zad´ an´ı pro n-t´ y ˇclen m˚ uˇze b´ yt ovˇsem prakticky nemoˇzn´e.

Aritmetick´ a posloupnost Aritmetick´ a posloupnost je takov´a posloupnost, pro n´ıˇz plat´ı, ˇze rozd´ıl sousedn´ıch ˇclen˚ u je konstatn´ı. Form´ alnˇe zaps´ano, an+1 − an = d, coˇz bezprostˇrednˇe vede k rekurentn´ımu vztahu an+1 = an + d. Re´aln´emu ˇc´ıslu d se v kontextu posloupnost´ı ˇr´ık´ a diference. Zadat aritmetickou posloupnost znamen´a zadat prvn´ı ˇclen a1 a diferenci d. Pokud bychom chtˇeli z´ıskat zad´an´ı aritmetick´e posloupnosti prostˇrednictv´ım n-t´eho ˇclenu, dostali bychom n´asleduj´ıc´ı vztah: an = a1 + (n − 1)d.

3

Pˇ r´ıklady s t´ ematem aritmetick´ ych posloupnost´ı ´ Uloha: V aritmetick´e posloupnosti je prvn´ı ˇclen a1 roven 15, diference je rovna ˇ sen´ı: a5 = 15 + (5 − 1)(−3) = 3. −3. Jak´ a je hodnota p´ at´eho ˇclenu? Reˇ ´ Uloha: V aritmetick´e posloupnosti plat´ı a2 + a6 = 30, a3 − a5 = 12. Jak´ y ˇ sen´ı: Urˇcit aritmerickou posloupnost je ˇctvrt´ y ˇclen a4 t´eto posloupnosti? Reˇ znamen´ a urˇcit prvn´ı ˇclen a diferenci. Uveden´e rovnice, kter´e se t´ ykaj´ı urˇcit´ ych ˇclen˚ u t´eto posloupnosti vyj´ adˇr´ıme pomoc´ı prvn´ıho ˇclenu a diference: a2 = a1 +d, a6 = a1 + 5d, a3 = a1 + 2d, a5 = a1 + 4d, z´ısk´ame tak dvˇe line´arn´ı rovnice o dvou nezn´ am´ ych: a1 + d + a1 + 5d = 30 a a1 + 2d − a1 − 4d = 12, po u ´pravˇe tedy m´ ame 2a1 + 6d = 30, resp. a1 + 3d = 15, −2d = 12. Diference je tedy −6, prvn´ı ˇclen je roven 33.

Geometrick´ a posloupnost Geometrick´ a posloupnost je takov´a posloupnost, pro kterou plat´ı, ˇze pod´ıl dvou sousedn´ıch ˇclen˚ u je konstatn´ı. Form´alnˇe zaps´ano: an+1 = q, an coˇz bezprostˇrednˇe vede k rekurentn´ımu vztahu an+1 = qan . Re´ aln´emu ˇc´ıslu q se v kontextu posloupnost´ı ˇr´ık´a kvocient. Zadat geometrickou posloupnost znamen´a zadat prvn´ı ˇclen a1 a kvocient q. Pokud bychom chtˇeli z´ıskat zad´an´ı geometrick´e posloupnosti prostˇrednictv´ım n-t´eho ˇclenu, dostali bychom n´asleduj´ıc´ı vztah: an = q n−1 a1 .

Pˇ r´ıklady s t´ ematem geometrick´ ych posloupnost´ı ´ Uloha: V geometrick´e posloupnosti plat´ı a4 − a5 = 4 a a7 − a8 = 32. Jak´ y ˇ sen´ı: Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe je prvn´ı ˇclen a kvocient t´eto posloupnosti? Reˇ u ´lohy o aritmerick´e posloupnosti si pˇrep´ıˇseme rovnice ze zad´an´ı tak, aby se v nich vyskytovala pouze ˇc´ısla, prvn´ı ˇclen a kvocient. Dostaneme tak q 3 a1 − q 4 a1 = 4 a q 6 a1 − q 7 a1 = 32. Z druh´e rovnice vytkneme q 3 , ˇc´ımˇz z´ısk´ame q 3 (q 3 a1 − q 4 a1 ) = 32. Okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze obsah z´avorky se shoduje s levou stranou prvn´ı (upraven´e) rovnice, tedy m˚ uˇzeme dosadit na m´ısto z´avorky ˇc´ıslo 4. Dost´ av´ ame tak 4q 3 = 32, ˇcili kvocient t´eto geometrick´e posloupnosti je roven dvˇema. Nyn´ı pouˇzijeme prvn´ı rovnici, ze kter´e vytkneme ˇclen a1 : dost´av´ame tak a1 (q 3 − q 4 ) = 4. Jiˇz v´ıme, ˇze q = 2, plat´ı tedy rovnˇeˇz a1 (8 − 16) = 4. Odtud 4 jiˇz snadno dostaneme v´ ysledek: a1 = −8 = − 21 .

