DDÚ Kolik otáček udělá válec parního válce, než uválcuje 150 m dlouhý úsek silnice? Válec má poloměr 110 cm a je 3 m dlouhý. Na délce válce vůbec nezáleží, záleží na jeho obvodu, poloměr je 110 cm, vypočítám průměr, převedu na metry a dosadím do vzorečku: 𝑂 = 𝜋𝑑 𝑂 = 3,14 ∙ 2,2 𝑂 = 6,908 m Na jednu otáčku válec uválcuje 6,908 metru silnice. Aby uválcoval 150 m, musíme dělit 150 ∶ 6,908 = 21,7 Válec udělá 21 otáček, 22. už nedokončí.
V plechovce je 1,2 kg barvy. Kolik plechovek této barvy spotřebujeme na natření plechového sudu (bez víka) o výšce 0,8 metru a průměru podstavy 0,7 metru, jestliže na jeden metr čtvereční spotřebujeme 2,5 kg barvy?
Řešení: Nejprve musíme spočítat, jakou plochu budeme vlastně natírat. Spočítáme tedy povrch válce a odečteme víko (tedy plochu horního kruhu): 𝑆𝑣á𝑙𝑒𝑐 = 2𝜋𝑟(𝑟 + 𝑣) 𝑆válec = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,35 ∙ (0,35 + 0,8) 𝑆válec = 2,5277 m2
𝑆𝑣í𝑘𝑜 = 𝜋𝑟 2 𝑆víko = 3,14 ∙ 0,352 𝑆víko = 0,3847 m2
𝑆sudu = 𝑆válec − 𝑆víko 𝑆sudu = 2,5277 − 0,3847 𝑆𝑠udu = 2,143 m2 Budeme tedy natírat 2,143 m2 a víme, že na každý 1 m2 spotřebujeme 2,5 kg barvy. 2,143 ∙ 2,5 = 5,3575 kg 5,3575 ∶ 1,2 = 4,46 plechovek. Použijeme celkem 5,3575 kg barvy, což je 4,46 plechovek. Což těžkou koupíme, takže plechovek potřebujeme 5.
Kolik válců o průměru podstavy 0,2 m a výšce 0,8 metru vyrobím z plechu o rozměrech 5 x 6 metru, jestliže počítám s 10 % odpadem?
Řešení: 𝑆válce = 2𝜋𝑟(𝑟 + 𝑣) 𝑆válce = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,1 ∙ (0,1 + 0,8) 𝑆válce = 0,565 m2 𝑆materiálu = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑆materiálu = 5 ∙ 6 𝑆materiálu = 30 𝑚2 Ztráta 10 % materiálu => máme k dispozici 27 m2 materiálu. 27 ∶ 0,565 = 47,78 Vyrobíme 47 válců (na čtyřicátý osmý už nemáme dostatek materiálu).
Za jak dlouho napustím bazén tvaru válce o šířce 5 metrů a výšce 1,1 metru čerpadlem o rychlosti 15 l/s, jestliže v bazénu je díra, kterou voda odtéká rychlostí 5 l/s. Chceme ho napustit 10 cm pod okraj.
Řešení: Zde je výška bazénu celkem nezajímavá, zajímavější údaj je, že jej chceme napustit 10 cm pod okraj (a tedy do výšky 1 m). Díky tomu můžeme spočítat celkový objem napouštěné vody (výška tedy bude 1 metr, poloměr je 2,5 metru). 𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑣 𝑉 = 3,14 ∙ 2,52 ∙ 1 𝑉 = 19,625 m3 = 19625 dm3 = 19625 litrů. Potřebujeme napustit 19625 litrů, přičemž napouštíme rychlostí 15 l/s a zároveň nám voda odtéká rychlostí 5 l/s. Tím pádem nám každou vteřinu přibyde pouze 10 l. 19625 : 10 = 1962,5 sekund = 32 minut a 42,5 sekund.
Co je těžší? Měděná koule o poloměru 50 cm nebo železný válec o poloměru podstavy 50 cm a výšce 40 cm. Hustota mědi je 8940 kg/m3, hustota železa je 7800 kg/ m3.
