Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
PENAKSIR RASIO DAN PRODUK EKSPONENSIAL YANG EFISIEN UNTUK VARIANSI POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA EXPONENTIAL RATIO AND PRODUCT ESTIMATION FOR POPULATION VARIANCE IN SIMPLE RANDOM SAMPLING Mega Elysmayanti1*, Firdaus2, HaposanSirait2Rustam Efendi2 Jurusan Matematika Universitas Riau, Riau1 Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia Jurusan Matematika Universitas Riau, Riau2
ABSTRACT This paper discusses three estimators for estimating population variance in simple random sampling without replacement ,i.e exponential ratio and product estimator using auxiliary variable. Furthermore , the Mean square error obtained from each estimator will be compared to obtain a relatively more efficient estimator. Keywords: variance, without replacement, efficient estimator
ABSTRAK Makalah ini membahas tiga penaksir variansi populasi pada sampling Acak Sederhana tanpa pengembalian yaitu penaksir rasio eksponensial dan penaksir produk eksponensial dengan menggunakan parameter varibel tambahan. Selanjutnya Mean square error dari masing–masing penaksir akan dibandingkan untuk mendapatkan penaksir yang relative efisiensi. Katakunci: variansi, tanpa pengembalian, penaksir efisiansi 1.
PENDAHULUAN Suatu populasi berukuran N berkarakter Y akan ditaksir variansinya dengan
metode sampling acak sederhana tanpa pengembalian. Dari N unit anggota populasi akan diambil n unit sampel, kemudian diperoleh variansi sampel. Suatu penaksir yang baik berasal dari sampel yang bersifat representatif, yaitu sampel dapat mewakili parameter populasi. Ketelitian penaksir dapat ditingkatkan dengan memperbesar ukuran sampel, namun cara ini tidak efektif. Untuk itu perlu digunakan suatu metode penaksiran dengan memanfaatkan informasi dari karakter tambahan yang berkorelasi dengan variable penelitian, di antaranya yaitu metode rasio dan produk. Pada metode tersebut, suatu karakter tambahan X yang berkorelasi dengan variable penelitian Y diperoleh untuk setiap unit dalam sampel, dengan parameter populasi X telah diketahui. Ketika karakter tambahan berkorelasi positif dengan variable penelitian, maka metode rasio merupakan metode yang cocok untuk menaksir variansi populasi. Pada metode produk, karakter tambahan berkorelasi negative dengan variable penelitian. Kedua metode tersebut dapat
8
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
meningkatkan ketelitian suatu penaksir meskipun penaksir yang dihasilkan merupakan penaksir bias. Jika terdapat beberapa penaksir yang bersifat bias, maka untuk memperoleh penaksir yang efisien, dibandingkan nilai Mean Square Error (MSE)-nya. Penaksir yang memiliki nilai MSE yang terkecil merupakan penaksir yang lebih efisien [2:h.21]. 2.
SAMPLING ACAK SEDERHANA Sampling acak sederhana merupakan metode untuk mengambil sampel dari
populasi sehingga setiap elemen dari data populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk diambil. Suatu populasi yang berkarakter Y dengan ukuran populasi N unit dan peluang terambilnya adalah 1 N , akan diambil sampel berukuran n unit, maka peluang tiap unit terambil kedalam sampel adalah n N . Pengambilan sampel dapat dilakukan dengan atau tanpa pengembalian [2:h.21]. Jika pengambilan sample dilakukan dengan pengembalian, ada kemungkinan data yang telah terambil akan terambil kembali menjadi anggota sampel, sehingga hasil yang diperoleh kurang representatif. Oleh karena itu, pada umumnya sampling dilakukan tanpa pengembalian agar hasilnya lebih akurat. Pada sampling acak sederhana tanpa pengembalian, peluang satu dari n unit akan terambil menjadi sampel pada penarikan pertama adalah n N . Selanjutnya pada penarikan kedua, peluang satu dari n 1 unit sisanya yang akan terambil adalah n 1 N 1 , dan seterusnya, sehingga peluang dari
n unit terambil pada pengambilan ke-n kali adalah CnN
1
[2:h.21].
