Kegelsneden John Val 26th March 2014
1
Kegelsnede
Een kegelsnede is de doorsnede van een kegel en een vlak. In deze tekst zal worden aangetoond dat de doorsnede een punt, een lijn, een lijnenpaar, een cirkel, een parabool, een ellips of een hyperbool kan zijn. Een kegel is een driedimensionaal object dat we overal in een driedimensionale ruimte kunnen plaatsen. Het object kan als volgt gevormd worden: Kies een lijn (de as) en een punt O op die lijn. Een tweede lijn snijdt de as in het punt O, Deze lijn wordt vervolgens geroteerd om de as. Om eenvoudig wiskundig inzicht in een kegel te krijgen kiezen we een co¨ordinaten systeem zodanig dat de oorsprong O het midden van de kegel is en kiezen we de richting van de z-as gelijk aan de as van de kegel. De tweede lijn maakt een hoek α met de as.
Figuur 1: fig:kegelsneden Een kegelsnede kan vervolgens worden weergegeven als een vergelijking in een twee dimensionaal co¨ordinaten stelsel van het snijvlak (een twee dimensionale ruimte) van de vorm: k : ax2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2f y + c = 0
(1) 1
Tabel 1: Criteria vorm kegelsnede h2 = ab en er geldt niet
2 g f
=
a b
∧ f g = hc: De vergelijking is een parabool
h2 < ab: De vergelijking is een ellips h2 > ab: De vergelijking is een hyperbool a = b en h = 0 en c −
f 2 +g 2 a
≤ 0: De vergelijking is een cirkel
a + b = 0: De vergelijking is een rechthoekige hyperbool b = f = 0: De kegelsnede is ontaard in twee snijdende rechten
Vergelijking (1) is een kwadratische vergelijking in twee variabelen x en y. De parameters in de vergelijking bepalen de vorm van de kegelsnede . In tabel 1 is weergegeven welke combinatie een bepaalde kegelsnede levert. In het vervolg van deze tekst worden deze criteria afgeleid. Vervolgens kijken we naar doorsneden van kegelsneden met lijnen en bepalen we raaklijnen aan kegelsneden. Als laatste staan we stil bij de bewijzen dat de doorsneden van een kegel met een vlak ook werkelijk ellipsen, hyperbolen en parabolen zijn.
1.1
Cirkel
In deze sectie concentreren we ons op de cirkel. Een cirkel C: is gedefini¨eerd als de verzameling punten X = (x, y) die een gelijke afstand (r) hebben tot een middelpunt M = (xM , yM ). Deze afstand r wordt de straal van de cirkel genoemd. C : d(X, M ) = r
(2)
Deze vergelijking is te schrijven als de lengte van de vector van M naar X ~ |=r C : |XM
(3)
~ −M ~ ,X ~ −M ~ >= r2 . C :< X
(4)
ofwel
Het uitwerken van dit inproduct levert C : (x − xM )2 + (y − yM )2 = r2
(5)
Herleiden geeft 2 C : x2 + y 2 − 2x · xM − 2y · yM + x2M + yM − r2 = 0
2
(6)
Deze vergelijking kunnen we zonder de cirkel te veranderen met een constante vermenigvuldigen b.v. u. Dit levert: 2 − ur2 = 0 c : ux2 + uy 2 − 2ux · xM − 2uy · yM + ux2M + uyM
(7)
Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (1). Dan is a = b = u, 2 h = 0, g = −uxM , f = −uyM en c = ux2M + uyM − ur2 . Merk op dat altijd geldt: a = b. Dit is dus 2 2 het criterium voor de cirkel in de lijst van criteria (1) aangevuld met de conditie c − f +g ≤ 0. a Opdracht: Verklaar deze conditie. Voorbeeld: Opdracht: Bepaal algebra¨ısch het middelpunt en de straal van de cirkel c : 2x2 + 2y 2 − 8x + 4y − 22 = 0 :Oplossing: Deel vergelijking door 2: c : x2 + y 2 − 4x + 2y − 11 = 0 Splits kwadraten af: c : (x − 2)2 + (y + 1)2 − 4 − 1 − 11 = 0 Herschrijf: c : (x − 2)2 + (y + 1)2 = 16 Dus: r = 4 en M = (2, −1) Opgaven: Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren. 1. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M = (3, 4) en straal r = 2. 2. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M = (−2, 4) die door het punt A = (3, 3) gaat. 3. Bepaal algebra¨ısch van de onderstaande vergelijkingen of het een cirkelvergelijking is en bepaal indien mogelijk algebra¨ısch het middelpunt en de straal. (a) P : 3x2 + 3y 2 − 24x + 6y + 24 = 0 (b) Q : 2x2 + 4y 2 − 3x − 6y − 13 = 0 (c) R : x2 + y 2 − 3x − 4y = 0 (d) S : 3x2 + 3y 2 − 2x + y + 1 = 0 4. Voor welke waarde(n) van f is de volgende kegelsnede een cirkel met straal 1? C : x2 + y 2 − 4x + 2f y + 12 = 0 5. Voor welke waarde(n) van a en c is de volgende kegelsnede een punt en welk punt is dat? C : ax2 + 2y 2 − 4x + 8y + c = 0 6. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 3
1.2
Parabool
Een parabool P is gedefini¨eerd als de verzameling punten X = (x, y) die een gelijke afstand hebben ~ ~nl >= w genaamd de richtlijn en een punt F = (s, t) die we het brandpunt tot een lijn l :< X, of de focus parabool ) De lijn is hier gegeven in inproduct notatie waarin noemen. ( constructie x u ~ = X en ~nl = de normaalvector van de lijn l zijn. De definitie leidt tot de volgende y v vergelijking: P : d(X, F ) = d(X, l)
(8)
Deze vergelijking is te schrijven als de lengte van de vector van F naar X en de afstand van een punt tot een lijn. ~ | = | < X, nl > −w| P : |XF |nl |
(9)
ofwel P : (x − s)2 + (y − t)2 =
(ux + vy − w)2 u2 + v 2
(10)
Opgaven: 7. Herleid deze vergelijking tot P : v 2 x2 − 2uvxy + u2 y 2 + 2(uw − s(u2 + v 2 ))x + 2(vw − t(u2 + v 2 ))y + (s2 + t2 )(u2 + v 2 ) − w2 = 0 Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (1). Dan is a b h g f c
= = = = = =
v2 u2 −uv uw − s(u2 + v 2 ) vw − t(u2 + v 2 ) (s2 + t2 )(u2 + v 2 ) − w2 = (s2 + t2 )(a + b) − w2
(11) (12) (13) (14) (15) (16)
Merk op dat h2 = (uv)2 = ab een van de criteria voor een parabool in de lijst van criteria (1). Dit is echter niet een voldoende voorwaarde zoals we later zullen zien. Opgaven: 8. Opdracht: Leg uit waarom deze vergelijking geen cirkel kan zijn en waarom een cirkel geen parabool kan zijn? 4
9. Gegeven is het brandpunt M =
1 0
en de richtlijn l : 2x + y = −2. Stel een vergelijking op
van de bijbehorende parabool. 10. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x + 2y = 4 en focus F = (3, 3) 11. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x = − 21 p en focus F = ( 21 p, 0). De vergelijking die je hier vindt noemen we de standaard vorm voor een parabool. 12. Als F op l ligt dan is kegelsnede een lijn door F loodrecht op l. Je zult dit nu aantonen. (a) Laat zien dat w = su + tv als F op l ligt. (b) Gebruik w = su + tv om formule (10) te herschrijven tot P : (x − s)2 + (y − t)2 =
(u(x − s) + v(y − t))2 u2 + v 2
(17)
(c) Herschrijf vergelijking (17) tot P : v 2 (x − s)2 + u2 (y − t)2 − 2uv(x − s)(y − t) = 0
(18)
(d) Vergelijking (18) is gelijk aan P : (v(x − s) − u(y − t))2 = 0
(19)
Laat dit zien. (e) Los vergelijking (19) op en laat zien dat F op deze lijn ligt en dat de normaalvector van deze lijn loodrecht op die van l staat. 2 (f) Opdracht: Werk de haakjes weg in vergelijking (18) en laat zien dat er dan geldt fg = a ∧ f g = hc . b (g) Opdracht: Onderzoek met behulp van de applet Open kegelsnede de kegelsnede v 2 x2 − 2 2 2 2uvxy + u y − 2vkx + 2uky + c = 0 de waarde van c en laat zien dat fg = ab ∧ teken f g is teken h een voldoende voorwaarde is om geen parabool te zijn. Het terugvinden van de richtlijn en de focus van een parabool bij een gegeven formule is een stuk lastiger dan het terugvinden van de straal en is √ hetmiddelpunt √ bij de cirkel. Eenmakkelijke start u u −√ b b het terugvinden van de normaal vector ~nl = = √ als h < 0 of ~nl = = v v a a als h > 0. Dit volgt uit de formules 11,12 en 13. Zijn a en b kleiner dan 0 vermenigvuldig dan eerste de vergelijking met -1. Opgaven: 13. (a) Leid met behulp van formule 14 af dat: wu − g s= a+b en met behulp van formule 15 af dat: t=
wv − f a+b
(20)
(21) 5
(b) Gebruik formules 16,20 en 21 om c uit te drukken in w: c = −2w
gu + f v f 2 + g 2 + a+b a+b
(22)
(c) Herleid 22 tot w=
1 (f 2 + g 2 ) − c(a + b) 2 gu + f v
(23)
(d) Overtuig jezelf dat je nu de richtlijn en de focus kan bepalen. 14. Vind de richtlijn en de focus voor de volgende parabolen: (a) P : x2 − 2xy + y 2 − 2x − 2y + 3 = 0 (b) Q : x2 − 4xy + 4y 2 − 14x − 2y + 4 = 0 (c) R : y 2 − 2x + 3 = 0 (d) S : x2 + 2xy + y 2 − 4x + 2y − 6 = 0 15. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
1.3
Ellips Figuur 2: Ellips met assen D
B F2
M F1 A
C
r
A1
Open opgavebewijsellips.ggb Een ellips e: is gedefini¨eerd als de verzameling punten X = (x, y) die een gelijke afstand hebben tot een cirkel c met middelpunt F1 = (u, v) en straal r en een punt F2 = (s, t) binnen de cirkel. (Zie figuur 2 en constructie ellips ) e : d(X, F2 ) = d(X, c)
(24)
De punten F1 en F2 noemt men de brandpunten van de ellips. De afstand van X tot een punt A op de cirkel c is de kortste weg tot de cirkel en X ligt daarom op de straal F1 A. De afstand d(X, c) is dan gelijk aan: d(X, c) = d(A, X) = d(A, F1 ) − d(F1 , X) = r − d(F1 , X). 6
(25)
Substitutie van (25) in (24) geeft: e : d(X, F2 ) = r − d(F1 , X)
(26)
Herleiden geeft: e : d(X, F1 ) + d(F2 , X) = r
(27)
ofwel e:
p p (x − u)2 + (y − v)2 + (x − s)2 + (y − t)2 = r
(28)
Definieer A = (x − u)2 + (y − v)2 = x2 − 2ux + u2 + y 2 − 2vy + v 2
(29)
B = (x − s)2 + (y − t)2 = x2 − 2sx + s2 + y 2 − 2ty + t2
(30)
en
dan kunnen we schrijven: √ √ e: A+ B =r
(31)
Kwadrateren levert:
√ e : A + 2 A · B + B = r2 ⇒ √ e : 2 A · B = r2 − (A + B)
Nogmaals kwadrateren levert: 4A · B = r4 − 2(A + B)r2 + A2 + 2A · B + B 2 ⇒
(32)
e : 0 = r4 − 2(A + B)r2 + A2 − 2A · B + B 2 ⇒ e : 0 = r4 − 2(A + B)r2 + (A − B)2 ⇒ e : 0 = r4 −2(2x2 + 2y 2 − 2(u + s)x − 2(v + t)y + u2 + s2 + v 2 + t2 )r2 +(2(s − u)x + 2(t − v)y + u2 − s2 + v 2 − t2 )2 ⇒ e : 0 = 4((s − u)2 − r2 )x2 +8(s − u)(t − v)xy +4((t − v)2 − r2 )y 2 +4((u + s)r2 + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 ))x +4((v + t)r2 + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 ))y +r4 − 2r2 (u2 + s2 + v 2 + t2 ) + (u2 − s2 + v 2 − t2 )2 7
(33)
(34)
Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (1) dan is: a b h g f c
= = = = = =
4((s − u)2 − r2 ) 4((t − v)2 − r2 ) 4(s − u)(t − v) 2((u + s)r2 + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 )) 2((v + t)r2 + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 )) r4 − 2r2 (u2 + s2 + v 2 + t2 ) + (u2 − s2 + v 2 − t2 )2
(35) (36) (37) (38) (39) (40)
Opgaven: 16. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een ellips: h2 < ab waar is. 17. Gegeven zijn de cirkel C met straal 4 en middelpunt F1 = (0, 0) en het punt F2 = (3, 0) binnen de cirkel. Bepaal de vergelijking van de ellips die door c en F2 wordt vastgelegd. 18. Zie figuur 2 Gegeven zijn de cirkel c met middelpunt F1 en straal r en het punt F2 binnen de cirkel die de ellips e vastleggen. De lijn door de brandpunten noemt men de lange as van de ellips e en de middelloodlijn van lijnstuk F1 F2 de korte as. Noemen we de snijpunten van de lange as met ellips A en B en de snijpunten van de korte as met ellips C en D bewijs dan dat 2
(d(F1 , C)) =
d(A, B) 2
2
=
d(F1 , F2 ) 2
2
+
d(C, D) 2
2 (41)
19. Zie figuur 3. Gegeven zijn F1 = (−γ, 0) en het punt F2 = (γ, 0) en de cirkel c1 met middelpunt F1 en straal r > 2γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de ellips e, die door F1 en F2 wordt vastgelegd, is te schrijven als: e:
y2 x2 + =1 α2 β 2
(42)
waarin α de halve lengte van de lange as is en β de halve lengte van de korte as. Hint: gebruik de vorige opgave voor het vinden van de relatie α2 = β 2 + γ 2 ofwel γ 2 = α2 − β 2 tussen α, β en γ. 20. Vergelijking 42 noemen we de standaard vorm voor een ellips. Bepaal de standaard vorm voor de ellips waarvan de korte as de lengte 3 heeft en die door het punt (2, 1) gaat. 21. De ellips e:
x2 y 2 + =1 16 9
wordt 3 plaatsen in positieve richting langs de x-as verschoven en 2 plaatsen in negatieve richting langs de y-as. (translatie t(3,-2)). Geef de vergelijking van de nieuwe ellips en bepaal de brandpunten van deze nieuwe ellips.
