1
KISI-KISI AKTIVITAS SISWA DENGAN PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN KONTEKTUAL BERBASIS TUGAS YANG MENANTANG
1. Visual activities yaitu membaca, memperhatikan 2. Oral activities yaitu menyatakan, merumuskan, bertanya, memberi saran, mengeluarkan pendapat, mengadakan wawancara, diskusi, interupsi 3. Motor activities yaitu melakukan percobaan, membuat konstruksi, model 4. Mental activities yaitu menanggapi, mengingat, memecahkan masalah, menganalisis, mengambil keputusan 5. Emotional activities yaitu menaruh minat, bosan, bergembira, tenang, gugup
2
LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS SISWA SELAMA PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN KONTEKTUAL BERBASIS TUGAS YANG MENANTANG
Keterangan kriteria aktivitas : 1.
Memperhatikan penjelasan guru.
2.
Memperhatikan presentasi teman
3.
Bertanya kepada guru
4.
Mengerjakan tugas/soal
5.
Menemukan konsep
6.
Membuat kesimpulan
7.
Kegiatan yang relevan (menggangu teman, meribut, melamun, dll)
3
LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS SISWA SELAMA PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN KONTEKTUAL BERBASIS TUGAS YANG MENANTANG
Aktivitas : 1.
Memperhatikan penjelasan guru. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………….....................
2.
Memperhatikan presentasi teman …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………...
3.
Bertanya kepada guru …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………….
4.
Mengerjakan tugas/soal …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………
5.
Menemukan konsep …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………
6.
Membuat kesimpulan …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………
4
7.
Kegiatan yang relevan (menggangu teman, meribut, melamun, dll) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………
5
LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS SISWA SELAMA PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN KONTEKTUAL BERBASIS TUGAS YANG MENANTANG Mata Pelajaran
: Matematika
Hari/tanggal
:
Petunjuk
: Isilah lembar observasi dengan cara menceklis (v) pada kolom jenis aktivitas yang dilakukan siswa selama pembelajaran berlangsung
Pertemuan ke-1 NO
Aktivitas Siswa Nama Siswa 1
1
Adlin Evan
2
Achel jasa Putra
3
Agung Wijatmiko
4
Ali Akbar
5
Amelia Marta
6
Andri Prima
7
Budi Savena
8
Dedy Ramadhan
9
Diva Ori Orlanda
10
Emi Susanti
11
Fadri Ilham
12
Fanny Marissa M
13
Febi Kurniawan
14
Ficky Fernando
15
Handika G
16
Ilham Dani
17
Isma Wartin
2
3
4
5
6
7
6
18
Krisdayeni
19
Lena Putri
20
Lisa Nurmala Sari
21
Maysarah
22
Naldo Saputra
23
Neory Gusti
24
Nikki Maitu Suriadi
25
Nur Sakinah
26
rahmat Fauzi
27
Ramatul Maman
28
Rani Puspita Sari
29
Ressy Rahmawati
30
Ririn Permata Bunda
31
Riyan Chandra Putra
32
Rizki Yulianto
33
Sepria Dinata
34
Sisma Yunita
35
Willy Yolanda
36
Yola Melvi Putri
37
Yudhi Putra Tama
38
Yuni karlina
39
Febri Monika Jumlah Persentase
Padang, Observer
7
VALIDASI LEMBAR OBSERVASI A. Petunjuk Berilah tanda ceklis (v) dalam kolom penilaian yang sesuai menurut pendapat Bapak/Ibu. Keterangan : 1 Berarti ”tidak baik” 2 Berarti ”Kurang baik” 3 Berarti”cukup baik” 4 Berarti ”baik” 5 Berarti ”Sangat baik” B. Penilaian ditnjau dari beberapa aspek SKALA PENILAIAN No
ASPEK YANG DINILAI 1
1
FORMAT Kejelasan pembagian aktivitas
2
ISI 1. Kebenaran isi item aktivitas 2. Dikelompokkan dalam bagian-bagian yang logis 3. Kelayakan sebagai instrumen penelitian 4. Merupakan aktivitas yang esensial 5. Perannya untuk mendorong siswa dalam meningkatkan aktivitas pembelajaran
3
BAHASA 1. Kebenaran tata bahasa 2. Kesederhanaan struktur kalimat
2
3
4
5
8
3. Kejelasan petunjuk dan arahan
C. Penilaian Umum Rekomendasi atau kesimpulan umum *) 1. Lembar Observasi ini : a)
tidak baik
b)
kurang baik
c)
cukup baik
d)
baik
e)
sangat baik
2. Lembar Observasi ini : a)
belum dapat digunakan dan masih memerlukan konsultasi
b)
dapat digunakan dengan banyak revisi
c)
dapat digunakan dengan sedikit revisi
d)
dapat diguakan tanpa revisi
