JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6

1

Kajian Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real Taurusita Kartika Imayanti dan Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail: [email protected] Abstrak— Ukuran keirasionalan barisan dapat disederhanakan dengan menambahkan asumsi – asumsi tertentu sehingga diperoleh batas bawah ukuran keirasionalan dari barisan tersebut. Dalam penelitian ini diuraikan pembuktian dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real beserta akibat - akibatnya, termasuk akibat - akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville, juga proposisi - proposisi yang berkaitan dengan akibat - akibat tersebut. Kata Kunci—Barisan Liouville, Barisan Bilangan Real, Ukuran Keirasionalan.

I. PENDAHULUAN

B

ilangan secara umum dapat dibagi menjadi bilangan real dan imajiner. Pada bilangan real, dikenal dua golongan bilangan yaitu bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional masih dapat dibagi lagi ke dalam jenis bilangan bulat dan pecahan. Sementara bilangan irasional dapat dibagi ke dalam jenis bilangan aljabar dan bilangan transendental. Euler adalah orang pertama yang mendefinisikan bilangan transendental, mengikuti paper Leibniz pada tahun 1682 yang berisi pembuktian bahwa sin 𝑥𝑥 bukan merupakan fungsi aljabar dari 𝑥𝑥. Bilangan transendental didefinisikan sebagai bilangan yang bukan merupakan akar persamaan polinomial tak konstan dengan koefisien rasional[8]. Definisi tersebut pada tahun 1844 dikembangkan oleh Joseph Liouville yang pada akhirnya berhasil membuktikan eksistensi bilangan transendental. Penelitian Liouville tidak berhenti hanya pada pembuktian tersebut. Pada tahun 1851, Liouville berhasil menentukan suatu konstanta penting yang dikenal dengan sebutan konstanta Liouville, yang kemudian dikembangkan menjadi definisi bilangan Liouville. Liouville menunjukkan bahwa setiap bilangan Liouville merupakan bilangan transendental[6]. Selain mendefinisikan bilangan dan konstanta Liouville, Joseph Liouville juga merumuskan teorema Liouville. Teorema Liouville pada akhirnya digunakan untuk menurunkan suatu rumus ukuran keirasionalan bilangan. Secara sederhana, ukuran keirasionalan, atau yang disebut juga sebagai approximation exponent atau konstanta Liouville - Roth, dari suatu bilangan real 𝑥𝑥 didefinisikan sebagai ukuran seberapa dekat 𝑥𝑥 dapat diperkirakan dalam bilangan rasional[7]. Hasil karya Liouville tersebut juga mengilhami beberapa matematikawan untuk menelaah lebih lanjut, sehingga pada akhirnya lahirlah beberapa kriteria keirasionalan bilangan yang diantaranya diperkenalkan oleh Erdös dan Strauss pada tahun 1974 yang membuktian keirasionalan dan rational independence dari beberapa tipe deret[5]. Kemudian dalam [2] dan [3], Borwein pada tahun 1991 dan 1992, melalui jurnalnya membuktikan beberapa deret yang irasional tetapi tidak Liouville. Demikian halnya dengan Sondow dalam [10] dan Duverney dalam [4] yang juga membahas mengenai keirasionalan bilangan.

Penelitian lain yang dilakukan oleh Jaroslav Hančl yang dituangkan dalam Nagoya Mathematics Journal tahun 2003 membahas secara khusus tentang barisan Liouville beserta dua kriteria baru yang didasarkan pada penelitian Erdös yang berjudul Some Problems and Results on the Irrationality of the Sum of Infinite Series[6]. Pada tahun 2005, Jaroslav Hančl bersama rekannya, Ferdinánd Filip, kembali mempublikasikan hasil penelitiannya yang berhasil merumuskan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan barisan tertentu melalui Hiroshima Mathematics Journal[7]. Dengan berlatar belakang beberapa hasil penelitian tersebut, makalah ini disusun untuk mengkaji cara menentukan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real beserta akibat - akibat dari kedua kriteria batas bawah tersebut, juga akibat - akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville. II. METODE PENELITIAN Dalam penelitian makalah ini digunakan studi literatur dengan tahapan sebagai berikut: 1. Mengkaji definisi ukuran keirasionalan 2. Mengkaji dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real 3. Mengkaji akibat – akibat dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real 4. Mengkaji akibat – akibat dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real yang berkaitan dengan barisan Liouville 5. Pembahasan proposisi – proposisi 6. Penulisan laporan III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A. Ukuran Keirasionalan Bilangan Definisi dan teorema yang berkaitan dengan ukuran keirasionalan bilangan yang digunakan dalam pembahasan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real adalah sebagai berikut: Definisi 2.1.1 [7] Jika 𝜉𝜉 adalah bilangan irasional, maka bilangan 𝑝𝑝 −1 lim sup min log𝑞𝑞 � �𝜉𝜉 − �� 𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 𝑞𝑞 → ∞, 𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁 𝑞𝑞 disebut ukuran keirasionalan dari bilangan 𝜉𝜉.

