JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
1
Distribusi Waktu Tunggu Pada Antrian Dengan Menggunakan Disiplin Pelayanan Prioritas (Studi Kasus: Instalasi Rawat Darurat Di RSUD Dr. Soetomo Surabaya) Tommy Yoga Aditama, Laksmi Prita Wardhani Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Email:
[email protected] Abstrak— Disiplin antrian yang sering diterapkan adalah disiplin pelayanan FCFS, namun tidak semua sistem antrian menerapkan disiplin antrian tersebut. Disiplin pelayanan yang juga sering diterapkan adalah disiplin pelayanan prioritas, yaitu pelanggan dilayani sesuai dengan tingkat prioritas dari pelanggan tersebut. Disiplin prioritas sering diterapkan di rumah sakit, salah satu contohnya adalah di IRD RSUD Dr. Soetomo.Penelitian yang dilakukan adalah menghitung ratarata waktu antar kedatangan, waktu pelayanan, dan waktu tunggu pasien dalam antrian prioritas di IRD RSUD dr. Soetomo Surabaya. Data yang diperlukan adalah waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan, sehingga dari data tersebut diperoleh hasil analisis sistem antrian prioritas. Hasil analisis sistem antrian prioritas adalah rata-rata waktu kedatangan pasien kategori gawat yang terpendek yaitu sekitar 12,233 menit per pasien, sedangkan untuk rata-rata waktu pelayanannya yaitu sekitar 2,91 menit per pasien. Waktu tunggu terlama pasien kategori stabil dalam antrian prioritas yaitu sekitar 14,57937337 menit per pasien sedangkan waktu yang dihabiskan pasien kategori stabil dalam sistem yang terlama yaitu sekitar 34,70006939 menit per pasien. Kata Kunci— Antrian Prioritas, Rumah Sakit , Sistem Antrian, Waktu Tunggu.
I. PENDAHULUAN
M
engantri bagi sebagian besar masyarakat adalah suatu pekerjaan yang membosankan dan sesuatu yang tidak menyenangkan. Bahkan sebagian orang tidak mau atau enggan untuk mengantri, sehingga mereka keluar dari antrian sebelum mereka mendapat pelayanan. Antrian sendiri terjadi karena waktu antar kedatangan pasien lebih cepat daripada waktu pelayanan. Selain itu, disiplin antrian yang digunakan dalam pelayanan juga dapat menjadi salah satu faktor penyebab terjadinya antrian. Disiplin antrian yang umum diterapkan dalam kehidupan sehari-hari adalah FCFS (First Come First Served), namun dalam beberapa kejadian, disiplin antrian tersebut tidak selalu diterapkan, karena alasan kebutuhan pasien yang harus segera dilayani. Salah satu contoh yang tidak selalu menerapkan disiplin antrian FCFS adalah pelayanan di rumah sakit. Disiplin yang diterapkan adalah disiplin pelayanan PS (Priority Service), yaitu pasien yang keadaannya lebih kritis akan dilayani lebih dulu tanpa harus memperhatikan siapa yang datang lebih dulu. Semakin banyaknya rumah sakit dan penawaran jasa kesehatan maka orang akan semakin selektif dalam menentukan tempat berobat, sehingga untuk dapat menang dalam berkompetisi maka pihak rumah sakit hendaknya memperbaiki sistem pelayanan yang ada. Sistem
pelayanan yang dimaksud adalah meliputi jumlah tenaga medis, waktu pelayanan terhadap pasien [1]. Pasien yang akan memasuki antrian harus melalui beberapa tahap. Tahap pertama pasien menuju loket untuk memperoleh nomer antrian, setelah itu pasien akan dipanggil sesuai nomor urut untuk dilayani[2]. Namun, jika ada pasien yang keadaannya lebih kritis maka akan dilayani terlebih dahulu. Hal ini sangat berpengaruh bagi pasien yang sebelumnya sudah mengantri karena harus rela menunggu lebih lama lagi untuk mendapatkan pelayanan. Jika hal ini berlangsung terus menerus maka akan mengakibatkan dampak negatif bagi pihak pasien dan rumah sakit. Dampak negatif yang dapat terjadi bagi pihak rumah sakit dan pihak pasien adalah terjadinya protes dari pihak pasien, pasien keluar