8
22. Onderzoek het verschil tussen de ellipsen x2 y 2 + =1 e: 16 9 en e:
x2 y 2 + =1 9 16
Kun je een uitspraak doen over de co¨ordinaten van de brandpunten op basis van de waarden α en β in de standaard vorm van de ellips. √ 2 2 23. De ellips e : (x−p) + y9 = 1 gaat door het punt (1, 23 3). Bepaal exact de waarde(n) van p. p2 24. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
Figuur 3: applets a = 0.25
A(−α, 0) F1 (−γ, 0)
D(0,β) α γ A(-α,0) F1 (-γ,0)
β F2 (γ,0)B(α,0)
B(α, 0)
M
F2 (γ, 0)
α
β P
C(0,-β)
Open ellipsrondO.ggb
1.4
Open hyperboolrondO.ggb
Hyperbool
Een hyperbool h: is gedefini¨eerd als de verzameling punten X = (x, y) die een gelijke afstand hebben tot een cirkel c met middelpunt F1 = (u, v) en straal r en een punt F2 = (s, t) buiten de cirkel. ( constructie hyperbool ) h : d(X, F2 ) = d(X, c)
(43)
De punten F1 en F2 noemt men de brandpunten van de hyperbool. De lijn door F1 en F2 is een symmetrieas van de hyperbool evenals de middelloodlijn van lijnstuk F1 F2 . De snijpunten A en B van de symmetrie as door F1 en F2 met de hyperbool noemt men de toppen van de hyperbool. Het snijpunt van de symmetrieassen ofwel midden van lijnstuk F1 F2 noemt men het middelpunt van de hyperbool. 9
Figuur 4: hyperbool met assen as2 c
M
A
F2
B as1
F1 r A1
Open hyperboolmetassen.ggb We leiden weer een vergelijking af. De afstand van X tot een punt A op de cirkel c is de kortste weg tot de cirkel en X ligt daarom op de lijn F1 A. De afstand d(X, c) is dan gelijk aan: d(X, c) = d(A, X) = d(F1 , X) − d(A, F1 ) = d(F1 , X) − r.
(44)
Substitutie van (44) in (43) geeft: h : d(X, F2 ) = d(F1 , X) − r
(45)
Herleiden geeft: h : d(X, F1 ) − d(F2 , X) = r
(46)
ofwel h:
p p (x − u)2 + (y − v)2 − (x − s)2 + (y − t)2 = r
(47)
Definieer weer A = (x − u)2 + (y − v)2 = x2 − 2ux + u2 + y 2 − 2vy + v 2
(48)
B = (x − s)2 + (y − t)2 = x2 − 2sx + s2 + y 2 − 2ty + t2
(49)
en
dan kunnen we schrijven: √ h:
A−
√ B=r
(50)
10
Kwadrateren levert:
√ h : A − 2 A · B + B = r2 ⇒ √ h : 2 A · B = (A + B) − r2
Nogmaals kwadrateren levert: h : 4A · B = r4 − 2(A + B)r2 + A2 + 2A · B + B 2 Deze vergelijking is precies dezelfde als vergelijking (32) gevonden bij de ellips zodat h : 0 = 4((s − u)2 − r2 )x2 +8(s − u)(t − v)xy +4((t − v)2 − r2 )y 2 +4((u + s)r2 + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 ))x +4((v + t)r2 + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 ))y +r4 − 2r2 (u2 + s2 + v 2 + t2 ) + (u2 − s2 + v 2 − t2 )2
(51)
Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (1) dan is: a b h g f c
= = = = = =
4((s − u)2 − r2 ) 4((t − v)2 − r2 ) 4(s − u)(t − v) 2((u + s)r2 + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 ) 2((v + t)r2 + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 ) r4 − 2r2 (u2 + s2 + v 2 + t2 ) + (u2 − s2 + v 2 − t2 )2
(52) (53) (54) (55) (56) (57)
Opgaven: 25. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een hyperbool: h2 > ab waar is. 26. Zie figuur 3. Gegeven zijn F1 = (−γ, 0) en het punt F2 = (γ, 0) en de cirkel c1 met middelpunt F1 en straal r < 2γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de hyperbool h, die door F1 en F2 wordt vastgelegd, is te schrijven als: h:
x2 y2 − =1 α2 β 2
(58)
waarin α de afstand van M tot A in figuur (4) of wel kortste afstand tussen de twee takken van de hyperbool. Verder is γ 2 = α2 + β 2 . 27. Bovenstaande vorm noemen we de standaard vorm voor een hyperbool. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm. h:
x2 y 2 − =1 9 8
Deze hyperbool ondergaat de translatie t(2, −3). Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de co¨ordinaten van de toppen en de brandpunten. 11
28. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm. h:
x2 y 2 − =1 4 9
Deze hyperbool ondergaat een rotatie over een hoek θ radialen tegen de richting van de x ~ = klok. Een willekeurige vector X wordt dus vermenigvuldigt met de matrix R = y cos(θ) − sin(θ) zodat sin(θ) cos(θ) ~0
~ = X = RX
x cos(θ) − y sin(θ) x sin(θ) + y cos(θ)
en ~ = R−1 X ~0 = X
x cos(θ) + y sin(θ) −x sin(θ) + y cos(θ)
(a) Welke van de twee vormen moet worden ingevuld in de vergelijking van de hyperbool en waarom? (Tip:Vergelijk met het proces met het proces van translatie. Onderzoek je antwoord met geogebra Open rotatiekegelsnede.ggb ) (b) Neem θ = π3 Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de co¨ordinaten van de toppen en de brandpunten. (c) Na een rotatie over een hoek van θ = π4 volgt nog een translatie (-2,1). Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de co¨ordinaten van de toppen en de brandpunten. 29. Onderzoek het verschil tussen de hyperbolen h:
x2 y 2 − =1 16 9
x2 y 2 h: − =1 9 16 en h:−
x2 y 2 + =1 9 16
Kun je een uitspraak doen over de co¨ordinaten van de brandpunten op basis van de waarden α en β in de standaard vorm van de hyperbool. 30. De hyperbool x2 y 2 − 2 =1 p p √ √ gaat door het punt ( 3, 34 3). Bepaal de waarde(n) van p. h:
12
31. De conditie voor een hyperbool in vergelijking (1) is h2 > ab, die voor een ellips h2 < ab en voor een parabool h2 = ab. Als F2 op de cirkel komt te liggen is er dan sprake van een parabool? (a) Laat zien dat, als geldt als d(F1 , F2 ) = r, de parameters a, b, g en f (52,53,55 en 56) gelijk zijn aan a b g f
= = = =
−4(t − v)2 −4(s − u)2 2((u + s)((s − u)2 + (t − v)2 ) + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 )) 2((v + t)((s − u)2 + (t − v)2 ) + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 ))
(b) Laat zien dat
a b
=
2 g f
.
(c) Wat is de kegelsnede als F2 op de cirkel ligt? (d) Hoe ziet de vergelijking van de ellips (34) eruit als F1 = F2 . Is de kegelsnede dan een cirkel? 32. De hyperbool h:
2 1 2 1 2 x − y −x− y+2=0 16 9 3
is een translatie t(p, q) van een standaard hyperbool. Bepaal p en q. 33. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
1.5
Inverse probleem hyperbool en ellips
Bij algemene formule voor de cirkel en parabool zijn er methoden gepresenteerd om het middelpunt en de straal en de richtlijn en het brandpunt terug te vinden. In deze sectie worden methoden gepresenteerd voor de hyperbool en de ellips. Hoewel de parameterdefinities in (35-40) en (52-57) in principe omgekeerd kunnen worden om de brandpunten en de straal terug te vinden, zijn de startpunten van de zoektocht de standaard vergelijkingen: 2 2 h : αx2 − βy 2 = 1 met γ 2 = β 2 + α2 voor de hyperbool en 2
2
e : αx2 + βy 2 = 1 met α2 = β 2 + γ 2 voor de ellips. De brandpunten voor de hyperbool en de ellips zijn F1 = (−γ, 0) en F2 = (γ, 0). Bovendien is r gelijk aan 2α. In opgave (28) heb je aangetoond dat, als een punt wordt geroteerd over een hoek θ tegen de richting van de klok en daarna de translatie t(p, q) ondergaat, de term x en y in de standaard vorm moeten worden vervangen door respectievelijk (x − p) cos(θ) + (y − q) sin(θ)
(59)
−(x − p) sin(θ) + (y − q) cos(θ)
(60)
en
13
Op basis van deze substituties worden de parameters a, h, b, g, f en c uitgedrukt in α, β, p, q en θ. Vervolgens wordt de terugweg afgeleid als de kegelsnede wordt gegeven in de algemene vorm (1) . Substitutie van (59) en (60) in de standaard vorm voor de hyperbool geeft: h:
((x − p) cos(θ) + (y − q) sin(θ))2 (−(x − p) sin(θ) + (y − q) cos(θ))2 − =1 ⇒ α2 β2
h : β 2 ((x − p) cos(θ) + (y − q) sin(θ))2 − α2 (−(x − p) sin(θ) + (y − q) cos(θ))2 = α2 β 2 ⇒ h : β 2 ((x − p)2 cos2 (θ) + 2(x − p)(y − q) cos(θ) sin(θ) + (y − q)2 sin2 (θ)) −α2 ((x − p)2 sin2 (θ) − 2(x − p)(y − q) cos(θ) sin(θ) + (y − q)2 cos2 (θ)) = α2 β 2 In bovenstaande vergelijking sorteren we nu de termen met x2 , xy, y 2 , x, y en de constante.
