Jegyzet 2013

Fizika 2. Beleˇske/ Jegyzet

2013.

2

0.1

Podsetnik/Eml´ ekeztet˝ o: z ∗ = x − iy = ρ exp(−iφ) y x2 + y 2 , φ = arctg x 2 2 2 ∗ ρ = x + y = zz Re(z) = ρ cos φ, y = Im(z) = ρ sin φ 1 1 i (z + z ∗ ), y = (z − z ∗ ) = − (z − z ∗ ) 2 2i 2 exp(iα) + exp(−iα) = 2 cos α exp(iα) − exp(−iα) = 2i sin α

z = x + iy = ρ exp(iφ), ρ = |z|2 = x = x =

N X

q

qi = 1 + q + q2 + . . . + qN =

i=0

1 − qN 1−q

exp x ≡ ex sin x ∼ x, |x| 1 √ 1 1 + x ∼ 1 + x, x 1 2 exp x ∼ 1 + x, x 1 cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β ! ! α−β α+β cos cos α + cos β = 2 cos 2 2 Kronekerov simbol / Kronecker-szimbólum ( 1, i=j δi,j = 0, i 6= j ˇ Simbol Levi-Civita/ Levi-Civita-szimbólum i,j,k

  

1, =  −1,  0,

(cf )0 (f + g)0 (f g)0 f (g(x))0

(i, j, k) ∈ {(x, y, z), (y, z, x), (z, x, y)} (i, j, k) ∈ {(x, z, y), (z, y, x), (y, x, z)} u ostalim sluˇcajevima / egyébként

= = = =

cf 0 , c = const f 0 + g0 f 0g + f g0 f 0 (g(x))g 0 (x)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)

(15)

(16)

(17) (18) (19) (20)

´ ˝ 0.1. PODSETNIK/EMLEKEZTET O:

3

L’ôpital-ovo pravilo: pod pretpostavkom da sve navedene granicne vrednosti postoje, vaˇzi: L’ôpital-szabály: amennyiben az összes szóban forgó határérték létezik, igaz, hogy: lim x→x

0

f 0 (x) f (x) = x→x lim 0 0 g (x) g(x)

(21)

dy = ay ⇒ y = y(0) exp(ax) dx

(22)

d2 y + a2 y = 0 ⇒ y = A exp(iax) + B exp(−iax) 2 dx

(23)

1 (cos(a − b) − cos(a + b)) 2 1 cos a cos b = (cos(a − b) + cos(a + b)) 2 1 sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a − b)) 2 sin a sin b =

(24) (25) (26)

skalarni proizvod dve kompleksne funkcije - dva kompleksna vektora két komplex f¨ uggvény - két komplex vektor skalárszorzata f, g

:

hf, gi =

R3 → Z Z

f ∗ (x, y, z)g(x, y, z) dx dy dz

(27) (28)

4

1

cos(x) cos2(x)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −10

−5

0

Figure 1: cos(x), cos2 (x)

5

10

Chapter 1 Geometrijska optika Geometriai optika Indeks prelamanja svetlosti n neke sredine je jednak odnosu brzine svetlosti u vakuumu, (c), i odnosu brzine svetlosti u datoj sredini, (v). Egy közeg törésmutató ja n egyenl˝o a vákuumbeli fénysebesség (c) arányával az adott közegben mért fénysebességgel (v).

n=

1.1

c v

(1.1)

Fermaov princip Fermat-elv

Ukoliko je sredina optiˇcki nehomogena i indeks prelamanja se menja od taˇcke do taˇcke, optiˇcku duˇzinu (l) puta raˇcunamo po obrascu (1.3). Amennyiben a ko¨zeg optikailag inhomogén és a törésmutató pontonként változik, az (l) optikai u ´thosszt a (1.3) egyenlet határozza meg. dl = n(~r)ds l =

Z

n(~r)ds

(1.2) (1.3)

Integral raˇcunamo duˇz putanje svetlosnog zraka. ds je infinitezimalni element putanje svetlosnog zraka. 5

6 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA Az integrált a fénysugár mentén számoljuk. ds a fénysugár infinitezimális szakasza. Fermaov princip: Fermat-elv: Svetlosni zrak se prostire tako, da mu je optiˇcka duˇzina puta najkraća moguća. A fénysugár u ´gy terjed, hogy az optikai u ´thossza a lehet˝o legrövidebb legyen.

1.1.1

Zakon prelamanja svetlosti A f´ enyt¨ or´ es t¨ orv´ enye

Kao primer primene Fermaovog principa izveˇsćemo zakon prelamanja svetlosti. A Fermat-elv alkalmazási példájaként levezetj¨ uk a fénytörési törvényt. Dve sredine 1 i 2, s indeksima prelamanja n1 i n2 graniˇce se jednom ravni. Taˇcka A je u sredini 1, taˇcka B je u sredini 2. Kako se prositre svetlosti zrak izmedju taˇcaka A i B? Két egymással határos közeg, 1 és 2, egy s´ık mentén érintkezik egymással. A megfelel˝o törésmutatók n1 és n2 . Az A pont az 1-es közegben van, a B pont a pedig a 2-es közegben. Hogyan terjed a fénysugar a két pont között? A

α

n1

s1

y1 α

x

d−x β y

s2 n2

2

β B

Figure 1.1: Duˇzina optiˇckog puta izmedju taˇcaka A i B. A és B pontok közötti optikai u ´thossz.

1.1. FERMAOV PRINCIP

FERMAT-ELV

l = n1 s1 + n2 s2 = x2 + y12 , s22 = (d − x)2 + y22

s21

q

q

l = n1 x2 + y12 + n2 (d − x)2 + y22

7

(1.4) (1.5) (1.6)

dl Uslov za minimum optiˇckog puta l, (1.6), je dx = 0. dl Az l, (1.6), optikai u ´thosz minimumának a föltétele dx = 0.

2x 2x 1 1 dl = n1 q − n2 q =0 dx 2 x2 + y12 2 (d − x)2 + y22

(1.7)

Na osnovu (1.7) uslov za minimum je / (1.7) alapján a minimum föltétele: x

x = n2 q (d − x)2 + y22 x2 + y12 x d−x n1 = n2 s1 s2 n1 sin α = n2 sin β n1 q

(1.8)

Zakon prelamanja svetlosti A fénytörés törvénye

sin α n2 = = n2,1 sin β n1

(1.9)

Primer / P´ elda Odredite vrednost graniˇcnu vrednost ugla prelamanja ako su indeksi prelamanja dve sredine n1 i n2 , n2 > n1 . (1.1.1) Határozza meg a törési szög határértékét, ha a közegek törésmutatói rendre n1 és n2 , n2 > n1 . (1.1.1) Reˇ senje / Megold´ as π α = 2 , sin α = 1, ⇒ sin β = nn21 .

8 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

n1

α

n2

β

Figure 1.2: Graniˇcni ugao. Határszög.

1.2

Svetlovod / F´ enyvezet˝ o

Pretpostavljamo da indeks prelamanja svetlosti svetlovoda zavisi samo od rastojanja od ose svetlovoda, r. z osa se poklapa sa osom svetlovoda. Föltételezz¨ uk, hogy a fényvezet˝o törésmutatója csak a fényvezet˝o tengelyét˝ol mért távolságtól f¨ ugg. A z tengely megegyezik a fényvezet˝o tengelyével. Uglove merimo u odnosu na osu svetlovoda, videti sl. 1.3. A szögeket a fényvezet˝o tengelyéhez mérj¨ uk, ld. az 1.3. a´brát. Zakon prelamanja svetlosti na tankom sloju debljine ∆r glasi:

∆α ∆r α ∆z

r z

z+ ∆z

Figure 1.3: Svetlovod. / Fényvezet˝o

´ ˝ 1.2. SVETLOVOD / FENYVEZET O

9

A fénytörés törvénye ∆r vastagság´ u (esetunkben vékonyság´ u ) rétegen: n(r) cos α = n(r + ∆r) cos(α + ∆α) ! dn = n(r) + ∆r + . . . (cos α cos(∆α) − sin α sin(∆α)) dr ! dn ∼ n(r) + ∆r (cos α − (∆α) sin α) dr dn ∼ n(r) cos α − n(r) sin α∆α + cos α ∆r + . . . (1.10) dr 1 dn ∆α = (1.10) ⇒ tg α ∆r n(r) dr ∆r ∆α 1 dn tg α = ⇒ = ∆z ∆z n(r) dr 2 ∆r 1 dn tg α ∼ α ⇒ = (1.11) 2 ∆z n(r) dr U sluˇcaju da debljina sloja ∆r na kome se svetlost prelama teˇzi 0, uvrˇstavajući graniˇcnu vrednost leve strane izraza (1.11) dobijamo diferencijalnu jednaˇcinu koja opisuje prostiranje svetlosnog zraka kroz svetlovod: Amennyiben ∆r (annak a rétegnek a vastagsága amelyen megtörik a fénysugár) 0-hoz tart, vegy¨ uk a (1.11) kifejezés baloldalának a határértékét, és megkapjuk a fényvezet˝oben terjed˝o fénysugár terjedésének a differenciálegyenletét: 1 dn d2 r = 2 dz n(r) dr

(1.12)

Reˇsenje jednaˇcine (1.12) je r(z), ˇsto je udaljenost svetlosnog zraka od optiˇcke ose u taˇcci z. A (1.12) egyenlet megoldása r(z), ami a fénysugár távolsága az optikai tengelyt˝ol a z pontban.

1.2.1

Primer / P´ elda

Neka je svetlovod polupreˇcnika r0 izradjen od materijala ˇciji se indeks prelamanja svetlosti menja po zakonu: Tételezz¨ uk föl, hogy az r0 sugar´ u fényvezet˝o törésmutatója a követez˝o módon f¨ ugg a fényvezet˝o tengelyét˝ol mért távolságtól: n(r) = n0

ar2 1− 2

!

(1.13)

10 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA gde smo pretpostavili da vaˇzi ahol föltételezt¨ uk, hogy

ar02 2

ar02 2

1.

1.

1.4

n(r)

n 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1

0

0.5

1

1.5

r

2

Figure 1.4: Zavisnost indeksa prelamanja od r. A törésmutató r-f¨ uggése. n0 = 1.4, a = 0.1. dn = −n0 ar dr ar 1 dn = − 2 ∼ −ar n(r) dr 1 − ar2

(1.14)

Na osnovu jendnaˇcine (1.14) jednaˇcina koja opisuje prostiranje svetlosnog zraka u tankom svetlovodu je: A (1.14) egyenlet alapján a vékony fényvezet˝oben terjed˝o fénysugár egyenlete: d2 r + ar = 0 dz 2 ˇcije reˇsenje je (vidi sliku 1.5): melynek megoldása (ld. a 1.5. ábrát): √ √ r(z) = A cos az + B sin az

(1.15)

(1.16)

´ ˝ 1.2. SVETLOVOD / FENYVEZET O

11

Lako je uvideti da je a kvadrat talasnog broja. Könnyen belátható, hogy a a hullámszám négyzete. Znaˇcenje konstanti A i B moˇzemo odrediti iz poˇcetnih uslova. 1.5

r(z)

r 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5

0

5

10

15

Figure 1.5: Putanja svetlosnog zraka u svetlovodu. fényvezet˝obeli pályája. A = 0.2, B = 1.

z

20

A fénysugár

Az A és B a´llandók jelentését a kezdeti föltételek alapján határozhatjuk meg. √ dr(0) =B a (1.17) r(0) = A, dz √ tj. A je poˇcetna udaljenost svetlosnog zraka od ose svetlovoda, a B a je tangens ugla koji u poˇcetnoj taˇcci svetlosni zrak zaklapa sa osom svetlovoda. √ vagyis A a fénysugár kezdeti távolsága a fényvezet˝o tengelyét˝ol, m´ıg B a a kezdeti pontban a fénysugár és a fényvezet˝o tengelye közötti szög tangense. Zadatak / F¨ oladat Reˇsenje jednaˇcine (1.15) je moguće napisati (i) u obliku: A (1.15) egyenlet megoldása föl´ırható a következ˝o alakban (is): √ r(z) = A cos az + φ Odredite znaˇcenje konstanti A i φ. Határozza meg az A és φ a´llandók jelentését.

(1.18)


1.3

Gausova optika Gauss-f´ ele optika

Posmatrajmo soˇcivo, i opiˇsimo prostiranje svetlosnih zraka kao transformaciju ulaznih podataka u izlazne, pi = T (pu ). Vizsgáljuk meg a lencse fénytörését, ´ırjuk fel a fénysgarak terjedését mint a bemen˝o adatok transzformációit kimen˝o adatokká, ak = T (ab ). Paraksijalna aproksimacija znaˇci da posmatramo samo svetlosne zrake bliske optiˇckoj osi. To znaˇci da su svi uglovi mali, odnosno da su sve taˇcke blizu optiˇcke ose. Nadalje pretpostavljamo da je debljina soˇciva svuda prbliˇzno ista. A paraksziális közel´ıtés (approximáció) azt jelenti, hogy azokat a fénysugarakat vessz¨ uk figyelembe amelyek közel vannak az optikai tengelyhez. Ez azt jelenti, hogy az o¨sszes szöget kicsinek tekintj¨ uk, hogy az o¨sszes pont közel van az optikai tengelyhez, illetve, hogy a lencse vastagsága közel´ıt˝oleg a´llandó. α je ugao koji svetlosni zrak zaklapa sa optiˇckom osom, r1 i r2 su polupreˇcnici krivina povrˇsina soˇciva. α a fénysugár és az optikai tengely közötti szög, r1 és r2 a lencsefel¨ uletek görb¨ uleti sugarait jelöli. U taˇcci P1 svetlosni zrak se prelomi na prelazu iz sredine 1 u sredinu 2. Moˇzemo da primenimo zakon prelamanja svetlosti (1.8) u specijalnom sluˇcaju malih upadnih i prelomljenih uglova. A P1 pontban a fénysugár megtörik a két közeg határán. Alkalmazhatjuk a (1.8) fénytörési törvényt abban a speciális esetben amikor a bees˝o és a törési szög egyaránt kicsi. θ1 = α1 + φ, θ2 = α2 + φ x ∼10 φ sin φ = r1 n1 sin θ1 = n2 sin θ2 sin θi ∼10 θi x x (1.21, 1.22, 1.20) ⇒ n1 α1 + = n2 α 2 + r1 r1 n1 − n2 n2 α2 = n1 α1 + x r1 x1 = x2 Imamo sledeće ulazne veliˇcine:

(1.19) (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) (1.24) (1.25)

´ GAUSS-FELE OPTIKA

1.3. GAUSOVA OPTIKA

n2

n1

n3 P2

P1 φ

α3 α2=α 1’ φ

α1 x1

x’1 = x2

α1

r1 x3

φ

∆

Figure 1.6: Prelamanje svetlosti na soˇcivu / A lencse fénytörése.

13

14 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA • optiˇcke osobine sredine, n1 , n2 , n3 • oblik soˇciva, r1 , r2 , ∆ • podaci o upadnom zraku, α, x A következ˝o bemen˝o változók kal van dolgunk: • a közeg optikai tulajdonságai, n1 , n2 , n3 • a lencse alakja r1 , r2 , ∆ • a bemen˝o fénysugár adatai Podatke koji opisuju svetlosni zrak predstavljamo sledećim vektorom: A fénysugárt le´ıró adatokat a következ˝o vektorral ábrázoljuk: nα x

!

(1.26)

Ulazne i izlazne podatke koji opisuju svetlosni zrak povezuje matrica ˇciji elementi zavise od oblika soˇciva i od optiˇckih osobina sredine. A fénysugár bemen˝o és kimen˝o adatait egy matrix kapcsolja össze, a mátrix elemei a lencse alakjától és a közeg optikai tulajdonságaitól f¨ uggnek. U taˇcci P1 vaˇze sledeće relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara: A P1 pontban a bemen˝o és kimen˝o adatok közötti kapcsolat a következ˝o: n2 α 2 x2

!

1 0

= |

n1 −n2 r1

!

1 {z

n1 α 1 x1

!

(1.27)

}

=M1

Izmedju taˇcaka P1 i P2 svetlosni zrak ne menja pravac prostiranja, menja se njegovo rastojanje od optiˇcke ose. Vaˇze sledeće relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara: A P1 és P2 pontok között a fénysugár nem változtatja a terjedési irányát, ami változik az az optkai tengelyt˝ol való távolság. A bemen˝o és kimen˝o adatok közötti kapcsolat a következ˝o: n2 α2 x2

!0

1

=

∆ n2

|

{z

0 1

=M2

!

}

n2 α 2 x2

!

(1.28)


1.3. GAUSOVA OPTIKA

15

U taˇcci P2 vaˇze sledeće relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara: A P2 pontban a bemen˝o és kimen˝o adatok közötti kapcsolat a következ˝o: n3 α3 x3

!

1 0

= |

n2 −n3 r2

!

n2 α2 x2

1 {z

!0

(1.29)

}

=M3

Uvedimo sledeće oznake: Vezess¨ uk be a következ˝o jelölést: k12 =

n1 − n2 , r1

n2 − n3 r2

k23 =

(1.30)

Primetimo da je determinanta sve tri matrice jednaka jedinici, tako da je i determinanta njihovog proizvoda 1. Vegy¨ uk észre, hogy mindhárom mátrix determinansa egy, ezért a szorzatuk determinánsa is 1. Matrica M koja opisuje prelamanje svetlosti na soˇcivu je proizvod tri matrice (obratite paˇznju na redosled matrica u proizvodu!): A lencse fénytörését le´ıró M mátrix föl´ırható mint három mátrix szorzata (vegye észre a mátrixok sorrendjét a szorzatban!): M = M3 M2 M1 ! 1 k23 = 0 1 

=  

= det M = 1

1+

∆ k n2 23 ∆ n2

a b c d

1 ∆ n2

0 1

!