dari antrian sebelum mendapatkan pelayanan, pihak rumah sakit akan kalah berkompetisi, dan yang lebih fatal adalah kematian[3]. Dampak negatif tersebut harus segera diatasi, agar dapat memberikan pelayanan yang optimal untuk pasien. Sehingga perlu solusi untuk dapat menghindari dampak-dampak negatif. Berdasarkan dampak dan masalah yang terjadi di rumah sakit, maka dalam Tugas Akhir ini penulis mengajukan judul “Analisa Distribusi Waktu Tunggu Pada Antrian Dengan Menggunakan Disiplin Pelayanan Prioritas (Studi Kasus: Instalasi Rawat Darurat Di RSUD Dr. Soetomo Surabaya)”. II. URAIAN PENELITIAN A. Teori Antrian Antrian adalah orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang menunggu untuk dilayani. Hal ini terjadi karena orang-orang atau barang yang datang ke dalam sebuah fungsi pelayanan lebih cepat daripada pelayanan itu sendiri. Dalam sistem antrian terdapat komponen-komponen dasar, yaitu[4]: 1. Input 2. Output 3. Waktu antar kedatangan 4. Tingkat kedatangan 5. Waktu pelayanan 6. Tingkat pelayanan B. Disiplin Antrian Disiplin antrian adalah cara server memilih pelanggan untuk dilayani. Beberapa jenis disiplin antrian antara lain: 1. FCFS (First Come First Served) berarti pelanggan yang datang lebih dulu akan dilayani terlebih dahulu.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 2. LIFO (Latest In First Out) berarti pelanggan yang datang paling terakhir maka akan dilayani terlebih dahulu. 3. SIRO (Service In Random Order) berarti semua pelanggan memiliki kesempatan yang sama untuk dilayani lebih dulu, tidak peduli siapa yang datang lebih dulu. 4. PS (Priority Service) berarti pasien yang memiliki prioritas lebih tinggi akan dilayani terlebih dahulu, tidak peduli siapa yang datang lebih dulu. C. 1. 2. 3. 4.
Jenis Sistem Antrian Single Channel, Single Phase Single Channel, Multi Phase Multi Channel, Single Phase Multi Channel, Multi Phase
D. Model Antrian Prioritas Preemptive M/G/S Model antrian M/G/s, tanda pertama (M) menunjukkan bahwa tingkat kedatangan berdistribusi poisson, waktu pelayanan berdistribusi umum, dengan jumlah server lebih dari satu (s>1). sistem antrian akan mencapai kondisi steady-statte jika[6]: λ 𝜌= <1 (1) 𝑠𝜇
Sedangkan persamaan untuk 𝑃0 , 𝐿𝑞 , 𝐿, 𝑊𝑞 , 𝑊 yaitu sebagai berikut: Probabilitas tidak ada pasien[6]: (2) 𝑃0 = 1 − 𝜌 Rumus yang digunakan untuk menghitung ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian pada model antrian prioritas preemptive M/G/s adalah sebagai berikut[7]: 𝑊𝑞 =
λ 𝑠−1
λ2 𝜇−2 �𝜇�
λ 𝑛
�𝜇 �
λ 2
2(𝑠−1)!�𝑠− � �∑𝑠−1 𝑛=0 𝜇
𝑛!
+
λ 𝑠
�𝜇 �
λ �
(𝑠−1)!�𝑠− � 𝜇
, 𝑛 = 0,1,2..
Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem (𝑊) adalah[6]: 1 𝑊 = 𝑊𝑞 + 𝜇
(3)
(4)
Ekspektasi banyak pelanggan dalam antrian (𝐿𝑞 ) adalah[6]: 𝐿𝑞 = λ 𝑊𝑞 (5)
Ekspektasi banyak pelanggan dalam sistem (𝐿) adalah[6]: (6) 𝐿 =λ𝑊
E. Uji Distribusi Data Data yang dikumpulkan baik tingkat kedatangan maupun waktu pelayanan diuji terlebih dahulu distribusinya agar dapat dipakai sesuai dengan teori antrian yang digunakan. Metode yang digunakan adalah metode uji Chi Square, dimana pada metode ini adalah menguji hasil dari frekuensi observasi memang konsisten dengan frekuensi yang diharapkan. Apabila konsisten, maka tidak terdapat perbedaan yang signifikan antara frekuensi observasi dengan frekuensi yang diharapkan, atau dengan kata lain hipotesis nolnya dapat diterima. Sebaliknya apabila tidak ada konsistensi, maka hipotesis nolnya ditolak[10]. Dalam model antrian, pada umumnya tingkat kedatangan pelanggan diasumsikan berdistribusi poisson dan waktu pelayanan diasumsikan berdistribusi eksponensial, jika salah satu dari asumsi tersebut tidak terpenuhi maka model antrian diasumsikan berdistribusi general (umum)[11].
