Kalandtúra 7. Matematika-tankönyv 7. osztályos tanulók számára

Kalandtúra 7.

Matematika-tankönyv 7. osztályos tanulók számára

Makara Ágnes, Bankáné Mező Katalin, Vépy-Benyhe Judit, Argayné Magyar Bernadette

kalandtura_7_TK_0-1_fejezet_utolso_korr_3.indd 1

2012.08.15. 12:30:54

KALANDTÚRA 7. Matematika-tankönyv 7. osztályos tanulók számára Szerzők: Makara Ágnes, Bankáné Mező Katalin, Vépy-Benyhe Judit, Argayné Magyar Bernadette Lektorok: Berkes Klára, Nagyné Ardai Éva Vezető szerkesztő: Barna Beáta Szerkesztő: Cséplő Noémi Tördelés: Vareg Produkció (www.vareg.hu) Kiadásért felelős: Tomaž Racic Fényképek, illusztrációk: Dani László Attila, Makara Ágnes, Cséplő Ildikó, Vépy-Benyhe Judit, Bankáné Mező Katalin, Argayné Magyar Bernadette, Wikimedia Commons (http://commons.wikimedia.org), Miha Macek, Dela, Vasja Kožuh, Rok Kvaternik, NASA, Založbe Rokus-Klett archívum A kiadvány megfelel a 17/2004 (V. 20.) OM rendelet 3. számú melléklet Kerettantervének ...........-étől tankönyvvé nyilvánítási engedélyt kapott a .......................................... számú határozattal. A tankönyv megfelel a NAT követelményeinek. A tankkönyvvé nyilvánítási eljárásban kirendelt szakértők neve: ... ... ... 1. kiadás K4321/2015 2014 2013 2012 Kiadói azonosító: RK-5258-02-2 © Klett Kiadó Kft., Budapest, 2012. Minden jog fenntartva! 1116 Budapest, Temesvár utca 20. Tel.: 06 1 486 1771 E-mail: [email protected] www.klett.hu

ISBN 978-615-5258-02-2 A könyv tömege: 733 gramm Terjedelme: 37,9 ív Nem tartós tankönyv

Köszönetnyilvánítás A Klett Kiadó ezúton mond köszönetet az alább felsoroltaknak, akik részvételükkel, tanácsaikkal és véleményükkel segítséget nyújtottak a tankönyv és a munkafüzet összeállításában: Szűcs István, Abtalné Kótner Tünde, Ondecs Ferencné, Kriston Zoltán, Zilahiné Krausz Rita, Antal Lajosné, Derzsi József, Csányi Molnár Erika, Horváthné Nagy Mária, Keresztesné Katona Mária, Pámer Mátyás, Agócsné Horváth Andrea, Szőllősy Éva, Czékus Marianna, Sándorné Nagy Vera, Kerepesi Kovács Mónika, Juhász Anna, Horváthné Nagy Erzsébet, Petőházi Gabriella, Kiss Gáborné, Fekete Tamás, Tóthné Siger Klára, Zámbóné Rakóczi Anikó,Számel Erika, Bódiné Bakos Katalin, Alberti Gabriella, Petikné Dénes Valéria, Kovács Anita, Szilmicsek Erzsébet, Walzer Gábor, Borsa Jolán, Páncélné Kovács Ágnes, Aranyos Judit, Dudás Béláné, Lévainé Kovács Róza, Palotás Zoltán, Springelné Szabó Erzsébet,Tóth Mariann

Szlovén nyelvű kiadás Skrivnosti števil in oblik 8 Ucbenik za matematiko v 8 razredu osnovne šole © Založba Rokus Klett d.o.o., Ljubljana, 2010 Szerzők: Jože Berk, Jana Darksler, Marjana Robic Illusztrációk: Iztok Sitar Képregény: Vasja Kožuh, Iztok Sitar


2012.08.15. 12:30:54

ELŐSZÓ Van-e még valami új, amit megtanulhatsz? Sok mindent megtanultál már eddig matematikából. Műveleteket tudsz végezni a racionális számkörben, hatványozni tudod a természetes számokat. Megismertél és használsz oszthatósági szabályokat, ábrázolni tudod az egymással összefüggő mennyiségeket, kördiagramot készítesz. Már nem titok számodra a százalékszámítás, a tengelyes tükrözés és a tengelyes szimmetria. A képregények és a matematikatörténeti érdekességek megmutatták, hogy amit tanulsz, azt sok ember, hosszú idő alatt gondolta ki. Ebben a tanévben is van még mit tanulnod! Anna és Bence is végigjárja veled ezt az utat. A tankönyv szerkezete, jelölései megegyeznek az előző két évfolyam matematika-tankönyvével. Van benne képregény, matematikatörténet, bevezető feladatok, magyarázatok és gyakorlófeladatok. Tudásmérő feladatsorok segítségével magad is lemérheted, hogy mennyire sikerült elsajátítanod az új ismereteket. A tankönyv végén pedig megtalálod a Tudástárat a legfontosabb tudnivalókkal. Vágj bele! Sok sikert kívánunk a tanuláshoz!

Pi-vers A szerzők és a Klett Kiadó

(3,141 592 653 58...) 31 4 1 5 Itt a mező a határ, 9 2 6 5 Sárgállnak és dőlnek búzák,

Pi-vers

(3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 …) 3 1 4 1 5 9 Nem a régi s durva közelítés, 2 6 5 3 5 Mi szótól szóig így kijön 8 9 Betűiket számlálva. 7 9 3 Ludolph eredménye már, 2 3 8 4 6 Ha itt végezzük húsz jegyen. 2 6 4 3 3 8 De rendre kijő még tíz pontosan, 3 2 7 9 Azt is bízvást ígérhetem.