1 k12 0 1

!

k12 + k23 + k12 k23 n∆2 1+

∆ k n2 12

  

(1.31)

!

(1.32) (1.33)

Veliˇcine a, b, c i d nazivamo Gausovim parametrima soˇciva. Az a, b, c és d mennyiségek a lencse Gauss-paraméterei. Iz (1.33) sledi da Gausovi parametri (1.32) nisu nezavisni, znajući bilo koja tri moˇze se izraziti ˇcetvrti. (1.33)-b˝ol következik, hogy a Gauss-paraméterek (1.32) nem f¨ uggetlenek, bármely három ismeretében meghatározható a negyedik. Postavimo predmet na rastojanju l1 od soˇciva. Soˇcivo će prelomiti svetlosne zrake koje dolaze sa predmeta i stvoriće sliku ili lik predmeta na rastojanju

16 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA l3 od soˇciva. Helyezz¨ unk el egy tárgyat l1 távolságra a lencsét˝ol. A lencse megtöri a tárgyról jöv˝o fénysugarakat és a lencsét˝ol l3 távolságban megalkotja a tárgy képét. Opiˇsimo optiˇcku transformaciju predmeta u njegov lik. Koordinatni poˇcetak optiˇcke ose je unutar soˇciva. Írjuk le a tárgy-kép optikai transzformációt. Az optikai tengely origója a lencsében van.

n1

n2

n3

h3

h1 −l1

l3

Figure 1.7: Soˇcivo, predmet (razmera h1 , na rastojanju l1 ) i lˆık (razmera h2 , na rastojanju l2 ). Lencse, (h1 méret˝ u) tárgy (l1 távolságon) és (h2 méret˝ u) kép (l2 távolságon).


1.3. GAUSOVA OPTIKA

|

n3 α3 h3

!

{z

}

=

l3 n3

|

lˆık / kép

n3 α3 h3

1 {z

0 1

!

}|



=



{z

}|

soˇcivo lencse

od soˇciva lencsét˝ol

!

!

a b c d

1 0 − nl11 1

!

{z

}

|

a − bnl11 b  l3 l3 l3 d + b n3 + c + a n3 b n3 + d

|

n1 α1 h1

!

{z

}

(1.34)

do soˇciva predmet / tárgy lencséig 

− nl11

17

{z

n1 α 1 h1

!

(1.35)

}

=T

Na osnovu jednaˇcine (1.35) napiˇsimo eksplicitno odnos izmedju veliˇcina h1 i h3 . Az (1.35) egyenlet alapján ´ırjuk le a h1 és h3 mennyiségek közti kapcsolatot. "

l3 l1 d+b h3 = − n1 n3

!

#

"

#

l3 l3 +c+a n1 α1 + b + d h1 n3 n3

(1.36)

Uvećanje soˇciva se definiˇse kao: / A lencse nagy´ıtása: "

l1 l3 h3 = − d+b N= h1 n1 n3 |

!

#

"

l3 n1 α1 l3 +c+a + b +d n3 h1 n3

{z

#

(1.37)

}

=0

Uslov za postojanje oˇstre slike je da uvećanje ne zavisi od ugla pod kojim zrak sa predmeta pada na soˇcivo. Az éles kép létezésének föltétele, hogy a nagy´ıtás ne f¨ uggjön a tárgyról a lencsébe érkez˝o fénysugár szögét˝ol. Dalje, znamo da je determinanta matrice T jednaka 1 i da je jednaka proizvodu elemenata na dijagonali. Iz jednaˇcine (1.36) znamo da je element u donjem desnom uglu uvećanje soˇciva. Iz navedenih ˇcinjenica sledi da matricu T moˇzemo da napiˇsemo kao: Tudjuk, hogy a T mátrix determinánsa 1 és, hogy egyenl˝o az a´tlón lev˝o elemek szorzatával. Az (1.36) egyenlet alapján tudjuk, hogy a mátrix jobb alsó sarkában lev˝o elem a lencse nagy´ıtása. Mindezek alapján a T mátrixot a következ˝o alakban ´ırhatjuk: T =

1 N

0

b N

!

(1.38)


1.3.1

Kardinalni elementi soˇ civa A lencse kardin´ alis elemei

Veza izmedju uvećanja soˇciva i Gausovih parametara je sledeća: A lencse nagy´ıtása és a Gauss-paraméterek közötti kapcsolat a következ˝o: 1 l1 =a−b , N n1

N =b

l3 +d n3

(1.39)

Glavne ravni / F˝ os´ıkok Nadjimo ravan koja se preslika kroz soˇcivo bez uvećanja, N = 1. Iz jednaˇcina (1.39) nalazimo: Találjuk meg azt a s´ıkot amelyik nagy´ıtás nélk¨ ul vet¨ ul a´t a lencsén, N = 1. Az (1.39) egyenletek alapján: l1 =

n1 (a − 1), b

l3 =

n3 (1 − d) b

(1.40)

Fokalne-ˇ ziˇ zne ravni / Fok´ alis s´ıkok Jedna ˇziˇzna ravan je odredjena uslovom N1 = 0, a druga uslovom N = 0. Na osnovu jednaˇcina (1.39) nalazimo: Az egyik fokális s´ıkot az N1 = 0-, a másikat pedig az N = 0 föltétel határozza meg. lf1 a ⇒ lf1 = n1 n1 b lf d N = 0 ⇒ 0 = b 3 + d ⇒ lf3 = −n3 n3 b N =∞⇒0=a−b

(1.41) (1.42)

ˇ zno rastojanje je po definiciji: / A fókusztávolság defin´ıció szerint: Ziˇ n1 b n3 = lf3 − l3 = − b

f1 = lf1 − l1 =

(1.43)

f3

(1.44)

Ukoliko je n1 = n3 , nalazimo znaˇcenje parametra b, to je dioptrija, tj. optiˇcka ˇ je dioptrija soˇciva veća, tim se viˇse menja pravac svetlosnog moć soˇciva. Sto zraka prilikom prolaska kroz soˇcivo.


1.3. GAUSOVA OPTIKA

19

Amennyiben n1 = n3 , könnyen értelmezz¨ uk a b paramétert, az a dioptria. A dioptria egy lencse optikai tör˝oképességét méri, minél nagyobb a lencse dioptriája, a lencsén áthaladó fénysugár annál inkább megváltoztatja a haladási irányát. Koristeći metode Gausove optike i paraksijalnu aproksimaciju moguće je reˇsiti problem prostiranja svetlosnog zraka kroz bilo koji osno simetriˇcni optiˇcki sistem. A Gauss-optika módszereit- és a paraksziális közel´ıtést használva bármilyen tengelyszimmetrikus optikai rendszerben megoldható a fénysugár terjedésének a problémája.

1.3.2

Soˇ civo, drugi put / Lencse, m´ asodszor

Moˇzemo da reˇsimo problem prelamanja svetlosnog zraka na soˇcivu i egzaktno. Pontosan is meghatározhatjuk a lencse fénytörését. Koristeći jednaˇcine (1.19, 1.20) i (1.21) u taˇcci P1 , (slika 1.6) nalazimo: Az (1.19, 1.20) és (1.21) egyenletek alapján a P1 (1.6-as ábra) pontban a fénytörés: x1 n1 sin α1 + arcsin α2 = arcsin n2 r1

1.3.3

− arcsin

x1 r1

(1.45)

Predznaci / El˝ ojelek

U primenama moramo paziti na znaˇcenje predznaka. Ukoliko je povrˇsina soˇciva u odnosu na pravac prostiranja svetlosnog zraka konveksna, polupreˇcnik krivine soˇciva je pozitivan, u surotnom sluˇcaju je negativan. Indeks prelamanja ogledala je jednak negativnom indeksu pelamanja sredine ispred ogledala. Ukoliko se svetlosni zrak odbije npr. od povrˇsine ogledala i kreće se u suprotnom pravcu, odgovarajuće predjeno rastojanje je negativno. Az alkalmazásokban figyelembe kell venni az el˝ojelek jelentését. Amennyiben a fénysugár haladási irányából nézve a lencse fel¨ ulete dombor´ u, annak görb¨ uleti sugara pozit´ıv, ford´ıtott esetben negat´ıv. Egy t¨ ukör törésmutatója megegyezik a t¨ ukör el˝otti közeg törésmutatójának negat´ıv értékével. Amenynyiben a fénysugár visszaver˝odik, pl. egy t¨ ukört˝ol és visszafelé kezd haladni, a megfelel˝o-megtett távolság negat´ıv lesz.

20 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA Zadatak / F¨ oladat Znajući ugao pod kojim svetlosni zrak pada na soˇcivo i njegovu udaljenost od optiˇcke ose u taˇcci u kojoj ulazi u soˇcivo odredite udaljenost svetlosnog zraka od optiˇcke ose u taˇcci u kojoj svetlosni zrak izlazi iz soˇciva. Ismervén a fénysugár beesési szögét és azt az optikai tengelyt˝ol mért távolságot amelyen a fénysugár behatol a lencsébe, határozza meg azt az optikai tengelyt˝ol mért távolságot amelyen a fénysugár elhagyja a lencsét. Reˇ senje / Megold´ as Taˇcke na povrˇsini soˇciva leˇze na dve sfere ˇciji su centri su na medjusobnom rastojanju r1 + r2 − ∆, (slika 1.6). Taˇcka P1 ima koordinate (z1 , x1 ) a taˇcka P2 ima koordinate (z2 , x2 ). A P1 pont koordinátái (z1 , x1 ), a P2 pont koordinátái (z2 , x2 ). A lencse fel¨ uletén lev˝o pontok két olyan gömb fel¨ uletén vannak amelyek középpontjai egymástól r1 + r2 − ∆ távolságon vannak (1.6 ábra). Takodje vaˇzi jednakost: / Továbbá igaz, hogy: x2 − x1 (1.46) tg α2 = z2 − z1 gde smo pretpostavili da se optiˇcka osa poklapa sa z osom koordinatnog sistema. Neka je centar druge sfere u koordinatnom poˇcetku. U preseku sfera sa xz ravni imamo: ahol föltételezt¨ uk, hogy az optikai tengely megegyezik a z koordináta tengelylyel. Legyen a második gömb középpontja az origóban. A gömbök és az xz s´ık metszetében igaz, hogy: z22 + x22 = r22 ,

(z1 − u)2 + x21 = r12 ,

u = r1 + r2 − ∆

(1.47)

Na osnovu jednaˇcina (1.46) i (1.47) nalazimo (kvadratnu) jednaˇcinu ˇcije reˇsenje (koje?) odredjuje x2 : Az (1.46) és (1.47) egyenlet alapjan meghatározhatjuk azt a másodfok´ u egyenletet, amelynek (melyik?) megoldása x2 :

(1 + tg 2 α2 )x22 − 2 x1 + tg α2 r1 + r2 − ∆ + +y12

2

q

r12

−

r12

−

x21

+ tg α2 r1 + r2 − ∆ +

+2x1 tg α2 r1 + r2 − ∆ +

q

x21

q

r12 − x21

x2

2

− r22 tg 2 α2 = 0

(1.48)

1.3. GAUSOVA OPTIKA

1.3.4


21

Jednaˇ cina soˇ civa / Lencseegyenlet

Neka se ispred i iza soˇciva nalaze sredine sa istim indeksom prelamanja n1 , r1 i r2 su polupreˇcnici krivine, a ∆ je debljina soˇciva. Relativan indeks prelamanja soˇciva je n2,1 = nn12 . Znajući znaˇcenje Gausovog parametra b, (1.43, 1.44), definiciju dioptrije, i vezu parametra b sa geometrijom soˇciva (1.31, gornji desni ugao matrice) i indeksima prelamanja, uvrˇstavanjem nalazimo jednaˇcinu (debelog) soˇciva. Legyenek a lencse el˝otti és mögötti közegek törésmutatói egyenlök n1 -el. A lencse görb¨ uleti sugarai r1 és r2 , a lencse vastagsága ∆. A lencse relat´ıv törésmutató ja n2,1 = nn12 . Ismerve a dioptria defin´ıcióját, a b Gauss-paraméter jelentését (1.43, 1.44), és kapcsolatát a lencse alakjával és a törésmutatókkal (1.31, mátrix jobb föls˝o sarka), egyszer˝ u behelyettes´ıtéssl megkaphatjuk a (vastag) lencse egyenletét. 1 1 (n2,1 − 1)∆ 1 = (n2,1 − 1) + + f r1 r2 n2,1 r1 r2

!

(1.49)

Sledeća jednaˇcina vaˇzi za soˇciva i ogledala. Neka je f ˇziˇzna daljina soˇciva, p udaljenost predmeta a l udaljenost lika. 1 1 1 = + f p l

(1.50)

A következ˝o egyenlet egyaránt igaz lencsékre és t¨ ukrökre. Legyen f a lencse fókusztávolsága, t a tárgytávolság és k a képtávolság. 1 1 1 = + f t k

(1.51)


Chapter 2 Talasna optika / Hull´ amoptika 2.1

Elektromagnetni talasi Elektrom´ agneses hull´ amok

Amplituda ravnog talasa koji se kreće ka pozitivnom kraju x ose je data u jednaˇcini (2.1). Az x tengely pozit´ıv vége felé haladó s´ıkhullám amplit´ udója a (2.1)-es egyenletben van megadva. E(x, t) = E0 cos(ωt − kx + φ) = E0 Re (exp(ωt − kx + φ)) = Re (E0 exp(ωt − kx + φ))

(2.1)

• ω je kruˇzna frekvencija talasa / ω a hullám körfrekvenciája. ω = 2πν =

2π T

(2.2)

• k je talasni broj / k a hullámszám. k=

2π λ

(2.3)

• φ je poˇcetna faza / a kezdeti fázis. • Φ je faza talasa / Φ a hullám fázisa. Φ = ωt − kx + φ 23

(2.4)

24

´ CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

Figure 2.1: Podela i osobine elektromagnetnih talasa. Az elektromágneses hullámok osztályozása és alaptulajdonságaik. [5] • I(x, t) = E(x, t)E ∗ (x, t) je intenzitet svetlosti / a fény intenzitása. Intenzitet svetlosti u nekoj taˇcci je proporcionalan gustini energije elektormagnetnog talasa u toj taˇcci. Potencijalna energija (taˇcnije gustina potencijalne energije u datoj taˇcci) EM talasa je proporcionalna kvadratu amplitude talasa U ∼ E 2 , a kinetiˇcka energija (taˇcnije gustina kinetiˇce energije u datoj taˇcci) je proporcionalna kvadratu izvoda amplitude po vremenu, Ek ∼ E˙ 2 = ω 2 E 2 , te je gustina ukupne energije talasa proporcionalna kvadratu amplitude, to jest intenzitetu. A fény intenzitása egy adott pontban arányos az elektormágneses hullám energias˝ ur˝ uségével ugyanabban a pontban. Az elektormágneses hullám helyzeti energiája (pontosabban annak s˝ ur˝ usége az adott pontban) arányos az amplitudó négyzetével, U ∼ E 2 , a mozgási energiája (pontosabban annak s˝ ur˝ usége az adott pontban) pedig arányos az amplitudó id˝oszerinti deriváltjának a négyzetevel, Ek ∼ E˙ 2 = ω 2 E 2 , azaz a hullám o¨ssz energia s˝ ur˝ usége az amplit´ udó négyzetevel arányos, vagyis az intenzitással. • I(x) = hI(x, t)i je proseˇcni intenzitet svetlosti / I(x) = hI(x, t)i a fény átlagos intenzitása. h i oznaˇcava usrednjavanje po vremenu / h i az id˝o szerinti a´tlagolást jelöli.

´ 2.1. EM TALASI / EM HULLAMOK

25

Figure 2.2: Osnovna podela elektromagnetnih talasa. Az elektromágneses hullámok alaposztályozása. [6]


26

cos(0.2t−0.5x) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

1 0.8 0.6 E(x,t) 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 10 8 0

2

6 4

t

x

4 6

8

2 10 0

cos(t−x) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

1 0.8 0.6 E(x,t) 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 10 8 0

6 2

4

t

x

4 6

8

2 10 0

cos(2t−3x) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

1 0.8 0.6 E(x,t) 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 10 8 0

6 2

4

t

4 6

8

2

x

10 0

Figure 2.3: Primeri ravnih harmonijskih elektromagnetnih talasa, E0 = 1. S´ık harmonikus elektromágneses hullámok példái, E0 = 1.

´ 2.2. IZBIJANJE / LEBEGES

27

• Brzina elektromagnetnog talasa je odredjena relacijama (2.5). Brzina svetlosti u vakuumu je c = 108 m/s. Az elektromágneses hullám sebességét a (2.5) o¨sszef¨ uggések határozzák meg. A fénysebesség vákuumban c = 108 m/s. v=

2πν ω λ = λν = 2π = T k λ

(2.5)

Kada koristimo izraz intenzitet svetlosti u najvećem broju sluˇcajeva mislimo na proseˇcan intenzitet. Amikor az intenzitás kifejezést használjuk, az esetek dönt˝o többségében az a´tlagos intenzitásra gondolunk.

2.1.1

Zadatak / F¨ oladat

Izraˇcunajte brzine talasa i odgovarajuće indekse prelamanja svetlosti iz primera prikazanog na slici Fig. 2.3. Brzine talasa će biti neuobiˇcajeno male, a vrednosti indeksa prelamanja će biti neuobiˇcajeno velike, ali ne i nemoguće! Számolja ki a Fig. 2.3. ábrán szemléltetett s´ıkhullámok sebességeit és a megfelel˝o törésmutatókat. A sebesség értékei meglep˝oen kicsik lesznek, a törésmutatóké meglep˝oen nagyok, de ezek az értékek nem lehetetlenek!

