9. A feladat elemzése

1

9. A feladat elemzése Tekintve, hogy az MMP 70 év előtti első publikációja óta erről a feladatról számos egymásnak ellentmondó elmélet látott napvilágot, érdemes a feladat elemzésekor a főbb irányzatokat egymás mellé helyezni. A) Kezdjük a sort a napjainkban is elfogadott „félgömb felszíne” elméletnél. Talán ez a legrégebbi, de egyúttal a legújabb hivatalos fordítás is. Megoldó képletét S. W. Williams összefoglalva: A = 2d (8/9) (8/9) d-ben határozta meg, ahol a „d” a harmadik sorban megadott számmal, a 4½- lel azonos. Tehát a buffalói professzor egy jellemzővel rendelkező idomot számít. Matematikailag helyes a levezetése, csakúgy, mint W. W Struve és Gillings esetében is az volt, mégis több „összeférhetetlenség” cáfolja ezt a megközelítést: 1. A kosár szabályos hieratikus jelét, a követő ’t’-t, valamint az ID jelét hiba másként olvasni, valamilyen idom rajzának tekinteni. 2. A kosár jele szignifikánsan különbözik a félgömb hieratikus rajzától. Miért nem rajzolta írnokunk a félgömböt félkörnek? (Ez utalna, mint metszet, a félgömbre.) A KOSÁR NEM FÉLGÖMB. 3. Hiányzik az egyik leglényegesebb magyarázat, annak megvilágítása, hogy miért kellene a „d”, azaz az átmérő kétszeresével kezdeni a számolást. A 6. sorban a levegőből pottyant a 9-es szám az ölükbe. Hiányzik a 2 x 4 ½ = = 9, esetleg a 9 másfajta magyarázata. 4. Az 5-6. sor fordítása is erősen kétséges, különös tekintettel a hiányzó részekre. A hivatalos fordítások egyik gyengéje az, hogy pontosan ezekkel a hiányzó jelekkel akarják meghatározni az idom formáját. Más szóval nincs ellenőrzés, a szükségnek megfelelően bármi leírható, bármi belefér a kiegészítésbe. Struve esetében az ’s’ négyszögletes jele, valamint a tojás került ide. B) T. Eric Peet elveti Struve fordítását, helyette két újabb variánssal áll elő. A már korábban említett dolgozatában hivatkozik arra, hogy a méret ’r’, esetünkben ’l’ (23) jel nem áll tapasztalata szerint egyedül, de biztosan nem elsőként, mint valamilyen méret meghatározója. Mindig megelőzi valamilyen másik adat. „Kopaszfejű” tanárunk a 14. feladatot valóban a csonka gúla leírásával kezdi: mérj magadnak csonka gúlát, aminek a magassága… Ennek analógiájaként érthetetlen a nbt m tp-r r 4 1/2 m aD olvasat. Peet szerint itt másik adatnak, másik paraméternek is kell lennie. A 4,5 mint hosszméret, csak a második adatot jelentené, az elsőt viszont a tp-r csoport képezné.

1

V. Az egyiptomi πe. Az MMP 10. feladata

„…thus restoring the reading nbt < nt x > m tp-r r 41/2 m aD, a basket (?) of x in mouth and 4 1/2 in aD, where aD, whatever it may means, is the name of the second dimension given, just as tp-r is of the first.”1 1. Szerinte az első variáns a félkör felszíne lenne, hátránya, hogy tanárunk ebben az esetben először a diaméterrel, másodszor viszont a rádiusszal számolt volna. Nagyon valószínűtlen. Ha 4,5 = r, akkor d x (8/9)2 x r = a félkör területével. 2. A második, matematikailag szintén korrekt levezetése a félhenger palástjának a felszínéhez vezetett. Ha 4,5 = d, valamint ugyanez a 4,5 = m is, akkor 2d x (8/9) 2 x m = félhenger palástja. 3. Mint ezek után várható, Peet elveti a kosár olvasatot. 4. A nbt ebben az esetben sem tekinthető másnak, mint kosárnak, még akkor sem, ha ilyen nagynevű egyiptológus állítja az ellenkezőjét. 5. T. Peet, B. Gunn, F. Hoffmann és O. Neugebauer elvetette a tojás teóriát, helyette az elfogadhatóbb ’k’ jelet helyezték a sérülés helyére. Ez a variáns közelebb jár az igazsághoz, hibája az, hogy ugyanazt a számot igyekszik két jellemzőbe „belepréselni”. Pedig Peet járt legközelebb az igazsághoz! Megjegyezzük, hogy Scott Williams napjainkban megtalálta a nagyság olvasatát, lásd „magnitude” fordítását (megjegyezzük, hogy a pontos olvasat az egység szót eredményezi). Eleinte érthetetlen volt számunkra, hogy a nyilvánvaló fejnagyságot ezek után miért nem fedezte fel, lásd tp-r olvasatát. Végül is a félgömb felszínénél Williams sem jutott tovább. F. Hoffmann elemzése valóban előrelépést jelentett az eredeti fordításokhoz képest, de T.E. Peethez hasonlóan ő is ragaszkodik ugyanahhoz a nagysághoz. Így a félhenger palástjának számításánál megakadt. Fejtegetésében tisztán látja, hogy a félgömb elmélet elvethető, ám ugyanakkor Peet félkör számítását is helyteleníti, mert bizonyítottnak látja a térbeli idom jelenlétét. Kár, hogy nem tudott magyarul. Az ismeretlen idomot óvatosan nem is nevezi meg, hanem csak a hieroglifás átírásával jelöli. További értékelés helyett álljon itt dolgozatának zárószava: „Ich sehe somit keinen Grund, an der schon von Peet vorgetragen Deutung der nb.t im Moskauer Mathematischen Papyrus als Halbzylinder zu zweifeln.” 2 (Friedhelm 1

2

„….tehát helyreállítva az olvasatot: nbt < nt x > m tp-r r 4 1/2 m aD, ahol valaminek a kosarat (?) a szájában és a 4½ aD-ban – vagy mindabban, amit az jelenthet –, adja a második dimenziót, éppen úgy hogyan a tp-r az elsőt jelenti.” „Így nincs okom, hogy kételkedjem az MMP nbt jeleinek ’fél-cilinder’ értelmezésében, amelyet Peet terjesztett elő.”


Hoffmann : Die Aufgabe 10 des Moscauer mathematischen Papyrus. Zeitschrift für Ägyptische Sprache Band 123, 1996, Heft 1.) C) Ide kívánkozik az előzőekben már részletesen tárgyalt, általunk egyedül helyesnek ítélt megoldás is, melynek itt csak a képletét mellékeljük: V = d² x (8/9)2 x m ahol d = fej-egység = 3 tenyér, és m = 4,5 tenyér. Így V = 3 tenyér x 3 tenyér x (8/9) 2 x 4,5 tenyér = 32 tenyér3.

10. Összefoglalók Az alábbiakban található rövid összefoglalások szükségességét a tárgyalás, az elemzés más irányú tematikája, szerkezete magyarázza. Itt a már több helyen is kifejtett új fogalmakat, kérdéseket kötöttük egy csokorba.

A. A fej egysége/nagysága Példánk kardinális jellemzője a fej egysége/nagysága. Az első megközelítésben semmi érdekeset nem látunk rajta, csupán magyarul kellett elolvasni az idevonatkozó jeleket, és belátni azt, hogy a „tp-r”, azaz ma így mondanánk: „a fejméret” valójában már az idom jellemzője, és nem szükséges az utána következő ’r – 4,5’-et ide visszavetíteni (amint azt Peet tette). Szerepe mégis jóval nagyobb, mint az az első pillanatban sejthető volna. Induljunk ki az egyszerű, ősi földművesember gondolatvilágából. Néhány szerszámon, használati tárgyon kívül legjobb esetben is csak a saját állataival rendelkezhetett, sőt kereket sem gyártott, mert a sivatag homokjában használhatatlan volt a kocsi. Épületeit többnyire szögletesre készítette. Számára nem nagyon volt más példa a kör megértéséhez, mint az, amit a körülötte lévő használati tárgyakon talált, amit kénytelen volt maga készíteni, valamint mindaz, amit magán tudhatott. A kosár feneke kör alakú lehetett, de ez a kör számolásánál nem szolgálhatott egységként. Valami mást, valami magától érthetődőt, valami olyasmit kellett keresnie, ami mindig kéznél van. Nos, egy valami valóban eleget tett a fenti feltételeknek. Hérodotosz szerint az írástudók, a papok kétnaponta leborotválták hajukat, így szembetűnő volt fejük kerek formája. Mértékegységeiket is a testük különböző részeiből vezették le: közismert tény, hogy szinte napjainkig


a hüvelyk, az arasz, az öl, a láb stb. mértékegységként szerepelt. Ebbe a sorba illeszkedik a fej, pontosabban a fej nagysága, mérete is. Mindezek mellett, ez állandóan „kéznél” volt, sőt mérni is lehetett. Mindig az átmérővel számoltak, mert egyszerűen azt tudták könnyebben mérni. A sugár már nem volt közvetlenül mérhető, úgy tűnik, hogy ez a fogalom túl elvont volt számukra. Tenyerüket ráhelyezték a mérendő tárgyra, a másik fejére, és így határozták meg annak nagyságát, ujjakban vagy tenyérben. Ha visszafelé számolunk, akkor könnyen beláthatjuk, hogy ez volt a gondolatmenetük alapja. Komoly hibát követnénk el, ha lebecsülnénk őseinket. Sokkal ügyesebbek, gyakorlatiasabbak voltak, mint az a fentiekből következne, csak a számolásuk nem a mai értelemben vett, elvont alapokon nyugodott. A „fej profilban”(Gardiner) méret alatt az arc hieroglifájával is jelzett méretét értették , s a felszín, a fedőlap, a terület, de elsősorban a kör területének jelzésére, számolására használták. Mérésük szerint az így kapott kör átmérője 3 tenyér széles volt. Ez a méret így önmagában a levegőben lóg, de meglepő eredményre jutunk, ha pontosítjuk. R. Hannig már többször idézett szótárában a mértékegységek között megtalálhatjuk az ujj és a tenyér méretét. 1 ujj = kb. 1,85 cm.

1 tenyér = 4 ujj = kb. 7,4 cm.

Függőleges fejméret = 3 tenyér = kb. 22,2 cm. (Ez utóbbi méret, a vertex – gnathion median saggitális síkban, függőlegesen mért legrövidebb távolsága – értelemszerűen tőlünk származik, számítását lásd Az egyiptomi πe fejezetben. A Martin féle rendszerben az általunk „függőleges fejméretnek” nevezett méreteket nem tüntetik fel, erre nem találunk adatokat. A teljes fejmagasságot csak két méret házasításából lehetne megközelíteni: porion – bregma(?) és a gnathion – sp.n.inferior-anterior méreteinek összeadásával.) Elképzelhető variáns a vízszintes fejméret = 2,25 tenyér = kb. 16,65 cm (ez a méret az antropológiából közismert, M-1-es nagyságnak felel meg, pontosítva a glabella – opisthocranion median saggitális síkban mért távolsága. (Rudolf Martin: Lehrbuch der Antropologie.) Itt szeretnénk rámutatni arra is, hogy ez a méret a valóságban a legkisebb fejméretet sem közelíti meg – a középeurópai méretek váltakoznak 180– 190 mm között –, gyakorlati értéke ezért erősen kérdéses. Az egységnyi kör kerületének számításánál viszont elképzelhető létjogosultsága. Lásd P = 4 x d x πe). Nos, ez volt az egységnyi méretből, a fej-nagyságból levezett egyiptomi kör számolásának alapja. Számolása az ősi módszerrel másképpen történt, mint ma azt elvárnánk, mi több, az egyiptomi πe sem azonos a Ludolf van Ceulen féle számmal.