*) lingkarilah nomor atau angka sesuai penilaian Bapak/Ibu D. Komentar dan saran perbaikan …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Padang, validator
9
LEMBAR VALIDASI RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Petunjuk pengisian penilaian: Berilah penilaian yang sesuai menurut bapak/ibu dengan memberikan tanda ( ) pada salah satu kolam jawaban yang tersedia dengan pilihan alternatif: 1. Kurang baik 2. Cukup 3. Baik 4. Baik sekali Penilaian diberikan berdasarkan descriptor pada setiap indicator (terlampir) NO
PENILAIAN KOMPONEN 1
1
PENENTUAN BAHAN PEMBELAJARAN DAN PERUMUSAN TUJUAN a. Penggunaan bahan pembelajaran sesuai dengan kurikulum b. Perumusan indicator sesuai dengan pencapaian kompetensi
2
PEMILIHAN DAN PENGORGANISASIAN MATERI, MEDIA DAN SUMBER a. Pengorganisasian materi pembelajaran b. Penentuan alat bantu mengajar c. Penentuan sumber belajar
3
PERANCANGAN SKENARIO/STRATEGI PEMBELAJARAN a. Pilihan jenis kegiatan belajar b. Susunan langkah-langkah mengajar c. Pilihan cara-cara memotivasi siswa
4
PERANGCANGAN PEGELOLAAN KELAS a. Penetapan alokasi waktu belajar mengajar
2
3
4
10
b. Pilihan cara-cara pengorganisasian siswa agar dapat berpartisipasi dalam kegiatan belajar mengajar 5
RANCANGAN PROSEDUR DAN PERSIAPAN ALAT EVALUASI a. Penentuan jenis dan prosedur penilaian b. Pembuatan alat-alat penilaian
Penilaian Umum Rekomendasi atau kesimpulan umum *) RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ini : 1. kurang baik 2. cukup baik 3. baik 4. sangat baik RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ini : 1. belum dapat digunakan dan masih memerlukan konsultasi 2. dapat digunakan dengan banyak revisi 3. dapat digunakan dengan sedikit revisi 4. dapat diguakan tanpa revisi *) lingkarilah nomor atau angka sesuai penilaian Bapak/Ibu Komentar dan saran perbaikan …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Padang, validator
11
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran
: MATEMATIKA
KLS/Program/Semester
: XI/IPS/ 2
Tahun Pelajaran
: 2010-2011
Pertemuan
: I, dan II
Siklus
: Pertama
Standar Kompetensi : 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi. Kompetensi Dasar : 2.2Menentukan invers dari suatu fungsi Indikator : • • • •
Menentukan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi. Mengidentifikasi sifat fungsi invers. Menggambar grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
I. Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat 1. 2. 3. 4.
menentukan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers; menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi; mengidentifikasi sifat fungsi invers; menggambar grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.
II. Materi Pembelajaran FUNGSI INVERS Fungsi f : A→B mempunyai relasi invers yaitu f -1 yang memasangkan f(a) B ke a A ( f -1 : B→A ). Relasi invers f -1 dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Contoh : Misal fungsi f : A → B dengan A = { 1,2,3 } dan B = { a,b,c } didefinisikan dengan diagram dibawah ini
12
f 1
a
2
b
3
c
A
B
Relasi invers ( f -1 : B→A ) adalah :
f -1
a
1
b
2
c
3
B
A
Relasi invers f -1 adalah fungsi ( yang biasa disebut fungsi invers f ) karena setiap anggota B dipetakan dengan tepat satu anggota A. Contoh : Misalkan fungsi g : C → D dengan C = { a,e,o } dan D = { 1,2,3,4 } didefinisikan dengan diagram berikut ini : g -1
g a
1
1
e
2
2
a
e 3 o
A
B
B
oA g -1 bukan fungsi
13
Menentukan rumus fungsi invers Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers f -1 (x) bila rumus fungsi f(x) sudah diketahui adalah : 1. ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y 2. bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dan beri nama f -1(y) 3. ganti y pada f -1 (y) dengan x untuk mendapatkan f -1 (x) f -1 (x) adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x) Contoh : Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) =
x 1 x
Carilah : a. rumus untuk f -1 (x) b. daerah asal alami fungsi f(x) , daerah asal alami fungsi f -1 (x) Jawab: a.