2
Langkah-langkah pengujian hipotesis kesesuaian (goodness of fit) dengan menggunakan metode uji chi square adalah sebagai berikut: 1. Menentukan hipotesis Hipotesis dapat diartikan sebagai suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan yang sifatnya masih sementara. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut: Hipotesis: H 0 : tingkat kedatangan pelanggan berdistribusi poisson atau waktu pelayanan pelanggan berdistribusi eksponensial H 1 : tingkat kedatangan pelanggan tidak berdistribusi poisson atau waktu pelayanan pelanggan tidak berdistribusi eksponensial. 2. Menentukan taraf nyata atau tingkat signifikansi. Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata dilambangkan dengan alpha (α). Jika alpha yang digunakan 5% maka tingkat kepercayaan sebesar 95% atau dengan kata lain kesempatan untuk salah adalah sebesar 5% dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%. Nilai χ2𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (χ2𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 2 χ1−α ; 𝑑.𝑓 ) ditentukan besarnya nilai taraf nyata dan nilai derajat kebebasan (degree of freedom atau d.f). d.f. = k – m – 1 Dengan: k : jumlah kategori, m : jumlah parameter yang diestimasi. 3. Menentukan kriteria pengujian atau wilayah kritis Kriteria pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol (H 0 ) dengan 2 cara membandingkan nilai χ2𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (χ2𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = χ1−α ; 𝑑.𝑓 ) 2 dengan nilai χℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 . Sehingga kriteria pengujiannya adalah: 2 H 0 diterima apabila χ2ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≤ χ1−α ; 𝑑.𝑓 2 2 H 0 ditolak apabila χℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≥ χ1−α ; 𝑑.𝑓 4. Menentukan statistik uji Statistik uji yang digunakan adalah metode chi square, yaitu: χ2ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = ∑𝑛𝑖=1
(𝑜𝑖 −𝑒𝑖 )2 𝑒𝑖
, 𝑖 = 1,2, … 𝑛
Dengan : = 𝑝(𝑥𝑖 ) ∑𝑛𝑖=1 𝑜𝑖 𝑒𝑖 : frekuensi observasi, 𝑜𝑖 : frekuensi yang diharapkan, 𝑒𝑖 𝑝(𝑥𝑖 ) : probabilitas terdapat 𝑥, 𝑥 berdistribusi sesuai dengan distribusi probabilitas yang di hopetesiskan (H 0 ). 5. Membuat kesimpulan Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol (H 0 ) berdasarkan nilai statistik uji yang diperoleh. R
R
III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Statistika Deskriptif Beberapa variabel-variabel yang berkaitan dengan analisis sistem antrian prioritas adalah lama waktu antar kedatangan pasien dan lama waktu pelayanan pasien. Statistika deskriptif untuk variabel waktu antar kedatangan pasien kategori gawat (merah dan biru) ditampilkan pada Tabel 1 sedangkan waktu antar kedatangan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) ditampilkan pada Tabel 2.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 Tabel 1. Waktu Antar Kedatangan (WAK) Pasien Kategori Gawat (1 Agustus 2013-7 Agustus 2013) n Min Maks Mean Std. Deviasi Hari
3
(pasien)
(menit)
(menit)
(menit/pasien)
(menit)
Kamis
14
2
27
13
8,106
Jumat
13
6
22
12,231
5,352
Sabtu
11
12
32
17,857
7,598
Minggu
11
2
41
16,364
10,823
Syarat untuk melakukan analisis antrian prioritas lebih lanjut dengan model antrian prioritas M/M/S adalah tingkat kedatangan berdistribusi Poisson. Maka dari itu dilakukan pengujian terhadap tingkat kedatangan. Pengujian dilakukan dengan metode Chi Square. Frekuensi observasi dan harapan tingkat kedatangan pasien kategori stabil ditunjukkan pada Tabel 5 sedangkan frekuensi observasi dan harapan tingkat kedatangan pasien kategori gawat ditunjukkan pada Tabel 6.