Teorema 2.1.2 [8] Setiap bilangan irasional memiliki ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 2. Definisi 2.1.3 [6] Ukuran keirasionalan dari bilangan Liouville adalah tak hingga.

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 B. Kriteria Keirasionalan Barisan Berikut ini adalah dua definisi untuk kriteria keirasionalan barisan yang telah didefinisikan oleh Erdös dan Strauss pada tahun 1974. Definisi 2.2.1 [5] Diberikan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah barisan bilangan real positif. Jika untuk setiap barisan bilangan bulat positif {𝑐𝑐𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 jumlahan dari deretnya adalah ∞ 1 � 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 merupakan bilangan irasional, maka barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah irasional. Jika {𝑥𝑥𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 bukan merupakan barisan irasional, maka merupakan barisan rasional.

Definisi 2.2.2 [5] Misal {𝑥𝑥𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah suatu barisan irasional dan Θ adalah himpunan dari semua barisan bilangan bulat positif, Θ = {{𝑐𝑐𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 , 𝑐𝑐𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁}, maka bilangan inf

∞ {𝑐𝑐𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞

1 𝑝𝑝 lim sup min �� − �� log � ∈ 𝛩𝛩 𝑞𝑞 → ∞, 𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁 𝑞𝑞 𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑞𝑞

−1

𝑛𝑛=1

disebut ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 .

C. Lemma yang Berkaitan dengan Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real Lemma yang digunakan dalam pembahasan kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dijelaskan sebagai berikut: Lemma 2.3.1 [7] Diberikan 𝜀𝜀1 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀1 < 1. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, sehingga memenuhi 𝜀𝜀 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 � dan 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 2𝑛𝑛 untuk setiap 𝑛𝑛 yang cukup besar, maka untuk setiap 𝜀𝜀2 dengan 𝜀𝜀2 > 𝜀𝜀1 dengan 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku ∞ 𝑏𝑏𝑛𝑛+𝑗𝑗 1 ≤ 1−𝜀𝜀 2 � 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑗𝑗 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑗𝑗 =0

Lemma 2.3.2 [7] Diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 , dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀 1 dan 𝑆𝑆 > . Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah dua 𝜀𝜀1 < 1+𝜀𝜀

1−𝜀𝜀 1

barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 sehingga memenuhi 𝑎𝑎 > 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝜀𝜀 1 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛 �, dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka terdapat suatu bilangan real positif 𝛼𝛼 sehingga untuk setiap 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku ∞ 𝑏𝑏𝑛𝑛+𝑗𝑗 1 ≤ 𝛼𝛼 � 𝑎𝑎𝑛𝑛 +𝑗𝑗 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑗𝑗 =0

Lemma 2.3.3 [7] Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, serta memenuhi lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 𝜀𝜀 𝑎𝑎 > 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 � dengan 𝑛𝑛 yang 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝑎𝑎 ∞ cukup besar, maka � 𝑛𝑛 � merupakan barisan irasional. 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1

2

D. Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real Berikut ini adalah dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real: Teorema 2.4.1 [7] Diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 , dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀 1 dan 𝑆𝑆 > . Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah dua 𝜀𝜀1 < 1+𝜀𝜀

1−𝜀𝜀 1

barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, sehingga memenuhi lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 𝑎𝑎 >1 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝜀𝜀 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛 �, dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 𝑎𝑎

∞

yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka � 𝑛𝑛 �

𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1

adalah

barisan irasional yang mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 )�.

Teorema 2.4.2 [7] Diberikan 𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 adalah dua bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 1. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah dua barisan bulat positif dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun dan memenuhi lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 𝑎𝑎 >1 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , dan untuk setiap bilangan real positif 𝛽𝛽 𝛽𝛽

berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 �,

𝑎𝑎

maka barisan � 𝑛𝑛 �

∞


merupakan

barisan irasional dengan ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan max(2, 𝑆𝑆).

