1
Kerekes kút – 4.: A zuhanó vödör fékezéséről Egy korábbi dolgozatunkban – melynek címe: Kerekes kút – 2.: A zuhanó vödör mozgásáról – nem volt szó fékezésről. Itt most egy egyszerű fékezési modellt vizsgálunk meg. Ehhez nagymértékben felhasználjuk az említett korábbi dolgozat eredményeit is. A feladat A kerekes kút vödre az s0 kötélhosszal jelzett álló helyzetéből indulva zuhanni kezd. Ezt a zuhanást s1 út megtétele után fékezéssel lassítjuk, úgy, hogy a vödör a fékezés megkezdé sétől számított s2 út megtétele után megáll. Meghatározandó a hengerkerék hengerének palástján kifejtendő állandó F fékező erő nagysága. A megoldás Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
1. ábra Erről leolvasható, hogy a mozgást két, az útszakaszokat pedig három részre osztottuk, az s0, s1 és s2 - nek megfelelően. A megfelelő út - koordinátákat sI és sII betűkkel jelöljük. A megoldás lényege: az I. és a II. szakaszra külön - külön felírjuk a megoldásokat, majd a szakaszhatáron összekapcsoljuk azokat.
2
Az I. szakasz fékezés nélküli zuhanó mozgásának vizsgálata Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra A rendszer I. szakaszra vonatkozó mozgásegyenletét úgy állítjuk elő, hogy a rendszert elemeire bontjuk, azokra külön - külön felírjuk mozgásegyenleteiket, majd ezekből előállítjuk a rendszer mozgásegyenletét. Mivel a lánc / kötél a hengerről folyamatosan és csúszásmentesen fejtődik le, így minden esetben érvényesek az alábbiak: (1) (2) (3) Itt s az ív - koordináta, v a sebesség - koordináta, w a gyorsulás - koordináta, az „I” index pedig az I. szakaszra utal. A vödör mozgásegyenlete: (4) Itt Mv a vödör és a benne található anyag ( pl. víz ) együttes tömege. A hengerkerék mozgásegyenlete: (5) További jelölések: q a kötél / lánc folyómétersúlya, g a nehézségi gyorsulás nagysága, l a kötél / lánc teljes működő hossza.
3
A JI inercianyomaték egy állandó és egy változó részből áll: (6) Itt J0 a hengerkerék tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyre, a második tag pedig a kötél változó inercianyomatéka. Ez úgy jön ki, hogy ha hosszúságú kötél már letekeredett a hengerről, akkor már csak hosszú darab van a hengeren. Ennek súlya
tömege
így tehetetlenségi nyomatéka mintegy
Itt feltettük, hogy a hengeren egy sor kötél - menet található. Most ( 5 ) és ( 6 ) szerint, elvégezve a kijelölt differenciálást:
(7) Majd ( 2 ), ( 3 ) és ( 7 ) szerint: vagyis (8) Ezután ( 5 ) és ( 8 ) - cal: (9) A lógó kötél mozgásegyenlete: ( 10 ) A bal oldalhoz:
( 11 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 )
4
Ezután ( 4 ), ( 9 ) és ( 12 ) szerint:
; rendezve:
( 13 ) bevezetjük a nevezőre az alábbi rövidítő jelölést ( redukált tömeg ): ( 14 ) majd ( 13 ) és ( 14 ) szerint kapjuk, hogy ( 15 ) az írásmód további egyszerűsítése érdekében újabb rövidítő jelöléseket vezetünk be: ( 16 ) most ( 15 ) és ( 16 ) szerint: ( 17 ) A ( 17 ) egyenlet a rendszer I. szakaszbeli mozgásegyenlete. Az integrálásához felhasználjuk, hogy ( 18 ) így ( 17 és ( 18 ) - cal: ( 19 )
5
ezt sI szerint integrálva: ( 20 ) kezdeti feltétel: ( 21 ) most ( 20 ) és ( 21 ) - gyel: ( 22 ) Pozitív gyökvonással: .