B. Az egyiptomi

πe

Ez az elnevezés magában hordja a π nevet, de nem teljesen azonos azzal. A π mai értéke egy végtelenbe nyúló tört szám, amelyből számunkra csupán az egész szám melletti első két tizedes az érdekes. Mindenki előtt ismert értéke: 3,14. Nem úgy az egyiptomi π e esetében. Számukra ez valami varázsszám lehetett, ezzel kellett a kört számolniuk. Eleinte nem is volt egységes sem az értéke, sem a számolási menete. Lényegében erről szól az MMP 10. feladata. Természetesen ragyogóan használták πe változatukat, sőt nagyon jól megközelítették a π mai értékét is, de nem mondhatjuk, hogy elméleti síkon ismerték volna ennek hátterét. Ők felszín/kör menetet jártak, ami példánk alapján az átmérő, a d2 szorzását jelentette (8/9)2-nel. Ha a rádiusszal számoltak volna, nem kapták volna meg a kívánt körfelszín értékét, mert a πe megközelítően a mai érték negyed része volt. A továbbiakban számolni kellett ezzel a csökkentett értékkel, illetve a számolásuk folyamán valaminek a négyszeresét kellett venniük ahhoz, hogy matematikailag helyes eredményhez juthassanak. Ez a valami rendre a sugár négyzete volt. Természetesen tanáraink ezt nem így látták, számukra, mint az mindjárt kiderül, a diaméter ismerete elégséges volt. Határozzuk meg először az egyiptomi πe értékét! Vajon melyiket? Valójában két értéket is ismerhettek, ezekhez három számolási menetet használtak. 1. A legősibb, tapasztalati úton meghatározott körfelszín-számolás valószínűleg valamilyen modell segítségével történhetett. A kör átmérőjével a kör köré négyszögletű keretet képezhettek, majd magát a kört és a sarkokat is vízzel kiöntötték. A szükséges víz mennyiségének aránya az előbbi sorrendben 7:2 volt. Ha az eredeti kör átmérőjét kilenc részre osztották, a köré képezett négyzet 9 x 9 részből, azaz 81 kis-négyzetből állt. Ebből 2 x 9 = 18 rész a körön kívül, a sarkokra esett, ezt tehát le kellet vonniuk a négyszög területéből, így kaphatták a keresett kör felszínét: 81–18 = 63 (egység). Ezt a kör négyzetesítésének nevezhetjük. Alkalmasint más lehetőség is kínálkozott hasonló eredmény elérésére. Az előbb említett modell sarkai, a nyolcszögesített kör külső részei (lásd K. Vogel Vorgriechische Mathematik című dolgozatát, továbbá ábráit a Függelékeben), 4x4,5 négyzetet eredményeztek, ami a már ismert 18 egységnek felelt meg. Ezek alapján azt állíthatjuk, hogy a kör felszínét meglehetős pontossággal meghatározták. Hogy mennyire pontos volt ez a módszer, azt a következő modern számolás


bizonyítja: A = r²π → π = A/r² = = 63/20,25 = 3,11. Az A = 63, r = 4,5 adatokkal számoltunk. Ezek alapján megállapíthatjuk, hogy a kör területét a fenti módszerrel, a mai értelemben vett 3,11-es π-vel számolták. 2. Másik modellt is készíthettek (lásd Függelék), ahol a vizsgált kört sok, pontosabban 64 koncentrikusan elhelyezett, kisméretű körből építették fel. A kör átmérője ezen a modellen mindenhol 9 kicsi kör volt. Tekintve, hogy ezeket a köröcskéket másképpen csoportosítva ismét négyzethez jutottak, 8 x 8 = 64, a továbbiakban így számoltak: vegyük el a vizsgált kör átmérőjéből az 1/9-ét, esetünkben 9 – 1 = 8, majd az ezzel alkotott négyzet felületét egyszerű szorzással állapítsuk meg. 8 x 8 = 64. Ez szerepel az RMP 50. feladatában. Mindez természetesen sokkal bonyolultabb abban az esetben, ha az átmérő 9-cel történő osztása nem egész számot eredményezne, ami aztán a négyzetre emelésnél külön problémaként jelentkezik. (Részletes tárgyalását lásd A 9, mint állandó fejezetben). Nos, az eddigiek alapján megállapíthatjuk, hogy az így kezelt kör felszíne 64 egységnyi lett. Visszatérve az 1) pont alatti számolásunkhoz, π = A / r2 = 64/ 20,25 = 3,16. Ez pontosabb eredménynek számít, mint az előzőekben számolt 3,11. 3. Megjegyezzük, hogy számolási módszereik ellenőrzését ők nem tudták elvégezni, mindezt csak mai szemmel láthatjuk, mai ismereteinkkel azonosíthatjuk. Valószínűleg meg lehettek meggyőződve róla, hogy számolásuk pontos. 4. Fejlődést jelentett az RMP 48. feladatának számolása. Itt lépett be közvetlenül az egyiptomi πe. Konkrétan itt a (8/9)2-ről beszélünk. Az RMP szöveg nélküli feladatában egy durván nyolcszögesített kört láthatunk, négyszögletes keretben, benne a kör átmérőjére vonatkozó 9-cel. Alatta viszont két egyiptomi szorzótáblát találunk a 8-as, valamint a 9-es tábla formájában. Eredményként 64-et, illetve 81-et jelöl meg írójuk. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy mind a 8, mind a 9 esetében a négyzetre emelés műveletét végezték el, más szóval ismerték a saját π-jüket. (A továbbiakban egyébként eltekintünk az RMP 48-as feladata furcsaságainak tárgyalásától.) Az MMP 10-es feladatában ezt a módszert mutatja be tanárunk, (8/9)2-tel szorozza be az egységnyi, fejméretű kör átmérőjének négyzetét, a 9-et. Nos, visszatérve a πe számolásához, láthatjuk, hogy ez ebben az esetben 64/81 jelentett, amit 4-gyel szorozva 256/81 = 3,16 eredményhez vezet. Magyarul πe = π/4gyel, ha elfogadjuk a π értéket 3,16-nak. Az egyiptomi πe számolása így elég bonyolultnak látszik.


A valóságban mindez sokkal egyszerűbb volt. Egyszerűbb, mint ahogy azt az első pillanatban gondolhatnánk. Képzeljük magunkat az ő helyzetükbe. Ahhoz, hogy egyáltalán körről beszélhessenek, példájukban elő kellett venni egy kosarat. Ennek az alja, ha minden jól sikerült, jobbára kör alakú volt. Viszont ha „félresikerült”, vagy esetleg ez volt a szándékuk, akkor zavarba jöhettek volna a mai számítási módszerünkkel. Megállt volna itt a tudományuk? Hogyan számították volna ki az ellipszis felszínét, mert kis jóindulattal így nevezhetjük az ovális, lelapított kört? Nos, nézzük meg először, hogy hogyan számolja ki a mai ember az ellipszis területét. A = a x b x π, vagyis az ellipszis területe egyenlő a két féltengelynek és a ludolfi számnak a szorzatával. Magyarul: a hosszabb sugarat megszorozzuk a rövidebb sugárral, majd a π értékével. Őseink viszont nem számoltak, esetleg nem is tudtak a sugárral számolni. Ők sokkal egyszerűbben számoltak. Tenyerükkel megmérték a nagyobb átmérőt, majd az erre keresztbe eső kisebbet is, betűkkel kifejezve d1 x d2, majd szorzatukat megszorozták a Ludolf féle szám… negyedével! Tehát számukra A = d1 x d2 x πe. Mindez az ellipszis felszínére vonatkozik, de…! a kör ehhez képest nem jelentett eltérést, mert a kör nem más, mint egy túl jól sikerült ellipszis. A kör esetében ti. d1 = d2-vel, azaz akárhogyan helyezte tenyerét, az átmérők azonosak voltak. Így a kör számolása számukra d x d x πe = d² πe. Ennél egyszerűbben nem lehet számolni. Összefoglalva azt láthatjuk, hogy csodálatos egyszerűséggel a kör helyett mindig ellipszist számoltak, a nehézkesen mérhető sugár helyett mindig a két átmérőt használták. Ehhez igazították a varázsszámukat, az egyiptomi πe-t, a (8/9)²-t. Ezt a számot tehát az egyiptomi kör egyik állandójának tekintjük.

C. Az egységnyi kör és a fejnagyság összefüggése. Az RMP négy, körrel foglalkozó példájának bennünket érintő vonatkozásai Példánkban egységnyi körnek a 3-as átmérőjű, fejméretű kört vettük. Ez a függőleges, 3 tenyeres arcméretünkből képezett kör. Területe A = r2 π = 4 x (1,5)2 x πe = 4 x 2,25 x (8/9)2 = 9 x 64/81 = 71/9 ( tenyér2). Vagy, most már egyiptomi módon számolva: A = d2 πe = 3 x 3 x (8/9)2 = 9 x 64/81 = = 71/9 (tenyér2). Tekintve, hogy az MMP 10-es feladata a kör számolása terén nem az egyetlen ismert egyiptomi számolási módszer, összehasonlításképpen ide kívánkozik az RMP mind az öt, körrel foglalkozó feladata is (RMP 41–42–43–48–50). Előre


bocsátjuk, hogy ezeknek a feladatoknak részletes tárgyalásával itt nem foglalkozunk, ezért az RMP fent jelzett példáiból csak a matematikai alapon bizonyítható számolási menetek körre vonatkozó részleteit vesszük át. Tekintve, hogy a 42-es példa a kör másik számolási módszerét tartalmazza, tárgyalását a fejezet végére tettük. (August Eisenlohr Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter, Papyrus Rhind des British Museum. Bővebben lásd a Függelékben.) Mesterünk – a szakirodalom szerint Ahmesz – három példájában (41-43-50) első lépésként egy 9 részes körből indult ki, majd eljutva 8-hoz, azzal, illetve annak „kozmetikázott” változatával számolt tovább. Úgy is tekinthetjük, hogy a második lépés alapja a 8 volt. Az RMP körrel foglalkozó feladataiban a 9 nem d2, hanem ugyanaz a 9, d-vel azonos. Abban az esetben, ha a kör átmérője ettől eltért, mint pl. az RMP 43. feladatában, ahol a diaméter 12 (Ahmesz érdekes módon a 6-os rádiuszt adta meg), első lépésként megint a 9-es kört vette alapul, képezett 8-at, és csak a második szorzásnál vette figyelembe az átmérő eltérő méretét. Így a 43-as feladatban nem a 8-at, hanem a 102/3-ot emelte négyzetre. Van itt azért valami furcsaság. Ha a 9-től eltérő átmérővel számoltak, második lépésként 8-ról indultak el, és a szükségnek megfelelően hozzáadtak vagy levontak belőle 22/3-t, illetve ennek többszörösét. A furcsaság ott van, hogy a 9-es átmérőjű körök az RMP alapkörének tekinthetők, ugyanakkor az MMP 10. feladatának köre a 3-as átmérővel, azaz a fejegységgel, az egységnyi körre enged következtetni (lásd a Fej nagysága fejezetet). Nézzük meg ezt a kérdést részleteiben is. A korábbiakból kiderült, hogy egy egységnyi kör átmérője 3 tenyér, felszíne pedig 71/9 tenyér2 (mint az MMP 10. feladatában). A 71/9 nem más, mint (8/3)2. Vagy esetleg másik törttel írva: (22/3) 2. Az RMP 43. feladata 6-os sugarú (!), azaz 12-es átmérőjű körről indul. (A 6os sugár értékét a példa matematikai levezetése bizonyítja: 9–1 = 8; 8 + 2 2/3 = = 102/3; 102/3 x 102/3 = 1137/9 = 1132/3 1/9. Vagy 113,77. Ez ennek a körnek a területe. Mai számolási módszerünkkel élve, figyelembe véve a π ≈ 3,16 értéket, r²π = 6 x 6 x 3,16 = 113,76-nak felel meg. Ergo a megadott 6-os érték a rádiusz.) Ez éppen egy egységnyi kör átmérőjével nagyobb, mint a másik három példában szokásos 9-es átmérőjű indulás. Az RMP 43. feladatának második lépésében a 8hoz hozzáadták a harmadát, pontosabban 22/3-ot, vagyis az előbb tárgyalt 8/3-ot. Az így kapott 102/3-ot emelték négyzetre.


Ha elméletben a 9-es átmérőjű, három fejméretes kör helyett csak két fejméretes körrel számolnánk (erre az RMP-ben nincs példa), átmérője 6 tenyér lenne, akkor a 8-ból le kellene vonni a 22/3-ot, azaz 51/3-t kellene négyzetre emelni. (Ebben az esetben a 6 tenyér átmérőjű kör területe 284/9 = 281/3 1/9 = 28,44. Mai számolásunk szerint 3 x 3 x 3,16 = 28,44.) Ebből az következik, hogy a 9-estől eltérő átmérőjű kör számolásánál második lépésként az alapkör értékét a szükségnek megfelelően az MMP fej-egységnyi kör jellemzőjével, a 22/3-dal, illetve annak többszörösével (elméletben esetleg hányadaival is) korrigálták. Továbbiakban tapasztalhattuk, hogy az MMP 10. feladatának egységnyi köre az RMP körrel foglalkozó példáiban is mint legkisebb egység jelentkezik. Mindkét papirusz körrel kapcsolatos számolási menete, módszerét tekintve, azonos. Első lépcsőben, kiindulásképpen a 9-es számot használták, majd a második lépcsőben a 8-cal, illetve korrigált értékének négyzetre emelésével számoltak tovább. Ezzel a kör területének számolását befejezték. Az RMP – MMP példáiban szereplő körök átmérőjének eltérése a 43. példa alapján – mint a fentiekben láttuk – az MMP egységkörével köthető össze, mérete 8/3, és ez azonos a fejnagyságból származó kör jellemzőjével. Szeretnénk megjegyezni, hogy az előbb tárgyalt esetekben a kör átmérője a hármas számrendszerbe illeszkedett. Ettől eltérő méret esetén elméletileg két utat követhettek. – A fenti módszer alapján a 8/3 további osztásával bármely szám képezhető, a 8 kiegészítése így nem okozhatott nehézséget. Pl.: a 10-es átmérőjű kör esetében az alapkörhöz képest az átmérő nem hárommal növekedett, hanem csak eggyel, az egységnyi kör harmadával (9 + 1 = 10). Ennek értelmében a 8/3-ot tovább kellett osztani hárommal. Az eredmény 8/3 : 3 = 8/9. Ezt a törtet hozzáadva a 8hoz → 88/9-et kapunk. Négyzetre emelve az eredmény könnyen kiszámítható: 791/9. (Ellenőrzésképpen: 79,1111 : 3,1605 = 25,03, ami r2-nek felel meg r = 5-tel.) Egyébként Ahmesz így nem tudott számolni, számára a 8/9 = 2/3 + 1/6 + 1/18 volt. Négyzetre emelése számukra komoly feladat lehetett. – Ahmesz bemutat az RMP 42. példájában egy másik, közvetlen módszert is, ahol a kör számítását nem a szokásos 9-ről indítja, hanem a mindenkori átmérőt kilencedeli. Az így kapott tört számot emelte aztán négyzetre. (Az RMP 42. példájában a 10-es egységű átmérőt kilencedelték, majd a 82/3 + 1/6 + 1/18-ot emelték négyzetre. Pontosabban a mai értelemben véve nem tudtak négyzetre emelni, hanem valószínűleg kész számsorokkal dolgozhattak. Az eredménye ezek után a 79 + 1/108 + 1/324 lett! Könnyen belátható, hogy számukra így sokkal bonyolultabb volt számolni. Lásd még a Függelékben.) Tekintve, hogy Ahmesz is a másik, könnyebb módszert használja, a kör további tárgyalása során mi is eltekintünk a 42. feladat méltatásától.


