ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.)
pro
zemědělské
obory
Minitest MT7 1. Najděte rovnici tečny ke křivce y=
x−1 v bodě a = 1. x1
Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární funkce: yt = A.x + B. To A udává sklon přímky, který musí být stejný jako sklon té křivky v bodě dotyku, tzn.: A = y`(a). Pořídíme si tedy tu derivaci (podle vzorečku pro derivaci zlomku): ` x−1` . x1− x −1 . x1` −1. x 1− x−1.1 −x−1− x2 x−1 −2x y `= = = = = 2 2 2 2 x1 x1 x 1 x1 x1 −2a −2 2 1 A= y ` a= = 2 =− =− 2 4 2 a1 2 Dostali jsme, že předpis té tečny vypadá takhle: 1 y t=− xB . 2 B dopočítáme z podmínky, že tečna prochází bodem dotyku, tj., že bod [a; f(a)] splňuje vztah pro tečnu, tedy: 1 y a =− aB , 2 a−1 1−1 kde y(a) dostaneme dosazením a za x do vztahu křivky: y a = a1 = 11 =0 . Takže to dopočítání: 1 0=− .1B / úprava 2 1 0=− B / + ½, 2 1 B= 2 1 1 Máme y=− 2 x 2 . Ale nabízené výsledky takto nevypadají. V nich je všechno vlevo od rovnítka, vpravo je pouze nula a nejsou tam žádné zlomky. Zapracujeme tedy na výsledku jako na rovnici, abychom také dostali něco takového: 1 1 y=− x / .2 2 2 2y = -x + 1 /+x-1
2y + x - 1 = 0 No a stejně vychází možnost (E): „žádná z uvedených“.
2
2. Je dána funkce y =x.ex . Potom pro hodnoty y``(-1), y``(0) a y``(1) platí: ... Postup bude takovýto: 1) zderivujeme jednou, 2) zderivujeme podruhé, 3) dosadíme, 4) porovnáme. ad 1) 2 2 y=x. e x je součin funkcí. První z nich je x, její derivace je 1. Druhá z nich je e x , což je složená funkce. Vnější funkce je ez, kde z = x2 je vnitřní funkce. Derivace vnější funkce vychází zase ez. Derivace vnitřní je z` = 2x. Takže vynásobením derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce dostáváme: 2 2 ( e x )` = 2x.ez = 2 x . e x . Jsme tedy připraveni zderivovat ten zapeklitý součin: 2 2 y` = x`. e x + x.( e x )` = 2
2
= 1. e x + x.2x. e x = 2
2
= e x + 2x2 e x = 2
= (1 + 2x2) e x = =(2x2 + 1) e x
(vytknout exponencielu za závorku): (považuje se za slušnost ve výsledcích polynomy seřadit podle velikosti exponentu)
2
ad 2) 2 Derivujeme funkci: (y` = ) (2x2 + 1). e x = což je zase součin 2 funkcí. První z nich je polynom 2x2 + 1. Jeho derivace je: (2x2 + 1)` = 2.2x + 0 = 4x. 2 2 2 Druhá z nich je složená funkce e x , kterou jsme už zderivovali v bodě 1): ( e x )` = 2x. e x . Takže: 2 2 2 y`` = (y`)` = ((2x2 + 1). e x )` = (2x2 + 1)`. e x + (2x2 + 1).( e x )` = 2
2
= 4x e x + (2x2 + 1).2 e x = 2
2
2
= 4x e x + 4x3 e x + 2x e x = 2
2
= 4x3 e x + 6x e x = (4x3 + 6x) e x
2
ad 3) y``(-1) = (4.(-1) + 6(-1)).e1 = -10e y``(0) = (4.0 + 6.0).e0 = 0.1 = 0 y``(1) = (4.1 + 6.1).e1 = -10e Pro jistotu ještě dosadíme e ≈ 2,7 a dostáváme:
y``(-1) ≈ -27; y``(0) ≈ 0; y``(1) ≈ 27. ad 4) -tento seznam hodnot druhé derivace už je seřazený od nejmenší po největší, takže máme konečný výsledek: y``(-1) < y``(0) < y``(1), což je možnost (C).