Senin
9
6
52
22,556
14,675
Tabel 5. Frekuensi Observasi Dan Harapan Tingkat Kedatangan Pasien Kategori Stabil
Selasa
5
20
34
25,6
5,463
Rabu
5
1
40
30,8
11,089
Tabel 2. Waktu Antar Kedatangan (WAK) Pasien Kategori Stabil (1 Agustus 2013-7 Agustus 2013) n Min Maks Mean Std. Deviasi Hari (pasien)
(menit)
(menit)
(menit/pasien)
(menit)
Kamis
12
2
41
12,917
13,048
Jumat
12
8
30
15,417
6,776
Sabtu
7
5
32
14,091
7,366
Minggu
10
5
34
16,3
8,223
Senin
10
11
32
18,5
7,338
Selasa
11
5
34
15,909
9,238
Rabu
8
11
33
18,125
8,894
Statistika deskriptif untuk variabel waktu pelayanan pasien kategori gawat (merah dan biru) ditampilkan pada Tabel 3, sedangkan waktu pelayanan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) ditampilkan pada Tabel 4. Tabel 3. Waktu Pelayanan (WP) Pasien Kategori Gawat (1 Agustus 2013-7 Agustus 2013) n Min Maks Mean Std. Deviasi Hari (pasien)
(menit)
(menit)
(menit/pasien)
(menit)
Kamis
16
1
8
3,25
2,078
Jumat
15
2
5
3,133
1,097
Sabtu
13
2
6
2,889
1,328
Minggu
13
2
9
3,231
1,889
Senin
11
2
5
2,909
1,032
Selasa
7
2
6
3,143
1,355
Rabu
7
2
5
3
1,069
Tabel 4. Waktu Pelayanan (WP) Pasien Kategori Stabil (1 Agustus 2013-7 Agustus 2013) n Min Maks Mean Std. Deviasi Hari
x (jumlah kedatangan pasien) oi (frekeunsi observasi) ei (frekuensi yang diharapkan)
1
2
3
4
5
2
5
10
9
2
3,798
5,968
6,253
4,913
3,088
Dari Tabel 5 didapat nilai χ hitung = 7,038285506, sedangkan nilai χ20,95;3 = 7,8174. Maka dapat disimpulkan bahwa χ2 hitung < χ20,95;3 , sehingga H 0 gagal ditolak yang berarti tingkat kedatangan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) berdistribusi Poisson. 2
P
Tabel 6. Frekuensi Observasi Dan Harapan Tingkat Kedatangan Pasien Kategori Gawat x (jumlah kedatangan pasien) oi (frekeunsi observasi) ei (frekuensi yang diharapkan)
1
2
3
4
5
2
5
10
9
2
3,798
5,968
6,253
4,913
3,088
Dari Tabel 6 didapat nilai χ hitung = 5,26879866, sedangkan nilai χ20,95;3 = 7,8174. Maka dapat disimpulkan bahwa χ2 hitung < χ20,95;3 , sehingga H 0 gagal ditolak yang berarti tingkat kedatangan pasien kategori gawat (merah dan biru) berdistribusi Poisson. 2
P
C. Uji Distribusi Waktu Pelayanan Syarat untuk melakukan analisis antrian prioritas lebih lanjut dengan model antrian prioritas M/M/S adalah waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Maka dari itu dilakukan pengujian terhadap waktu pelayanan. Pengujian dilakukan dengan metode Chi Square. Frekuensi observasi dan harapan waktu pelayanan pasien kategori stabil ditunjukkan pada Tabel 7 sedangkan frekuensi observasi dan harapan waktu pelayanan pasien kategori gawat ditunjukkan pada Tabel 8. Tabel 7 Frekuensi Observasi Dan Harapan Waktu Pelayanan Pasien Kategori Stabil Batas Kelas Interval 𝑜𝑖 𝑒𝑖 (menit) (frekuensi observasi) (frekuensi harapan) 11-13,56175
20
6,308
13,56175-16,12351
17
5,482
(pasien)
(menit)
(menit)
(menit/pasien)
(menit)
16,12351-18,68526
16
4,764
Kamis
14
11
27
18,143
5,257
18,68526-21,24702
8
4,14
Jumat
14
11
30
20,643
4,935
21,24702-23,80877
11
3,597
Sabtu
13
11
29
17,308
5,857 23,80877-26,37052
10
3,127
Minggu
12
11
30
16,333
6,27
Senin
12
12
30
18,25
5,035
26,37052-28,93228
2
2,717
Selasa
13
11
28
17,769
5,76
28,93228-31,49403
4
2,361
Rabu
10
15
26
19,2
3,695
>31,8872
B. Uji Distribusi Tingkat Kedatangan
Total
55,505 88
88
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 Dari Tabel 7 didapat nilai χ2 hitung = 115,6984699, sedangkan nilai χ20,95;6 = 12,5916. Maka dapat disimpulkan bahwa χ2 hitung > χ20,95;3 , sehingga H 0 ditolak yang berarti waktu pelayanan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) tidak berdistribusi eksponensial. P
Tabel 8 Frekuensi Observasi Dan Harapan Waktu Pelayanan Pasien Kategori Gawat Batas Kelas Interval 𝑜𝑖 𝑒𝑖 (menit) (frekuensi observasi) (frekuensi harapan) 1-2,104376
36
16,924
2,104376-3,208752
19
11,855
3,208752-4,313128
11
8,3048
4,313128-5,417504
6
5,818