x 1 x y (1 – x) = x
y=
y – yx
= x y = x + yx y = (y + 1) x x =
y y 1
f -1 (y) =
f -1 (x) =
y y 1 x x 1
14
Jadi fungsi invers dari fungsi f(x) =
Maka fungsi f(x) =
x x adalah f -1 (x) = 1 x x 1
x Oleh karena f(x) merupakan fungsi pecahan maka 1 x ,
bagian penyebut tidak boleh nol. Jadi daerah asal alami fungsi f(x) adalah Df = { x ׀x R dan x 1 } dan Fungsi f
-1
(x) =
x , maka f x 1
-1
(x) juga merupakan fungsi pecahan
maka bagian penyebut tidak boleh nol.Jadi daerah asal alami fungsi f -1 (x) adalah D f 1 = { x ׀ R dan x -1 }
Fungsi Invers Dari Fungsi Komposisi Contoh : Misalkan f : R
R dan g : R
a. (fog)-1(x) b. (g-1o f-1)(x) Jawab : a. (fog)(x) = f[g(x)] = f ( 5x – 1 ) = 3 ( 5x – 1 ) + 2 = 15x – 3 + 2 = 15x – 1 Misal (fog)(x) = y 15x – 1 = y 15x = y + 1
Jadi
R dengan f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 5x – 1. Tentukanlah :
15
b. (g-1of-1)(x) g(x) = 5x – 1 ,
misal g(x) = y
y = 5x – 1 5x = y + 1
Jadi f(x) = 3x + 2 , missal f(x) = y y = 3x + 2 3x = y – 2
Jadi Maka (g-1of-1)(x) = g-1 (f-1(x))
III. Metode Pembelajaran Model pembelajaran interaktif IV. Langkah-langkah Pembelajaran
16
Pertemuan 1
No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan ( 5 Menit)
Guru mengingatkan siswa dengan Siswa memberikan
beberapa
Alokasi Waktu (5)
menjawab 5 Menit
pertanyaan pertanyaan
dari
tentang fungsi komposisi, agar siswa guru . mengingat kembali tentang fungsi komposisi. Guru menyampaikan tujuan Siswa mendengar pembelajaran yang ingin dicapai pada penjelasan dari guru pertemuan ini. siswa dapat menentukan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers, menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi, mengidentifikasi sifat fungsi invers; 2
Kegiatan Inti ( 75 Menit)
Guru
mengajukan
pertanyaan
untuk
beberapa Siswa
10
mengarahkan menperhatikan
Menit
siswa kepada konsep yang akan penjelasan guru dan diperoleh/pelajari.
bertanya
Guru memberikan contoh soal kepada siswa mengenai fungsi invers. Agar siswa bisa dapat menentukan fungsi invers. f(x) = y= f(x)= y maka
x 1 x , misalkan
x 1 x , jadi y (1 – x) =
jika
ada
materi yang tidak di mengerti.
17
y x. didapat y – yx = x, maka x = y 1 ,
f -1 (y) = jadi
y Jadi fungsi invers y 1 ,
dari fungsi f(x) = f -1 (x) =
x adalah 1 x
x x 1
Guru memberikan soal kepada siswa
Siswa mengerjakan 50
Menit mengajukan soal-soal yang telah guru pertanyaan dan memberikan bantuan diberikan agar siswa dapat menemukan secara individu. Guru
berkeliling
penyelesaian soal tersebut.
Siswa
bertanya
kepada teman
guru yang
dan laian
apa-apa saja yang kurang mengerti. Secara acak guru menunjuk satu orang Siswa siswa
untuk
tampil
kedepan dapat
yang
lain 10
bertanya Menit
mempresentasikan hasil dari yang kepada siswa yang diperoleh.
tampil
kedepan
kelas sesuai dengan hasil
yang
diperolehnya.
Dan
siswa
lain
yang
mampu memberikan saran atau masukan agar
mendapatkan
18
hasil yang maksimal. Guru memberikan ide jika diperlukan.
Siswa
5 menit
mendengarkan penjelasan guru. 3
Penutup (10 Menit)
Guru meminta siswa untuk menyimpulkan
Melalui
tugas
yang 10
materi.
menantang ini, siswa Menit dapat menyimpulkan
(10 e n
materi
yang
sudah
dipelajari.
Guru meminta siswa agar mempersiapkan
Diharapkan
diri untuk mempelajari materi selanjutnya
mempersiapkan
dirumah.
untuk
siswa diri
mempelajari
pelajaran dirumah
Pertemuan II
No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan ( 5 Menit)
Guru mengingatkan siswa dengan Siswa memberikan
beberapa
Alokasi Waktu (5)
menjawab 5 Menit
pertanyaan pertanyaan
dari
tentang fungsi invers, agar siswa guru . mengingat kembali tentang fungsi invers. Guru menyampaikan tujuan Siswa mendengar pembelajaran yang ingin dicapai pada penjelasan dari guru pertemuan ini. siswa dapat
19
menentukan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers, menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi, mengidentifikasi sifat fungsi invers; 2
Kegiatan Inti ( 75 Menit)
Guru
mengajukan
pertanyaan
untuk
beberapa Siswa
10
mengarahkan menperhatikan
Menit
siswa kepada konsep yang akan penjelasan guru dan diperoleh/pelajari
tentang
fungsi bertanya
invers komposisi.
jika
ada
materi yang tidak di
Guru memberikan contoh soal kepada siswa mengenai fungsi invers komposisi. Agar siswa bisa dapat menentukan fungsi invers. f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 5x – 1 Tentukanlah
mengerti.
(fog)-1(x), dengan menggunakan rumus fungsi komposisi terlebih dahulu, maka setelah kita dapatkan, maka fungsi f bundaran g kita misalkan menjadi nilai y. maka didapatkan (fog)-1(x)
Guru memberikan soal kepada siswa. Guru
berkeliling
mengajukan
pertanyaan dan memberikan bantuan agar
siswa
dapat
menemukan
penyelesaian soal tersebut.
Siswa mengerjakan 50 soal-soal yang telah Menit diberikan
guru
secara individu. Siswa kepada teman
bertanya guru yang
dan laian
apa-apa saja yang kurang mengerti.