Pracovn´ı list ´ Ulohy k ˇreˇsen´ı maj´ı rostouc´ı obt´ıˇznost.

Posloupnosti 1. Vypoˇctˇete hodnotu dan´ ych ˇclen˚ u posloupnost´ı: (a) Posloupnost je d´ ana pˇredpisem: an = 3n − 4, urˇcete a5 .

4

(b) Posloupnost je d´ ana pˇredpisem: an+1 = 3an − 4, a1 = 2, urˇcete a4 . (c) Posloupnost je d´ ana pˇredpisem: an+1 = a2n + 1, a1 = 1, urˇcete a3 . 2. Urˇcete index (ˇc´ıslo k) ˇclenu tak, aby platily zadan´e vztahy: (a) an = n2 + 3, ak = 39 (b) an+2 = an+1 + an , a1 = a2 = 1, ak = 11 (c) an+1 = an + 5, a1 = 6, ak = 1006 3. Urˇcete prvn´ı ˇclen a diferenci aritmerick´e posloupnosti, pro kterou plat´ı: (a) a2 + a5 = 17, a4 + a6 = 26 (b) a5 + a6 = 34, a2 − a7 = 10 (c) a2 + a6 = −1, a3 + a4 = −6 4. Urˇcete prvn´ı ˇclen a kvocient geometrick´e posloupnosti, pro kterou plat´ı: (a) a2 + a4 = −5, a3 + a5 = −10 (b) a3 + a5 = 10, a4 + a6 = 30 (c) a2 + a5 = 1260, a3 + a4 = 300

5

Funkce Obecn´ y pojem funkce a jej´ı definiˇ cn´ı obor Re´ aln´ a funkce jedn´e re´ aln´e promˇenn´e f (d´ale jen zkr´acenˇe funkce) je zobrazen´ı podmnoˇziny re´ aln´ ych ˇc´ısel, kter´a se naz´ yv´a definiˇcn´ı obor, do mnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel – t´eto mnoˇzinˇe se ˇr´ık´ a obor hodnot. Nemus´ı se nutnˇe jednat o nˇejak´ y pˇredpis, nicm´enˇe takov´e zp˚ usoby zad´an´ı funkc´ı jsou pro n´as nejˇcastˇejˇs´ı. To, ˇze funkce f nab´ yv´ a v bodˇe x hodnotu y, budeme symbolicky zapisovat: f (x) = y. Definiˇcn´ım oborem funkce f je mnoˇzina takov´ ych re´aln´ ych x, pro kter´a plat´ı, ˇze existuje pr´ avˇe jedno re´ aln´e y tak, ˇze y = f (x). Urˇcit definiˇcn´ı obor dan´e funkce znamen´a typicky proj´ıt jej´ı zad´an´ı a stanovit podm´ınky, za kter´ ych jsou vˇsechny funkce, z nichˇz je dan´a funkce sloˇzena, definov´ any, tj. existuje pro nˇe pr´ avˇe jedna funkˇcn´ı hodnota.

Souhrn podm´ınek pro urˇ cov´ an´ı definiˇ cn´ıho oboru Ponˇekud neform´ aln´ım jazykem shrˇ nme nyn´ı podm´ınky 1. Pod odmocninou nesm´ı b´ yt z´aporn´e ˇc´ıslo (nula b´ yt m˚ uˇze). 2. Ve jmenovateli nesm´ı b´ yt nula. 3. V argumentu logaritmu mus´ı b´ yt kladn´e ˇc´ıslo. 4. Argumentem funkce tangens nesm´ı b´ yt

π 2

a jeho π-n´asobky.

