KENDALI OPTIMAL PADA PENCEGAHAN WABAH FLU BURUNG DENGAN ELIMINASI, KARANTINA DAN PENGOBATAN OLEH : TASLIMA NRP : 1209201728 DOSEN PEMBIMBING 1. SUBCHAN, M.Sc, Ph.d 2. Dr. ERNA APRILIANI, M.Sc
ABSTRAK Salah satu penyakit influenza yang berbahaya adalah influenza tipe A(flu burung). Pencegahan penyakit ini menjadi priortas global karena berakibat kematian pada penderita. Pada penelitian ini diterapkan kendali optimal untuk menentukan kebijakan terbaik dalam mengatasi bahaya flu burung yaitu kebijakan eliminasi untuk populasi unggas, kebijakan karantina dan pengobatan untuk manusia. Kebijakan eliminasi dilakukan dengan upaya pemotongan, pemusnahan, dekontaminasi dan desinfeksi. Sedangkan kebijakan karantina dengan pencegahan penyebaran penyakit flu burung dari satu area ke area yang lain dengan pengawasan secara ketat terhadap setiap pergerakan unggas, peralatan peternakan dan lalu lintas perorangan agar tidak menjadi perantara dalam penyebaran virus. Dalam penelitian ini diperoleh bahwa kebijakan karantina lebih baik dilakukan selama penyebaran penyakit, sedangkan kebijakan eliminasi dan kebijakan pengobatan dilakukan diawal penyebaran penyakit. Kebijakan pencegahan secara optimal terhadap wabah flu burung tersebut menggunakan metode Prinsip Maksimum Pontryagin. Kata-kunci : Flu Burung, Kebijakan Eliminasi,Kebijakan Karantina, Kebijakan Pengobatan, Kendali Optimal. ◌
Latar belakang Flu burung berakibat : • Kematian • Kerugian materi • Pengangguran • Hilangnya flasma nutfah Untuk mengatasi akibat tersebut secara optimal digunakan kendali eliminasi, karantina dan pengobatan menggunakan metode Prinsip Maksimum Pontryagin.
Rumusan Masalah • Bagaimana bentuk kendali optimal pada model pencegahan wabah flu burung dengan eliminasi, karantina dan pengobatan ? • Bagaimana menentukan waktu dan biaya optimal pada kendali eliminasi, karantina dan pengobatan untuk pencegahan wabah flu burung sehingga meminimalkan manusia yang terinfeksi flu burung ?
Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah untuk memberikan informasi bahwa penyelesaian kendali optimal yang diperoleh dapat menjadi solusi yang optimal dalam menentukan pelaksanaan kebijakan pencegahan flu burung dalam meminimalkan jumlah individu yang terinfeksi flu burung.
Virus Flu Burung • Flu burung disebabkan oleh virus influenza tipe A. Berdasarkan morfologinya, virus flu burung termasuk kelompok virus yang bersampul yaitu virus yang berbentuk heliks dan memiliki sampul luar semacam duri. Virus ini termasuk family Orthomyxoviridae. • Virus flu burung terdapat pada kotoran dan cairan tubuh burung yang terinfeksi. Karena terjadi kontak sesama unggas, maka virus tersebut sangat mudah ditularkan ke unggas lain. Pada manusia, penularan virus ini terjadi melalui kontak langsung antara unggas yang terinfeksi dengan manusia.
Model Matematika Model matematika pencegahan wabah virus flu burung dalam penelitian ini adalah:
Kestabilan Sistem Stabilitas sistem dapat ditentukan dari nilai eigen: • Sistem dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristiknya adalah real dan negatif • Sistem dikatakan stabil asimtotis jika akar karakteristiknya real negatif atau mempunyai bagian real negatif • Sistem dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika akar karakteristiknya adalah real positif atau mempunyai paling sedikit satu akar karakteristik dengan bagian real positif.
Secara intuisi stabil berarti penyelesaian sangat dekat ketitik setimbang didalam suatu sekitar, sedangkan stabil asimtotik berarti penyelesaian konvergen ke titik setimbang (asalkan titik awal cukup dekat ke titik setimbang). Tidak stabil artinya selalu ada penyelesaian yang dimulai dari manapun dekatnya dengan titik setimbang tapi akhirnya menjauh dari titik setimbang.
