1
Kerék gördüléséről Nemrégen egy órán szóba került a címbeli téma, középiskolások előtt. Úgy látszott, nem nagyon értik, miről van szó. Persze, lehet, hogy még nem tartottak ott, vagy csak aludtak a fizika órán. Most megkíséreljük elővezetni e témát, magasabb matematika felhasználása nélkül. A középiskolai ismeretekre viszont számítunk. Az interneten talált [ 1 ] anyag segít ebben a munkában. Most tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra – forrása: [ 1 ] Ezen a feladat kiírását és megoldásának kezdő lépését látjuk. A feladat Az R sugarú kerék csúszás nélkül gördül, úgy, hogy S középpontja haladási sebessége vS , valamint a kerék ω szögsebességgel forog. A kerék egy tetszőleges K pontja a távolságra van az S középponttól, valamint egy adott pillanatban α szöget zár be a függőlegessel. Határozzuk meg ekkor a K pont sebességét! A megoldás Az 1. ábra alsó részén szemléltetik a csúszásmentes gördülés fizikai / geometriai lényegét: a kerék peremén kijelölt Q pont a φ szögelfordulás során az út felületével érintkezésbe
2
került, miután legördülve megtette a maga (1) körív - útját. Ugyanekkor azonban a kerék középpontja is elmozdult a haladás irányában, x utat megtéve. A tiszta – azaz csúszásmentes gördülés – feltétele, képlettel leírva: (2) Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel: (3) ahol a szöget ívmértékben ( radiánban ) mérjük. A ( 3 ) képlet „feldolgozása” – azaz nem csak elfogadása – alapvetően fontos a megértés, vagyis a fizikai tanulmányokban való továbbhaladás szempontjából. A könnyebbség ked véért a kezdő a ( 2 ) összefüggést tekintheti kísérleti / tapasztalati ténynek is. Most vegyük úgy, hogy a mozgás egyenletes! Ekkor a ( 3 ) egyenletet elosztva a φ szög elfordulás és az x út megtételéhez szükséges t idővel, kapjuk, hogy (4) Ezután bevezetjük a definíciószerűen értelmezett (5) (6) skaláris sebességet és a skaláris szögsebességet. Most ( 4 ), ( 5 ) és ( 6 ) szerint: (7) A ( 7 ) egyenletet is hívják gördülési feltételnek. Ezután tekintsük a 2. ábrát! Itt azt látjuk, hogy a K pont vK sebességét úgy határozzák meg, hogy képezik az S kö zéppont vS haladási sebességének és az S körüli forgás vf,S sebességének vektori összegét. Az eredő sebesség nagyságának meghatározására a koszinusztételt alkalmazzák. Ehhez az összetevő sebességek nagysága: ~ vS a ( 7 ) képlet szerinti, ~ (8) a rögzített tengely körül egyenletes forgómozgást végző pont esetében tanultak szerint. Most a koszinusztétel felírása, a 2. ábra szürkére „színezett” tompaszögű háromszögéből:
3
2. ábra – forrása: [ 1 ] (9) majd alkalmazzuk, hogy ( 10 ) így ( 9 ) és ( 10 ) szerint: ( 11 ) ezután ( 7 ), ( 8 ) és ( 11 ) szerint: ( 12 ) ezt más alakba írva: ( 13 / 1 ) Pozitív négyzetgyököt vonva: ( 13 ) A ( 13 ) képlet adja meg a vK vektor vK nagyságát. Most vegyük szemügyre a 3. ábrát! Ezen azt látjuk, hogy a távolságra írhatjuk, a szürke háromszögre alkalmazott koszinusztétellel: ( 14 ) Pozitív négyzetgyökvonással: ( 15 )
4
3. ábra – forrása: [ 1 ]