Szász Pál (1901–1978) magyar matematikus, egyetemi tanár


3 5 8 Kis virág piroslik. (Sallay István: Játékgyűjtemény)

Téli pi-vers

(3,141 592 653 589 793 238 462 6...) 3 1 4 Fúj a szél, 1 5 9 2 6 a hideg csontomig ér, nagyon 5 3 5 8 fázik kis cicám, kutyusom. 9 7 9 Dideregve elbújik hótakarók 3 2 3 8 alá az élő anyaföld. 4 6 2 6 Nézi, közelg az éledés? (Makara Ágnes)

3

2012.08.15. 12:30:54

TARTALOMJEGYZÉK BEMELEGÍTŐ GONDOLKODÁS

1. Szórakoztató feladványok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Észtorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL

7 15

1. Racionális számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Racionális számok összeadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Racionális számok kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4. Racionális számok szorzása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5. Racionális számok osztása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6. Zárójelek használata, zárójelfelbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7. A hatványozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8. A hatványozás tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9. Számok normálalakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

SZÖGEK ÉS SOKSZÖGEK

45

1. Szögpárok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2. Szögek szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. Háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4. Háromszögek belső szögeinek összege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5. Háromszögek külső szögeinek összege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6. Háromszögek szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7. Háromszögek egybevágósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8. Négyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 9. Négyszögek belső és külső szögeinek összege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10. Sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

OSZTHATÓSÁG, PRÍMSZÁMOK

1. Az oszthatóság szabályai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2. Osztási maradékok vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3. Oszthatóság 3-mal, 6-tal, 9-cel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4. Számok osztói . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5. Összetett számok, prímszámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6. Prímszámok keresése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7. Összetett számok prímtényezős felbontása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8. A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9. Összetett számok előállítása prímtényezők szorzataként . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

SÍKBELI ALAKZATOK KERÜLETE, TERÜLETE

4

113

1. A háromszög magasságvonala, magassága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2. A háromszög területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3. A sokszög kerülete, területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4. A kör kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5. A kör területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

ALGEBRA

85

133

1. Összefüggések leírása a matematika nyelvén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2. Műveletek tulajdonságai, zárójelek használata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3. Egynemű algebrai kifejezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4. Algebrai kifejezések helyettesítési értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5. Egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6. Egyenlőtlenségek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7. Szöveges feladatok megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


2012.08.15. 12:30:54

TARTALOMJEGYZÉK ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉK

1. Arány . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2. Aránypár . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3. Arányos osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4. Egyenes arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5. Fordított arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6. Százalékszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS

197

1. Hozzárendelések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 2. Hozzárendelések fajtái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3. Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4. Lineáris függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5. Sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6. A számtani sorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

HASÁBOK, HENGEREK 7.

179

1. A középpontos tükrözés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 2. A középpontos tükrözés tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3. Középpontos szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4. Térbeli alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK

159

219

1. Hasábok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 2. Hasábok élváza és testhálója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 3. Az egyenes hasáb felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4. Hengerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5. Az egyenes körhenger felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6. Az egyenes hasáb térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Az egyenes körhenger térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Anna és Bence próbára teszi tudását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

STATISZTIKA, ESÉLYEK 241

1. Adatok gyűjtése, ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 2. A számtani átlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 3. Minek nagyobb az esélye? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

ANNA ÉS BENCE A CÉLBAN IS PRÓBÁRA TESZI TUDÁSÁT

259

TUDÁSTÁR

261

mellékletek

271

5


2012.08.15. 12:30:54

JELÖLÉSEK KÉPMAGYARÁZATOK

MINTAFELADATOK

GYAKORLÓFELADATOK

EMLÉKEZTETŐ

FIGYELEM!

MEGJEGYZÉS

MEGHATÁROZÁSOK ÉS SZABÁLYOK

FEJEZETEK FELÉPÍTÉSE KÉPREGÉNY

RÉGEN ÉS MOST

MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL MI AZ A NAGYON FONTOS, AMIÉRT IDECIBÁLTÁL A PADLÁSRA?

TALÁLTAM EGY NAGYON ÉRDEKES, RÉGI KÖNYVET.

NAHÁT! EZ TÉNYLEG JÓ RÉGI!

NÉZZ CSAK BELE! ÉRDEKES FELADVÁNYOKAT LÁTTAM BENNE!

ALFEJEZETEK

FELMÉRŐ FELADATSOR

RÉGEN RÉGEN RÉGEN ÉSRÉGEN ÉS MOST ÉS MOST ÉS MOST MOST ANNA ÉS BENCE PRÓBÁRA TESZI TUDÁSÁT

RÉGEN ÉS MOST

Elérhető pontszám: 70

4 pont

A MINDENIT! TÉNYLEG TELE VAN FURFANGOS ÉS NEHÉZ FEJTÖRÔKKEL!

1. Állítsd növekvő sorba a következő számokat!

J = -8; = a 4,2 ellentettje; T = +12; Á = a 6 abszolút értéke; A negatív Aszámokkal negatívAÓ számokkal negatív való számolás Aszámokkal negatív való számolás első számokkal való nyomait számolás elsővaló anyomait számolás első anyomait első anyomait a 3 reciprok értéke; a Kr. legkisebb természetes U=- ; Kkínai = a 2matematikában kínai matematikában kínaitaláljuk matematikában kínai Kr. találjuk matematikában e.N a=2. században, találjuk e. a 2.Kr. században, találjuk e. a 2.Kr. században, e.szám; a 2. században, 5 3 amikor aMnegatív amikor aszámok negatív amikor az anegatív számok negatív amikor adósságot az aszámok negatív adósságot szimbolizálták, azszámok adósságot szimbolizálták, az adósságot szimbolizálták, szimbolizálták, = a legnagyobb egész szám a pozitív számok a pozitívpedig számok a pozitív a tulajdont. pedig számok a pozitív a tulajdont. Apedig számok számokat a tulajdont. Apedig számokat pálcia tulajdont. A számokat pálci- A számokat pálcipálcikákkal ábrázolták, kákkal ábrázolták, akákkal pozitív ábrázolták, számok akákkal pozitív ábrázolták, pirosak, számok a pozitív apirosak, negatív számok a pozitív apirosak, negatív számokapirosak, negatív a negatív 13 pont 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! számok a) pedig számok feketék pedig számok pedig számok voltak. feketék pedigvoltak. feketék 1,6150 + (-3)voltak. =feketék b) (-48,04) · (-3,2)voltak. = c) 109,02 : 3,1 =

A negatív számokkal való számolás első nyomait a kínai matematikában találjuk Kr. e. a 2. században, amikor a negatív számok az adósságot szimbolizálták, a pozitív számok pedig a tulajdont. A számokat pálcikákkal ábrázolták, a pozitív számok pirosak, a negatív számok pedig feketék voltak.

(

)

d) 1 + 0,8 : 13 = 2

NÉZD CSAK EZT A HAJÓS FELADVÁNYT!

JAJ! MEGMOZDULT A KÉP!