20
Secara acak guru menunjuk satu orang Siswa siswa
untuk
tampil
yang
kedepan dapat
lain 10
bertanya Menit
mempresentasikan hasil dari yang kepada siswa yang diperoleh.
tampil
kedepan
kelas sesuai dengan hasil
yang
diperolehnya.
Dan
siswa
lain
yang
mampu memberikan saran atau masukan agar
mendapatkan
hasil yang maksimal. Guru memberikan ide jika diperlukan.
5 menit
Siswa mendengarkan penjelasan guru.
3
Penutup (10 Menit)
Guru meminta siswa untuk menyimpulkan
Melalui
tugas
yang 10
materi.
menantang ini, siswa Menit dapat menyimpulkan
(11 e n
materi
yang
sudah
dipelajari.
Guru meminta siswa agar mempersiapkan
Diharapkan
diri untuk mempelajari materi selanjutnya
mempersiapkan
dirumah.
untuk
siswa
mempelajari
pelajaran dirumah
IV.
Alat dan Sumber Belajar 1. Buku matematika kelas XI IPS 2. Kalkulator
diri
21
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran
: MATEMATIKA
KLS/Program/Semester
: XI/IPS/ II
Tahun Pelajaran
: 2010-2011
Pertemuan
: III, IV dan V
Siklus
: Ke Dua
Standar Kompetensi : 4. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : 4.1 Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di satu titik Indikator : 1. 2. 3.
Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik. Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
V. Tujuan pembelajaran: Setelah mengikuti pelajaran ini, siswa diharapkan dapat : 1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik; 2. menghitung limit fungsi aljabar di satu titik; 3. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
VI.Materi Ajar Limit Fungsi Pernahkah anda mendengar kalimat-kalimat : mobil dan motor itu nyaris bertabrakan, atlit yang sedang bertanding itu hamper ke finish, anak kecil itu mendekati ibunya. Kata-kata : nyaris, hampir, dan mendekati, di dalam matematika di sebut dengan limit. Dalam hal ini anda akan diperkenalkan dengan berbagai bentuk limit fungsi aljabar, trigonometri dan cara penyelesaiannya.
22
A. Pengertian Limit Fungsi Aljabar 1. Pengertian limit fungsi secara intuitif Contoh 1 : Misalkan fungsi y = f(x) = x – 1 terdefinisi untuk semua x bilangan real. Jika x mendekati 3, berapa nilai f(x) ? Jawab : Perhatikan table berikut ini X
2,8
2,9
2,99
2,999
→3←
3,001
3,01
3,1
3,2
y=f(x)
1,8
1,9
1,99
1,999
…? …
2,001
2,01
2,1
2,2
Dari table di atas, tampak bahwa bila x mendekati 3 dari kiri maupun dari kanan, hasil f(x) adalah 2. Berdasarkan pembahasan pada contoh di atas, pengertian limit fungsi di definisikan secara intuitif sebagai berikut :
lim f ( x) L dapat diartikan bahwa jika x mendekati a ( tetapi x a) maka f(x) mendekati x a
nilai L. 2. Pengertian limit fungsi di takberhingga Untuk menyatakan keadaan yabg tidak dapat ditentukan besar atau nilainya digunakan lambing ∞ (tak berhingga). Contoh 2 : Misalkan fungsi y = f(x) =
1 . Berapa nilai f(x) jika x mendekati tak berhingga? x
Jawab : X
1
2
3
…
10
…
100
…
1000
…
10000
…
∞
1 x
1
0,5
0,33
…
0,1
…
0,01
…
0,001
…
0,0001
…
0
23
Dari data di atas, tampak bahwa Limit f ( x) Limit x
x
1 0 x
Jadi, secara umum limit tak hingga dinyatakan sebagai berikut :
Limit x
1 0 , untuk n positif. x5
B. Menentukan limit fungsi aljabar 1. Limit fungsi f(x) untuk x a Cara substitusi langsung Contoh 3 Tentukan limit fungsi-fungsi berikut : a. lim (2 x 1) x 1
b. lim
2x 2 1 x3
c. lim
3x 3
x 0
x 2
Jawab : a. lim (2 x 1) = 2 (1) – 4 x 1
= -2 b. lim
x 0
c. lim
x 2
2x 2 1 2(0) 2 1 1 = x3 03 3
3x 3 =
3(2) 3 = 3
Dari contoh diatas, tampak bahwa hasil yang diperoleh bukan bentuk tak tentu (bentuk
0 0 ). Apabila di substitusi langsung menghasilkan bentuk maka itu bukanlah jawabannya. 0 0
Maka apa yang harus dilakukan ?