Řešení: Nejprve je samozřejmě třeba spočítat objemy obou těles (protože hmotnost pak spočítáme podle vzorce 𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉) 4 3 𝜋𝑟 3 4 = ∙ 3,14 ∙ 503 3 = 522025 𝑐𝑚3 = 522 𝑑𝑚3
𝑉𝑘𝑜𝑢𝑙𝑒 = 𝑉𝑘𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑉𝑘𝑜𝑢𝑙𝑒
𝑉𝑣á𝑙𝑐𝑒 = 𝜋𝑟 2 𝑣 𝑉𝑣á𝑙𝑐𝑒 = 3,14 ∙ 502 ∙ 40 𝑉𝑣á𝑙𝑐𝑒 = 314000 𝑐𝑚3 = 314 𝑑𝑚3
Už teď je vidět, že těžší bude koule, protože má větší objem a je vyrobena z těžšího materiálu. Pro jistotu ověříme výpočtem: 𝑚𝑘𝑜𝑢𝑙𝑒 = 8,94 ∙ 522 = 4666,68 kg Koule je těžší.
𝑚𝑣á𝑙𝑐𝑒 = 7,8 ∙ 314 = 2449 kg
Kolik bude vážit voda ve skleněné kouli o průměru 80 cm? Hustota vody je 1000 kg/ m3.
Řešení: Je nejprve třeba spočítat objem této vody: 𝑉=
4 3 𝜋𝑟 3
𝑉=
4 ∙ 3,14 ∙ 403 3
𝑉 = 267276,8 𝑐𝑚3 = 267,2768 𝑑𝑚3 1 litr vody váží 1 kg, takže tato voda bude vážit přibližně 267 kg.
Kolik bude vážit měděná koule o průměru 1,2 dm? Řešení: Spočítáme objem: 𝑉=
4 3 𝜋𝑟 3
𝑉=
4 ∙ 3,14 ∙ 0,63 3
𝑉 = 0,902 𝑑𝑚3 A teď hmotnost dle vzorce: 𝑚 =𝜌∙𝑉 𝑚 = 8,94 ∙ 0,902 𝑚 = 8,06 𝑘𝑔
Kopule hvězdárny má tvar polokoule o průměru 13 metrů. Vypočítejte její povrch.
Řešení: Povrch koule umíme, takže si spočítáme povrch celé koule o průměru 13 metrů (a tedy poloměru 6,5 metru) a pak jej jen vydělíme dvěma 𝑆 = 4𝜋𝑟 2 𝑆 = 4 ∙ 3,14 ∗ 6,52 𝑆 = 530,66 𝑚2 Což je ovšem povrch celé koule. Povrch polokoule pak vznikne vydělením dvěma: 530,66 ∶ 2 = 265,33 S = 265,33 m2
Tři železné koule o poloměru 𝑟1 = 5 cm, 𝑟2 = 7 cm a 𝑟3 = 10 cm se roztaví, materiál se slije a z něj se vyrobí jedna velká koule. Vypočítej její objem a poloměr.
Řešení: 4
Nejprve spočítáme objemy všech tří koulí, samozřejmě podle vzorce 𝑉 = 𝜋𝑟 3 3
4 ∙ 3,14 ∙ 53 3 𝑉1 = 522 𝑐𝑚3
𝑉1 =
4 ∙ 3,14 ∙ 73 3 𝑉 = 1432,4 𝑐𝑚3
𝑉2 =
Materiál se slije, takže jej sečteme: 522 + 1432,4 + 4176,2 = 6130,6 a tím nám vznikl objem nově vzniklé koule. Dosadíme do vzorečku a můžeme spočítat dotazovaný poloměr: 𝑉= 6130,6 =
4 3 𝜋𝑟 3 4 ∙ 3,14 ∙ 𝑟 3 3
6130,6 = 4,1762 ∙ 𝑟 3 1468 = 𝑟 3 𝑟 = 11,4 𝑐𝑚
4 ∙ 3,14 ∙ 103 3 𝑉3 = 4176,2 𝑐𝑚3
𝑉3 =
Vypočítej hmotnost duté železné koule (7800 kg/m3) o vnějším průměru 20 cm. Tloušťka stěny je 1 cm.