3. Je dána funkce y = x3 - 6x2 + 9x + 4. Označme MI počet všech lokálních minim a MA počet všech lokálních maxim (na celém definičním oboru této funkce). Pak platí ... Potřebujeme první derivaci. Zjistíme, ve kterých bodech je nulová - tak dostaneme adepty na lokální extrémy (tj. minima i maxima). * Pořídíme si i druhou derivaci funkce a dosadíme do ní ty body. Kde vyjde 2. derivace záporná, je maximum, kde vyjde kladná, tam je minimum, kde je nulová, tam bude asi inflexní bod. Poznámka: Nečekejme nějaký závratný počet bodů, protože jde o polynom. Grafy polynomů mají typické tvary (myslím tím, že polynomy např. 5. stupně vypydají všechny podobně): polynom 1. st.
polynom 2. st.
polynom 3. st.
polynom 4. st.
polynom 5. st.
polynom 6st.
* pozn.: Je to polynom 3. stupně, ten nikdy nemá na R globální minimum ani globální maximum, protože: 3
2
3
2
lim ax bx cxd =∓∞ podle znaménka čísla a. A podobně lim ax bx cxd =±∞ .
x −∞
x∞
atd. o jeden míň oblouků než je stupeň Můžou být vzhůru nohama a oblouky můžou i chybět, ale ne přebývat. Dost ale řečí, pustíme se do počítání: y = x3 - 6x2 + 9x + 4 y` = 3x2 - 6.2x + 9 = 3x2 - 12x + 9 Řešíme rovnici: y` = 0 3x2 - 12x + 9 = 0 / :3 2 x - 4x + 3 = 0 4± 16−12 - - 4± - 42 - 4.1.3 - b± b2 - 4 a c x1,2 = = = = 2 2a 2.1 3 4± 4 = = 2 1 2 y`` = ( 3x - 12x + 9)` = 3.2x - 12 = 6x - 12 y``(1) = 6.1 - 12 = -6 < 0 ... x = 1 je maximum. y``(3) = 6.3 - 12 = 6 > 0 ... x = 3 je minimum. Vyšlo nám 1 minimum ... MI = 1 a 1 maximum ... MA = 1 - to je možnost (D). Poznámka: Ošidil jsem Vás o ten inflexní bod? Inu, nebuďte smutní; některé kubické funkce (tj. polynomy 3. stupně) ho mají (např. f: y = x3 v bodě 0) a jiné ho mají také, akorát v něm není první derivace nulová. Tady by to bylo v x = 2.
4. Je-li y =4 x 27 , určete pomocí diferenciálu v bodě a = 3 odhad hodnoty y(2,72). Opíšu Vám tedy poučku ze skript, protože toto jsem ve škole asi bral, ale jen jako perličku, nikdy jsem to nepoužil a úspěšně zapomněl: Diferenciál funkce f v bodě a: dfa = f `(a).dx. Při aplikaci diferenciálu v bodě a na odhad funkční hodnoty v blízkém bodě x nahradíme dx hodnotou přírůstku (x - a). Výsledný vzorec je: f(x) ≈ f(a) + (x - a).f `(a), přičemž oproti skriptům já nevidím důvod, proč to komplikovat ještě dalším písmenkem "h = x - a". Teď by to ještě chtělo vědět, co je v tom písmenkovém guláši co: f(x) chceme spočítat, je to ono y(2,72); takže vidíme také x = 2,72. Bod a ze zadání souhlasí s písmenkem a ve vzorečku a je to tedy tři. f(a) dostaneme dosazením trojky do zadání funkce: 3 f(a) ≡ y(3) = 4. 3 7 = 4. 97 = 4.4 = 16 Vzdálenost x - a si spočítáme ještě snáz: je to 2,72 - 3 = -0,28. Dosazovat ji budeme i s tím mínusem. f `(a) si opatříme derivováním a následným dosazením trojky: 2 2 f `(x) = y` = ( 4 x 7 )` = 4( x 7 )` = složená funkce, vnitřní je z = x2 + 7, z` = 2x; vnější je , derivace vnější funkce podle z vyjde:
=
=
=
=
1 4.2 x 4x = = 2 2 2 2 x 7 2 x 7 x 7 4.3 4.3 = f `(3) = =3 97 4 = 4.2 x.
