ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.)
pro
zemědělské
obory
Minitest MT4
1. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x1, x2 vyberte právě všechny ty, které jsou regulární. S1: 2x1 + x2 = 1 S2: 2x1 + 2x2 = 2 S3: 2x1 - x2 = 2 6x1 + 3x2 = 2 6x1 + 3x2 = 4 6x1 + 3x2 = 6 (A) S1,S2 (E) žádná
(B) S1,S3
(C) S2,S3
(D) všechny
Regulární soustava se pozná tak, že hodnost její matice i hodnost její rozšířené matice je rovna počtu rovnic, kterých je ale stejně jako neznámých. Vzoreček vypadá takto:
h(A) = h(A*) = počet rovnic = počet neznámých Toto když platí, je soustava regulární, a jinak ne. Připomínám, že hodnost se počítá tak, že se na danou matici použije Gaussova eliminace, tj. převedení úpravami na spodní trojúhelníkový tvar; a pak se spočítají nenulové řádky. Jak se dostaneme od soustavy k matici předvedu na zadaném příkladě. Jen si napřed řekneme tři důležitá pravidla přípravné fáze toho přechodu od soustavy k matici:
1) Všechny členy v soustavě seřadíme podle písmenek abecedně nebo podle indexů. Např.: 3z - 2x + y = 1 ~ -2x + y + 3z = 1
2) Ve členech tvořených pouze písmenkem před to samotné písmenko dopíšeme jedničku - např.: -2x + y + 3z = 1 ~ -2x + 1y + 3z = 1
3) Když v nějaké rovnici chybí člen s nějakým písmenkem, doplníme místo něj nulový člen - bude tvořen nulou a tím písmenkem. Např.: -2x + 1y + 3z = 1 -2x + 1y + 3z = 1 ~ 3x - z = 0 3x + 0y - 1z = 0 Poznámka: Zadané soustavy jsou už téměř připravené, jenom na dvou místech chybí jednička.
S1:
2x1 + x2 = 1 6x1 + 3x2 = 2
2x1 + 1x2 = 1 6x1 + 3x2 = 2
~
~
Matici A soustavy dostaneme tak, že vynecháme písmenka, plusy a pravé strany včetně rovnítek...
2 1 =A 6 3
~
2 1 6 3
Úpravy:
~
2 1 0 0
⇒ h(A) = 1
Snad Vás nezmátl způsob zápisu úpravy matice, neznamená to, že odečítáme tři ix, nýbrž že odečítáme trojnásobek prvního řádku od řádku druhého. Rozšířenou matici A* soustavy (nejen) S1 uděláme tak, že v předpřipravené soustavě vynecháme pouze písmenka a plusy. (Sloupec pravých stran oddělujeme čárkovanou čárou.)
2 1 │ 1 ... ~ 6 3 │ 2 = A* │
Úpravy:
2 1 │ 1 │ 6 3 2 │
2 1 │ 1 ~ 0 0 │ −1 ⇒ h(A*) = 2 ≠ h(A) ... Soustava S1 není regulární. │
Soustava S1 nám dává pěknou možnost pochopit, co vlastně znamená regulární soustava, a co se děje, když soustava není regulární. A sice když ji zkusíme vyřešit postaru jako na základní škole: 2x1 + x2 = 1 6x1 + 3x2 = 2 ~
~
2x1 + x2 = 1 2
2x1 + x2 = 3
Druhou rovnici dělíme třemi, protože jsou vlevo soudělná čísla
~ Z toho plyne
1=
, což není pravda, takže jsme dostali spor.
To znamená, že soustava nemá žádné řešení. 2x 11x 2=1 U podobné soustavy 6x 3x =3 by vyšlo h(A) = h(A*) = 1, 1 2 protože se vlastně jedná o dvě varianty jedné rovnice o dvou neznámých. Ani tato soustava není regulární a má nekonečně mnoho řešení. Ale zpět k příkladu: S2:
2x1 + 2x2 = 2 6x1 + 3x2 = 4 ~A=
2 2 6 3
~
~
2 2 ⇒ h(A) = 2, 0 −3
2 2│ 2 ~ A* = 6 3 │ 4 │ rovnic ... 2, S3:
2 2 │ 2 ~ 0 −3 │ −2 ⇒ h(A*) = 2, │
neznámých ... 2.
Takže tato soustava je regulární.
2x1 - x2 = 2 2x1 - 1x2 = 2 ~ 6x1 + 3x2 = 4 6x1 + 3x2 = 4 ~A=
2 −1 6 3
~
2 −1 │ 2 ~ A* = 6 3 │ 4 │ rovnic ... 2,
~
2 −1 ⇒ h(A) = 2, 0 6
2 −1 │ 2 ~ 0 6 │ −2 ⇒ h(A*) = 2, │
neznámých ... 2.