Pˇ r´ıklady s t´ ematem urˇ cov´ an´ı definiˇ cn´ıho oboru funkce ´ ˇ sen´ı: v´ıme, ˇze v arguUloha: Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce log x2 − 12x + 35. Reˇ mentu logaritmu mus´ı b´ yt kladn´e ˇc´ıslo. Rovnice x2 − 12x + 35 = 0 m´a koˇreny x1 = 5 a x2 = 7, neboˇt x2 − 12x + 35 = (x − 5)(x − 7). V´ yraz x2 − 12x + 35 bude tedy nab´ yvat kladn´ ych hodnot pro vˇsechna ˇc´ısla x z intervalu (−∞, 5)∪(7, +∞). Tento interval je t´eˇz definiˇcn´ım oborem pˇredloˇzen´e funkce.

Pracovn´ı list ´ Ulohy k ˇreˇsen´ı maj´ı rostouc´ı obt´ıˇznost.

6

Funkce a jejich definiˇ cn´ı obory 1. Definiˇcn´ı obory lomen´ ych funkc´ı. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce: (a)

1 x+3

(b)

1 |x2 −5x+4|

(c)

1 x2 +1

2. Definiˇcn´ı obory funkc´ı s odmocninami. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce: √ (a) 9 − x2 √ (b) 1 − x q x (c) x+2 3. Definiˇcn´ı obory funkc´ı s logaritmy. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce: (a) log 64 − x2 (b) log |x − 5| √ (c) log 1 − x 4. Definiˇcn´ı obory sloˇzen´ ych funkc´ı. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce:

(b)

√ √x 1− x2 −1 1 log 4−x2

(c)

log |x−1| log |x−2|

(a)

7

Uˇ ziteˇ cn´ e vzorce pro exponenci´ aln´ı, logaritmick´ e a goniometrick´ e funkce N´ asleduj´ıc´ı kapitolka shrnuje z´akladn´ı vzoreˇcky, kter´e je vhodn´e si zapamatovat – nikoliv mechanicky, n´ ybrˇz procviˇcov´an´ım.

Exponenci´ aln´ı funkce Nechˇt a, b jsou kladn´ a ˇc´ısla, x a y ˇc´ısla re´aln´a. Potom plat´ı: 1. ax ay = ax+y 2.

ax ay

= ax−y

3. (ax )y = axy 4. (ab)x = ax bx 5. ( ab )x =

ax bx

6. a0 = 1 7. a−x =

1 ax

Logaritmick´ e funkce 1. loga xy = loga x + loga y 2. loga

x y

= loga x − loga y

3. loga xb = b loga x

Goniometrick´ e funkce 1. sin2 x + cos2 x = 1 2. sin 2x = 2 sin x cos x 3. cos 2x = cos2 x − sin2 x 8

4. sin x = sin(x + 2π), cos x = cos(x + 2π)

9

Komplexn´ı ˇ c´ısla Pojem imagin´ arn´ı jednotky a algebraick´ y tvar komplexn´ıho ˇ c´ısla Motivac´ı pro zaveden´ı komplexn´ıch ˇc´ısel byl fakt, ˇze pro ˇz´adn´e re´aln´e ˇc´ıslo a nen´ı splnˇena podm´ınka a2 = −1. D˚ usledkem tohoto faktu je, ˇze nˇekter´e kvadratick´e rovnice nemaj´ı v oboru re´ aln´ ych ˇc´ısel ˇreˇsen´ı. Proto byla zavedena imagin´arn´ı jednotka i, pro n´ıˇz plat´ı i2 = −1. Komplexn´ım ˇc´ıslem v algebraick´em tvaru pak rozum´ıme ˇc´ıslo z = a + bi, ˇ ıslo a kde a, b jsou re´ aln´ a ˇc´ısla a i jiˇz zm´ınˇen´a imagin´arn´ı jednotka. C´ naz´ yv´ ame v tomto kontextu re´ alnou ˇc´ ast´ı komplexn´ıho ˇc´ısla, ˇc´ıslo b pak imagin´ arn´ı ˇc´ ast´ı komplexn´ıho ˇc´ısla. Pˇ r´ıklady komplexn´ıch ˇ c´ısel • 3 + 2i: zde jde o komplexn´ı ˇc´ıslo s re´alnou ˇc´ast´ı rovnou tˇrem, imagin´arn´ı sloˇzkou rovnou dvˇema, • −5i: v tomto pˇr´ıpadˇe m´ ame komplexn´ı ˇc´ıslo, jehoˇz re´aln´a ˇc´ast je nulov´a, tj. −5i = 0 − 5i, • 4: jedn´ a se o re´ aln´e ˇc´ıslo, kter´e m˚ uˇzeme povaˇzovat za komplexn´ı, pˇriˇcemˇz v tomto pˇr´ıpadˇe je imagin´arn´ı sloˇzka nulov´a, tj. 4 = 4 + 0i.