Mivel a két papiruszról sem korban, sem távolságban nincsenek pontos adataink, elképzelhető, hogy az egyik számolási rendszer a másikat helyben és időben megelőzte, illetve egymás variánsai voltak. A RMP, valamint az MMP életkorát hivatalos források nagyjából azonosítják. Az MMP írásának idejét a Közép-birodalom korára teszik, az RMP viszont a hykszoszok uralma alatt született volna. Számunkra ez az időbeosztás egyelőre nem tekinthető bizonyítottnak. A két papirusz életkora esetleg jóval nagyobb eltérést is takarhat, így a közöttük vont hasonlatosságok, egyezések csak feltételesen fogadhatók el. Nyomatékosan szeretnénk arra is rámutatni, hogy az ebben a fejezetben tárgyalt magállapításaink csupán a fent említett hat példára támaszkodnak. Több ehhez hasonló feladat nem állt rendelkezésünkre. Ezért a nyilvánvaló logikai, matematikai egyezések ellenére sem állítjuk azt, hogy a kör ősi egyiptomi számolásával kapcsolatos fogalmakat, lehetőségeket kimerítettük, azaz megállapításaink általános érvényűek lennének.

D. A 9, mint az egyiptomi körhöz tartozó állandó Tapasztalatunk szerint az egyiptomi kör legegyszerűbb számolási módszere a 9-es számról indult. Ez független volt attól, hogy a számolásra kerülő kör átmérője szintén kilenc volt-e, vagy ettől eltért. Lásd az RMP 41–48–50. feladatait, d = 9, valamint az RMP 43. és az MMP 10. feladatát, ahol d = 12, illetve d = 3. Azt láttuk, hogy a kör számolásakor első lépésben a 9-et kilencedelték. Ez a lépés minden bizonnyal az egyiptomi πe használatára vezethető vissza. A gyakorlatban ez kitűnően bevált, mert a 9-et 8/9-del szorozva egész számot, 8-at kaptak. Mint azt már a fentiekből láthattuk, ez a nyolc volt a későbbi számolásuk alapja. Eddigi ismereteink alapján azt mondhatjuk, hogy a kör egyiptomi számolásához elválaszthatatlanul hozzátartozott a 9-es szám, ezért ezt a számot az egyiptomi kör másik állandójának tekintjük. (Az előbbiekben láttuk azt is, hogy az egyik varázsszám a (8/9)2 volt.) Az MMP fejtörést okozó 10. példájában a szakirodalom lázas igyekezettel kísérletezett a 9-es szám integrálásával. Láthattuk, hogy ezt a számot sok mindennek kinevezték, igyekeztek a diaméter valamilyen szorzatának elfogadtatni. Összehasonlították az RMP ide vonatkozó feladataival, és tapasztalva a diaméter eltéréseit, jobb híján megállapodtak a 2 x 4,5 d elfogadásában. Tekintve, hogy mesterünk nem ad ilyen irányú utasítást, ez a szorzat nem szerepel példájában, erősen kétséges e feltevés helyessége (lásd még az eddigi számítások bírálatát).


Tovább lépni csak akkor vált lehetségessé, amikor a fejmérettel és az abból levezethető egységnyi körrel megismerkedtünk. A fejnagyság nem azonos a 9-es 9 számmal. A fejnagyság – betű szerint fej-egység fej – esetünkben hosszmérték, nagysága 3 tenyér. A 9-es es szám csak a kör számolásához szükséges „félkész termék”, önmagában nem szorul magyarázatra, mert mint a kör állandójával, ezzel a számmal kellett számolniuk. A példákban csak annyiban bonyolódott a helyzet, hogy ez a „félkész termék” egyúttal, mint fizikai tartalommal rendelkező szám, valamilyen méretet közvetlenül is képviselhetett, illetve, mint az MMP 10. példájából kitűnik, kit a fejméretű egységkör átmér átmérőjének a négyzetétt is jelenthette. Az MMP 10. feladata 2. sorában szereplő szerepl fej nagyság/egység olvasat a három tenyér átmérőjű körre utal, és nem a kilences számra. A 9-es 9 es szám nem csupán a fejméretű kör kiindulása, hanem minden kör vagy ellipszis alapszáma, következésképpen en senkinek sem kell magyaráznia jelenlétét az 5. sorban. sorban Természetesen ez nem von le abból semmit, hogy esetünkben az ősi számolás szerint egyúttal 3 x 3 tenyér2 -tel is azonos. A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy a szakirodalom által elfogadott 2 x 4,5 = 9 szorzat szükségtelen, nem létező létez műveletnek számít, ezért nincs a 10-es es példában utalás erre. Sőt, t, már ezért sem lehetséges a 10. feladat 3. sorában magadott 4,5 4,5-ös méretet átmérőnek nek tekinteni. A 9-es es szám gondolatköre ezzel még távolról sincs kimerítve, kimerítve, jelen ismereteink birtokában mégis úgy ítéljük meg, hogy ez a levezetés tiszta képet nyújtott az egyiptomi kör, jelen esetben a fejnagyságú, egységnyi kör számolásának a megértéséhez.

E. A fej, a kosár és a nagyság olvasata és vizsgálata a magyar magya nyelvtan tükrében

Az itt látható, jobbról számított első els öt jel az MMP mind a 25 feladatában azonos. A cím szavait képezik, esetünkben az utolsó három jellel együtt nagyjából a….?…. számolását jelentik. jelentik. Hogy miért nagyjából, ill. hogyan néz ki ez pontosan,


azt az itt következő fejtegetésben igyekszünk megvilágítani. (Az első feladatban nem láthatók ezek a jelek, igaz, hogy az nagyon töredékesen maradt ránk. Felmerült az a gondolat, hogy nem is képezett ez külön feladatot, csak a restaurálók mellékterméke volt!) Ebből a szempontból ez a papirusz eltér az RMP-től, ahol távolról sem ugyanazzal a szöveggel vezeti be Ahmesz, az RMP egykori írója, feladatait. Lévén, hogy mindkét példánkban ezek a jelek külön sorban is szerepelnek, úgy tekinthetjük, hogy ezt ősi mesterünk címnek szánta. A baloldali utolsó három jel a számolás tárgyát, a fenti képen is jól követhető kosár hieratikus írását tartalmazza. Elemzésünket kezdjük talán a címben szereplő első három jel vizsgálatával (a hieratikus jeleket szerkesztési nehézségek miatt hieroglifás alakjukban tárgyaljuk, de elemzésükkor az eredeti jelekre gondolunk).

(1-3). Az első jel,

Gardiner D1-es jele: általános meghatározásában ’head in profile’. Érdekes módon az egyiptológusok közül senki sem olvassa fej-nek. Ha erről a jelről beszélnek, mindig a tp transzliterációt használják. A második jel az ideogramma függőleges jele Gardiner rendszerében Z1 alatt ’stroke’ meghatározással szerepel, mindenki számára azt jelenti, hogy figyelj, itt az előző jel másik értékét, legtöbbször a képértékét kell olvasnod. A harmadik jel közvetlenül az ID jele alá esik, Gardiner ’ripple of water’ meghatározású… phon. n. Az egyiptológia ’n’ N35-ös jele hangnak olvassa. Ha paleográfiai vizsgálat alá vesszük ezeket a jeleket, láthatjuk, hogy a hieratikus eredetin a „fej” jelét két vonallal írta ősünk, lásd a fenti képen, az ID jele összeér a szem/szám jelével (eredetileg ez is külön vonal lehetett, csak a következő szem jel szára sikerült valamivel hosszabbra, ezért érnek össze. A szem jele egyébként egy vonalnak tekinthető), alatta külön élesen látszik az ’n’ jele. Az első megközelítésben kissé furcsa egységet képeznek. A hieroglifás átíráskor az ID jele továbbra is az ’n’ fölé került, ugyanúgy, mint a hieratikus eredetiben, de elképzelhető az is, hogy a hieratikus írás jellegéből adódóan írnokunk nem tehette máshová az ’n’ jelet. Az előbbiekben közösen megtekintettük a fej hieratikus, két vonalból álló jelét, ennek alapján most megállapíthatjuk, hogy meglehetősen bonyolult lenne alá még tisztán kivehető újabb jelet írni. Lehet, hogy ez volt a furcsa írás oka. Ligatúrás változata eddig még nem ismert. Ha hieroglifás írással kellene ezt a csoportot írni, az ’n’ jele a „fej” jele alatt is állhatna. . Az ID jel a csoport mögé kerülne. Egyébként is szabályként fogadjuk el, hogy az ID jellel a szó lezártnak tekinthető, a jelek, a képzők és a ragok közé és a szótő közé esnek.


Rögtön megállapíthatjuk azt is, hogy az ’n’ jel nem véletlenül áll itt, valamilyen fontos szerepe van. Mindez számunkra azért érdekes, mert a szakirodalom több variációban is fordítja az első három jelet. Szerepel Peet szövegében mint „Example”, Struve szerint „Berechnung”, Gillings pedig a „Method” fordításban véli a helyes értékét megadni. Fejnek egyikük sem látja. Ugyancsak nem olvassák fejnek a második sorban sem (19-20 jelek), igaz, hogy itt már nem szerepel a fenti jelek egyike, az ’n’ jel. Így aztán nem kerülhetett sor a fejben számít, valamint a fej-nagysága fordításokra sem. Ha alaposabban elemezzük, látunk azért ebben is logikát. Említettük, hogy az első három jel a címben szerepel. Ha az egyiptológusok itt a fej olvasattal kezdenék fordításukat, akkor ez az ’n’ jel következtében – ami az indirekt genitivus jele – a szükséges „fejnek a” vagy „a feje valaminek…” változást vonná maga után. A probléma az, hogy a birtok az ilyen szerkezetekben mindig a birtokos előtt áll. Lásd: , fordítása, ha hitelt adunk a szakirodalomnak: „az erős istenek – nak a – Abydos”, azaz Abydos nagyjai. (Ebben a közismert példában a birtokviszony többes számának jelét, a „nw-edényt” találjuk az ’n’ helyén.) Az eddigi fordításokra rányomta a bélyegét ez a birtokviszony. Elemzésükkor azt is láthatjuk, hogy mindenki igyekezett a számolást, valamint az ide vonatkozó igét felfedezni az első öt jelben. Végül is az MMP kifejezetten számolással foglalkozik. Struve fordítását vizsgálva kiderült, hogy a (4-5) jel a birtokos szerkezet birtoka, azaz a Form, a birtokosa a tp-nek, (1-2) jel, a fej, vagy fordításában a der Berechnung-nak. Nála a fej azonos a számolással? Ugyanakkor a forma szó főnév, így erősen kérdéses, hogy mennyire fér össze a határozottan igei természetű ir-t-tel. Megállapíthatjuk azt is, hogy a birtokviszonyt a szokásostól eltérően, hibásan fordítja. Form der Berechnung, azaz a „számolás formája” esetében tehát elől állna a birtokos és csak utána a birtok. Ez ellenkezik a szakirodalom szabályával. Peet fordítása nyelvtanilag korrektebb: Example of working out, „példa a kidolgozásnak a”… Itt ismét az a probléma jelentkezett, hogy nem fejnek, hanem más tartalommal kellett olvasni. Peet példát lát benne, ugyanakkor az ir-t-ből főnevet kellett „fabrikáljon”. Lásd: working out. Hoffmann már nagyvonalúbban kezeli a cím fordítását, és megelégszik az egyszerű ’Berechnung der….’ szavakkal, ami viszont a birtokviszony eltolódására utal. A tárgyat is belevonja ebbe a szerkezetbe, ebből képezi a birtokost! Lásd: Berechnung der …nb-t Korb. Azaz a nb-t kosár számolása. Ebben a sorban a csúcsnak Williams számít, aki az example of calculating fordítással az ir-t jeleket Nota Bene a „számolás” szó jelentésével ruházta fel. Lássuk még egyszer az előbb tárgyalt első öt jelet:

.