( 23 )
A szakaszhatáron, vagyis sI = s1 nél, ( 23) - ból: ( 24 )
A II. szakasz fékezett mozgásának vizsgálata Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra A megoldás lépései hasonlóak, mint az I. szakasz esetében. A kötél / lánc lefejtődésének feltételéből:
6
( 25 ) ( 26 ) ( 27 ) A vödör mozgásegyenlete: ( 28 ) A hengerkerék mozgásegyenlete: ( 29 ) A JII inercianyomaték egy állandó és egy változó részből áll: ( 30 ) Elvégezve a kijelölt differenciálást, valamint ( 25 ), ( 26 ) és ( 27 ) - tel:
tehát: ( 31 ) Most ( 29 ) és ( 31 ) - ből: , innen: majd ebből ( 32 )
7
A lógó kötél mozgásegyenlete: ( 33 ) A bal oldalhoz:
tehát: ( 34 ) Most ( 28 ), ( 32 ) ( 33 ) és ( 34 ) - gyel:
rendezve:
( 35 ) Most ( 14 ) és ( 35 ) - tel:
8
( 36 ) Bevezetve az alábbi rövidítő jelöléseket: ( 37 ) ( 36 ) és ( 37 ) - tel kapjuk, hogy ( 38 ) A ( 18 ) - nál látott átalakítással: ( 39 ) majd ( 38 ) és ( 39 ) - cel: ( 40 ) Integrálva sII szerint: ( 41 ) Ámde ( 42 ) miatt ( 41 ) és ( 42 ) - vel: ( 43 ) Érvényesítve az ( 44 ) feltételt, ( 43 ) és ( 44 ) - ből: ( 45 )
Az I. és a II. szakasz mozgásának összekapcsolása Ezt a két szakasz határán fellépő v1 sebességnagyság azonossága alapján vitelezzük ki. Most ( 24 ) és ( 45 ) egyenlővé tételével:
9
( 46 ) rendezve: ( 47 ) Itt már kihasználtuk, hogy b2 = b1. Összegyűjtve az állandókat: ( 16 )
( 37 ) Az a1 és a2 állandókat összehasonlítva: ( 48 ) ahol bevezettük a ( 49 ) újabb rövidítő jelöléseket. Célunk F meghatározása, ( 47 ) alapján. Most ( 47 ), ( 48 ) és ( 49 ) - cel:
10
vagy
( 50 )
Ha tehát azt akarjuk, hogy az indításkor s0 hosszú kötéldarabon lógó vödör s1 útnyi zuha nás után s2 úton állóra fékeződjön, akkor az ( 50 ) képlettel számítható nagyságú kerületi erőt kell a henger palástján kifejteni.
Megjegyzések: M1. Egy speciális eset: ha a kötél súlyát elhanyagoljuk, akkor ( 51 ) és így ( 50 ) és ( 51 ) szerint az ( 52 ) képlet adódik. Az ennek megfelelő fékező nyomaték nagysága: ( 53 ) Ez megegyezik az [ 1 ] műben más úton nyert eredménnyel. M2. Az 1. ábra szerint fennáll a ( 54 ) korlátozó feltétel is; az egyes összeadandókat ennek figyelembe vételével lehet felvenni. A H méret a kút tengelyének a víz felszínétől mért távolsága. A vödörnek még éppen nem szabad a vízbe belecsobbannia, mert az már egy másik folyamat lenne, nem az itt vizsgált. Fennáll ezen kívül még a teljes működő kötélhosszra vonatkozó azon feltétel is, hogy ( 55 ) vagyis hogy a vödör bele tudjon merülni a kút vizébe.
11
M3. Ebben a dolgozatban nem vizsgáltuk a mozgások lefolyásának egyéb jellemzőit is. Ez ügyben a fent említett korábbi dolgozatunkra utalunk. M4. Az F kerületi erőt az N nyomóerővel és a μ súrlódási tényezővel is kifejezhetjük: .
( 56 )
Az ( 56 ) képlet szerinti nagyságú erővel kell a fék súrlódó felületét a hengernek nyomni. Ez gyakran a kút használójának a keze volt – annakidején. Amikor láttuk, hogy az emberek így – azaz kézzel fékezve – engedik le a vödröt, mindig az jutott az eszünkbe, hogyhogy nem megy szálka a kezükbe. A másik nagyon érdekes tény, hogy a sok használattól a fa henger csillogóra polírozódott. Meg kellene még tudni a régiektől, hogyan csinálták ezt. Talán megcsiszolták a hengert, használatba vétel előtt? Vagy eleinte dörzspapírt használtak a leengedéshez? Esetleg gurtnit? M5. Ne feledjük, fentiek csak egy modell működését írják le. A valóság ettől lényegesen eltérhet. De talán nem olyan nagyon, hogy ne lenne érdemes a fentieket végiggondolni. Látható, hogy ezt azzal is segítjük, hogy a számításokat erősen részletezzük. Tesszük ezt azért is, mert az évek során számos kellemetlen tapasztalatra tettünk szert, olyan esetek ben, amikor az ”eleganciára törekvés” miatt csúnya hibákat vétettünk. ( Emlékezetes e témában a matek szigorlatunk esete is…) M6. A gyerekek kíváncsiak. Néha még idősebb korukban is. Így keletkezhetnek az ilyen írások. Hajrá, gyerekek!
Irodalom: [ 1 ] – Günter Holzmann ~ Heinz Meyer ~ Georg Schumpich: Technische Mechanik Kinematik und Kinetik 10. Auflage, Vieweg + Teubner Verlag, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, 2010.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. 08. 09.