Bukti: Untuk membuktikannya akan digunakan cara kontradiksi. Andaikan 𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 ) < 𝑆𝑆, dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛 }) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }, maka haruslah 𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 ) < 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆1 ; 𝑆𝑆1 ∈ ℝ, 𝑆𝑆1 → 0, yaitu artinya 𝜀𝜀 𝑆𝑆1 < min �𝑆𝑆 − 1, � ; ∀𝜀𝜀 ∈ ℝ. 1 + 𝜀𝜀 𝑆𝑆 Misalkan 1 = 𝜀𝜀1 , maka 𝑆𝑆𝜀𝜀1 = 𝑆𝑆1 . 𝑆𝑆

𝛽𝛽

𝜀𝜀

Untuk 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 �; 𝛽𝛽 ∈ ℝ+, ambil 𝜀𝜀1 < ; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+ , 1+𝜀𝜀 maka 𝜀𝜀1 ⊂ 𝛽𝛽. Sehingga berlaku 𝜀𝜀 𝜀𝜀 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �, 𝜀𝜀1 < ; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+ . 1 + 𝜀𝜀 Dari sifat notasi 𝑜𝑜 kecil (little o notation) diketahui bahwa 𝑜𝑜(𝑓𝑓) ⊂ 𝑂𝑂(𝑓𝑓), maka 𝜀𝜀 𝜀𝜀 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛1 � ⊂ 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �, 𝜀𝜀 1 𝜀𝜀 yang artinya untuk 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 � berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �. Sehingga syarat untuk Teorema 2.4.1 terpenuhi. Artinya 𝑎𝑎

� 𝑛𝑛 �

∞


merupakan barisan irasional dengan

Karena

𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 ) ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 )�.

𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ) = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆𝜀𝜀1 = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆1 , maka terjadi kontradiksi. Sehingga haruslah 𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 ) ≥ 𝑆𝑆, dan diperoleh 𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 ) ≥ max(2, 𝑆𝑆), sehingga Teorema 2.4.2 terbukti.

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 E. Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real Dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, apabila ditambah dengan persyaratan baru akan menghasilkan dua akibat. Dua akibat tersebut dijelaskan sebagai berikut: Akibat 2.5.1 [7] Diberikan 𝜀𝜀1 dan 𝑆𝑆 bilangan real positif dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ) > 2. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, dengan lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 𝑎𝑎 >1 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 ∞ 𝑎𝑎 𝜀𝜀 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �, maka barisan � 𝑛𝑛 � mempunyai ukuran 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1

keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ). Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan membuktikan bahwa Akibat 2.5.1 bersesuaian dengan Teorema 2.4.1. Karena {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 memenuhi sifat – sifat: 𝑛𝑛 {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, dan lim sup 𝑎𝑎𝑛𝑛1⁄(𝑆𝑆+1) > 1, serta 𝑛𝑛 → ∞ 𝜀𝜀 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 � yang sesuai dengan Teorema 2.4.1, maka 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∞ 𝜇𝜇 �� ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 )�, 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛 }) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }. Karena 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ) > 2; 𝜀𝜀1, 𝑆𝑆 ∈ ℝ+, maka 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∞ 𝜇𝜇 �� ≥ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ), 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 sehingga Akibat 2.5.1 terbukti.

Akibat 2.5.2 [7] Diberikan 𝑆𝑆 adalah suatu bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 2. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, dengan lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 𝑎𝑎 >1 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝛽𝛽 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 � untuk setiap bilangan real positif 𝛽𝛽, maka 𝑎𝑎

∞

barisan � 𝑛𝑛 �


mempunyai ukuran keirasionalan lebih

besar atau sama dengan 𝑆𝑆. Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan bahwa Akibat 2.5.2 bersesuaian dengan Teorema 2.4.2. Karena {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 memenuhi sifat – sifat: 𝑛𝑛 {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, dan lim sup 𝑎𝑎𝑛𝑛1⁄(𝑆𝑆+1) > 1, serta 𝑛𝑛 → ∞ 𝛽𝛽 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 � yang sesuai dengan Teorema 2.4.2, maka 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∞ 𝜇𝜇 �� ≥ max(2, 𝑆𝑆), 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛 }) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }. Karena 𝑆𝑆 > 2; 𝑆𝑆 ∈ ℝ+ , maka 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∞ 𝜇𝜇 �� ≥ 𝑆𝑆, 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 sehingga Akibat 2.5.2 terbukti. F. Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan real yang Berkaitan dengan Barisan Liouville Selain dua akibat yang telah diuraikan, terdapat dua akibat lain dari kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada

3

barisan bilangan real, yaitu yang berkaitan dengan barisan Liouville. Uraian mengenai dua akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville tersebut adalah sebagai berikut: Akibat 2.6.1 [7] Diberikan 𝜀𝜀 dan 𝜀𝜀1 adalah dua bilangan real positif 𝜀𝜀 dengan 𝜀𝜀1 < . Juga diberikan dua barisan bilangan bulat 1+𝜀𝜀 ∞ positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, 𝜀𝜀 dan berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �. Jika untuk setiap bilangan real positif 𝑆𝑆 berlaku lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝑎𝑎 =∞ 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar 𝑎𝑎

∞

berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka barisan � 𝑛𝑛 �


adalah Liouville.

Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan bahwa untuk setiap barisan bilangan bulat positif {𝑐𝑐𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 jumlahan deretnya ∞ 𝑏𝑏𝑛𝑛 � 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑛𝑛=1

adalah bilangan Liouville. Dari Teorema 2.4.1, terdapat 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 , 𝑆𝑆 ∈ ℝ+ sehingga 𝜀𝜀 1 dan 𝑆𝑆 > . Juga terdapat {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 𝜀𝜀1 < 1+𝜀𝜀

1−𝜀𝜀 1

𝜀𝜀

dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 naik, dan berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 � serta lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 > 1, 𝑎𝑎 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 sehingga 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∞ 𝜇𝜇 �� ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 )�, 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛 }) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }. Untuk setiap 𝑆𝑆 anggota bilangan real positif, jika lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝑎𝑎 = ∞, 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 maka 𝑛𝑛 lim sup 1⁄�(𝑆𝑆−1)+1� 𝑎𝑎𝑛𝑛 = ∞. 𝑛𝑛 → ∞ Ambil 𝑆𝑆 → ∞, maka 𝑆𝑆 − 1 → ∞. Akibatnya lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 𝑎𝑎 > 1, 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 Yang artinya memenuhi Teorema 2.4.1 dan berlaku 𝜀𝜀 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �, sehingga 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∞ 𝜇𝜇 �� ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 )�. 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 Karena 𝑆𝑆 sebarang, maka untuk 𝑆𝑆 → ∞ berlaku 𝑎𝑎

𝜇𝜇 �� 𝑛𝑛 �

∞


𝑎𝑎

� → ∞. Akibatnya

𝑎𝑎𝑛𝑛 ∞ 𝜇𝜇 �� = ∞. 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 Dari Definisi 2.2.2, ukuran keirasionalan dari barisan

� 𝑛𝑛 �

∞


didefinisikan sebagai

inf

∞ {𝑐𝑐𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

𝑛𝑛=1

untuk setiap {𝑐𝑐𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 barisan bilangan bulat positif. 𝑎𝑎

∞

Karena 𝜇𝜇 �� 𝑛𝑛 � inf

{𝑐𝑐𝑛𝑛 }∞ 𝑛𝑛 =1

−1

∞

𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑝𝑝 lim sup min �� − �� , log � ∈ 𝛩𝛩 𝑞𝑞 → ∞, 𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁 𝑞𝑞 𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑞𝑞 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1

� = ∞, maka artinya ∞

𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑝𝑝 lim sup min �� − �� log � ∈ 𝛩𝛩 𝑞𝑞 → ∞, 𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁 𝑞𝑞 𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑞𝑞 𝑛𝑛=1

−1

= ∞,

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 untuk ∀𝑐𝑐𝑛𝑛 ∈ ℕ. Akibatnya

∞

𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑝𝑝 lim sup min �� − �� log � 𝑞𝑞 → ∞, 𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁 𝑞𝑞 𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑞𝑞 𝑛𝑛=1

−1

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama = ∞, ∀𝑐𝑐𝑛𝑛 ∈ ℕ.

Sesuai dengan Definisi 2.1.3, maka persamaan tersebut menunjukkan bahwa ∞ 𝑏𝑏𝑛𝑛 � 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛

merupakan

bilangan

𝑛𝑛=1

Liouville.

Sehingga

𝑎𝑎

� 𝑛𝑛 �

∞


merupakan barisan Liouville dan Akibat 2.6.1 terbukti.

Akibat 2.6.2 [7] Diberikan 𝜀𝜀 adalah suatu bilangan real positif. Juga diberikan dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, dan untuk setiap 𝛽𝛽 bilangan real positif 𝛽𝛽 berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 �. Jika untuk setiap bialngan real positif 𝑆𝑆 berlaku lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝑎𝑎 =∞ 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar 𝑎𝑎

∞

berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka barisan � 𝑛𝑛 �


adalah Liouville.

Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan bahwa Akibat 2.6.2 memenuhi semua syarat pada Akibat 𝑎𝑎

∞

2.6.1, sehingga � 𝑛𝑛 �


merupakan barisan Liouville.

lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 = ∞; 𝑆𝑆 ∈ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 + 1+𝜀𝜀 ℝ dan 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛 , maka akan dibuktikan memenuhi 𝜀𝜀 𝜀𝜀 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �, 𝜀𝜀1 < ; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+ . 1 + 𝜀𝜀 𝜀𝜀 Ambil 𝜀𝜀1 < ; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+ , maka 𝜀𝜀1 ⊂ 𝛽𝛽. Sehingga 1+𝜀𝜀 berlaku 𝜀𝜀 𝜀𝜀 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �, 𝜀𝜀1 < ; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+ . 1 + 𝜀𝜀 Dari sifat notasi 𝑜𝑜 kecil (little o notation) diketahui 𝜀𝜀 𝜀𝜀 𝑜𝑜(𝑓𝑓) ⊂ 𝑂𝑂(𝑓𝑓), sehingga 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛1 � ⊂ 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �. Artinya untuk 𝜀𝜀 1 𝜀𝜀 1 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 � berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛 �. Sehingga syarat untuk Akibat 2.6.1 terpenuhi, dan Karena telah memenuhi untuk

𝑎𝑎

berakibat � 𝑛𝑛 �

∞


merupakan barisan Liouville. Artinya

Akibat 2.6.2 terbukti. G. Proposisi – Proposisi yang Berkaitan dengan Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real Akibat dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan barisan bilangan real tersebut apabila diaplikasikan pada barisan tertentu dengan syarat khusus akan menghasilkan beberapa proposisi. Berikut disajikan beberapa proposisi yang berkaitan dengan akibat – akibat tersebut. Proposisi 1 Diberikan K suatu bilangan bulat positif dengan 𝐾𝐾 �1 −

1

� > 2. Jika lcm(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) menyatakan least common multiply atau kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , maka barisan ∞ lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛 ) + 𝑛𝑛 � � 𝑛𝑛 2(𝐾𝐾+1) + 𝑛𝑛2 𝑛𝑛=1

log 2 𝑒𝑒

4

dengan 𝐾𝐾 �1 −

Bukti:

1

log 2 𝑒𝑒

Dari barisan �

�.

lcm(1,2,…,(𝐾𝐾+1)𝑛𝑛 )+𝑛𝑛 𝑛𝑛

2 (𝐾𝐾 +1) +𝑛𝑛 2

∞

�

diketahui terdapat dua

𝑛𝑛=1 {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1

dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dengan barisan bilangan bulat positif ∞ {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1 tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛 =lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛 ) + 𝑛𝑛 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2(𝐾𝐾+1) + 𝑛𝑛2 . Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi: lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 1. 𝑎𝑎 >1 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝜀𝜀 1 2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛 �. Untuk syarat 1, 𝑛𝑛 lim sup (lcm(1,2, (𝐾𝐾 …, + 1)𝑛𝑛 ) + 𝑛𝑛)1⁄(𝑆𝑆+1) 𝑛𝑛 → ∞

𝑛𝑛 inf sup (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛 ) + 𝑛𝑛)1⁄(𝑆𝑆+1) 𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 𝑘𝑘 inf (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘 ) + 𝑘𝑘)1⁄(𝑆𝑆+1) = 𝑘𝑘 ≥ 1 𝑘𝑘 = (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘 ) + 𝑘𝑘)1⁄(𝑆𝑆+1) ; 𝑘𝑘 ≥ 1 Karena kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif, maka lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘 ) ≥ 1, sehingga lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘 ) + 𝑘𝑘 > 1, dan 𝑘𝑘 (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘 ) + 𝑘𝑘)1⁄(𝑆𝑆+1) > 1, berakibat sehingga syarat 1 terpenuhi. 𝜀𝜀 Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 � artinya terdapat suatu 𝜀𝜀 bilangan real M sehingga |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �. Karena untuk 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 =lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛 ) + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2(𝐾𝐾+1) + 𝑛𝑛2 terdapat suatu bilangan real M yang memenuhi 𝑛𝑛 �2(𝐾𝐾+1) + 𝑛𝑛2 � ≤ 𝑀𝑀|(lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛 ) + 𝑛𝑛)𝜀𝜀 1 | |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1 �, maka syarat 2 terpenuhi. Karena memenuhi kedua syarat, maka contoh tersebut bersesuaian dengan Akibat 2.5.1, yaitu 1 � > 2 ≅ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ) > 2, 𝐾𝐾 �1 − log 2 𝑒𝑒 1 yang artinya 𝑆𝑆 = 𝐾𝐾 dan 𝜀𝜀1 = .

=

log 2 𝑒𝑒

Sehingga sesuai dengan Akibat 2.5.1 𝑎𝑎

∞

𝜇𝜇 �� 𝑛𝑛 �


� ≥ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ) = 𝐾𝐾 �1 −

dan proposisi tersebut terbukti.