2.2

Izbijanje / Lebeg´ es

Razmotrimo superpoziciju dva ravna talasa jednakih amplituda i razliˇcitih frekvencija, odnosno talasnih duˇzina koji osciluju duˇz istog pravca. Vizsgáljuk meg két s´ıkhullám szuperpozicióját amelyek amplit´ udója egyforma, de a frekvenciájuk és hullámhosszuk nem.

E1 E2 E

= = = =14

E0 cos(ω1 t − k1 x) E0 cos(ω2 t − k2 x) E1 + E2 ! (ω1 + ω2 )t − (k1 + k2 )x 2E0 cos 2 ! (ω1 − ω2 )t − (k1 − k2 )x cos 2

(2.6) (2.7)


28

!

=

∆ωt ∆kx − cos (ωt − kx) 2E0 cos 2 2 |

=2.5

{z

(2.8)

}

Obvojnica - Burkoló ω1 + ω2 x ω1 − ω2 x 2E0 cos t− cos t− 2 v 2 v

(2.9)

2 cos(0.25t−0.5x) cos(2t−3x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2

2 1.5 1 E(x,t) 0.50 −0.5 −1 −1.5 −2 20 15 0

10

5

t

10

15

Figure 2.4: Izbijanje. Lebegés.

5 20 0

x

´ TALASI / ALL ´ OHULL ´ ´ 2.3. STOJECI AMOK

29

2 cos(0.25t−0.5x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2

2 1.5 1 E(x,t) 0.50 −0.5 −1 −1.5 −2 20 15 0

10

5

t

10

15

5 20 0

Figure 2.5: Obvojnica - sporo promenljivi deo talasa. Burkoló - a hullám lassan változó része.

2.3

´ ohull´ Stoje´ ci talasi / All´ amok

Neka se duˇz x ose u jednom pravcu prostire talas amplitude E1 a u suprotnom pravcu talas amplitude E2 . Az x tengely mentén egy irányban E1 amplit´ udój´ u-, az ellentétes irányban pedig E2 hullám terjed. E1 E

= = =14

E0 cos(ωt − kx), E1 + E2

E2 = E0 cos(ωt + kx + δ)

δ 2E0 cos kx + 2 |

{z

!

δ cos ωt + 2

(2.10) !

(2.11)

}

prostorno modulirana amplituda térben modulált amplit´ udó Kao rezultat superopozicije dobili smo stojeći talas. A szuperpoz´ıció eredménye állóhullám. ˇ Cvorovi stojećeg talasa se nalaze u taˇckama gde je maksimalna amplituda 0.

x


30

Az a´llóhullám csomó i azokban a pontokban vannak, ahol a maximális amplit´ udó 0. !

δ δ π cos kx0 + = 0 ⇔ kx0 + = (2m + 1) 2 2 2 λ 1 (π(2m + 1) − δ) = (π(2m + 1) − δ) x0 = 2k 4π

(2.12)

2 0 0+π π/4 π+π/4 3π/8 π+3π/8 9π/16 π+9π/16 8,5π/16 π+8,5π/16

1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −10

−5

0

5

10

Figure 2.6: Stojeći talas, prikazan za razne vrednosti ωt + 2δ . Na slici se jasno ´ ohullám amplit´ vide ˇcvorovi talasa. All´ udója ωt + 2δ k¨ ulölnböz˝o értékeire. Az a´brán egyértelm˝ uen láthatók az állóhullám csomói.

´ TALASI / ALL ´ OHULL ´ ´ 2.3. STOJECI AMOK

31

1

0.5

15

A 0 -0.5 10 -1 0 t 2 5

4 6 x 8 10

0

Figure 2.7: Stojeći talas. Uz izvestan napor na slici se vide ˇcvorovi talasa kao ´ ohullám amplit´ prave linije normalne na x osu. All´ udója. Némi er˝ofesz´ıtéssel az a´brán egyértelm˝ uen láthatók az állóhullám csomói mint az x tengelyre mer˝oleges egyenesek.


32

2cos(t+1)cos(x+1)

1 0 −1

2 1.5 1 E(x,t) 0.50 −0.5 −1 −1.5 −2 10 8 0

2

6 4

t

4 6

8

2

x

10 0

Figure 2.8: Stojeći talas joˇs jednom, prikazane su konturne linije. Ljubiˇcaste ´ ohullám prave linije normalne na x osu odgovaraju ˇcvorovima talasa. All´ mégegyszer, föl vannak t¨ untetve a szintvonalak. Az x tengelyre mer˝oleges lila egyenesek felelnek meg a csomópontoknak.

´ O ´ POLARIZACI

2.4. POLARIZACIJA

2.4

33

Polarizacija Polariz´ aci´ o

Dva ravna talasa osciluju normalno jedan na drugi. Két s´ıkhullám egymásra mer˝olegesen oszcillál. Neka je α deo faze talasa koji zavisi od frekvencije i talasne duˇzine. Legyen α a hullám fázisának a frekvencia- és hullámhossz-f¨ ugg˝o része. Prvi talas osciluje u ravni xz, a drugi u ravni yz. Rezultujući talas se kreće duˇz z ose. Az els˝o hullám az xz s´ıkban-, a második pedig az yz s´ıkban oszcillál. Az ered˝o hullám a z tengely mentén halad. E1,xz = E10 cos(α) E2,yz = E20 cos(α + φ)

(2.13) (2.14)

Iz (2.13) nalazimo / (2.13)-b˝ol kifolyólag cos α =

E1,xz E10

(2.15)

Na osnovu (13) transformiˇsimo (2.14) / (13) alapján ´ırjuk föl (2.14)-t mint E2,yz E20

= cos α cos φ − sin α sin φ √ = cos α cos φ − 1 − cos2 α sin φ v u

u E1,xz E1,xz = cos φ − t1 − E10 E10

E2,yz E1,xz − cos φ = E20 E10

v u u t

E1,xz 1− E10

2

2

sin φ

(2.16)

,

sin φ

2

2 E2,yz 2 E2,yz E1,xz E1,xz E1,xz 2 −2 cos φ + cos φ = 1 − sin2 φ E20 E20 E10 E10 E10 2 2 E1,xz E2,yz E2,yz E1,xz −2 cos φ + cos2 φ + sin2 φ = sin2 φ E20 E20 E10 E10 | {z }

2

!

=1

E2,yz E20

−2

E2,yz E1,xz E1,xz cos φ + E20 E10 E10

2

= sin2 φ

(2.17)


34

Dobili smo eliptiˇcki polarizovan talas. (2.17) je jednaˇcina elipse koja je zarotirana za ugao φ u odnosu na vertikalnu osu. Az eredmény egy elliptikusan polarizált hullám. (2.17) egy a f¨ ugg˝oleges koordinátatengelyhez viszony´ıtva φ szöggel elford´ıtott ellipszis egyenlete. 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Figure 2.9: Eliptiˇcka polarizacija. Elliptikus polarizáció.

2.4.1

Zadatak / F¨ oladat

Diskutujte razne vrednosti fazne razlike φ u (2.17). Elemezze a φ fázisk¨ ulönbség k¨ ulönböz˝o értékeit (2.17)-ban.

1.5

´ ´ 2.5. INTENZITET SVETLOSTI / FENYINTENZIT AS

2.5

35

Intenzitet svetlosti / F´ enyintenzit´ as

Frekvencija vidljive svetlosti je reda veliˇcine 1015 Hz. Da bi smo bili u mogućnosti da merimo trenutnu vrednost amplitude elektromagnetnog talasa, mora li bi da raspolaˇzemo instrumentom koji moˇze da prati mereni signal, tj. koji je u stanju da osciluje frekvencijom koja ima bar istu frekvenciju kao i svetlost. Takvi uredjaji ne postoje. Ako je signal brˇzi nego instrument koji ga meri, onda uredjaj meri srednju vrednost signala u nekom vremenskom intervalu. Poˇsto se elektromagnetni talasi ˇcesto menjaju po harmonijskom zakonu, srednja vrednost merenog signala jako (taˇcnije neverovatno) brzo teˇzi nuli. Znaˇci kada registrujemo svetlost mi merimo neˇsto drugo, a to je srednja vrednost kvadrata amplitude - intenzitet svetlosti. U daljem ćemo koristiti ˇcinjenicu da je srednja vrednost kvadrata kosinusa (sinusa) u intervalu duˇzine π jednaka 21 . A látható fény frekvenciája 1015 Hz nagyságrend˝ u. Ahhoz, hogy mérhess¨ uk az elektromágneses hullám amplitudójának pillanatnyi értékét, olyan mér˝oberendezéssel kellene rendelkezn¨ unk, amely legalább olyan frekvencián tud oszcillálni mint a fény. Ilyen mér˝oberendezés nem létezik. Amennyiben a mért jel gyorsabban változik mint a mér˝om˝ uszer a´llapota, a mér˝om˝ uszer nem a jelet, hanem annak egy id˝ointervallumbeli a´tlagát méri. Mivel az elektromágneses hullámok gyakorta harmonikus törvény szerint változnak, ezért a mért jel a´tlaga nagyon (pontosabban hihetetlen¨ ul) gyorsan tart a nullához. Tehát amikor fényt érzékel¨ unk, akkor nem az amplit´ udót, hanem valami mást érzékel¨ unk. Ez a valami az amplitudó négyzetnek id˝obeli átlaga - a f´ enyintenzit´ as. A továbbiakban gyakran használjuk azt a tényt, hogy a koszinusz (sz´ınusz) négyzetének a´tlaga π hossz´ uság´ u intervallumon 21 .

Φ = ωt − kx + φ E(x, t) = E0 cos Φ, I(x, t) = E 2 (x, t) = E02 cos2 Φ E2 hIit = hE02 cos2 Φi = E02 hcos2 Φi = 0 | {z } 2 = 12

(2.18) (2.19) (2.20)


36 1

cos(x) cos^2 (x)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

−4

−2

0

2

4

Figure 2.10: cos(x), cos2 (x).

2.6

Interferencija/Interferencia

Interferencija se javlja ukoliko su izvori svetlosti koherentni, tj. ukoliko je razlika faza dvaju (ili viˇse) talasa konstantna veliˇcina. Koherenciju nije moguće postići u sluˇcaju nezavisnih izvora svetlosti. Zato se elektromagnetni talas iz jednog izvora deli ili takoreći ,umnoˇzava’ na razne naˇcine, da bi se dobilo viˇse koherentnih talasa. Moˇze se deliti intenzitet ili front talasa. Interferencia akkor lép fel, amikor a fényforrások koherensek, azaz a két (vagy több) hullám fázisk¨ ulönbsége állando mennyiség. A koherencia nem lehetséges egymástól f¨ uggetlen fényforrások esetén. Ezért az egy fényforrásból származó elektromágneses hullámot u ´gymond megosztjuk ,megtöbszörözz¨ uk’, hogy egymással koherens hullámokat kapjunk. Az intenzitás és a front osztása egyarant lehetséges. Primeri interferencije su prikazani na slici 2.11. Az interferencia néhány kisérleti példája a 2.11 ábrán látható. Polaznu taˇcku za traˇzenje informacija o interferenciji moˇzete naći ovde [2]. Az interferencia tárgy´ u keresés egyik kezd˝opontja itt található [2]. Odredimo intenzitet svetlosti u sluˇcaju dva ravna talasa ˇcija je fazna razlika δ. Határozzuk meg a fény intenzitását két s´ıkhullám esetén, amennyiben a

2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA

37

Figure 2.11: Primeri interferencije talasa. Az interferencia megvalós´ıtásának néhány példája.


38

fázisk¨ ulönbség¨ uk δ. E = E0 cos( ωt − kx + φ ) = Re(E0 exp(iΦ)) |

{z

=Φ

(2.21)

}

1 1 I = hRe(E)Re(E)i = E02 hcos2 Φi = Re(E ∗ E) = E02 (2.22) 2 2 1 2 Ei = Ei0 cos Φi , hIi i = Ei0 , i = 1, 2; Φ2 − Φ1 = δ (2.23) 2 E = E1 + E2 (2.24) 1 hIi = hRe(E1 + E2 )Re(E1 + E2 )i = Re((E1∗ + E2∗ )(E1 + E2 )) 2 1 1 1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ = Re(E10 E10 ) + Re(E20 E20 ) + Re(E10 E20 ) + Re(E20 E10 ) 2 2 2 2 1 = hI1 i + hI2 i + E10 E20 {Re [exp (i(Φ2 − Φ1 ))] + Re [exp (−i(Φ2 − Φ1 ))]} 2 1 = hI1 i + hI2 i + E10 E20 2 cos δ 2q = hI1 i + hI2 i + 2 hI1 ihI2 i cos δ (2.25) Ako je prethodni dokaz isuviˇse apstraktan, rezultujući intenzitet se moˇze izraˇcunati i drugaˇcije. Ha az el˝oz˝o bizony´ıtás t´ ulságosan elvont (lenne), az ered˝o intenzitást másképpen is ki lehet számolni. hIi = = = = =

h(E1 + E2 )2 i = hE12 + E22 + 2E1 E2 i 2 2 E10 hcos2 Φ1 i + E20 hcos2 Φ2 i + 2E10 E20 hcos Φ1 cos Φ2 i hI1 i + hI2 i + 2E10 E20 hcos Φ1 cos(Φ1 + δ)i hI1 i + hI2 i + 2E10 E20 hcos Φ1 (cos Φ1 cos δ − sin Φ1 sin δ)i hI1 i + hI2 i + 2E10 E20 (cos δ hcos2 Φ1 i − sin δ hcos Φ1 sin Φ1 i) |

{z

= 12

}

|

{z

=0

}

= hI1 i + hI2 i + E10 E20 cos δ q

= hI1 i + hI2 i + 2 hI1 ihI2 i cos δ

(2.26)

Uslov konstruktivne interferencije, maksimuma intenziteta, pojave svetle pruge je dat jednaˇcinom (2.27). A konstrukt´ıv interferencia föltételét, az intenzitás maximumát, a világos


39

cs´ık megjelenésének föltételét a (2.27)-es egyenlet adja meg.

q

cos δ = 1 ⇒ I = Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2

(2.27)

Uslov destruktivne interferencije, minimuma intenziteta, pojave tamne pruge je dat jednaˇcinom (2.28). A destrukt´ıv interferencia föltételét, az intenzitás minimumát, a sötét cs´ık megjelenésének föltételét a (2.28)-es egyenlet adja meg. q

cos δ = −1 ⇒ I = Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2

(2.28)

Vidljivost je odredjena kontrastom izmedju svetlih i tamnih linija, (2.29). A láthatóságot a világos és sötét cs´ıkok közötti kontraszt határozza meg, (2.29). √ 2 I1 I2 Imax − Imin = C = Imax + Imin I1 + I2

(2.29)

1 0.8 0.6 0.4 0.2

C

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 8 0

6 2

4

I1

4 6

8

2 10 0

Figure 2.12: Vidljivost, Láthatóság

I2


40

2.6.1

Jangov eksperiment Young-f´ ele k´ıs´ erlet

Prorezom smatramo otvor koji je tako uzan, da iz njega ne mogu da izadju dva paralelna svetlosan zraka. Prorez se ponasa kao taˇckast izvor svetlosti. A re´s olyan sz˝ uk ny´ılás, amelyb˝ol két kulonböz˝o fénysugár nem tud egymással párhuzamosan kilépni. A rés pontszer˝ u fényforrásként viselkedik. Prouˇcimo sluˇcaj dva proreza na medjusobnom rastojanju d. Pretpostavimo da je rastojanje izmedju proreza i reflektujućeg sloja l, (videti sliku 2.13). Vizsgáljuk meg két, egymástól d távolságban lev˝o rés esetét. Tételezz¨ uk föl, hogy a rések és a fényvisszaver˝o fel¨ ulet közötti távolság l, (ld. a 2.13. ábrát). ∆ oznaˇcava razliku optiˇckih puteva svetlosnih zraka koji prolaze kroz proreze 1 i 2. ∆ az 1-es és 2-es résen a´thaladó fénysugarak optikai u ´thosszainak k¨ ulönbségét jelöli.

∆

=

=

l2 − l1 =

v u u t2 l

v 2 u u x + d2 t l  1+ l2 

∼11 l 1 + 



d 2 2 2l

x+

=

1  d x+ 2l 2

=

dx l

!2

d + x+ 2

2

!2

−

v u u t

v u u − tl2



− 1 + 

d − x− 2

!2

2  x−    l2

1+

d + x− 2

d 2 2 2l

x−

d 2

2   

!2  

(2.30)

δ = k∆

(2.31)

δ oznaˇcava faznu razliku zraka 1 i 2. δ az 1-es es 2-es sugarak közötti fázisk¨ ulönbséget jelöli. Na osnovu (2.25, 2.27) uslov pojave svetle pruge je dat jednaˇcinom (2.32). (2.25, 2.27) alapján a világos cs´ık megjelenésének föltételét a (2.32) egyenlet adja meg.


41

P

l1

x

l2 d

l Figure 2.13: Jangov interferometar/Young-féle interferométer

δ = 2mπ,

2π dx = 2mπ λ l

(2.32)

Na osnovu (2.25, 2.28) uslov pojave tamne pruge je dat jednaˇcinom (2.33). (2.25, 2.28) alapján a sötét cs´ık megjelenésének föltételét a (2.33) egyenlet adja meg.

δ = (2m + 1)π,

2π dx = (2m + 1)π λ l

(2.33)

Izgled interferencionih pruga u Jangovom eksperimentu moˇzete videti na slici 2.14. A Yang-féle intereferenciós cs´ıkok a 2.14 a´brán láthatók.

