Frans van Galen en Lia Oosterwaal
Rekenproblemen Kinderen leren redeneren in discussies over open vraagstukken
Tijd voor discussie Wie er naar zoekt kan in de methoden heel wat mooie rekenproblemen vinden. Op de website van Volgens Bartjens kunt u een paar voorbeelden vinden. Wanneer je zulke opgaven leest, weet je dat rekenen spannend kan zijn, zowel voor de leerlingen als voor de leerkracht. In de praktijk zien veel leerlingen rekenen-wiskunde echter als een vak van regeltjes leren en sommetjes maken. Zij denken dat redeneren, argumenteren en met elkaar in discussie gaan bij andere vakken thuis hoort. Volgens ons is redeneren en discussiëren juist de kern van de reken-wiskundeles. Inzicht ontwikkelen leerlingen niet door naar de leerkracht te luisteren, ze leren het door hun eigen redeneringen onder woorden te brengen en daar met anderen over te praten. In de praktijk is het echter niet zo eenvoudig om discussiëren in de rekenles de plaats te geven die het verdient. Je moet er de tijd voor nemen, en als leerkracht kom je altijd tijd te kort. In dit artikel beschrijven we twee lessen rond problemen uit een rekenmethode. De leerkracht presenteerde de opgaven zo open mogelijk. Het leverde veel nadenken, puzzelen en argumenteren op. Zulke lessen kosten veel tijd, en meer tijd dat de methode ervoor lijkt in te ruimen. Ervaring heeft ons echter geleerd dat die tijd goed besteed is, want leerlingen ontwikkelen fundamentele inzichten die het belang van dat ene rekenprobleem ver overstijgen. Kinderen gaan hierdoor beter presteren en uiteindelijk win je er als leerkracht dus ook tijd mee. Je wint er trouwens nog iets anders mee: de rekenles wordt veel spannender. Hoe ga je naar school? Les 6 van blok 3 uit Rekenrijk 7A begint met een mooi probleem (zie afbeelding 1). In een schoolkrant staan de gegevens van een enquête over hoe kinderen naar school komen. 72 kinderen hebben de enquête ingevuld en de school heeft in totaal 180 leerlingen. Het is een pittig probleem, want het aantal kinderen dat lopend komt is bijvoorbeeld niet gegeven. Er staat alleen: ‘De anderen gaan lopend naar school’. De vraag waar het uitein-
30
Volgens Bartjens... Jaargang 27 2007/2008 nr. 2
delijk om draait is: als je gegevens hebt over 72 kinderen die de enquête hebben ingevuld, wat kun je dan zeggen over de hele school? Boven de opgave staat: ‘Wat kun je uitrekenen?’ Het lijkt daardoor alsof kinderen zelf hun vraag mogen bedenken bij de situatie, wat de opgave open en uitdagend zou maken. Jammer genoeg staat direct onder het stukje uit de schoolkrant een verhoudingstabel en die stuurt iedereen - de juf en de leerlingen - direct in een bepaalde richting. We vroegen ons af wat er zou gebeuren als je het probleem helemaal open zou aanbieden. Afbeelding 1
Dit vraagstuk wordt open als je de verhoudingstabel die er bij stond afgebeeld weglaat.
Cirkeldiagram in plaats van verhoudingstabel De juf - Lia Oosterwaal - begint de les met inventariseren hoe de kinderen van haar klas naar school komen. Dan deelt ze een kopie van het tekstje uit Rekenrijk uit, zonder de verhoudingstabel die er in het boek onder staat. Haar vraag is: ‘Wat weet je nu? Wat kun je er over zeggen?’
JASPER OOSTLANDER
Veel kinderen zien rekenen als een vak waarin je regeltjes moet toepassen, en niet als een vak waarbij je problemen leert oplossen. Als we leerlingen willen laten redeneren moeten we hen problemen voorzetten waar wat aan te puzzelen valt. De reken-wiskunde-methodes bieden zulke opgaven, maar vaak stuurt de methode al direct in een bepaalde richting. Frans van Galen en Lia Oosterwaal laten zien hoe je met kleine aanpassingen rekenproblemen open aan kunt bieden.
