ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.)
pro
zemědělské
obory
Minitest MT9 2
1. K výpočtu
1
∫ 1 x dx
užijte kalkulačku. Zaokrouhlete
1
na 1 desetinné místo. Úplně jednoduché - určitý integrál pro začátečníky: 2 2 ∫ 1 1x d x=[ xln x ] = 2 + ln2 - (1 + ln1) = 2 + ln2 - 1 - 0 = 1 + ln2 ≈ 1,7 ... možnost (C). 1 1
1
2. Nechť f(x) = 2x. Je-li a =
∫ f x dx , 0
3
b =
∫ f x dx , 2
b
∫ f x dx
potom
je roven ...
a
V podstatě je to směšně lehký příklad. Aby se neřeklo, že jsou v tomto testu jen samé příklady pro předškoláky, je to zkomplikované tím, že meze a, b si musíme dopočítat. Takže nebudeme hledat komplikace a spočítáme to: 1
a=
∫ 2x d x =[ 2. 12 x 2 ] 0 3
b= 5
∫ 2x d x =[ 2. 12 x 2 ] 2
∫ 2x d x =[ 2. 12 x 2 ] 1
5 1
1 0 3 2
1
=[ x 2 ] = 1 - 0 = 1 0 3
=[ x 2 ] = 9 - 4 = 5 2
5
=[ x 2 ] = 25 - 1 = 24, což je varianta (C). 1
3. Kolik litrů vody se vejde do trubice tvaru rotačního tělesa vzniklého rotací křivky y = lnx v intervalu 〈0,500〉 kolem osy "x", je-li x udáno v centimetrech? Zaokrouhlete na celé litry.
Vzoreček pro objem tělesa vzniklého rotací grafu funkce f(x) v intervalu 〈a,b〉 kolem osy x je: b
V =∫ f 2 x d x . a
Ten tedy použijeme. Tuším trochu problém s integrováním, ale to zvládnem. Protože máme meze zadané v centimetrech, výsledek bude zase v centimetrech, ale krychlových neboli kubických, kterým zdravotníci říkají kubíky, takže všichni už vědí, že to budou mililitry. Výsledek v litrech pak dostaneme vydělením tisícem. 500
V =∫ ln x2 d x=... Napřed si spočítáme odpovídající neurčitý integrál. 0
Předvedu metodu per partes: ∫ ln x 2 d x=∫ ln x. ln x d x = ... Oproti zvyklostem označím dílčí funkce velkými písmeny. Za chvíli se dozvíte proč.
U ` = lnx
...
U=
∫ ln x d x
1 V`= x Dopočítám integrál toho logaritmu. Dělá se to takhle: ∫ ln x d x=∫ 1. ln x d x = ...per partes: u` = 1 V = lnx
...
v = lnx = x.lnx -
∫ x. 1x d x= x ln x -∫ 1 d x
...
u=x
...
v` =
...
= xlnx - x.
Takže k tomu prvnímu per partes máme: U ` = lnx ... U = xlnx - x 1 V = lnx ... V ` = x ... 1 = (xlnx - x).lnx - ∫ x x ln x - x d x = xln2x - xlnx -
∫ ln x - 1 d x = ∫ 1 d x ) = xln x - xlnx - ∫ ln x d x + ∫ 1 d x
2 = xln2x - xlnx - ( ∫ ln x d x = ...ještě, že máme 2 integrál z logaritmu už hotový, použijeme ho ...= xln x - xlnx - (xlnx - x) + x + C = = xln2x - xlnx - xlnx + x + x + C = xln2x - 2xlnx + 2x + C Zvírazníme si získaný výsledek, abychom viděli, jak jsme pokročili:
∫ ln x 2 d x
= xln2x - 2xlnx + 2x + C
Následují dva nepovinné body (zkouška a druhá možnost výpočtu). Provedeme zkoušku správnosti derivováním: 1 (xln2x - 2xlnx + 2x + C)` = x`.ln2x + x.(ln2x)` - 2(x`.lnx + x. x ) + 2 = ...(ln2x)` = ... snadno substitucí z = lnx, z` =
je vnitřní funkce a vnější je z2, její derivace je 2z = 2lnx ... =
1 = 1.ln2x + x. x .2lnx - 2(lnx + 1) + 2 = = ln2x + 2lnx - 2lnx - 2 + 2 = ln2x. Vychází to krásně!
.2lnx...