2.6.2

Jangov eksperiment sa viˇ se proreza Young-f´ ele k´ıs´ erlet t¨ obb r´ essel

U sluˇcaju da imamo N > 2 proreza koji su na istovetnom medjusobnom rastojanju, fazna razlika dva svetlosna zraka koji dolaze iz uzastopnih proreza iznosi δ (videti (2.31)), kao i u sluˇcaju interferencije na dva otvora.


42

6 4 2 0 −2

4.5 4 3.5 3 2.5 2 y 1.5 1 0.5

−4 −10

−5

0

−6 10

5

x Figure 2.14: Interferencione pruge u Jangovom eksperimentu. Yang-féle intereferenciós cs´ıkok.

Amennyiben nem kett˝o, hanem N > 2 egymástól egyforma távolságban lev˝o réssel van dolgunk, a két egymást követ˝o résen áthaladó fénysugarak fázisk¨ ulönbsége δ, (ld. (2.31)), ugyan´ ugy mint a két résen történ˝o interferencia esetén.

Rezultujuću jaˇcinu elektriˇcnog polja moˇzemo predstaviti kao zbir geometrijskg reda, svaki ˇclan reda se od prethodnog ˇclana razlikuje za istu fazu. Az ered˝o elektromos térer˝osséget egy geometriai sor o¨sszegeként a´brázolhatjuk. Az o¨sszeg minden egyes tagjának a fázisa állandó fázisk¨ ulönbség˝ u a sor el˝oz˝o tagjához viszony´ıtva.

E = E0 + E0 exp(iδ) + E0 exp(2iδ) + . . . + E0 exp(N iδ) = E0 (1 + exp(iδ) + exp(2iδ) + . . . + exp(N iδ)) |

{z

(8)

}


43 −2i sin( N2δ ),(7)

z

!}|

iN δ iN δ − exp iN δ exp − exp( 2 ) 2 2 1 − exp(iN δ) ! ! = E0 = E0 iδ 1 − exp(iδ) iδ iδ exp( 2 ) exp − − exp 2 2 |

= E0

Nδ

{z

−2i sin(

δ 2

!{

}

),(7)

exp( iN2 δ ) sin 2 exp( iδ2 ) sin 2δ

(2.34)

Za intenzitet interferencionih pruga dobijamo: Az interferenciós cs´ıkok intenzitása: I(δ) = EE ∗ =

sin2

Nδ 2 I0 2 δ sin 2

(2.35)

Grafik funkcije intenziteta svetlosti (jednaˇcina (2.35)) je predstavljen na slici 2.15: A fény intenzitását ((2.35) egyenlet) a 2.15 a´brán lehet látni. Intenzitet svetlosti je uvek konaˇcan! Za vrednost fazne razlike δ = 2πm gde je m ceo broj primenom L’ôpitalovog pravila (21) nalazimo: Az intenzitás mindég véges! A fázisk¨ ulömbség δ = 2πm értékeire ahol m egész szám, L’ôpital-szabályt alkalmazva (21): 

lim I(δ) = I0 lim 

δ→2mπ

δ→2mπ



= =

2

Nδ 2 sin 2δ

sin

2





= I0  lim

Nδ 2  I0 lim δ→2mπ sin δ 2 2 N I0

sin



δ→2mπ

Nδ 2 cos 2δ

cos

N 2 1 2

2 

(2.36)

U praksi razlikovanje primarnih i ostalih maksimuma intenziteta nije jednostavno, potrebna je velika moć razluˇcivanja, (videti sliku 2.16 i uporedite sa slikom 2.15). A gyakrolatban elég nehéz az els˝odleges és sokadlagos maximumok szétválasztása, ez csak nagy felbontóképesség˝ u m˝ uszerekkel lehetséges, (lásd a 2.16 a´brát és vesd o¨ssze a 2.15 ábrával).


44

25 N=2 N=3 N=4 N=5 20

15

10

5

0 −4

−2

0

2

4

Figure 2.15: sin2 (N δ)/ sin2 δ

2.6.3

Interferencija na planparalelnom sloju Interferencia planparalell r´ etegen

Razmotrimo interferenciju na planparalelnom sloju indeksa prelamanja n2 i debljine d, u sredini sa indeksom prelamanja n1 . Vizsgáljuk meg az n2 törésmutatój´ u, d vastagság´ u planparalell lemezen történ˝o interferenciát n1 törésmutatój´ u közegben. Razliku optiˇckih puteva oznaˇcimo sa ∆. Az optikai u ´thosszak k¨ ulönbségét ∆-val jelölj¨ uk.

∆ = 2n2 s2 − n1 s1 sin α n2 = sin β n1 d d d cos β = ⇒ s2 = =q s2 cos β 1 − sin2 β

(2.37) (2.38) (2.39)


45

6 4 2 0 −2

6 5 4 3 2 1 0

−4 −10

−5

0

5

−6 10 6 4 2 0 −2

12 10 8 6 4 2 0

−4 −10

−5

0

5

−6 10 6 4 2 0 −2

25 20 15 10 5 0

−4 −10

−5

0

5

−6 10

Figure 2.16: Intenziteti svetlosti u sluˇcaju 2, 3 i 4 proreza. A fény intenzitása 2, 3 és 4 rés esetén. I0 = 1.3

46


s1 n1

α

α a

n2 β d

s2 β

Figure 2.17: Razlika duˇzina optiˇckih puteva u sluˇcaju interferencije na planparalelnom sloju. Optikai u ´thosszak k¨ ulönbsége planparalell rétegen történ˝o interferenciánál. tg β = sin α =

sin β a ⇒ a = d tg β = d q d 1 − sin2 β

(2.40)

sin β s1 ⇒ s1 = 2a sin α = 2d sin α q 2a 1 − sin2 β

(2.41)

2n2 d

2n1 d sin αn1,2 sin α − q 1 − n21,2 sin α 1 − n21,2 sin2 α 2d = q (n2 − n1 n1,2 sin2 α) 2 2 1 − n1,2 sin α 2dn2 = q (1 − n21,2 sin2 α) 2 2 1 − n1,2 sin α

∆ = q

2

q

= 2dn2 1 − n21,2 sin2 α q

= 2d n22 − n21 sin2 α

(2.42)

Zbog refleksije zraka koji prolazi kroz planparalelni sloj faza mu se promeni za π, te je ukupna fazna razlika dvaju zraka: Mivel a rétegen a´thaladó fénysugár visszaver˝odik, annak fázisa π-vel megváltozik,


47

ezért a két fénysugár fázisk¨ ulönbsége: δ=

q 4π dn2 1 − n21,2 sin2 α + π λ

(2.43)

Uslov konstruktivne interferencije je: / A konstrukt´ıv interferencia föltétele: cos δ = 2πm

(2.44)

ˇsto daje uslov na ugao pod kojim svetlost treba da pada na planparalelni sloj: ami föltételt szab a fénysugár beesési szögére: 

sin2 α = n22,1 1 −

λ 4dn2

!2



(2m − 1)2 

(2.45)

Vidimo da ceo broj m ne moˇze da ima proizvoljnu vrednost, jer vaˇzi nejednakost 0 ≤ sin2 α ≤ 1. Látjuk, hogy az m egész szám nem vehet föl tetsz˝oleges értékeket, mivel igaz, hogy 0 ≤ sin2 α ≤ 1. Na sliˇcan naˇcin nalazimo i uslov destruktivne interferencije. Hasonlóképpen megkaphatjuk a destrukt´ıv interferencia föltételelét is.

2.6.4

N-tostruka interferencija na planparalelnom sloju N-szeres interferencia planparalell r´ etegen

U kranjoj desnoj taˇcci (0) na slici 2.18 imamo superpoziciju N svetlosnih zraka, takvih da je fazna razlika dva uzastopna zraka k∆, gde je ∆ zadato jednaˇcinom (2.42). Rezultujuće elektriˇcno polje je zbir geometrijskog reda. A 2.18 a´bra jobb széls˝o pontjában (0) N fénysugár szuperpoponálódik, két egymást követ˝o fénysugár fázisk¨ ulönbsége k∆, ahol ∆-t a (2.42) egyenlet határozza meg. Az ered˝o elektromos térer˝osség egy geometriai sor összege. E = E0 + E0 ρ exp(iδ) + E0 ρ2 exp(2iδ) + . . . + E0 ρN exp(N iδ) = E0 (1 + ρ exp(iδ) + ρ2 exp(2iδ) + . . . + ρN exp(N iδ)) 1 − ρN exp(N iδ) (2.46) = E0 1 − ρ exp(iδ)


48

N

N−1

0

Figure 2.18: Planparalelan sloj, N -tostruka interferencija. lemez, N -szeres interferencia.

Planparalell


49

Intenzitet svetlosti je : / A fény intenzitása: I = EE ∗ = E0

1 − ρN exp(iN δ) 1 − ρN exp(−iN δ) E0 1 − ρ exp(iδ) 1 − ρ exp(−iδ) 2 cos(N δ),(6)

z

}|

{

1 − ρN (exp(iN δ) + exp(−iN δ)) +ρ2N = I0 1 − ρ (exp(iδ) + exp(−iδ)) +ρ2 |

= I0

{z

}

2 cos δ,(6)

1 − 2ρN cos(N δ) + ρ2N 1 − 2ρ cos δ + ρ2

(2.47)

N=10 80 60 40 20

I

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 0.8 0

0.6 0.5

1

1.5 δ

0.4 2

2.5

0.2 3

ρ

0

Figure 2.19: N = 10, δ ∈ [0, π], ρ ∈ [0, 1]

2.6.5

Interferencije u primeni Interferencia a gyakorlati alkalmaz´ asban

Prilikom projektovanja mobilne telefonske mreˇze potrebno je optimalno pokriti odredjenu oblast. To je najˇceˇsće izvodivo samo sa viˇse primopredajnika. Da bi medjusobno bliski primopredajnici ˇsto je moguće manje ometali jedni druge, oni rade na ˇsto je moguće razliˇcitijim frekvencijama, odnosno medjusobno udaljeni primopredajnici mogu da rade na bliskim frekvencijama. Ovo je jedan od razloga zbog kojih mobilna telefonija radi u frekventnom opsegu, a ne na nekoj frekvenciji.

50


Amikor mobiltelefon hálózatot terveznek, legtöbbször egy adott ter¨ ulet lefedése csak több adóvev˝ovel lehetséges. Hogy a szomszédos adóvev˝ok minél kevésbé zavarják egymást, azokat egymástól minél távolabbi frekvencián célszer˝ u u ¨zemeltetni, illetve térben egymástól távol lev˝o adóvev˝ok m˝ uködhetnek egymáshoz közeli frekvencián. Ez is egy ok, amiért a mobiltelefon hálózat nem egy frekvencián, hanem frekvenciasávban u ¨zemel.

´ 2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO

2.7

51

Difrakcija/Diffrakci´ o

Kod difrakcije je otvor kroz koji prolaze svetlosni zraci dovoljno ˇsirok da kroz njega mogu proći paralelni svetlosni zraci. Zbog toga da bi smo uoˇcili difrakcione ˇsare ispred svetlosnih zraka moramo postavitu soˇcivo, i reflektujuću povrˇsinu u ˇziˇznu ravan soˇciva (zaˇsto?). Polaznu taˇcku za traˇzenje informacija o difrakciji moˇzete naći ovde [3]. Diffrakció esetén a ny´ılás elég tág ahhoz, hogy azon kereszt¨ ul párhuzamosan a´t tudjanak haladni a fénysugarak. Ezért ahhoz, hogy láthassuk a diffrakciós mintázatot, lencsét kell helyezn¨ unk a fénysugarak elé és annak a fokális s´ıkjába kell helyezn¨ unk a fényvisszaver˝o fel¨ uletet (miért?). A diffrakció tárgy´ u keresés egyik kiindulási pontja itt található [3]. Primer difrakcije na uzanom prorezu, slika 2.20. Ravni talasi nakon prolaska kroz uzan prorez se ponaˇsaju kao da su potekli iz taˇckastog izvora. Sz˝ uk ny´ıláson történ˝o diffrakció, 2.20 a´bra. Miután a s´ıkhullámok a´thaladtak a résen u ´gy viselkednek, mintha azok egy ponszer˝ u forrásból erednének.

2.7.1

Dugaˇ cak prorez ˇ sirine b / Hossz´ u, b sz´ eless´ eg˝ u r´ es

k oznaˇcava talasni broj, ∆ oznaˇcava razliku optiˇckih puteva a δ je fazna razlika. k a hullámszámot jelöli, ∆ az optikai u ´thosszak k¨ ulönbsége, δ pedig a fázisk¨ ulönbség.

δ = k∆ =

2π x sin φ λ | {z } |{z} k

(2.48)

∆

Ukoliko zraci kroz prorez izlaze pod uglom φ, koristeći princip superpozicije moˇzemo izraˇcunati rezultujuću jaˇcinu elektriˇcnog polja. Eφ dobijamo sabirajući sve amplitude koje iz proreza izlaze pod uglom φ i razlikuju se u fazi za δ od zraka koji prolazi kroz sredinu proreza. Umesto da sabiramo amplitude samo nekoliko zraka sa datim faznim razlikama, sada sabiramo beskonaˇcno mnogo amplituda svetlosnih zraka sa datim faznim razlikama, otuda imamo odredjeni integral. E0 je maksimalna amplituda jednog zraka. Amennyiben a ny´ıláson a fénysugarak φ szög alatt haladnak át, a szuperpoz´ıció elve alapján kiszámolhatjuk az ered˝o elektromos teret. Eφ -t u ´gy

52


Figure 2.20: Difrakcija talasa na vodi, [11], [12]. V´ızhullámok diffrakciója, [11], [12].


∆ x b φ

Figure 2.21: Difrakcija na dugaˇckom prorezu. / Diffrakciós rés.

53

54


kaphatjuk meg, hogy o¨sszeadjuk a résen φ szög alatt áthaladó o¨sszes fénysugár amplit´ udóját, amelyek a rés közepén áthaladó fénysugártól fázisban δ-val k¨ ulönböznek. Eddig azt láttuk, hogy véges sok fénysugár amplit´ udóját adtuk o¨ssze, most végtelen sok amplit´ udót adunk o¨ssze, melyek fázisban δ-val k¨ ulönböznek, ezért van határozott integrállal dolgunk. E0 egy fénysugár maximális amplit´ udóját jelöli. b 2π E0 Z 2 exp i ωt − x sin φ dx b − 2b λ Z b 2π E0 2 exp(iωt) b exp −i x sin φ dx = b λ −2

Eφ =

=

E0 exp(iωt) b

b

exp −i 2π x sin φ 2 λ −i 2π sin φ λ

− 2b

sin πb sin φ E0 λ exp(iωt) πb = b sin φ

(2.49)

λ

sin2

I = Eφ Eφ∗ = I0

πb λ

πb λ

sin φ 2

(2.50)

sin φ

Na osnovu jednaˇcine (2.50) uslov minimuma intenziteta difrakcionih linija je: A (2.50)-es egyenlet alapján a diffrakciós cs´ıkok minimális intenzitásának föltétele: πb sin φ = mπ, λ

sin φ =

mλ b

(2.51)

Na osnovu jednaˇcine (2.50) uslov maksimuma intenziteta difrakcionih linija je: A (2.50)-es egyenlet alapján a diffrakciós cs´ıkok maximális intenzitásának föltétele: πb π sin φ = m , λ 2

sin φ =

mλ 2b

(2.52)


55

1

sin(x)/x (sin(x)/x)2

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −10

−5

0

5

10

Figure 2.22: sin(x)/x, sin2 (x)/x2

6 4 2 0 −2 −4 −10

−5

0

5

−6 10

Figure 2.23: Izgled difrakcionih linija u sluˇcaju jednog otvora. Diffrakciós cs´ıkok egy ny´ılás esetén.

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0


56

2.7.2

Difrakciona reˇ setka / Diffrakci´ os r´ acs

Jednaˇcinu za intenzitet svetlosti (2.50) rezonom istovetnom onom izloˇzenom u odeljku 2.6.2 modifikujemo da uzmemo u obzir uticaj N proreza. Pretpostavimo da je svaki prorez ˇsirine b, a da su prorezi na medjusobnom rastojanju a, ˇsto znaˇci da difrakciona reˇsetka ima period d = a + b. A (2.50)-es egyenletet a 2.6.2 részben kifejtett meggondolás alapján módos´ıthatjuk, hogy figyelembe vegy¨ uk az N rés hatását. Tételezz¨ uk föl, hogy minden rés szélessége b, és, hogy az egymást követ˝o rések közötti távolság a, ekkor a diffrakciós rács periódusa d = a + b. sin2

I = I0

πb λ

πb λ

sin φ sin2 2

sin φ

N πd sin φ λ sin2 πd sin φ λ

16

(2.53)

N=4, d = 2b 16*(sin(x)/x)**2

14 12 10 8 6 4 2 0

−4

−2

0

2

4

Figure 2.24: (2.53), N = 4, a = b, d = 2b Izgled difrakcionih linija u sluˇcaju reˇsetke sa ˇcetiri otvora, (slike 2.24, 2.25). Diffrakcios cs´ıkok négy vonalas rács esetén, (2.24, 2.25 ábrák). Uslove maksimuma intenziteta u sluˇcaju difrakcije daju: Diffrakciós maximumok föltételei: N πd kλ sin φ = kπ, sin φ = (2.54) λ Nd


57

6

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

4 2 0 −2 −4 −6 −2 −1.5 −1 −0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figure 2.25: (2.53). N = 4, b = 1, d = 3, I0 = 1.3.