Řešení: Nejprve spočítáme objem celé koule (jako kdyby nebyla dutá). Vzorec snad netřeba připomínat: 𝑉=
4 ∙ 3,14 ∙ 103 3
𝑉 = 4176,2 𝑐𝑚3 Uvnitř je ovšem dutina ve tvaru koule s poloměrem 9 cm (protože to železo má jen 1 cm, zbylých 9 je tedy vzduch). 𝑉=
4 ∙ 3,14 ∙ 93 3
𝑉 = 3044,4 𝑐𝑚3 Vlastní materiál, ze kterého je koule vytvořena, tedy spočítám tak, že odečtu objem „celé“ koule a dutiny uvnitř: 4176.2 − 3044,4 = 1131,8 𝑐𝑚3 Hmotnost zjistím tak, že vynásobím objem materiálu hustotou: 𝑚 = 1,1318 ∙ 7,8 m = 8,85 kg
Ze skleněného válce o poloměru 30 cm a výšce 25 cm zaplněného vodou z 80 % tuto vodu přelijeme do akvária tvaru koule o poloměru 25 cm. Bude tato voda stačit na to, aby se akvárium celé (ze 100 %) zaplnilo? Pokud ne, z kolika procent bude zaplněno akvárium? Z kolika procent by musel být válec zaplněn, abychom po přelití vody do akvária toto akvárium zcela zaplnili? Do jaké výšky by sahala hladina vody? Řešení: 𝑉válce = 70,65 litru, zaplněn je z 80 % => je v něm 56,52 litru vody. 𝑉akvária = 65,417 litru, takže 56,52 litru jej zaplní z 84,4 % (56,52 : 65,147 = 0,844. Vynásobíme stovkou a máme procenta.) Abychom akvárium zcela zaplnili, muselo by být ve válci 65,417 litru vody, což představuje 92,6 % zaplnění tohoto válce. (65,417 : 70,65 = 0,926. Vynásobíme stem a máme procenta). Tím pádem by voda sahala do výšky 23,15 cm (92,6 % z výšky – a tedy z 25 cm – je právě zmíněných 23,15 cm).
V plechovce jsou 2 kg barvy, spotřeba při natírání je 0,9 kg/m2 . Bude stačit 6 plechovek této barvy na natření válce o poloměru 70 cm a výšce 3 metry? Pokud ne, z kolika procent se tento válec podaří šesti plechovkami natřít?
Řešení: Povrch válce je 16,2652 m2 (viz vzoreček, nehodlám už opakovat. Pozor jen na poloměr, který je v centimetrech a výšku, která je v metrech). Abychom takovou plochu natřeli, potřebujeme 14,64 kg barvy (16,2652 ∙ 0,9), což je více než 7 plechovek => 6 plechovek tedy stačit nebude. 6 plechovek je 12 kg barvy, kterými natřeme 13,33 m2 (lze spočítat celkem jednoduchou trojčlenkou). Tato plocha představuje 81,97 % válce (takže necelých 18 % válce se už natřít nepodaří – ale to je už jen mimo soutěž).
DDÚ Kolik l vody se vejde do bazénu o šířce 4 m a výšce 120 cm? Kolik vody tam skutečně je, jestliže víme, že je bazén napuštěn na 75 %? Spočítáme nejprve objem celého bazénu. Pozor na jednotky a také na to, že u bazénu je zadána šířka (tedy průměr). Jestliže šířka je 4 m, pak poloměr je roven 2 m. Protože v otázce jsou litry, rovnou převedu jednotky na decimetry (pak mi totiž ve výsledku objemu vyjdou dm 3, což je totéž jako litr). 𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑣 𝑉 = 3,14 ∙ 202 ∙ 12 𝑉 = 15072 dm3 Kdyby byl bazén napuštěn až po okraj, bylo by v něm 15072 litrů vody. Je ale napuštěn ze 75%, takže z tohoto množství musím ještě spočítat 75%. 75% z 15072 = 11304 V bazénu je 11304 litrů vody.
DDÚ Pan Novák má na zahradě bazén s kruhovým dnem o šířce 2,5 metru, hladina vody byla ve výšce 90 cm. Z tohoto bazénu celé léto zaléval, takže hladina klesla na 25 cm. Kolik patnáctilitrových konví pan Novák takto odnosil (zaokrouhli na celá čísla)? Sloupec vody, která „zmizela“, je 65 cm. Z bazénu tedy byl odnesen válec vody o šíři bazénu a výši 65 cm. Takovému válci samozřejmě dokážeme spočítat objem. Budu jej počítat rovnou v litrech (tedy v dm3). 𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑣 𝑉 = 3,14 ∙ 12,52 ∙ 6,5 𝑉 = 3189 dm3 Pan Novák v patnáctilitrovýc konvích odnosil celkem 3189 litrů vody. Abych zjistil počet konví, musím dělit: 3189 ∶ 15 = 212,6 Pan Novák odnosil necelých 213 konví.