Nyní si Vás otestuju, zda se mi podaří Vás zcela otrávit, a předvedu Vám ten samý integrál metodou substituční:
∫ ln 2 x d x
= ...
z = lnx, tj.: x = ez 1 z` = x → přepis:
dz 1 = dx x dx = x dz dx = ez dz ... 2 z = ∫ z e d z = ... per partes (bohužel, jinak to nejde): u` = ez ... u = ez 2 v = z ... v` = 2z .... z = z2ez - ∫ 2z e d z = ... a podruhé per partes: u` = ez ... u = ez v = 2z ... v` = 2 ... z z = z2ez - (2zez - ∫ 2e d z ) = z2ez - 2zez + 2 ∫ e d z =
/ .x, .dx, / dosazení za z
= z2ez - 2zez + 2ez + C = ... dosadíme z = lnx ... = ln2x.elnx - 2lnx.elnx + 2elnx + C = ... exponenciela s logaritmem se požerou, zbyde argument logaritmu ... = xln2x - 2xlnx + 2x + C Sláva! Vyšlo to stejně. Tento postup mi připadá trochu elegantnější, ale jde o 1 substituci a 2krát per partes. Vracíme se zpět na začátek: 500
2 V =∫ ln x 2 d x = [ x ln x - 2x ln x2x ] 0
500 1
=
= π (500.(ln500)2 - 1000.ln500 + 1000 - (1.(ln1)2 - 2.ln1 + 2)) = = π (500.6,21462 - 1000.6,2146 + 1000 - (1.0 - 2.0 + 2)) = = π .14184 ≈ 44560 cm3 = 44,560 l ≈ 45 l. Když se teď kouknu na výsledky, tuším zradu. A sice: co se stane, když zaokrouhlíme ln500 = 6,21 a π vezmeme jako na základní škole 3,14? Pak to vyjde: 3,14.(500.6.212 - 6210 + 1000 - 2) ≈ 44180 cm3 ≈ 44 l. Zde vidíme, že zaokrouhlování je sviňa. Když mám logaritmus s přesností na 5 platných číslic a π na kalkulačce s přesností na 9 platných cyfer, vyjde to 45 litrů, což je možnost (E). Když ale postupuji podobně debilně jako autoři minitestu a mám vše zaokrouhleno na 2 desetinná místa, vyjde 44 litrů, což je možnost (B). Můj názor jste četli. Podle mě do výrazu, kde násobím řádově tisícem a ještě umocňuju na druhou, je dosazování zaokrouhleně na dvě desetinná místa debilní. Je to tak nepřesné, že to ani nestálo za to počítat, stačilo si tu trubku načrtnout a počet litrů odhadnout. Mohli jsme si nakonec celou matiku odpustit, no ne? Trubka v průměru cca. 10cm má průřez 3.5.5 cm2 = 75cm2, což je 0,75 dm2. To vynásobíme 500 cm = 50dm a vyjde cca. 38 dm3 neboli litrů. No co - litr sem, litr tam. Ta trojka v průřezu je moje pí, abych nemusel vytahovat kalkulačku. No jo, trochu jsem si zapřeháněl.
4. Pro obsahy P1, P2, P3 tří obrazců, které jsou ohraničeny křivkami p1: y = x2, p2: y = x + 1, p3: y = 2 x a osou "x" na intervalu 〈0,2〉 platí ... Takže klasicky obsah plochy pod grafem, a to třikrát. 2
P1 =
∫ x 2 d x=[ 13 x 3 ] 0
1 8 = 8 - 0= ≈ 2,76 3 3 0 2
2
P2 =
∫ x1 d x=[ 12 x 2x ] 0
2
P3 = =
2
∫ 2 x d x=2∫ 0
0
1 2
1 = .42 - 00 = 2 + 2 = 4 2 0 2
3
3
2 2 2 2 4 3 3 x d x=2. [ x 2 ] =2. [ x 2 ] = 2 - 0 = 3 3 3 0 0
8 4 8 4 4.2 4.2 2 = = = 3 2 ≈ 3,77 3 3 3
Seřadíme podle velikosti:
P1 < P3 < P2, což je možnost (D).