(β 2 cos2 (θ) − α2 sin2 (θ))x2 +2(β 2 + α2 ) cos(θ) sin(θ)xy +(β 2 sin2 (θ) − α2 cos2 (θ))y 2 +(−2pβ 2 cos2 (θ) − 2qβ 2 cos(θ) sin(θ) + 2pα2 sin2 (θ) − 2qα2 cos(θ) sin(θ))x +(−2qβ 2 sin2 (θ) − 2pβ 2 cos(θ) sin(θ) + 2qα2 cos2 (θ) − 2pα2 cos(θ) sin(θ))y +(β 2 cos2 (θ) − α2 sin2 (θ))p2 +2(β 2 + α2 ) cos(θ) sin(θ)pq +(β 2 sin2 (θ) − α2 cos2 (θ))q 2 = α2 β 2
h:
(61)
Waar uit volgt: a 2h b 2g 2f c
= = = = = =
β 2 cos2 (θ) − α2 sin2 (θ) 2(β 2 + α2 ) cos(θ) sin(θ) = 2γ2 cos(θ) sin(θ) β 2 sin2 (θ) − α2 cos2 (θ) (−2pβ 2 cos2 (θ) − 2qβ 2 cos(θ) sin(θ) + 2pα2 sin2 (θ) − 2qα2 cos(θ) sin(θ)) (−2qβ 2 sin2 (θ) − 2pβ 2 cos(θ) sin(θ) + 2qα2 cos2 (θ) − 2pα2 cos(θ) sin(θ))y (β 2 cos2 (θ) − α2 sin2 (θ))p2 +2(β 2 + α2 ) cos(θ) sin(θ)pq +(β 2 sin2 (θ) − α2 cos2 (θ))q 2 −α2 β 2
(62) (63) (64) (65) (66)
(67)
Nu de weg terug: Vergelijkingen ( 62,63 en 64 ) zijn bij gegeven a, h en b drie vergelijkingen met drie onbekenden. Bekijk eerst het stelsel a = β 2 cos2 (θ) − α2 sin2 (θ) b = β 2 sin2 (θ) − α2 cos2 (θ) 14
Ofwel in matrix notatie 2 a cos2 (θ) − sin2 (θ) β = ⇒ 2 2 b sin (θ) − cos (θ) α2
β2 α2
β2 α2
−1 cos2 (θ) − sin2 (θ) a = 2 sin2 (θ) − cos (θ) b 2 − cos (θ) sin2 (θ) a 1 = − cos4 (θ)+sin4 (θ) 2 2 − sin (θ) cos (θ) b 2 2 cos (θ) − sin (θ) a 1 = cos2 (θ)−sin 2 (θ) 2 2 sin (θ) − cos (θ) b
=
a cos2 (θ)−b sin2 (θ) cos2 (θ)−sin2 (θ) a sin2 (θ)−b cos2 (θ) cos2 (θ)−sin2 (θ)
! (68)
Merk op dat de inverse alleen bestaat als cos2 (θ) − sin2 (θ) 6= 0. Is dit wel het geval dan volgt uit (62) en (64) dat a = b. We komen later op deze situatie terug. Invullen van de waarden voor β 2 en α2 in (63) levert: a sin2 (θ)−b cos2 (θ) ) cos(θ) sin(θ) cos2 (θ)−sin2 (θ) (a−b)(cos2 (θ)+sin2 (θ)) 2( cos2 (θ)−sin2 (θ) ) cos(θ) sin(θ) (a−b) 2( cos2 (θ)−sin 2 (θ) ) cos(θ) sin(θ) sin(2θ) (a − b) cos(2θ) = (a − b) tan(2θ) ⇒ 2
2
cos (θ)−b sin (θ) 2h = 2( a cos + 2 (θ)−sin2 (θ)
= = =
θ=
2h 1 tan−1 2 a−b
(69)
Nu α, β en θ bekend zijn, blijft over het vinden van p en q uit (65 en 66). 2g = (−2pβ 2 cos2 (θ) − 2qβ 2 cos(θ) sin(θ) + 2pα2 sin2 (θ) − 2qα2 cos(θ) sin(θ)) 2f = (−2qβ 2 sin2 (θ) − 2pβ 2 cos(θ) sin(θ) + 2qα2 cos2 (θ) − 2pα2 cos(θ) sin(θ))
Ofwel in matrix notatie 2g 2(−β 2 cos2 (θ) + α2 sin2 (θ)) 2(−β 2 cos(θ) sin(θ) − α2 cos(θ) sin(θ)) p = 2 2 2 2 2 2 2f 2(−β cos(θ) sin(θ) − α cos(θ) sin(θ)) 2(α cos (θ) − β sin (θ)) q −2a −2h p = ⇒ q −2h −2b g −a −h p = ⇒ f −h −b q −1 p −a −h g = q −h −b f −1 −b h g 1 = ab−h 2 h −a f 15
p q
=
hf −bg ab−h2 hg−af ab−h2
(70)
Als cos2 (θ) − sin2 (θ) = 0 dan is θ = π4 + k π2 met k een geheel getal. Uit (63) volgt dan dat γ 2 = |2h|. Als h < 0 dan is θ = 3π en als h > 0 dan is θ = π4 . 4 Opdracht: Toon nu zelf met (62) aan dat α2 = |h| − a en β 2 = |h| + a 1.5.1
Effect c
De bovenstaande methode werkt alleen als de waarde van c in de gegeven vergelijking gelijk is aan de waarde van c na herberekening van (67) (noem deze waarde van c c1 ) met de gevonden waarden voor p, q, α, β en θ. Is er een verschil dan moeten de gevonden waarden voor α2 en β 2 worden 1 vermenigvuldigd met 1 − αc−c 2 β 2 , zodat: c − c1 ) α2 β 2 c − c1 = β 2 (1 − 2 2 ) α β
α22 = α2 (1 −
(71)
β22
(72)
Deze correctie treedt op als de oorspronkelijke vergelijking van de hyperbool of ellips, voor rotatie en verplaatsing, van de vorm β 2 x2 ± α2 x2 = α2 β 2 x2 + verschil is geweest. Mochten de nieuwe waarden α22 en β22 door de berekening negatief worden, dan verandert de teruggevonden hyperbool van as. Opgaven: 34. Opdracht: Doe de afleiding nogmaals voor de ellips en vind 2h = −2γ 2 cos(θ) sin(θ)
2h = −2γ 2 cos(θ) sin(θ)
θ=
1 2h tan−1 2 a−b
p q
=
hf −bg ab−h2 hg−af ab−h2
(73)
2
β α2
=
a cos2 (θ)−b sin2 (θ) cos2 (θ)−sin2 (θ) b cos2 (θ)−a sin2 (θ) cos2 (θ)−sin2 (θ)
! (74)
(75) (76)
16
35. Gebruik het feit dat γ 2 > 0 moet zijn om te voorspellen op basis van de waarde van h in welke kwadranten θ moet liggen. 36. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de ellips e : 3x2 −2xy+3y 2 +10x−14y+11 = 0 defini¨eren. 37. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de hyperbool h : 7x2 − 18xy + 7y 2 + 38x − 26y + 31 = 0 defini¨eren. 38. Bepaal het type van de volgende kegelsneden en bepaal eventuele brandpunten, richtlijnen en straal van de cirkel die de volgende kegelsneden defini¨eren: (a) k1 : x2 − 6x + y 2 + 2y + 1 = 0 (b) k2 : 3x2 + 6xy − 5y 2 − 12x − 20y + 16 = 0 (c) k3 : 4x2 + 12xy + 9y 2 − 28x + 88y + 244 = 0 (d) k4 : 24x2 + 4xy + 21y 2 − 120x − 10y + 25 = 0
39. Meer opgaven zijn te vinden op http://www.johnval.nl/school/wiskunde/wiskundeD/kegelsneden/geoge 40. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
2
Raaklijn
In dit hoofdstuk leer je vergelijkingen op te stellen van raaklijnen aan kegelsneden door een punt op de kegelsnede. We geven eerst een oplossing die voor iedere kegelsnede toepasbaar is. Daarna zal er in deelparagrafen worden gekeken naar snellere methoden of specifieke eigenschappen voor bepaalde kegelsneden.
2.1
De algemene aanpak
Het probleem is het volgende: Gegeven is een punt A(xA , yA ) op de kegelsnede. Opdracht: Stel de vergelijking op van de raaklijn aan dit punt. Oplossing: De algemene vergelijking voor een raaklijn l is l : y = ax + b. dy (xA , yA ) van de kegelsnede in het punt A. De De richtingsco¨efficient a is gelijk aan de afgeleide dx afgeleide krijgen we door de vergelijking van k te differenti¨eren naar x.
dk dy dy dy : 2ax + 2hy + 2hx + 2by + 2g + 2f =0 dx dx dx dx Herschrijven levert: dk dy : (2hx + 2by + 2f ) = −2(ax + hy + g) ⇒ dx dx dk dy ax + hy + g : = − dx dx hx + by + f 17
(77)
Dus l: y=−
axA + hyA + g x+b hxA + byA + f
(78)
Omdat A ook op deze lijn ligt kunnen we b als volgt bepalen: axA + hyA + g xA + b ⇒ hxA + byA + f axA + hyA + g b = yA + xA hxA + byA + f
yA = −
(79)
De vergelijking voor de raaklijn wordt dan: l: y=−
axA + hyA + g axA + hyA + g x + yA + xA hxA + byA + f hxA + byA + f
(80)
dy Omdat de noemer in dx nul is bij verticale raaklijnen is een vergelijking van de raaklijn waarin noemer is nul niet meer voorkomt aantrekkelijker. Vermenigvuldig daartoe de vergelijking van de raaklijn met (hxA + byA + f ). Je krijgt dan:
l : (hxA + byA + f )y = −(axA + hyA + g)x + (hxA + byA + f )yA + (axA + hyA + g)xA (hxA + byA + f )y + (axA + hyA + g)x = ax2A + 2hxA yA + byA2 + gxA + f yA
(81)
De rechterkant van vergelijking 81 kunnen we versimpelen door gebruik te maken van de definitie van de kegelsnede in 1: k : ax2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2f y + c = 0 ⇒ k : ax2 + 2hxy + by 2 + gx + f y = −gx − f x − c De uiteindelijke vergelijking voor de raaklijn wordt dan: (axA + hyA + g)x + (hxA + byA + f )y = −gxA − f yA − c voorbeelden 1. Gegeven is de parabool y 2 − 4x = 0. Geef de raaklijn in het punt A(4, 4). We bieden twee oplossingen. De eerste is het naspelen van de boven geschetste afleiding: Differenti¨eren levert: 2y
dy −4 =0⇒ dx 18
(82)
dy 4 = ⇒ dx 2y dy (xA , yA ) dx 1 y = x+b⇒ 2
=
4 1 = ⇒ 8 2
b
=
4−
y
=
1 x+2 2
1 ·4=2 2
De tweede oplossing is het invullen van de bewezen vergelijking (82) 4y − 2x = 8 2. Gegeven is de ellips (x − 2)2 (y − 3)2 + = 1 4 9 Geef de raaklijn in het punt A(1, 3 − 2 Ofwel
3 2
√ 3). Differentie¨eren levert:
x−2 y − 3 dy +2 = 0. 4 9 dx dy 9(x − 2) =− . dx 4(y − 3)
Invullen van A(1, 3 −
3 2
√ 3) geeft
3√ dy 9 1√ (1, 3 − 3) = − 3 √ = − 3 dx 2 2 4· 2 3 3√ 1√ 3− 3 = − 3+b⇒ 2 2√ b = 3− 3 √ 3√ 3x + 3 − 3 y = − 2 Opgaven: Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren. √ √ 1. Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt A = ( 3, 23 3) aan de hyperbool h : 4x2 − 16 y2 − 9 = 0 9 2. Gegeven is de hyperbool h : 5x2 − 10xy + y 2 − 40x + 16y + 39 = 0 Stel vergelijkingen op voor de raaklijnen in de punten A en B op de hyperbool waarvoor de x-co¨ordinaat gelijk is aan 1. 19
3. Gegeven is de parabool p : x2 + 2xy + y 2 − 8x − 4y + 10 = 0. (a) Stel een vergelijking op voor de raaklijn aan de parabool door het punt A waarvoor xA =2. (b) Bepaal exact de minimale waarde voor x en de maximale waarde voor y. (c) Een raaklijn y = ax + b heeft richtingscoe¨efficient a = 1. Bepaal het raakpunt. 4. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
2.2
Raaklijn cirkel
Gegeven is de cirkel c, die we weergeven in inproduct notatie: ~ −M ~ ,X ~ −M ~ >= r2 c :< X
(83)
~ die naar een punt A op de cirkel wijst. Voor de raaklijn l door A aan Daarnaast is er de vector A ~ =A ~ −M ~ staat. Laat X ~ een vector de cirkel geldt dat de richtingsvector loodrecht op de vector AM ~ dan staat ook de vector A ~−X ~ loodrecht op A ~−M ~. zijn naar een punt op de lijn ongelijk aan A, Het inproduct moet dan gelijk zijn aan nul ofwel: ~ − X, ~ A ~−M ~ >= 0
(84)
Omdat A en M bekend zijn is dit al gelijk een vergelijking voor de raaklijn. Het kan echter nog eenvoudiger. Daartoe herleiden we vergelijking 84 als volgt: ~ − X, ~ A ~−M ~ +<M ~ − X, ~ A ~−M ~
> = 0⇔ > = 0⇔ > = 0 ⇔ (vergelijking 83) > = 0⇔ > = r2
(85)
Vergelijk je de vergelijking van de cirkel (83) met de vergelijking (85) dan krijg je dus een vergelijking voor de raaklijn door simpelweg een van de X-en in de vergelijking te vervangen door A. Opgaven: Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren. 5. Bepaal algebra¨ √ısch de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel c met middelpunt M = (1, 9) en straal r = 2 door het punt A = (2, 10) 6. Bepaal algebra¨ısch de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel c met middelpunt M = (3, 4) en straal r = 3 door de punten A en B waarvan de y-co¨ordinaten gelijk zijn aan 5 21
20
7. Bepaal algebra¨ısch het snijpunt (de snijpunten) van de raaklijnen aan de cirkel c met middelpunt M = (−1, 5) en straal r = r door de punten A en B die worden verkregen door de cirkel te 1 snijden met de lijn l : p~ = ~s + λ die een afstand 21 r tot het middelpunt heeft. 1 Hint: Maak eerst een plaatje en gebruik je goniometrische kennis. Kies ~s als het snijpunt van l en de loodlijn op l door M . 8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
2.3
Raaklijn hyperbool
Behalve de twee symmetrieassen heeft een hyperbool nog een paar bijzondere lijnen de zogenaamde asymptoten. Het kenmerk van deze asymptoten is dat de hyperbool de lijnen benadert maar nooit 2 2 kan overschrijden. De standaardvorm van de hyperbool h : αx2 − βy 2 = 1 wordt gebruikt om de asymptoten te vinden. 9. Opdracht: Toon aan dat
x2 y2
=
α2 β2
+
α2 y2
10. Opdracht: Beredeneer dat x x α = lim =± y→∞ y y→−∞ y β lim
11. Opdracht: Toon aan dat
dy dx
=
β2 x α2 y
12. Opdracht: Beredeneer dat dy β dy = lim =± y→−∞ dx y→∞ dx α lim
13. Opdracht: Concludeer dat de asymptoten voor de standaard hyperbool gelijk zijn aan: βx + αy = 0 βx − αy = 0
(86)
2
2
14. Gegeven is de hyperbool h : x12 − y13 = 1. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de brandpunten en de vergelijkingen voor de asymptoten. 15. De hyperbool h : 5x2 − 3y 2 − 10x − 6y − 28 = 0 is ontstaan door een translatie t(p, q) van een standaard hyperbool. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de brandpunten en de vergelijkingen voor de asymptoten. 16. Beschouw nogmaals de hyperbool uit opgave 37 van het vorige hoofdstuk. Bepaal ook de vergelijkingen voor de asymptoten 17. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 21
3
Poollijn
Gegeven is een punt P (xp , yp ) buiten de kegelsnede en de raaklijnen door dit punt die raken in de punten A en B op de kegelsnede. (Zie voorbeelden in figuur 5). De lijn door A en B noemt men de poollijn van het punt ten opzichte van de kegelsnede. We gaan nu een algemene vergelijking voor de poollijn afleiden. Vergelijking 82 gaf ons een vergelijking van een raaklijn door een punt op de kegelsnede. Voor de punten A en B levert dit: (axA + hyA + g)x + (hxA + byA + f )y = −gxA − f yA − c (axB + hyB + g)x + (hxB + byB + f )y = −gxB − f yB − c Omdat P op beide raaklijnen ligt geldt: (axA + hyA + g)xP + (hxA + byA + f )yP = −gxA − f yA − c (axB + hyB + g)xP + (hxB + byB + f )yP = −gxB − f yB − c De punten A en B liggen op de poollijn. Ieder ander punt X(x, y) op de poollijn kan nu verkregen woorden door in plaats van xA en yA respectievelijk x en y in te vullen. Dit geeft dan de volgende vergelijking voor de poollijn: (ax + hy + g)xP + (hx + by + f )yP = −gx − f y − c We gaan deze vergelijking nog herschrijven op zo’n manier dat er slechts ´e´en term x en ´e´en term y voorkomt: (ax + hy + g)xP + (hx + by + f )yP = −gx − f y − c axxP + hyxP + gxP + hxyP + byyP + f yP = −gx − f y − c (axP + hyP + g)x + (hxP + byP + f )y = −gxP − f yP − c De poollijn van een kegelsnede ten opzichte van een punt P buiten de kegelsnede wordt dus gegeven door de vergelijking: (axP + hyP + g)x + (hxP + byP + f )y = −gxP − f yP − c
(87)
Opgaven: 2 2 1. Gegeven is de parabool p : x − 4xy + 4y − 15x − 4y + 1 = 0. Bepaal de poollijn ten opzichte 1 van het punt A = . 4
2. Gegeven is de ellips e :
x2 4
+ y 2 − 1 = 0 en het punt P (3, 3).
