KALKULUS 4 Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA.
SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS 4 - SILABUS 1. Deret Fourier 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
Fungsi Periodik Fungsi Genap dan Ganjil, Deret Trigonometri, Bentuk umum Deret Fourier, Kondisi Dirichlet, Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.
2. Integral Fourier 3. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta 3.1. 3.2. 3.3.
Fungsi Gamma Fungsi Beta Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta
4. Transformasi Laplace 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.
Definisi dan sifat Transformasi Laplace Invers dari transformasi Laplace Teorema Konvolusi Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D. dengan syarat batas.
1.1. FUNGSI PERIODIK
Fungsi f (x) adalah periodik dengan periode T > 0, jika berlaku f (x + T) = f (x) untuk semua harga x.
T
Fungsi Periodik dengan periode T.
1.1. Fungsi Periodik Contoh: Fungsi periodik yang cukup dikenal:
Fungsi Sinus
-π
π
T = 2π
1.1. Fungsi Periodik Contoh: Fungsi Cosinus Gambarkan grafik fungsi cosinus
1.1. Fungsi Periodik
Fungsi Cosinus
-π
π
T = 2π
1.1. Fungsi Periodik Contoh: f(x) = sin nx f(x) = tg x f(x) = c
2 f(x) = − 1
Periode: … Periode : … Periode : … , 0≤ x≤4
, -4< x < 0
,
Periode : .....
1.1. Fungsi Periodik Bila Fungsi f (x) adalah periodik dengan periode T > 0 dimana f (x + T) = f (x) …(1) Berdasarkan (1) f (x + 2T) = f ((x+T)+T) = f (x+T) = f (x) Dapat disimpulkan f (x+nT) = f (x)
1.1. Fungsi Periodik Contoh: Beberapa contoh fungsi periodik
T
T
T
T
1.1. Fungsi Periodik Latihan: Gambarkan diagram dari fungsi periodik berikut: , 0≤x≤5 3 1. f ( x ) = , Periode : 10 − 3 , - 5 < x < 0 sin x , 0 ≤ x ≤ π 2. f (x ) = , Periode : 2 π , -π< x < 0 0 x , 0 ≤ x ≤ 4 3. f ( x ) = , Periode : 4 4 , 4 < x < 8 x 2 , 0 ≤ x ≤ 5 4. f (x ) = , Periode : 1 0 25 , 5 < x < 10
1.2. FUNGSI GENAP DAN GANJIL
Fungsi f (x) adalah FUNGSI GENAP jika berlaku f (- x ) = f (x)
Fungsi f (x) adalah FUNGSI GANJIL jika berlaku f (- x ) = - f (x)
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil Contoh: Perhatikan fungsi f(x) = x jika x = a , maka f(a) = a jika x = -a , maka f(-a) = -a berarti f(-a) = - a = - f(a) ∴ Fungsi f(x) = x adalah fungsi ganjil.
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil Contoh: Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil f(x) = 2x . f(x) = x2 . f(x) = x + 2.
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil Latihan: Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil f(x) = x3 . f(x) = x4 . f(x) = 4x2 . f(x) = sin x. f(x) = cos x.
1.3. DERET TRIGONOMETRI Deret trigonometri
a 0 + a1 cos x + b1 sin x + ... + a n cos nx + bn sin nx + ... dapat dituliskan sebagai ∞
∞
n =1 ∞
n =1
a 0 + ∑ a n cos nx + ∑ b n sin nx = a 0 + ∑ (a n cos nx + b n sin nx ) n =1
di mana ai dan bi disebut sebagai koefisien.
1.3. Deret Trigonometri Deret Fourier adalah deret trigonometri ∞
∞
n =1 ∞
n =1
a 0 + ∑ a n cos nx + ∑ b n sin nx = a 0 + ∑ (a n cos nx + b n sin nx ) n =1
di mana koefisien ai dan bi memenuhi bentuk tertentu.
1.4. DERET FOURIER Misalkan, fungsi f(x) tertentu dalam interval (-L, L) dan di luar interval tersebut oleh f(x + 2L) = f(x). Periode dari fungsi tersebut adalah 2L. DERET FOURIER yang berkaitan dengan fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai …
1.4. Deret Fourier Deret Fourier:
dimana cos
1.4. Deret Fourier Untuk menentukan a0 1 a0 = L
L
∫ -L
0πx 1 f(x) cos dx = L L
L
∫ f(x)
cos 0 dx
-L
dengan demikian a0 dapat dinyatakan sebagai 1 a0 = L
L
∫ f(x) -L
dx
1.4. Deret Fourier Jika f(x) mempunyai periode 2L, maka koefisien Fourier an dan bn dapat ditentukan serupa menggunakan persamaan 1 = L
c + 2L
1 bn = L
c + 2L
an
∫ c
∫ c
nπx f(x) cos dx L nπx f(x) sin dx L
di mana c sembarang bilangan riil.