Az eddigiekből kiderült, hogy a szakirodalom számára meglehetősen zavaró a birtokviszony, az indirekt genitivus jelenléte, ennek következtében a fej olvasata fel sem merülhetett. A birtokos szerkezetben nem szerepelhet ige. Sem a birtok, sem a birtokos nem tartozhat az ige szófajába, így az első öt jelből száműzni kellett a cselekvést. A fej szó ID-el ellátott közvetlen jelentését tekintve nem férhetett ebbe a címbe, mert ezen a helyen, értelemszerűen, csak a számolásra utaló jel állhat. Itt a szabályok szerint a birtok áll, pl.: example, method stb., és nem a fej. Tekintve, hogy ezek után a (4-5) jel csak a birtokos lehet, az itt szereplő igének át kellett alakulnia → főnévvé. Lásd: kalkuláció, kidolgozás. Ha a fejet, a képértékének megfelelően, itt „fejnek” fordítanák, akkor mint birtok, a „kalkuláció feje” vagy a „forma feje” vagy ehhez hasonló lehetetlenségek jönnének ki. Ha az érvényes szabályokat felrúgva birtokosként állítanánk be (Struve), akkor viszont a cím válna nevetségessé a „fejnek a számítása, kalkulációja” stb. fordítás miatt. Itt nem a fejet, hanem az utána következő idomot kell kiszámolni. A fej szó sorsa ezzel megpecsételődött. A (19-20) jelek esetében is eldőlt a kérdés, bár ott már nem látható az indirekt genitivus jele. A számolás tárgya csak ez után következik. A 14-es feladat esetében egy trapéz rajza látható, ID jel nélkül. A 10-es példában viszont a nb-t jelek következnek. Ezt kell kiszámolni. Számunkra az ’n’ jel a helyragot jelenti. oN/eN/öN-t, vagy mint példánkban, a baN/beN-t. Ez utóbbi a ’b’ jellel több, mint az eredetin látható hieratikus egység. (Ha megtekintjük G. Möller gyűjteményében a 124. szám alatt felsorakoztatott ’b’ jeleket, hatalmas méretével választ ad arra is, hogy miért hiányzik a cím jelei közül.) Egyébként egyáltalán nem biztos, hogy a fejszámolást akkor is fejben számolással azonosították, nagyon is elképzelhető, hogy a fejen számolás jelentette ez előbb tárgyalt fogalmat. (A változatokat lásd később.) A (19-20) jelek a csupasz tövet jelentik, olvasatuk: „fej”. A mondatba is helyesen illeszkednek: „mérj…, ami fej nagyságú”. A (4-5) jelek egyébként szervesen összefüggenek a fejen olvasattal. Kétségtelenül a második helyre az állítmány kívánkozik, és olvasatunkban tényleg egy igei állítmány következik. Számít: D4-es jelével, 554. oldal:”

. Rövid elemzésünket kezdjük ismét Gardiner iri, make, do, act, acquire”, a „számolás” nincs

közöttük. Egy sorral fölötte a példánkhoz hasonló jelek állnak, a különbség csupán az ID jel. Meghatározása: „eye”. Itt „természetesen” már nem áll transzliteráció rendelkezésünkre, mindenki a saját nyelvén olvassa a szem fogalmát. Az MMP soraiban sehol sem áll mögötte az ID jel. Mi is csak a csontjával használjuk. SZ-M. Hangzósítására már a részletes tárgyalása során


kitértünk, itt csak a végeredményt ismételjük meg: SZ-M ⇒ Sze-M ⇒ Szá-M. (Lásd szem-élek ⇒ szám-olok. A szem/szám archaikus olvasatát az „öröklött” terminológia is magyarázza. ) Az eltérés az ottanihoz képest az, hogy az alá írott ’t’ jel társaságától eltekintve a szem jele itt egyedül áll. Ez a ’t’ jel azért sok mindenről árulkodik. Ha valaki az első három jelet fejnek olvassa, mi több megoldja, vagy lenyeli az ’n’ kérdését, akkor a hivatalos nyelvtan szerint az ige után – mint szuffixum – a személyes névmás valamelyik formája következne. (Gardiner nyelvtana a személyes névmás legalább három formáját különbözteti meg.) A ’t’ viszont nem szerepel egyik pronominális felsorolásban sem. Nos, ezek után a mai egyiptológia nyelvtani alapjaira hivatkozva a következő megállapítást tehetjük. A szaklapokban szereplő fordítások nem láthatták a fej jelében a fej fogalmát is, mert a birtokviszonyt jelző ’n’ hang miatt sem a birtokot, sem a birtokost nem lehetett igei formában elképzelni, így nem lehetett az első két jelet szabályosan, értelmét, de helyzetét tekintve sem „fejnek” olvasni, a szövegbe illeszteni. További bonyodalmat okozott az is, hogy az (5) jel, a ’t’ nem olvasható személyes névmásnak, a többi között már csak ezért sem lehett az előtte álló (4) jel ige. Így csak az a lehetőség maradt, hogy az indirekt genitívus szabályait figyelembe véve az ir+t névszósított igéből és az előttes fej + n = tp + n névszóból igei állítmány nélküli elfogadható címet állítsanak össze, esetünkben az általános alany segítségével. Vö. Peet: „Example of working”, vagy Struve német szavaival élve: „Form der Berechnung”. Ezek alapján a tp-n jelek értelme a Berechnung, illetve Example lett. Említésre érdemes az is, hogy a számolás valódi tárgyát képező idomot a német szövegek a halmozott birtokviszony formájába helyezik, lásd: Form der Berechnung des Pyramidestumpfes, bár Williams ezt az angol nyelv sajátossága alapján nem követi, lásd: example of calculating a….nbt. magyar fordításunkban is csak kettős birtokviszonnyal oldhatjuk meg ezt a kérdést. A címet képező utolsó három jel mind a mai napig találgatásokra ad okot. Olvasata az egyiptológia mai szabályi szerint egyértelmű, az ID jel előtt álló szabályos jeleket kosárnak, ill. nbt-nek kell olvasni. Megjegyezzük, hogy a jel korábban tárgyalt, eltérő interpretációját a számolás eredményét képező idom és a nb-t jelentését fedő kosár különbsége okozta. Más szóval nem olvashat senki a címben kosarat, illetve annak a számítását, ha végül is egy félgömb, vagy egy félhenger felszínét számolja ki. Ez a tény annyira zavaró volt, hogy Gillings – aki Struve félgömb elméletét karolta ismételten fel – a saját kútfőjén túlmenően, kénytelen volt teóriájának alátámasztására egy megbízható szakértő véleményét is kikérni. Erről így ír: „A recognized authority on Middle Kingdom hieratic, Mr. T.G.H. James, – Assis-tant Keeper of the Department of Egyptian Antiquities of


the British Museum, London, – had earlier agreed to lend his services, and in November 1970 he wrote me as follows: I much prefer to take nbt as „basket”… In addition I am not sure that the word tp-r means „mouth” or diameter.” 3 Gillings láthatóan nem kapott egyértelműen zöld utat James úrtól. Áttekintve magyar nyelvű olvasatunkat, számunkra mindez másképpen fest. Az ’n’ jelet mi az oN/eN/öN helyhatározó raggal azonosíthatjuk, majd az előtte lévő fej rajzával összeolvasva a fejen olvasatot kapjuk. A következő két jel a számol ige 1. sz. 3. személyű alakjára mutat: számít. Sőt, közvetlenül a tárgyra is utal, mert ezek után meg kell mondanunk, hogy mit számít? A 14-es feladatban itt csak egy rajz, egy geometriai idom következik. Álló trapéz formájában érzékeltették a hasonló metszetű három dimenzióss idomot, a csonka gúlát. A rajz után tanárunk nem tette ki a tárgyeset ragját, sőt ID jelet sem tett. A rajz esetében ez szükségtelen is volt. A 10. feladatban viszont nem rajzolt semmilyen idomot! Egyszerűen a szokásos hieratikus jeleivel írta azt, hogy ’ kosarat számít ’. Itt tehát a ’t’ jel a tárgyeset jelölésére elengedhetetlen volt, valamint a nb kosár olvasatához ki kellett tennie az ID hatalmas jelét is. Így nem lehet félreértés. (Bár az itt tárgyalt olvasatot, mint a lehetséges legvalószínűbbet megtartjuk, szeretnénk szólni a (4-5) jel olvasatának más variánsairól is. Az ir-t, illetve jr-t Közép-birodalmi értéket is felvehetnénk vizsgálataink sorába. Ez a transzliterációs érték egyébként, a számolási terminológián kívül, a JáR-aT olvasatunkkal lehetne azonos. Az érdekessége nem is a jelentéséből – fejen járat – hanem az ige módjából, a műveltetésből adódik. Ha ez az igemód érvényes lenne a számít olvasatunkra is, tehát a két ’t’-s variáns állna a papiruszon, akkor a számíttat olvasattal tanárunk célját is egyértelműen meghatározhatnánk. Oktatás! Egyébként a JáRa-T, járat olvasatának lehetőségét semmi esetre sem szabad elvetnünk, annál is inkább, mert átvitt értelemben a fejszámolásra is utalhat. Eddig az ír-t olvasattal nem foglalkoztunk. Ennek részben az volt az oka, hogy a jel képértékével nincs közvetlen kapcsolata. A szem számtalan műveletet végezhet, de nem tartozik ezek közé az „ír” szavunk. A TESZ szerint az „ír” szó mindkét jelentésével az 1300-as években jelenik meg, az eddig tárgyalt szavakhoz képest elég későn. A jelzett idő előtt valószínűleg másik formában élt ez a tő. Lehetséges lenne a „ró” olvasat is? A rovásírás minden esetre ebbe az irányba mutat. Így azt sem lehet kizárni, hogy a (4-5) jel hangzósítása írat, ill. rovat lenne. Az itt felsorolt variánsok 3

A Közép-birodalom hierarchikus írása terén elismert szaktekintély, Mr. T.G.H. James, – Assistant Keeper of the Department of Egyiptian Antiquities of the British Museum, London, – segítségéről már korábban megállapodtunk –, 1970 novemberében a következőket írja: …inkább előnyben részesítem a nbt „kosár” fordítását (’a nbt vevését, mint „kosár” ’), és… hozzáfűzöm, hogy a tp-r száj, vagy átmérő jelentésében nem vagyok biztos.”


eldöntését a jövő feladatának tekintjük, pontosabb adattokkal kellene rendelkeznünk az MMP életkoráról, az Új-birodalom szókincséről, hangtanáról. Megítélésünk szerint az olvasat értelmét az ige hajszálpontos meghatározása nem befolyásolja.) A fentiek alapján, a magyar nyelvtan szabályainak figyelembe vételével, az első sor olvasata: „fejen számít kosarat” lett. Olvasatunkhoz Gardiner három fontos jelét, mint ideogrammát, a fejet, D1, a szemet, D4 és a kosarat, V30, a nemzetközi értékek alapján használtuk fel, de a mondatba illesztésük csak a magyar hangzósítás és a magyar nyelvtan segítségével sikerülhetett. Ez lehetett az oka annak is, hogy nyelvünk ismeretének hiányában az egyébként közismert jeleket ebben az értelemben a szakirodalom nem tehette egymás mellé. Példánk másik sarokpontja a fej-nagyságú olvasat (lásd a (19-22) jeleket). A fej olvasat jogosultságát itt is az ID jel magyarázza. A nagyság fogalmát részletes tárgyalásánál már elemeztük, levezetésére R. Labat gyűjteményét használtuk fel. Itt csupán a fej és a száj jelének ID-vel ellátott gardineri értékét szeretnénk megismételni: , lásd az Egyptian-English Vocabulary 577. oldalán: tp-r utterance; valaminek a kifejezése/kimondása. A fejméret olvasathoz szükséges lenne a direkt genitívus, a közvetlen birtokos szerkezet jelenléte. Lásd templomszolga, háztető stb. Ebben az esetben viszont az ID jel csak egyszer szerepelhetne, akkor is a végén kellene állnia. Egyébként a jel további meghatározásai között sehol sem szerepel az egység, a nagyság , sőt a Hoffmann által használt Öffnung, nyílás fogalom sem. Ez utóbbi jel tehát nem sorolható közvetlenül az evidens, nemzetközi jelek sorába, nem jelenti formája alapján a méret fogalmát. Zavarja a képet az is, hogy közvetlenül utána ismét ugyanez a jel szerepel, de most már az ID jel nélkül. Lásd: , azaz : l 4,5. Olvasata ezek alapján először az egység/nagyság, az ID jel nélküli változatában az öle magyar szavainkat eredményezte. Megjegyezzük, hogy a (21-22) jel olvasata közvetlenül az egység is lehetne, lásd Labat 1-es jelét. Példánk első, közvetlen magyar nyelvű olvasása után felmerült az a logikus kérdés, hogy a képértékeket figyelembe véve a szakirodalom hetven éven keresztül miért nem találta meg ezeket a látszólag kézenfekvő jellemzőket? Nos, a fentiekből nyilvánvaló, hogy ehhez először is szükségük lett volna a magyar nyelv egyik szógyökének ismeretére, a SzeM „SZ-M” SzáM hangzósítására, és ezt igeként kellett volna használni. Tudomásunk szerint nincs még egy nyelv, ahol ezt a két fogalmat azonos mássalhangzós vázzal rendelkező szavak képeznék. A


továbbiakban ismerni kellett volna a sumér/akkád ékírás 12. jelét is, valamint az azzal összefüggő il, él transzliterációt. R. Labat AZ = ÉL = ISTEN = EGY meghatározását. Az egység/nagyság fogalma ezekből vezethető le. Használni kellett volna az ’r’ jel Ó-birodalmi hangértékét, azaz az ’l’ hangot is, amit mi a száj + ID jel alapján olvasunk. Ismerni kellett volna az ’n’ jel „másik” jelentését is (on/en/ön) valamint a műveltetés ’t’ képzőjét, amelynek suffix helyzetével tisztában kellett volna lenni. Ezek hiányában csupán a szakirodalom szemantikai, morfológiai, grammatikai lehetőségeire támaszkodva lehetetlen volt tovább lépniük, így utólag nem látjuk reálisnak az előbb feltett, a jellemzők értelmezéséről szóló kérdést. Mégis, tegyük fel, hogy gondolatban kiszélesítjük az egyiptológia határait az általunk felsorolt jelek képértékének használatáig. Tegyük fel, hogy a szótani korrekciók esetleg csak logikai alapon is elvégezhetők lennének. A helyes olvasathoz azért valami nagyon fontos még akkor is hiányzik fog. Nem szorul magyarázatra, hogy csak a szavak egymás mellé helyezése nem elég a beszédhez. Szükséges valamilyen „ragasztóanyag”, a hozzátartozó nyelvtani rendszer is. Esetünkben a magyar nyelv nyelvtanának rendszere.