Umocˇ nov´ an´ı imagin´ arn´ı jednotky Jak jiˇz v´ıme, druh´ a mocnina imagin´arn´ı jednotky je rovna −1. Pod´ıvejme se nyn´ı na dalˇs´ı mocniny. i3 = −i,

i4 = 1,

i5 = i, . . .

Zd˚ uvodnˇen´ı tˇechto rovnost´ı vych´az´ı pˇr´ımo z definice a vlastnost´ı n´asoben´ı: ale, i4 = i2 i2 = (−1)(−1) = 1 atd. i3 = i2 i = (−1)i = −i, d´ Pˇ r´ıklad Zjednoduˇste (urˇcete hodnotu) v´ yrazu i43 .

10

ˇ sen´ı Reˇ i43 = i40+3 = i40 i3 = i4 i3 = (i4 )10 i3 = 110 (−i) = −i

Operace s komplexn´ımi ˇ c´ısly v algebraick´ em tvaru Komplexn´ıch ˇc´ısel nen´ı tˇreba se ob´avat, lze s nimi prov´adˇet nejr˚ uznˇejˇs´ı operace, kter´e bˇeˇznˇe prov´ ad´ıme s re´ aln´ ymi ˇc´ısly. Mˇejme komplexn´ı ˇc´ısla z = a + bi a w = c + di.

Sˇ c´ıt´ an´ı, odˇ c´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı komplexn´ıch ˇ c´ısel Souˇctem komplexn´ıch ˇc´ısel z a w je (komplexn´ı) ˇc´ıslo, jehoˇz re´aln´a ˇc´ast je rovna (a + c), imagin´ arn´ı ˇc´ ast je rovna (b + d). V´ ysledkem je tedy ˇc´ıslo (a + c) + (b + d)i – prvn´ı p´ ar z´ avorek je samozˇrejmˇe nadbyteˇcn´ y. Rozd´ılem komplexn´ıch ˇc´ısel z a w je (komplexn´ı) ˇc´ıslo, jehoˇz re´aln´a ˇc´ast je rovna (a − c), imagin´ arn´ı ˇc´ast je rovna (b − d). V´ ysledkem je tedy ˇc´ıslo (a − c) + (b − d)i – prvn´ı p´ ar z´ avorek je opˇet samozˇrejmˇe nadbyteˇcn´ y, pouˇz´ıv´ame je sp´ıˇse pro pˇrehlednost. Pokud n´ am sˇc´ıt´ an´ı a odˇc´ıt´ an´ı komplexn´ıch ˇc´ısel pˇripom´ın´a sˇc´ıt´an´ı a odˇc´ıt´an´ı vektor˚ u, nen´ı to n´ ahoda. Komplexn´ı ˇc´ısla lze reprezentovat v rovinˇe jako re´aln´e vektory. Pokud definujeme opaˇcn´e ˇc´ıslo ke komplexn´ımu ˇc´ıslu w jako w = −a − bi, pak rozd´ılem komplexn´ıch ˇc´ısel z − w je souˇcet ˇc´ısla z a ˇc´ısla opaˇcn´eho k ˇc´ıslu w. S komplexn´ımi ˇc´ısly manipulujeme stejnˇe jako s mnohoˇcleny. To se uplatn´ı napˇr. pˇri n´ asoben´ı: komplexn´ı ˇc´ısla n´asob´ıme jako polynomy: zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2 . Uveden´ y v´ ysledek vˇsak lze samozˇrejmˇe zjednoduˇsit s vyuˇzit´ım pravidel pro umocˇ nov´ an´ a imagin´ arn´ı jednotky. i2 = −1, tedy bdi2 = −bd. V´ ysledkem po zjednoduˇsen´ı proto je v´ yraz, resp. komplexn´ı ˇc´ıslo (ac − bd) + (ad + bc)i.