Teorema1 [2] Apabila y adalah rata-rata sampel yang diambil secara sampling acak sederhana tanpa pengembalian, maka variansidari y dengan notasi V y adalah
V y = Sy N n , n N 2
dengan
S y2
1 N yi Y 2 N 1 i 1 .
Bukti: Dapat dilihat pada [2].
Teorema2 [4] Apabila s y2 merupakan variansi sampel yang diambil secara sampling acak
sederhana, maka variansi dari s y2 dilambangkan dengan notasi V s y2 adalah
9
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
1 V s y2 S y4 40 1 n , dengan
pq
1 N yi Y p xi X q N 1 i 1 p
q
N 1 2 2 1 xi X 2 y Y i N 1 i 1 N 1 i 1 ,
p, q merupakan bilangan bulat positif. Bukti: Dapat dilihat pada [4].
3. PENAKSIR RASIO DAN PRODUK SEDERHANAUNTUK VARIANSI POPULASI Ketelitian penaksir dapat ditingkatkan dengan memperbesar ukuran sampel, namun cara ini tidak efektif. Untuk itu perlu digunakan suatu metode penaksiran dengan memanfaatkan informasi dari karakter tambahan yang berkorelasi dengan variable penelitian, di antaranya yaitu metode rasio dan produk. Pada metode tersebut, suatu karakter tambahan X yang berkorelasi dengan variable penelitian Y diperoleh untuk setiap unit dalam sampel, dengan parameter populasi X telah diketahui. Ketika informasi pada karakter tambahan berkorelasi positif dengan variable penelitian, maka metode rasio merupakan metode yang cocok untuk menaksir variansi populasi. Rasio antara variansi populasi berkarakter Y dengan variansi populasi berkarakter X adalah
R
S y2 S x2 .
Penaksir dari R dilambangkan dengan notasi Rˆ adalah
s y2 ˆ R 2 sx . Asumsikan bahwa variansi populasi setara dengan variansi sampel, sehingga diperoleh
S y2 S x2
10
s y2 s x2
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
s2 Sˆ y2 y2 S x2 sx ,
Sˆ y2 disebut penaksir rasio sederhana untuk variansi populasi yang dilambangkan dengan notasi Sˆ R2 dan dirumuskan sebagai berikut
s2 Sˆ R2 y2 S x2 sx . Jika karakter tambahan X berkorelasi negative dengan variable penelitian Y, maka digunakan metode produk untuk menaksir variansi populasi. Produk antara variansi populasi berkarakter Y dengan variansi populasi berkarakter X adalah
P S y2 S x2
.
Penaksir dari P dilambangkan dengan notasi Pˆ adalah
Pˆ s y2 s x2
.
Asumsikan variansi populasi setara dengan variansi sampel, diperoleh
S y2 S x2
Sˆ y2
=
s y2 s x2
s y2 s x2 2 = Sx ,
Sˆ y2 merupakan penaksir produk sederhana untuk variansi populasi dilambangkan dengan notasi Sˆ P2 dan dirumuskan dengan
s2s2 Sˆ P2 y 2x Sx . 4. BIAS DAN MSE PENAKSIR RASIO DAN PRODUK EKSPONENSIALUNTUK VARIANSI POPULASI Selanjutnya akan dibahas bias dan MSE dari penaksir rasio dan produk eksponensial untuk variansi populasi pada sampling acak sederhana. Penaksir rasio dan produk eksponensial yang diajukan, yaitu Penaksir rasio eksponensial tipe 1, yaitu
11
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
S x2 s x2 2 2 SˆRe s exp y 1 S 2 1s 2 , x x
(1)
Dengan 0 merupakan nilai yang ditentukan sedemikian hingga MSE dari penaksir menjadi minimum. Penaksir rasio eksponensial tipe 2, yaitu
X x 2 SˆRe s y2 exp . 2 X x
(2)
Penaksir produk eksponensial, yaitu
xX 2 SˆPe s y2 exp xX
.