A számfogalom csak fokozatosan, a matematikai műveletekkel együtt fejlődött ki. Kezdetben csak az egy, kettő és kettőnél több („sok”) megkülönböztetése alakult ki. Eukleidész volt a történelem során az első ismert tudós, aki definíciót, meghatározást adott a természetes számokra.

„A SZELLEMHAJÓ LÁTHATÓVÁ VÁLIK, HA A REJTÉLY MEGOLDÓDIK!”

ÁÁÁÁÁ! NEM BÍROM ELENGEDNI A KÖNYVET!

SEGÍTSÉG!

2

3

4

5

6

7

8

MI AZ AZ ARGÓ? HOGY LEHET FENN EGY HAJÓ? TALÁN EGY CSILLAGKÉP?

e) -

( )=

3 + 4 · 3 4 4 7

A 17. században René Descartes határozta meg a negatív számok tudományos fogalmát. Ám még akkor sem osztottak, illetve szoroztak ezekkel a számokkal. Csak 200 évvel később, a 19. század elején – sok vitát követően – váltak ezek a számok egyenrangúvá a többivel.

()

SEGÍTSÉG!

)( )

()

()

12 pont

7. Bontsd fel a zárójeleket, majd végezd el a műveleteket! a) 14,5 – (6,128 + 3,42) b) 187 + (36 – 42,7) c) 3 + 4 · 6 d) 12 · (62,4 – 12,3) 5 8

4 pont

8. Oldd meg az egyenleteket!

(

)

BabilóniaiBabilóniai matematika Babilóniai matematika alattBabilóniai azt matematika alatt a rendszert azt matematika alatt a rendszert értjük, azt alatt amelyet rendszert értjük, aztMezopotámiában amelyet rendszert értjük, Mezopotámiában melyet értjük, (mai Mezopotámiában melyet Irak terüle(mai Mezopotámiában (mai Irak terüle(mai Irak terüle10 terüle5 Irak a) a – 6,49 = 0,365 b) (65,4 + b) · = te) használtak te) használtak a korai te) használtak suméroktól a korai te) használtak suméroktól aa korai hellenisztikus suméroktól aa korai hellenisztikus suméroktól kora kezdetéig. hellenisztikus kora kezdetéig. hellenisztikus kor kezdetéig. kor kezdetéig. 6 24 A sumérok A asumérok kissé A különleges, asumérok kissé A különleges, asumérok 10-es, kissé különleges, 12-es a10-es, kissééskülönleges, 12-es 60-as 10-es, és alapú 12-es 60-as 10-es, számrendszerek és alapú 12-es 60-as számrendszerek és alapú 60-as kombinációját számrendszerek alapúkombinációját számrendszerek kombinációját kombinációját 4 pont 9. Végezd el a mértékváltásokat! Használd a 10 hatványokat! használták. használták. Innen ered használták. Innen a maiered használták. időmérésben Innen a maiered időmérésben Innen aaz, mai hogy ered időmérésben 1 aaz, mai perc hogy időmérésben egyenlő 1az,perc hogy 60 egyenlő 1másodperccel, az,perc hogy 60 egyenlő 1másodperccel, perc60 1egyenlő óra másodperccel, 60 1 óra másodperccel, 1 óra 1 óra a) 34,1 km = __________ dm b) 0,00065 l = ____________ ml egyenlő 60 egyenlő perccel 60 egyenlő ésperccel az, hogy 60 egyenlő ésperccel aaz, teljesszög hogy 60ésperccel aaz, teljesszög 360°. hogy ésc)aaz, teljesszög 360°. hogy teljesszög 360°. 360°. 984 g = a____________ kg d) 658000 m2 = ___________ dm2 A babiloniak A babiloniak valódi Ahelyiértékes babiloniak valódi Ahelyiértékes babiloniak valódi rendszert helyiértékes valódi rendszert használtak, helyiértékes rendszert használtak, ahol rendszert a használtak, balahol oszlopba a használtak, balahol oszlopba írt számjegyek a balahol oszlopba írt számjegyek a bal oszlopba írt számjegyek írt számjegyek nagyobb értéket nagyobbképviseltek értéket nagyobbképviseltek értéket nagyobb – a tízes képviseltek értéket –számrendszerhez a tízes képviseltek –számrendszerhez a tízes hasonlóan. –számrendszerhez a tízes hasonlóan. számrendszerhez De nem hasonlóan. használták De nemszámold hasonlóan. használták De a nemki!használták De a nem használták a a 9 pont 10. Írd le a matematika nyelvén, majd a)gyakran 65aés 24agyakran összegének a 4,2-szerese; b) 658-nak és a 15kikövetkeztetni. és (-7) összegének a hányadosa; tizedesvessző tizedesvessző megfelelőjét, tizedesvessző megfelelőjét, tizedesvessző ezértmegfelelőjét, a helyi ezért értéket megfelelőjét, a helyi ezért értéket helyi ezért szövegből értéket a helyiagyakran szövegből értéket kellett akikövetkeztetni. gyakran szövegből kellettakikövetkeztetni. szövegből kellett kikövetkeztetni. kellett c) (-124) és a (-46) összegének és különbségének a szorzata.

HA IGEN, AKKOR VAJON HOL LEHET A SOK MILLIÁRD CSILLAG KÖZÖTT?

Anna és Bence tündököl 63 – 70 pont

Negatív számokkal a hőmérséklet mérésénél is találkozhatunk. A Celsius skálán az olvadó jég hőmérséklete jelenti a 0 °C értéket. A 0 °C alatti hőmérséklet kimutatására negatív értékeket használunk. A Kelvin-skálán negatív értékek nincsenek, kiindulópontként (0 K) a lehető legalacsonyabb űrhőmérsékletet határozták meg (ez az abszolút nulla fok), amely 273 fokkal van a fagypont alatt (-273 °C).