(a) Bepaal algebra¨ısch de poollijn ten opzichte van het punt P . 22
(b) Bepaal algebra¨ısch de vergelijkingen van de raaklijnen door P aan de ellips. 3. Gegeven is de hyperbool h : −x2 + y 2 = 1 en het punt P (2, 1). Bepaal algebra¨ısch de verglijkingen van de raaklijnen door P aan de ellips. 4. Maak in geogebra een parabool en laat de raaklijnen vanuit een punt A aan de parabool tekenen. Laat ook de hoek tussen deze twee raaklijnen door geogebra bepalen. Beweeg het punt over de richtlijn. Wat observeer je? Bewijs dat bij een parabool p de raaklijnen aan p vanuit een punt A op de richtlijn loodrecht op elkaar staan. 5. Gegeven zijn de cirkels c1 : x2 + y 2 − 1 = 0 en c2 = x2 + y 2 − 6x − 10y + 25 = 0. De poollijnen t.o.v. het punt P (xP , yP ) snijden elkaar in het punt S(1, 2). Bepaal algebra¨ısch de co¨ordinaten van P . Open opgcirccircpool.ggb 6. Gegeven zijn de hyperbool h : 7x2 − 18xy + 7y 2 + 6x + 6y − 1 = 0 en de ellips e : 3x2 − 2xy + 3y 2 − 6x − 6y − 9 = 0. Open opgelhyppool.ggb (a) Toon algebra¨ısch aan dat de beide kegelsneden gelijke brandpunten hebben. (b) Bereken algebra¨ısch de snijpunten van de kegelsneden. (c) Stel vergelijkingen op voor de raaklijnen aan e in de snijpunten met de x-as. (d) Bepaal de hoek tussen de poollijnen van e en h ten opzichte van het het snijpunt van de raaklijnen uit de vorige deelopgave. 7. Gegeven zijn de hyperbool h : 3x2 − y 2 − 6x + 6y − 9 = 0 en de parabool p : x2 − y − 6x + 6y = 0. Open opgparhyppool.ggb (a) Bepaal de brandpunten van de kegelsneden. (b) Bepaal de vergelijkingen voor de asymptoten van h. (c) De x-as snijdt de parabool in de punten K en L. De raaklijnen aan de parabool door K en L snijden elkaar in S. Slechts ´e´en van de punten K en L bepaalt een poollijn voor h. Noem dit punt K. De poollijn snijdt de hyperbool in de punten P en Q. Bepaal de oppervlakte van de vierhoek KSP Q. 8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
4
Bollen van Dandelin
In het eerste hoofdstuk van deze tekst hebben we een bewering gedaan over de vorm van de doorsnede van een kegel en een vlak. Er is echter geen bewijs geleverd dat een dergelijke doorsnede werkelijk een ellips, een parabool of een hyperbool is. Op de website Bollen van Dandelin van Dick Klingens worden bewijzen gegeven. Opdracht: Bestudeer de bewijzen op de website en bereid een presentatie voor.
23
5
Literatuur 1. Bollen van Dandelin op pandd 2. Kegelsneden Herman Hofstede
24
6
Antwoorden
6.1
Antwoorden hoofdstuk 1:
1. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M = (3, 4) en straal r = 2. (x − 3)2 + (y − 4)2 = 4 ⇒ x2 + y 2 − 6x − 8y + 21 = 0 2. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M = (−2, 4) die door het punt A = (3, 3) gaat. (x + 2)2 + (y − 4)2 = r2 Invullen A geeft: (5)2 + (−1)2 = 6 = r2 Vergelijking is dus x2 + y 2 + 4x − 8y + 14 = 0 3. Bepaal algebra¨ısch van de onderstaande vergelijkingen of het een cirkelvergelijking is en bepaal indien mogelijk algebra¨ısch het middelpunt en de straal. (a) P : 3x2 + 3y 2 − 24x + 6y + 24 = 0 ⇒ x2 + y 2 − 8x + 2y + 8 = 0 ⇒ (x − 4)2 + (y + 1)2 − 16 − 1 + 8 = 0 ⇒ (x − 4)2 + (y + 1)2 = 9 ⇒ M = (4, −1) en r = 3 (b) Q : 2x2 + 4y 2 − 3x − 6y − 13 = 0 2 6= 4 dus geen cirkel (c) R : x2 + y 2 − 3x − 4y = 0 ⇒ (x − 23 )2 + (y − 2)2 − 49 − 4 = 0 ⇒ (x − 32 )2 + (y − 2)2 = 25 ⇒ 4 3 1 M = ( 2 , 2) en r = 2 2 (d) S : 3x2 + 3y 2 − 2x + y + 1 = 0 ⇒ x2 + y 2 − 32 x + 13 y + 13 = 0 ⇒ 1 7 + 13 = 0 ⇒ (x − 13 )2 + (y + 61 )2 = − 36 ⇒ (x − 13 )2 + (y + 16 )2 − 91 − 36 Wortel van negatief getal kan hier niet dus geen cirkel. 4. Voor welke waarde(n) van f is de volgende kegelsnede een cirkel met straal 1? C : x2 + y 2 − 4x + 2f y + 12 = 0 C : x2 + y 2 − 4x + 2f y + 12 = 0 ⇒ (x − 2)2 + (y + f )2 − 4 − f 2 + 12 = 0 ⇒ (x − 2)2 + (y + f )2 = 4 + f 2 − 12 = 1 ⇒ f 2 = 9 ⇒ f = −3 ∨ f = 3 5. Voor welke waarde(n) van a en c is de volgende kegelsnede een punt en welk punt is dat? C : ax2 + 2y 2 − 4x + 8y + c = 0 a = 2 ⇒ x2 + y 2 − 2x + 4y + 2c = 0 ⇒ (x − 1)2 + (y + 2)2 = 1 + 4 − 2c = 0 ⇒ c = 10
25
6. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 2
7. (x − s)2 + (y − t)2 = (ux+vy−w) ⇒ u2 +v 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x − 2sx + s + y − 2ty + t = u x +v y +w u+2uvxy−2uwx−2uvx ⇒ 2 +v 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (u + v )x − 2s(u + v )x + (u + v )y − 2t(u + v )y + (s + t2 )(u2 + v 2 ) = u2 x2 + v 2 y 2 + w2 + 2uvxy − 2uwx − 2uvx ⇒ v 2 x2 − 2uvxy + u2 y 2 + 2(vw − s(u2 + v 2 )x + 2(uw − t(u2 + v 2 )y + (s2 + t2 ) − w2 = 0 8. P : v 2 x2 − 2uvxy + u2 y 2 + 2(uw − s(u2 + v 2 ))x + 2(vw − t(u2 + v 2 ))y + (s2 + t2 )(u2 + v 2 ) − w2 = 0 Als a = b moet gelden is u = v dan is echter h = uv 6= 0 en kan het geen cirkel zijn. Als h = 0 moet gelden is u = 0 ∨ v = 0 dan is echter a 6= b en kan het geen cirkel zijn. 9. Gegeven is het brandpunt M =
1 0
en de richtlijn l : 2x + y = −2. Stel een vergelijking op
van de bijbehorende parabool. Invullen in vergelijking (10) geeft 2 ⇒ (x − 1)2 + y 2 = (2x+y+2) 22 +12 2 2 2 5(x − 1) + 5y = 4x + y 2 + 4xy + 8x + 4y + 4 ⇒ x2 − 4xy + 4y 2 − 18x − 4y + 1 = 0 10. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x + 2y = 4 en focus F = (3, 3) Invullen in vergelijking (11-16) geeft 4x2 − 4xy + y 2 + 2(uw − s(u2 + v 2 ))x + 2(vw − t(u2 + v 2 ))y + (s2 + t2 )(u2 + v 2 ) − w2 = 0 11. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x = − 21 p en focus F = ( 21 p, 0). De vergelijking die je hier vindt noemen we de standaard vorm voor een parabool. y 2 + 2(− 21 p − 21 p(12 + 02 )) + ( 41 p2 )(12 + 02 ) − 14 p2 ⇒ y 2 − 2px = 0 12. Als F op l ligt dan is kegelsnede een lijn door F loodrecht op l. Je zult dit nu aantonen. (a) Als F op l moeten de co¨oordinaten van F voldoen aan de vergelijking van de lijn. De conditie hiervoor is dus w = su + tv (b) Gebruik w = su + tv om formule (10) te herschrijven tot P : (x − s)2 + (y − t)2 =
(u(x − s) + v(y − t))2 u2 + v 2
Substitutie van w geeft P : (x − s)2 + (y − t)2 = 2
2
P : (x − s) + (y − t) =
(u(x−s)+v(y−t))2 u2 +v 2
(ux+vy−(su+tv))2 u2 +v 2
⇒
⇒
(c) Herschrijf vergelijking (17) tot P : ((x − s)2 + (y − t)2 )(u2 + v 2 ) = (u(x − s) + v(y − t))2 ⇒ P : ((x − s)2 + (y − t)2 )(u2 + v 2 ) = u2 (x − s)2 + 2uv(x − s)(y − t) + v 2 (y − t)2 ⇒ P : ((x−s)2 +(y−t)2 )u2 +((x−s)2 +(y−t)2 )v 2 −u2 (x−s)2 −2uv(x−s)(y−t)−v 2 (y−t)2 ⇒ P : v 2 (x − s)2 + u2 (y − t)2 − 2uv(x − s)(y − t) = 0
26
(d) Vergelijking (18) is gelijk aan P : (v(x − s) − u(y − t))2 = 0 Laat dit zien. Het kwadraat (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 is hier van toepassing dus: P : v 2 (x − s)2 + u2 (y − t)2 − 2uv(x − s)(y − t) = (v(x − s) − u(y − t))2 = 0 (e) Los vergelijking (12d) op en laat zien dat F op deze lijn ligt en dat de normaalvector van deze lijn loodrecht op die van l staat. (v(x − s) − u(y − t))2 = 0 ⇒ vx − uy = vs − ut = 0 Dit (s, t) gaat. is een vergelijking voor een lijn die door het punt F = Denormaalvector v v u van deze lijn staat loodrecht op die van l want < , >= 0. −u −u v 2 (f) Opdracht: Werk de haakjes weg in vergelijking (12c) en laat zien dat er dan geldt fg = a b
∧ f g = hc . v 2 x2 − 2v 2 sx + v 2 s2 + u2 y 2 − 2u2 ty + u2 t2 − 2uv(xy − xt − ys + ts) = v 2 x2 − 2uvxy + u2 y 2 − 2(v 2 s − uvt)x − 2(u2 t − uvs)y + v 2 s2 + u2 t2 − 2uvts = 0 ⇒ v 2 x2 − 2uvxy + u2 y 2 − 2v(vs − ut)x − 2u(ut − vs)y + v 2 s2 + u2 t2 − 2uvts = 0 ⇒ ( 2 2 ab = v f v2 2 u2 2 ⇒= = −v(vs−ut) f u2 g −v 2 = −u(ut−vs) = u g (g) geen antwoord 13. (a) Leid met behulp van formule 14 af dat: wu − g s= a+b g = uw − s(u2 + v 2 ) ⇒ g − uw = −s(u2 + v 2 ) ⇒ s = af dat: wv − f t= a+b Doe het zelfde als hier boven voor s.