F. További kutatást igényelnek Munkánk során teljes sötétségben tapogatódzunk. Nem áll ez irányú szakirodalom rendelkezésünkre. Az egyetlen kicsi lámpás a mi kezünkben világol. Lehetetlen, hogy ilyen körülmények között mindent helyesen lássunk, a részleteket, az összefüggéseket pontosan megítélhessük. Tévedések, kérdések nélkül nincs kutató, nincs ember! Ezek után a fennmaradó, megválaszolatlan gondolatainkat az alábbi kis csokorba foglaltuk össze: – Mi az MMP pontos életkora? – Az ellentmondás feloldása, miszerint a piramisépítők nagyobb matematikai tudással rendelkeztek volna, mint 1000 évvel későbbi utódaik. – Valóban létezett-e valamilyen ősi irat papiruszunk keletkezésének idején, másolták-e ezeket a feladatokat? – Nem teljesen világos, hogy miért használt tanárunk ilyen dedós módszert, miért részletezi elemi fokon a 8/9-elés folyamatát, ugyanakkor rendelkezett pl. a csonka gúla megoldó képletével. – Nem találtunk megnyugtató magyarázatot arra, hogy a hieratikus törtszám írásakor miért helyettesíthető tízes nagyságrendű eltolódással is a kívánt szám, lásd 1/6 és 1/18 sorozatos felcserélését a 6-os és 18-as szám jeleivel (lásd még az RMP 48. feladatát).


– Valóban kortárs volt-e (esetleg csak megközelítőleg) tanárunk és a Rhindpapirusz írója? Azonos volt-e matematikai, geometriai ismeretük? – Paleográfiai kérdéseinket az alább következő fejezetben tesszük fel. – Mindazon olvasatok, ahol a szöveg részletes tárgyalása során erre külön is kitértünk, további egyeztetést, kutatást igényelnek. Munkánk során megismerkedtünk a bőség zavarával is. A mai magyar nyelv szókincse, csodálatos gazdagsága az akkoriaknak még nyilván nem állt rendelkezésére. Ezen túlmenően feltevésünk szerint kezdetben jóval kevesebb szóval írhattak, mint az utolsó évezredben. Így külön gondot kellett fordítanunk a fogalmak, cselekvések, tárgyak stb. hangzósítására. Számtalan esetben több variáns is létezik, amiből nehéz, esetenként mai tudásunkkal lehetetlen volt eldönteni, hogy melyik a helytálló (lásd: marha, irha, ruha). A bőség zavara. Ehhez járult természetesen a nyelv szokásos fejlődési folyamata is, amelynek következtében szavak koptak el, változtattak formát, illetve kaphattak új jelentést is. (Pl: az Új-birodalom idejére elkopott az Ú-zós ragozás.) Tekintve, hogy ez az ősi kultúra csak a szakirodalom eddigi fordításaiból ismert, nyilvánvaló archeológiai adatoktól, ránk maradt építményektől, képektől, tárgyaktól, festményektől stb. eltekintve az így alkotott kép nem megbízható. Használati tárgyaik, eszközeik nagy része, tevékenységük apró részletei, szokásaik, hitviláguk és a sort hosszan folytathatnánk – számunkra eddig ismeretlenek maradtak, megfejtésre várnak, magyar nyelvű olvasatunknál ezért fokozott óvatossággal kell eljárnunk. Gondoljunk csak a nagy piramisok titkára, vagy a Nílus szabályozására, amelynek részleteit, építésének módját, tartamát, sőt idejét sem ismerjük. Ezek alapján beláthatjuk, hogy több évezred távlatából olvasatunk nem lehet minden részletében tökéletes. Csak további kutatómunkával, összehasonlításokkal, olvasatokkal csökkenthetjük ezt a hiányosságot. (Mai példával élve: ha valaki 4000 év múlva kiásná mostani „kultúrrétegünket”, akkor értetlenül állna majd ilyen fogalmak előtt, mint a közért, mozi, utazási iroda stb. Ugyancsak furcsállaná az ilyen kifejezéseket, mint „képben lenni, hülyét kapni” stb.)

Az „m” hang nyomában A hieroglifás szöveg tárgyalása során többször utaltunk arra, hogy „komoly zavarok” tapasztalhatók az ’m’ hang körül. Mind írásmódja, mind „láthatatlan jelenléte”, sőt jelentésének sokrétűsége további kérdésekre adott okot. Írása látszólag tiszta képet nyújt, a bagoly madár jelenti az ’m’ hangot, . Nos, hieroglifás megjelenése valóban egyértelmű, hieratikus formája viszont annál kevésbé. Mondhatnánk azt is, hogy egyáltalán nem biztos a transzkribációja.


(Ebben a fejezetben a magyar átírás szavunk helyett a nemzetközi transzkribáció szót szándékosan használjuk. Célunk ezzel mondanivalónk pontosítása, a könnyen összekeverhető transzkribáció és transzliteráció megkülönböztetése.) Ha G. Möller 196-os jeleit alaposabban megvizsgáljuk, érdekes kalandban lehet részünk. A bagoly a hieroglifák között az egyetlen madár-jel, amelyik szembe néz velünk. A többi, csaknem 40 madár, kivétel nélkül oldalról látható. Hieratikus jelei legalább három, egymástól eltérő formát mutatnak. Talán a legcélszerűbb mindhármat egymás mellé helyezni:

I.

II.

III.

(Ezek a jelek G. Möller Hieratische Paläographie I. kötet 18. oldal 196/A-B soraiból származnak.)

Mindhárom jel átírása ugyanazzal az egy hieroglifával történik, nevezetesen a fentiekben már megnevezett bagollyal. Ha a I. jelet összehasonlítjuk a II. jellel – az összes többi madárjelhez hasonlóan – közös vonásként formájuk a nagy ’L’-re emlékeztet. Egyébként a megszólalásig hasonlít a ’w’ jelet hordozó fürj madár hieratikus jeléhez is – lásd Möller 200-as jeleit – csupán annyi a különbség, hogy az ’m’ írása esetén az ’L’ felső szárán a bagoly füleire emlékeztető „dupla szakáll” látható. Ez hiányzik a fürj hieratikus jeléből. Mindkét fenti jelünk két vonalból áll, lábuk, karmaik eltérnek egymástól. Az I. képen jól követhető a madár kapaszkodó karma, a II. jelzés írója már ezt a vonalat nem kanyarítja jele alá, értsd alatta: „én így is készen vagyok”. Fülei mindkettőnek a bagolyra utalnak, mégis eltér a jel befejező vonala. A III. jel Möller szerint „Dasselbe Zeichen, abgekürzte Form.” Tehát: ugyanaz a jel, rövid formában. Gyakorlatilag nem hasonlít sem a madárra, sem a hieratikus teljes megfelelőjére. Írása egy vonalból áll. A helyzet ott bonyolódik, hogy sem térben, sem időben nincs lehetőség szignifikáns elválasztásukra. Gyakran ugyanazon a papiruszon, esetleg ugyanabban a sorban/oszlopban ugyanaz a kéz használta mindhárom jelet. Megnyugtató válasz hiányában megkérdezzük: Valóban azonos transzkribációval, értelemmel rendelkeznek-e ezek a hieratikus jelek?


A helyzetet tovább „súlyosbítja” Gardiner gyűjteményének Aa13-as jele , amelynek a szerző legalább öt, egymástól teljesen eltérő hangzósítást ad. Egyike ezeknek a következőképpen hangzik: also, from Dyn XVIII on, phon. „m”. Magyarul, a XVIII. dinasztiától számítva közvetlenül az ’m’ hangot jelenti (egyébként egy másik jelentése a ’gs’). Gardiner bizonytalanságára utal az a tény, hogy ezt a jelet is a „Sect. Aa. Unclassified” csoportba helyezte. Meglepő az is, hogy Möller ilyen formában nem ismeri ezt a jelet, ezek szerint gyakorlatilag nincs hieratikus megfelelője. (Ezt nevezhetnénk az ’m’ negyedik fajtájának, transzliterációja számos sírfelirat alapján egyértelműen az ’m’ hangra utal.) Ennyi bevezető után vizsgáljuk meg az MMP általunk tárgyalt feladatainak ’m’ hangra vonatkozó hieratikus és hieroglifás jeleit. A 14-es feladat első ’m’ jele 14/48-as számú, a 14/77-es jel ugyancsak ebben a szerepben látható, majd ezt követi a 14/137-es, valamint a 14/146-os jel. A 10-es feladat ’m’ jelei a következők: 10/18 – 26 – 67 – 87 – 149 – 161. Ezeket a hieratikus jeleket a szakirodalom, a 10/67 kivételével, mindenhol Gardiner G13-s jelével transzkribálta (lásd bagoly), a jelzett eltérésnél (10/67) az Aa13-as jel áll. A hieratikus jelek viszont több csoportba oszthatók. A legtöbb, a fenti sorban III. számmal ellátott jel a nagy hármashoz hasonlít. Ezek a 14/137-es, 10/18-as, 10/87-es, valamint a 10/149-es jelek. A 14/146-os és a 10/161-es ’m’ jelek megfelelői ligatúrás formában szerepelnek, így a mi szempontunkból most nem értékelhetők. Utoljára hagytuk az alig felismerhető 14/48-14/77-es jeleket, kétségeinket már a részletes tárgyalásuk során kifejtettük. Ezektől eltérő a 10/18-as jel, lásd azonosságát a II. írásformával, valamint a 10/67es jelet, amelynek transzkribációjáról már megemlékeztünk (lásd Gardiner Aa13-as jelét; a szakirodalom ezt az utóbbi jelet félnek olvassa). Ezek alapján megállapíthatjuk, hogy példáinkban az ’m’ jelek túlnyomó többsége a IIIas variánsból áll, viszont szerepel a II, valamint a negyedik megjelenési formája is. Mint azt már a részletes tárgyalás során láttuk, a szoliter ’m’-et vonatkozó névmásként kezeltük. Megítélésünk szerint FON szerepben bonyodalmakat okozott volna. Ennek tulajdonítottuk azt a tényt is, hogy „ma/me” változata a jelcsoportok elejéről hiányzik. Lásd: „ma-kadnak, me-netet, me-net, me-nnyiség” olvasatainkat. Mind-ez további vizsgálatra szorul, csakúgy, mint a hieratikus ’m’ jelek pontosítása. Érdekes jelenség az „én” fogalom írásának elhagyása. Az „én-gem”, azaz en-gem szavunk azonos tőre vezethető vissza, mint a „ma-gam” szó, ami az előző mélyhangú változatának tekinthető. Kerekfejű tanárunk mindkét esetben tartózkodott a személyes névmás jelölésétől.


Összefoglalva, a következő kérdések merültek fel: – Miért volt szükséges ennyi hieratikus jel az ’m’ hang jelölésére, ha egy hieroglifa is elegendő volt transzkribációjára (hieroglifás átírására)? – Valóban tisztán ’m’ hangnak transzliterálhatók-e a fent jelzett hieratikus jelek, vagy annak más-más magánhangzós vonzatáról is beszélhetünk? – A szakirodalom által elfogadott prepozíciós szerepét elvetjük, lásd: -ban, -ben, kifelé, együtt, keresztül, által, mint, összetételében, akkor, miközben, ezzel egyidejűleg az általunk javasolt transzliterációját mint ID – de az ID-jel nélkül – (lásd kötőszó, vonatkozó névmás stb.) korrektnek tekinthetjük-e? – Valóban elfogadható-e „csendes jelenléte” (lekopott a szótőről), illetve hiányának valamilyen más oka, magyarázata is lehetséges? A könyvünkben szereplő adatok alapján ezekre a kérdésekre nem lehet egyértelmű választ adni, a tárgyaltakon kívül szerzett ismereteinket a későbbiek folyamán, más csoportosításban publikáljuk. Kutatását, elemzését, az ide vonatkozó statisztikai adatokat, további olvasatokkal történő összehasonlítását a jövő feladatai közé soroljuk.