(3)
Bias dan MSE penaksir rasio eksponensial tipe 1 pada persamaan (1), yaitu
1 2 1 2 04 1 22 1 , B Sˆ Re Sy 1 n
1 2 1 2 MSE SˆRe S y4 40 1 22 1 2 04 1 . 1 n
* 2 MSE SˆRe minimum ketika 1
04 1 , sehingga diperoleh 22 1
1 4 22 12 2 ˆ min MSE SRe1 S y 40 1 . n 04 1
(4)
Bias dan MSE penaksir rasio eksponensial tipe 2 pada persamaan (2), yaitu
1 2 3 2 B SˆRe S y C x C x 21 1 , 2 2n 4
1 4 1 2 2 MSE SˆRe S y 40 1 C x 21 1 C x . 2 n 4 Bias dan MSE penaksir produk eksponensial pada persamaan (3), yaitu
12
(5)
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
1 2 1 2 S y C x 21 1 C x , B SˆPe 2n 4
1 4 1 2 2 S y 40 1 C x 21 1 C x . MSE SˆPe n 4
(6)
5. PENAKSIR RASIO DAN PRODUK EKSPONENSIAL YANG EFISIEN Apabila terdapat beberapa penaksir yang bersifat bias, maka untuk menentukan penaksir yang lebih efisien dapat dilakukan dengan cara membandingkan MSE dari masing2 masing penaksir. Dalam membandingkan MSE digunakan efisiensi relative dari SˆRe1 2 2 2 2 2 terhadap SˆRe 2 , SˆRe 2 terhadap SˆPe , dan SˆPe terhadap SˆRe1 .Suatu penaksir dikatakan
efisien apabila mempunyai MSE yang terkecil.
a. Perbandingan MSE SˆRe1 dengan MSE SˆRe 2 2
2
2 2 Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SˆRe1 lebih efisien dari SˆRe 2 jika
C 2 1 4 22 1 21 < x 04 1 . 4C x 04 1 2
(7)
2 b. Perbandingan MSE SˆRe 2 dengan MSE SˆPe
2
2 2 Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh SˆPe lebih efisien dari SˆRe 2 jika
21 1 .
(8)
2 c. Perbandingan MSE SˆPe dengan MSE SˆRe1
2
2 2 Dari persamaan (4) dan (6) diperoleh SˆPe lebih efisien dari SˆRe1 jika
21 < 1 Contoh
C x2 04 1 4 22 1 . 4C x 04 1 2
(9)
Diketahui data mengenai frekuensi kunjungan (Y) dan pendapatan (X) dari
pengunjung objek wisata Air Terjun Guruh Gemurai di Kecamatan Kuantan Mudik Kabupaten Kuantan Singingi dari 100 responden dengan menganggap data tersebut merupakan data populasi. Dari data tersebut, akan ditaksir variansi frekuensi kunjungan dengan pengambilan sampel sebanyak n = 40 responden. Untuk meningkatkan ketelitian 13
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
penaksir, diperlukan informasi dari karakter tambahan yang telah diketahui sebelumnya, yaitu rata-rata dan variansi pendapatan pengunjung. Pada data tersebut Y berkorelasi dengan X sehingga metode rasio dan produk eksponensial merupakan metode yang cocok untuk menaksir variansi. Tabel 1: Frekuensi Kunjungan dan Pendapatan Pengunjung Objek Wisata Air Terjun Guruh Gemurai di Kec. Kuantan Mudik Kab. Kuantan Singingi
No.
Frekuensi Kunjungan (Y)
Pendapatan Pengunjung (X)
No.