Prinsip Pontryagin Maksimum
Prosedur menyelesaikan masalah kendali optimal dengan menggunakan Prinsip Pontryagin Maksimum adalah sebagai berikut:
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah: • Langkah 1: Bentuk fungsi Hamiltonian H (x (t ), u (t ), λ (t ), t ) = V (x (t ), u (t ), t ) + λ' f (x (t ), u (t ), t )
• Langkah 2: Minimumkan H terhadap semua vektor kendali u(t) ∂H =0 ∂u *
dan diperoleh
(
u * (t) = h x * (t ), λ * (t ), t
)
• Langkah 3: Gunakan hasil dari langkah 2 ke dalam langkah 1 dan tentukan H* yang optimal.
(
)
(
H * x * (t),h(x * (t),λ * (t),t),λ * (t),t =H * x * (t),λ * (t),t
)
• Langkah 4: Selesaikan sekumpulan 2n persamaan: ∂H ∂H * λ (t)=x (t)=+ dan x ∂ ∂λ * Dengan kondisi awal xo dan kondisi akhir *
*
'
∂S * ∂S * H + ∂ t δ t f + ∂ x - λ (t) δ t f = 0 tf * tf
• Langkah 5: Untuk memperoleh kendali optimal, substitusikan solusi x*(t), λ*(t) dari langkah 4 ke dalam ekspresi kendali optimal u* pada langkah 2.
METODOLOGI PENELITIAN
• Identifikasi masalah dan studi lituratur • Analisis kestabilan • Penyelesaian kendali optimal menggunakan metode Prinsip Maksimum Pontryagin. • Melakukan simulasi menggunakan software MISER3 • Menganalisis hasil simulasi • Menarik kesimpulan
Hasil dan Pembahasan
• Analisa Kestabilan Bebas Penyakit Pada titik setimbang bebas penyakit diasumsikan bahwa tidak ada unggas yang infektif artinya Y = 0, tidak ada manusia yang terinfeksi flu burung liar artinya B = 0 dan tidak ada manusia yang terinfeksi flu burung mutan artinya T = 0. Sehingga diperoleh titik setimbangnya adalah c α E 0 =(X,Y,S,B,T)=( ,0, ,0,0) b µ
Untuk menentukan kestabilan titik kesetimbangan, terlebih dahulu dicari matrik Jacobian. Misal didefinisikan :
Secara umum matrik Jacobian dari fungsi nonlinear adalah :
Jadi matrik Jacobian penyakit adalah
dari
sistem
c α E 0 = ,0, ,0,0 µ b
Pada titik setimbang matrik Jacobiannya adalah
bebas
didapatkan
Nilai eigen diperoleh dari det ( JE 0 -λI ) =0 Dengan J adalah matrik Jacobian, λ adalah nilai eigen dan I adalah matrik Identitas.
Sehingga diperoleh :
Nilai eigen λ 2 akan bernilai negatif jika Nilai eigen λ 5 akan bernilai negatif jika
ωc <1 b(b+m) β2 α <1 µ+d 2 µ
• Analisa Kestabilan Endemik Titik setimbang endemik dipengaruhi oleh populasi unggas dan manusia yang terinfeksi flu burung berarti Y ≠ 0, B ≠ 0, H ≠ 0 . Sehingga diperoleh titik kesetimbangannya: E1 = ( X,Y,S,B,T ) dengan:
Diperoleh matrik Jacobian adalah
Diperoleh nilai eigen αβ 2 λ1 = − < 0 µ + d2
:
λ 2 = − (µ + d 1 + 1) < 0 λ3 = 0 ωc 1 λ4= + b+m b+m ωc 1 λ5 = − b+m b+m
ω c +4 (b+m ) 2
2
2
ω c +4 (b+m ) 2
2
2
( b ( b + m ) -ω c )
( b ( b + m ) -ω c )
Karena λ 4 bernilai real positif maka sistem tersebut tidak stabil yang menyebabkan terjadinya penyebaran virus flu burung. Untuk mengendalikan penyebarannya secara optimal digunakan kendali eliminasi, karantina dan pengobatan menggunakan metode Prinsip Maksimum Pontryagin.