G. Paleográfiai meggondolások Az MMP 10. feladata ezidáig megoldásra várt. Senki sem tudta pontosan, hogy milyen idomot és annak milyen tulajdonságát számolta mesterünk. A számolás menete alapján eddig legalább négyféle variánst állítottak össze, minden csak azon múlott, hogy azt az egy, számmal jelölt adatot, a 4½-t, minek vették. A fentiekben részletesen kitértünk a lehetőségek elemzésére, itt csupán annyit szeretnénk ismételni, hogy ez a vita a magyar nyelv ismerete nélkül eldönthetetlennek bizonyult. I. A legelső, talán a legfontosabb részlet a nb-t, a fonott kosár vizsgálata, értelmezése. Szövegünkben háromszor fordul elő, nevezetesen a címben a (6-8) jelek, a második sorban a (15-17) jelek, valamint az ötödik sorban a (64-66) jelek. Alakjukat tekintve megállapíthatjuk, hogy kétség kívül megegyeznek G. Möller


510, I. kötet jeleivel. Mind a Prisse, a Sinuhe, mind a Goljenyicsev oszlopok jelei a megszólalásig hasonlítanak három vizsgált jelünkre. A (6) jel a Goljenyicsev variánsra hasonlít, a (15) inkább a Prisse jeleivel vetekedhet, míg a (64) jel az előzőek keveréke. Külalakból írnokunk nem kapott jelest, ennek ellenére határozottan állíthatjuk, hogy G. Möller 510-es jelei, csakúgy, mint A. Gardiner V30-as jele, megegyeznek az általunk vizsgált mindhárom jellel. Írnokunk nem vette a fáradságot, hogy valamilyen idomot rajzoljon, illesszen példájába – pedig a 14–17. feladatokban ezt tette –, hanem egyszerűen a kosár jeleit írta le, és véleményünk szerint gondolta is feladata meghatározásakor. Számunkra is nyitott kérdés marad, hogy a vízszintes csoportosítás szerinti második sor írásakor miért tért el az első és az ötödik sor függőleges egységétől. Viszont mindhárom esetben mögötte ágaskodik az ID jele, jelezve, hogy itt nem FON-ról van szó, hanem itt az eredeti értelmét, a kosarat kell olvasnod. Az eddigi olvasatoknak gyakorlatilag ez a legnagyobb problémája! A kosár nem félgömb, sőt nem is a fél-henger palástja, de nem lehet félkör sem, a kúpról, esetleg a teljes henger palástjáról nem is beszélve. F. Hoffmann korábban említett dolgozatában (1996) eltekint a pontos meghatározástól, és a csüggedéssel határos nb-t transzliterációval nevezi meg a szóban forgó idomot. A kosár formájáról, méreteiről bővebbet lásd F. Hoffmann fejtegetéseiben (adataira mi is kitértünk részletes elemzésünk során). II. A (27) jel részletes paleográfiai elemzésével már a szöveg tárgyalásakor foglalkoztunk. III. A (29-30) jeleket ugyancsak összehasonlítottuk a (44-45) jelekkel, ezek alapján valóban érthetetlen W.W Struve eltérő transzkribációja. Megjegyeztük ugyanakkor azt is, hogy G. Möller LXI jele is megszólalásig hasonlít az eredeti jelünkhöz, transzkribációra csupán jelentése miatt nem kerülhetett sor. A lehetséges variánsokról általában mélyen hallgatnak átírói. IV.Az eddigi paleográfiai nézeteltéréseket a sérült rész helyreállítása, illetve a hiányzó részek vélt feltöltésének bizonyításai okozták. A negyedik sor „alef” madara viszonylag könnyen felismerhető, ezzel itt nem foglalkozunk. Az ötödik sor sérülését is egyöntetűen mindenki azonos módon interpretálja, a matematikai levezetés alapján itt valóban a 9-es szám hiányzik. Mi is elfogadjuk ezt az átírást. (Megjegyezzük, hogy csupán a fotókópia birtokában a komputeres elemzés sem nyújthat teljes bizonyosságot.) A legtöbb nézeteltérést a hatodik sor helyreállítása okozta. W.W. Struve, de követői is, a töredék bal oldalán egy tojás sérült rajzát vélik felfedezni. Erre épül a tojás, a gömb és a félgömb teória. A javítás utáni olvasat a Nye-R-S = nyers, Nye-Le-S, Nyí-L-áS, stb szavunkat adhatná.


A (75) jel a tojás rajza, Gardiner H8 jele, , egg, tojás jelentésű. Összehasonlításképpen mellékeljük Gardiner H8-as jelének hivatalos transzliterációját is: , swHt, ami a SZ-Ü-(l)-HeT, ’szülhet’ szavunkat eredményezi. A (76-78) jelek KéPeZ-Ö-L, KaP-O-L olvasatát a Csonka gúla esetében már tárgyaltuk. TESZ II/1043, „nyers 1395, Ismeretlen eredetű.” Velük szemben Peet, Gunn és Hoffmann véleménye ugyancsak elfogadható, ők azt állítják, hogy ez a sérült jel a jobboldalon a füles kosár „kezdő hurká”-ja, legyen példa rá G. Möller 511, I kötet fél-tucatnyi jele. Más szóval itt nem tojásról, hanem egy közönséges ’k’ jelről van szó, így nincs semmiféle gömb, sapka stb. idomunk. Legvalószínűbb a személyes névmás 2. személye, a ’k’ olvasat, esetleg , mint több helyen is látható, a méret jelentéssel is rendelkezhetne (Hoffmann). Még több találgatásra adott okot a jobboldali töredék. Struve és követői szerint itt az N-R, valamint az S jeleket kellene látnunk, Peet és Hoffmann viszont a P–T jeleket véli felfedezni a maradékok alapján. Ez utóbbi, tehát a J-P-T, jpt-n-pr, űrmérték, ca. 24 liter. Így aztán az általuk számolt fél-henger felszínéhez vajmi kevés köze lehet. Az általunk javasolt kiegészítést a szöveg részletes tárgyalása során megtettük, itt csak megismételjük feltevésünket. Szerintünk nagy valószínűséggel csak három jelből állhatott a sérült rész, (az első jel nem tartozik a sérüléshez), transzliterációja J-P-N-K = úJ a PeNeKe, azaz új a feneke.

H. Összefoglalás A Moszkvai Matematikai Papirusz életkora vitatható. Feltevésünk szerint csaknem 1000 évvel fiatalabb az egyiptológusok adatolásánál. A példában használt Újbirodalmi nyelv szerkezete erősen eltér a korábbi mondatszerkesztés szabályaitól. Ezzel azt a feltevésünket látszik alátámasztatni, hogy minél jobban távolodunk az ősnyelvtől, annál több változáson ment keresztül az eredeti agglutináló nyelv, tért el szerkezetében, hangzásában a korábbi archaikus, majd klasszikus nyelvtől. A példa – ha elfogadjuk az egyiptomi πe-t – matematikailag kifogástalan, mégis úgy tűnik, hogy tanárunk meg sem közelíti őseinek elméleti felkészültségét.

A magyar olvasat alapján lehetőségünk nyílott a feladat pontos definiálására, a kosár (űr)méretének kiszámítására, az egységnyi kör és a


kilences kezdés felismerésére. A továbbiakban a fej nagysága, a két paraméter használata, a helyes mértékegységek bevezetése, az olvasat logikailag egységes felépítése magyarázatot ad az eddig nyitva maradt, a bevezetőben feltett kérdésekre. Mindezek után az MMP 10. feladatának hetven éves vitáját lezárhatjuk, a magyar nyelv segítségével megoldottnak tekinthetjük.

27

VI. A két példa közös vonásainak áttekintése

A

Moszkvai Matematikai Papirusz itt tárgyalt két példája W. W. Struve csoportosítása szerint „kategórián kívülinek” számít. Elsősorban tartalmuk alapján történt ez a szelekció; kétségtelenül több geometriai ismeretet tételez fel a 14-es feladat, mint amit a közvetlen számítása közben tapasztalhattunk. Már akkor is pontos ismereteik voltak a csonka gúla térfogatának számításáról. Gunn és Peet szavaival élve: „has not been improved on in 4000 years.”4 Ami a 10. feladatot illeti, sajnos a felfedezők mámorát helyesbítenünk kell, nem a félgömb felszínét számolták, hanem egyszerűen a kör területének újfajta számolásán keresztül egy kosár nagyságú henger térfogatáról szól ez a feladat. Önmagában véve semmi különös nincs ebben, nem tartozik a fejlett matematika, geometria körébe, mégis mélyebb betekintéssel szolgál őseink egyszerűségében is briliáns gondolatmenetébe. A számolás jellege és az írás alapján nincsenek közelebbi adataink arról, hogy tudásukat más forrásból, másik papiruszról írták volna át, mégis kisiskolás számolási módszerük arra enged következtetni, hogy magasabb matematikai képzetséggel rendelkezőktől származik a többi között a V= h/3 (a² + ab + b2) megoldóképlet. A példákat egymástó függetlenül tárgyaltuk. Tettük ezt azért, mert tartalmukat, nehézségi fokukat tekintve önálló egészet képeznek, valamint a 10. feladat megoldásának tárgyalása más szerkezeti felépítést igényelt, mint a híresebb, de már letisztázott társáé. Mégis számos közös vonással rendelkeznek. Talán legelőször érdemes megállapítanunk, hogy mindkettő szöveges példának tekinthető. Így a számolás menete a szöveg segítségével válik érthetővé, illetve a helytelen olvasás megakadályozza a példa levezetésének megértését. Paleográfiai összehasonlító vizsgálataink alapján megállapíthatjuk, hogy mind a számok, mind a hieratikus írásjelek azonos kéztől származnak, ezáltal a teljes papirusz nagyjából azonos időben készült. Így azt is állíthatjuk, hogy a papirusz életkora maximum olyan magas, mint a rajta szereplő legfiatalabb jeléé. Ezzel kapcsolatban kevés biztos támpontunk lehet. A szakirodalom által megadott életkora kb. i. e. 1870 (Struve, Gillings), ám ez meglehetősen légből kapottnak tekinthető. A hyk-szoszok ideje sem felelhet meg a valóságnak, lásd RMP (kb. i. e. 1500), mert az itt használt számokat abban az időben még nem így írták. Illetve… ezt állítja G. Möl-ler már többször segítségünkre hívott könyve. Tekintve, hogy ez 4

27

„4000 év óta nem szorult javításra”


a gyűjtemény nem foglalkozik közvetlenül az MMP jeleivel, hasznosnak láttuk a két papirusz összehasonlítását. G. Möller megítélésünk szerint alapos munkát végzett, gyűjteménye még ma is nélkülözhetetlen tankönyv az egyiptológusok képzésénél, így hitelt adunk megállapításainak, és a 14. feladat végeredményében szereplő 50-es szám hieratikus jelét, kis jóindulattal, mi is I. Sethos idejéből származtatjuk. Ez a szakirodalom meghatározásának csaknem 700 éves tévedését jelenti. (G. Möller Hieratische Paläographie II. kötet, 627-es jel.) Előtte ez a jel még nem létezett, lásd I. kötet 627 sorának üres kockáit. Megítélésünk szerint a papirusz életkorának pontosabb behatárolása csak a teljes szöveg „átböngészése” után, valamint kitartó kutatómunka eredményeként sikerülhet. Bennünket a pontos kormeghatározás hiánya annál is érzékenyebben érintett, mert így lehetetlen volt a két papirusz, és ezáltal a benne foglalt számolási módszerek közvetlen azonosítása. Egy azért bizonyos: a két papirusz keletkezési ideje és helye nem szükségszerűen azonos. Szerkezetét vizsgálva mindkét példa közel azonosnak tekinthető. A cím szokásos külön sora után, ahol is a példa tárgyát jelöli meg hajdan volt tanárunk, az első sorban utasít, végy-, mérj-, emelj magadnak egy idomot! Mint azt már a részletes tárgyaláskor is láthattuk, így cselekedett számos másik példájában is, ez lehetett számukra a szokásos bevezető. Ezután rendre megismételte a számolásra szánt idomot. Ami azt illeti, pontos ember volt, ilyesmit nem bízott a véletlenre. Érdekes módon itt még egyik példájában sem árulta el, hogy a jelzett idom milyen tulajdonságát szeretné számolni. Valamit ennél fontosabbnak tartott. Mindkét példában (de a többiben is) itt következik az idom leírása, azaz megadja az ’a–b’ idomhoz szükséges adatokat. Nos, csak ezután pontosítja mondanivalóját. Folyóírással utasít arra, hogy az így konkretizált képből melyik részletre kíváncsi, mit kell kiszámolni. Mindkét példában ezek után a számolási menetek következnek, majd mindkét példában „megdicsér” a feladat helyes megoldásáért. Figyelem, nem a helyes eredményért, a 10. feladatban meg sem ismétli a kosár űrméretére vonatkozó eredményt, nem, a ’növelés’ a feladat helyes elvégzéséért jár. Ennyi azonosság után azt is megállapíthatjuk, hogy tanárunk nemcsak pontos, de rendszerető ember is volt. Az egyiptomiak a szakirodalom állítása szerint kitűnő fejszámolók voltak. Erre utal a címben szereplő „fejben számít” visszatérő nyitány is. Részletes elemzésünk során már jeleztük, hogy a közvetlen olvasat mélyebb értelme alapján a „ …valaminek a számítása” modern stilizálással éltünk, mert a mai számítógépes világban már szinte elképzelhetetlennek tartjuk, hogy valaki fejben számolva a 8 kilencedelésekor a 2/3, 1/6, 1/18 eredményre jusson. Ha jól meggondoljuk, azért ez