16

(

4 8 ·7 : f) 4 1 – = 5 12 15

2

A számfogalom A számfogalom csak A számfogalom fokozacsak A számfogalom fokozacsak fokozafokoza1 csak 3 2 4 1 3írd 25 1 36 25 47 36 5 47 69 58 7 szorzatalakba! 69 8 7 9 8Számold 9 ki 3. 2A 1 szorzatokat át 4 hatványalakba, a8hatványokat 6 pont tosan, a matematikai tosan, a matematikai tosan, művelea matematikai tosan, művelea matematikai művele-a hatványértékeket! művele4 4 tekkel együtt tekkelfejlődött együtt tekkelfejlődött ki. együtt tekkelfejlődött ki. együtt fejlődött ki. a) 5 ki. ·5·5·5 b) (-3)4 c) 2,41 d) 0,340 e) (-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) f) · 7 7 Kezdetben Kezdetben csak azKezdetben egy, csakkettő azKezdetben egy, csakkettő az egy, csakkettő az egy, kettő 4. Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelelő reláció jelet! 6 pont és kettőnél és kettőnél több („sok”) és kettőnél többmeg(„sok”) és kettőnél többmeg(„sok”) többmeg(„sok”) meg3 3 4 4 2 különböztetése különböztetése alakult különböztetése ki.alakult különböztetése ki.alakult ki.alakult ki. A 17. században René A(6 17. Descartes René A 17. Descartes században Descartes c) 0,01  0,0012 · 5)században b)René (-2) Descartes 2 a)A617. · 5 században  René Eukleidész Eukleidész volt a Eukleidész történelem volt a Eukleidész történelem volt a történelem volt a történelem határozta határozta meg a negatív határozta meg aszámok negatív határozta meg aszámok negatív meg a számok negatív számok 3 6 8 23 14 14 (-1)fogalmát. -1fogalmát. e) 2 fogalmát. f) 1  1 során az során első ismert az során elsőtudós, ismert az során elsőtudós, ismert az elsőtudós, ismertd)tudós, tudományos tudományos tudományos tudományos fogalmát. 3  3 3 3 aki definíciót, aki definíciót, meghatároaki definíciót, meghatároaki definíciót, meghatáromeghatároÁm még akkor Ám még semakkor Ám osztottak, még semakkor Ám osztottak, még semakkor osztottak, sem osztottak, 6 pont 5. Írd át a következő számokat normálalakba! zást adott zást a természetes adott zást a természetes adott zást a természetes adott ailletve természetes szoroztak illetve szoroztak ezekkel illetve szoroztak a ezekkel száilletve szoroztak a ezekkel szá- a ezekkel szá- a szá125 000 b) 42 millió c) 654,012 d) 8 e) 1,48 f) 6004000000 számokra. számokra. számokra. számokra. mokkal. a) Csak mokkal. 200Csak mokkal. évvel200 később, Csak mokkal. évvel200 később, Csak évvel200 később, évvel később, a 19. a 19.elején század 19. – sok elején század atéglatestnek 19. – sok elején század vitát – sok vitát – sok 6 pont 6. század Számítsd kiaannak avitát aelején felszínét ésvitát térfogatát, amelynek egy csúcsba követően követően – váltak követően ezek – váltak a számok követően ezek – váltak a3 számok ezek – váltak a számok ezek a számok futó élei: 324 cm; 5 m és m! egyenrangúvá egyenrangúvá a többivel. egyenrangúvá a többivel. egyenrangúvá a4 többivel.a többivel.

9

Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük, melyet Mezopotámiában (mai Irak területe) használtak a korai suméroktól a hellenisztikus kor kezdetéig. A sumérok a kissé különleges, 10-es, 12-es és 60-as alapú számrendszerek kombinációját használták. Innen ered a mai időmérésben az, hogy 1 perc egyenlő 60 másodperccel, 1 óra egyenlő 60 perccel és az, hogy a teljesszög 360°. A babiloniak valódi helyiértékes rendszert használtak, ahol a bal oszlopba írt számjegyek nagyobb értéket képviseltek – a tízes számrendszerhez hasonlóan. De nem használták a tizedesvessző megfelelőjét, ezért a helyi értéket gyakran a szövegből kellett kikövetkeztetni.

VAJON NEKÜNK KELL MEGFEJTENI A REJTÉLYT?

A KÖNYVBELI HAJÓRA KERÜLTÜNK...

1

16

Anna és Bence a csúcs felé halad 56 – 62 pont

Negatív számokkal Negatív számokkal aNegatív hőmérséklet számokkal aNegatív hőmérséklet mérésénél számokkal a hőmérséklet mérésénél is találkozhatunk. a hőmérséklet mérésénél is találkozhatunk. A mérésénél isCelsius találkozhatunk. Askálán isCelsius találkozhatunk. azAskálán olvadó Celsius az jégAskálán olvadó Celsius az jégskálán olvadó az jégolvadó jég hőmérséklete hőmérséklete jelentihőmérséklete a 0jelenti °C értéket. hőmérséklete a 0jelenti °CAértéket. 0 a°C0alatti jelenti °CAértéket. 0hőmérséklet a°C0alatti °CAértéket. 0hőmérséklet °C kimutatására alatti A 0hőmérséklet °C kimutatására alattinegatív hőmérséklet kimutatására értékeket negatív kimutatására értékeket negatív értékeket negatív értékeket használunk. használunk. használunk. használunk. Anna és Bence jó úton halad Anna és Bence többet gyakorol A Kelvin-skálán A Kelvin-skálán negatív A Kelvin-skálán értékek negatív A Kelvin-skálán nincsenek, értékek negatívnincsenek, kiindulópontként értékek negatívnincsenek, kiindulópontként értékek kiindulópontként 42 –nincsenek, 55 pont kiindulópontként 35 – 41 pont (0 K) a lehető (0 K)legalacsonyabb a lehető (0 K)legalacsonyabb a lehető (0 űrhőmérsékletet K)legalacsonyabb a lehető űrhőmérsékletet legalacsonyabb határozűrhőmérsékletet határozűrhőmérsékletet határoz- határozták meg (ez tákazmeg abszolút (ez tákazmeg nulla abszolút (ez ták fok), azmeg nulla amely abszolút (ez fok), 273 az nulla amely abszolút fok-fok), 273 nulla amely fok-fok), 273 amely fok- 273 fokAnna és Bence segítséget kér kal van a fagypont kal van a fagypont alatt kal van (-273 a fagypont alatt kal°C). van (-273 a fagypont alatt °C).(-273 alatt °C).(-273 °C). kevesebb mint 35 pont 16 16 16 44

ALFEJEZETEK FELÉPÍTÉSE AMIT MEGTANULSZ TÖRTÉNET

KÉPEK

8. A HATVÁNYOZÁS TULAJDONSÁGAI

MINTAFELADATOK

GYAKORLÓEZT IS MEG FELADATOK TUDOM OLDANI A HATVÁNYOZÁS

RACIONÁLIS SZÁMOK

Megtanulod, hogy – hogyan kell hatványozni a racionális számokat, – milyen tulajdonságai vannak a hatványozásnak.