1

log 2 𝑒𝑒

�,

Proposisi 2 Diberikan S suatu bilangan bulat positif dengan 𝑆𝑆 > 2. Jika diasumsikan 𝜋𝜋(𝑥𝑥) adalah bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan x, maka barisan {𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛 )! + 1}∞ 𝑛𝑛=1 mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan S. Bukti: Dari barisan {𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛 )! + 1}∞ 𝑛𝑛=1 diketahui terdapat dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛 )! + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 1. Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi: lim sup 1⁄(𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 1. 𝑎𝑎 >1 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝛽𝛽 2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 �. Untuk syarat 1,

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 𝑛𝑛 lim sup (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛 )! + 1)1⁄(𝑆𝑆+1) 𝑛𝑛 → ∞

Proposisi 3 Diberikan 𝐾𝐾 adalah suatu bilangan bulat positif dengan 𝐾𝐾 > 3. Juga diberikan [𝑥𝑥] adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 𝑥𝑥, maka barisan 22

∞

[log 2 log 2 𝑛𝑛 ]

+ 𝑛𝑛2 2𝑛𝑛 +(𝐾𝐾+1) � � [log 2 log 2 𝑛𝑛 ] 22 21+(𝐾𝐾+1) + 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama 2𝐾𝐾 dengan . 3

Proposisi 4 Diberikan 𝐾𝐾 adalah suatu bilangan bulat positif dengan 𝐾𝐾 > 2, maka barisan �

2

2 𝑛𝑛+(𝐾𝐾+1)2

[log 2 log 2 𝑛𝑛 ]

[log 2 log 2 𝑛𝑛 ] 22

𝜋𝜋�(𝐾𝐾+1)

�

+ 𝑛𝑛!

�

∞

2 + 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝐾𝐾. Proposisi 5 Barisan

adalah Liouville. Bukti: Dari barisan �

∞

2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛 � � 𝑛𝑛! 2 + 𝑛𝑛! 𝑛𝑛=1 ∞ 2 (2𝑛𝑛 )!+𝑛𝑛 2 𝑛𝑛 ! +𝑛𝑛!

�

𝑛𝑛=1

lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 = ∞, 𝑆𝑆 ∈ ℝ+ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝜀𝜀 1 2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛 �. Untuk syarat 1, 1 ⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 lim sup (2𝑛𝑛)! 𝑎𝑎 = �2 + 𝑛𝑛� 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 → ∞ 1 ⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 inf sup (2𝑛𝑛)! = �2 + 𝑛𝑛� 𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 Karena untuk 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ berlaku 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘, maka berakibat �2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛� ≥ �2(2𝑘𝑘)! + 𝑘𝑘�, dan berlaku

1.

𝑛𝑛 inf sup (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛 )! + 1)1⁄(𝑆𝑆+1) 𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 𝑘𝑘 inf (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘 )! + 1)1⁄(𝑆𝑆+1) = 𝑘𝑘 ≥ 1 𝑘𝑘 = (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘 )! + 1)1⁄(𝑆𝑆+1) ; 𝑘𝑘 ≥ 1. Karena bilangan prima terkecil adalah 2, maka 𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘 )! > 1, sehingga 𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘 )! + 1 > 1, dan berakibat 𝑘𝑘 (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘 )! + 1)1⁄(𝑆𝑆+1) > 1, sehingga syarat 1 terpenuhi. 𝛽𝛽 Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 � artinya ∀𝜀𝜀 > 0 ∃𝑁𝑁 ∋ |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ lim 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝛽𝛽 = 0. 𝜀𝜀�𝑎𝑎𝑛𝑛 �; ∀𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁, atau untuk 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0 berlaku 𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝛽𝛽 𝑛𝑛 )! Karena untuk 𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1) + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 1 berlaku 𝛽𝛽 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑏𝑏𝑛𝑛 , maka 1 lim =0 𝑛𝑛 → ∞ (𝜋𝜋((𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 )!+1)𝛽𝛽 lim 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 0, 𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝛽𝛽 maka syarat 2 terpenuhi. Karena memenuhi kedua syarat, maka contoh tersebut bersesuaian dengan Akibat 2.5.2, yaitu 𝑆𝑆 > 2 ≅ 𝑆𝑆 > 2. Sehingga sesuai dengan Akibat 2.5.2 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∞ 𝜇𝜇 �� ≥ 𝑆𝑆, 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 dan proposisi tersebut terbukti.

=

5

diketahui terdapat dua barisan

bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛 =2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛! + 𝑛𝑛!. Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi:

�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�

sehingga barisan ��2

1 ⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛

(2𝑛𝑛)!