Penyelesaian Kendali Optimal Tujuan dari kendali optimal adalah untuk meminimalkan jumlah individu yang terinfeksi virus flu burung liar (B) dan flu burung mutan (H) dengan waktu dan biaya yang optimal. B1 , B2 dan B3 adalah biaya untuk eliminasi, karantina dan pengobatan. Sehingga indek performansinya adalah tf
B3 2 B1 2 B2 2 1 J [ u 1 ,u 2 ,u 3 ] = ∫ B(t)+T(t)+ u 1 (t)+ u 2 (t)+ u 3 (t) dt 20 2 2 2
Dengan kendala:
Dan kondisi batas:
Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan fungsi Hamiltonian, yaitu:
Untuk mendapatkan kondisi optimal maka dibutuhkan kondisi perlu yang dibentuk oleh Prinsip Maksimum Pontryagin yaitu harus memenuhi kondisi stasioner dari H(x(t),u(t), t, λ) persamaan keadaan Xɺ (t) dan co-state λɺ (t).
Kondisi Stasioner
• Untuk kendali optimal
u 1*
* u • Untuk kendali optimal 2
• Untuk kendali optimal
u *3
Persamaan Keadaan
Persamaan Co-State
* * * u , u , u Dengan mensubstitusikan pada 1 2 3 persamaan keadaan dan co-state akan didapat 10 sistem persamaan diferensial, yaitu:
Pada simulasi akan dibandingkan sistem tanpa kendali dan dengan kendali. Penyelesaian pencegahan wabah flu burung secara numerik dilakukan dengan menggunakan MISER3. Dalam simulasi model pencegahan wabah flu burung untuk state X = x(1) , Y = x(2) , S = x(3), B = x(4) dan T = x(5), sedangkan cost function didefinisikan menjadi g(o).
௴
• Unggas sehat tanpa kendali
• Unggas sehat dengan kendali
• Unggas terinfeksi flu burung tanpa kendali
• Unggas terinfeksi flu burung dengan kendali
௴
• Manusia sehat tanpa kendali
• Manusia sehat dengan kendali
• Manusia terinfeksi flu burung tanpa kendali
• Manusia terinfeksi flu burung dengan kendali
• Manusia terinfeksi flu burung mutan tanpa kendali
• Manusia terinfeksi flu burung mutan dengan kendali
• Kendali eliminasi
• Kendali karantina
• Kendali Pengobatan
Kesimpulan • Bentuk kendali eliminasi pada pencegahan wabah flu burung adalah:
Kendali eliminasi yang diterapkan selama 120 hari, pada hari ke 35 kendali masih bernilai 1 dengan unggas yang terinfeksi flu burung mengalami penurunan dari 21 menjadi 0.44687, begitu juga dengan manusia yang terinfeksi flu burung liar dari 16 menjadi 1.91046. Sehingga kendali eliminasi sebaiknya diterapkan diawal pencegahan.
Bentuk kendali karantina pada pencegahan wabah flu burung adalah:
Kendali karantina yang diterapkan selama 120 hari, mulai hari pertama nilai kendalinya sudah mengalami penurunan menyebabkan jumlah manusia yang terinfeksi flu burung mutan berkurang dari kondisi awal 1 menjadi 0.10484. Sehingga kendali karantina sebaiknya diterapkan selama masa pencegahan.
Bentuk kendali pengobatan pada pencegahan wabah flu burung adalah:
Kendali pengobatan berpengaruh sangat kecil terhadap manusia yang terinfeksi virus flu burung liar karena kendalinya pada hari pertama bernilai 0.00313 dan hari ke 78 sudah bernilai 0.
Hasil simulasi dengan menggunakan MISER pada kendali eliminasi untuk unggas lebih baik diterapkan diawal pencegahan karena dalam waktu 120 hari, pada hari ke 35 kendali masih bernilai 1 dengan unggas yang terinfeksi flu burung mengalami penurunan dari 21 menjadi 0.44687, begitu juga dengan manusia yang terinfeksi flu burung liar dari 16 menjadi 1.91046. Untuk kendali karantina penurunan nilai kendalinya sangat kecil menyebabkan jumlah penurunan manusia yang terinfeksi flu burung mutan juga sangat kecil yaitu dari kondisi awal 1 menjadi 0.10484 sehingga lebih baik diterapkan selama masa pencegahan. Sedangkan kendali pengobatan berpengaruh sangat kecil terhadap manusia yang terinfeksi virus flu burung liar karena kendalinya pada hari pertama bernilai 0.00313 dan hari ke 78 sudah bernilai 0.
Saran Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai analisis stabilitas global, analisis eksistensi dan ketunggalan dari kendali optimal oleh karena itu penulis menyarankan agar pada penelitian selanjutnya menyertakan analisis stabilitas global, analisis eksistensi dan ketunggalan pada penyelesaian kendali optimal.