Op welke wijze komen de leerlingen naar school? De enquêteuitslag vormt de basis voor een mooi probleem.
open aanbieden
JASPER OOSTLANDER
De leerlingen werken in groepjes van vier, wat in de klas gebruikelijk is. In een paar groepjes beginnen de leerlingen direct getallen over te nemen op hun kladblaadjes en te overleggen. Zij zijn gewend aan het werken met open vragen. Wat opvalt is dat in eerste instantie niemand een verhoudingstabel maakt. Het groepje van Hella begint met een cirkel waar ze 72 boven schrijven. De cirkel wordt eerst in kwarten verdeeld, en dan in achtsten. De 9 autokinderen (‘gebracht’) en de 18 buskinderen kunnen ze zo kwijt. Daarna vragen ze zich af wat ze met 24 fietsers moeten doen. Lia maakt de discussie weer even centraal en noteert op het bord wat de leerlingen tot nu toe besproken en berekend hebben. Er zijn meer groepjes die een cirkeldiagram hebben gemaakt. Op het bord wordt een cirkeldiagram getekend met de enquêtegegevens.
JASPER OOSTLANDER
Open vragen geven stof voor fundamentele discussies.
Als je de aanpak open laat kiezen leerlingen voor allerlei alternatieven.
Anela leest de vraag voor die haar groepje heeft bedacht: ‘Als ze nou allemaal gestemd zouden hebben, zou je het dan ook weten?’ Haar voorstel is om een verhoudingstabel te maken, want als je de 72 van de enquête verdubbelt, kom je in ieder geval al in de richting van 180. Haar voorstel roept echter fel protest op. Hella zegt dat 72 niet de helft van 180 is en Mohammed roept dat het sowieso niet mag, want niet iedereen heeft de enquête ingevuld, dus je weet gewoon niet hoe alle andere kinderen naar school komen. Dat moet je dan eerst vragen. Discussiestof genoeg dus. Verhoudingen De les duurde meer dan een half uur, zonder dat het probleem helemaal werd afgesloten. In de dagen erna gebruikten de leerlingen in tweetallen het computerprogramma ‘In Kaart’ (zie www.rekenweb.nl) om het probleem zelfstandig verder te onderzoeken. Een week later presenteerden leerlin-
gen hun resultaten en kwamen allerlei discussiepunten uit de eerste les nog eens klassikaal aan de orde. Het voert te ver om alles wat er gebeurde in detail te beschrijven. We kunnen wel samenvatten wat we leerden van de les. Op de eerste plaats werd duidelijk dat de verhoudingstabel die het boek erbij geeft blijkbaar helemaal niet zo voor de hand ligt. Het probleem gaat over een enquête en dan is het niet gek om eerst maar eens de antwoorden van de 72 leerlingen in een plaatje te zetten. Daarmee is de vraag over de 108 andere leerlingen en de 180 leerlingen op de hele school weliswaar nog niet beantwoord, maar die overstap kun je ook maken zonder verhoudingstabel. Als de verhoudingstabel onder het probleem was blijven staan zouden de leerlingen waarschijnlijk niet op het idee van zo’n cirkeldiagram zijn gekomen. Ze zouden zich direct zijn gaan afvragen wat ze met die verhoudingstabel moesten doen en daarmee zou de discussie over hoe je de overstap kunt maken van 72 ingevulde enquêtes naar 180 leerlingen op de totale school meteen zijn afgekapt. Een deel van de klas zou begrijpen waarom je dit met een verhoudingstabel kunt aanpakken, maar andere leerlingen zouden alleen geprobeerd hebben om het rekenwerk te volgen. De verhoudingstabel kwam nu aan de orde via de opmerking van Anela. Die kwam daar waarschijnlijk mee omdat de verhoudingstabel in de voorgaande lessen ook steeds een belangrijke rol had gespeeld. Het gaf de leerkracht de gelegenheid om de verschillende redeneringen naast elkaar te zetten. Wat we ook leerden is dat de overgang van uitspraken over 72 leerlingen naar uitspraken over de hele school helemaal niet vanzelfsprekend is. Het leidde in deze klas in ieder geval tot heftige discussies. Heel wat kinderen waren het met Mohammed eens: ‘Je weet niet wat die andere 108 leerlingen zouden antwoorden, dus je kunt helemaal niets zeggen over de 180 op de hele school.’ Daar tegenover stonden kinderen
