Kestabilan Kuliah 6 Kontrol Digital Bab 13 buku-ajar Agus Arif
1
Materi • • • • • •
Pendahuluan Ketabilan Sistem Digital dlm Bidang-z Pemodelan & Kestabilan Selang Pencuplikan utk Kestabilan Transformasi Bilinear Kestabilan Sistem Digital dlm Bidang-s
Agus Arif
2
Pendahuluan {1} • Perbedaan menyolok di antara – sistem kontrol umpan-balik analog – sistem kontrol umpan-balik digital (lih gbr)
adalah efek laju pencuplikan pd tanggapan transien • Perubahan laju pencuplikan dpt mengubah – Watak tanggapan: overdamped underdampd – Kestabilan: stabil tidak stabil Agus Arif
3
Pendahuluan {2}
Agus Arif
4
Pendahuluan {3} • Kestabilan sistem digital dpt ditinjau dr 2 cara-pandang: – bidang-z koordinat polar – bidang-s koordinat rectangular
• Kriteria Routh-Hurwitz dpt diterapkan hanya pd analisis & desain dlm bidang-s • Transformasi antara bidang-z & bidang-s dpt dilakukan dgn transformasi bilinear Agus Arif
5
Kestabilan dlm Bidang-z {1} • Dlm bidang-s, wilayah kestabilan = sisi kiri sumbu imajiner • Jk fungsi transfer G(s) dpt diubah mjd G(z), wilayah kestabilan dlm bid-z dpt dijabarkan dr definisi z = eTs & s = α + jω : z=e
T (α + jω)
=e
αT jωT
e
= e αT (cos ωT + j sin ωT ) = e αT ∠ωT
• Tiap wilayah bidang-s dpt dipetakan mjd wilayah yg sesuai dlm bidang-z: Agus Arif
6
Kestabilan dlm Bidang-z {2}
Agus Arif
7
Kestabilan dlm Bidang-z {3} • Titik2 dgn α > 0 dlm bidang-s titik2 dgn eαT > 1 dlm bidang-z (wilayah C) – sisi kanan sumbu imajiner wilayah di luar lingkaran satuan
• Titik2 dgn α = 0 dlm bidang-s titik2 dgn eαT = 1 dlm bidang-z (wilayah B) – titik2 pd sumbu imajiner titik2 pd lingkaran satuan
• Titik2 dgn α < 0 dlm bidang-s titik2 dgn eαT < 1 dlm bidang-z (wilayah A) – sisi kiri sumbu imajiner wilayah di dalam lingkaran satuan Agus Arif
8
Kestabilan dlm Bidang-z {4} • Oleh karena itu, sistem kontrol digital disbt – Stabil jk semua pole kalang-tertutup T(z) brada di dalam lingkaran satuan – Tdk stabil jk ada pole di luar lingkaran satuan dan/atau ada pole dgn multiplisitas > 1 pada lingkaran satuan – Marginally stable jk ada pole bermultiplisitas 1 pd lingkaran satuan & semua pole lainnya di dalam lingkaran satuan Agus Arif
9
Pemodelan & Kestabilan {1} • Rudal dpt dikontrol scr aerodinamik oleh torka yg dihasilkan dr defleksi permukaan2 kontrol
• Perintah defleksi berasal dr komputer yg menerima data pelacakan & menghitung berdasarkan persamaan2 guidance Agus Arif
10
Pemodelan & Kestabilan {2} • Model sederhana dr sistem kontrol rudal:
• Komputer melakukan fungsi pengontrol: – Menggunakan informasi pelacakan – Menghasilkan perintah masukan utk rudal
• Akselerometer rudal mengukur percepatan aktual yg diumpankan ke komputer Agus Arif
11
Pemodelan & Kestabilan {3} • Tentukan fungsi transfer kalang-tertutup T(z) & tentukan kestabilan pada K = 20 & K = 100 dgn T = 0,1 detik • Komputer dapat dimodelkan sbg sampleand-hold:
Agus Arif
12
Pemodelan & Kestabilan {4} • Fungsi transfer umpan-maju G(s): 1 − e −Ts Ka G ( s) = s s( s + a)
dgn a = 27
• Transformasi-z dr fungsi transfer G(s): Ka −1 G( z ) = 1 − z z 2 s ( s + a) • Suku z{…} dikenakan ekspansi pecahan parsial & lalu stp sukunya ditransformasi-z
(
Agus Arif
)
13
Pemodelan & Kestabilan {5} Ka 1 1a 1a a z = Kz = Kz − + 2 2 2 s s + a s ( s + a) s ( s + a) s Tz z a z a = K − + 2 − aT z −1 z − e ( z − 1) − aT Tz 1− e z = K − 2 − aT ( z − 1) a ( z − 1) z − e