D=

2.7.3

dφ dλ

(2.55)

Primena difrakcije u ispitivanju osobina materijala A diffrakci´ o alkalmaz´ asa anyagtulajdons´ agi vizsg´ alatokban

Vaˇzna klasa eksperimntalnih metoda u ispitivanju osobina materijala su nedestruktivne metode, tj. one metode u kojima se materijal koji se ispituje ne uniˇstava. A k´ısérleti anyagvizsgálati módszerek között fontosak azok a vizsgálati módszerek, amelyekben az anyagminta a vizsgálat során nem semmis¨ ul meg. Az ilyen vizsgálatok az u ń. nemdestrukt´ıv vizsgálatok. Struktura ˇcvrstih tela je ˇcesto kristalna, na primer: poluprovodnici, legure ˇcelika, . . . . A szilárd testek legtöbbször kristályrácsszerkezet˝ uek, pl. félvezet˝ok, acél o¨tvözetek . . . . ˇ Cvorovi kristalne reˇsetke su neprohodni za talase, dok je prostor izmedju

58


ˇcvorova reˇsetke prohodan. Time kristalna reˇsetka ˇcini jednu sloˇzenu strukturu centara rasejanja i otvora kroz koje talasi mogu da se prostiru. U praksi se za ispitivanje materijala koriste rendgenski zraci ili elektronski snop, ˇsto samo po sebi ne menja prirodu difrakcije. Na slici 2.26 se vidi primer difrakcije elektronskog snopa na kristalnoj reˇsetci. Iz difrakcionog obrasca se mogu izvući vaˇzni zakljuˇcci o strukturi ispitivanog materijala. Difrakcioni metodi mogu date vaˇzne informacije i o materijalima ˇcija struktura nije pravilna kristalna reˇsetka. A kristályrács csomói a hullámok számára áthatolhatatlanok, a csomók közötti rések viszont a hulámok számára a´tjárhatók. Ezzel a kristályrács egy olyan o¨sszetett szerkezetet alkot, amelyben egyaránt jelen vannak a szórócentrumok és az a´tjárható térrészek. Az anyagvizsgálati gyakorlatban sokszor Röntgen-sugarakat illetve elektron nyalábot szokás használni, ami a diffrakció jelenségén semmit sem változtat. A 2.26 a´brán egy elektronnyaláb kristalyrácson történ˝o diffrakciója látható. A diffrakciós mintázatokból fontos következmények vonhatók le a vizsgált minta anyagtulajdonságairól. A diffrakciós módszerek olyan anyagokról is fontos informaciót adhatnak, melyek szerkezete nem szabályos kristályrács.


59

Figure 2.26: Difrakcija elektronskog snopa na kristalnoj reˇsetci. Elektronnyaláb diffrakciója kristályrácson. [13]

60


Figure 2.27: Difrakcija rendgenskih zraka. Drˇzaˇc ispitivanog uzorka se vidi u beloj boji. Röntgen-sugarak diffrakciója. A vizsgált minta tartója fehér sz´ınben látszik. [14]

Chapter 3 Kvantna teorija Kvantumelm´ elet 3.1

Uvod / Bevezet˝ o

Kvantna mehanika se ˇcesto (potpuno pogreˇ sno!) iskljuˇcivo vezuje za objaˇsnjenje pojava u mikrosvetu. Postoje mnoge pojave vidljive golim okom(!) koje nije moguće objasniti bez kvantne mehanike, npr. superteˇcljivost, [9], [10]. Fenomen superprovodljivosti (proticanje elektriˇcne struje bez otpora) je takodje vidljiv golim okom, i to na sledeći naˇcin: znamo da superprovodnik iz sebe istiska linije magnetnog polja. Na obiˇcan provodnik postavimo magnet i poˇcnemo da hladimo provodnik. U trenutku kada provodnik postane superprovodan, istisnuće iz sebe linije magnetnog polja, i one će ”pogurati” magnet, koji poˇcinje da lebdi, [15]. Isto tako, bez kvantne mehanike nije moguće razumeti ni temperaturnu zavisnost toplotnog kapaciteta ˇcvrstih tela, [7]. A kvantumechanikát sokan (teljesen t´ evesen!) kizárólag a mikrovilág megértéséhez sz¨ ukséges tudománynak tekintik. Sok szabad szemmel látható(!) jelenséget nem lehet kvantummechanika nélk¨ ul megmagyarázni, ilyen például a szuperfolyékonyság, [9], [10]. A szupravezetés (ellenállás nélk¨ uli a´ramvezetés) is szabad szemmel észlelhet˝o jelenség, amennyiben tudjuk, hogy a szupravezet˝o kilöki magából a mágneses teret. Egy közönséges vezet˝ore mágnest helyez¨ unk és elkezdj¨ uk h˝ uteni a vezet˝ot. Amikor a vezet˝o szupravezet˝ové válik, kilöki magából a mágneses teret, az meg lebegésre b´ırja a mágnest, [15]. Ugyan´ ugy, kvantummechanika nélk¨ ul nem lehet megérteni a szilárd testek h˝okapacitásának h˝omérsékleti f¨ uggését sem, [7]. 61

´ KVANTUMELMELET

62

CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA

3.2

Energija elektromagnetnih talasa Az elektrom´ agneses hull´ amok energi´ aja

Energija elektromagnetnih talasa zavisi od frekvencije odnosno talasne duˇzine. Planck je izveo ovaj zakljuˇcak prilikom izvodjenja zakona zraˇcenja apsolutno crnog tela. Az elektromágneses hullámok energiája a frekvenciától, illetve a hullámhossztól f¨ ugg. Planck erre akkor jött rá, amikor levezette az apszol´ ut fekete test sugárzásának törvényét. E = hν =

h hc = 2πν = h ¯ω λ 2π |{z} |{z} =ω

(3.1)

=¯ h

h = 6.62606957(29) × 10−34 J · s, h ¯ = 1.054571726(47) × 10−34 J

(3.2) (3.3)

h je Plankova konstanta, h ¯ je redukovana Plankova konstanta. h a Planck-állandó, h ¯ a redukált Planck-állandó.

3.3

Plankov zakon zraˇ cenja apsolutno crnog tela Az abszol´ ut fekete test sug´ arz´ asa, Planckt¨ orv´ eny

Apsolutno crno telo ne reflektuje elektromagnetno zraˇcenje, ali ga moˇze emitovati. Az abszol´ ut fekete test nem veri vissza az elektromágneses sugárzást, viszont sugározhat. P oznaˇcava snagu kojom jediniˇcna povrˇsina apsolutno crnog tela zraˇci elektromagnetne talase. P az abszol´ ut fekete test teljes´ıtményét jelöli, amellyel elektromágneses hullámokat sugároz. P =

Z ∞ 0

ρω dω =

Z ∞ 0

ρλ dλ

(3.4)

¨ ENY ´ 3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORV

63

ρλ (ρω ) oznaˇcava snagu kojom apsolutno crno telo emituje elektromagnetne talase na talasnoj duˇzini λ (frekvenciji ω). ρλ (ρω ) az abszol´ ut fekete test teljes´ıtményét jelöli λ hullámhossz´ uságon (ω frekvencián). ρ je spektralna gustina (zraˇcenja) apsolutno crnog tela. ρ az abszol´ ut fekete test (sugárzásának) spektrális s˝ ur˝ usége. Eksperimentalni model apsolutno crnog tela moˇze da se ostvari kao ˇsupljina sa malim prorezom. Prorez se ponaˇsa kao apsolutno crno telo, 3.1. Az abszol´ ut fekete test k´ısérleti modelljét egy olyan u ¨reggel valos´ıthatjuk meg, amelyen sz˝ uk rést nyitunk. Ekkor a rés viselkedik u ´gy mint a fekete test, 3.1.

Figure 3.1: Eksperimentalni model apsolutno crnog tela, ˇsupljina sa prorezom. Az abszol´ ut fekete test k´ısérleti modellje, u ¨reg réssel. [18].

64


´ KVANTUMELMELET

Na osnovu eksperimenata znamo da spektralna gustina apsolutno crnog tela ne zavisi od vrste materijala ok koga su saˇcinjeni zidovi ˇsupljine. Spektralna gustina zavisi samo od apsolutne temperature zidova ˇsupljine. K´ısérleti mérések alapjan tudjuk, hogy az abszol´ ut fekete test spektrális s˝ ur˝ usége nem f¨ ugg attól, hogy milyen anyagból vannak az u ¨reg falai. Az abszol´ ut fekete test spektrális s˝ ur˝ usége kizárólag az u ¨reg falainak abszol´ ut h˝omérsékletét˝ol f¨ ugg. U daljnjem tekstu ce mo cesto koristiti Bolcmanovu konstantu, koja je odredjena kao: A továbbiakban gyakran fogjuk használni a Boltzmann-állandót, melynek defin´ıciója és értéke: k=

R = 1, 3806488(13) × 10−23 J · K −1 NA

(3.5)

gde je R univerzalna gasna konstanta, a NA Avogadrov broj. ahol R az univerzális gázállandó és NA az Avogadro-szám.

3.3.1

Rejli-Dˇ zinsov zakon/Rayleigh-Jeans-t¨ orv´ eny

Pribliˇzna zavisnost spektralne gustine od kruˇzne frekvencije, pribliˇzenje vaˇzi u sluˇcaju niskih frekvencija. A spektrális s˝ ur˝ uség közel´ıt˝o alakja, a közel´ıtés kis frekvenciák esetén érvényes. ω 2 kT ρω = 2 3 π c

3.3.2

(3.6)

Vinov zakon / Wien-t¨ orv´ eny

Pribliˇzna zavisnost spektralne gustine od kruˇzne frekvencije, vaˇzi u sluˇcaju visokih frekvencija. A spektrális s˝ ur˝ uség közel´ıt˝o alakja, a közel´ıtés nagy frekvenciák esetén érvényes

ρω =

h ¯ ω 3 − h¯ ω e kT π 2 c3

(3.7)


3.3.3

65

Plankov zakon zraˇ cenja Planck-f´ ele sug´ arz´ asi t¨ orv´ eny

Maks Plank je na osnovu termodinamiˇckog razmatranja (kopiju originalnog ˇclanka moˇzete naći ovde [16], a njegov prevod na engleski moˇzete naći npr. ovde, [17]) zakljuˇcio da je spektralna gustina zraˇcenja apsolutno crnog tela: Termodinamikai megfontolások alapján Max Planck kiszámolta a pontos spektrális s˝ ur˝ uséget, (az eredeti cikk másolatát megtalálhatja itt [16], annak angolnyelv˝ u ford´ıtása pedig megtalálható pl. itt: [17]): ρω =

1 h ¯ ω3 h ¯ω 2 3 π c e kT − 1

(3.8)

Termodinamika je primenljiva zato, ˇsto se unutar ˇsupljine nalazi gas fotona, tj. kvanata elektromagnetnog polja. Fotonski gas je u stanju termodinamiˇcke ravnoteˇze sa zidovima ˇsupljine, zato im je i temperatura jednaka. Znaˇci da je T istovremeno i temperatura zidova ˇsupljine i temperatura fotonskog gasa unutar ˇsupljine. Jednaˇcina stanja fotonskog gasa je data jednaˇcinom (3.9). Na primer, moˇze se izraˇcunati srednji broj fotona u ˇsupljini zapremine V , rezultat je dat jednaˇcinom (3.10). A termodinamika azért alkalmazható, mert az u ¨regben fotongáz van, a foton az elektromágneses tér kvantuma. A fotongáz termodinamikai egyens´ ulyban van az u ¨reg falával, ezért T egyszerre az u ¨reg falának a h˝omérséklete és egyben az u ¨regben lev˝o fotongáz h˝omérséklete. A fotongáz a´llapotegyenletét a (3.9) egyenlet adja meg. Például, kiszámolható a V térfogat´ u u ¨regben az a´tlagos fotonszám, az eredményt a (3.10) o¨sszef¨ uggés. ζ(4) N kT ≈ 0, 9N kT ζ(3) ! 16πζ(3)k 3 N = V T3 c3 h3

pV

=

4

(3.9) (3.10)

gde je / ahol ζ(3) = 1.2020569032 . . ., ζ(4) = π90 ≈ 1, 0823. Primetimo da jednaˇcina stanja fotonskog gasa neverovatno liˇci na jednaˇcinu stanja idealnog gasa (3.11). Razlog je u tome ˇsto fotoni medjusobno ne interaguju, kao ni molekuli idealnog gasa. Vegy¨ uk észre, hogy a fotongáz a´llapotegyenlete hihetetlen¨ ul hasonl´ıt az ideális gáz állapotegyenletére, (3.11). A hasonlóság oka abban rejlik, hogy a fotonok

66

´ KVANTUMELMELET


nem hatnak kölcsön egymással, mint ahogyan az ideális gáz molekulái sem. pV = N kT

(3.11)

Iz (3.8) slede zakoni zraˇcenja Rejli-Dˇzinsa i Vina. (3.8)-b˝ol következnek a Rayleigh-Jeans és Wien sugárzási törvények. • h ¯ ω kT ⇒

1 e

h ¯ω kT

−1

∼12

1 1+

¯ω h kT

−1

=

kT h ¯ω

(3.12)

te iz (3.8) sledi (3.6). / ez alapján (3.8)-ból következik (3.6). • h ¯ ω kT ⇒

1 e

h ¯ω kT

−1

h ¯ω

∼ e− kT

(3.13)

te iz (3.8) sledi (3.7). / ez alapján (3.8)-ból következik (3.7). Plankov zakon zraˇcenja izraˇzen preko talasnih duˇzina moˇzemo dobiti na sledeći naˇcin. Primetimo da ukupna snaga zraˇcenja ne moˇze da zavisi od toga da li spektralnu gustinu izraˇzavamo preko talasnih duˇzina ili frekvencija, ˇsto prevedeno na jezik matematike znaˇci da povrˇsina ispod krive ρλ mora da bude ista kao i povrˇsina ispod krive ρω . A Planck-féle sugárzási törvényt ki tudjuk fejezni a hullámhosszak seg´ıtségével is a következ˝o módon. Vegy¨ uk észre, hogy a sugárzás o¨sszteljes´ıtménye nem f¨ ugghet attól, hogy azt a hullámhosszakkal, vagy a frekvenciákkal fejezz¨ uk ki. Ez az áll´ıtás leford´ıtva a matematika nyelvére annyit tesz, hogy a ρλ görbe alatti fel¨ ulet megegyezik a ρω görbe alatti fel¨ ulettel. λ λ 2πc =ω ⇒ω= , 2π 2π λ dω ρω dω = ρλ dλ ⇒ ρλ = ρω→ 2πc λ dλ 8πhc 1 = hc λ5 e λkT − 1 c = νλ = 2πν

ρλ

dω = −

2πc dλ (3.14) λ2 (3.15) (3.16)


67

x**2 (x**3)*exp(−x) (x**3)/(exp(x)−1)

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

2

4

6

8

10

Figure 3.2: ρω : Rejli-Dˇzinsova kriva, Vinova kriva, Plankova kriva. RayleighJeans-görbe, Wien-görbe, Planck-görbe.

70

x**(−5)/(exp(1/x)−1) x**(−5)/(exp(0.8/x)−1) x**(−5)/(exp(1.2/x)−1)

60 50 40 30 20 10 0

0

0.5

1

Figure 3.3: ρλ

1.5

2

68

´ KVANTUMELMELET


3.3.4

Vinov zakon pomeranja Wien-f´ ele elmozdul´ asi t¨ orv´ eny

Poznavanje talasne duˇzine na kojoj apsolutno crno telo zraˇci maksimalnom snagom omogućava odredjivanje temperature apsolutno crnog tela i obrnuto. Annak a hullámhossznak az ismerete amelyen az abszol´ ut fekete test a legnagyobb teljes´ıtménnyel sugároz meghatározza az abszol´ ut fekete test h˝omérsékletét és ford´ıtva. dρλ = 0 dλ  ! !−1 hc dρλ = 8πhc −5λ−6 exp −1 dλ λkT +λ−5

=

hc exp λkT

exp

hc λkT

−1 

8πhc λ6

!−2

!

−5 +

−1

hc exp λkT

!

hc λkT hc exp λkT −

exp

|



hc  2 λ kT 

hc  1 λkT

{z

=0

}

uvedimo sledeću zamenu / vezess¨ uk be a következ˝o változócserét hc x = (3.17) λkT sledeću jednaˇcinu je potrebno reˇsiti po x a következ˝o egyenletet x szerint kell megoldani xex 0 = −5 + x e −1

(3.18)

Reˇsenje jednaˇcine 3.18 je / Az 3.18 egyenlet megoldása: x ∼ 4, 965

(3.19)

λmax T = 0.0029 mK

(3.20)

(3.17, 3.19) ⇒

¨ ENY ´ 3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORV 1.2

69

x*exp(x)/(exp(x)−1)−5 0

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

4

4.5

5

5.5

6

Figure 3.4: Grafiˇcko reˇsenje jednaˇcine (3.18). A (3.18) egyenlet grafikus megoldása.