GONDOLKOZZ!

Mennyit ér a pénzük négy év múlva?

Az évi 8%-os kamat azt jelenti, hogy egy év múlva a pénzük már 8%-kal többet ér. Ha az eredeti összeget 100%-nak tekintjük, akkor a kamattal növelt összeg 100% + 8% = 108%-nak felel meg. Az első év végére a 108%-át kapnák meg a pénzüknek: 1500 · 1,08; MEGJEGYZÉS a második év végére 1500 · 1,08 · 1,08; A hatványozás alapja nem a harmadik év végére 1500 · 1,08 · 1,08 · 1,08; csak természetes szám a negyedik év végére 1500 · 1,08 · 1,08 · 1,08 · 1,08 forintot ér a pénzük, lehet! Bármilyen racionális azaz ha itt is alkalmazzuk a rövidített írásmódot: 1500 · 1,084 euró. szám önmagával való szorzásakor alkalmazhatjuk 1500 · 1,084 ≈ 1500 · 1,360489 ≈ 2040,7335 a hatványozást. Tehát a 4. év végére az 1500 € már majdnem 2041 eurót ér.

Számológép használata hatványozásnál

Pl.: Egy online elérhető tudományos számológép vagy egy megvásárolható, iskolában is használható készülék:

xy vagy yx jelöli a hatványozást

Megoldás: A zárójelben lévő műveletek elvégzése után (ahol van ilyen) a hatványozást kell elvégezni, majd a szorzás, illetve az osztás következik, és végül az összeadások, kivonások. a) 12 + 33 – 504 : 9 = 12 + 27 – 504 : 9 = 12 + 27 – 56 = 39 – 56 = -17 Az eredmény: -17 b) 45 – (12 + 5 · 6) · 23 = 45 – (12 + 5 · 6) · 8 = = 45 – (12 + 30) · 8 = 45 – 42 · 8 = 45 – 336 = -291 Az eredmény: -291

47 : 44 =

38

4·4·4·4·4·4·4 = 47 – 4 = 43 4·4·4·4


1 = 1; 3 3

3 = 3; 1 FIGYELEM! A nevező nem lehet nulla! Nullával nem lehet osztani!

Figyeld meg, hogy a kapott számok közül csak az 1 törtszám, a többi valójában egész szám! 3

Megoldás: a) -4 + 4 = 0

6 + (-6) = 0

GYAKORLÓFELADATOK

EMLÉKEZTETŐ Két különböző előjelű szám egymás ellentettje, ha a 0-tól való távolságuk a számegyenesen megegyezik.

a + (-a) = 0

-9 + 9 = 0

Azonos alapú hatványok szorzata

-9

Azonos alapú hatványok hányadosa

Azonos alapú hatványok osztásánál előfordulhat, hogy az osztó nagyobb, mint az osztandó. Pl.: 34 : 36 Hogyan gondolkozzunk? 3·3·3·3 34 : 36 = , 3·3·3·3·3·3 4 3·3·3·3 = 1 végezzük el az egyszerűsítést az előbbi módon: 36 = 3·3·3·3·3·3 3 32

6

0 = 0; 3

-6

-4

0

+4

+6

+9

Az összetartozó számok 0-tól való távolsága a számegyenesen megegyezik, azaz egy számnak és az ellentettjének az abszolút értéke megegyezik. Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy az azonos alapot a kitevők különbségére emeljük. ab : ac = ab – c

1024 = 210

b) 0 = 0; 1

1. Írd le a következő szorzatokat hatványalakban! a) 5 · 5 · 5 · 5 b) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 c) 3 · 3 · 3 d) 0 · 0 · 0 · 0 · 0 e) 6 f) f · f · f · f · f

b) Könnyebben válaszolhatunk a kérdésre, ha számegyenesen ábrázoljuk a számokat: Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy az azonos alapot a kitevők összegére emeljük. ab · ac = ab + c

1024

512 = 29;

Megoldás: a) Először nézzük az egyjegyű számokat: 0; 1; 3 Kétjegyűek: 10; 13; 30; 31 Figyelj! Nulla nem állhat a tízesek helyén! Háromjegyűek: 103; 130; 301; 310 Figyelj! Nulla nem állhat a százasok helyén!

(2) Írd fel hatványalakban a következő hányadost: 47 : 44! Megoldás: Most is alkalmazzuk a definíciót, és írjuk át szorzat alakba! Az osztás helyett írjunk tört vonalat! Végezzük el a lehetséges egyszerűsítést!

a) Csak természetes számokat képezz! b) Tört alakú számokat képezz!

3

Az összeg minden esetben nulla. Ezek a számok egymás ellentettjei.

A hatványozás azonosságai Megoldás: Alkalmazzuk a hatványozás értelmezését! 32 = 3 ∙ 3 34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 32 ∙ 34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 32+4 = 36

1

256 = 28;

4. Számold ki a következő műveletsorok eredményét! a) 12 + 33 – 504 : 9 = b) 45 – (12 + 5 · 6) · 23

2. Válaszolj a számpárokra vonatkozó kérdésekre! (-4; 4) (6; -6) (-9; 9) (a; -a) a) Mennyi az egyes számpárokban a számok összege? b) Mekkora az összetartozó számok 0-tól való távolsága a számegyenesen?

Hatványozásnál, ha az alap tizedes tört, az írásbeli műveletvégzés sokszor hosszadalmas lehet. Ilyenkor érdemes igénybe venni a számológép segítségét! A számológépek sokfélék lehetnek. Az egyszerűbbeknél a hatványozást csak ismételt tényezőjű szorzásként tudod elvégezni. A kalkulátorokon azonban már találhatsz hatványozás funkciót is.

(1) Írd fel hatványalakban a következő szorzatot: 32 ∙ 34 !

Megoldás: 64 = 26; 128 = 27;

1. Képezz különböző számokat a következő számkártyákkal! Egy számot csak egyszer használj!

0

GONDOLKOZZ!

3. Írd fel a következő számokat 2 hatványaként! 64; 128; 256; 512;

MINTAFELADATOK

Anna szülei betettek az egyik bankba 1500 €-t. A bank ajánlatában az állt, hogy évi 8% kamatot fizetnek.