1.4. Deret Fourier Contoh: Gambar fungsi berikut dan berikan deret Fourier yang berkaitan dengan fungsi tersebut. 0 f (x ) = 5
, 0≤x≤4 , -4< x < 0
Jawab: Periode = 8
,
Periode : 8
2L = 8 L = 4
1.4. Deret Fourier Jawab: 0 f (x ) = 5
Periode = 8
, 0≤x≤4 , -4< x < 0
,
Periode : 8
2L = 8 L = 4. 5
-16
-12
-8
4
-4 0
8
12
16
X
1.4. Deret Fourier Jawab: 0 f (x ) = 5
, 0≤x≤4 , -4< x < 0
Periode = 8 Deret Fourier: a0 f (x) = + 2
∞
∑ n =1
,
Periode : 8
2L = 8 L = 4. nπx nπx a n cos + b n sin L L
1.4. Deret Fourier Jawab: Deret Fourier, dengan L = 4 a0 + f (x) = 2
∞
nπx nπx + b n sin a n cos 4 4
∑ n =1
dimana an
1 = 4
1 bn = 4
4
∫ -4 4
∫
-4
nπx f(x) cos dx 4 nπx f(x) sin dx 4
1.4. Deret Fourier Jawab: an
1 = 4 1 = 4 1 = 4
5 = 4
4
∫ -4
0
∫ -4
nπx f(x) cos dx 4 0
∫ -4 0
∫ -4
nπx nπx 5 cos dx + ∫ 0 cos dx 4 4 0 =0 nπx 5 cos dx 4 4
0
nπx 5 4 nπx cos dx = sin 4 4 nπ 4 −4
1.4. Deret Fourier Jawab: a = 5 4 sin n π x n 4 nπ
0
4 −4 0
5 nπx = sin nπ 4 −4 5 n π0 n π (-4) − sin = sin nπ 4 4 5 (sin 0 − sin (-n π) ) = nπ
5 5 (0 − sin (-n π) ) = (− sin (-n π) ) = nπ nπ
1.4. Deret Fourier Jawab:
5 (− sin (-n π) ) an = nπ
oleh karena
sin (- nπ) = - sin (n π)
5 maka a n = sin (n π) nπ untuk sembarang n,
sin nπ = 0
5 jadi a n = 0=0 nπ
a 1 = a 2 = a 2 = ... = 0
1.4. Deret Fourier Jawab:
1 a0 = L
a0
1 = 4
L
∫ f(x)
dx
-L 4
∫ f(x)
dx
-4
0 4 0 1 1 ∫ 5 dx + ∫ 0 dx = ∫ 5 dx = 4 4 - 4 0 -4
1 5 5 0 (5 x )-4 = (0 − ( −4) ) = ( 4) = 4 4 4
jadi a 0 = 5
1.4. Deret Fourier Jawab: 1 bn = 4 1 = 4 1 = 4 5 = 4
4
∫ -4
0
∫ -4
nπx f(x) sin dx 4 0
∫ -4 0
∫
-4
nπx nπx 5 sin dx + ∫ 0 sin dx 4 4 0 nπx 5 sin dx 4 4
0
nπx 5 4 n π x sin dx = - cos 4 4 nπ 4 −4
1.4. Deret Fourier Jawab:
0
4 n π x - cos 4 −4 nπ 0 5 nπx = - cos nπ 4 −4
5 bn = 4
5 = nπ
n π0 n π (-4) - cos − - cos 4 4
5 (- cos 0 + cos (-n π) ) = nπ
5 = nπ
( −1
+ cos (-n π) )
1.4. Deret Fourier Jawab:
5 bn = nπ
( −1
+ cos (-n π) )
oleh karena
cos (- nπ) = cos (n π) 5 ( − 1 + cos (n π) ) maka b n = nπ bila n genap, cos nπ = 1 bila n ganjil, cos nπ = ( −1)
jadi b n = 0, untuk n genap - 10 dan b n = , untuk n ganjil nπ - 10 - 10 b 2 = b 4 = b 6 = ... = 0 ; b1 = , b3 = ,... π 3π
1.4. Deret Fourier Jawab: Jadi, deret Fourier dari fungsi 0 f (x ) = 5
, 0≤x≤4 , -4< x < 0
,
Periode : 8
adalah 5 f (x) = + 2
∞
∑ n =1
5 n πx (-1 + cos nπ) sin nπ 4
1.4. Deret Fourier Latihan: Tentukan deret Fourier dari fungsi berikut: , 0≤x≤5 3 1. f ( x ) = , Periode : 10 − 3 , - 5 < x < 0 sin x , 0 ≤ x ≤ π , Periode : 2 π 2. f (x ) = , -π< x < 0 0 x , 0 ≤ x ≤ 4 3. f ( x ) = , Periode : 4 4 , 4 < x < 8 x 2 , 0 ≤ x ≤ 5 4. f (x ) = , Periode : 1 0 25 , 5 < x < 10