Konečné dosazení: f(x) ≡ y(2,72) ≈ 16 + (-0,28).3 = 16 - 0,84 = 15,16, což je nabízeno jako možnost (B).
x . Označme s počet všech lnx stacionárních bodů a i počet všech inflexních bodů dané funkce. Potom hodnota výrazu s + i je ...
5.
Je
dána
funkce
y=
Stacionární body jsou podle Vašich skript všechny ty, kde derivace (první) je nulová. Inflexní body jsou podle skript ty, kde je druhá derivace nulová a třetí nenulová. Po otřesné zkušenosti s 5. příkladem v MT6, ale dáme také pozor, jestli v bodech, co nám vyjdou, je ta funkce vůbec definovaná. A tím začneme - určíme definiční obor: D(y): Zakázáno je: 1) nula a záporná čísla v logaritmu; tj..: x > 0 ... x ∈ (0, ∞) 2) nula ve jmenovateli, tj.: lnx ≠ 0 / ena elnx ≠ e0 / exponenciela a logaritmus se požerou, nenula na nultou je vždy jedna x ≠ 1 ... x ∈ (-∞, 1) ∪ (1, ∞) Pronikneme:
x ∈ (0; 1) ∪ (1, ∞) = D(y). Dále si pořídíme první, druhou a třetí derivaci: x y= ln x je podíl funkcí, takže budeme derivovat podle schematu:
čitatel - čitatel.jmenovatel ` ( jmenovatel )`= čitatel ` . jmenovatel , kde jednotlivé dílčí derivace jmenovatel 2
1 jsou jednoduché: x` = 1, (lnx)` = x , čili: 1 1.ln x - x. ln x - 1 1 1 = x = = (lnx) -1 - (lnx) -2 2 y `= ln x ln x ln x 2 2 ln x y`` = ((lnx) -1 - (lnx) -2)` =
složená funkce - vnitřní je z = lnx, z` =
, vnější funkce je z -1 - z -2,
její derivace podle z: -1z -2 - (-2)z -3 = -z -2 + 2z -3 = 2(lnx) -3 - (lnx) -2
1 = x .(2(lnx) -3 - (lnx) -2) = x -1.(2(lnx) -3 - (lnx) -2) y``` = (x -1.(2(lnx) -3 - (lnx) -2))` = ...je to derivace součinu, takže podle vzorečku (prva.druha)` = prva`.druha + prva.druha`; (x -1)` = -x -2; tu závorku s logaritmy derivujeme zasejc jako složenou funkci podobně jako před chvilkou při druhé derivaci, výsledek je: (2(lnx) -3 - (lnx) -2)` =
(-6(lnx) -4 + 2(lnx) -3) ...
= -x-2(2(lnx)-3 - (lnx)-2) + x-1.x-1(-6(lnx)-4 + 2(lnx)-3) = -2x-2(lnx)-3 + x-2(lnx)-2 - 6x-2(lnx)-4 + 2x-2(lnx)-3 = posčítáme členy se stejnými exponenty = x-2(lnx)-2 - 6x -2(lnx)-4 = = x -2((lnx)-2 - 6(lnx)-4) Stacionární body: 1 1 − =0 ln x ln x 2
/
1 1 = ln x ln x 2
/ .(lnx)2
lnx = 1 x = e1 = e ∈ D(y)
s=1
/ ena
Inflexní body: x -1.(2(lnx)-3 - (lnx)-2) = 0
/ součin je nulový, když jeden nebo oba ze členů jsou nulové
x -1 = 0 / přepis 2(lnx)-3 - (lnx)-2 = 0 / +(lnx) -2 1 2(lnx) -3 = (lnx) -2 / .(lnx)3 x = 0 ...nevyjde nikdy, 2 = lnx / ena 2 nemá řešení x=e 2 e je tedy adeptem na inflexní bod. Protože e ≈ 2,7, vychází to e2 ≈ 7,3 ∈ D(y). Dosadíme do třetí derivace: y```(e2) = (e2) -2.((ln e2) -2 - 6(ln e2) -4 = vzpomeneme si na definici logaritmu: lnex = ? znamená "e na kolikátou je x?" Zde se ptáme "e na kolikátou je e2? No na tu dvojku přece!" ... = (e2) -2 .(2 -2 - 6.2-4) = ...(základ x)y = základ x.y ... = e-4 .(2 -2 - 6.2-4) = 1 1 6 1 1 1 1 4−6 −2 = 4 . 2 - 6. 4 = 4 . 4 - 16 = 4 . 16 = 4 ≠ 0 e e 2 2 e 16 e Vyšlo, že druhá derivace je nulová v bodě, e2, ve kterém je zároveň třetí derivace nenulová. To znamená, že zde má funkce inflexní bod (jediný). Tedy: i = 1.