uw−g (a+b)
(b) Gebruik formules 16,20 en 21 om c uit te drukken in w: gu + f w f 2 + g 2 + a+b a+b 2 2 c = wu−g + wv−f (a + b) − w2 ⇒ a+b a+b c = −2w
c= c= c= c=
(wu−g)2 +(wv−f )2 − w2 ⇒ (a+b) (wu)2 −2uwg+g 2 +(wv)2 −2vwf +f 2 − w2 ⇒ (a+b) 2 +v 2 −2uwg+g 2 −2vwf +f 2 + w2 u(a+b) − w2 ⇒ (a+b) 2 +g 2 v + f(a+b) −2w ug+f (a+b)
(c) Herleid 22 tot w=
1 (f 2 + g 2 ) − c(a + b) 2 gu + f v 27
en met behulp van formule 15
v + c = −2w ug+f (a+b)
f 2 +g 2 (a+b)
2 +g 2 v 2w ug+f = f(a+b) − (a+b) 2 2 )−c(a+b) w = 21 (f +gug+f v
⇒
c⇒ ⇒
(d) Overtuig jezelf dat je nu de richtlijn en de focus kan bepalen. Geen antwoord 14. Vind de richtlijn en de focus voor de volgende parabolen: (a) P : x2 − 2xy + y 2 − 2x − 2y + 3 = 0 a = v 2 = 1 , uv = 1 , b = u2 = 1 , g = f = −1 , c = 3 ⇒ Richtlijn: u = 1 ∧ v = 1 ∨ u = −1 ∧ v = −1 We gaan hier verder met u = 1 ∧ v = 1. Overtuig jezelf dat u = −1 ∧ v = −1 tot dezelfde lijn leidt. 2 2 )−c(a+b) 2 +(−1)2 )−3(1+1) = 21 ((−1) −1·1+−1·1 = 12 −4 =1 w = 21 (f +ggu+f v −2 De richtlijn is dus x + y = 1. Focus: s = wu−g = 1·1−−1 =1 a+b 1+1 wv−f 1·1−−1 t = a+b = 1+1 = 1 Het brandpunt is dus het punt F = (1, 1) (b) Q : x2 − 4xy + 4y 2 − 14x − 2y + 4 = 0 a = v 2 = 1 , uv = 2 , b = u2 = 4 , g = −7 , f = −1 , c = 4 ⇒ Richtlijn: u = 2 ∧ v = 1 ∨ u = −2 ∧ v = −1 We gaan hier verder met u = 2 ∧ v = 1. 2 2 )−c(a+b) 2 +(−7)2 )−4(1+4) 30 = 21 ((−1) −7·2+−1·1 = 12 −15 = −1 w = 21 (f +ggu+f v De richtlijn is dus 2x + y = −1. Focus: = −1·2−−7 =1 s = wu−g a+b 1+4 wv−f −1·1−−1 t = a+b = 1+4 = 0 Het brandpunt is dus het punt F = (1, 0) (c) R : y 2 − 2x + 3 = 0 a = v 2 = 0 , uv = 0 , b = u2 = 1 , g = −1 , f = 0 , c = 3 ⇒ Richtlijn: u = 1 ∨ u = −1 ∧ v = 0 We gaan hier verder met u = 1. 2 2 )−c(a+b) −2 w = 21 (f +ggu+f = 21 1−3(1) = 12 −1 =1 v −1·1 De richtlijn is dus x = 1. Focus: s = wu−g = 1·1−−1 =2 a+b 1 wv−f 0 t = a+b = 1 = 0 Het brandpunt is dus het punt F = (2, 0) (d) S : x2 + 2xy + y 2 − 4x + 2y − 6 = 0 a = v 2 = 1 , uv = −1 , b = v 2 = 1 , g = −2 , f = 1 , c = −6 ⇒ Richtlijn: u = 1 ∧ v = −1 ∨ u = 1 ∧ v = 1 We gaan hier verder met u = 1 ∧ v = −1. 2 2 )−c(a+b) 17 w = 21 (f +ggu+f = 21 1+4−−6(2) = 12 −3 = − 17 v −2·1+1·−1 6 De richtlijn is dus x − y = − 17 . 6 Focus: 28
s=
wu−g a+b wv−f a+b
=
− 17 ·1−−2 6 2 − 17 ·−1−1 6 2
5 = − 12
t= = = 11 12 5 11 Het brandpunt is dus het punt F = (− 12 , 12 ) 15. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. Geen antwoord 16. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een ellips: h2 < ab waar is. ?
h2 < ab ⇒ ? (4(s − u)(t − v))2 < (4((s − u)2 − r2 ))(4((t − v)2 − r2 )) ⇒ ?
16(s − u)2 (t − v)2 < 16((s − u)2 − r2 ))((t − v)2 − r2 )) ⇒ ?
(s − u)2 (t − v)2 < (s − u)2 (t − v)2 − ((s − u)2 + (t − v)2 )r2 + r4 Omdat F2 zich binnen de cirkel bevindt is d(F1 F2 ) < r en dus ((s−u)2 +(t−v)2 ) < r2 . Daarom is ((s − u)2 + (t − v)2 )r2 < r4 en −((s − u)2 + (t − v)2 )r2 + r4 > 0 Het beweerde is dus waar. 17. Gegeven zijn de cirkel C met straal 4 en middelpunt F1 = (0, 0) en het punt F2 = (3, 0) binnen de cirkel. Bepaal de vergelijking van de ellips die door c en F2 wordt vastgelegd. a = 4((s − u)2 − r2 ) = 4((3 − 0)2 − 42 ) = −28 b = 4((t − v)2 − r2 ) = 4((0 − 0)2 − 42 ) = −64 h = 4(s − u)(t − v) = 4(3 − 0)(0 − 0) = 0 g = 2((u + s)r2 + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 )) = 2(3 · 16 + 3(0 − 9 + 0 − 0)) = 42 f = 2((v + t)r2 + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 )) = 2(0 · 16 − 0) = 0 c = r4 − 2r2 (u2 + s2 + v 2 + t2 ) + (u2 − s2 + v 2 − t2 )2 = = 256 − 2 · 16 · 9 + (9)2 = 49 De ellips is −28x2 − 64y 2 + 84x + 49 = 0 18. Zie figuur 2 Gegeven zijn de cirkel c met middelpunt F1 en straal r en het punt F2 binnen de cirkel die de ellips e vastleggen. De lijn door de brandpunten noemt men de lange as van de ellips e en de middelloodlijn van lijnstuk F1 F2 de korte as. Noemen we de snijpunten van de lange as met ellips A en B en de snijpunten van de korte as met ellips C en D bewijs dan dat 2
d(F1 , C) =
d(A, B) 2
2
=
d(F1 , F2 ) 2
2
+
d(C, D) 2
2
Bewijs: Eerst bewijzen we dat de lengte van de lange as AB gelijk is aan r. Een punt op de ellips wordt verkregen als het snijpunt van de straal naar een punt A1 op de cirkel en de middelloodlijn van F2 A1 . Als het punt A1 in het verlengde van F1 F2 het dichtst bij F2 ligt dan staat de middelloodlijn van F2 A1 loodrecht op die lijn en is B op F1 F2 het snijpunt. Nu geldt BF2 = 12 F2 A1 . Ligt A1 in het verlengde van F1 F2 het dichtst bij F1 dan is F2 A1 = 2r − 2BF 2. Ook nu staat de staat de middelloodlijn van F2 A1 loodrecht op F1 F2 en is AF2 = r − BF2 . De lengte van AB is nu gelijk aan AB = AF2 + BF2 = r − BF2 + BF2 = r. Verder is ook nog AF1 = r − AF2 = BF2 Vervolgens bewijzen we dat F1 C = 2r . Voor de raaklijn aan de ellips in C geldt dat de raaklijn evenwijdig moet zijn aan de lange as, ofwel de middelloodlijn van F2 A1 moet evenwijdig zijn aan de lange as. Het is dan eenvoudig te bewijzen dat ∆F1 F2 A1 gelijkvormig (hh) is met ∆CC1 A1 , waarin C1 het midden is van F2 A1 en is dus F1 C = 21 F1 A1 = 2r . 29
Nu moeten we laten zien dat CM loodrecht staat op AB. Omdat de middelloodlijn van F2 A1 evenwijdig is met AB staat F2 A1 loodrecht op AB. De lijn door C evenwijdig aan F2 A1 is de middenparallel van driehoek ∆F1 F2 A1 die dus ook AB loodrecht snijdt en wel in het midden van F1 F2 en ook van AB. Zo is ∆F1 M C een rechthoekige driehoek en geldt dus de stelling van Pythagoras. Als laatste moeten we laten zien dat M het midden is van CD. Als we de bovenstaande redenatie hadden gedaan met de raaklijn in D dan hadden we ook gevonden dat F2 A1 loodrecht op AB staat en dat DM evenwijdig is aan F2 A1 en dus loodrecht op AB staat en dat F1 D 2r . Nu zijn volgens ZZR de driehoeken F1 M D en F1 M C congruent is CM = DM . Klaar. 19. Zie figuur 3. Gegeven zijn F1 = (−γ, 0) en het punt F2 = (γ, 0) en de cirkel c1 met middelpunt F1 en straal r > 2γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de ellips e, die door F1 en F2 wordt vastgelegd, is te schrijven als: x2 y2 + =1 α2 β 2
e:
waarin α de halve lengte van de lange as is en β de halve lengte van de korte as. Hint: gebruik de vorige opgave voor het vinden van de relatie α2 = β 2 + γ 2 tussen α, β en γ. a = 4((γ − −γ)2 − r2 ) = 4(4γ 2 − r2 ) = −4(r2 − 4γ 2 ) b = 4((0 − 0)2 − r2 ) = −4r2 ) h = 4(γ − −γ)(0 − 0) = 0 g = 2((−γ + γ)r2 + (γ − −γ)((−γ)2 − γ 2 + 02 − 02 )) = 2(2γ) · 0 = 0 f = 2((0 + 0)r2 + (0 − 0)((−γ)2 − γ 2 + 02 − 02 )) = 0 c = r4 − 2r2 ((−γ)2 + γ 2 + 02 + 02 ) + ((−γ)2 − γ 2 + 02 − 02 )2 = = r4 − 4r2 γ 2 De vergelijking voor de ellips is nu: −4(r2 − 4γ 2 )x2 − 4r2 y 2 + r4 − 4r2 γ 2 = 0 ⇒ −16( 2r 2 − γ 2 ) − r2 )x2 − 4r2 y 2 = −4r2 ( 2r 2 − γ 2 ) ⇒ −16β 2 x2 − 4r2 y 2 = −4r2 β 2 ⇒ 2 4 2 x + βy 2 = 1 ⇒ r2 x2 r2 2 x2
α2
+ +
y2 β2 y2 β2
=1⇒ =1
20. Vergelijking 42 noemen we de standaard vorm voor een ellips. Bepaal de standaard vorm voor de ellips waarvan de korte as de lengte 3 heeft en die door het punt (2, 1) gaat. 2 x2 + βy 2 = 1 ⇒ α2 x2 α2
2
+ y9 = 1 Invullen punt geeft: 2 4 + 91 = 1 ⇒ α42 = 89 ⇒ α4 = 89 ⇒ α2 = α2 De vergelijking voor de ellips is nu: y2 2x2 e : gα 2 + β2 = 1
9 2
⇒
21. De ellips e:
x2 y 2 + =1 16 9 30
wordt 3 plaatsen in positieve richting langs de x-as verschoven en 2 plaatsen in negatieve richting langs de y-as. (translatie t(3,-2)). Geef de vergelijking van de nieuwe ellips en bepaal de brandpunten van deze nieuwe ellips. 2 2 + (y+2) =1 De vergelijking is: e : (x−3) 16 9 Ook de brandpunten ondergaan dezelfde translatie. Voor de oorspronkelijke √ brandpunten F1 = 2 2 2 2 (−γ, 0) en F2 = (γ, 0) vinden we γ uit α = β √ γ = 7. √ + γ : 16 = 9 + γ ⇒ De nieuwe brandpunten zijn dus: F1 = (3 − 7, −2) en F2 = (3 + 7, −2) 22. Onderzoek het verschil tussen de ellipsen x2 y 2 e: + =1 16 9 en e:
x2 y 2 + =1 9 16
Kun je een uitspraak doen over de co¨ordinaten van de brandpunten op basis van de waarden α en β in de standaard vorm van de ellips. De assen wisselen van plaats. Lange as verticaal korte as horizontaal. Uitspraak: Als α > β dan zijn de brandpunten F1 = (−γ, 0) en F2 = (γ, 0). Als α < β dan zijn de brandpunten F1 = (0, −γ) en F2 = (0, γ) √ 2 2 23. De ellips e : (x−p) + y9 = 1 gaat door het punt (1, 23 3). Bepaal exact de waarde(n) van p. p2 Invullen punt geeft: 2 2 (1−p)2 + 43 = 1 ⇒ (1−p) = 14 ⇒ (1 − p)2 = p4 ⇒ p2 p2 1 − 2p + p2 =
p2 4
⇒ 3p2 + 8p − 4 = 0 ⇒ p1,2 =
√ −8±4 7 6
24. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 25. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een hyperbool: h2 > ab waar is. ab = 16((s − u)2 − r2 )((t − v)2 − r2 ) = 16((s − u)2 (t − v)2 − r2 ((s − u)2 + (t − v)2 ) + r4 ) h2 = 16(s − u)2(t − v)2 Nu is d(F1 , F2 )2 = (s − u)2 + (t − v)2 > r2 . Dus is: r2 ((s − u)2 + (t − v)2 ) > r4 ) ⇒ −r2 ((s − u)2 + (t − v)2 ) + r4 ) < 0 ⇒ ab < h. 26. Zie figuur 3. Gegeven zijn F1 = (−γ, 0) en het punt F2 = (γ, 0) en de cirkel c1 met middelpunt F1 en straal r < 2γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de hyperbool h, die door F1 en F2 wordt vastgelegd, is te schrijven als: h:
y2 x2 − =1 α2 β 2
31
waarin α de afstand van M tot A in figuur (4) of wel kortste afstand tussen de twee takken van de hyperbool. Verder is β 2 = γ 2 − α2 . a b h g f c
= = = = = =
4((γ − −γ)2 − r2 ) = 4(4γ 2 − r2 ) 4((0 − 0)2 − r2 ) = −4r2 4(γ − −γ)(0 − 0) = 0 2((−γ + γ)r2 + (γ − −γ)(γ 2 − γ 2 + 02 − 02 ) = 0 2((0 + 0)r2 + (0 − 0)(u2 − s2 + v 2 − t2 ) = 0 r4 − 2r2 (γ 2 + γ 2 + 02 + 02 ) + (γ 2 − γ 2 + 02 − 02 )2 = r4 − 4r2 γ 2
De vergelijking voor de hyperbool wordt dan: 4(4γ 2 − r2 )x2 − 4r2 y 2 + r4 − 4r2 γ 2 = 0 ⇒ 16(γ 2 − 2r 2 )x2 − 4r2 y 2 = −4r2 ( 2r r2 − γ 2 ) ⇒ 2 x2 + r r2y−γ 2 = 1 ⇒ r 2 r −γ 2 2
x2 α2
−
y2 β2
2
=1
27. Bovenstaande vorm noemen we de standaard vorm voor een hyperbool. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm. h:
x2 y 2 − =1 9 8
Deze hyperbool ondergaat de translatie t(2, −3). Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de co¨ordinaten van de toppen en de brandpunten. De translatie geeft h:
(x − 2)2 (y + 3)2 − =1 9 8
√ √ De toppen van de originele hyperbool hebben de co¨ordinaten A = (− 9, 0) en B = ( 9, 0). Na translatie worden dit de punten A0 = (−1, −3) en B 0 = (5, −3). √ 2 Voor de brandpunten bepalen we γ uit de relatie β 2 = γ 2 − α2: 8 = γ − 9 ⇒ γ = 17. √ √ Dit geeft de brandpunten voor de originele√hyperbool F1 = (− 17, 0) en F = ( 17, 0). Na 2 √ 0 0 translatie worden dit de punten F1 = (2 − 17, −3) en F2 = (2 + 17, −3). De assen hebben de vergelijking x = 2 en y = −3. 28. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm. h:
x2 y 2 − =1 4 9
Deze hyperbool ondergaat een rotatie over een hoek θ radialen tegen de richting van de x ~ = klok. Een willekeurige vector X wordt dus vermenigvuldigt met de matrix R = y cos(θ) − sin(θ) zodat sin(θ) cos(θ) x cos(θ) − y sin(θ) 0 ~ = RX ~ = X x sin(θ) + y cos(θ) 32
en ~ = R−1 X ~0 = X
x cos(θ) + y sin(θ) −x sin(θ) + y cos(θ)
(a) Welke van de twee vormen moet worden ingevuld in de vergelijking van de hyperbool en waarom? x en y moeten vervangen worden door respectievelijk x cos(θ) + y sin(θ) en −x sin(θ) + y cos(θ). Net als bij de translatie moet nieuwe waarden van x en y worden teruggezet naar de oorspronkelijke x en y waarden. (b) Neem θ =
π 3
Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool.