24
Lakukan cara alternative seperti dibawah ini : 1)
Cara pemfaktoran Contoh 4 Tentukan nilai limit fungsi-fungsi berikut :
2x 2 x 1 a. lim x 1 x 1 c. lim
x2 x 6 b. lim x2 x 2 2x
x3 2x 2 6x
d. lim
x 4x 2
x 0
x 9
m 3 m 9
Jawab : a. lim
x 1
2x 2 x 1 (2 x 1)( x 1) = lim x 1 x 1 ( x 1) = lim (2 x 1) x 1
= 2(-1) – 1
substitusi x = -1
= -3 b. lim
x2
x2 x 6 ( x 3)( x 2) = lim 2 x2 x ( x 2) x 2x = lim
x 2
c. lim
x 0
=
23 2
=
5 2
x3 2x 2 6x x 4x 2
x3 x substitusi x = 2
= lim
x ( x 2 2 x 6) x ( x 4)
= lim
x 2 2x 6 x4
x 0
x 0
25
=
( 0 ) 2 2( 0 ) 6 04
=
6 3 4 2
substitusi x = 0
( m 3) m 3 = lim x 9 m 9 ( m 3)( m 3)
d. lim
x 9
= lim
x 9
m 3
1
=
=
1
9 3
substitusi m = 9
1 6
2) Mengalikan dengan faktor kawan Yang dimaksud dengan faktor kawan adalah sebagai berikut : (x–a)
faktor kawan dari ( x + a )
( x a)
faktor kawan dari ( x a )
( x a )
faktor kawan dari ( x a )
( x a b)
faktor kawan dari ( x a b )
Perkalian dengan faktor kawan akan menghilangkan tanda akar. Perhatikan contoh soal berikut ini : a. lim
x 3
c. lim
x 2
x 3 x 3
( x 2) x2 5 3
b. lim
x 0
x 16 4 x
26
Jawab : a. lim
x 3
x 3 = lim x 3 x 3
= lim
x 3
x 3 x 3 mengalikan dengan factor sekawan . x 3 x 3 ( x 3) ( x 3)( x 3 ) 1
= lim
x 3
x 3
1
=
=
b. lim
x 0
substitusi x = 3
3 3 1 2 3
=
x 16 4 . x
x 16 4 = lim x 0 x
= lim
x 0
= lim
x 0
= lim
x 0
=
=
1 3 6
x 16 4
mengalikan dengan factor sekawan
( x 16 ) 16 x( x 16 4) x x( x 16 4)
1 ( x 16 4) 1
( 16 4) 1 8
x 16 4
substitusi x = 0
27
c. lim
x 2
( x 2) x2 5 3
= lim
x 2
( x 2) x2 5 3
.
x2 5 3 x2 5 3
= lim
( x 2) x 2 5 3 x2 5 9
= lim
( x 2) x 2 5 3 x2 4
= lim
( x 2) x 2 5 3 ( x 2)(x 2)
x2
x2
x 2
= lim
x 2
=
x2 5 3 ( x 2)
22 5 3 (2 2)
=
memfaktorkan
substitusi x = 2
3 2
VII. Alokasi Waktu : 6 x 45 Menit VIII. Model Pembelajaran : Pengajaran Langsung Metode : Tanya jawab dan pemberian tugas IX. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan III (2 x 45 Menit)
Materi : Limit Fungsi No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan (4 Menit)
•
Alokasi Waktu (5)
kegunaan Siswa bertanya jika ada hal 4 Menit materi yang akan dipelajari yang tidak dimengerti dalam kehidupan sehari-hari Guru
menjelaskan
28
(khususnya yang berkaitan dengan kompetensi dasar). 2
Kegiatan Inti (73 Menit)
a. Guru memberikan contoh Siswa menperhatikan kehidupan sehari-hari tentang penjelasan guru. limit. “ kesabaran ilham siswa kelas XI IPS hampir mendekati batasnya karena melihat sikap dari maman” atau “mobil bapak sekolah hampir bertabrakan dengan motor neory” b. Guru meminta siswa memberikan contoh tentang limit yang lainnya yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari mereka.
Siswa menjawab pertanyaan guru. “ Uang bulanan agung yang diperoleh dikampung hamper habis”.
10 Menit
5 Menit
menyebutkan c. Dari Tanya jawab, disimpulkan Siswa pengertian limit. “Limit pengertian limit. adalah sebuah kata yang artinya mendekati”
d. Guru memberikan satu buah Siswa mengerjakan soalcontoh tentang limit fungsi untuk soal yang telah diberikan mengarahkan siswa untuk guru secara individu. mengerjakan latihan.
lim (2 x 1) x 1
Siswa
bertanya
48 Menit
kepada
, dengan cara guru dan teman yang lain substitusi maka nilai x diganti apa-apa saja yang kurang dengan 1. mengerti. e. Guru memonitor dan membantu Siswa yang lain dapat bertanya kepada siswa siswa kalau ada pertanyaan. yang tampil kedepan kelas sesuai dengan hasil yang diperolehnya. Dan siswa yang lain mampu f. Secara acak guru menunjuk satu memberikan saran atau orang siswa untuk tampil kedepan masukan agar
10 Menit
29
mempresentasikan hasil dari yang mendapatkan hasil yang diperoleh. maksimal. 3
Penutup (10 Menit)
a. Guru meminta siswa untuk Melalui tugas yang menyimpulkan materi yang sudah menantang ini, siswa dapat menyimpulkan materi yang dipelajari . sudah dipelajari.