ˇ ısla komplexnˇ C´ e sdruˇ zen´ a a dˇ elen´ı komplexn´ıch ˇ c´ısel Dˇelen´ı komplexn´ıch ˇc´ısel nen´ı tak pˇr´ımoˇcar´e jako pˇredchoz´ı tˇri operace. K tomu, abychom zvl´ adli dˇelen´ı komplexn´ıch ˇc´ısel, si budeme definovat pojem ˇc´ısla komplexnˇe sdruˇzen´eho. ˇ ısla komplexnˇ C´ e sdruˇ zen´ a M´ ame-li komplexn´ı ˇc´ıslo z = a + bi, pak ˇc´ıslem k nˇemu komplexnˇe sdruˇzen´ ym nazveme ˇc´ıslo z¯ = a − bi. Je zˇrejm´e, ˇze vztah b´yti komplexnˇe sdruˇzen´ym ˇc´ıslem k. . . je vztah symetrick´ y: je=li z¯ ˇc´ıslem komplexnˇe sdruˇzen´ ym k z, pak z je ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e k z¯. Kl´ıˇcov´e pozorovn´ an´ı je, ˇze pokud vyn´asob´ıme komplexn´ı ˇc´ıslo ˇc´ıslem k nˇemu komplexnˇe sdruˇzen´ ym, z´ısk´ ame ˇc´ıslo re´aln´e, resp. komplexn´ı ˇc´ıslo s nulovou imagin´ arn´ı sloˇzkou.

11

Pˇ r´ıklad n´ asoben´ı ˇ c´ıslem komplexnˇ e sdruˇ zen´ ym Mˇejme ˇc´ıslo k = 3 + 2i. K nˇemu je komplexnˇe sdruˇzen´ ym ˇc´ıslem k¯ = 3 − 2i. ¯ Souˇcinem k k je pak ˇc´ıslo (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 − 6i + 6i − 22 i2 = 9 + 4 = 13. Dˇ elen´ı komplexn´ıch ˇ c´ısel Vydˇelit komplexn´ı ˇc´ıslo z komplexn´ım ˇc´ıslem w znamen´a vyn´asobit jej ˇc´ıslem komplexnˇe sdruˇzen´ ym k ˇc´ıslu w. Jin´ ymi slovy, z/w = z w. ¯ Zd˚ uvodnˇen´ı: z w ¯ a + bi c − di z = = . w ww ¯ c + di c − di D´ ale pokraˇcujeme v u ´prav´ ach: (a + bi)(c − di) ac − adi + cbi − bdi2 = . (c + di)(c − di) c2 + d2 Vˇsimˇeme si, ˇze ve jmenovateli je jiˇz re´aln´e ˇc´ıslo. ac − adi + cbi − bdi2 ac + bd + (bc − ad)i = . c2 + d2 c2 + d2 Re´ aln´ a sloˇzka pod´ılu z/w je tedy rovna

ac+bd c2 +d2 ,

imagin´arn´ı pak

bc−ad c2 +d2 .

Absolutn´ı hodnota komplexn´ıho ˇ c´ısla Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe re´ aln´ ych ˇc´ısel lze i v pˇr´ıpadˇe komplexn´ıch ˇc´ısel definovat absolutn´ı hodnotu. Absolutn´ı hodnota v pˇr´ıpadˇe re´aln´ ych ˇc´ısel vyjadˇrovala vzd´ alenost od poˇc´ atku ˇc´ıseln´e soustavy, tj. od nuly, u komplexn´ıch ˇc´ısel tomu bude stejnˇe, jen s rozd´ılem, ˇze nep˚ ujde o vzd´alenost od nuly, n´abrˇz od bodu 0 + 0i. Absolutn´ı hodnotu ˇc´ısla z budeme stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe re´aln´ ych ˇc´ısel znaˇcit |z|. Pro v´ ypoˇcet vzd´ alenosti ˇc´ısla z = a + bi od bodu O + 0i pouˇ √ zijeme prostou Pythagorovu vˇetu: absolutn´ı hodnota ˇc´ısla z je rovna |z| = a2 + b2 . Moˇzn´a jste si v t´eto chv´ıli povˇsimli, ˇze |z| = z z¯: je tomu skuteˇcnˇe tak. Pro ovˇeˇren´ı staˇc´ı pouˇz´ıt definici ˇc´ısla komplexnˇe sdruˇzen´eho a definici n´asoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel.