Volgens Bartjens... Jaargang 27 2007/2008 nr. 2
31
die zeiden dat je wel een soort gedachtenexperiment kunt doen: ‘Stel dat alle kinderen de enquête hadden ingevuld, dan ....’ In de tweede les formuleerde Roos het mooi: ‘Aan de ene kant kun je het niet weten, aan de andere kant is het ook wel een logische gok.’ Met die ‘logische gok’ bedoelde ze dat je de verhoudingen binnen de steekproef bij gebrek aan beter ook neemt als de verhoudingen binnen de hele school. Ruimte geven We willen met dit voorbeeld niet betogen dat je als leerkracht elk contextprobleem zo moet aanbieden dat je er twee lessen gespreksstof aan overhoudt. We zijn wel van mening dat je als leerkracht het redeneren van leerlingen pas serieus neemt wanneer je leerlingen ruimte geeft. Dat botst soms met de methode. Meestal staan er die dag nog andere rekenactiviteiten op het programma, zodat voor het contextprobleem slechts een kwartiertje beschikbaar is, waardoor leraren snel naar de aanpak in de handleiding toe werken. Zo’n open discussie is ook niet iets voor elke dag, maar wel in alle opzichten de moeite waard. Vaak ontstaan er zo discussies die over heel wezenlijke wiskundige zaken gaan. Bij het probleem van het vervoer naar school waren dat: • Hoe kun je groepen verhoudingsgewijs vergelijken? Dat kan via de verhoudingstabel, maar het kan ook op allerlei andere manieren. • Kun je vanuit een steekproef iets zeggen over de totale groep? En welke betekenis hebben de getallen die je dan krijgt? Dergelijke intensieve discussies zijn van belang om leerlingen te leren inzien waar rekenprocedures op gebaseerd moeten zijn. Leerlingen die zich echt verdiept hebben in zulke fundamentele vragen, hoef je vaak dingen niet steeds opnieuw uit te leggen. Soms is een verwijzing naar een eerder probleem al voldoende: ‘Weet je nog hoe het zat bij dat probleem over hoe kinderen naar school komen?’ Uiteindelijk leveren zulke uitgebreide discussies dus toch tijdwinst op. Onze ervaring is bovendien dat kinderen beter gaan presteren. Wanneer je leerlingen de ruimte geeft om te redeneren en te discussiëren blijkt vaak dat wat volgens volwassenen en de methode vanzelfsprekend zou moeten zijn, voor kinderen helemaal niet vanzelfsprekend is. Het is belangrijk dat zulke punten boven tafel komen want anders ontstaan er - onzichtbare - struikelblokken. Kruipende baby’s Ons tweede voorbeeld komt ook uit Rekenrijk (7A, blok 1, les 10. Zie afbeelding 2). Van vier baby’s is de kruipsnelheid in meters per minuut weergegeven. De vraag is wie van hen de snelste baby is. Bij de opgave staat geen verhoudingstabel. In het boek is dit een herhalingsprobleem, waarover in de handleiding niet meer gezegd wordt dan: ‘Afstand en tijd omrekenen tot snelheid in meter per uur.’ Het is september. Lia heeft een nieuwe groep 7 en ze weet dat de opgave voor de leerlingen zeker geen routineprobleem is. Ze besluit er een hele les aan te besteden. Ze begint met te vertellen over haar dochter die als baby nauwelijks kroop en haar zoon die heel hard kon kruipen. Er wordt over gepraat dat ouders altijd erg trots zijn op wat hun baby’s al kunnen,
32
Volgens Bartjens... Jaargang 27 2007/2008 nr. 2
Afbeelding 2
Wie is de snelste baby?