(
)
(
)
To dosadíme do výrazu s + i = 1 + 1 = 2, což je možnost (B).
6. Která dvojice z následujících funkcí f1: y = (x + 1)2, f2: y = 2ex, 1 f3: y = ln(x + 2), f4: y = x 1 jsou funkce na intervalu (-1; 1) konvexní? Tento minitest je na derivace vyšších řádů, v učebnici je, že konvexní funkce se pozná tak, že má kladnou druhou derivaci. Takže to vypadá, že jediný správný postup je: I. udělat druhé derivace všech funkcí, II. zjistit, kde jsou druhé derivace kladné a kde záporné; III. posoudit to, co vyšlo v II. vzhledem k intervalu (-1; 1). Provedeme to vše později. Ukážu Vám filištínské řešení založené na zkušenostech s načrtáváním grafů funkcí. Konvexní funkce je totiž ta, jejíž graf tvoří důlek; kdežto konkávní je ta, které graf vypadá jako hrb. Resp. funkce je konvexní tam, kde má důlek a konkávní, kde má kopec. Upřesním: konvexní je funkce, když oblouk grafu ukazuje • doleva dolů
, • přímo dolů
nebo
• doprava dolů
.
konkávní je funkce, když oblouk grafu ukazuje • doleva nahoru
Takže y = x2
, • přímo nahoru
nebo
• doprava nahoru
je konvexní všude.
.
Čili y = (x + 1)2 všude, tj. i na x ∈(-1; 1).
Dále y = ex je konvexní všude
čili i y = 2ex všude, tj. i na x ∈(-1; 1).
...pouze posunuté o 1 doleva... je také konvexní
,
...pouze svisle dvojnásobně roztažené... je konvexní
A z toho, jak je zadání formulováno a že správně je jen jedna odpověď, můžeme zaškrtnout rovnou (A) - "f1, f2". Protože se místy ale v minitestech objevují záludnosti, pro jistotu se podíváme i na ty ostatní: f3: y = ln(x + 2) ... Funkce y = lnx je konkávní na celém definičním oboru: . Oproti ní je
y = ln(x + 2) pouze posunutá o 2 doleva a je tedy konkávní na celém svém definičním oboru, což je (-2; ∞), tedy i na (-1; 1) a nemůže tam být konvexní. Vypadá to takto:
Nakreslit tu poslední f4 bude trochu obtížnější, ale ne o moc. Začneme dobře známou nepřímou
úměrností: y =
1 , která vypadá takto: x
. Tu si předěláme na
1 y = x1 . Doufám, že už víte, že jediný rozdíl oproti poslednímu obrázku je posunutí o jedničku doleva - takhle: . Zbývá se tedy vypořádat s tím mínusem,
1 a budeme mít požadovanou f4: y = - x1 . To mínus je podstatné, protože způsobí překlopení grafu kolem osy x:
A z konečného obrázku vidíme, že f4 je konvexní na intervalu (-∞, -1) a konkávní na intervalu (-1; ∞). Čili na (-1; 1) je konkávní, nikoliv konvexní, jak je požadováno. Nabízená odpověď (A) je tedy opravdu správně. Moje grafické řešení vypadá dlouze a pracně, protože zde zabralo hodně místa, ale ve skutečnosti, šlo jen o samé vysvětlování. Já dostat takový příklad v písemce, rovnou si představím výsledné grafy, maximálně ten poslední si načrtnu, a píšu výsledek. Bez práce, bez počítání. Teď se tedy podíváme na ten předepsaný způsob: I. Máme funkci f1: y = (x + 1)2. Pořídíme si její druhou derivaci: y` = ... složená funkce, vnitřní z = x + 1, derivace vnitřní funkce: z` = 1; vnější funkce z2, její derivace je 2z = 2(x + 1) ... = 1.2(x + 1) = 2x + 2 y`` = (2x + 2)` = 2. Vidíme, že hodnota druhé derivace funkce f1 nezávisí na x a je kladná. Takže f1 je konvexní mj. i na (-1; 1). II. Teď vezmeme funkci f2: y = 2ex a pořídíme si její druhou derivaci. y` = ( 2ex)` = 2.( ex)` = 2ex y`` = ( 2ex)` = 2ex. 2ex je pro všechna reálná x kladné, takže i pro všechna x ∈ (-1; 1). Funkce f2 je tudíž na tomto intervalu konvexní.