(x cos( π3 ) + y sin( π3 ))2 (−x sin( π3 ) + y cos( π3 ))2 h1 : − =1⇒ 4 9 √ √ ( x2 + y2 3)2 (− x2 3 + y2 )2 h1 : − =1 4 9 De toppen van de en (2, 0). Na √ hyperbool √ rotatie zijn (−2, 0) zijn dit oorspronkelijke 1 1 1 1 2 −2 −2 3 −2 3 2 2 √1 √ √ = en = de co¨ordinaten 1 1 1 1 0 0 3 3 3 2 2 2 2 −1 √ − 3 De brandpunten van de oorspronkelijke hyperbool zijn 4), 0)en √ (sqrt(9 √ (−sqrt(9 1 √ + + 1 1 13 −2 3 13 2 2√ √ 4), 0). Na rotatie zijn dit de co¨ordinaten en = 1 1 1 0 3 39 2 2 2 √ √ 1 √ − 21 3 − 12 √13 − 13 2 √ = 1 1 0 3 − 12 39 2 2 De assen van de oorspronkelijke hyperbool zijn h − as : y = 0 en v − as√: x = 0. Na rotatie worden dat de lijnen (vervang x en y net als boven): h − as1 : − x2 3 + y2 = 0 en √ v − as1 : x2 + y2 3 = 0 (c) Na een rotatie over een hoek van θ = Na rotatie
π 4
volgt nog een translatie (-2,1).
(x cos( π4 ) + y sin( π4 ))2 (−x sin( π4 ) + y cos( π4 ))2 h2 : − =1⇒ 4 9 √ √ √ √ ( x2 2 + y2 2)2 (− x2 2 + y2 2)2 h2 : − =1⇒ 4 9 h2 :
( x2 + y2 )2 (− x + y )2 −2 2 2 =1⇒ 2 9
Nu translatie (−2, 1). Vervang x door x + 2 en y door y − 1: ( x+2 + y−1 )2 (− x+2 + y−1 )2 2 2 2 2 h3 : −2 =1⇒ 2 9 De toppen van de oorspronkelijke hyperbool zijn (−2, 0) en (2, 0). Na rotatie zijn dit de co¨ordinaten: 33
√ √ √ 1√ 1√ √ 1 2 − 21√ 2 2 2 2 − 2 −√2 2√ 2 2 √ √ − 20 = = √ en 1 1 1 1 0 − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 √ Na de √ translatie zijn √ dat de punten (−2 + 2 1 + √2) en (−2 − 2 1 − 2) De brandpunten van de oorspronkelijke hyperbool √ zijn √ 1√ (sqrt(13), 1 √ 0). 1Na 1 √ 0) en √ (−sqrt(13), 1 2 − 2 26 2 − 2 − 13 2√ 2√ 2√ rotatie zijn dit de co¨ordinaten 21 √ en 12 √ = 1 1 1 0 2 2 26 2 2 2 2 2 2 2 1√ − 2 √26 − 12 26 √ √ √ √ Na de translatie zijn dat de punten (−2 + 21 26, 1 + 21 26) en (−2 − 12 26, 1 − 21 26) De assen van de oorspronkelijke hyperbool zijn h − as : y = 0 en v − as√: x =√0. Na rotatie worden dat de lijnen (vervang x en y net als boven): h − as2 : − x2 2 + y2 2 = 0 √ √ en v − as2 : x2 2 + y2 2 = 0 √ √ y−1 2 + 2 = 0 en v − as2 : Na de translatie zijn dat de lijnen: h − as3 : − x+2 2 2 √ √ y−1 x+2 2+ 2 2=0 2 29. Onderzoek het verschil tussen de hyperbolen h:
x2 y 2 − =1 16 9
h:
x2 y 2 − =1 9 16
en h:−
x2 y 2 + =1 9 16
Kun je een uitspraak doen over de co¨ordinaten van de brandpunten op basis van de waarden α en β in de standaard vorm van de hyperbool. Het maakt niet uit of α > β dan wel α < β wat betreft de ligging van de toppen. Alleen als het teken voor x2 en y2 wordt gewisseld verhuizen de toppen naar de y-as. 30. De hyperbool x2 y 2 − =1 p p2 √ 3√ gaat door het punt ( 3, √ 3). Bepaal de waarde(n) van p. 4 h:
Invullen punt: 3p p2
√ ( 3)2 p
−
( 34
3)2 p2
=1⇒
27 16 p2
− =1⇒ 27 3p − 16 = p2 ⇒ p2 − 3p + p1,2 = 23 ± 43
27 16
=0⇒
31. De conditie voor een hyperbool in vergelijking (1) is h2 > ab, die voor een ellips h2 < ab en voor een parabool h2 = ab. Als F2 op de cirkel komt te liggen is er dan sprake van een parabool? 34
(a) Laat zien dat de parameters (52,53,55 en 56) als d(F1 , F2 ) = r gelijk zijn aan a b g f
= = = =
−4(t − v)2 −4(s − u)2 2((u + s)((s − u)2 + (t − v)2 ) + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 )) 2((v + t)((s − u)2 + (t − v)2 ) + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 ))
u s Omdat d(F1 , F2 ) = r geldt d( , ) = r. v t Hieruit volgt (s − u)2 + (t − v)2 = r2 . Deze relatie invullen in (52,53,55 en 56) geeft het gewenste resultaat. 2 (b) Laat zien dat ab = fg . 2 (t − v)2 a t−v = = b (s − u)2 s−u (u + s)((s − u)2 + (t − v)2 ) + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 ) g = f (v + t)((s − u)2 + (t − v)2 ) + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 ) (u + s)((s − u)2 + (t − v)2 ) + (s − u)((u + s)(u − s) + (v + t)(v − t)) = (v + t)((s − u)2 + (t − v)2 ) + (t − v)((u + s)(u − s) + (v + t)(v − t)) (u + s)(s − u)2 + (u + s)(t − v)2 − (u + s)(s − u)2 + (s − u)(v + t)(v − t) = (v + t)(s − u)2 + (v + t)(t − v)2 + (t − v)(u + s)(u − s) − (v + t)(v − t)2 (u + s)(t − v)2 + (s − u)(v + t)(v − t) = (v + t)(s − u)2 + (t − v)(u + s)(u − s) (u + s)(t − v)2 − (s − u)(v + t)(t − v) = (v + t)(s − u)2 − (t − v)(u + s)(s − u) (t − v) (u + s)(t − v) − (s − u)(v + t) = (s − u) (v + t)(s − u) − (t − v)(u + s) (t − v) = − ⇒ (s − u) 2 a g = b f (c) Wat is de kegelsnede als F2 op de cirkel ligt? We beantwoorden deze vraag met behulp 2 2 van de standaardvorm h : αx2 − βy 2 = 1 met brandpunten (−γ, 0) en (γ, 0) met de relatie γ 2 = α2 + β2. Als F2 op de cirkel ligt is γ = α (waarom ?) en is β = 0. Vermenigvuldigen we de standaardvorm met α2 β 2 dan krijgen we: β 2 x2 − α2 y 2 = α2 β 2 ⇒ −α2 y 2 = 0 ⇒ y 2 = 0. De lijn y = 0 door de brandpunten is nu dus de kegelsnede. (d) Hoe ziet de vergelijking van de ellips (34) eruit als F1 = F2 . Is de kegelsnede dan een cirkel? In de ellips vergelijking zijn de waarden voor a, b, h, g en f gelijk aan: a = 4((s − u)2 − r2 ) b = 4((t − v)2 − r2 ) 35
h g f c
= = = =
4(s − u)(t − v) 2((u + s)r2 + (s − u)(u2 − s2 + v 2 − t2 )) 2((v + t)r2 + (t − v)(u2 − s2 + v 2 − t2 )) r4 − 2r2 (u2 + s2 + v 2 + t2 ) + (u2 − s2 + v 2 − t2 )2
Als F1 = F2 dan zijn s − u = 0 en t − v = 0 en veranderen deze waarden naar: a b h g f c
= = = = = =
−4r2 −4r2 0 4ur2 4tr2 r4 − 4r2 (s2 + t2 )
Alles delen door −4r2 geeft: a b h g f
= = = = =
1 1 0 −u −t r2 c = − + (s2 + t2 ) 4 De ellips vergelijking wordt dan: 2 e : x2 + y 2 − 2ux − 2ty − r4 + (s2 + t2 ) = 0 ⇒ 2 e : (x − s)2 + (y − t)2 = r4 ⇒ De ellips is dus een cirkel met straal 2r 32. De hyperbool h:
1 2 1 2 2 x − y −x− y+2=0 16 9 3
is een translatie t(p, q) van een standaard hyperbool. Bepaal p en q. h : α12 (x − p)2 − β12 (y − q)2 = 1 ⇒ 1 (x2 − 2px + p2 ) − β12 (y 2 − 2qy + q 2 ) = 1 ⇒ α2 x2 α2
2
2
2
− 2px + αp 2 − βy 2 + 2qy − βq 2 = 1 α2 β2 Dus α2 = 16 en β 2 = 9. Invullen geeft: 2 2 p2 x2 − 2px + 16 − y9 + 2qy − q9 = 1 16 16 9 Nu moet gelden: −
2p = −1 16 2q 2 = − 9 3
p2 q2 − −1 = 2 16 9 36
De eerste twee vergelijkingen leveren: p = 8 q = −3
Voldoen deze waarden aan de laatste vergelijking? p2 q2 − −1 = 2⇒ 16 9 64 9 − −1 = 2⇒ 16 9 4−1−1 = 2 Dit klopt dus de translatie is t(8, −3). 33. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 34. Opdracht: Doe de afleiding nogmaals voor de ellips en vind
β2 α2
=
a cos2 (θ)−b sin2 (θ) cos2 (θ)−sin2 (θ) b cos2 (θ)−a sin2 (θ) cos2 (θ)−sin2 (θ)
θ=
1 2h tan−1 2 a−b
p q
=
hf −bg ab−h2 hg−af ab−h2
!