egyáltalán nem volt lehetetlen. Sőt, olcsó papír, írásra alkalmas felszín hiányában még az is elképzelhető, hogy „szó szerint” kell vegyük a címben szereplő utasítást. Könnyen elképzelhető, hogy tanárunk mindezt „agytornának” szánta. Erre utal a számolás menetének itt-ott kisiskolás módja is, t.i fejszámolásnál csak kisebb lépésekkel haladhatunk: „Fejben számít csonka gúlát” vagy „Fejben számít kosarat”. Érdemes ismét megemlíteni a szakirodalom fordításainak eltéréseit. Struve „Form der Berechnung einer…” címmel látta el a feladatainkat, míg Peet az „Example of working out…” meghatározást látta inkább elfogadhatónak. Gillings szerint a kezdő jelek a „Method of calculating a…” jelentéssel bírnak, míg Hoffmann egyszerűen a „Berechnung einer…”-nél maradt. Williams napjainkban Peet és Gillings meghatározásait ötvözve az „Example of calculating a…” szöveget látja helyesnek. A második sor mindkét példánkban a mérj magadnak…! felszólítással kezdődik. Struve megjegyzése szerint az egész papiruszon csak három feladat tér el ettől. A 19-es és a 25-ös aHa feladatok, valamint egy a pSw példákból, a 13-as. (Érdemes lenne ezekkel egyszer még külön is foglalkozni.) Más szóval 23 esetben kezdődik a második sor a hivatalos transzliteráció szerint mj Dd nk jelekkel, amiről a részletes tárgyalás alkalmával már megállapítottuk, hogy archaikus értékével olvasva a mr-j kd-nk =MéR-J (m)aKaD-NaK magyar nyelvű utasításnak felel meg. Meggyőződésünk szerint ősi, megcsontosodott jelcsoportról van szó, minden esetre jóval régebbi időből származik, mint maga a papirusz. Tekintve, hogy őseink számítási módszereit a nemes egyszerűség jellemezte, csakúgy, mint a mai háziasszonyok szakácskönyveit, ez utóbbiakat minden sértő szándék nélkül párhuzamba állíthatjuk az ottani kezdő sorokkal. Végy… 10 tojást! Ami a paramétereket, a közbülső szöveget, valamint a számolást magát illeti, az alábbiakban részletesen is áttekintjük őket, itt inkább a szerkezeti azonosságokat figyelembe véve a záró szavakra irányítjuk figyelmünket. A szakirodalom szerint itt (ön)dicséretről van szó, ’ha megtaláltam a jó eredményt, akkor dicséretet érdemelek’. A részletes tárgyalás során elemeztük a „nefer” jel magyar hangzósítását. A vele azonos magyar szó váza a „N-V-L”, amit növel, dicsér, valamint nevel értelemben is olvashatunk. Ez utóbbi közvetlenül kapcsolható a címben olvasott fejszámoláshoz, ennyi gondolkozás, fejszámolás bizonyára nevelő hatású lehetett. enGeM MeK-NeVeL VeLe. Engem megnevel vele.


Elképzelhető, hogy ezek a befejező jelek állhattak például a még ma is használt latin nyelvű matematikai zárószavaknál: „quod erat demonstrandum, ezt kellett bizonyítani”. Mindkét általunk tárgyalt feladat világos építkezésű, szabályos rendszer szerint összeállított szöveges példát eredményezett, s mind áttekinthető rendszere, mind tiszta gondolatmenete segítségünkre volt a szöveg olvasásakor. A paraméterek meghatározása mindkét példánkban hasonló. A 14-es példában megadott élek mérete után a velük végezhető alapműveleteket is közvetlenül megkaptuk. Lásd a négyzetre emelést és a szorzást : a2, b2, ab. Mesterünknek minden bizonnyal nem állt szándékában a példa megoldóképletét közelebbről is megvilágítani. A 14-es feladatban tehát adatokat és „félkész” számokat kapunk „ajándékba”, mielőtt tanárunk meghatározná a számolás pontos célját. A 10. feladatban ugyanezen a helyen álló paraméter az idegen ajkúaknak ismeretlen maradt, számolásuk így nem vezethetett a feladat korrekt megoldásához. E.T. Peet és követői jól érezték, valóban ott áll az előttük titkát megőrző tp-r paraméter, magyar olvasata szerint a fejnagyság. Erre már korábban részletesen kitértünk. A második paraméter megadása után itt is kiegészítő információkkal szolgál. ’Mérj magadnak kosarat, ami ilyen és olyan nagy’, valamint… és itt jönnek a „félkész” állapothoz szükséges további adatok. Például: negyed-fél hektóhordónak nevezzük. Itt sem tárgyalja ezt tovább, csakúgy, mint a 14-es feladatban a megoldóképletet, hanem tovább lép, és hasonlóan a 14-es példához, most már pontosan megmondja, hogy nem babra megy a játék, itt valami újat, szokatlant mutatok be: „Adok elő írásom, (a magyar) marhát csíkoz”. Megmutatom, hogy az írásom (?) (a magyar, azaz az igazmondó) hogyan számol (kör)területet. A 14-es feladatban pedig a 7. sorban jelzi valódi szándékát: „számolok tömedéket”, űrtartalmat. Nos, ezek után logikailag elfogadhatatlan újabb paraméterek beállítása. Gondolunk itt a 10-es feladat 5. sorában jelentkező 9-es számra. A 9 nem a példa paramétere. Nem is állította ezt tanárunk; innen kezdve már csak számol, és „megdicséri” követőjét. A számolása hellyel-közzel elemi iskolás nívóra enged következtetni – lehet, hogy fejben számoltatott –, viszont logikai menete mindkét példában következetes. Ha képzeletünk szárnyán 4000 évet visszarepülhetnénk, akkor esetleg azt látnánk, hogy tanárunk az osztály előtt állva igyekszik kisdiákjainak a példáiban szereplő számolásokat, alapműveleteket, a 10-es feladat szerint az alapkör fogalmát megtanítani, ezért segítségképpen, félkész állapotban előre megadja a lecke nehezebb részeit, a bonyolultabb idomok számolásához szükséges adatokat.


Visszatérve a valóságba csak annyit tudunk megállapítani, hogy bizonyos kettősség tapasztalható a számolás folyamán, ez adott okot aztán számos egyiptológusnak, matematikusnak, fizikusnak elhamarkodott következtetések levonására. Közismert tény, hogy vagy az egekig magasztalták az ősi Egyiptom matematikai tudását, vagy lekicsinylő kézmozdulattal intézték el a sütemények felosztását, magtárak térfogatának számolását. Középutat kevesen ismertek. Az ősi számolás sajátosságaira már részletesen kitértünk. Itt csak összefoglalva megismételjük, hogy szorzó-osztótáblákat használtak, a törteket is – a 2/3 kivételével – leegyszerűsítették egyes számlálójú törtté. A (8/9)2-t használták a kör számításához, ami a 3,1605-ös π negyedeként fogható fel. A kör egyszerű számolásához a 9-es számot használták, így az első 8/9-del történő szorzáskor egész számot kaptak, a 8-at. A második 8/9-del történő szorzás előtt viszont az alapkörhöz viszonyított eltéréseket a 8 egységnyi csökkentésével, illetve növelésével kompenzálták. Az MMP alapköre 3 tenyér átmérőjű. A mértékegységek arzenáljából csak a tenyér és az ujj méretével találkoztunk, amit kiegészíthettünk a fejegység fogalmával, méreteivel is. Számolásuk nyelve magyar volt. Igen, a számolásnak is van nyelve! Tartalmát tekintve a számolás akár a népek közös kincsének tekinthető, lebonyolítási technikáját tekintve viszont nyelvhez kötött. Még abban az esetben is, ha „fejben, csöndben” számolunk, magunkban kimondjuk, hogy pl: négyszer négy az tizenhat. Bizonyára sokak előtt ismert tény, hogy számolni és imádkozni csak az anyanyelvünkön tudunk. Legtöbbünknek idegen nyelven számolni kész kínszenvedés. Az ősi számolás terminológiája természetesen nem lehet azonos a maival. Példáink részletes tárgyalása során már elemeztük a terminológiai azonosságokat; itt azért felsorolásuk mellett annyit még hozzáfűztünk, hogy ezekben az azonosságokban magyar nyelvű olvasatunk további alátámasztását látjuk. A pár (118-119, 124-125), a képezöl/kapol (76-79, 99-101), a számolok-járok (47-52, 89-94, 107-112, 133-138), a szapora (140-142), a …dolni (55-56, 95-97) fogalmak jelei mindkét feladatban azonosak. A mér ige a mai használatával azonos. A hangzósítási párja, az emel, azonos a képez fogalmával. A húr szó a magasság, a térben átívelés fogalmát jelenti. Az arc jele a felszín. Az összeadást az egymásra hányni, felrakás szóval fejezték ki. Újdonságnak számítanak a 10. feladatban: a fejméret (19-22), a nagyság (21-22), az öle/ere (23), az igaz/fél (25, 67, 144), a negyed (27-28), a hordó (31-32), az arc (57), a felszín, azaz ruhát csíkoz (41-46), az öntet/menet (59-61, 116-117), a vegyetek, vetek, fogy (84, 113), valamint az összeg, zár (122-123) jelei.


A számolni ige valószínűleg az ősi szám és élek szavakból alakult ki. Lásd a szemszáj jeleket SZeM-éLeK = SzáM-éLeK = számolok. Az űrtartalom kifejező terminusát a tömöd ki, tömedék találó igével, névszóval képezték (14-es példa) . A mennyiséget még ’m’ hang nélkül írták: ennyiség, ennyi-sok. Az ’n’ hieratikus jele a négy, a nyolc, és ponttal a közepén a negyven értékkel szerepel.

Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy az ősi egyiptomi számoláshoz tisztán magyarul csengő szavakat használtak, és ezek a szavak, bár mai használatuk kissé eltér a régitől, értelmükben megőrizték ősi jelentésüket. Az MMP olvasásával kitűzött célunkat, a hieroglifás és hieratikus jelek eddigi magyar nyelvű olvasatának ellenőrzését befejezettnek tekinthetjük. Olyan feladatok segítségét vettük igénybe, ahol a számolás menete, mint további bizonyításra nem szoruló, ismert tényező már rendelkezésünkre állt, így magyar olvasatunk helyességének tartalmi oldalához nem férhetett kétség. Nyelvészeti kérdések bizonyítására a matematika szigorú módszerei közvetlenül nem használhatók, mégis meggyőződhettünk arról, hogy a logika, a matematika és a józan ész a tárgyalásra került példáink elemzésekor egységgé forrt össze, ötvözetük tagadhatatlanul a mi koncepciónkat, az agglutináló, szintetikus építkezésű, fonetikus írású nyelv jelenlétét támasztja alá. Meggyőződhettünk arról, hogy jó úton haladunk, ha megállapítjuk, hogy az ősi egyiptomi írás alapja a magyar nyelv őse volt. Sőt, azt tapasztaltuk, hogy az egyik példát a magyar nyelv ismerete nélkül nem is lehetett megoldani, így annak fordítása eddig csak helytelen eredményre vezethetett.


35

VII. Hogyan tovább?

K

önyvünkben az MMP feladataiból csak a két legismertebb példát tárgyaltuk. Megértéséhez, magyar nyelvű olvasásához több évezred homályán keresztül mély kutat kellett ásnunk, rárakódott, megkövesedett rétegeket kellett eltávolítanunk. Fáradozásunk nem volt eredménytelen, mert ebben a hihetetlen mélységben vizet találtunk, az ősnyelv tiszta vizét. Az MMP példáinak tárgyalása során arra is rámutattunk, hogy ez az ősnyelv a Nílus völgyében magyarul hangzott. Természetesen a mai magyar nyelv helyett annak csaknem minden részletében jól követhető, szóhasználatában, nyelvtani szerkezetében, építkezésében tökéletes ősére bukkantunk. A nyelvészeti genealógia az ősnyelvre nem vonatkozhat, más szóval az ősnyelv származását nem szükséges bizonyítani. Összehasonlítani is csak a vele csaknem egyidős, másik agglutináló nyelvvel, a sumérral lehetne. Ez nem tartozik közvetlen feladataink közé. Könyvünkben a lingvisztika leíró ágával, a szótannal, a nyelvtannal, a hangtannal és főleg a nyelv rögzítésével, az írással foglalkoztunk. Megállapítottuk, hogy ez az ősnyelv számunkra tökéletesen érthető magyar szavakat használt, tisztán agglutinált, szintetikusan építkezett, hangtanát tekintve a mai magyar nyelvvel csaknem azonos volt, valamint fonetikus írással rendelkezett. Mindez nem lehet véletlen. Feladatunk a magyar nyelv segítségével az ősnyelv további feltárása. Felmerül a kérdés: hogyan tovább? Célszerű utunkat két irányban is folytatni. Egyrészt újabb „kutakat kell ásni”, az őstengert, az ősnyelvet több helyen is „megszondázni”, más papiruszok, sztélék, feliratok olvasásával foglalkozni, másrészt a már meglévő utat tovább szélesíteni, ismereteinket bővíteni, pontosítani. Ide sorolható az MMP további feldolgozása is. Korábban már szóltunk arról, hogy több éves munka szükséges az MMP példáinak teljes megismeréséhez, feltárásához. A nehézségek, az akadályok sorában első helyen a papirusz sérülése áll. A példák nagy többsége folytonossági hiányokat mutat, kevés kivétellel – ide tartozik az általunk is tárgyalt két példa – pontos tolmácsolásuk lehetetlen. A továbbiakban széles kutatómunkát igényel magyar nyelvű olvasatunk értékelése is. Gondolunk itt a többi között a kultúrtörténeti feltáró munkán kívül számtani, geometriai fogalmak meghatározására, műveletek követésére, ismeretlen mértékegységek bevezetésére, pontosítására. Mindez szükségszerűen további szövegek olvasásához, feltárásához vezet. Ékes példa erre a könyvünkben említett, ugyancsak matematikai szöveget tartalmazó RMP tekercs.