5,417504-6,52188
3
4,075
6,52188-7,626256
1
2,855
7,626256-8,730632
1
1,999
8,730632-9,835008
1
1,4
>9,835008
24,768
Total
78
78
Dari Tabel 8 didapat nilai χ hitung = 28,79025459, sedangkan nilai χ20,95;6 = 12,5916. Maka dapat disimpulkan bahwa χ2 hitung > χ20,95;3 , sehingga H 0 ditolak yang berarti waktu pelayanan pasien kategori gawat (merah dan biru) tidak berdistribusi eksponensial. 2
P
D. Analisis Sistem Antrian Prioritas Saat Ini (2 Server) Berikut ini merupakan analisis sistem antrian yang ada pada proses pemeriksaan awal pasien di IRD RSUD Dr. Soetomo saat ini. Berdasarkan pada lampiran 3, diketahui tingkat kedatangan pasien kategori gawat (merah dan biru) untuk hari Kamis adalah 5,275 pasien per jam, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien kategori gawat (merah dan biru) pada hari Kamis adalah 18,462 pasien per jam. Tingkat kedatangan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) untuk hari Kamis adalah 5,419 pasien per jam, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) pada hari Kamis adalah 3,307 pasien per jam. Maka selanjutnya akan dihitung analisis sistem untuk pasien kategori gawat dan stabil pada hari Kamis: 1. Utilitas Sistem Utilitas sistem atau tingkat kesibukan server pada hari Kamis akan dicari dengan menggunakan persamaan (1). Jika nilai yang dihasilkan ρ>1 maka server tidak dapat melayani atau menampung pasien yang ada. Namun jika ρ ≤ 1 maka server dapat melayani pasien. λ ρ gawat = s.µ 5,274725275
ρ stabil =
= (2)(18,46153846) = 0,143011918
λ
s.µ 5,419354839
= (2)(3,307086614) = 0,628770302
4
2. Probabilitas Tidak Ada Pasien Dalam Sistem (P 0 ) Selanjutnya akan dicari probabilitas tidak ada pasien kategori gawat dan stabil dalam sistem. Jika nilai yang diperoleh semakin tinggi maka probabilitas tidak ada pasien dalam sistem juga tinggi, dan berlaku sebaliknya yang akan dihitung dengan persamaan (2). Perhitungan probabilitas tidak ada pasien kategori gawat pada hari Kamis adalah sebagai berikut 𝑃0 = 1 − ρ 𝑃0 Kamis Gawat = 1 − ρ = 1 − 0,143011918 = 0,857142857 𝑃0 Kamis Stabil = 1 − ρ = 1 − 0,628770302 = 0,180645161 R
R
R
3. Ekspektasi Waktu Tunggu Dalam Antrian (𝑊𝑞 ) Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian adalah waktu yang dihabiskan pasien dalam menunggu proses untuk dilayani, dalam hal ini hanya waktu menunggu untuk dilayani saja. Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian dihitung dengan persamaan (3). 𝑊𝑞 =
λ 𝑠−1
λ2 𝜇−2 �𝜇�
λ 𝑛 λ 𝑠 � � � � 𝜇 𝜇 + λ � 𝑛! (𝑠−1)!�𝑠− � 𝜇
λ 2
2(𝑠−1)!�𝑠− � �∑𝑠−1 𝑛=0
𝑊𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡
𝜇
1 5,274725275 2−1 �� � (18,46153846)2 18,46153846 = 5,274725275 𝑛 5,274725275 𝑠 � � � � 5,274725275 2 18,46153846 2−1 18,46153846 2(2 − 1)! �2 − � �∑𝑛=0 + 𝑛! 5,274725275 � 18,46153846 (2 − 1)! �2 − � 18,46153846 = 0,008746356 (5,274725275)2 �
𝑊𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙
1 5,419354839 2−1 �� � (3,307086614)2 3,307086614 = 5,419354839 𝑛 5,419354839 𝑠 � � �3,307086614� 5,419354839 2 2−1 3,307086614 2(2 − 1)! �2 − 3,307086614� �∑𝑛=0 + 5,419354839 � 𝑛! (2 − 1)! �2 − 3,307086614� = 0,218466566 (5,419354839)2 �
4. Ekspektasi Waktu Tunggu Dalam Sistem (𝑊) Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem antrian adalah waktu total yang dihabiskan oleh pasien, dari proses menunggu dilayani sampai proses pelayanan selesai. Perhitungan waktu tunggu dalam sistem menggunakan persamaan (4). 𝑊 = 𝑊𝑞 +
1
µ
1
𝑊𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = 0,008746356 + 18,46153846 = 0,062913022 jam 1 𝑊𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = 0,218466566 + 3,307086614 = 0,520847519 jam
5. Ekspektasi Banyak Pasien Dalam Antrian (𝐿𝑞 ) Ekspektasi banyak pasien dalam antrian adalah jumlah pasien yang menunggu untuk dilayani saja. Ekspektasi banyak pasien dalam antrian akan dihitung dengan menggunakan persamaan (5).