3.3.5

ˇ Stefan-Bolcmanov zakon Stefan-Boltzmann-f´ ele t¨ orveny

Ukupna snaga P po jedinici povrˇsine kojom apsolutno crno telo zraˇci proporcionalna je ˇcetvrtom stepenu temperature. Az abszol´ ut fekete test egységnyi fel¨ uletének P sugárzási összteljes´ıtménye a h˝omérsékletének negyedik hatványával arányos. P = σT 4

(3.21)

1 h ¯ ω3 P = ρω dω = dω h ¯ω 2 3 π c e kT − 1 0 0 " # h ¯ω kT kT x= ⇒ω= x, dω = dx kT h ¯ h ¯ Z ∞

h ¯ = 2 π c3

Z ∞

kT h ¯

!4 Z |0

∞

x3 dx ex{z− 1 } 4

= π15

70

CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA =

´ KVANTUMELMELET

π2 k4 4 T c3 h ¯ 3} |15 {z =σ,(3.21)

⇒

3.3.6

σ=

π2 k4 15 c3 h ¯3

(3.22)

Primena zakona zraˇ cenja Sug´ arz´ asi t¨ orv´ enyek alkalmaz´ asa

Jako visoke temperature nije moguće neposredno meriti, na primer temperaturu teˇcnog gvoˇzdja, izlivene lave . . . . Zato se takve temperature mere posredno, taˇcnije meri se spektar zraˇcenja koje takva tela emituju. Na sliˇcan naˇcin je moguće izmeriti temperaturu Sunca, odnosno termometri za merenje telesne temperature koji mere temperaturu u uˇsnoj ˇsupljini rade na istom pricnipu. Pri tome treba imati na umu kada neko telo moˇze da smatra apsolutno crnim telom, a kada ne, odnosno kada se tela koja zraˇce nalaze u termodinamiˇckoj ravnoteˇzi. A nagyon magas h˝omérséklet˝ u testek h˝omérsékletét nem lehet közvetlen¨ ul megmérni, pl. a folyékony vasét, vagy a kiöml˝o láváét . . . . Ezért az ilyen h˝omérsékleteket közvetetten mérj¨ uk, pontosabban, az ilyen testek a´ltal kibocsájtott sugárzás teljes´ıtményét mérj¨ uk. Hasonló módon lehetséges a Nap h˝omérsékletének a meghatározása, illetve a f¨ ul¨ uregben-hallójáratban mér˝o h˝omér˝ok hasonló elvek alapján mérik a testh˝omérsékletet. Ezzel egy¨ utt, u ¨gyelni kell arra, hogy egy test mikor tekinthet˝o abszol´ ut fekete testnek, illetve a sugárzó test mikor van termodinamikai egyens´ ulyban.

3.4

Borov model atoma Bohr-f´ ele atom modell

Borov model atoma opisuje atom vodonika i vodoniku sliˇcne, viˇsestruko jonizovane atome. A Bohr-atom modell a hidrogén és hidrogénszer˝ u többszörösen ionizált atomok modellje. Borovi postulati / Bohr posztulátumok: • Moment impulsa elektrona u stacionarnoj kruˇznoj orbiti moˇze biti samo

3.4. BOROV MODEL ATOMA

´ BOHR-FELE ATOM MODELL

71

Figure 3.5: Primer diskretnih spektara. Gornja tri spektra su emisiona a donji spektar je apsorpcioni. A diszkrét spektrum néhány példája. A föls˝o három sugárzási (emmissziós) spektrum, a legalsó pedig abszorpciós (elnyelési) spektrum.

72


´ KVANTUMELMELET

nenegativan celobrojni umnoˇzak redukovane Plankove konstante. 1 . Az elektron impulzusmomentuma stacionáris körpályán csak a redukált Planck-állandó nemnegat´ıv egész szám´ u többszöröse lehet.2 . J = n¯h

(3.23)

n je (glavni) kvantni broj. n a (f˝o) kvantumszám. • Elektroni ne zraˇce niti apsorbuju elektromagnetne talase dok se nalaze u stacionarnim orbitama. Az elektronok nem sugároznak és nem nyelnek el sugárzást a stacionáris a´llapotaikban. Iz prvog Borovog postulata da se elektroni kreću po kruˇznim putanjama sledi da su Kulonova sila (koja deluje na elektron i vezuje ga za jezgro) i centrifugalna sila jednake po intenzitetu. Bohr els˝o posztulátumából következik, hogy az eletronok körpályákon mozognak és az, hogy az elektronra ható vonzó Coulomb-er˝o intenzitása megegyezik a centripetális er˝o intenzitásával.

⇒

1 Ze2 me v 2 = r 4π0 r2 2 me v 1 Ze2 = 2 4π0 2r

(3.24) (3.25)

φ je elektrostatiˇcki potencijal atomskog jezgra. φ az atommag elektrostatikus potenciálja. φ=

1 Ze 4π0 r

(3.26)

Potencijalna energija elektrona je −eφ, az elektron helyzeti energiája −eφ, U = −φe = − 1

1 Ze2 4π0 r

(3.27)

Uporedite ovo tvrdjenje sa svojstvenim vrednostima operatora kvadrata momenta impulsa, 3.129 2 Vesse ¨ ossze ezt az áll´ıtást az impulzusmomentum-négyzet operátorának saj´ atértékeivel, 3.129



73

Ukupna energija elektrona koji kruˇzi oko jezgra je zbir kinetiˇcke i potencijalen energije: Az elektron o¨ssz energiája a mozgási és a helyzeti energia o¨sszege: E=

1 Ze2 me v 2 + U =3.25,3.27 − 2 8π0 r

(3.28)

Intenzitet momenta impulsa (me vr) na osnovu prvog Borovog postulata (3.23) je Az impulzusmomentum intenzitása (me vr) Bohr els˝o posztulátuma alapján me vr = n¯h ⇒ v =

n¯ h me r

(3.29)

Uvrstimo v u (3.25). Helyettes´ıts¨ uk be v-t a (3.25). me 2

n¯ h me r

!2

=

1 Ze2 4π0 2r

(3.30)

Izrazimo r iz jednaˇcine (3.30). Nalazimo: Fejezz¨ uk ki az (3.30) egyenletb˝ol r-t, a következ˝o eredményre jutunk: 4π0 h ¯2 2 r= n = an2 2 me Ze

(3.31)

| {z } =a

a je Borov radijus. a a Bohr-féle rádiusz (sugár). Uvrstimo ovako dobijen izraz za r u izraz za energiju (3.28). Az ´ıgy kapott r-t helyettes´ıts¨ uk be az energiát meghatározó kifejezésbe ((3.28)ba). En = −

1 8π0

Ze2 4π0 ¯ h2 2 n me Ze2

=−

me Z 2 e4 1 E0 = − 2 n2 32π 2 20 h ¯ n2 |

{z

=E0

(3.32)

}

Ukupna energija elektrona je negativna, jer je elektron vezan za jezgro. Kako n → ∞, tako En → 0 od dole. Nasuprot vezanog elektrona slobodan elektron moˇze da ima bilo koju nenegativnu energiju, ne postoji nikakvo ograniˇcenje na njenu vrednost. Az elektron o¨sszenergiája negat´ıv, (mivel) az elektron az atommaghoz van

74


´ KVANTUMELMELET

0 −1/x**2 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.6 −0.7 −0.8 −0.9 −1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figure 3.6: Energija elektrona u atomu vodonika. Na vodoravnoj osi je predstavljen glavni kvantni borj n, na uspravnoj osi je predstavljena energija u jedinicama E0 . Elektron energiája hidrogén atomban. A v´ızszintes tengelyen n, a f˝okvantumszám van ábrázolva, a f¨ ugg˝oleges tengelyen pedig az energia, E0 egységekben.



75

kötve. Ahogy n → ∞, u ´gy alulról En → 0 . A szabad elektron energiája a kötött elektronnal ellentétben bármilyen nemnegat´ıv energia lehet, nincs semmiféle korlát-tiltás annak lehetséges értékeire. Energija jonizacije je ona najmanja energija koju je potrebno saopˇstiti elektronu da bi se elektron otkinuo od jezgra, tj. da mu ukupna energija ne bude negativna, tj. da postane jednaka nuli - ona je jednaka po apsolutnoj vrednosti energiji osnovnog stanja, samo ima suprotan predznak. Az ionizációs energia az a legkisebb energia amelyet az elektronnal kell közölni ahhoz, hogy az elszakadjon az atommagtól, vagyis az az energia amelyet az elektronnak el kell nyelnie, hogy az o¨sszenergiája ne legyen negat´ıv - azaz annak abszol´ ut értéke egyenl˝o az alapállapot energiájával, csak az el˝ojele ellentétes. Iz (3.32) sledi da je energija jonizacije vodonikovog atoma (3.32)-ból következik, hogy az elektron ionizációs energiája

Ei = E0

3.4.1

(3.33)

Objaˇ snjenje linijskih spektara A vonalspektrumok magyar´ azata

Neka su m i n kvantni brojevi koji odredjuju energiju stanja elektrona. Ako je m > n, onda je Em > En , pa iz zakona odrˇzanja energije sledi, da u sluˇcaju prelaza elektrona iz stanja sa kvantnim brojem m u stanje sa kvantnim brojem n vaˇzi Legyenek m és n az elektron a´llapotát, annak energiáját meghatározó kvantumszámok. Ha m > n, akkor Em > En , ezért az m.-dik a´llapotból az n.-dik a´llapotba való átmenetkor az energiamegmaradási törvényb˝ol következik

Em = En + hνm,n

(3.34)

Frekvencija elektromagnetnog zraˇcenja u prelazu m → n iznosi Az m → n a´tmenetben észlelhet˝o elektromágneses frekvencia νm,n

1 E0 = (Em − En ) = h h

1 1 − 2 2 n m

(3.35)

76


3.5

ˇ Sredingerova jednaˇ cina Schr¨ odinger egyenlet

´ KVANTUMELMELET

Kvantna fizika se bavi merljivim veliˇcinama. Uproˇsteno govoreći, ponovljena merenja fiziˇckih veliˇcina se razlikuju od sluˇcaja do sluˇcaja, zato fiziˇcke veliˇcine identifikujemo veliˇcinama koje moˇzemo pripisati skupu merenja, takva veliˇcina je na primer srednja veliˇcina izmerenih vrednosti. Kvantum fizika a mérhet˝o mennyiségeket tanulmányozza. Leegyszer˝ us´ıtve, egy fizikai mennyiség megismételt mérései mérést˝ol f¨ ugg˝oen esetenként más és más értéket adnak, ezért a fizikai mennyiségeket a méréssorozathoz társ´ıtható mennyiségekkel azonos´ıtjuk, ilyen pl. a mért mennyiség átlagos értéke. Vaˇzno je imati na umu, da postoje fiziˇcke veliˇcine koje imaju smisla i u klasiˇcnoj i u kvantnoj fizici, takva je npr. ukupna energija, odnosno da postoje fiziˇcke veliˇcine koje nemaju svoj klasiˇcni ili kvantni analogon. Na primer brzina, ugaona brzina, ubrzanje, sila . . . imaju smisla u klasiˇcnoj fizici, ali su besmislene i neprimenljive veliˇcine u kvantnoj fizici. Isto tako, parnost je npr. veliˇcina koja odredjuje mnoge kvantne sisteme, ali takva veliˇcina ne postoji, nije smislena u sluˇcaju klasiˇcnih sistema. Fontos tudni, hogy vannak olyan fizikai mennyiségek amelyek egyaránt értelmesek a klasszikus és a kvantum fizikában, ilyen pl. az o¨ssz energia, illetve vannak olyan fizikai mennyiségek amelyeknek nincsennek, nem léteznek klasszikus vagy kvantum megfelel˝oik. Példaul, a sebesség, szögsebesség, er˝o, . . . értelmes mennyiség(ek) a klasszikus fizikában, de a kvantum fizikában tökéletesen értelmetlenek és használhatatlanok. Ugyan´ıgy, pl. a paritás sok kvantum rendszer meghatározó mennyisége, de ez a mennyiség nem létezik, nem értelmezhet˝o a klasszikus fizikában. Uproˇsćeno govoreći, (u primerima koje ćemo obraditi), kvantna mehanika opisuje ponaˇsanje objekata male mase (npr. molekula, atoma, elementarnih ˇcestica). Isto tako, postoje brojne makroskopske pojave ˇcije je objaˇsnjenje kvantnomehaniˇcke prirode. Takva su npr. objaˇsnjenja toplotnog kapaciteta ˇcvrstih tela, dobre provodnoste metala, itd. Nadalje, sva makroskopska tela ispoljavaju kvantnomehaniˇcke osobine, ukoliko se dovoljno ohlade. Zbog navedenih razloga je potpuno pogreˇsno shvatanje da kvantna mehanika iskljuˇcivo opisuje pojave u mikrosvetu. Već u bliskoj budućnosti rezultati kvantne mehanike će se sve viˇse primenjivati i na naˇs, makroskopski svet. Leegyszer˝ us´ıtve, az a´ltalunk ismertetett esetekben, a kis tömeg˝ u objektumok (molekulák, atomok, elemi részecskék) viselkedését csak a kvantum-

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 77 mechanika képes leirni. Továbbá, sok makroszkopikus jelenséget is csak a kvantummechanika tudta megfelel˝o módon megmagyarázni, ilyen pl. a szilárd testek h˝okapacitása vagy a fémek jó vezet˝oképessége. Minden makroszkopikus test kifejti kvantummechanikával magyarázható tulajdonságait, amennyiben azt elégge leh˝ utj¨ uk. Ezért téves a kvantummechanika érvényességét kizárólag a mikroszkopikus világra korlátozni. A közeljöv˝oben a kvantummechanika egyre inkább éreztetni fogja hatását a mi, makroszkopikus világunkban is. Dajmo primer naizgled neuobiˇcajenog ponaˇsanja mikroˇcestica. U Jangovom eksperimentu (poglavlje 2.6.1) talasni front nakon prolaska kroz dva tanka proreza interferira sa samim sobom i kao rezultat vidjamo interferencione pruge. Sliˇcne interferencione pruge moˇzemo da izmerimo i u sluˇcaju npr. elektrona, iako smo navikli da na elektron mislimo kao na ˇcesticu. Izvor elektrona ˇsalje elektrona na pregradu sa dva proreza. Iza proreza se nalazi scintilaciona povrˇsina - detektor. Kada elektron udari u detektor, to mesto nakratko zraˇci svetlost. U eksperimetnu se beleˇze mesta sa kojih se emitovala svetlost i tako se vremenom iscrtaju interferencione pruge, pogledajte sliku 3.7. Zakljuˇcujemo da se prolazeći kroz dva otvora elektron ponaˇsa kao talas, i interferira sam sa sobom. Da bi stvar bila interesantnija pomenimo i sledeće. Poˇsto znamo da je elektron i ˇcestica, tj. ima i ˇcestiˇcne osobine, moˇzemo merenjem da odredimo kroz koji prorez je proˇsao elektron. Merenje daje i odgovor, jer elektron je (i) ˇcestica koja prolazi kroz dati otvor, te shodno tome ne moˇze ni da interferira, u ovom sluˇcaju interferencioni obrazac nestaje! Adjunk egy példat arra, hogy milyen (látszólag) szokatlan módon viselked(het)nek a részecskek. A Young-féle k´ısérletben (2.6.1 fejezet) miután a hullámfront a´thaladt két résen, o¨nmagával interferál és ezért látjuk az intereferenciós cs´ıkokat. Hasonló jelenséget észlelhet¨ unk pl. elektronok esetén is, holott megszoktuk, hogy elektronra mint részecskére gondoljunk. Az elektronforrás elektronokat lövel ki egy feluletre amelyen két rés van. A rés mögött egy szcintilláló fel¨ ulet - detektor van. Amikor az elektron becsapódik a detektorba, az rövid ideig a becsapódas helyén fényt bocsát ki. A k´ısérletben eltárolják az elektronbecsapódások helyeit és ´ıgy kirajzolódnak az interferenciós cs´ıkok, (nézzék meg a 3.7 a´brát). Arra következtet¨ unk, hogy az elektron két résen kereszt¨ ul haladt a´t és hullámként viselkedett, ezért tudott o¨nmagával interferálni. Hogy még érdekesebb legyen a helyzet, megemel´ıtj¨ uk a következ˝o érdekességet is. Mivel az elektron részecske (is), megmérhetj¨ uk, hogy melyik résen haladt a´t. A mérés erre választ (is) ad, az elektron olyan

78


´ KVANTUMELMELET

Figure 3.7: Interferencione pruge u Jangovom eksperimentu izvedenom sa (naizgled) ˇcesticama. (Látszólag) részecskékkkel kivitelezett Yang-féle k´ısérletben mért interferenciós cs´ıkok. részecske amelyik az adott résen haladt át, ezért képtelen o¨nmagával interferálni, ebben az esetben elt˝ unik az interferenciós mintázat!

3.5.1

Osnovni pojmovi Alapfogalmak

Ψ = Ψ(~r, t) je uobiˇcajena oznaka talasne funkcije 3 . Vrednost talasne funkcije je kompleksan broj ! U opˇstem sluˇcaju talasna funkcija zavisi i od vremena i od prostornih koordinata. Znajući talasnu funkciju nekog kvantnog sistema moguće je odrediti sve veliˇcine koje odredjuju taj kvantni sistem. Pomoću talasne funkcije raˇcunamo verovatnoće i oˇcekivane vrednosti fiziˇckih veliˇcina. Cilj nam je je da na osnovu fiziˇckih osobina sistema odredimo talasnu funkciju kojom mogu da se opiˇsu - predvide rezultati merenja datog sistema. Ψ = Ψ(~r, t) a hullámf¨ uggvény megszokott jelölése. 4 . A hullámf¨ uggvény ´ értéke komplex szám! Altalános esetben a hullámf¨ uggvény f¨ ugg az id˝ot˝ol és a térbeli koordinátáktól. Egy kvantumrendszer hullámf¨ uggvényének ismeretében meghatározható az adott kvantumrendszert jellemz˝o összes fizikai mennyiség. A hullámf¨ uggvény seg´ıtségével kiszámolhatók a fizikai mennyiségek valósz´ın˝ uségei és várható értékei. 3

Veliko slovo Ψ će oznaˇcavati talasnu funkciju koja zavisi i od prostora i od vremena. Malo slovo ψ će oznaˇcavati talasnu funkciju koja zavisi samo od prostornih koordinata. 4 Nagy Ψ bet˝ uvel jel¨ olj¨ uk a tér- és id˝of¨ ugg˝o hullámf¨ uggvényt, kis ψ bet˝ uvel jelölj¨ uk azt a hull´ amf¨ uggvényt amelynek csak térbeli f¨ uggése van.