Most ( 13 ) és ( 15 ) összevetésével: ( 16 ) Azt a fontos összefüggést kaptuk, hogy a kerék tetszőleges K pontja sebességének nagyságát úgy kapjuk, hogy a KP távolságot szorozzuk a forgás szögsebességével. Ha K = P, akkor amiért is a P pontot a forgás momentán pólusának, más néven momentán centrumának, azaz a rajta átmenő és az ábra síkjára merőleges egyenest a forgás pillanatnyi tengelyének nevezik. Ez több kérdést is felvet, amiket már – a fentiek szerint – a középiskolában is megbeszél hetünk, a figyelmet rájuk irányíthatjuk. 1. A csúszásmentesen gördülő keréknek a mozgása folyamán mindig van egy olyan P pontja, melynek sebessége zérus. Ez már önmagában is meglepő lehet. 2. A fentiek szerint az ω szögsebességet nem csak a kerék S középpontjára vonatkoztat hatjuk; a szögsebesség a kerék minden pontjára ugyanazon értékű. Ez is egy meglepő tény lehet, sokak számára. 3. A kerék sebességállapota többféleképpen is leírható: ~ a sebességek szuperponálásával / egymásra halmozásával / vektori összegzésével, ill. ~ a momentán centrum körüli forgással. Ezt is kell majd még emésztenie a tanulóknak. 4. A nem igazán részletezett ( 8 ) képlet felírásánál hivatkoztunk az egyenletes kör mozgás – mint az egyik legegyszerűbb és leggyakoribb mozgásfajta – tanulása során kapott hasonló eredményre. Nem véletlenül hangsúlyoztuk, hogy az az álló tengely körüli forgás esetében kapott eredmény, hiszen az egyenletes gördülést két mozgás – az álló tengely körüli forgás, valamint a forgástengely egyenletes haladó mozgása – egy másra halmozásával is leírhatjuk.
5
Megjegyzések: M1. Még nem esett szó arról, hogy vK merőleges PK egyenesére – 3. ábra. Ennek belátása legyen az Olvasó feladata. M2. A vektoriális szorzat ismeretében írható, hogy – 4. ábra – : ( 17 )
4. ábra M3. Az 5. ábra is azt szemlélteti, hogy a kerék gördülése két mozgás összetételével is származtatható. Ez egy pillanatfelvétel. Egy másik időpillanatban a helyzetkép hasonló, csak már egy másik P ponttal; a P pólus is mozog, más szóval: vándorol. Ezt mindenki láthatja a kerekes járművek mozgását figyelve.
5. ábra – forrása: [ 2 ]
6
M4. Az 5. ábra jobb oldali részén azt látjuk, hogy a P ponttal egyazon átmérőn lévő felső kerékpont sebessége kétszerese a kerék ( itt ) O = S középpontja sebességének. E tény értelmezésében segíthet, ha felidézzük, hogy kerékpározunk, és menet közben lenézünk az első kerékre. Azt látjuk, hogy az első kerék bordái mintegy lehagynak minket. Úgy - e? M5. Úgy találjuk, az [ 1 ] munkában sokat tettek azért, hogy ne csak a gazdasági mérnö kök, de a középiskolai tanulók is könnyebben megérthessék a tisztán gördülő kerék moz gásának sajátosságait. A [ 2 ] mű pedig inkább már csak a tanároknak ajánlott olvasmány. M6. Nem felejtjük el, hogy a való életben gyakran találkozhatunk a kerék nem tiszta gördülésének eseteivel is; gondoljunk csak ~ a kerekét álló helyzetében elfüstölő motorkerékpárosra, vagy ~ az állóra fékezett kerekekkel csúszó motoros járművekre. Jelezzük, hogy a momentán centrum fogalma, illetve alkalmazása ezekben az esetekben is jó szolgálatot tehet. Ezekkel itt már nem foglalkozunk.
Irodalom: [ 1 ] – Ulrich Gabbert ~ Ingo Racke: Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 4. Auflage, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München - Wien, 2008. [ 2 ] – Szerk.: M. Csizmadia Béla ~ Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. 07. 13.