en Lia vraagt hoe je zou kunnen meten hoe snel baby’s kruipen. Abdoel stelt voor dat vaders de baby kunnen lokken met een lievelingsspeeltje, of met iets lekkers. Andere kinderen denken dat het behoorlijk moeilijk zal zijn om zo’n wedstrijd te houden. Als Lia de blaadjes uitdeelt klinkt er een beetje teleurgesteld: ‘Oh, rekenen!’ De leerlingen krijgen vijf minuten om in hun groepje een aanpak te bedenken. In het groepje van Tisse zijn ze het gauw eens over twee van de baby’s: Jiska kruipt in twee minuten 15 meter. Dat is meer dan de 14 meter van Karin. Bij Minneke kunnen ze het niet uitrekenen voor twee minuten, maar wel voor anderhalve minuut, dus gaat Tisse gaat ook de afstand van baby Karin omrekenen naar anderhalve minuut. Richard, die in haar groepje zit, rekent anders: Karin kruipt zeven meter in een minuut, dus 21 meter in drie minuten en dat is minder dan Minneke. Later pakt Richard zijn rekenmachientje erbij en probeert alles om te rekenen naar 1 minuut. Hij trekt een gezicht van ‘kijk nou eens wat gek’ als hij ontdekt dat 23 : 3 het getal 7.666666 oplevert. In het klassikale gesprek blijkt dat de leerlingen naar verschillende aantallen minuten willen omrekenen. Lia noteert alle redeneringen in een verhoudingstabel. Het redeneren leverde in dit geval niet veel problemen op. Alle kinderen begrijpen dat je naar verschillende aantallen minuten kunt omrekenen en dat het op zich niet uitmaakt welk aantal je kiest, al maakt het wel verschil voor het rekenwerk. Ook bij dit probleem doen de leerlingen trouwens niet wat de methode adviseert: geen van de leerlingen rekent de kruipsnelheden om naar meters per uur. Terecht naar ons idee, want waarom zou je naar een uur omrekenen als je het met 1 of met 10 minuten af kan? Het was overigens opvallend dat de leerlingen direct aan het rekenen sloegen toen de blaadjes werden uitgedeeld. We weten niet of we daar blij mee moeten zijn. Zou het niet beter zijn geweest als leerlingen hadden geprotesteerd dat je niet kunt weten hoe ver baby’s in 3 of in 5 minuten kruipen? Door het gesprek vooraf was het idee van snelheid meten al wat gerelativeerd, maar het blijft een nogal geforceerde context, waar de leerlingen eigenlijk te braaf in meegingen. Van deze les leerden we vooral hoeveel moeite leerlingen hebben met het systematisch opschrijven van hun redeneerstappen. Ze proberen alles uit het hoofd te doen. Ze zetten wel een paar losse getallen op hun kladblaadjes, maar niemand maakt een systematisch lijstje, laat staan een verhoudingsta-
Organisatie Organisatorische maatregelen kunnen helpen. Het is bijvoorbeeld heel belangrijk om leerlingen in groepjes te laten overleggen. Er zijn altijd heel wat kinderen die niet weten hoe ze moeten beginnen. Daaronder behoren de leerlingen die niet echt begrijpen wat de vraag is. Dat is misschien ook niet zo vreemd bij een open vraag als ‘Wat kun je er over zeggen?’ Binnen een ‘rekengroepje’ ontstaat al snel een gesprek en dan helpen de leerlingen elkaar om de vraag te verduidelijken. We hebben ervaren dat het goed werkt om de klas op te delen in tweetallen - ‘rekenmaatjes’ - waarbij twee van zulke tweetallen samen weer een ‘rekengroepje’ vormen. In de klassikale lessen zitten de leerlingen met hun rekengroepje bij elkaar. Wanneer later, tijdens het zelfstandig werken, iets verder moet worden uitgewerkt doen kinderen dat samen met hun rekenmaatje.
JASPER OOSTLANDER
bel. Het kost de leerlingen in het klassengesprek dan ook erg veel moeite om hun redenering onder woorden te brengen. We komen daar straks nog op terug.
Kinderen die eigen aanpakken mogen kiezen, doen allerlei ontdekkingen.