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 79 Az a célunk, hogy a fizikai rendszer tulajdonságai alapján meghatározzuk azt a hullámf¨ uggvényt, mely seg´ıtségével le´ırhatjuk - megjósolhatjuk a rendszeren elvégzett mérések eredményeit.

3.5.2

Operatori, oˇ cekivane vrednosti, i ”kako do njih” Oper´ atorok, v´ arhat´ o ´ ert´ ekek, ´ es hogyan ”´ erjuk el” azokat

Talasna funcija je normirana, tj. moˇzemo je tretirati kao vektor koji ima dobro definisanu duˇzinu. Verovatnoće elementarnih dogadjaja se sabiraju u jedinicu, ˇsto je verovatnoća sigurnog dogadjaja. Skalarni proizvod dve talasne funkcije (dva vektora) je definisan kao integral njihovog proizvoda. Kao ˇsto je poznato, skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove duˇzine. Znaˇci da je normiranost talasne funkcije istovredno tvrdjenju da je ona jediniˇcni vektor. A hullámf¨ ugvény normált, azaz olyan vektornak tekinthetj¨ uk amelyenk jóldefiniált hossza van. Az o¨sszes elemi esemény valósz´ın˝ usége eggyé adódik o¨ssze, ami a biztos esemény valósz´ın˝ usége. Két hullámf¨ uggvény (két vektor) skalárszorzata mint azok szorzatának határozott integrálját definiáljuk. Mint azt már tudjuk, egy vektor o¨nmagával vett skalárszorzata megadja a vektor hosszának a négyzetet. Tehát a hullámf¨ uggvény normáltsága egyenérték˝ u azzal az a´ll´ıtással, hogy az egy egységvektor. ||Ψ|| =

Z

Ψ∗ Ψ dx dy dz = 1

(3.36)

ˆ - oˇcekivana ili srednja vrednost operator a Aˆ Merljiva fiziˇcka veliˇcina A je hAi ˆ Merljive (3.37). Operator je objekat koji deluje na talasnu funkciju kao AΨ. fiziˇcke veliˇcine su istovremeno i svojstvene vrednosti odgovarajućih operatora. Stanja fiziˇckih sistema se opisuju pomokaoću svojstvenih vektora odgovarajućih operatora. ˆ várható vagy átlagos A mérhet˝o A fizikai mennyiség az Aˆ operátor hAi értéke, (3.37). Az operátor olyan objektum amely a hullámf¨ uggvényre a ˆ következ˝oképpen hat: AΨ. A mérhet˝o A fizikai mennyiségek egyben bizonyos operátorok sajátértékei. A fizikai rendszer állapota operátorok sajátvektoraival fejezhet˝ok ki. ˆ = hAi

Z

ˆ Ψ∗ AΨdx

(3.37)

80


´ KVANTUMELMELET

Moramo da znamo koliko dobro srednja vrednost merenja opisuje merenu veliˇcinu. Ukoliko merene vrednosti malo odstupaju od srednje vrednosti, srednja vrednost dobro opisuje - karakteriˇse merenu vrednost. Ukoliko je rasturanje/odstupanje od srednje vrednosti veliko, srednja vrednost ne daje puno informacije o merenoj veliˇcini. Odstupanje merene vrednosti od srednje ˆ Ukupno kvadratno odstupanje ∆2 (A) ˆ od srednje vredvrednosti je Aˆ − hAi. nosti moˇzemo oceniti kao srednju vrednost kvadrata odstupanja od srednje vrednosti: Illik tudni, hogy az a´tlagos érték milyen jól ´ırja le a mért mennyiséget. Amennyiben a mért értékek kevéssé térnek el/szóródnak az a´tlagos érték kör¨ ul, az a´tlagos érték jól ´ırja le a mért mennyiséget. Amenyiben az átlagos érték kör¨ uli szórás nagy, az átlag nem ad sok információt a mért mennyiségr˝ol. ˆ Az o¨ssz négyzetes eltérés A mért érték eltérése az a´tlagértékt˝ol Aˆ − hAi. becslése az átlagos négyzetes eltérés: ˆ = ∆ (A) 2

2

ˆ Aˆ − hAi

(3.38)

Ocenu ukupnog odstupanja daje kvadratni koren srednjeg kvadratnog odstupanja: Az átlagos eltérés becslése az atlágos négyzetes eltérés négyzetgyöke: ˆ = ∆(A)

q

ˆ ∆2 (A)

s

=

ˆ Aˆ − hAi

2

(3.39)

ˇ je ∆(A) ˆ manje, rasturanje merenih vrednosti veliˇcine A oko srednje vredSto ˆ ˆ veliko, rasturanje nosti hAi su manje, i merenje je taˇcnije. Ukoliko je ∆(A) oko srednje vrednosti je veliko, tako da srednja vrednost ne daje mnogo inˆ moˇzemo identifikovati formacije o merenoj veliˇcini. Znaˇci da veliˇcinu ∆(A) sa apsolutnom taˇcnoˇsću merenja veliˇcine A. ˆ annál kisseb az A mennyiség hAi ˆ a´tlag kör¨ Minél kissebb ∆(A), uli szórása, ˆ és a mérés pontosabb. Minél nagyobb ∆(A), annál inkább szóródnak a mért mennyiség az a´tlag kör¨ ul, és az a´tlag egyre kevesebbet mond a mért menˆ a mérés abszolut pontosságával azonos´ıtjk. nyiségr˝ol. Ezért ∆(A)-t Energija kretanja je izraziva preko impulsa, tako da imamo naˇcina da je izrazimo preko veliˇcine koja je smislena i u klasiˇcnoj i u kvantnoj fizici. A mozgási energia kifejezhet˝o az impulzus seg´ıtségével, amely egyaránt értelmes a klasszikus és a kvantum fizikában. Ek =

mv 2 m m2 v 2 (mv)2 p2 mv 2 = = = = 2 2 m 2m 2m 2m

(3.40)

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 81 U kvantnoj fizici je smislen i pojam potencijalne energije, s tim da joj je znaˇcenje u izvesnom smislu proˇsireno u odnosu na klasiˇcnu fiziku. Poˇsto u kvantnoj fizici ubrzanje i sila nemaju smisla interakcije uzimamo u obzir pomoću potencijalne energije. Ukoliko postoji interakcija izmedju delova sistema ili sistema i njegove okoline, interakcije utiˇcu na potencijalnu energiju sistema. Kvantum fizikában értelmes a helyzeti energia (fogalma), azzal az észrevétellel kiegész´ıtve, hogy bizonyos értelemben a helyzeti energia fogalma b˝ov¨ ul a klasszikus fizikához viszony´ıtva. Mivel kvantum fizikában a gyorsulás és er˝o értelmetlen fogalmak, a kölcsönhatást a helyzeti energia seg´ıtségével vessz¨ uk figyelembe. Ha a rendszer k¨ ulönböz˝o részei egymással kölcsönhatnak, vagy a rendszer kölcsönhat a környezetével, ezek a kölcsönhatások meghatározzák a rendszer helyzeti energiáját. ˆ je operator koji odredjuje ukupnu energiju kvantnog Hamiltonov operator H sistema. Kao i u klasiˇcnoj fizici, i u kvantnoj fizici ukupna energija sistema se sastoji od kinetiˇcke i potencijalne energije. ˆ a Hamilton operátor, mely a kvantum rendszer teljes energiáját meghatározó H operátor. Mint a klasszikus fizikában, a kvantum fizikában is az össz energia a mozgási és helyzeti energiákból tev˝odik o¨ssze. ˆ2 ˆ = p~ + Uˆ H 2m

(3.41) ˆ2

p ~ U izrazu (3.41) pˆ~ = (ˆ px , pˆy , pˆz ) je operator impulsa, shodno tome 2m je operˆ ator kinetiˇcke energije a U je operator potencijalne energije. A (3.41) kifejezesben pˆ~ = (ˆ px , pˆy , pˆz ) az impulzus operátor, ennek megfelel˝oen p ~ˆ2 a mozgási energia operátora, Uˆ pedig a helyzeti energia operátora. 2m ˇ Talasna funkcija je reˇsenje (vremenski zavisne) Sredingerove jednaˇcine, (3.42). A hullámf¨ uggvény a(z id˝of¨ ugg˝o) Schrödinger egyenlet (3.42) megoldása.

∂Ψ ˆ = i¯ HΨ h ∂t

(3.42)

ˇ Strogo govoreći, Sredingerova jednaˇcina se ne moˇze izvesti. Ona se postulira, i na osnovu nje se mogu vrˇsiti teorijska predvidjanja koja je moguće eksperimentalno proveriti. U ovom smislu je logiˇcki status Sredingerove jednaˇcine u kvantnoj fizici sliˇcan statusu Njutnovih zakona u klasiˇcnoj fizici. ˇ Sredingerova jednaˇcina daje taˇcan opis fiziˇckih sistema ukoliko u njima nisu

82

´ KVANTUMELMELET


bitne spinske interakcije odnosno ukoliko su brzine objekata od interesa male u odnosu na brzinu svetlosti. 5 Szigor´ uan véve, a Schrödinger-egyenletet nem lehet levezetni. Azt posztuláljuk, és annak alapján elméleti jóslásokat tehet¨ unk, amelyeket kisérletileg ellen˝orizhet¨ unk. Ebben az értelemben a kvantum elméletben a Schrödingeregyenlet logikai státusza hasonl´ıt a Newton-törvények státuszához a klasszikus fizikában. A Schrödinger-egyenlet pontosan ´ırja le a fizikai rendszereket, amennyiben azokban a spin kölcsönhatás elhanyagolható, illetve amennyiben a szóban forgó objektumok sebességei kicsik a fénysebességhez képest. 6 Zarad jednostavnosti, u najvećem broju sluˇcajeva ograniˇcićemo se na prouˇcavanje jednodimenzionalnih kvantnih sistema. Az egyszer˝ uség kedvéért a továbbiakban sok esetben csak az egydimenziós kvantum rendszereket tárgyaljuk. Operator impulsa deluje na talasnu funkciju kao diferencijalni operator, (3.43). Az impulzus operátor differenciál operátor ként hat a hullámf¨ uggvényre, (3.43).

pˆx Ψ(x, t) = −i¯ h

∂Ψ(x, t) , ∂x

pˆx ↔ −i¯ h

∂ ∂x

(3.43)

Odredimo operator kinetiˇcke energije, tj. njegovo dejstvo na talasnu funkciju. Határozzuk meg a kinetikus energia operátorát, azaz annak hatását a hullámf¨ uggvényre.

pˆ2x Ψ

= =3.43

pˆ2x

=

Eˆk

=

∂Ψ(x, t) pˆx (ˆ px Ψ(x, t)) =3.43 pˆx −i¯h ∂x 2 2 ∂ Ψ(x, t) ∂ Ψ(x, t) (i¯h)2 = −¯ h2 , 2 ∂x ∂x2 ∂2 −¯ h2 2 ∂x pˆ2x h ¯2 ∂2 =− 2m 2m ∂x2

!

= −i¯hpˆx

∂Ψ(x, t) ∂x

!

(3.44)

Operator poloˇzaja je primer multiplikativnog operatora - ovaj operator jednostavno mnoˇzi talasnu funkciju, (3.45). 5 6

ˇ Paˇzljivi Citalac će primetiti kontradikciju u dosadaˇsnjem tekstu! A figyelmes Olvas´ o ellentmondást fedezhet fel az eddig le´ırtakban!

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 83 A helyzet operátor az un. multiplikat´ıv operátor ok példája, (3.45). Az ilyen operátorok egyszer˝ uen szorozzák a hullámf¨ uggvényt. xˆΨ(x, t) = xΨ(x, t) ~ˆr = (ˆ x, yˆ, zˆ)

(3.45) (3.46)

Zapamtimo da je operator potencijalne energije multiplikativni operator (ko se seća Fizike 1, taj/ta zna, da potencijalna energija ne zavisi od brzine. Zaˇsto je ovo vaˇzno?). Jegyezz¨ uk meg, hogy a helyzeti energia operátora multiplikat´ıv operátor (aki emlékszik a Fizika 1-ben tanultakra az tudja, hogy a helyzeti energia nem f¨ ugg a sebességt˝ol. Ez miért fontos?)

3.5.3

ˇ Sredingerova jednaˇ cina, bis Schr¨ odinger egyenlet, bis

ˇ Sada smo u mogućnosti da ”ˇcitkije” napiˇsemo Sredingerovu jednaˇcinu koja opisuje fiziˇcke osobine jednodimenzionalnog kvantnog sistema. Most ”olvashatóbb” formában is le´ırhatjuk az egydimenziós kvantumrendszer Schrödinger egyenletét.

−

∂Ψ h ¯ 2 ∂ 2Ψ + U (x)Ψ = i¯ h 2m ∂x2 ∂t

(3.47)

Jednaˇcina (3.47) je parcijalna diferencijalna jednaˇcina, jer nepoznata funkcija Ψ zavisi od dve nezavisne promenljive, x i t, ˇcije makar i pribliˇzno reˇsavanje predstavlja sloˇzen problem. Az (3.47) egyenlet parciális differenciálegyenlet, mert az ismeretlen Ψ f¨ uggvény ket f¨ uggetlen változotól f¨ ugg, x-t˝ol és t-t˝ol. Ennek az egyetlenek még a közel´ıt˝o megoldása is igen bonyolult probléma. ˇ Ukoliko se kvantna ˇcestica kreće u tri dimenzije, Sredingerova jednaˇcina je data jednaˇcinom (3.48). Amennyiben a kvantum részecske három dimenzióban mozog, annak Schrödinger egyenlete (3.48)-ben van megadva. h ¯2 − 2m

∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂Ψ + + + U (x, y, z)Ψ = i¯h 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂t !

(3.48)

84


´ KVANTUMELMELET

ˇ Da bi smo reˇsili Sredingerovu jednaˇcinu potrebno je poznavati poˇcetne uslove, tj. Ψ(x, 0), nadalje neophodno je poznavanje graniˇcnih uslova, tj. Ψ(x0 , t) gde x0 oznaˇcava koordinate graniˇcnih taˇcaka dostupnih sistemu. Ahhoz, hogy megoldjuk a Schrödinger egyenletet, sz¨ ukséges a kezdeti föltétel ek-, Ψ(x, 0), továbbá a határföltétel ek ismerete, Ψ(x0 , t), ahol x0 a rendszer által hozzáférhet˝o térrész határpontjait jelöli.

3.5.4

ˇ Stacionarna Sredingerova jednaˇ cina Stacion´ aris Schr¨ odinger egyenlet

ˇ Cesto puta, ukoliko ne menjamo uslove pod kojim drˇzimo sistem, pre ili kasnije njegovo stanje će postati stacionarno. Potraˇzimo stacionarno reˇsenje ˇ Sredingerove jednaˇcine, tj. ono reˇsenje, koje opisuje ona stanja sistema kod kojih se srednje vrednosti fiziˇckih veliˇcina ne menjaju tokom vremena. Joˇs preciznije, potraˇzimo onu jednaˇcinu ˇcija reˇsenja opisuju stacionarna stanja sistema. Gyakran megtörténik, hogy amennyiben nem változtatjuk azokat a kör¨ ulményeket amelyek kihatnak a rendszerre, annak a´llapota el˝obb-ut˝obb stacionárissá válik. Ezért keress¨ uk meg a Schrödinger egyenlet stacionáris megoldásait, vagyis azokat a megoldásokat amelyek a rendszer azon a´llapotait ´ırják le, amelyekben a fizikai mennyiségek várható értékei id˝oben nem változnak. Még pontosabban, keress¨ uk meg azt az egyenletet, amelynek megoldásai le´ırják a rendszer stacionáris állapotait. Razdvojimo zavisnost od prostora od vremenske zavisnosti. Potraˇzimo reˇsenje jednaˇcine (3.47) obliku Ψ(x, t) = f (t)ψ(x). Válasszuk szét az id˝obeli f¨ uggést a térbelit˝ol. Keress¨ uk meg az (3.47) egyenlet megoldását a Ψ(x, t) = f (t)ψ(x) alakban. df ∂Ψ =ψ ∂t dt ∂ 2Ψ d2 ψ = f ∂x2 dx2 , 2 2 df h ¯ dψ + U f ψ = i¯hψ : fψ − f 2m dx2 dt 1 h ¯ 2 d2 ψ 1 df − + U ψ = i¯ h = const = E 2 ψ 2m dx f dt

(3.49) (3.50) (3.51)

!