S3 je také regulární.
Správně je (C): "S2, S3". A jak by vypadalo řešení takové regulární soustavy? S2:
2x1 + 2x2 = 2 6x1 + 3x2 = 4
~ první rovnici vynásobíme mínus trojkou
-6x1 + -6x2 = -6 6x1 + 3x2 = 4
~ sečteme
~ 0x1 - 3x2 = -2
~
-3x2 = -2 x2 =
/ :(-3)
2 3
4
Dosadíme do první rovnice: 2x1 + 3 = 2 / :2 2
x1 + 3 = 2
/-
6
4
2
x1 = 3 - 3 = 3 4
2
Řešení soustavy S2: [ 3 , 3 ].
2. Určete, kolik řešení má soustava čtyř rovnic o čtyřech neznámých x1, x2, x3, x4 vpravo
(A) žádné (B) právě 1 (E) nekonečně mnoho
x1 + x2 - 3x3 + x4 2x1 + 2x2 + x3 - x4 3x1 + x2 - 3x3 + 2x4 x1 - x2 - 2x3 + 3x4
(C) právě 2
= = = =
7 6 5 4
(D) právě 4
• Soustava má právě jedno řešení, když je regulární, tj. hodnost matice soustavy, hodnost rozšířené matice soustavy, počet rovnic v soustavě a počet neznámých je jedno a totéž číslo.
• Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(A*) < počet neznámých. • Soustava nemá žádné řešení, pokud h(A) < h(A*). A nic jiného nenastane. Takže postup řešení je jako v prvním příkladu: x1 + x2 - 3x3 + x4 = 7 2x1 + 2x2 + x3 - x4 = 6 3x1 + x2 - 3x3 + 2x4 = 5 x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = 4
~
1 1 −3 1 │ 7 │ 2 2 1 −1 6 3 1 −3 2 │ 5 │ 1 −1 −2 3 4 │
~
1 1 −3 1 │ 7 0 0 7 −3 │ −8 ~ 0 −2 6 −1 │ −16 │ 0 −2 1 2 −3 │
1 1 −3 1 │ 7 │ 0 0 35 −15 −40 ~ 0 −2 6 −1 │ −16 │ 0 0 −35 21 91 │
1x1 + 1x2 - 3x3 + 1x4 = 7 2x1 + 2x2 + 1x3 - 1x4 = 6 3x1 + 1x2 - 3x3 + 2x4 = 5 1x1 - 1x2 - 2x3 + 3x4 = 4
1 1 −3 1 │ 7 │ 0 0 7 −3 −8 ~ 3 1 −3 2 │ 5 │ 1 −1 −2 3 4 │
~
1 1 −3 1 │ 7 │ 0 0 7 −3 −8 ~ 0 −2 6 −1 │ −16 │ 1 −1 −2 3 4 │
1 1 −3 1 │ 7 │ 0 0 7 −3 −8 ~ 0 −2 6 −1 │ −16 │ 0 0 −5 3 13 │
1 1 −3 1 │ 7 │ 0 0 35 −15 −40 ~ 0 −2 6 −1 │ −16 │ 0 0 0 6 51 │
~
~
1 1 −3 1 │ 7 │ 0 −2 6 −1 −16 ~ 0 0 35 −15 │ −40 │ 0 0 0 6 51 │
h(A) = 4, h(A*) = 4, rovnic ... 4, neznámých ... 4, tzn. soustava je regulární. Má tedy právě jedno řešení, kterým je ovšem jedna čtveřice čísel. Správně je tedy (B). Poznámka: Protože rozšířená matice A* soustavy už obsahuje matici A dané soustavy, provádíme úpravy na rozšířené matici a při konečném počítání nenulových řádků A si pak odmyslíme sloupec pravých stran.
3. Je dána soustava lineárních rovnic o neznámých x1, x2 x1 - 3x2 = 3 2x1 + px2 = 6 Určete, jaká musí být hodnota parametru p, aby soustava byla regulární. (A) p ≠ 6 (B) p ≠ -6 (C) p = 6 (D) p = -6 (E) žádná z uvedených odpovědí není správná. Vlastně stejně jako v předchozích příkladech sestrojíme rozšířenou matici soustavy. Provádíme na ní úpravy, přitom s písmenkem p pracujeme stejně jako s číslem. Nakonec se podíváme, pro jaká p má výsledná matice ten správný počet nenulových řádků, čímž dostaneme jednu (ne)rovnici pro p. Její řešení je výsledek příkladu. x1 - 3x2 = 3 2x1 + px2 = 6
1 −3 │ 3 │ 2 p 6 │
1x1 - 3x2 = 3 2x1 + px2 = 6
~
1 ~ 0
p+6≠0 p ≠ -6
−3 │ 3 │ p6 0 │
~ p6=0 ⇒ h A*=1, h A=1, 2 rovnice , 2 neznámé⇒ Soustava není regulární.
p6≠0 ⇒ h A*=h A=počet rovnic = počet neznámých=2 ⇒Soustava je regulární.