3. Írd fel törtként a következő hányadosokat! a) 32 : 8 = b) 65 : 12 = Megoldás: a) 32 : 8 = 32 = 4 8 . 65 = 5,416 12 . c) 15 : 27 = 15 = 5 = 0,5 9 27 b) 65 : 12 =

MEGHATÁROZÁSOK ÉS SZABÁLYOK

2. Írd a hatványokat szorzatalakban! a) 25 b) 73 c) 92 e) 2451 f) 630 d) 122

EMLÉKEZTETŐ Egy szám abszolút értéke azt mutatja meg, hogy a számegyenesen hány egységre van a 0-tól. Az abszolút érték mindig pozitív, kivétel a nulla. A 0 abszolút értéke 0, vagyis önmaga. Az abszolút érték jelölése: pl. |-2| = 2

3. Számold ki! Használhatod a mellékletben található hatványtáblázatot! a) 28 b) 65 c) 39 d) 76 4. Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelelő relációs jelet! a) 34 vagy 43 b) 24 vagy 42 vagy 1002 c) 105 d) 92 vagy 43

c) 15 : 27 =

EMLÉKEZTETŐ A végtelen szakaszos tizedes tört jelölése: Ha egyetlen számjegy ismétlődik, akkor az elsőként előforduló ismétlődő számjegy fölé teszünk egy pontot.

5. Határozd meg az ismeretlenek értékét! b) 5b = 125 a) 2a = 32 c) c4 = 16 d) d2 = 81

Ha egy számjegyekből álló szakasz ismétlődik, akkor az elsőként előforduló ismétlődő szakasz első és utolsó számjegye fölé teszünk egy-egy pontot.

6. Írd fel a számokat hatványként! a) 36 b) 49 c) 125 d) 32 e) 8 f) 27

19

MEGJEGYZÉSEK, FIGYELMEZTETÉSEK, EMLÉKEZTETŐK

FIGYELEM! Ha a műveletek között van hatványozás is, akkor a zárójeles műveletek elvégzése után a hatványozás következik!

MEGJEGYZÉS A tankönyv végén, az 1. és 2. számú mellékletben találsz egy hatvány- és egy négyzetszámtáblázatot, melyet igénybe vehetsz a feladatok megoldása során.

EZT IS MEG TUDOM OLDANI 7. Figyeld meg a tanköny 1. számú mellékletében szereplő hatványtáblázatban az egyes számok hatványainak utolsó számjegyeit! Milyen számra végződnek a következő hatványok? a) 312 b) 5100 c) 342 d) 915 1. SZÁMÚ MELLÉKLET

8. Végezd el a műveleteket! b) (65 – 34) · 13 a) 65 + 32 · 23 c) (12 – 9)5 – 8 d) 6 – 2 · 82 9. Petra szülei új gázkonvektort szeretnének venni a szobájukba. A szoba szélessége, hossza és magassága is 4 m. Az üzletben a következő típusokat találták: I. konvektor: a fűthető légtér: 80–140 m3; II. konvektor: a fűthető légtér: 45–100 m3; III. konvektor: a fűthető légtér: 40–60 m3? 10. Állítsd növekvő sorba a következő hatványokat! a) 24; 34; 14; 64; 04; 94 b) 32; 34; 115; 320; 92; 631 11. Folytasd a sorozatokat 3-3 elemmel! a) 72; 75; 78; ___; ___; ___; b) 6; 216; 7776; ___; ___; ___;

37

MELLÉKLET HIVATKOZÁS

2012.08.15. 12:31:03

BEMELEGÍTŐ GONDOLKODÁS JÓ, HOGY MÉG NINCS ITT SENKI! HOZTAM NÉHÁNY ÉRDEKES FELADATOT A NYÁRI ÉSZMESTER TÁBORBÓL. GONDOLTAM, MEGMUTATJUK A TÖBBIEKNEK.

NEKEM AZ IS TETSZETT A TÁBORBAN, HOGY NEMCSAK AZ AGYUNKAT EDZETTÜK, HANEM A TESTÜNKET IS!

EZT A TÁBORT IGAZÁN JÓL KITALÁLTÁK A MATEKTANÁROK!

DE A LEGKLASSZABB AZ VOLT, HOGY MI IS MEHETTÜNK!

...ÉS MILYEN JÓL ÉREZTÜK MAGUNKAT A VITORLÁS HAJÓN...

HŰ, DE JÓ ÖTLET! NÁLAM IS VAN NÉHÁNY JÓ FELADVÁNY. RAGASSZUK KI A PAPÍROKAT KÖRBEN A FALRA!

ÉN NEM CSODÁLKOZTAM, HOGY KIVÁLASZTOTTAK MINKET IS. MINDKETTEN ÖTÖST KAPTUNK ÉV VÉGÉN MATEMATIKÁBÓL.

...HÁT ELÉG VICCES VOLT, AMIKOR PÉTER ANNYIRA GONDOLKODOTT A LOGIKAI FEJTÖ RŐN, HOG Y NEM VETTE ÉSZRE, HOG Y JÖN EGY NAGY HULL ÁM…

AZ ÉN PAPÁM ELÉGGÉ CSODÁLKOZOTT, HOGY ÖTÖSÖM LETT! LEESETT AZ ÁLLA! DE NAGYON ÖRÜLT…

EMLÉKSZEL A GOLYÓS FELADATRA? AMIKOR 10 SZÍNES GOLYÓT KELLETT 5 SZÍNES DOBOZBA BETENNI… AZT NAGYON NEHEZEN TUDTAM MEGOLDANI.

JÓK EZEK A FELADATOK…

A KIOLVASÓS FELADATOKNÁL ÉN ELŐSZÖR NEM IS ÉRTETTEM, HOGY PÉTER ÉS TE HOGYAN TUDTÁTOK OLYAN GYORSAN MEGMONDANI AZ EREDMÉNYT!

KÉSZEN IS VAGYUNK!

MÁR HALLOM, HOGY JÖNNEK A TÖBBIEK…


2012.08.28. 13:21:54

RÉGEN ÉS MOST

Az emberek már az ókorban is szívesen találtak ki és oldottak meg rejtvényeket, és válaszoltak találós kérdésekre. Mi a különbség a rejtvény és a találós kérdés között? A rejtvény bonyolult, szövevényes történetbe rejt el egyszerű kérdéseket. Ennek megoldásához általában „kemény” gondolkodás, néha matematikai ismeret is szükséges. A találós kérdés a szavakat, fogalmakat a szokásostól eltérően használja, mondatai nehezebben érthetőek, ezért megfejtéséhez jó ötletre, nézőpontunk megváltoztatására van szükség.