7 Menit
b. Guru meminta siswa agar siswa mempersiapkan diri mempersiapkan diri untuk untuk mempelajari mempelajari materi selanjutnya pelajaran dirumah dirumah.
3 Menit
Pertemuan IV (2 x 45 Menit) Materi : Menentukan limit dengan cara pemfaktoran No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan ( 5 Menit)
2
Kegiatan Inti ( 75 Menit)
Guru mengingatkan kembali materi Siswa menjawab tentang limit dengan cara substitusi. pertanyaan dari guru .
Alokasi Waktu (5) 5 Menit
a. Guru memberikan contoh tentang Siswa memperhatikan dan 5 Menit limit fungsi yang menggunakan mendengarkan contoh yang cara memfaktorkan diberikan guru.
2x 2 x 1 , dimana x 1 x 1 2 x 2 x 1 difaktorkan menjadi (2 x 1)(x 1) , sehingga x 1 lim
bisa habis dan 2 x 1 yang tinggal, maka nilai x diganti atau disubstitusi menjadi -1. Maka nilainya menjadi -3. b. Guru memonitor dan membantu Siswa mengerjakan latihan 15 Menit
30
siswa kalau ada pertanyaan.
yang diberikan guru. Siswa bertanya kepada guru dan teman yang lain apa-apa saja yang kurang mengerti.
c. Secara acak guru menunjuk satu orang siswa untuk tampil kedepan mempresentasikan hasil dari yang diperoleh.
3
Penutup (10 Menit)
Guru meminta siswa menyimpulkan materi. (12 e n i t )
Siswa yang lain dapat 40 Menit bertanya kepada siswa yang tampil kedepan kelas sesuai dengan hasil yang diperolehnya. Dan siswa yang lain mampu memberikan saran atau masukan agar mendapatkan hasil yang maksimal.
untuk Melalui tugas yang 7 Menit menantang ini, siswa dapat menyimpulkan materi yang sudah dipelajari. Yaitu bagaimana cara menentukan aljabar limit fungsi yaitu dengan mencari factor yang sama antara pembilang dan penyebut dan membaginya sehingga dapat disdederhanakan dan disubstitusi nilai x tersebut
Guru meminta siswa agar mempersiapkan diri untuk mempelajari materi selanjutnya dirumah.
Diharapkan siswa 3 Menit mempersiapkan diri untuk mempelajari pelajaran dirumah
31
Pertemuan V (2 x 45 Menit) Materi : Menentukan limit dengan cara mengalikan akar sekawan No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan ( 5 Menit)
2
Kegiatan Inti ( 75 Menit)
Alokasi Waktu (5)
Guru mengingatkan kembali materi Siswa menjawab tentang limit dengan cara substitusi pertanyaan dari guru . dan menfaktorkan.
5 Menit
a. Guru memberikan contoh tentang Siswa memperhatikan dan 5 Menit limit fungsi yang menggunakan mendengarkan contoh yang cara mengalikan akar sekawan diberikan guru.
Limit x
3x 2 2 x 1
dimana
3x 2 3x 2
kita
2x 1 2x 1
,
mengalikan
dengan
15 Menit
sehingga
,
mendapatkan
x3 3x 2 2 x 1 ,
Limit x
lalu kita bagi
dengan pangkat tertinggi. Disini x memilki pangkat tertinggi satu maka semunya dibagi dengan x, sehinggga diperolerh nilainy 1 b. Guru memonitor dan membantu Siswa mengerjakan latihan 40 Menit siswa kalau ada pertanyaan. yang diberikan guru. Siswa bertanya kepada guru dan teman yang lain apa-apa saja yang kurang mengerti. c. Secara acak guru menunjuk satu Siswa
yang
lain
dapat
32
orang siswa untuk tampil kedepan bertanya kepada siswa 15 Menit mempresentasikan hasil dari yang yang tampil kedepan kelas sesuai dengan hasil yang diperoleh. diperolehnya. Dan siswa yang lain mampu memberikan saran atau masukan agar mendapatkan hasil yang maksimal.
X.
Alat dan Sumber Belajar 3. Buku matematika kelas XI IPS 4. Kalkulator
XI. Penilaian 1. Tehnik 2. Bentuk Instrumen
: Tes tertulis : Tes uraian
33
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Standar Kompetensi : 1.
Mata Pelajaran
: MATEMATIKA
KLS/Program/Semester
: XI/IPS/ 2
Tahun Pelajaran
: 2010-2011
Pertemuan
: VI, dan VII
Siklus
: Ke 3
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar: Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Indikator : •
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.
Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar.
•
Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan.
I. Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat 1. menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi; 2. menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar; 3. menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan.