≥ �2(2𝑘𝑘)! + 𝑘𝑘�

+ 𝑛𝑛�

1 ⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 ∞

�

𝑛𝑛=1

1 ⁄𝑆𝑆 𝑘𝑘

,

merupakan barisan

naik. Kemudian ambil sebarang 𝑀𝑀 ∈ ℝ, 𝑀𝑀 > 0, maka terdapat 𝑛𝑛 ∈ ℕ sedemikian hingga �2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�

Akibatnya ��2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�

��2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�


1 ⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛


�

> 𝑀𝑀.

tak terbatas. Karena

𝑛𝑛=1

� merupakan barisan dalam ℝ⋇ , maka 𝑛𝑛=1 sup (2𝑛𝑛)! 1 ⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛� = ∞. �2 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘

Sehingga lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛

1 ⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 lim sup (2𝑛𝑛)! �2 + 𝑛𝑛� 𝑛𝑛 → ∞ 1 ⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 inf sup (2𝑛𝑛)! = �2 + 𝑛𝑛� 𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 inf = ∞ 𝑘𝑘 ≥ 1 = ∞, sehingga syarat 1 terpenuhi. 𝜀𝜀 Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛1 � artinya terdapat suatu 𝜀𝜀 bilangan real M sehingga |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛1 �. Karena untuk 𝑎𝑎𝑛𝑛 =2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛! + 𝑛𝑛! terdapat suatu bilangan real M yang memenuhi 𝜀𝜀 |2𝑛𝑛! + 𝑛𝑛!| ≤ 𝑀𝑀��2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛� 1 � |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1 �, maka syarat 2 terpenuhi. Karena untuk setiap n m,endekati tak hingga berlaku 2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 ,

=

𝑎𝑎

maka sesuai Akibat 2.6.1, � 𝑛𝑛 �

∞


proposisi terbukti. Proposisi 6 Barisan

∞

𝑛𝑛

adalah Liouville. Proposisi 7 Barisan

2(3𝑛𝑛) + 1 � � 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2 + 1 𝑛𝑛=1 ∞

𝑛𝑛𝑛𝑛! + 1 � 𝑛𝑛! � 2 + 1 𝑛𝑛=1

adalah Liouville. Bukti: Dari barisan �

adalah Liouville dan

𝑛𝑛 𝑛𝑛 ! +1

∞

�

diketahui terdapat dua barisan

2 𝑛𝑛 ! +1 𝑛𝑛=1 bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑛𝑛𝑛𝑛! + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛!

dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞𝑛𝑛=1 + 1. Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi:

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝑎𝑎 = ∞, 𝑆𝑆 ∈ ℝ+ 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝛽𝛽 2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 �. Untuk syarat 1, 𝑛𝑛 lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 lim sup(𝑛𝑛𝑛𝑛! 𝑎𝑎 = + 1)1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 inf sup 𝑛𝑛 ! (𝑛𝑛 + 1)1⁄𝑆𝑆 = 𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 Karena untuk 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ berlaku 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘, maka berakibat (𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1) ≥ (𝑘𝑘 𝑘𝑘! + 1), dan berlaku 𝑛𝑛 𝑘𝑘 (𝑛𝑛𝑛𝑛! + 1)1⁄𝑆𝑆 ≥ (𝑛𝑛𝑘𝑘! + 1)1⁄𝑆𝑆 , 𝑛𝑛 ∞ sehingga barisan �(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1⁄𝑆𝑆 �𝑛𝑛=1 merupakan barisan naik. Kemudian ambil sebarang 𝑀𝑀 ∈ ℝ, 𝑀𝑀 > 0, maka terdapat 𝑛𝑛 ∈ ℕ sedemikian hingga 𝑛𝑛 (𝑛𝑛𝑛𝑛! + 1)1⁄𝑆𝑆 > 𝑀𝑀. ∞ 𝑛𝑛 Akibatnya �(𝑛𝑛𝑛𝑛! + 1)1⁄𝑆𝑆 �𝑛𝑛=1 tak terbatas. Karena �(𝑛𝑛𝑛𝑛! + 11𝑆𝑆𝑛𝑛𝑛𝑛=1∞ merupakan barisan dalam ℝ⋇, maka sup 𝑛𝑛! 𝑛𝑛 (𝑛𝑛 + 1)1⁄𝑆𝑆 = ∞. 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 Sehingga 𝑛𝑛 lim sup 1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 lim sup(𝑛𝑛𝑛𝑛! 𝑎𝑎 = + 1)1⁄𝑆𝑆 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 → ∞ 𝑛𝑛 inf sup 𝑛𝑛 ! (𝑛𝑛 + 1)1⁄𝑆𝑆 = 𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 inf = ∞ 𝑘𝑘 ≥ 1 = ∞, sehingga syarat 1 terpenuhi. 𝛽𝛽 Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛 � artinya ∀𝜀𝜀 > 0 ∃𝑁𝑁 ∋ |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝛽𝛽 𝜀𝜀�𝑎𝑎𝑛𝑛 �; ∀𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁. Karena untuk 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑛𝑛! + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛! + 1 terdapat suatu bilangan real N yang memenuhi |2𝑛𝑛! + 1| ≤ 𝜀𝜀�(𝑛𝑛𝑛𝑛! + 1)𝛽𝛽 � 𝛽𝛽 |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝜀𝜀�𝑎𝑎𝑛𝑛 �, Untuk setiap 𝜀𝜀 > 0, maka syarat 2 terpenuhi. Karena untuk setiap n m,endekati tak hingga berlaku 𝑛𝑛𝑛𝑛! + 1 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , 1.