III. Pokračujeme s funkcí f3: y = ln(x + 2). Spočítat její druhou derivaci už bude trochu pracnější: y` = ... opět složená funkce, vnitřní z = x + 2, derivace vnitřní funkce z` = 1; vnější lnz, její derivace 1 1 je ... = 1. x 2 = x2 . 1 y`` = = ... zase to pojmeme jako složenou funkci, vnitřní z = x + 2, z` = 1, vnější = x2
(
)`
= z -1. Její derivace: -1.z -2 =
...
-1 1 =2 2 x2 x2 Víme, že druhá mocnina požírá mínusy, takže (x + 2)2 je kromě x = -2 vždy kladné. Proto ale 1 i 2 je kromě mínus dvojky vždy kladné. A protože my před tím máme mínus, tak vychází x2 druhá derivace f3 naopak vždy záporná. Ta mínus dvojka stejně jako všechna menší čísla stejně nepatří do definičního oboru f3. Takže funkce f3 je na celém svém definičním oboru konkávní a nemůže tedy být na intervalu (-1; 1) konvexní. 1 IV. A nakonec jako třešínku si vezmeme funkci f4: y = - x1 a uděláme z ní druhou derivaci. 1 1 =y` = = ... pro změnu opět složená funkce, vnitřní: z = x + 1, z` = 1; vnější x1 x1 = 1.
(
)`
, tj.: z -1 a její derivace je -z- 2 =
je =-
)` (
...
1 ( 1. ( - x1 ) )= 1 x1
y`` =
2
1 ( x1 )` 2
2
= ... Teď už snad nikoho nepřekvapí, že to bude složená funkce, kde vnitřní je
z = x + 1, z` = 1; vnější
= z -1, derivace vnější funkce: -2z -3 =
...
-2 -2 = 3 3 . x1 x1 Abychom zjistili, kde je druhá derivace kladná, vyřešíme si zlomkovou nerovnici: -2 0 / rozepsat mocninu jako ve zvláštní škole x13 -2 0 x 1 . x1. x1 Nulový bod je jediný a dostaneme ho takto: x+1=0 /-1 x = -1 Stříháme číselnou osu: (-∞, ∞) → (∞, -1), (-1; ∞) Tabulka: = 1.
(-1; ∞)
(-∞, -1) -2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) celkem
Druhá derivace funkce f4 je tedy kladná na intervalu (-∞, -1) a nikde jinde, neboli na intervalu (-1; 1) určitě kladná není, takže funkce f4 na tomto intervalu není konvexní. Správně je skutečně možnost (A).
7.
Najděte
funkce y=e
maximální
1 x 2+1
otevřený
interval,
na
němž
je
klesající.
Postupujeme takto: I. vyrobíme derivaci (první) té funkce (dostaneme y`). II. vyřešíme nerovnici y` < 0, přičemž III. pokud vyjde sjednocení intervalů, nás zajímá jenom ten nejdelší interval. Poznámka: Že má být ten interval otevřený, tím se nemusíme trápit. Pokud bychom náhodou dostali interval uzavřený, pouze zahodíme koncový bod (koncové body), což se dělá tak, že se místo špičaté závorky napíše kulatá. S chutí do toho, půl je hotovo! I. y=e x
1 +1
2
y` = ... Je to složená funkce. Vnitřní je Z =
, což je zase složená funkce. Nejvnitřnější funkce
je z = x2 + 1. Její derivace je z` = 2x. Potom Z = prostřední) funkce Z je: Z` = -1.z -2.z` = -1.(x2 + 1)-2.2x =
= z-1. Derivace vnitřní funkce (jakoby spíš . Nejvnějšejší (česky by bylo lepší
třebas slovo nejsvrchnější) funkce je ta exponenciela: eZ [čti é na velké zet], její derivace je zase eZ =
...