/ -6
Takže možnost (D) je správně.
[
]
[
2 1 0 −1 = −1 0 1 2 pomocí matice inverzní. Tato matice inverzní je rovna
4. Máme řešit maticovou rovnici
[
]
[
]
[
X.
2 −1 0 −1 −2 1 (B) (C) 1 0 1 2 −1 0 (E) není žádná z uvedených matic.
(A)
]
(D)
[
0 1 −1 2
]
]
Řešení maticových rovnic je vysvětleno na zvláštní stánce. Jenom způsob zápisu ve skriptech neodpovídá. Já používám tento: 2 1 0 −1 X × −1 0 = 1 2
Podle návodu je první krok řešení označit matice písmenky:
X×A=B,
2 1 A = −1 0 ,
0 −1 B= 1 2
Dále by následovaly úpravy: X ×A= B X × A × A-1 = B × A-1 X × E = B × A-1
/ × A-1 (zprava) / vlevo roznásobit / ... atd. Úkolem ale není vyřešit rovnici. Pouze se dopídit k matici A-1 .
Ukážeme si výrobu inverzní matice metodou úprav. Dělá se to tak, že
si napíšeme dvojmatici ( A | E ). Vlevo je zadaná matice, ke které hledáme matici inverzní, vpravo pak dáme jednotkovou matici odpovídající velikosti.
Pak děláme úpravy na celé takto vzniklé dlouhé dvojřádky, až >>>>>
se dostaneme k jednotkové matici vlevo. To, co je v pravé půlce, je potom hledaná inverzní matice
( E | A-1 ).
Protože jde většinou o docela dlouhý proces, kde může na každém kroku dojít k hloupé chybě třeba přehlédnutím, doporučuji pak ještě udělat zkoušku vynásobením matic A × A-1. Nuže realizujeme celý postup, aby bylo jasno:
2 1│ 1 0 ( A | E ) = −1 0 │ 0 1 │
−1 0 │ 0 1 ~ 0 1│ 1 2 │
−1 0 │ 0 1 ~ 2 1│ 1 0 │
~
1 0 │ 0 −1 ~ 0 1 │ 1 2 = ( E | A-1 ) │
Ten zápis berte s rezervou, je spíše schematický než korektní. Nicméně výsledek je: A-1 =
0 −1 , což je možnost (B). 1 2
5. Pomocí Cramerova pravidla soustavy lineárních rovnic.
vypočítejte
neznámou
x3
5x1 + x2 + 9x3 = 10 2x1 - x2 + x3 = 0 4x1 - 2x2 + 6x3 = 2 1 1 (C) x3 = 0 (D) x3 = 2 2 (E) není žádná z uvedených. (A) x3 = -1
(B) x3 = −
Cramerovo pravidlo spočívá v tom, že upravíme soustavu podle návodu v příkladu 1, pořídíme si její matici A, a pak ještě další matice - těch bude tolik, kolik je neznámých a dostaneme je takto: Matice Aj vznikne z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem pravých stran. Neznámé pak spočítáme podle vzorečku: ∣A j∣ det A j xj = neboli x , j = det A ∣A∣
kde samozřejmě písmenko
j nabývá hodnot 1, 2, ... n = počet neznámých. Poznámka: Mně osobně není Cramerovo pravidlo moc sympatické, protože na soustavy o dvou a třech neznámých mi připadá příliš složité, tj. že dle mého vyžaduje více úprav; a u větších soustav zase narážíme na problém výpočtu velkého determinantu, což se může ukázat jako problém náročnější než samotné řešení soustavy třeba i bez matic. Pokud ale hledáte způsob, jak naprogramovat počítač, aby počítal soustavy rovnic, pak jste s Cramerovým pravidlem na správné cestě. Přerušení poznámky. Zde máme soustavu 3 rovnic čili zadání asi nejšikovnější na Cramerovo pravidlo. Vezmeme to popořádku: přípravná fáze - úprava soustavy: 5x1 + x2 + 9x3 = 10 2x1 - x2 + x3 = 0 4x1 - 2x2 + 6x3 = 2