Probleem oplossen Beide voorbeelden laten zien dat er eigenlijk niet zoveel voor nodig is om leerlingen aan het redeneren te krijgen. Neem een contextprobleem uit de methode, maar laat alles weg wat al direct in een bepaalde richting stuurt. Neem de tijd om het probleem te introduceren, zodat het probleem echt gaat leven voor de kinderen. Stimuleer leerlingen vervolgens om zelf een oplossing voor het probleem te zoeken en zorg dat ze met elkaar in discussie gaan. Het belangrijkste obstakel in het denken van leraren en methodeschrijvers is misschien het idee dat er een ‘handigste’ oplossing is waar alle leerlingen op uit zouden moeten komen. Er is immers haast nooit precies één handigste oplossing. Er is misschien zelfs niet één probleem, want een contextsituatie kan allerlei heel verschillende vragen oproepen. Het idee van realistisch reken-wiskundeonderwijs wordt vaak te simpel opgevat als: wanneer de correcte oplossing uit de klas komt en niet van de leerkracht, is het goed. Bij de discussies in de rekenles gaat het echter uiteindelijk niet om de slimste aanpak voor dat ene probleem, maar om de wiskunde die achter al die verschillende aanpakken ligt. Toch is het misschien te makkelijk gezegd dat je leerlingen direct aan het redeneren kunt krijgen door hen een interessant probleem voor te zetten. Kinderen moeten eerst leren wat er van hen verwacht wordt. Vaak zien ze rekenen als een vak waarin je vaste rekenprocedures leert, en niet als een vak waarin problemen oplossen centraal staat.
Het is verstandig om na een paar minuten groepswerk even klassikaal wat eerste bevindingen te inventariseren. Dat geeft je als leerkracht gelegenheid om de vraag aan te scherpen, en tegelijk komen er van de leerlingen al wat eerste suggesties over een mogelijke aanpak. Een mogelijke vorm van de les wordt dan: • Introductie van het probleem in een gesprek met de hele klas. • In groepjes aan het werk. • Na een paar minuten gezamenlijk inventariseren of de vraag inmiddels duidelijk is. De leerlingen hun eerste reacties op het probleem laten geven. • Verder werken in groepjes • Een paar groepjes presenteren hun oplossing. Als ze er nog niet helemaal uit zijn, vertellen ze hoe ver ze gekomen zijn. • Klassikale discussie en afronding. Eventueel kan nog vaker worden overgestapt van klassikaal naar groepswerk. Het kan bijvoorbeeld gebeuren dat er een vraag opkomt in het klassengesprek waar de leerlingen eigenlijk nog niet over hebben nagedacht. De leerkracht kan de leerlingen dan vragen om even in hun groepje te overleggen voordat de discussie weer klassikaal verder gaat. Vaak is het niet nodig om alle groepjes hun oplossing te laten vertellen. Begin met een groepje en vraag daarna of er groepjes zijn die het heel anders hebben aangepakt. Dat bespaart niet alleen tijd, maar heeft ook als voordeel dat de leerlingen hun eigen aanpak moeten vergelijken met wat er al gezegd is. Meer tips voor het realiseren van discussies in de klas zijn te vinden in het hoofdstuk over differentiatie in het TAL-boek Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen.1 Opschrijven geeft houvast bij het redeneren Het is onze ervaring dat leerlingen die nog niet gewend zijn aan discussies over rekenproblemen, in het begin behoorlijk veel moeite hebben met het onder woorden brengen van hun redeneringen. Dat geldt voor alle leerlingen, want ook een slim kind dat een prima aanpak heeft bedacht kan moeite hebben met het verwoorden van die aanpak. Het helpt om voortdurend te benadrukken dat de leerlingen hun kladblaadje of schrift moeten gebruiken om redeneerstappen op te schrijven. Bij het probleem van de kruipende baby’s zullen leerlingen hun eerste stappen vaak uit het hoofd kunnen doen. Bijvoorbeeld: ‘Jiska kruipt 30 meter in 4 minuten,
Volgens Bartjens... Jaargang 27 2007/2008 nr. 2
33
dus 15 meter in 2 minuten, en dat is meer dan Karin die in dezelfde tijd 14 meter kruipt.’ Vanuit zo’n eerste stap is het voor leerlingen verleidelijk om te denken dat ze de rest ook wel uit hun hoofd kunnen doen. Ze beginnen aan een volgende vergelijking, maar zijn aan het eind kwijt wat ze eerder hadden bedacht. Notaties geven houvast, zeker wanneer je als leerkracht ook de manier van opschrijven tot onderwerp van discussie maakt. Vaak zien kladblaadjes er chaotisch uit, met alle tussenresultaten lukraak verspreid over de bladzijde. Het argument van kinderen is soms dat ze heus nog wel weten waar de getallen bij horen, alleen gaat dat niet meer op als het probleem lastiger wordt. Een van de manieren om rekenstappen netjes op te schrijven is de verhoudingstabel. Over de specifieke rol van de verhoudingstabel kunt u lezen in het al eerder genoemde TAL-boek, en op de erbij behorende website.2 Nadenken doe je niet alleen Als we zeggen dat ‘kinderen moeten leren nadenken’ denken we niet aan kinderen die in gedachten uit het raam staren. We willen dat kinderen hun redeneringen op papier zetten en aan anderen uitleggen. Het gaat uiteindelijk om gesprekken over redeneringen.