II. Materi Pembelajaran Limit Fungsi TEOREMA LIMIT UTAMA Dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar, baik untuk x mendekati a maupun x mendekati , sebenarnya secara tak langsung kita sudah menggunakan teorema limit. Jika n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit untuk x mendekati a berlaku sifat-sifat berikut :
34
1. Limit k k x a
2. Limit x a x a
3. Limit k f ( x) k Limit f ( x) xa
x a
4. Limit [ f ( x) g ( x)] Limit f ( x) lim it g ( x) x a
x a
x a
5. Limit [ f ( x) g ( x)] Limit f ( x) lim it g ( x) x a
x a
x a
6. Limit[ f ( x) . g ( x)] Limit f ( x) . lim it g ( x) x a
7. Limit x a
x a
x a
f ( x) f ( x) Limit x a , Limit g ( x) 0 g ( x) Limit g ( x) xa x a
8. Limit [ f ( x)]n Limit f ( x) x a
x a
n
9. Limit n f ( x) n Limit f ( x) x a
x a
Contoh soal Tentukanlah nilai limit berikut : x5 x
1. Limit 5
5. Limit
2. Limit x 4
6. Limit (4 x 3) 3
x4
x 4
x 2
x3
3. Limit 3 (3x 5x 1)
4x 3 2x 2 1 7. Limit x 2 3x 3 9
4. Limit ( x 1) ( x 4)
8. Limit
2
x 2
x2
x4
3
x 7x 1
35
Jawab : 1. Limit 5 5
(Teorema 1)
2. Limit x 4 = 34
(Teorema 2)
x 4
x3
3. Limit 3 (3x 2 5x 1) = Limit 9 x 2 15x 3 x 2
x 2
= Limit 9 x 2 Limit15x lim it 3 x 2
x 2
(Teorema 4 dan 5)
x 2
= 9 (2)2 + 15(2) – 3 = 36 + 30 -3 = 63 4. Limit ( x 1) ( x 4) = Limit ( x 1) . lim it ( x 4) x2
x2
(Teorema 6)
x2
= (2+1) (2-4) = 3(-2) = -6
x5 x 5 Limit 45 3 = x 4 x Limit x 4 4
5. Limit x4
(Teorema 7)
x 4
6. Limit (4 x 3) 3 = x 2
7. Limit x 2
Limit 4 x 3 x 2
3 4(2) 33 (5) 3
4x 3 2x 2 1 3x 3 9
(Teorema 7, 4 dan 5)
Limit 4 x 3 2 x 2 1 =
x 2
Limit 3x 9 3
x 2
125
Limit 4 x 3 Limit 2 x 2 Limit 1 x 2
x 2 3
x 2
Limit 3x Limit 9 x 2
4(2) 3 2(2) 2 1 32 8 1 25 5 = 24 9 15 3 3(2) 3 9
x 2
(Teorema 8)
36
8. Limit x4
3
x = 7x 1
3
Limit x 4
x = 7x 1
Limit x 3
x 4
Limit 7x 1 x 4
3
4 7(4) 1
3
4 13 4 (Teorema 9) 27 3
IV. Langkah-langkah Pembelajaran Pertemuan VI
No
1.
Kegiatan
Aktivitas Guru
Alokasi
Aktivitas Siswa
Waktu
Pendahuluan (15 menit) a. Apersepsi
Guru
mempersiapkan
siswa Siswa
menjawab
setiap
5 menit
dengan mengingatkan kembali pertanyaan yang diberikan oleh siswa mengenai limit fungsi ngan guru mengenai diagram pohon. menggunakan cara substitusi, memfaktorkan, dan mengalikan dengan akar sekawan 5 menit b. Introduksi
Guru menyampaikan pembelajaran kepada
tujuan Siswa mendengarkan siswa, penjelasan yang diberikan oleh
yaitu siswa dapat menjelaskan
arti bentuk tak tentu dari limit fungsi, menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar dan menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. 2.
Kegiatan Inti
Dengan
menggunakan
guru.
cara Siswa
5 menit
mendengarkan
substitusi, menfaktorkan, guru penjelasan dari guru. (55 menit)
menjelaskan tentang teorema limit
sehingga
siwa
dapat
10 menit
37
menyelesaikan teorema limit Guru memberikan soal-soal yang Siswa mengerjakan soal secara menantang kepada siswa.
individu.
35 menit
Guru memastikan bahwa siswa Diharapkan siswa mau bertanya memahami
apa
yang
akan kepada teman yang lain jika ada soal yang tidak dimengerti, dan
dikerjakan.
mau mendengarkan ide serta memberikan ide kepada teman guru membimbing siswa dalam yang lain yang belum mengerti menemukan penyelesaian soal dalam tersebut.
menyelesaikan
soal
tersebut.
Guru meminta beberapa siswa Siswa menyebutkan kesimpulan untuk
menyebutkan
kembali materi yang telah dipelajari.
15 menit
kesimpulan materi yang telah dipelajari.
Guru memberikan PR kepada Siswa mencatat soal PR yang siswa. diberika oleh guru.
Pertemuan VII (2 x 45 Menit) No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan ( 5 Menit)
Guru mengingatkan kembali tentang Siswa menjawab teorema yang sudah diberikan. pertanyaan dari guru . Dengan
mengajukan
beberapa
Alokasi Waktu (5) 5 Menit
38
pertanyaan kepada siswa. 2
Kegiatan Inti ( 75 Menit)
Guru
mengajukan
beberapa Siswa menperhatikan 10 Menit guru dan pertanyaan untuk mengarahkan penjelasan bertanya jika ada materi siswa kepada konsep yang akan yang tidak di mengerti. diperoleh/pelajari.