Koˇ reny kvadratick´ e rovnice a komplexn´ı ˇ c´ısla V´ıme, ˇze kvadratick´ a rovnice, nem´a-li dva re´aln´e ˇci jeden dvojit´ y re´aln´ y koˇren, pak m´ a dva komplexn´ı koˇreny. O tˇechto komplexn´ıch koˇrenech plat´ı, ˇze jsou komplexnˇe sdruˇzen´e. To je zˇrejm´e pˇri pohledu vzoreˇcek pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u: “objevuje se tam ˇclen plus/minus odmocnina z diskriminantu”, kde odmocnina z diskriminantu je pr´ avˇe imagin´arn´ı ˇc´ıslo. Zde vznik´a ona “komplexn´ı sdruˇzenost”.

12

Pˇ r´ıklad na kvadratickou rovnici a komplexnˇ e sdruˇ zen´ aˇ c´ısla Dejme tomu, ˇze kvadratick´ a rovnice ve tvaru a2 +px+q = 0. M´a jeden z koˇren˚ u roven x1 = 2 + 3i. Jak´e jsou hodnoty p a q? Protoˇze koˇreny kvadratick´e rovnice jsou navz´ajem komplexnˇe sdruˇzen´e, mus´ı b´ yt druh´ y koˇren x2 = 2 − 3i. Rovnice s koˇreny x1 a x2 m˚ uˇze m´ır tvar napˇr. (x − x1 )(x − x2 ) = 0. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se tedy jedn´a o rovnici (x−(2+3i))(x−(2−3i)) = 0. V´ yraz na lev´e stranˇe budeme d´ ale upravovat: x2 −x(2−3i)−x(2+3i)+(4+9). Vˇsimˇete si, ˇze posledn´ı z´ avorkou je absolutn´ı hodnota koˇrene (libovoln´eho). Vytkneme-li ve vhodn´ ych podv´ yrazech x, dost´av´ame n´aslednˇe: x2 − x[(2 − 3i) + (2 + 3i) + 15. Hranatou z´ avorku n´ aslednˇe zjednoduˇs´ıme, dost´av´ame tak x2 − 4x + 15 = 0. Vid´ıme tedy, ˇze p je rovno −4, q je rovno 15.

Goniometrick´ y tvar komplexn´ıho ˇ c´ısla Zat´ım jsme s komplexn´ımi ˇc´ısly pracovali jako s body v rovinˇe, kter´e byly zad´any pomoc´ı dvou souˇradnic. Body v rovinˇe je vˇsak tak´e moˇzno zad´avat jin´ ymi zp˚ usoby, napˇr. pomoc´ı vzd´ alenosti od poˇc´atku a u ´hlu, kter´ y sv´ır´a pr˚ uvodiˇc dan´eho bodu s vodorovnou osou – jedn´a se o “pol´arn´ı” zp˚ usob. ´ Uhel, kter´ y sv´ır´ a pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı body o = 0 + 0i a z = a + bi s re´alnou osou, budeme znaˇcit ϕ. Plat´ı (d´ıky tomu, ˇze jsme v pravo´ uhl´em troj´ uheln´ıku), b a a sin ϕ = |z| . ˇze cos ϕ = |z| Pokud vyj´ adˇr´ıme z pˇredchoz´ıch dvou vztah˚ u a a b a dosad´ıme tyto v´ yrazy do algebraick´eho tvaru dan´eho komplexn´ıho ˇc´ısla, dostaneme z = a + bi = |z| cos ϕ + |z|i sin ϕ = |z|(cos ϕ + i sin ϕ). Tento tvar se naz´ yv´ a goniometrick´ym, resp. pol´arn´ım tvarem komplexn´ıho ˇc´ısla z.