35. Gebruik het feit dat γ 2 > 0 moet zijn om te voorspellen op basis van de waarde van h in welke kwadranten θ moet liggen. Hyperbool: 2h = 2γ 2 cos(θ) sin(θ). Als h > 0 dan moet cos(θ) sin(θ) ook groter dan nul zijn. cos en sin moeten hetzelfde teken hebben dus θ in 1ste en 3de kwadrant. Als h < 0 dan moet cos(θ) sin(θ) ook kleiner dan nul zijn. cos en sin moeten verschillend teken hebben dus θ in 2de en 4de kwadrant. Ellips: 2h = −2γ 2 cos(θ) sin(θ). Als h > 0 dan moet cos(θ) sin(θ) kleiner dan nul zijn. cos en sin moeten verschillend teken hebben dus θ in 2dee en 4de kwadrant. Als h < 0 dan moet cos(θ) sin(θ) groter dan nul zijn. cos en sin moeten hetzelfde teken hebben dus 1ste en 3de kwadrant. 36. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de ellips e : 3x2 −2xy+3y 2 +10x−14y+11 = 0 defini¨eren. Kegelsnede is een ellips want: h2 < ab )−(b·g) = (−1·−7)−(3·5) = −1 Bereken: p = (h·f (a·b)−h2 (3·3)−1 ) Bereken q = (h·g)−(a·f = (−1·5)−(3·−7) =2 (a·b)−h2 (3·3)−1 Translatie t(p, q) = t(−1, 2)
37
a = b dan is γ 2 = (α2 − β 2 ) = −2h = 2 γ 2 > 0 => θ = π/4 , α2 = a − h = 4 , β 2 = α2 − γ 2 = 2 Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq 2 − α2 β 2 = 3 · 1 + 2(−1)(−1) · 2 + 3 · 4 − 4 · 2 = 11 c1 = c Geen correctie nodig dus: α2 = 4 , β 2 √ = 2 , γ2 = 2 Straal: 2 ∗ α2 = 4 Brandpunten: F1 = (−γ cos(θ) + p, −γ sin(θ) + q) = (−2, 1) F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (0, 3) 37. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de hyperbool h : 7x2 − 18xy + 7y 2 + 38x − 26y + 31 = 0 defini¨eren. Kegelsnede is een hyperbool want: h2 > ab )−(b·g) = 12 = (−9·−13)−(7·19) Bereken: p = (h·f (a·b)−h2 (7·7)−81 ) Bereken q = (h·g)−(a·f = (−9·19)−(7·−13) = 2 21 (a·b)−h2 49−81 Translatie t(p, q) = t( 12 , 2 12 ) a = b dan is γ 2 = (α2 + β 2 ) = 2h = −18 Als γ 2 < 0 dan is de standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid: Correctie nieuwe θ = π/4 radialen. Ook wisselen we dan α en β. γ 2 = 18 , β 2 = a − h = 16 , α2 = γ 2 − β 2 = 2 − 16 · 2 = −9 Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq 2 − α2 β 2 = 7 · 41 + 2(−9)( 12 ) · 2 12 + 7 · 25 4 1 c1 6= c bereken f actor = 1 − (31 − (−9))/32 = − 4 Bereken α2 = α2 · f actor = − 21 Bereken β 2 = β 2 · f actor = −4 Bereken γ 2 = β 2 + α2 = −4 21 α2 < 0 en β 2 < 0 dan is standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid. nieuwe θ = π/4 radialen Ook wisselen we dan α en β α2 = 4 , β 2 = 12 , γ = 4 12 √ Straal: 2 · α2 = 4 Brandpunten: F1 = (−γ cos(θ) + p, −γ sin(θ) + q) = (−1, 1) F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (2, 4)
38. Bepaal het type van de volgende kegelsneden en bepaal eventuele brandpunten, richtlijnen en straal van de cirkel die de volgende kegelsneden defini¨eren: (a) k1 : x2 − 6x + y 2 + 2y + 1 = 0 Kegelsnede is een cirkel want: h = 0 en 1 = 1 Bereken p = (h·g)−(a·f ) (a·b)−h2
Bereken Bereken q = Translatie p t(p, q) = t(3, −1) Straal p2 + q 2 − c = 3
= −1
(b) k2 : 3x2 + 6xy − 5y 2 − 12x − 20y + 16 = 0 Kegelsnede is een hyperbool want: h2 > ab )−(b·g) Bereken: p = (h·f = (3·−10)−(−5·−6) = 2 12 (a·b)−h2 (−15−9 38
(h·f )−(b·g) (a·b)−h2
=3
) = − 21 Bereken q = (h·g)−(a·f = (3·−6)−(3·−10) (a·b)−h2 −24 Translatie t(p, q) = t(2 12 , − 12 ) Bereken θ = 0.5 tan−1 (2h/(a − b)) = 0.322 dus een rotatie over 0.322 radialen Bereken α2 = (a sin2 (θ) − b cos2 (θ))/(cos2 (θ) − sin2 (θ)) = 5 Bereken β 2 = (a cos2 (θ) − b sin2 (θ))/(cos2 (θ) − sin2 (θ)) = 4 + 2(3)(2 12 ) · (− 21 ) − 5 · 41 − 24 = −14 Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq 2 − α2 β 2 = 3 · 25 4 c1 6= c bereken f actor = 1 − (16 − (−14))/24 = − 14 Bereken α2 = α2 · f actor = −1 21 Bereken β 2 = β 2 · f actor = −1 Bereken γ 2 = β 2 + α2 = −5 21 α2 < 0 en β 2 < 0 dan is standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid. nieuwe θ = 1.893 radialen Ook wisselen we dan α en β α2 = 1 , β 2 = 1 21 , γ = 2 12 √ Straal: 2 · α2 = 2 Brandpunten: F1 = (−γ cos(θ) + p, −γ sin(θ) + q) = (−3, 2) F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (2, 1)
(c) k3 : 4x2 + 12xy + 9y 2 − 28x + 88y + 244 = 0 2 Kegelsnede is een parabool √ want: √ h = ab Richtlijn: Bereken √ u= b= 9=3 h > 0 ⇒ v = − a = −2 w = 21 (f 2 + g 2 − c(a + b))/(gu + f v) = 12 (442 + 142 − 244(4 + 9))/(−14/cdot3 + 44 · −2) = 4 Richtlijn:3x − 2y = 4 Brandpunt: s = wu−g =2 a+b wv−f t = a+b = −4 Brandpunt: = (2, −4) (d) k4 : 24x2 + 4xy + 21y 2 − 120x − 10y + 25 = 0 Kegelsnede is een ellips want: h2 < ab )−(b·g) Bereken: p = (h·f = (2·−5)−(21·−60) = 2 21 (a·b)−h2 (24·21)−4 ) Bereken q = (h·g)−(a·f = (2·−60)−(24·−5) =0 (a·b)−h2 (24·21)−4 1 Translatie t(p, q) = t(2 2 , 0) 2h Bereken θ = 12 tan−1 ( a−b = 21 tan−1 ( 43 ) = 0.464. Dus een rotatie over 0.464 radialen Bereken α2 = (b cos2 (θ) − a sin2 (θ))/(cos2 (θ) − sin2 (θ)) = −20 Bereken β 2 = (a cos2 (θ) − b sin2 (θ))/(cos2 (θ) − sin2 (θ)) = −25 α2 < 0 en β 2 < 0 dan is standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid. nieuwe θ = 2.034 radialen Ook wisselen we dan α en β α2 = 25 , β 2 = 20 , γ = 5 Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq 2 − α2 β 2 = −350 c1 ongelijk c bereken f actor = 1 − (c − c1 )/α2 β 2 = 1 − (25 − −350)/500 = 41 Bereken α2 = α2 · f actor = 6 14 Bereken β 2 = β 2 · f actor = 5 2 Straal: p 2 ∗ sqrt(α 1)√= 5 γ = α2 − β 2 = 4 20 Brandpunten:
39
F1 = (−γ cos(θ) + p, −γ sin(θ) + q) = (3, −1) F2 = (γ cos(θ) + p, −γ sin(θ) + q) = (2, 1)
39. Meer opgaven zijn te vinden op http://www.johnval.nl/school/wiskunde/wiskundeD/kegelsneden/geoge 40. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
6.2
Antwoorden hoofdstuk 2:
√ √ 1. Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt A = ( 3, 23 3) aan de hyperbool h : y2 − 9 = 0 4x2 − 16 9 Ik kies hier voor een oplossing door zelf te differenti¨eren. dy dh : 8x − 32y =0⇒ dx 9 dx dy 9 9x = 8x 32y = 4y dx Invullen√ punt geeft: dy = 4·93 √33 = 32 dx 2
Dus y = 23 x + b. Invullen punt om b te bepalen: √ √ 3 3 3 = 3+b⇒b=0 2 2 De raaklijn heeft de vergelijking y = 32 x 2. Gegeven is de hyperbool h : 5x2 − 10xy + y 2 − 40x + 16y + 39 = 0 Stel vergelijkingen op voor de raaklijnen in de punten A en B op de hyperbool waarvoor de x-co¨ordinaat gelijk is aan 1. x-co¨ordinaat gelijk is aan 1 levert: 5 − 10y + √y 2 − 40 + 16y +√39 = y 2 + 6y + 4 = 0 ⇒ y1,2 = −6± 236−16 = −3 ± 5 Gebruiken we nu voor het gemak de vergelijking ( 82 ) dan worden de raaklijnen: l1,2 : (5 · 1 + (−5)(−3 ±
√
5) − 20)x + (−5 · 1 + 1 · (−3 ±
√
5) + 8)y = 20 · 1 − 8(−3 ±
√
5) − 39 ⇒
√ √ √ √ √ √ l1 : −5 5x + 5y = 5 − 8 5l2 : 5 5x − 5y = 5 + 8 5 3. Gegeven is de parabool p : x2 + 2xy + y 2 − 8x − 4y + 10 = 0. (a) Stel een vergelijking op voor de raaklijn aan de parabool door het punt A waarvoor xA =2. y-waarden A: Substitueer xA =2 √ 4 + 4y + y 2 − 16 − 4y + 10 = 0 ⇒ y 2 = 2 ⇒ y1,2 = ± 2 Gebruiken we nu voor het gemak de vergelijking ( 82 ) dan worden de raaklijnen: √ √ √ l1,2 : (−2 ± 2)x ± 2y = −2 ± 2 2 ⇒ √ √ √ √ √ √ l1 : (−2 + 2)x + 2y = −2 + 2 2l2 : (−2 − 2)x − 2y = −2 − 2 2 (b) Bepaal exact de minimale waarde voor x en de maximale waarde voor y. Minimale x waarde: dx = 0: dy dx Eerst dy bepalen door de parabool vergelijking naar y te differenti¨eren: dp : 2x dx + 2y dx + 2x + 2y − 8 dx −4=0⇒ dy dy dy dy 40
4−2y−2y 2−x−y = 2x+2y−8 = x+y−4 Nul stellen: dx = 2−x−y =0⇒y =2−x dy x+y−4 Invullen in paraboolvergelijking: x2 +2x(2−x)+(2−x)2 −8x−4(2−x)+10 = 0 ⇒ x2 −2x2 +4x+4−4x+x2 −8x−8+4x+10 = 0 ⇒ −4x − 6 = 0 ⇒ x = 32 dx dy
Maximale y waarde: dx = ∞ ⇒ x + y − 4 = 0 ⇒ x = 4 − y: dy Invullen in paraboolvergelijking: (4−y)2 +2(4−y)y+y 2 −8(4−y)−4y+10 = 0 ⇒ 16−8y+y 2 +8y−2y 2 +y 2 −32+8y−4y+10 = 0 ⇒ 4y − 6 = 0 ⇒ y = 23 (c) Een raaklijn y = ax + b heeft richtingscoe¨efficient a = 1. Bepaal het raakpunt. dy = x+y−4 =1⇒x+y−4=2−x−y ⇒y =3−x dx 2−x−y Invullen in paraboolvergelijking: x2 +2x(3−x)+(3−x)2 −8x−4(3−x)+10 = 0 ⇒ x2 −2x2 +6x+9−6x+x2 −8x−12+4x+10 = 0 ⇒ −4x + 7 = 0 ⇒ x = 47 ∧ y = 3 − 47 = 54 4. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 5. Bepaal algebra¨ √ısch de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel c met middelpunt M = (1, 9) en straal r = 2 door het punt A = (2,10) x−1 2−1 2 ~ ~ ~ ~ < X − M , A − M >= r ⇒< , >= 2 ⇒ y−9 10 − 9 x − 1 + y − 9 = 2 ⇒ x + y = 12 6. Bepaal algebra¨ısch de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel c met middelpunt M = (3, 4) en straal r = 3 door de punten A en B waarvan de y-co¨ordinaten gelijk zijn aan 5 12 Bepaal co¨ordinaten A en B: x−3 x−3 2 ~ ~ ~ ~ < X − M , X − M >= r ⇒< , >= 9 ⇒ 5 21 − 4 5 12 − 4 √ (x − 3)2 + 94 = 9 ⇒ (x − 3)2 = 27 ⇒ x = 3 ± 23 3 4 √ √ A = (3 − 32 3, 5 12 ) en B = (3 + 23 3, 5 12 ). √ x−3 3 − 32 3 − 3 Raaklijn l1 aan de cirkel door A: l1 :< , >= 9 ⇒ y−4 5 12 − 4 √ √ √ l1 : − 32 3(x − 3) + 23 (y − 4) = 9 ⇒ l1 : − 3x 3 + 3y = 15 − 92 3 2 2 √ √ Evenzo raaklijn l2 aan de cirkel door B: l2 : 3x 3 + 3y = 15 + 92 3 2 2 7. Bepaal algebra¨ısch het snijpunt (de snijpunten) van de raaklijnen aan de cirkel c met middelpunt M = (−1, 5) en straal r = r door de punten A en B die worden verkregen door de cirkel te 1 snijden met de lijn l : p~ = ~s + λ die een afstand 12 r tot het middelpunt heeft. 1 Hint: Maak eerst een plaatje en gebruik je goniometrische kennis. Kies ~s als het snijpunt van l en de loodlijn op l door M . 8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 41
9. Opdracht: Toon aan dat x2 α2
−
y2 β2
=1⇒
x2 α2 y 2
−
1 β2
x2 y2
=
=
1 y2
α2 β2
+
α2 y2
⇒
x2 y2
−
α2 β2
=
α2 y2
⇒
x2 y2
=
α2 β2
+
α2 y2
10. Opdracht: Beredeneer dat x x α = lim =± y→∞ y y→−∞ y β lim
Als y → ∞ dan gaat
α2 y2
→ 0 en is
11. Opdracht: Toon aan dat dh dx
:
2x α2
−
2y dy β 2 dx
=0⇒
dy dx
dy dx
=
= 2x α2 2y β2
q
x2 y2
q 2 = ± αβ 2 +
α2 y2
q 2 → ± αβ 2 = ± αβ
β2 x α2 y
=
β2 x α2 y
12. Opdracht: Beredeneer dat lim
y→∞
dy dy β = lim =± y→−∞ dx dx α
Omdat x α x = lim =± y→−∞ y y→∞ y β lim
is dy β2 α β dy = lim = 2 =± y→−∞ dx y→∞ dx α β α lim
13. Opdracht: Concludeer dat de asymptoten voor de standaard hyperbool gelijk zijn aan: βx + αy = 0 βx − αy = 0 Omdat de standaard hyperbool symmetrisch is rond (0, 0) gaan de asymptoten ook door (0, 0).
y = − y =
β ⇒ βx + αy = 0 α
β ⇒ βx − αy = 0 α 2
2
14. Gegeven is de hyperbool h : x12 − y13 = 1. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de brandpunten √ en de vergelijkingen voor de asymptoten. √ Toppen: (−2 3, 0) ∧ (2 3, 0) Brandpunten: √γ 2 = 25 ⇒ = (5, 0) √ F1 = (−5,√0) ∧ F1 √ Asymptoten: 13x + 2 3y = 0 ∧ 13x − 2 3y = 0
42
15. De hyperbool h : 5x2 − 3y 2 − 10x − 6y − 28 = 0 is ontstaan door een translatie t(p, q) van een standaard hyperbool. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de brandpunten en de vergelijkingen voor de asymptoten. h : 5(x2 − 2x) − 3(y 2 + 2y) − 28 = 0 ⇒ h : 5((x − 1)2 − 1) − 3((y + 1)2 − 1) − 28 = 0 ⇒ h : 5(x − 1)2 − 3(y + 1)2 = 30 ⇒ 2 2 − (y+1) =1⇒ h : (x−1) 6 10 Translatie t(1, −1) √ √ Toppen: (− 6 + 1, −1) ∧ ( 6 + 1, −1) Brandpunten: √γ 2 = 16 ⇒ F1√= (−3, −1) ∧ F1√= (5, −1) √ Asymptoten: 10(x − 1) + 6(y + 1) = 0 ∧ 10(x − 1) − 6(y + 1) = 0 16. Beschouw nogmaals de hyperbool uit opgave 37 van het vorige hoofdstuk. Bepaal ook de vergelijkingen voor de asymptoten k2 : 3x2 + 6xy − 5y 2 − 12x − 20y + 16 = 0 Translatie t(p, q) = t(2 21 , − 21 ) α2 = 1 , β 2 = 1 12 , γ = 2 12 √ Straal: 2 · α2 = 2 Brandpunten: F1 = (−3, 2) F2 = (2, 1) √ √ Asymptoten: 12 6(x − 2 21 ) + (y + 21 ) = 0 ∧ 12 6(x − 2 21 ) − (y + 21 ) = 0 17. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
6.3
Antwoorden hoofdstuk 3
2 2 1. Gegeven is de parabool p : x − 4xy + 4y − 15x − 4y + 1 = 0. Bepaal de poollijn ten opzichte 1 van het punt A = . 4 Invullen punt in:
1 (axP + hyP + g)x + (hxP + byP + f )y = −gxP − f yP − c(1 · 1 + (−2) · 4 − 7 )x + ((−2) · 1 + 4 · 2 2. Gegeven is de ellips e :
x2 4
+ y 2 − 1 = 0 en het punt P (3, 3).