5. Obsah obrazce ohraničeného shora křivkou y = 5 - x2 a zdola přímkou y = 1 je... Postup: Možná na to máte speciálně nějaký vzoreček. My to uděláme poselsku z obrázku. Plochu ohraničenou oběma křivkami spočítáme tak, od plochy pod křivkou y = 5 - x2 odečteme obdélník S1, což je plocha pod druhou křivkou, kterou bychom také mohli počítat integrálem, ale je jasné, že je to obdélník, vzoreček jeho obsahu známe a nemusíme si ho integrací vyrábět. Symbolický zápis bude: S = P - S1, kde S1 = 4.1 = 4. Ptáte se, kde jsem získal tu čtyřku? To se ptáte správně. U těchto příkladů se musejí napřed spočítat integrační meze, což jsou průsečíky obou grafů, které spočítáme z rovnosti obou funkcí. Zde to vypadá takto: 5 - x2 = 1 - x2 = -4 x2 = 4
/ -5 / .(-1) / ±√
x1 = -2 x2 = 2 Vzdálenost průsečíků je 2 - (-2) = 4, což je šířka toho obdélníku, jeho výška je 1. x1 a x2 jsou zároveň integrační meze pro výpočet plochy P:
2
P=
∫ 5 - x 2 d x=[ 5x− 13 x 3 ] -2
2
= -2
1 1 8 8 = 10 - 3 8 - (-10 - 3 .(-8)) = 10 - 3 + 10 - 3 = 16 60 - 16 44 = 20 - 3 = 3 = 3 Teď dopočítáme: 44 44 - 12 32 S= 3 -4= = 3 3 , Což by měla být možnost (C).
6. Nemocný pes dostal lék rozpuštěný v nápoji. Funkce k(x) = x.e-0,7x vyjadřuje ( v g/min) intenzitu, s níž lék přechází do krve (ta se mění s časem). Přitom x je čas v minutách, který uplynul od podání léku. Kolik léku přejde do krve za prvních 20 minut po podání? Zaokrouhlete na celé gramy. Klasická součtová úloha. Její řešení je jednoduchý určitý integrál: 20
K=
∫ x. e -0,7 x d x
= ...
0
Abychom se neztratili v těch mezích, hranatých závorkách a několikerých integrálech, bude lepší odbočit a udělat napřed odpovídající neurčitý integrál. - 0,7 x d x = ... substituce: u` = e-0,7x ... u = ∫e ∫ x. e - 0,7x d x = ... per partes ... dz z = -0,7x ... z` = -0,7 ... d x = -0,7 /.dx, :(-0,7) -dz dx = 0,7 ... -d z 1 1 1 z z u = ∫ e . 0,7 =- 0,7 ∫ e d z = - 0,7 ez = - 0,7 e-0,7x znova zápis per partes: 1 u` = e-0,7x ... u = - 0,7 e-0,7x v = x ... v` = 1 ... 1 -0,7x 1 -0,7 x d x = = -x 0,7 e - ∫ 1. - 0,7 e 2
x -0,7 x 1 10 - 0,7 x 10 -0,7 x e e -0,7 x d x =xe e ∫ 0,7 0,7 7 7 20
... K =
∫ x. e 0
-0,7 x
[
7
7
x x d x = - 10 x e 10 - 100 e 10 7 49
]
20
= 0
10 10 - 14 100 -14 0 100 0 = - 7 20 e - 49 e - - 7 0. e - 49 e =
200 100 -14 100 = - 7 - 49 e 0 49 = - 1400−100 -14 100 1500 -14 100 e =e = 49 49 7 49 ≈ 2g Tj. (A).
7. Objem tělesa, které vzniklo rotací obrazce 2 ohraničeného křivkou y = 5x kolem osy x v intervalu 〈1, 2〉 je ... Je to stejné jako v příkladu 3, jenom o kus jednodušší: Máme na to vzoreček (pro toto zadání) 2
2 V = π ∫ 5 x 1
2
2
d x = π ∫ 25 x 4 d x = 1
2
[ ]
2
1 5 5 2 = π.25. ∫ x d x=.25 x =.5. [ x ] 1 = 5 1 1 4
= 5π (32 - 1) = 5π.31 = 155π ,
což je možnost (A).
8. V řetězci supermarketů poptávková funkce c(x) = 80 - 2 x vyjadřuje závislost ceny c(x) za 1 kg červených paprik na velikosti poptávky x v tunách. Průměrná cena za 1kg červených paprik pro velikost poptávky v rozmezí 60 až 70 tun je podle tohoto modelu (zaokrouhleno na desítky haléřů): Je na to vzoreček (průměr značíme obvykle pruhem nad písmenkem): 70 1 ∫ 80 - 2 x d x = normálně počítáme, je to lehké... c= 70 - 60 60 70
1
[
3
1 1 2 80 - 2 x 2 d x= 80x - 2. x 2 = ∫ 10 60 10 3
[
3
]
70
]
70
= 60
1 4 1 4 4 80x - x 2 = 80.70 - 343000 - 80.60 216000 = = 10 3 10 3 3 60 1 4 4 ≈ 10 (800 - 3 . 585,66 + 3 . 464,76) ≈ 63,90. To je možnost (D). Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.