Az ókori kínai Matematika kilenc fejezetben című könyvet a 3. században Liu Huj kiegészítette egy tizedik fejezettel. Ebben található ez a feladvány: „2 bivalyt, 5 bárányt eladtak, és vettek 13 disznót. Ekkor maradt 1000 jüan pénzük. Ha pedig eladtak 3 bivalyt, 3 disznót, és vettek 9 bárányt, akkor éppen elég volt a pénzük. Ha viszont eladtak 6 bárányt, 8 disznót, és vettek 5 bivalyt, akkor adósok maradtak 600 jüannal. Mennyi egy-egy állat ára?” (Lévárdi–Sain: Matematikatörténeti feladatok)

8

Talán a legrégebbi, írásban fennmaradt találós kérdést az egyiptomi Rhind-papiruszon olvashatjuk: „Hét házban van hét macska, azok megettek hét egeret, azok meg hét szem árpát. Mindegyik szemből hét hekatnyi lehetett volna. Ez mennyi összesen?” De innen való a következő rejtvény is: „Háromszor férek az edénybe. Ha ehhez hozzáadom nagyságom harmadát és harmadának harmadát, majd nagyságom kilencedét, akkor 1-et kapok.” Szerinted mit kérdezhetnénk? (Lévárdi–Sain: Matematikatörténeti feladatok)

A Kr. e. 10. évszázadban uralkodó, mesésen gazdag és híresen bölcs Salamon királyról a következőket írja a Biblia: „Amikor Sába királynője ... értesült Salamon hírnevéről, eljött, hogy találós kérdésekkel próbára tegye.”

A görög Arkhimédész (Kr. e. 287–212) adta fel az alábbi tréfás feladatot barátjának, Eratoszthenész (Kr. e. 276–194) alexandriai csillagásznak. A feladat „problema bovinum” (a marhák problémája) néven ismert. „Héliosz napisten csordája Szicília szigetén legelt. A csordában négyféle színű marha volt: fehér, fekete, barna és tarka. A fehér bikák száma a fekete bikák számának felével meg harmadával több volt, mint a barna bikáké. A fekete bikák száma a tarka bikák számának negyedével meg ötödével múlta felül a barnákét. A tarka bikák száma pedig a fehérek számának hatodával meg hetedével volt több a barnákénál. A fehér tehenek száma a fekete marhák (bika+tehén) számának harmada meg negyede volt. A fekete tehenek száma a tarka marhák számának negyede meg ötöde, a tarka tehenek száma a barna marhák számának ötöde meg hatoda, végül a barna tehenek száma a fehér marhák számának hatoda meg hetede volt. Hány különböző színű bika, illetve tehén volt a csordában?” (A feladat megoldása nehéz!)


2012.08.15. 12:31:10

BEMELEGÍTŐ GONDOLKODÁS

Sokféle játék és kiadvány van, amivel megtornáztathatjuk az elménket. Ilyen például a szudoku (szu = szám, doku = egy van belőle). A rejtvény lényege, hogy egy kilencszer kilences négyzetrácsba, amelyet háromszor hármas kisebb négyzetekre osztanak, egytől kilencig kell számokat beírni. Egy szám csak egyszer szerepelhet minden sorban és oszlopban, illetve a kisebb négyzetekben. A népszerű játék története kalandos. Eredetileg Leonhard Euler svájci matematikus találta ki kvadrát néven. 1970-ben egy japán újságkiadó kiadta a feladványokat könyvalakban. Ezt a könyvet egy Wayne Gould (született 1945-ben) nevű új-zélandi bíró megvette, és a feladványokat továbbfejlesztette.

Egy másik érdekes játék a nálunk „15-ös játék” néven ismert tologatós feladvány, amit Samuel Loyd (1841–1911) amerikai sakkozó tett híressé. 4x4 mezőt tartalmazó keretben eredetileg 1-15-ig sorban számozott négyzetlapok vannak. A 16. hely üres, ez biztosítja, hogy a lapocskák mozgathatók legyenek. A négyzetlapokat nem lehet kiemelni a keretből. A játék elején valaki összekeveri (tologatással) a négyzetlapokat. A feladat: a helyes sorrend visszaállítása. Az eredeti játék számozott négyzetei helyett ma szétvágott képek vannak.


1.

SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK

2.

ÉSZTORNA

Az egész világon ismert logikai játék, a Bűvös kocka feltalálója ifj. Rubik Ernő (Budapest, 1944. július 13.) Kossuth-díjas magyar építész és játéktervező. Nevéhez több logikai játék (pl. Bűvös négyzetek, Kígyó, Bűvös dominó, Sudokube, Rubik-óra, Rubik-gömb) megalkotása fűződik, de a legnépszerűbb az 1975-ben készített Bűvös kocka. Ezt külföldön Rubikkocka néven ismerik. Rubik Ernőt 1995-ben életművéért Gábor Dénes-díjjal tüntették ki.

1982 óta rendszeresen megrendezik a Rubikkocka világbajnokságot. A 2007-es bajnokságot Budapesten rendezték. Óriási magyar siker született, négy kategóriában is első lett a 14 éves Kuti Mátyás. A VI. Rubik-kocka világbajnokságon 2011-ben több magyar versenyző is érmet kapott. Bodor Bálint aranyérmet szerzett egy versenyszámban, Endrey Marcell pedig világrekordot állított fel, 19 kockából 19-et rakott ki vakon.

1 4 5 8 9 12 13

2 6 10 14

3 7 11 15 9

2012.08.15. 12:31:15

1. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK Ebben a fejezetben olyan feladványokkal találkozol, – amelyek megtornáztatják az elmédet, – amelyeknek a kitalálásához néha elég egy jó ötlet. Anna és Bence izgatottan lapozgatták a könyveket. Egyszer csak Bence felnevetett. – Na, erre válaszolj, ha tudsz! – mondta, és már olvasta is a feladványt. Károly egy fotót tart a kezében. „Ki van ezen a képen?” – kérdezi tőle a barátja. „Tudod, hogy nincsen testvérem, de a képen látható embernek az apja az apám fia.” – válaszolja Károly. GONDOLKOZZ!

Kinek a képét nézi Károly?