𝐿𝑞 = λ 𝑊𝑞 𝐿𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = (5,274725275)(0,008746356) = 0,046134623 pasien 𝐿𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = (5,419354839) (0,218466566) = 1,183947843 pasien
6. Ekspektasi Banyak Pasien Dalam Sistem (𝐿) Ekspektasi banyak pasien dalam sistem berbeda halnya dengan ekspektasi banyak pasien dalam antrian. Ekspektasi banyak pasien dalam sistem adalah total pasien yang berada
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 dalam sistem antrian, termasuk pasien yang sedang mengantri dan pasien yang sedang dilayani. Ekspektasi banyak pasien dalam sistem akan dihitung dengan menggunakan persamaan (6). 𝐿 =λ𝑊 𝐿 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = (5,274725275)(0,062913022) = 0,331848909 pasien 𝐿 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = (5,419354839)(0,520847519) = 2,82265752 pasien
R
Sabtu
Minggu
0,148
0,104
0,117
Stabil
0,819
0,781
0,726
0,601
Gawat
0,857
0,852
0,896
0,883
Stabil
0,181
0,219
0,274
Gawat
0,009
0,01
Stabil
0,219
0,234
Rabu
Jumat
0,143
Selasa
Kamis
Gawat
R
Senin
Kategor i
ρ (%)
0,079
0,086
0,068
0,592
0,66
0,662
0,921
0,914
0,932
0,399
0,408
0,34
0,338
0,004
0,005
0,002
0,002
0,001
0,243
0,217
0,213
0,236
0,236
P0
Wq (jam) W (jam) Lq (pasien) L (pasien)
Gawat
0,063
0,062
0,052
0,059
0,052
0,055
0,051
Stabil
0,521
0,578
0,532
0,489
0,517
0,532
0,556
Gawat
0,046
0,054
0,016
0,022
0,005
0,007
0,003
Stabil
1,184
1,064
1,223
0,956
0,828
1,05
0,977
Gawat
0,332
0,35
0,224
0,255
0,163
0,179
0,14
Stabil
2,823
2,63
2,674
2,159
2,011
2,37
2,301
E. Analisis Sistem Antrian Prioritas 3 Server Berikut ini merupakan analisis sistem antrian prioritas yang ada pada proses pemeriksaan awal pasien di IRD RSUD Dr. Soetomo jika menggunakan tiga server. Berdasarkan pada lampiran 3, diketahui tingkat kedatangan pasien kategori gawat (merah dan biru) untuk hari Kamis adalah 5,275 pasien per jam, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien kategori gawat (merah dan biru) pada hari Kamis adalah 18,462 pasien per jam. Tingkat kedatangan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) untuk hari Kamis adalah 5,419 pasien per jam, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) pada hari Kamis adalah 3,307 pasien per jam. Maka selanjutnya akan dihitung analisis sistem untuk pasien kategori gawat dan stabil pada hari Kamis: 1. Utilitas Sistem Utilitas sistem atau tingkat kesibukan server pada hari Kamis akan dicari dengan menggunakan persamaan (1). Jika nilai yang dihasilkan ρ>1 maka server tidak dapat melayani atau menampung pasien yang ada. Namun jika ρ ≤ 1 maka server dapat melayani pasien. λ
ρ gawat = s.µ
5,274725275
= (3)(18,46153846)
= 0,095238095 λ ρ stabil = s.µ 5,419354839
= (3)(3,307086614) = 0,546236559
dihitung dengan persamaan (2). Perhitungan probabilitas tidak ada pasien kategori gawat pada hari Kamis adalah sebagai berikut 𝑃0 = 1 − ρ 𝑃0 Kamis Gawat = 1 − ρ = 1 − 0,095238095 = 0,904761905 𝑃0 Kamis Stabil = 1 − ρ = 1 − 0,546236559 = 0,453763441 R
Tabel 9. Hasil Perhitungan Sistem Antrian Prioritas Dua Server Hari
5
2. Probabilitas Tidak Ada Pasien Dalam Sistem (P 0 ) Selanjutnya akan dicari probabilitas tidak ada pasien kategori gawat dan stabil dalam sistem. Jika nilai yang diperoleh semakin tinggi maka probabilitas tidak ada pasien dalam sistem juga tinggi, dan berlaku sebaliknya yang akan
3. Ekspektasi Waktu Tunggu Dalam Antrian (𝑊𝑞 ) Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian adalah waktu yang dihabiskan pasien dalam menunggu proses untuk dilayani, dalam hal ini hanya waktu menunggu untuk dilayani saja. Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian dihitung dengan persamaan (3). 𝑊𝑞 =