Umocˇ nov´ an´ı komplexn´ıch ˇ c´ısel a Moivreova vˇ eta Umocˇ novat komplexn´ı ˇc´ısla je samozˇrejmˇe moˇzn´e na z´akladˇe definice. To ovˇsem b´ yv´ a mnohdy prakticky neprovediteln´e, nepouˇzijeme-li poˇc´ıtaˇc (vyznat se ve velk´em mnoˇzstv´ı polynom˚ u m˚ uˇze b´ yt probl´emem). Naˇstˇest´ı existuje vˇeta, kter´a n´ am umoˇzn´ı u ´lohu umocˇ nov´ an´ı ˇreˇsit rychle – jde o zn´amou Moivreovu vˇetu. Moivreova vˇ eta Mˇejme komplexn´ı ˇc´ıslo z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), tj. komplexn´ı ˇc´ıslo v goniometrick´em tvaru. Potom pro libovoln´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo n plat´ı, ˇze z n = |z|n = (cos nϕ + i sin nϕ). Pˇ r´ıklad na pouˇ zit´ı Moivreovy vˇ ety √ √ ˇ sen´ı: je zˇrejm´e, Urˇcete re´ alnou ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z 4 , kde z = 2 + 2i. Reˇ ˇze absolutn´ı hodnota ˇc´ısla |z| je rovna 2. Po nakreslen´ı okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze ϕ = π4 . Aplikujeme Moivreovu vˇetu a dostaneme: z 4 = 24 (cos 4 π4 + i sin 4 π4 ) =

13

16(cos π + i sin π) = −16. Toto komplexn´ı ˇc´ıslo nem´a imagin´arn´ı sloˇzku, re´aln´a je rovna −16.

Pracovn´ı list ´ Ulohy k ˇreˇsen´ı maj´ı rostouc´ı obt´ıˇznost.

Komplexn´ı ˇ c´ısla 1. Zjednoduˇste: (a) i2 + i4 (b) (i3 + i5 )(i2 + i4 ) (c) i2 − i3 + i4 − i5 + i6 − i7 + i8 2. Urˇcete re´ alnou ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla: (a) (b) (c)

1+i 1−i 2+3i 3+2i 1 2+2i

3. Urˇcete goniometrick´ y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla: (a) 1 + i √ √ (b) 2 + 2i √ (c) 1 + 3i 4. Pomoc´ı Moivreovy vˇety umocnˇete: (a) (1 + i)8 √ √ (b) ( 2 + 2i)12 √ (c) (1 + 3i)16

14

Vlastnosti funkcí v grafech Absolutní hodnota a funkce obsahující absolutní hodnotu f(x) = |x|

f(x) = 2|x|

f(x) = |x| + 1

f(x) = |x + 1|

Goniometrické funkce (na příkladu sinu) f(x) = sin x

f(x) = sin (x + π)

f(x) = sin x + 1

f(x) = sin 2x

f(x) = 2sin x

Zdroje [1] Testy – Matematika na ekonomické VŠ Petr Koranda, Josef Štefl. Fregment, 2008. [2] Testy přijímacího řízení – Matematika (Vysoká škola ekonomická v Praze). Dostupné na http://www.vse.cz/download/index.php?ID=114&cat=27&lang=cz (verze z 30.6.2013) [3] Testy použité na přijímacích zkouškách v minulých obdobích. (Mendelova univerzita v Brně). Dostupné na http://www.pef.mendelu.cz/cz/pro_uchazece/testy_pouzite_na_prijimacich_zkouska_v_minulych_obdobi ch (verze z 30.6.2013) [4] Ukázka vzorových testů (Česká zemědělská univerzita v Praze). Dostupné na http://www.pef.czu.cz/cs/? r=4054&i=4090 (verze z 30.6.2013)

Na tuto elektronickou publikaci navazují další učební materiály vystavené na webu: www.vseweb.cz

Kolektiv autorů, vydáno 30.11.2013, vydavatel Gymnázium Globe, s.r.o.