Frekuensi Kunjungan (Y)
Pendapatan Pengunjung (X)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
2 2 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 3 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 1 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2
18 27,6 24 12 18 29,4 18 9,6 28,8 12 14,4 12 42 27,6 13,2 24 15,6 12 9,6 24 28,8 18 14,4 24 9,6 21,6 9,6 18 14,4 33,6 60 12 21,6 10,8 14,4 12 12
52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2
21 18 45,6 14,4 24 14,4 9,6 27,6 18 21,6 12 36 14,4 10,8 30 12 36 9,6 21,6 18 12 18 24 36 18 12 9,6 12 9,6 14,4 15 30 14,4 33,6 36 48 60
14
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 1 2 2
30 18 12 12 9,6 42 24 38 36 30 12 60 12 36
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2
12 15 10,8 12 14,4 54 33,6 30 12 9,6 14,4 9,6
Jumlah
227
2142,8
Sumber: [3]
Y : Frekuensi kunjungan objek wisata Air Terjun Guruh Gemurai di Kecamatan Kuantan Mudik Kabupaten Kuantan Singingi (kali/tahun).
X : Pendapatan pengunjung objek wisata Air Terjun Guruh Gemurai (juta/tahun). Dari data pada Tabel 1, diperoleh nilai parameter yang diperlukan untuk menaksir variansi frekuensi kunjungan objek wisata Air Terjun Guruh Gemurai. Tabel 2: Parameter dari Populasi
N
100
Cx
0,57
Y
2
40
2,491
X
21,428
04
4,469
S y2
0,3203
22
1,132
S x2
149,275
21
-0,015
Berdasarkan nilai yang diperoleh pada Tabel 2, maka dapat ditentukan penaksir yang paling efisien dari ketiga penaksir yang telah dibahas dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai tersebut kesyarat-syarat efisiensi pada persamaan (7), (8) dan (9), sehingga diperoleh 2 2 a. SˆRe lebih efisien dari SˆRe jika 21 1,151 , 2 1
2 2 b. SˆPe lebih efisien dari SˆRe jika 21 1 , 2
15
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 8 - 16
2 2 c. SˆPe lebih efisien dari SˆRe jika 21 0,849 . 1
Penaksir yang efisien dapat juga ditentukan dengan menghitung MSE dari ketiga penaksir. Berdasarkan nilai-nilai dari Tabel 2, diperoleh MSE dari ketiga penaksir. Tabel 3: Nilai Taksiran dan MSE untuk Ketiga Penaksir Penaksir
Nilai Taksiran
MSE
2 SˆRe 1
0,3808
0,003811
2 SˆRe 2
0,4385
0,003867
2 SˆPe
0,3258
0,003802
Dari Tabel 3 diperoleh bahwa MSE SˆPe MSE SˆRe1 MSE SˆRe2 , dan nilai taksiran dari 2
2
2
2 merupakan taksiran yang paling mendekati parameter. SˆPe
6. KESIMPULAN Nilai MSE diperoleh untuk penaksir rasio eksponensial tipe 1, penaksir rasio eksponensial tipe 2 dan penaksir produk eksponensial untuk variansi populasi pada sampling acak sederhana tanpa pengembalian. Kemudian masing-masing MSE dibandingkan, sehingga dapat disimpulkan untuk data pada Tabel 1 diperoleh bahwa penaksir produk eksponensial paling efisien dibandingkan kedua penaksir lainnya jika syarat efisiensi 21 terpenuhi.
7.
PUSTAKA
[1]. Asghar A, A Sanaullah, M Hanif. Generalized Exponential Type Estimator for Population Variance in Survey Sampling. Revista Colombiana de Estadistica. 2014; 37(1): 213-224. [2]. Cochran WG. Teknik Penarikan Sampel, Edisi ke Tiga. Terj. dari Sampling Techniques oleh Rudiansyah & Erwin R. Osman. Jakarta UI-Press; 1991. [3]. Julisman D. Analisis Permintaan Objek Wisata Air Terjun Guruh Gemurai Kecamatan Kuantan Mudik Kabupaten Kuantan Singingi dengan Metode Biaya Perjalanan. Pekanbaru: Skripsi Fakultas Ekonomi Universitas Riau; 2013.
[4]. Sukhatme PV. Sampling Theory of Surveys with Applications. New Delhi: The Indian Council of Agricultural Research; 1957.
16