Megoldás: A kép Károly gyerekét ábrázolja. A szöveg szerint a gyerek apja Károly apjának a fia. Mivel Károlynak nincsen testvére, ezért csak ő lehet az apja fia. Anna és Bence sok érdekes feladatot talált a könyvekben. Ezekből leírtunk néhányat. Próbáld te is megfejteni a rejtvényeket! A megoldást úgy indokold, hogy mások is megértsék a gondolkodásodat! Segíthet a megoldás megtalálásában, ellenőrzésében, ha párban vagy csoportban dolgoztok.

GYAKORLÓFELADATOK 1. Találd ki, kinek a képét nézegeti Károly, ha a barátja kérdésére ezt válaszolta: „Tudod, hogy nincsen testvérem, de a képen látható embernek a fia az apám fia.”

2. Egy dobozban 100 darab kék és 100 darab sárga golyó van. A golyók mérete és anyaga teljesen egyforma. Bekötött szemmel kell a golyók közül valamennyit kivenned. a) Hány darab golyót kell kivenned, hogy biztosan legyen a kivettek között legalább két megegyező színű? b) Hány darab golyót kell kivenned, hogy biztosan legyen a kivettek között legalább két darab sárga? c) Egy fiókban ugyanannyi darab kék és sárga golyó van. De most nem tudjuk, hogy mennyi. Hány darab kék és hány darab sárga golyó van, ha találomra kiveszünk hármat, és biztosan van a kivettek között mind a két színű golyóból?

10

3. A játszótéri padon egymás mellett ül egy felnőtt és egy gyerek. A gyerek fia a felnőttnek, de a felnőtt nem apja a gyereknek. Hogy lehet ez? Magyarázd meg!


2012.08.15. 12:31:16

SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK 4. Egy tálcán 10 darab szaloncukor van. Hogyan tudjuk 10 ember között úgy elosztani a cukrokat, hogy mindenki ugyanannyit kapjon, és a tálcán is maradjon egy darab?

5. A nagymama sütött egy tál lekváros fánkot. Annyit készített, hogy az ebédnél mindenkinek pontosan kettő jusson. A tálat betette az ebédlő asztalára. Az ebédlőben játszott a négy unoka: Aranka, Bendegúz, Csaba és Dóra. Az ebédnél kiderült, hogy egy fánk eltűnt a tálról. A nagymama megkérdezte a gyerekeket, hogy melyikük evett a fánkból. Ezeket a válaszokat kapta: Aranka: Bendegúz volt. Csaba: Azt tudom, hogy nem én voltam. Bendegúz: Dóra ette meg a fánkot. Dóra: Bendegúz hazudik. A végén kiderült, hogy ki ette meg a hiányzó süteményt. Találd ki te is! (Annyit elárulok, hogy csak három unoka mondott igazat.)

6. Három öreg bölcs azon vitatkozott, hogy hármuk közül ki a legokosabb. Egy negyedik bölcs elővett három fekete és két piros sapkát. Megmutatta a három bölcsnek. Kendővel bekötötte a három öreg szemét, és egy-egy sapkát a fejükre tett. Majd levette a kendőket, és azt mondta: „Az a legbölcsebb köztetek, aki megmondja, hogy az ő fején milyen színű sapka van.” Az öregek nézegették egymást, majd az egyikük megszólalt: „Az én fejemen fekete sapka van.” A válasz jó volt.

Magyarázd meg, hogy honnan tudhatta? Rajzold le a füzetedbe a bölcseket, és színezd ki a sapkáikat!

7. Az iskolában atlétikaverseny volt. Anna, Bence, Mariann és Péter így beszélnek az elért eredményeikről: Anna: Nem én lettem az első. Bence: Péter nyert. Mariann: Anna nyert. Péter: Nem Anna nyert. A gyerekek elárulták, hogy csak egyikük mondott igazat. Ki lett az első helyezett az atlétikaversenyen?


11

2012.08.15. 12:31:17

SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK 8. Az egyik szomszédunk, Sanyi bácsi hosszú ideig tanított matematikát. Ma már nyugdíjas, de a rejtvényeket ma is nagyon szereti. A nyáron öt gyerek jött hozzánk látogatóba. Sanyi bácsi megkérdezte, hogy ki kinek a testvére. A gyerekek a következő igaz állításokat mondták egymásról: Anna: A lánytestvérem gitározik. Bence: Pontosan két lánytestvérem van. Cili: Nekem nincsen lánytestvérem. Dénes: A lánytestvérem zongorázik. Erika: A fiútestvérem dobol.

11. Andi és Bandi ikertestvérek. Megegyeztek, hogy Andi hétfőn, kedden és szerdán hazudik, csütörtökön, pénteken, szombaton és vasárnap igazat mond. Bandi viszont csütörtökön, pénteken és szombaton hazudik, de a hét többi napján igazat mond. a) Egyik nap ezt mondták: Andi: Tegnap hazudtam. Bandi: Tegnap én is hazudtam. A hét melyik napján történhetett ez? b) A hét melyik napján mondhatta Andi a következő két állítást? „Tegnap hazudtam.” és „Holnap hazudok.”

Állapítsd meg, hogy a) kinek a testvére Cili, b) milyen hangszeren játszik Cili, c) kik a testvérei Bencének, d) milyen hangszeren játszik Erika és Bence! 9. Az osztályban két fiú és egy lány üldögélt. A családnevük: Sovány, Kövér, Izmos. A lány megszólalt: „Ugyanolyan a termetünk, mint a nevünk.” A kövér fiú azt mondta: „Ez igaz, de egyenként egyikünknek sem olyan a termete, mint a neve.” „Tényleg így van” – válaszolta az, akinek a neve Sovány. Azt tudjuk, hogy a lány nem izmos. Találd ki, milyen termetű a lány és a két fiú!

EZT IS MEG TUDOM OLDANI 10. A borospincében van két teljesen egyforma hordó. Az egyiket teletöltötték borral, a másik pontosan félig van. Mennyi az üres boroshordó tömege, ha a teli hordó tömegét 54 kg-nak, a másik hordó tömegét 32 kg-nak mérték?

12. Egy mesében a Királylány gyűrűjét egy ládikában rejtették el. Az asztalon van három ládika: egy arany, egy ezüst és egy réz. A szegénylegénynek ki kell találnia, hogy a három ládika közül melyikben található a gyűrű. Találd ki te is!

12


2012.08.15. 12:31:19

Kalandtúra 7. Matematika-tankönyv 7. osztályos tanulók számára

Recommend Documents