Guru melanjutkan teorema limit yang Siswa mengerjakan soal- 50 Menit soal yang telah diberikan belum diajarkan kan kepada siswa, guru secara individu. sehingga siswa bisa mengerjakan soal tentang teorema limit selanjutnya
Guru berkeliling mengajukan pertanyaan dan memberikan bantuan agar siswa dapat menemukan penyelesaian soal tersebut.
Siswa bertanya kepada guru dan teman yang laian apa-apa saja yang kurang mengerti.
Secara acak guru menunjuk satu Siswa yang lain dapat 10 Menit orang siswa untuk tampil kedepan bertanya kepada siswa mempresentasikan hasil dari yang yang tampil kedepan kelas diperoleh. sesuai dengan hasil yang diperolehnya. Dan siswa yang lain mampu memberikan saran atau masukan agar mendapatkan hasil yang maksimal. Guru memberikan ide jika diperlukan.
3
Penutup (10 Menit)
Guru meminta siswa menyimpulkan materi. (13 e n
Siswa mendengarkan 5 Menit penjelasan guru.
untuk Melalui tugas yang 7 Menit menantang ini, siswa dapat menyimpulkan materi yang sudah dipelajari.
39
Guru meminta i siswa agar mempersiapkan t diri untuk mempelajari materi selanjutnya ) dirumah.
V. Alat dan Sumber Belajar 1. Buku matematika kelas XI IPS 2. Kalkulator
1.
Penilaian 1. Tehnik 2. Bentuk Instrumen 3. Soal Instrumen
: Tes tertulis : Tes uraian :
Diharapkan siswa mempersiapkan diri untuk mempelajari pelajaran dirumah.
40
Soal Pertemuan I
1. Diketahui f(x) = 6x + 3, maka tentukanlah f-1(x) ! maka tentukanlah invers f-1 !
2. Jika
Jika f-1 adalah invers fungsi f, maka tentukanlah f-1(x-2)
3. Diketahui
Tentukanlah f-1 !
4. Diketahui 5. Tentukan rumus fungsi invers f-1(x) a.
f(x) = x + 5
b.
f(x) =
1 x+1 2
c. f(x) = 2 (x + 3)
41
Soal Pertemuan II
1. Diketahui
fungsi
f
dan
g
yang
ditentukan
oleh
f(x)
=
2x
+
1
dan
-1
. Tentukanlah (fog) (x) !.
2. Jika fungsi f : R
R dan g : R
R diketahui f(x) = x3 dan
g(x) = 3x – 4, tentukanlah
(g-1of-1)(8) !. 3. Diketahui fungsi f : R
R dan g : R
R dirumuskan dengan
dan
g(x) = x + 3. Tentukanlah (gof)-1(x) ! 4. Diketahui fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = 4 – 2x. Tentukanlah (fog)-1(x) dan (gof)-1(x) !.
42
Soal Pertemuan III dan IV
Tentukan nilai limit fungsi-fungsi berikut : a. lim
x 1
2x 2 x 1 x 1
x2 x 6 b. lim x2 x 2 2x
c. lim
x 0
d. lim
x 9
x3 2x 2 6x x 4x 2
m 3 m 9
Tentukan nilai limit berikut : 1.
2.
3.
4.
5.
43
Soal Pertemuan V Tentukan nilai limit berikut : 1.
2. 3.
4. 5.
44
Soal Pertemuan VI dan VII 1. Limit 6 x
6. Limit
2 2. Limit x
7. Limit
2 3. Limit (3x 2) ( x 5 x)
8. Limit
9. Limit
x 1
x 10
x 3
x 3
5. Limit x4
3
x2 7
1 2
3
1 3x 5 3x 8 x x4
4
2
x 3
x 2
3
2
x 3
x 5
2 2 4. Limit x x 5 x 4
3x x
2x 2 8 10 x 5
4 2 10. Limit 2 x x 3 x x 6
45
Soal Siklus I
1. Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan
, tentukanlah :
a. f-1(x) b. g-1(x) c. (fog)-1(x) d. (gof)-1(x)
2. Diketahui fungsi f : R
R dan g : R
g(x) = x + 3. Tentukanlah : a. f-1(x) b. g-1(x) c. (fog)-1(x) d. (gof)-1(x) e. (g-1of-1)(x)
R dirumuskan dengan
dan
46
Soal Siklus II
a. lim
x 0
2x 2 1 = x3
b. lim
3x 3 =
c. lim
x 16 4 x
x 2
x 0
d. lim
x 2
e. lim
x
( x 2) x2 5 3 x2 2x3 1
47
Soal Siklus III
Tentukanlah nilai limit berikut : x5 x
1. Limit 5x
5. Limit
2. Limit x 4
6. Limit (4 x 3) 3
3. Limit 3 (3x 2 5 x 1)
7. Limit
4x 3 2x 2 1 3x 3 9
4. Limit ( x 1) ( x 4)
8. Limit
3
x 4
x 3
x 2
x 2
x4
x 2
x 2
x4
x 7x 1