Do bazénu s kruhovým dnem o průměru 6 metrů přitéká voda rychlostí 5 litrů za sekundu. Do jaké výšky bude sahat voda po dvou hodinách napouštění?
Řešení: Jestliže každou sekundu přiteče 5 litrů, pak každou hodinu přiteče 18000 litrů (5 ∙ 3600). Tím pádem objem vody po dvou hodinách bude činit 36000 litrů (neboli 36000 dm3 ). Chceme tedy spočítat výšku hladiny v kruhovém bazénu neboli počítáme výšku válce, u kterého známe objem (36000 dm3 ) a podstavu (což je kruh o průměru 6 metrů a tedy poloměru 3 metry = 30 dm). 𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑣 36000 = 3,14 ∙ 302 ∙ 𝑣 36000 = 2826 ∙ 𝑣 36000 ∶ 2826 = 𝑣 𝑣 = 12,74 dm Po dvou hodinách sahá výška hladiny do 12,74 dm, což je 1,274 metru.
DDÚ Vodní nádrž má tvar válce s průměrem podstavy 4,2 m a je hluboká 80 cm. Za jak dlouho se naplní 10 cm pod okraj přítokem, který přitéká rychlostí 2 litry za sekundu? Výsledek uveď v nějakém „rozumném“ formátu (tj. převedený na hodiny, minuty, sekundy). Nádrž chceme naplnit 10 cm pod okraj, tedy do výše 70 cm (7 dm). Průměr podstavy je 4,2 m, poloměr je tedy 2,1 m (21 dm). Nejprve tedy spočítáme objem vody, která bude napuštěna. 𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑣 𝑉 = 3,14 ∙ 212 ∙ 7 𝑉 = 9693,18 dm3 Do nádrže tedy chceme dostat přibližně 9693 litrů vody, přičemž ji napouštíme rychlostí 2 litry za sekundu. Celkem snadno tedy spočítáme, kolik sekund bude trvat její napuštění: 9693 ∶ 2 = 4846,5 Budeme napouštět 4846,5 sekundy (pro naše účely stačí zaokrouhlit na 4847 – dle pravidel zaokrouhlování). Což je takový nic moc neříkající čas, převedeme tedy na hodiny, minuty, sekundy. 4847 : 3600 = 1 (zb. 1247) Daný čas je tedy jedna celá hodina, zbývá ještě 1247 sekund. 1247 : 60 = 20 (zb. 47) Máme tedy 20 minut, 47 sekund zbývá. Čas napouštění tedy bude 1 hodina 20 minut 47 sekund.
DDÚ 4 ocelové koule o průměrech 18, 12, 10 a 8 dm byly roztaveny, načež byl z tohoto materiálu vytvořen válec o průměru největší z roztavených koulí. Vypočítej výšku a hmotnost tohoto válce (hustota oceli je 7800 kg/m3).
Nejprve spočítáme, kolik materiálu získáme roztavením těchto koulí, budeme tedy počítat objemy: 𝑉= 𝑉1 = 4 ∙ 3,14 ∙ 93 3 𝑉1 = 3052 dm3 𝑉1 =
4 3 𝜋𝑟 3
4 ∙ 3,14 ∙ 93 3
4 ∙ 3,14 ∙ 63 3 𝑉2 = 904,3 dm3
4 ∙ 3,14 ∙ 53 3 𝑉3 = 523,3 dm3
𝑉2 =
𝑉3 =
4 ∙ 3,14 ∙ 43 3 𝑉4 = 267,9 dm3 𝑉4 =
Celkem jsme tedy roztavením získali 3052 + 904,3 + 523,3 + 267,9 dm3 materiálu, tedy 4747,5 dm3. Z tohoto materiálu tedy vyrobíme válec, objem tedy už známe. Známe i jeho průměr (má být největší z roztavených koulí, tedy 18 dm). Pak tedy známe i poloměr (9 dm). Neznáme výšku, ale umíme si ji ze vzorce vyjádřit: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑣
/: 𝜋𝑟 2
𝑉 =𝑣 𝜋𝑟 2 4747,5 =𝑣 3,14 ∙ 92
18,66 dm = 𝑣 Válec bude vysoký 18,66 dm. Jeho hmotnost je jasná, známe objem, známe materiál a známe také vzoreček: 𝑚 =𝜌∙𝑉 𝑚 = 7800 ∙ 4,7475 𝑚 = 37030,5 Válec váží 37030,5 kg (což je něco přes 37 tun).