35


Az ismeretlen hieroglifák morfológiai, szemantikai meghatározása, átírásának pontosítása, majd hangzósítása csupán egy tekercs tanulmányozásával nem oldható meg. Mint azt már az előbbiekben jeleztük, célszerű további írások párhuzamos feldolgozása is. Csak időben és térben egymástól eltérő szövegek tárhatják fel az ősnyelv különböző ’fejlődési szakaszait’, engednek következtetni az egészre, az eddig még részleteiben ismeretlen Nílus völgyi kultúrára. Hosszú, kitartó munka nélkül mindez elképzelhetetlen, miközben nem számíthatunk elődeink tudására, de külső segítségre sem. Csak a magyar nyelv ismeretében lehet ezt az írást megfejteni.

37

FÜGGELÉK I/a Az MMP 14. feladata, XXVII. szelvény

37

Függelék

I/b Az MMP 14. feladata, XXVIII-XXIX. XXVIII szelvény

Függelék

II/a Az MMP 10. feladata, felad XVIII. szelvény

Függelék

II/b Az MMP 10. feladata, XIX-XX. XIX szelvény

Függelék

III. A könyvünkben tárgyalt más nyelvű fordítások 1. W.W. Struve Aufgabe Nr. 14. Kol XXVII–XXIX, Kol. XXVII. 1. Form der Berechnung eines Pyramidenstumpfes, 2. Wenn man dir nennt einen Pyramidenstumpf von 6 (Ellen) von der Höhe („Fläche”) 3. Zu 4 (Ellen) auf der Unterseite, zu 2 auf der Oberseite. 4. Rechne du mit dieser 4, quadriert (als Vorübergehendem). Es entsteht 16. 5. Verdoppele du 4. Es entsteht 16. 6. Rechne du mit dieser 2, quadriert (als Vorübergehendem). Es ensteht 4.

Kol XXVIII. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Addiere du zusamman diese 16 Mit dieser 8 und mit dieser 4. Es entsteht 28. Berechne du 1 /3 von 6. Es entsteht 2. Rechne du mit 28 · 2 mal. Es ensteht 56. Siehe: er ist 56. Du hast richtig gefunden.

2. Aufgabe Nr. 10. Kol XVIII-XX Kol. XVIII. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Form der Berechung eines Korbes (nb.t ) Wenn man dir nennt einen Korb mit einer Mündung (tp-rA) Zu 41/2 in Erhaltung Oh! Laβ du mich wissen seine (Ober)fläche. Berechne du 1/9 von 9, weil ja der Korb (nb.t) die Hälfte eines Eies ist. Es entsteht 1.

Függelék

Kol XIX. 1. 2. 3. 4. 5.

Berechne du den Rest als 8. Berechne du 1/9 von 8. Es entsteht 2/3 1/6 1/18. Berechne du den Rest von dieser 8 nach diesen 2/3 1/6 1/18. Es entsteh/t/ 71/9.

Kol XX. 1. Rechne du mit 71/9 41/2 mal. 2. Es entsteht 32. Siehe. Es ist eine (Ober)fläche. 3. Du hast richtig gefunden.

3. T. Eric Peet Problem No. 10. If the figure were a semicircle the translation would run: I. variáns: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Example of working out a semicircle If they say to you, A semicircle < of 9 > in diameter by 41/2 in height, pray let me know its area. You are to take a ninth of 9, since a semicircle is half a (circle), result 1. Take the remainder, namely 8. You are take a ninth of 8. result 2/3 + 1/6 + 1/18. You are to take the remainder of 8 after (subtracting) the 2/3+ 1/6 + 1/18, result 71/9. You are to take 71/9 41/2 times, result 32. See, this is its area. You will find it correct.

Függelék

II. variáns: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Example of working out a semi – cylinder If they say to you, A semi-cylinder < of 41/2 > in diameter by 41/2 in height, pray let me know its area. You are to take a ninth of 9, since a semi-cylinder is half a (cylinder), result 1. Take the remainder, namely 8. You are to take a ninth of 8. result 2/3 + 1/6 + 1/18. You are to take the remainder of 8 after (subtraction of) the 2/3+ 1/6 + 1/18, result 71/9. You are to take 71/9 41/2 times, result 32. See, this is its area. You will find it correct.

4. F. Hoffman: Übersetzung 18. 1 2. 3. 4. 5. 6.

„Form der Berechnung einer nb.t: Wenn man dir nennt eine nb.t < von 4½ > (Maβeinheiten) als Mündung Auf 4½ ( Maβeinheiten) als Längskante – bitte Laβ mich ihre Fläche wissen! Du sollst Dann 1/9 von 9 ermitteln – denn was eine nb.t anbelangt, So ist sie die Hälfte eines Scheffels – ergibt also 1.

19.1 Du sollst dann den Rest als 8 ermitteln, 2. Du sollst dann 1/9 von 8 ermitteln, 3. ergibt also 2/3 +<1/>6 + 1/18. Du sollst 4. dann den Rest von dieser 8 nach 5. diesem 2/3 + <1/>6 + 1/18 ermitteln; ergibt (al)so 7 1/9. 20.1. Du sollst dann 71/9 4½ Mal nehmen (wörtlich „mache”); 2. ergibt also 32. – Siehe, das ist ihre Fläche. 3. Du hast richtig gefunden”.

Függelék

IV. Az MMP-n szereplő fonémák Mint azt már korábban megjegyeztük, a papirusz számos jelét nem a Középbirodalom szokásos fonetikájával kell olvasni, csak az archaikus hangértékek adnak választ az egyenes, közvetlen olvasatra. Az alábbiakban mellékeljük Rainer Hannig csoportosítását az archaikus és a középbirodalmi hangértékek eltéréséről. Lásd a Groβes Handwörterbuch Ägyptisch-Deutsch (2800-950 v. Chr.) XLVXLVII. oldalain. Graphonemrelationen im älteren Ägyptisch:

1. Az „abc”

Standard: / p /, selten < p-f-pf >

Standard: / t /

Standard: / č /, ( CS ) selten < T-kT >

Standard: / k /

Standard: / t /

Standard: / q / bis I./II Dyn.

Standard: / q / seit II. Dyn.

Standard: / b /, selten

Standard: / d /, daneben < a~~z~z/s >

<j>

Standard: / j /

Standard: / g /

Standard: / f /, selten (AR)

Standard: / s /, daneben < z >

<s>

Standard: / š /

<S>

Standard: / x / bis spätes AR.

Függelék

Standard: / x /

<x>

Standard: / y /

<m>

Standard: / m /

Standard: / n /selten / n / aus L

Standard: / l / aus l

Standard: / r /

<w>

Standard: / w /

Standard: / h /

= <w> = m = n = ti A szögek közötti jelek a Közép-birodalom transzliterációját jelentik, a vastagon szedettek az Ó-birodalom, ill. az archaikus kor jeleli. Tekintve, hogy néhány helyen eltérünk ettől a rendszertől, ezeket a változásokat is közöljük: <x> =k < w > = u/o/ö, de sohasem v < f > = v, ritkán f

Függelék

2. A két mássalhangzós jelek transzliterációja A. Gardiner szerint (válogatás) Aw

HD

aA

mn

wr

st

mA

nD

ms

DA

nm

Xr

Hn

in

xt

km

sw

pA

Sd

wp

ti

nw

aq

mr, mi

Ab, mr

xA

mi

rw

wD

SA

nn

sA

mt

Dw

XA

gm

Hr

ir

qd

wn

sn

pr

aD

mr

tm

nw

mi

HA

iw

xa

nH

sA

bA

Sn

Xn

gs

mwt

Dr

kA

wn

Hs

is

wA

mH

sk

pH

mw

Hm

tA

nb

ns

sA

im

xw

Xn

tA

bH, Hw

Ss

kAp

ni

Dd

wa

A felsorolás távolról sem teljes, a Közép-birodalmi szövegekben a leggyakrabban az itt felsorolt több mint 80 jel fordul elő.

Függelék

3. A három mássalhangzós jelek közül csupán kettővel találkozunk könyvünkben: anx nfr. A korábbiakban már jeleztük, hogy ezek az értékek a hivatalos Közép-birodalmi hangzósítással azonosak.

V. K. Vogel és Gillings diagrammjai a kör egyiptomi számolásáról

A jobboldali felső kép Gillings szerint: Vogels diagram of the inscribed octagon of Problem 48 of the RMP. (K. Vogel: Vorgriechische Mathematik, Vol.1.)

Függelék

VI. Az RMP 41-42-43-48-50. feladatainak a kör számolására vonatkozó részletei – Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum) übersetzt und erklärt von Dr August Eisenlohr – Könyvünkben hivatkoztunk az RMP életkorára, feladataira, az MMP és az RMP összefüggéseire. Tekintve, hogy az RMP feladatai között legalább 5 példa a kör számolásával is foglalkozik, mellékeljük az ide vonatkozó részleteket a fent említett szerzőtől. Tesszük ezt azért is, mert az RMP elemzésével itt nem foglalkozhatunk, viszont a körre vonatkozó adatai, ismeretei – a két papirusz esetleges időrendi eltérése ellenére – párhuzamba állíthatók az MMP ide vonatkozó 10. feladatával.

Függelék

Függelék

VII. Egyptian Geometry Determining The Value Of The Pythagorean Theorem They are created and maintained by Scott W. Williams professor of mathematics Un. Buffalo. An alternate conjecture ture exhibiting the value of is that the Egyptians easily observed that the area of a square 8 unit on a side can be reformed to nearly yield a circle of diameter 9.

„Rhind papyrus Problem 50. A circular field has diameter 9 khet. What is its area.

The written solution says, subtract 1/9 of of the diameter, which leaves 8 khet. The area is 8 multiplied by 8, or 64 setat. Now it would seem something is missing unless we make use of modern data: The area of a circle of diameter d is (d/2)² = d²/4. /4. Now assume 64 = 9²/4 = 81/4, then = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 < 3.1605. But 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 is a number, presumably, intrinsically more pleasing to the Egyptians than 3 + 1/3 + 1/17 + 1/160.”

Függelék

VIII. R. de Jonge, G. Ijzereef: De steenen spreken, 1996

85

Bibliográfia Archibald, R.C.:

Isis. 16 O 154 (1931)

Bakos, F.:

Idegen szavak és kifejezések szótára, Akadémiai Kiadó. Budapest, (1974).

Baráth, T.:

A magyar népek őstörténete, Franklin Park USA, (1993).

Eisenlohr, A.:

Ein Mathematisches Handbuch der Alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum), übersetz und erklart, Leipzig, (1877). Egyptian Grammar, Third Edition, Griffith Institute Ashmolean Museum, Oxford, (1996).

Gardiner, A.:

Gillings, R.J.: Gillings, R.J.:

Mathematics in the Time of the Pharaohs. New York, (1982). The Area of the Curved Surface of a Hemisphere in Ancient Egypt. In: Australian Journal of Science, Vol 30, No 4, (1967).

Gunn, B.:

The Journal of Egyiptian Archaeology 15 pp 167-185, (1929).

Hannig, R.:

Groβes Handwörterbuch Ägyptisch-Deutsch (2800-950 v. Chr.), Verlag Philipp von Zabern, Mainz, (1995). Die Aufgabe 10 des Moskauer Mathematischen Papyrus, Zeitschrift für Ägyptische Sprache und Altertumskunde Band 123, 19-26, Heft 1, (1966). Az ókori Egyiptom története és kultúrája, Osiris. Budapest,(1998). Bábel előtt, Miskolci Bölcsész Egyesület, (1999).

Hoffmann, F.:

Kákosy, L.: Kiss, D.:

85

Labat, R./ Malbran–Labat: Möller, G.:

Manuel d’ Épigraphie Akkadienne, Librairie Oriantaliste P. Guutner, S.A,. Paris, (1995). Hieratische Paläographie (Neudruck der zweiten verbesserten Auflage 1927) Osnabrück, Otto Zeller, (1965).

Neugebauer, O.:

Egyptian Astronomical Texts I, Brown University Press and Lund Humphries, London, (1960).

Függelék

Peet, T.E :

The Journal of Egyiptian Archaeology 17, (1931) A problem in Egyptian Geometry, Review of Stuve’s Translation of the Moscow Mathematical Papyrus pp 100-106, 154-160.

Ray, D.J.,

The Emergence of Writing in Egypt, World Archeology 17 (n.3), (1986).

Sain, M.:

Nincs királyi út! Matematikatörténet. Gondolat, Budapest, (1986). Das Ägyptische < ALEPH> – Phonem, Zwischen den beiden Ewigkeiten, 191-205, Festschrift G. Thausing, Im Eigenverlag des Institutes für Ägyptologie der Univ. Wien, (1994)

Satzinger, H.:

Simonyi, K.:

A fizika kultúrtörténete, Akadémiai Kiadó, Budapest, (1998).

Struve, W. W.:

Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moscau, Berlin, Verlag von Julius Springer, (1930). A magyar nyelv történeti-etimológiai szótára, Akadémiai Kiadó, Budapest, (1976). A székely rovásírás eredete, Írástörténeti Kutató Intézet, Budapest, (1998).

TESZ: Varga, G.: Williams, S. W.:

Mathematicians of the African Diaspora, [email protected]. Internet, (1997).

9. A feladat elemzése

Recommend Documents