𝑎𝑎

maka sesuai Akibat 2.6.2, � 𝑛𝑛 �

∞


proposisi terbukti. Proposisi 8 Barisan

adalah Liouville.

adalah Liouville dan

∞

2(𝑛𝑛 +1)! + 1 � � 𝑛𝑛! 2 + 1 𝑛𝑛=1 IV. PENUTUP

A. Kesimpulan a. Dari definisi kriteria keirasionalan, barisan bilangan real, dan ukuran keirasionalan dapat ditentukan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, yaitu: 1. Jika diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 , dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀1 <

𝜀𝜀

1+𝜀𝜀

dan 𝑆𝑆 >

1

1−𝜀𝜀 1

𝑎𝑎

∞

, maka � 𝑛𝑛 �


mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan max �2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 )�. [Teorema 3.4.1] 2. Jika diberikan 𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif 𝑎𝑎

∞

dengan 𝑆𝑆 > 1, maka � 𝑛𝑛 �


mempunyai ukuran

6

keirasionalan lebih besar atau sama dengan max (2, 𝑆𝑆). [Teorema 3.4.2] b. Dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dapat ditentukan dua akibat sebagai berikut: 1. Jika diberikan 𝜀𝜀1 dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif 𝑎𝑎

∞

dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ) > 2, maka � 𝑛𝑛 �


mempunyai

ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1 ). [Akibat 3.5.1] 2. Jika diberikan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 2,

maka

𝑎𝑎

∞

� 𝑛𝑛 �

mempunyai


ukuran

keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆. [Akibat 3.5.2] c. Dari dua krirteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dapat ditentukan dua akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville sebagai berikut: 1. Jika diberikan 𝜀𝜀 dan 𝜀𝜀1 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀1 <

[Akibat 3.6.1]

𝜀𝜀

1+𝜀𝜀

𝑎𝑎

∞

, maka � 𝑛𝑛 �


adalah Liouville. 𝑎𝑎

2. Jika diberikan 𝜀𝜀 adalah bilangan real, maka � 𝑛𝑛 � adalah Liouville. [Akibat 3.6.2]

∞


B. Saran Pada penelitian ini hanya dikaji dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, akibat – akibatnya, dan akibat – akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville dengan beberapa asumsi. Oleh karena itu penelitian ini dapat dikembangkan lebih lanjut dengan mengubah atau meminimalisir asumsi – asumsi yang ada. DAFTAR PUSTAKA [1]

Bartle, R. G., Sherbert, D. R. “Introduction to Real Analysis”. John Wiley & Sons. Inc, (1994). [2] Borwein, P. B. “On the Irrationality of ∑ 1/(𝑞𝑞𝑛𝑛 + 𝑟𝑟)”. J. Number Theory Vol. 37, (1991) Hal. 253-259. [3] Borwein, P. B. “On the Irrationality of Certain Series”. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. Vol. 122, (1992) Hal. 141-146. [4] Duverney, D. “Number Theory An Elementary Introduction Through Diophantine Problems”. World Scientific, (2010). [5] Erdös, P., Strauss, E.G. “On the Irrationality of Certain Series”.Pacific Journal of Mathematics Vol. 55, (1974) Hal 85-92. [6] Hančl, J. “Liouville Sequences”. Nagoya Math. J. Vol. 172, (2003) Hal.173-187. [7] Hančl, J., Filip, F. “Irrationality Measure of Sequences”. Hiroshima Math. J. Vol. 35, (2005) Hal. 183-195. [8] Hardy, G. H., Wright, E. M. “An Introduction to the Theory of Numbers, 4th ed”. Oxford: Clarendon Press, (1968). [9] Jain, P. K., dan Gupta, V.P. “Lebesgue Measure and Integration”. Wiley Eastern Limited, (1986). [10] Sondow, J. “Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik”. Journal du Theorie des Nombres Bordeaux, (2003). [11] MIT. “Big O Notation”. web.mit.edu.

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1

Recommend Documents