λ 𝑠−1 λ2 𝜇−2 �𝜇� λ 𝑛 λ 𝑠 � � � � 2 λ 𝜇 𝜇 2(𝑠−1)!�𝑠− � �∑𝑠−1 𝑛=0 𝑛! + λ � 𝜇 (𝑠−1)!�𝑠− � 𝜇
𝑊𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 =
1 5,274725275 3−1 �� � (18,46153846)2 18,46153846 5,274725275 𝑛 5,274725275 3 2 � � � � 5,274725275 18,46153846 3−1 18,46153846 2(3 − 1)! �3 − � �∑𝑛=0 + 𝑛! 5,274725275 � 18,46153846 (3 − 1)! �3 − � 18,46153846 = 0,001251832 (5,274725275)3 �
𝑊𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙
1 5,419354839 3−1 �� � (3,307086614)2 3,307086614 5,419354839 𝑛 5,419354839 3 2 � � � 5,419354839 3,307086614� 3−1 3,307086614 2(3 − 1)! �3 − 3,307086614� �∑𝑛=0 + 𝑛! 5,419354839 � (3 − 1)! �3 − � 3,307086614 = 0,107353617 (5,419354839)3 �
=
4. Ekspektasi Waktu Tunggu Dalam Sistem (𝑊) Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem antrian adalah waktu total yang dihabiskan oleh pasien, dari proses menunggu dilayani sampai proses pelayanan selesai. Perhitungan waktu tunggu dalam sistem menggunakan persamaan (4). 𝑊 = 𝑊𝑞 +
1
µ
𝑊𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = 0,001251832 +
1 18,46153846
= 0,055418499 jam 1 𝑊𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = 0,107353617 + 3,307086614 = 0,40973457 jam
5. Ekspektasi Banyak Pasien Dalam Antrian (𝐿𝑞 ) Ekspektasi banyak pasien dalam antrian adalah jumlah pasien yang menunggu untuk dilayani saja. Ekspektasi banyak pasien dalam antrian akan dihitung dengan menggunakan persamaan (5).
𝐿𝑞 = λ 𝑊𝑞 𝐿𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = (5,274725275)(0,001251832) = 0,006603072 pasien 𝐿𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = (5,419354839) (0,107353617) = 0,581787346 pasien
6. Ekspektasi Banyak Pasien Dalam Sistem (𝐿) Ekspektasi banyak pasien dalam sistem berbeda halnya dengan ekspektasi banyak pasien dalam antrian. Ekspektasi banyak pasien dalam sistem adalah total pasien yang berada dalam sistem antrian, termasuk pasien yang sedang mengantri dan pasien yang sedang dilayani. Ekspektasi banyak pasien dalam sistem akan dihitung dengan menggunakan persamaan (6). 𝐿 =λ𝑊
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 𝐿 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = (5,274725275)(0,055418499) = 0,292317358 pasien 𝐿 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = (5,419354839)(0,40973457) = 2,220497023 pasien
Tabel 10. Hasil Perhitungan Sistem Antrian Prioritas Tiga Server Kamis
Jumat
Sabtu
Minggu
Senin
Selasa
Rabu
ρ (%)
Kategori
Hari
Gawat
0,095
0,099
0,069
0,078
0,053
0,057
0,046
Stabil
0,546
0,521
0,484
0,401
0,395
0,44
0,441
Gawat
0,905
0,902
0,931
0,922
0,948
0,943
0,955
Stabil
0,454
0,479
0,516
0,599
0,605
0,56
0,559
Gawat
0,001
0,003
0,0008
0,001
0,0003
0,0004
0,0002
Stabil
0,107
0,097
0,082
0,051
0,049
0,065
0,066
Gawat
0,055
0,055
0,049
0,055
0,049
0,053
0,05
Stabil
0,41
0,441
0,371
0,323
0,353
0,361
0,386
Gawat
0,007
0,016
0,003
0,005
0,0009
0,001
0,0004
Stabil
0,582
0,441
0,414
0,226
0,191
0,291
0,272
Gawat
0,292
0,312
0,211
0,238
0,159
0,173
0,137
Stabil
2,221
2,003
1,866
1,428
1,374
1,611
1,596
P0
Wq (jam)
W (jam)
Lq (pasien)
L (pasien)
F. Perbandingan Sistem Antrian Prioritas Tiga Server, Empat Server dan Lima Server Ada empat hal yang menjadi tolok ukur untuk mendapatkan sistem terbaik dan yang dapat mengurangi waktu tunggu pasien. Tolok ukur tersebut adalah membandingkan nilai utilitas atau kegunaan sistem, panjang antrian, lama waktu tunggu dalam antrian dan lama waktu tunggu yang dihabiskan pasien dalam sistem. Hasil perbandingan sistem antrian dua server dan tiga server akan ditunjukkan pada Tabel 11. Tabel 11 Perbandingan Sistem Antrian Dua Server dan Tiga Server
Stabil (3S)
Lq (pasien )