Met dit artikel hopen we u te inspireren om van opgaven uit het rekenboek echte rekenproblemen te maken. Zie www.volgens-bartjens.nl voor drie mooie vraagstukken die u in de bovenbouw kunt gebruiken voor een open rekendiscussie. Frans van Galen is werkzaam als onderzoeker/ontwikkelaar. Lia Oosterwaal is werkzaam als leerkracht en begeleider. Beiden werken mee aan het project TienVeertien van het Freudenthal Instituut, waarin onderzocht wordt hoe redeneren en discussiëren een grotere plaats kan krijgen in het reken-wiskundeonderwijs. Noten: 1. Tal-team (2005) Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen; Tussendoelen annex leerlijnen bovenbouw basisschool. Groningen: Wolters-Noordhoff. 2. Website: www.fi.uu.nl/talbovenbouw. Over de verhoudingstabel is informatie te vinden bij de lessen rond ‘Rekenen met verhoudingen’.
Veelgestelde
VRAGEN
Hoe zinvol is het als kinderen elkaar helpen bij het rekenen? Het is een genot om kinderen elkaar te zien helpen in de rekenles. Maar hoe zinvol is dit? Kinderen vragen eerder hulp aan een medeleerling dan aan de leerkracht. De drempel ligt lager en kinderen spreken meer dezelfde ‘taal’. Kinderen die uitleg geven krijgen zelfvertrouwen en worden gedwongen hun aanpak te structureren zodat die begrijpelijk wordt voor anderen. Daar leer je van. Hulp bieden gaat verder dan impliciet weten hoe je een som oplost. Wanneer je eenmaal het ‘hulpgeven aan elkaar’ in je klas georganiseerd hebt, geeft dat jou als leerkracht meer ruimte om kinderen gericht te helpen die juist jou nodig hebben als expert. Je kunt ervoor kiezen om met maatjes te werken (kinderen die je voor een bepaalde opdracht en bepaalde tijd aan elkaar hebt gekoppeld). Voorkom dat goede rekenaars tijdens de rekentijd vooral anderen helpen en daardoor niet toekomen aan eigen uitdagend rekenwerk. Oudere leerlingen kunnen ook als helper (tutor) worden ingezet. Dan gaat het om een gestructureerde en systematische manier om kinderen samen met een tutor bepaalde vaardigheden te laten oefenen. Je kunt kinderen uit de bovenbouw selecteren en trainen om met jongere zwakke
34
Volgens Bartjens... Jaargang 27 2007/2008 nr. 2
rekenaars te werken. Als je deze werkwijze goed inzet, verwerven beide kinderen meer inzicht in en een positieve houding ten opzichte van rekenen. Kinderen moeten wel leren hoe ze hulp kunnen bieden. Geen antwoord voorzeggen, maar de hulpvrager laten nadenken, bijvoorbeeld aan de hand van een tip: ‘Als je 6 x 5 niet weet kun je misschien eerst aan 5 x 5 denken.’ Wil je er zeker van zijn dat alle kinderen tegelijk actief bezig zijn, pas dan eens een didactische structuur toe zoals Tweetal Coach (kinderen coachen elkaar om beurten in een tweetal).1 Helpen is niet alleen leuk, maar ook leerzaam. Saskia van Dongen De auteur is werkzaam als adviseur bij Marant | Adviseurs in leren & ontwikkeling. 1. Deze werkvorm wordt besproken in Borghouts, C. e.a. (2000). Interactie in Rekenen, eenvoudige interactie realiseren in het werken met uw rekenmethode, Bazalt Educatieve Uitgaven, Middelburg.