opatříme si matici soustavy:
5x1 + 1x2 + 9x3 = 10 ~
2x1 - 1x2 + 1x3 = 0 4x1 - 2x2 + 6x3 = 2
~
5 1 9 │ 10 2 −1 1 │ 0 = A* 4 −2 6 │ 2 │
5 1 9 A = 2 −1 1 , 4 −2 6
a rovnou spočítáme její determinant:
|A| =
=
= 5.(-1).6 + 1.1.4 + 9.2.(-2) - 9.(-1).4 - 5.1.(-2) - 1.2.6 = = -30 + 4 - 36 + 36 + 10 - 12 = = -28 Opatřili bychom si další 3 matice a jejich determinanty, ale v tomto příkladu se po nás chce spočítat pouze x3, takže se s A1 a A2 nebudeme zdržovat, když nám A3 stačí:
5 1 10 A3 = 2 −1 0 , determinant: 4 −2 2
|A3| =
=
= 5.(-1).2 + 1.0.4 + 10.2.(-2) - 10.(-1).4 - 5.0.(-2) - 1.2.2 = = -10 + 0 -40 + 40 + 0 - 4 = = -10 - 4 = = - 14 Zbývá dosadit do vzorečku: x3 =
∣A3∣ −14 1 = −28 = 2 ∣A∣
Takže možnost (D). Pokračování poznámky: Nyní račte posoudit, zda je to šikovnější způsob než úpravami matice: 2 −1 1 │ 0 5 1 9 │ 10 │ │ Rozšířenou matici soustavy A* už máme ... 2 −1 1 0 ~ 5 1 9 │ 10 4 −2 6 2 4 −2 6 │ 2 │ │
~
2 −1 1 │ 0 │ ~ 10 2 18 │ 20 4 −2 6 2 │
2 −1 1 │ 0 │ ~ 0 7 13 │ 20 4 −2 6 2 │
2 −1 1 │ 0 │ ~ 0 7 13 │ 20 ~ 0 0 4 2 │
2x1 - 1x2 + 1x3 = 0 ~
7x2 + 13x3 = 20
Upravíme pouze třetí rovnici, protože x1 a x2 nepotřebujeme:
4x3 = 2 4x3 = 2 1 x3 = 2
/ :4
Dobrá, dobrá. Vyšlo to tak nějak nerozhodně. Ale kdybychom měli spočítat všechny neznámé, asi by byla metoda úprav opravdu rychlejší. Konec poznámky.
6. Určete, kolik z daných čtyř soustav rovnic o neznámých x1, x2 nesplňuje Frobeniovu podmínku. 2x1 - x2 = 1 -2x1 + x2 = 2
2x1 - 2x2 = 2 -4x1 + 4x2 = -4
2x1 + x2 = 2 6x1 + 3x2 = 3
2x1 + x2 = 1 3x1 + 3x2 = 0 (A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Ta Frobeniova podmínka je:
h(A) = h(A*) Postup bude tedy stejný jako v příkladu 1 a 2, jenom zde nemusíme výsledek porovnávat s počtem neznámých, resp. rovnic. První soustava: 2x1 - x2 = 1 -2x1 + x2 = 2 h(A) = 1,
~
2x1 - 1x2 = 1 -2x1 + 1x2 = 2
h(A*) = 2
...
~
2 −1 │ 1 │ −2 1 2 │
~
2 −1 │ 1 │ 0 0 3 │
Podmínku nesplňuje.
Pro ty, kdo z nějakého důvodu potřebují vysvětlivku, jakým kouzlem se došlo k číslům h(A) a h(A*):
h(A)
...
Počet nenulových řádků schematu levých stran po úpravách. To je toto:
h(A*) ... Spočítáme řádky v matici po úpravách, ve kterých je alespoň jedna nenula včetně sloupce levých stran. To je toto:
Tak pokročíme k druhé soustavě: 2x1 - 2x2 = 1 -4x1 + 4x2 = -4 ⇒
h(A) = 1,
2 −2 │ 2 │ −4 4 −4 │
~
h(A*) = 1
~
...
Splňuje.
~
2 −2 │ 2 │ 0 0 0 │
⇒
Třetí soustava: 2x1 + x2 = 2 6x1 + 3x2 = 3 ⇒ h(A) = 1,
2x1 + 1x2 = 2
~
6x1 + 3x2 = 3
h(A*) = 2
...
2 1│ 2 │ 6 3 3 │
~
2 1│ 2 │ 0 0 −3 │
⇒
Nesplňuje.
Poslední soustava: 2x1 + x2 = 1 3x1 + 3x2 = 0
~
2x1 + 1x2 = 1
~
3x1 + 3x2 = 0
1 1│0 │ 2 1 1 │
~
1 1 │0 │ 0 −1 1 │
~
2 1│ 1 │ 3 3 0 │
⇒ h(A) = 2,
~
h(A*) = 2
2 1│ 1 │ 1 1 0 │
...
∼
Splňuje.
Takže vyšlo dvakrát, že nesplňuje a dvakrát, že splňuje. To je možnost (C).
Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.