Gawat (2S) Gawat (3S) Stabil (2S) Stabil (3S)
Wq (jam)
Gawat (2S) Gawat (3S) Stabil (2S) Stabil (3S)
W (jam)
Gawat (2S) Gawat (3S) Stabil (2S) Stabil (3S)
0,41
0,069 0,726 0,484 0,016 0,003 1,223 0,414
0,01
0,004
0,00 3 0,23 4 0,09 7 0,06 2 0,05 5 0,57 8 0,44 1
0,000 8 0,243 0,082 0,052 0,049 0,532 0,371
0,11 7 0,07 8 0,60 1 0,40 1 0,02 2 0,00 5 0,95 6 0,22 6 0,00 5 0,00 1 0,21 7 0,05 1 0,05 9 0,05 5 0,48 9 0,32 3
Rabu
Stabil (2S)
0,104
Selasa
0,14 8 0,09 9 0,78 1 0,52 1 0,05 4 0,01 6 1,06 4 0,44 1
Senin
0,14 3 0,09 5 0,81 9 0,54 6 0,04 6 0,00 7 1,18 4 0,58 2 0,00 9 0,00 1 0,21 9 0,10 7 0,06 3 0,05 5 0,52 1
Minggu
Jumat
Gawat (2S) Gawat (3S)
Sabtu
Kamis
ρ (%)
Kategori
Hari
0,079
0,086
0,068
0,053
0,057
0,046
0,592
0,66
0,662
0,395
0,44
0,441
0,005
0,007
0,003
0,000 9
0,001
0,000 4
0,828
1,05
0,977
0,191
0,291
0,272
0,002
0,002
0,001
0,000 3
0,000 4
0,000 2
0,213
0,236
0,236
0,049
0,065
0,066
0,052
0,055
0,051
0,049
0,053
0,05
0,517
0,532
0,556
0,353
0,361
0,386
6
V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 1. Rata-rata waktu kedatangan pasien kategori gawat yang terpendek terjadi pada hari Jumat yaitu sektiar 12,23 menit per pasien, sedangkan pasien kategori stabil yang terpendek terjadi pada hari Kamis yaitu sektiar 12,92 menit per pasien. Rata-rata waktu pelayanan pasien kategori gawat dengan menggunakan dua server pada hari Jumat yaitu sekitar 3,13 menit per pasien, sedangkan untuk pasien kategori stabil dengan menggunakan dua server pada hari Kamis yaitu sekitar 18,14 menit per pasien. 2. Waktu tunggu dalam antrian untuk pasien kategori stabil pada hari Sabtu merupakan yang terlama yaitu sekitar 14,57937337 menit per pasien. 3. Jika dilakukan penambahan satu server sehingga menjadi tiga server, waktu tunggu pasien dalam antrian prioritas berkurang. Waktu tunggu dalam antrian paling lama dalam prioritas dua server untuk pasien kategori stabil sebesar 14,57937337 menit per pasien, jika menggunakan tiga server waktu tunggu berkurang sehingga menjadi 6,441217041 menit per pasien. 5.2 Saran Sistem antrian yang disarankan untuk IRD RSUD Dr. Soetomo Surabaya adalah dengan menggunakan penambahan server (dokter), karena dengan semakin banyaknya server yang beroperasi maka waktu tunggu dan panjang antrian pasien dapat dikurangi. DAFTAR PUSTAKA [1]
Khasanah, Heksa Uswatun. 2010. “Simulasi Sistem Pelayanan Pasien Pada Poli Mata Di RSU Kabupaten Gresik”. Tugas Akhir, Jurusan S1 Matematika, ITS. [2] Annisa, Zarah Ayu. 2011. “Analisis Sistem Antrian Pada Pelayanan Poli Kandungan Dan Ibu Ham il Di Rumah Sakit X”. Tugas Akhir, Jurusan D3 Statistik, ITS. [3] Setiawan, Agus. 2003. “Analisis Antrian Di Hero Supermarket Plaza Tunjungan 1 Surabaya”.Tugas Akhir, Jurusan D3 Statistik, ITS. [4] Heizer, J. Dan Render, B. 2005. “Manajemen Operasi”. Buku 2. Salemba Empat. Jakarta. [5] Lasono, Eka S. 2009. “Model Antrian Perencanaan dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit”. Jurusan S1 Matematika, ITS. [6] Lieberman, H. “Introduction to Operation Reseach”. Hal 834-891. Edisi ketujuh. [7] Bondi, A. B., & Buzen J. P. 1981. “The Response Times of Priority Classes under Preemptive Resume in M/G/m Queues”. Purdue University [8] Djauhari, M. 1997. “Statistika Matematika”. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB. Bandung. [9] Dimyati, A. & Tarliyah, T. 1999. Operation Research “Model-Model Pengambilan Keputusan”. PT Sinar Baru Algesindo. Bandung. [10] Fauzy, Akhmad. 2008. “Statistik Industri”. Erlangga. Jakarta. [11] Ikhirimah, A., Supriyono, & Kharisudin, I. 2012. “Analisis Antrian Single Channel Single Phase Pada Loket Penjualan Tiket Kereta Api Kaligung Di Stasiun Poncol”. UNNES Journal of Mathematics. Semarang