(
Agus Arif
(
)
)
14
Pemodelan & Kestabilan {6} • Jadi,
(
)
− aT 1− e − aT T z − e − ( z − 1) a G( z) = K − aT ( z − 1) z − e
(
)
• Dgn memasukkan nilai2 T & a: K (0,0655 z + 0,02783) G( z ) = ( z − 1)( z − 0,0672) Agus Arif
15
Pemodelan & Kestabilan {7} • Pemindahan sampler ke seb kanan simpul penjumlahan sistem umpan-balik satuan
• Fungsi transfer kalang-tertutup: G( z) K (0,0655 z + 0,02783) T ( z) = = 1 + G ( z ) z 2 + (0,0655K − 1,0672) z + (0,02783K + 0,0672) Agus Arif
16
Pemodelan & Kestabilan {8} • Kestabilan sistem ditentukan akar2 polinom penyebut T(z) atau pers karakteristik: – Utk K = 20, akar2 adl 0,12 ± j0,78 sistem stabil krn semua pole di dalam lingkaran satuan – Utk K = 100, akar2 adl –0,58 & –4,9 sistem tdk stabil krn ada pole di luar lingkaran satuan
• Metode penentuan kestabilan ini berdasar pd penentuan akar2 pers karakteristik – Sulit diterapkan pd sistem2 yg berorde-tinggi Agus Arif
17
Selang Pencuplikan {1} • Tentukan rentang T yg membuat sistem mjd stabil & tidak stabil:
• Krn H(s) = 1 maka FT kalang-tertutup: G( z) T ( z) = 1 + G( z) Agus Arif
18
Selang Pencuplikan {2} • Utk menentukan G(z), ekspansikan G(s): −Ts
(
1− e G ( s ) = 10 = 10 1 − e −Ts s( s + 1)
)
1 1 − s s + 1
( (
−T 10( z − 1) z z 1− e G( z) = − = 10 z z − e −T z − 1 z − e −T
• Dgn demikian,
T ( z) = Agus Arif
(
10 1 − e −T
(
)
z − 11e −T − 10
) )
) 19
Selang Pencuplikan {3} • Akar pers karakteristik atau pole dr T(z):
(11e −T − 10)
– Menurun terus dr +1 ke –1 utk 0 < T < 0,2 pole di dalam lingkaran satuan sistem stabil – Menurun terus dr –1 ke –10 utk 0,2 < T < ∞ pole di luar lngkaran satuan sistem tdk stabil
• Scr frekuensi, f = 1 / T, sistem akan stabil slm frekuensi pencuplikan 1/0,2 = 5 Hz atau lebih besar Agus Arif
20
Transformasi Bilinear {1} • Transf ini memungkinkan utk menerapkan teknik2 analisis & desain bidang-s pd sistem digital • Transf yg tepat: z = eTs ⇔ s = (1 T ) ln z – Transf ini menghasilkan fungsi2 transedental yg diurus melalui transformasi-z yg agak ruwet
• Transf yg sederhana transform bilinear – Menghasilkan argumen linear ketika disulihkan – Hanya tepat bagi penerapan yg dimaksudkan Agus Arif
21
Transformasi Bilinear {2} as + b − dz + b ⇔s= • Bentuk umum: z = cs + d cz − a
• Utk stp penerapan tertentu, perlu dijabarkan nilai2 a, b, c & d yg berbeda-beda. • Contoh: pilihan nilai2 a, b, c & d tertentu – akan memetakan titik2 pd lingkaran satuan mjd titik2 pd sumbu imajiner – akan memetakan titik2 di luar (dalam) lingkarn satuan mjd titik2 di sisi kanan (kiri) sumbu-jω Agus Arif
22
Transformasi Bilinear {3} • Transf bilinear yg memenuhi contoh tsb: s +1 z +1 z= ⇔s= s −1 z −1
• Bukti:
(α + 1) + jω s = α + jω → z = (α − 1) + jω z < 1 ketika α < 0 (α + 1) + ω z = → z > 1 ketika α > 0 (α − 1) 2 + ω2 z = 1 ketika α = 0 2
Agus Arif
2
23
Kestabilan dlm Bidang-s {1} • Diberikan T(z) = N(z)/D(z) dgn D(z) = z3 – z2 – 0,2z + 0,1; gunakan kriteria RouthHurwitz utk menentukan cacah pole T(z) yg berada di dalam, luar & pd lingkaran satuan • Sulihkan transf z = s + 1 pd poli D(z) = 0 s −1
3
2
s + 1 s + 1 s + 1 − − 0,2 + 0,1 = 0 s −1 s −1 s −1 3
2
s − 19s − 45s − 17 = 0 Agus Arif
24
Kestabilan dlm Bidang-s {2} • Tabel Routh:
– 1 akar di sisi kanan & 2 akar di sisi kiri sumbu imajiner – 1 pole T(z) di luar & 2 pole di dalam lingkaran satuan sistem tidak stabil Agus Arif
25