2x .ex = Z`.e = - 2 2 x 1 Z
II.
1 +1
2
y` < 0 -
2x .e x 12
1 x +1 2
2
<0
/ Obecně řešíme stejně jako kvadratické a zlomkové nerovnice. / ...přepis (násobení zlomků), rozepsaná druhá mocnina
1 2 x +1
2x . e <0 /NULOVÉ BODY: x 1 . x 21 2x má 1 nulový bod: x = 0 (Zjistili bychom to takto: 2x = 0 / :2 → x = 0) -
2
1 2 x +1
nemá nulový bod (Exponenciela nikdy nevyjde nula ani záporné číslo - tedy dokud jsme e v ℝ .) (x2 + 1) také nemá nulový bod, protože třeba: x2 + 1 = 0 /-1 x2 = -1 / ±√ x = ± - x / ZAKÁZÁNO MÍNUS POD ODMOCNINOU! Pokračujeme stříháním číselné osy nulovým(i) bodem (body): (-∞, ∞) → (−∞, 0), (0; ∞) a dále tabulkou: <0 -2x 1 2
e x +1 x2 + 1 x2 + 1
(-∞, 0) + +
(0; ∞) +
+ +
+ +
celkem Výsledek x ∈ (0; ∞). III. Sjednocení nevyšlo, takže hledaný interval je (0; ∞). Tudíž (C) je správně.
8. Pro vývoj počtu obyvatel jednoho jihoamerického města v desetiletém období byl sestaven model ve tvaru funkce p(t) = 200 - t3 + 9t2 + 48t, kde t je čas v letech (0 ≤ t ≤ 10) a p(t) odpovídající počet obyvatel (v tisících). Jaký měl být podle uvedeného modelu minimální a maxinální počet obyvatel (v tisících) v uvedeném období (tj. ≤ t ≤ 10)? Postup: I. Určíme, kde má funkce na intervalu 〈0; 10〉 lokální extrémy. II. Dosadíme výsledné časy do předpisu funkce, dosadíme také krajní body intervalu - to je důležité, protože kdyby graf vypadal takto:
dostali bychom nesmysl a skutečné řešení by se ztratilo. # # Jindy se to samozřejmě nedělá, protože bývá zadán otevřený interval (zde by vypydyl takto: (0; 10) ), který ty krajní body nemá.
III. Z takto získaného souboru vybereme největší a nejmenší číslo a to je výsledek. K bodu I. Uděláme to pomocí derivací: dp a) spočítáme první derivaci d t , dp b) zjistíme, pro která t je d t = 0. A ta, která se nevejdou do 〈0; 10〉, vyhodíme. d2 p c) spočítáme druhou derivaci (dalším derivováním výsledku z a) ), 2 dt d) do výsledku dosadíme časy vyšlé z b) a když vyjde nula, tento čas ze souboru výsledků b) vyřadíme. Naplánováno máme, tak to provedeme. I. a) b)
c)
d)
p(t) = 200 - t3 + 9t2 + 48t dp 2 2 d t = 0 -3t + 9.2t + 48 = -3t + 18t + 48 dp dt = 0 -3t2 + 18t + 48 = 0 / :(-3) t2 - 6t - 16 = 0 6± 3664 6± - 62 - 4.1. - 16 - b± b 2 - 4 a c t1,2 = = ... a = 1; b = -6; c = -16 ... = = 2 2a 2.1 8 6±10 = = 2 −2 Mínus dvojku vyhazujeme. druhá derivace: d2 p d -3 t 218 t48 = = -3.2t + 18 + 0 = -6t + 18 2 dt dt d2 p → OK! 2 (8) = -6.8 + 18 = -48 + 18 = -30 ≠ 0 dt
II. p(8) = 200 - 83 + 9.82 + 48.8 = 200 - 512 + 576 + 384 = 200 + 64 + 384 = 648 p(0) = 200 - 0 + 9.0 + 48.0 = 200 p(10) = 200 - 1000 + 900 + 480 = 100 + 480 = 580 Nejmenší z nih je 200 ... to je tedy minimum a bylo na počátku. Největší z nich je 648, takže město dosáhlo maximálního zalidnění v osmém roce, pak už obyvatel ubývalo. Takový výsledek je uvedený v možnosti (A). Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.