(a) Bepaal algebra¨ısch de poollijn ten opzichte van het punt P . Invullen punt in: (axP + hyP + g)x + (hxP + byP + f )y = −gxP − f yP − c 3 x + 3y = 1 4 (b) Bepaal algebra¨ısch de vergelijkingen van de raaklijnen door P aan de ellips. Eerst snijpunten van poollijn met e bepalen. Daarna raaklijn opstellen:
43
Invullen relatie poollijn in kegelsnede 3 x + 3y = 1 ⇒ y = −f rac14x + 31 4 x2 + (−f rac14x + 13 )2 − 1 = 0 ⇒ 4 x2 + f rac116x 2 − 16 x + 19 − 1 = 0 ⇒ 4 5 2 x − 16 x√− 89 = 0 ⇒ 16 √ √ 1 1 5 8 1 ± 36 +4· 16 ·9 ± 61 41 4±4 41 6 = = x1,2 = 6 ⇒ 5 5 15 8 8 √ √ √ √ A = ( 4−415 41 , 4+15 41 ) ∧ B = ( 4+415 41 , 4−15 41 )
raaklijnen:
√ √ 1 − 41 4 + 41 lA : ( )x + ( ))y = 1 15 15 √ √ 4 − 41 1 + 41 )x + ( ))y = 1 lB : ( 15 15
3. Gegeven is de hyperbool h : −x2 + y 2 = 1 en het punt P (2, 1). Bepaal algebra¨ısch de verglijkingen van de raaklijnen door P aan de ellips. Poollijn: −2x + y = 1 Snijpunten poollijn hyperbool: −x2 + (1 + 2x)2 = 1 ⇒ −x2 + 1 + 4x + 4x2 = 1 ⇒ 3x2 + 4x = 0 ⇒ x(3x + 4) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = − 43 ⇒ A = (0, 1) ∧ B = (− 34 , − 53 ) raaklijnen: lA : y = 1 4 5 lB : x − y = 1 3 3 4. Maak in geogebra een parabool en laat de raaklijnen vanuit een punt A aan de parabool tekenen. Laat ook de hoek tussen deze twee raaklijnen door geogebra bepalen. Beweeg het punt over de richtlijn. Wat observeer je? Bewijs dat bij een parabool p de raaklijnen aan p vanuit een punt A op de richtlijn loodrecht op elkaar staan. 5. Gegeven zijn de cirkels c1 : x2 + y 2 − 1 = 0 en c2 = x2 + y 2 − 6x − 10y + 25 = 0. De poollijnen t.o.v. het punt P (xP , yP ) snijden elkaar in het punt S(1, 2). Bepaal algebra¨ısch de co¨ordinaten van P . Open opgcirccircpool.ggb Vergelijkingen voor de poollijnen t.o.v. het punt P (xP , yP ) zijn: pc1 : xxP + yyP = 1 pc2 : x(xP − 3) + y(yP − 5) = 3xP + 5yP − 25
Het punt S(1, 2) ligt op beide lijnen dus: xP + 2yP = 1 xP = 1 − 2yP ⇒ (xP − 3) + 2(yP − 5) = 3xP + 5yP − 25 (1 − 2yP − 3) + 2(yP − 5) = 3(1 − 2yP ) + 5yP − 44
6. Gegeven zijn de hyperbool h : 7x2 − 18xy + 7y 2 + 6x + 6y − 1 = 0 en de ellips e : 3x2 − 2xy + 3y 2 − 6x − 6y − 9 = 0. Open opgelhyppool.ggb (a) Toon algebra¨ısch aan dat de beide kegelsneden gelijke brandpunten hebben. Kegelsnede e : 3x2 − 2xy + 3y 2 − 6x − 6y − 9 = 0 is een ellips want: h2 < ab )−(b·g) = 1 12 = (−1·−3)−(3·−3) Bereken: p = (h·f (a·b)−h2 (3·3)−1 ) Bereken q = (h·g)−(a·f = (−1·−3)−(3·−3) = 1 12 (a·b)−h2 (3·3)−1 Translatie t(p, q) = t(1 12 , 1 12 ) a = b dan is γ 2 = (α2 − β 2 ) = −2h = 2 γ 2 > 0 => θ = π/4 , α2 = a − h = 4 , β 2 = α2 − γ 2 = 2 Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq 2 − α2 β 2 = 3 · 49 + 2(−1) 49 + 3 · 94 − 4 · 2 = 1 9 2 2 ˙ 1 c1 6= c bereken f actor = 1 − αc−c 2 β 2 = 4 Bereken α = α f actor = 9 Bereken β 2 = β 2 f˙actor = 92 α2 = 9 , β 2 = 92 , γ 2 = 92 √ Straal: 2 ∗ α2 = 6 Brandpunten: F1 = (−γ cos(θ) + p, −γ sin(θ) + q) = (0, 0) F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (3, 3)
Kegelsnedeh : 7x2 − 18xy + 7y 2 + 6x + 6y − 1 = 0 is een hyperbool want: h2 > ab )−(b·g) = (−9·3)−(7·3) = 1 12 Bereken: p = (h·f (a·b)−h2 (7·7)−81 ) Bereken q = (h·g)−(a·f = (−9·3)−(7·3) = 1 12 (a·b)−h2 (7·7)−81 Translatie t(p, q) = t(1 12 , 1 12 ) a = b dan is γ 2 = (α2 + β 2 ) = 2h = −18 Als γ 2 < 0 dan is de standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid: Correctie nieuwe θ = π/4 radialen. Ook wisselen we dan α en β. γ 2 = 18 , β 2 = a − h = 16 , α2 = γ 2 − β 2 = 2 Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq 2 − α2 β 2 = 7 · 49 + 2(−9) 49 + 7 · 94 − 16 · 2 = −41 c1 6= c bereken f actor = 1 − (−1 − (−41))/32 = − 41 Bereken α2 = α2 · f actor = − 12 Bereken β 2 = β 2 · f actor = −4 Bereken γ 2 = β 2 + α2 = −4 21 α2 < 0 en β 2 < 0 dan is standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid. nieuwe θ = π/4 radialen Ook wisselen we dan α en β α2 = 4 , β 2 = 12 , γ = 4 12 √ Straal: 2 · α2 = 4 Brandpunten: F1 = (−γ cos(θ) + p, −γ sin(θ) + q) = (0, 0) F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (3, 3) Brandpunten zijn dus gelijk.
(b) Bereken algebra¨ısch de snijpunten van de kegelsneden. Los op 2 7x − 18xy + 7y 2 + 6x + 6y − 1 = 0 ⇒ 3x2 − 2xy + 3y 2 − 6x − 6y − 9 = 0 45
10x2 − 20xy + 10y 2 − 10 = 10(x − y)2 − 10 = 0 ⇒ 3x2 − 2xy + 3y 2 − 6x − 6y − 9 = 0
x=1+y ∨ y =1+x ⇒ 3x2 − 2xy + 3y 2 − 6x − 6y − 9 = 0 x=1+y ∨ 2 2 3(1 + y) − 2(1 + y)y + 3y − 6(1 + y) − 6y − 9 = 0 ⇒ y =1+x 3x2 − 2x(1 + x) + 3(1 + x)2 − 6x − 6(1 + x) − 9 = 0 x=1+y y =1+x ∨ ⇒ y 2 − 2y − 3 = (y − 3)(y + 1) = 0 x2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0
Snijpunten: A(4, 3) B(0, −1) C(3, 4) en D(−1, 0) (c) Stel vergelijkingen op voor de raaklijnen aan e in de snijpunten met de x-as. Snijpunten met de x-as ⇒ y = 0 Los op: 3x2 − 6x − 9 = 0 ⇒ (x + 1)(x − 3) = 0 ⇒ Snijpunten E(−1, 0) ∧ F (3, 0) Raaklijnen:
lE : (3 · −1 + (−1) · 0 + (−3))x + ((−1) · −1 + 3 · 0 + (−3))y = −(−3) · (−1) − (−3) · 0 − (− lE : −3x − y = 3 lF : (3 · 3 + (−1) · 0 + (−3))x + ((−1) · 3 + 3 · 0 + (−3))y = −(−3) · 3 − (−3) · 0 − (−9) ⇒ lF : x − y = 3 ⇒ (d) Bepaal de hoek tussen de poollijnen van e en h ten opzichte van het het snijpunt van de raaklijnen uit de vorige deelopgave. Snijpunt: Los op −3x − 3 = x − 3 ⇒ x = 0 ∧ y = −3 Poollijnen:
pe : (3 · 0 + (−1) · (−3) + (−3))x + ((−1) · 0 + 3 · (−3) + (−3))y = −(−3) · 0 − (−3) · (−3) − pe : y = 0 ⇒ ph : (7 · 0 + (−9) · (−3) + 3)x + ((−9) · 0 + 7 · (−3) + 3)y = −3 · 0 − 3 · (−3) − (−1) ⇒ ph : 30x − 18y = 10 ⇒ Snijpunt: S(/f rac13, 0) 7. Gegeven zijn standaard de hyperbool h : 3x2 − y 2 − 6x + 6y − 9 = 0 en de parabool p : x2 − y − 6x + 6y = 0. Open opgparhyppool.ggb
46
(a) Bepaal de brandpunten van de kegelsneden. h = 0 dus geen rotatie. Herschrijf h naar h : 3(x2 − 2x) − (y 2 − 6y) − 9 = 0 Kwadraat afsplitsen geeft: h : 3((x − 1)2 − 1) − ((y − 3)2 − 9) − 9 = 0 ⇒ h : 3(x − 1)2 − (y − 3)2 = 3 ⇒ 2 =1⇒ h : (x − 1)2 − (y−3) 3 2 2 2 γ =α +β =3+1=4 Translatie t(1, 3). Brandpunten F1 (−1, 3) ∧ F2 (3, 3) (b) Bepaal de vergelijkingen voor van h. √ √ √ de asymptoten 3x − y = 3 − 3 en h : βx + αy = βt + αt ⇒ 3x + y = h : βx − αy = βt − αt ⇒ 2 x y 1 x y √ 3+3 (c) De x-as snijdt de parabool in de punten K en L. De raaklijnen aan de parabool door K en L snijden elkaar in S. Slechts ´e´en van de punten K en L bepaalt een poollijn voor h. Noem dit punt K. De poollijn snijdt de hyperbool in de punten P en Q. Bepaal de oppervlakte van de vierhoek KSP Q. Snijpunten x-as: x2 − 6x = 0 ⇒ K(0, 0) ∧ L(6, 0). Raaklijnen: lK : −3x + 3y = 0 ⇒ y = x lL : (6 − 3)x + 3y = 18 ⇒ y = 6 − x Snijpunt: Los op x = 6 − x ⇒ S(3, 3) Poollijn t.o.v K: pK : −3x + 3y = 9 ⇒ y = x + 3. Snijpunten met hyperbool. Los op:3x2 − (x + 3)2 − 6x + 6(x + 3) − 9 = 0 ⇒ 3x2 − (x2 + 6x + 9) − 6x + 6x + 18 − 9 = 0 ⇒ 2x2 − 6x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 3 Snijpunten: Q(0, 3) ∧ P (3, 6). Vierhoek is parallellogram: O = basis · hoogte = 3 · 3 = 9 of meer algemeen O = −6 3 , |< >| 3 0 || = =9 2 2 8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.
47
Figuur 5: applets 3
4
k : x2 − y 2 = −1 3
2
P = (3, 3)
A
1 B
2
k:
x2
+
y2
P = (2, 1)
=4
1
−2
−1
−3 0
1
2
B
3
−2
−1
A
4
−2
−2
−3
−3
−4
3 2
3
P = (3, 3) 2
1
k : y 2 − 2x = 0 B
k : 0.25x2 + y 2 = 1
1
−2
B −2
3
hyperbool k : x2 − y 2 = −1 Open hyperbool.ggb
4
A
2
−1
−1
cirkel k : x2 + y 2 = 4 Open cirkel.ggb
1
0
−1
0
1
2
−1
0
1
2
3
4
−1 3
4
P = (−1, −1)
−1
−2
−2
−3
−3
−4
ellips k : 0.25x2 + y 2 = 1 Open ellips.ggb
A
parabool k : y 2 − 2x = 0 Open parabool.ggb
48