(3.52)

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 85

df df E Et i¯hψ = f E ⇒ = −i f ⇒ f = exp −i dt dt h ¯ h ¯

(3.53)

ˇ je enJedini parametar sistema od koga zavisi funkcija f je energija E. Sto ergija sistema veća, funkcija f brˇze osciluje. f a rendszert meghatározo egyetlen fizikai paramétert˝ol f¨ ugg, annak energiájától. Minél nagyobb a rendszer energiája, az f f¨ uggvény annál gyorsabban oszcillál. ff∗ = 1

(3.54)

Et ψ(x) h ¯ ⇒ Ψ(x, t)∗ Ψ(x, t) = ψ(x)∗ ψ(x)

Ψ(x, t) = exp −i

(3.55) (3.56)

Iz jednaˇcine (3.52) sledi da prostorna zavisnost talasne funkcije zadovoljava ˇ stacionarnu Sredingerovu jednaˇcinu: A (3.52) egyenletb˝ol következik, hogy a hullámf¨ uggvény térf¨ ugg˝o része kielég´ıti a stacionáris Schrödinger egyenletet: h ¯ 2 d2 + U ψ = Eψ(x) − 2m dx2 !

|

{z

ˆ =H

(3.57)

}

ili drugaˇcije napisano / masképpen föl´ırva −¯h2 d2 ψ + U ψ = Eψ(x) 2m dx2 ili formalno / vagy formálisan ˆ = Eψ Hψ

(3.58) (3.59)

Jednaˇcina 3.59 formalno liˇci na svojstvenu jednaˇcinu matrice M , gde je λ svojstvena vrednost matrice M a x je svojstveni vektor matrice M koji odgovoara svojstvenoj vrednosti λ: A (3.59) egyenlet formálisan megfeleltethet˝o egy mátrix sajátegyenletének, amelyben M a mátrix, λ a mátrix sajátértéke és x az M mátrix λ sajátértékének megfelel˝o sajátvektora. M x = λx

(3.60)

86


´ KVANTUMELMELET

ˆ energija sistema/tela je svoMatrici M odgovara Hamiltonov operator H, ˆ jstvena vrednost operatora H, a talasna funkcija je svojstveni vektor operaˆ tora H. Az M mátrix megfelel˝oje a Hamilton operátor, a rendszer energiája a Hamilton operátor sajátértéke és a hullámf¨ uggvény az operátor sajátértékének megfelel˝o sajátvektor. Bez ulaˇzenja u detalje, moˇzemo reći da vezanim stanjima sistema odgovara prebrojivo mnogo svojstvenih vrednosti (svojstvenih vektora) energije, koja su jednoznaˇcno odredjena kvantnim brojevima. Nagy vonalakban kijelenthetj¨ uk, hogy a rendszer kötött a´llapotainak megszámlálhatóan sok energia sajátérték (sajátvektor) felel meg, ezeket egyértelm˝ uen meghatározzák a kvantumszámok. Posmatrajmo sistem u kome se kretanje vrˇsi duˇz jedne, recimo x ose. ˆ neka njegove svoNeka energiju sistema opisuje Hamiltonov operator H, jstvene vrednosti odredjene kvantnim broje(vi)m(a) n budu En i neka su odgovarajući svojstveni vektori ψn . Tada su oˇcekivane vrednosti energije, koje su ujedno i svojstvene vrednosti Hamiltonovog operatora: Tekints¨ unk egy olyan rendszert amelyben a részecske egy, pl. az x tengely ˆ a rendszer energiáját meghatározó Hamiltonmentén mozoghat. Legyen H operátor, En annak n kvantumszámokkal meghatározott sajátértékei, és az annak megfelel˝o sajátvektorok pedig legyen ψn . Ekkor a rendszer energiájának várható (egyben saját)értékei:

hEn i =

Z

ˆ n (x)dx ψn∗ (x)Hψ

(3.61)

ˇ Ukoliko su ψ1 i ψ dva razliˇcita reˇsenja Sredingerove jednaˇcine kojima odgovaraju dva razliˇcita fiziˇcka stanja posmatranog sistema, verovatnoća prelaza P sistema iz stanja 1 u stanje 2 odredjeno je na sledeći naˇcin: Amennyiben ψ1 és ψ2 a Schrödinger egyenlet két k¨ ulönböz˝o megoldása amelyek a rendszer két k¨ ulönböz˝o fizikai a´llapotát ´ırják le, akkor P annak a valósz´ın˝ usége, hogy a rendszer az 1-es állapotból átmenjen a 2-es a´llapotba, a következ˝o módon határozható meg: P(1 → 2) =

Z

ψ1∗ (x)ψ2 (x)dx

Ukoliko je sistem u meˇsanom stanju, tj.

(3.62)

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 87 Amennyiben a rendszer kevert allapotban van, vagyis ψ(x) =

m X

αi ψi (x)

(3.63)

i=1

gde su α koeficijenti meˇsanja, verovatnoća nalaˇzenja sistema u ˇcistom stanju n je |αn |2 . ahol az α-k a keverési egy¨ utthatók, akkor annak valósz´ın˝ usége, hogy a rendszert az n.-dik tiszta a´llapotban találjuk |αn |2 . Prirodu uvedenih pojmova ćemo objasniti/pribliˇziti kroz primere. A továbbiakban a bevezetett fogalmakat, azok természetét példákon kereszt¨ ul ismerj¨ uk meg.

3.5.5

Svojstvene vrednosti i svojstveni vektori Saj´ at´ ert´ ekek ´ es saj´ atvektorok

Ponovićemo nekoliko osnovhih pojmova vezanih za svojstvene vrednosti i svojstvene vektore. Neka je M matrica n × n. Reˇsavanje svojstvenog problema matrice M je nalaˇzenje svih (svojstvenih) vektora x i njima odgovarajućih (svojstvenih) vrednosti λ, tako da je zadovoljena svojstvena jednaˇcina (3.64). Uslov koji matrica M mora da zadovolji da bi joj sve svojstvene vrednosti bile realne (tj. da odgovaraju merljivim fiziˇckim veliˇcinama) je dat jednaˇcinom (3.65). Megismétl¨ unk néhány sajátértékekkel és sajátvektorokkal kapcsolatos tényt és fogalmat. Az M mátrix sajátproblémája azt jelenti, hogy meg kell találnunk az o¨sszes olyan x (saját)vektort es az o¨sszes olyan λ (saját)értéket, hogy igaz legyen a (3.64) sajátegyenlet. Ahhoz, hogy egy M mátrixnak az o¨sszes sajátértéke valós legyen (azaz, hogy azokat mérhet˝o fizikai mennyiségeknek feleltethess¨ uk meg) a mátrixnak eleget kell tennie a (3.65) föltételnek. M x = λx M ∗,T = M

(3.64) (3.65)

Reˇsavanje svojstvene jednaˇcine je moguće predstaviti i na sledeći naˇcin, gde I oznaˇcava jediniˇcnu matricu. A sajátérték problémát a következ˝oképpen lehet megoldani, ahol I az egységmátrixot jelöli. M x = λx = λIx ⇔ (M − λI)x = 0

(3.66)

88


´ KVANTUMELMELET

Gornji (homogeni) sistem ima netrivijalno reˇsenje7 samo ako je determinanta sistema jednaka nuli, tj.: A fönti (homogén) egyenletrendszernek csak akkor van nemtriviális megoldása8 , ha a rendszer determinánsa nulla, azaz: det (M − λI) = 0

(3.67)

Tako dobijamo polinom n-tog stepena po λ, i reˇsavanje svojstvene jednaˇcine se svodi na traˇzenje onih vrednosti λ za koje polinom ima vrednost 0. Így n-d foku polinomot kapunk λ-ra, és a sajátérték probléma megoldását visszavezett¨ uk azoknak a λ értékeknek a megtalálására, amelyekre a polinom 0 értéket vesz föl. Jednaˇcina (3.67) ima n reˇsenja, od kojih neka mogu biti jednaka. Ukoliko se neko reˇsenje javi viˇse puta, kaˇzemo da je ta svojstvena vrednost degenerisana, i to onoliko puta, koliko puta se ponavlja. U suprotnom sluˇcaju kaˇzemo da je svojstvena vrednost nedegenerisana. Nedegenerisanim svojstvenim vrednostima odgovaraju svojstveni vektori - tj. jednodimenzionalni vektorski prostori, a degenerisanim svojstvenim vrednostima svojstveni potprostori ˇcija je dimenzija jednaka degeneraciji. Az (3.67) egyenletnek n megoldása van, ezek köz¨ ul lehetnek egyenl˝oek is. Amennyiben egy megoldás többször fordul el˝o, azt mondjuk, hogy a megfelel˝o sajátérték elfajult, ahol az elfajulás foka az el˝ofordulasok száma. Amenynyiben a megoldás csak egyszer fordul el˝o, azt mondjuk, hogy a sajátérték nemelfajult. A nemelfajult sajátértékeknek megfeleltethet˝ok a sajátvektorok - azaz egydimenziós vektorterek, az elfajult sajátértékeknek pedig saját alterek felelnek meg, amelyek dimenziója egyenl˝o az elfajulás fokával. Posmatrajmo jednu nedegenerisanu svojstvenu vrednost λ i njoj pripadajući svojstveni vektor xλ . Sada moˇzemo jednostavno da damo odgovor na pitanje: ˇ je geometrijsko znaˇcenje svojstvene vrednosti i njoj odgovarajućeg svoSta jstvenog vektora? Mnoˇzenje svojstvenog vektora xλ matricom M odgovara mnoˇzenju svojstvenog vektora skalarom! Svojstveni vektor mnoˇzenjem ne menja svoj pravac, ali u zavisnosti od svojstvene vrednosti moˇze da menja duˇzinu odnosno smer. Vegy¨ unk egy elfajulatlan λ sajátértéket és az annak megfelel˝o xλ sajátvektort. 7

Homogeni sistem jednaˇcina uvek ima trivijalno reˇsenje, ukoliko su sve nepoznate (koordinate) jednake nuli. 8 A homogén egyenletrendszernek triviális megoldása mindég van, ha az összes ismeretlen (koordin´ ata) nulla.

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 89 Most egyszer˝ uen megválaszolhatjuk a következ˝o kérdést: Mi a sajátérték és a sajátvektor geometriai értelmezése? Az xλ vektor M -el való szorzása egy λ skalárral való szorzással egyenérték˝ u! A mátrixszal való szorzás nem változtatja meg xλ irányát, hanem λ-tól f¨ ugg˝oen megváltoztatja xλ hosszát, esetleg irány´ıtását. U primenama je neobiˇcno vaˇzna sledeća ˇcinjenica: Svojstveni vektori koji odgovaraju razliˇcitim svojstvenim vrednostima su medjusobno normalni! Az alkalmazásokban rendk´ıv¨ ul fontos a következ˝o tény: K¨ ulönböz˝o sajátértékeknek megfelel˝o sajátvektorok mer˝olegesek egymásra! Uzmimo primer matrice 2 × 2, u kojoj su a, b, c, d realni ili brojevi. Vegy¨ unk egy 2 × 2 mátrixot, amelyben a, b, c, d valós, vagy komplex számok. "

M =

a b c d

#

(3.68)

Svojstvena jednaˇ cina matrice / A m´ atrix saj´ ategyenlete

a−λ b c d−λ

= (a − λ)(d − λ) − bc = λ2 − (a + d)λ + ad − bc = 0

(3.69)

Svojstvene vrednosti matrice/ A m´ atrix saj´ at´ ert´ ekei λ1,2 = =

a+d±

q

a+d±

q

(a + d)2 − 4(ad − bc) 2 (a − d)2 + 4bc 2

(3.70)

Primetimo, da su svojstvene vrednosti matrice (u skladu sa uslovom (3.65)) uvek realne ako vaˇzi b = c za realne brojeve, odnosno b = c∗ za kompleksne brojeve. Vegy¨ uk észre, hogy a mátrix sajátértékei (a (3.65) föltétellel o¨sszhangban) mindég valósak amenyiben b = c valós számok esetén, illetve b = c∗ komplex számok esetén. Svojstveni vektori / Saj´ atvektorok ~xλ = (x, y)Tλ

(3.71)

90

´ KVANTUMELMELET

CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA "

x y

#

ax + by = λx cx + dy = λy

)

a b c d

#"

"

= λ

x y

#

(3.72) (3.73)

)

(a − λ)x + by = 0 + cx + (d − λ)y = 0 (a + c − λ)x + (b + d − λ)y = 0 y = −

(3.74) (3.75) a+c−λ x b+d−λ

(3.76)

Jedno partikularno reˇsenje je npr.: Egy partikuláris megoldás pl.: xλ = b + d − λ yλ = −(a + c − λ)

(3.77) (3.78)

Veza izmedju x i y koordinate vektora odredjuje pravu koja prolazi kroz koordinatni poˇcetak9 , koeficijent pravca prave je dat jednaˇcinom (3.76). Sva netrivijalna reˇsenja dobijamo tako, da npr. x 6= 0 izaberemo potpuno proizvoljno, a y na osnovu relacije (3.76). Znamo, da su dve prave normalne, ukoliko im je proizvod koeficijenata pravca jednak -1. Proverimo koliki ugao zaklapaju dva svojstvena vektora matrice M , (3.79). Az x és y koordináták közötti kapcsolat alapján tudjuk, hogy az egy origón a´thaladó egyenest határoz meg 10 melynek egy¨ utthatóját az (3.76) egyenlet határozza meg. Az egyenletrendszer nemtriviális megoldásait u ´gy kaphatjuk meg, hogy pl. x 6= 0-et tetsz˝olegesen megválasztjuk, y-t pedig a (3.76) kapcsolat alapján. Tudjuk, hogy két egyenes akkor mer˝oleges egymásra, ha az egy¨ utthatóik szorzata egyenl˝o −1-gyel. Ellen˝orizz¨ uk, hogy az M mátrix két sajátvektora milyen szöget zár be, (3.79). λ1 + λ2 = a + d λ1 λ2 = ad − bc 9

Jednaˇcina prave u dve dimenzije je y = ax + b, gde je a koeficijent pravca, tj. a je tangens ugla koji prava zaklapa sa pozitivnim krajem x ose. Ukoliko je b = 0, prava prolazi kroz koordinatni poˇcetak. 10 Egy egyenes egyenlete két dimenzióban y = ax+b, ahol a az egyenes irányát határozza meg, vagyis annak a sz¨ ognek a tangensét, amelyet az egyenes az x tengely pozit´ıv végével z´ ar be. b = 0 azt jelenti, hogy az egyenes az origón kereszt¨ ul halad át.

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 91 a + c − λ1 − b + d − λ1

!

a + c − λ2 − b + d − λ2

!

λ1 λ2 − (a + c)(λ1 + λ2 ) + (a + c)2 λ1 λ2 − (b + d)(λ1 + λ2 ) + (b + d)2 c(a + c − b − d) c = =− (3.79) b(b + d − a − c) b

=

ukoliko / amennyiben a + c − b − d 6= 0

(3.80)

Za veˇzbu sluˇcaj b = c = 0 razmotrite sami. Gyakorlatképpen vizsgálják meg a b = c = 0 esetet. Nalazimo, da su svojstveni vektori normalni, ukoliko vaˇzi b = c ili u sluˇcaju kompleksne matrice b = c∗ i zahtev da dijagonalni elementi matrice budu realni, uz uslov (3.80). Normiranost talasne funkcije odgovara tome, da je duˇzina (izabranog) svojstvenog vektora jednaka 1. Amennyiben igaz, hogy b = c, vagy komplex mátrix esetén b = c∗ , és a mátrix a´tlós elemei valósak, valamint igaz a (3.80) követelmény, akkor a két vektor egymásra mer˝oleges. A hullámf¨ uggvény normálása azzal egyenérték˝ u, hogy a (kiválasztott) sajátvektor hossza 1. Primer / P´ elda Kvantni raˇcunari operiˇsu kvantnim bitovima, koji su uopˇstenja klasiˇcnih bitova. Kvantni raˇcunari su vaˇzni, poˇsto mnogo efikasnije reˇsavaju klase problema pred kojima su klasiˇcni raˇcunari praktiˇcno bespomoćni, odnosno postoje klase problema koje kvantni raˇcunari reˇsavaju neuporedivo brˇze od klasiˇcnih raˇcunara. Ukoliko imamo kvantni sistem sa dva stanja, oznaˇcimo ih sa ψ0 i ψ1 . Kvantni bit ψ (3.82) je stanje kvantnog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija dva osnovna stanja, gde su α i β kompleksni brojevi, za koje vaˇzi uslov (3.81). Taˇcnije, to je fiziˇcka realizacija kvantnog bita. Ukoliko se ovaj pojam ˇcini apstraktnim, razmislite koliko je apstraktna fiziˇcka realizacija jednog klasiˇcnog bita. Kvantni bitovi se mogu uopˇstiti na kvantne ditove (3.83), koji su realizovani pomoću d razliˇcitih osnovnih stanja, sa koeficijentima koji zadovoljavaju uslov (3.84). A kvantumszám´ıtógépek kvantum bittekkel operálnak, amelyek a klasszikus bitek a´ltalános´ıtásai. A kvantum szám´ıtógépek azért fontosak, mert sokkal hatékonyabban b´ırkóznak meg olyan feladatokkal, amelyekkel a klasszikus szám´ıtógépek nem tudnak, illetve vanak olyan probléma osztályok, amelyeket a klasszikus szám´ıtógépeknél nagyságrendekkel gyorsabban oldanak meg. Amennyiben két állapot´ u rendszerrel van dolgunk, annak alapállapotait jelölj¨ uk ψ0 val és ψ1 el. Egy ψ kvantum bit a két alapállapot olyan lineáris

92


´ KVANTUMELMELET

kombinációja (3.82), amelynél az egy¨ utthatókra teljes¨ ul a (3.81) föltétel. Pontosabban ez a kvantum bit fizikai megvalós´ıtása. Amennyiben ez a fogalom apsztraktnak t˝ unik, gondolkozzanak el azon, hogy mennyire apsztrakt egy klasszikus bit fizikai megvalós´ıtása. A kvantum bitek kvantum ditekké a´ltalános´ıthatók (3.83), amelyeket egy kvantum rendszer d egymástól f¨ uggetlen alapállapotával valós´ıtunk meg. Ekkor a lineáris kombináció egy¨ utthatói kielég´ıtik a (3.84) föltételt. |α|2 + |β|2 = 1 ψ = αψ0 + βψ1 d X

(3.81) (3.82)

αk ψk

(3.83)

|αk |2 = 1

(3.84)

ψ=

k=0 d X k=0

3.5.6

Primer: Slobodna ˇ cestica / P´ elda: Szabad r´ eszecske

Slobodna ˇcestica (u jednoj dimenziji) / szabad részecske (egy dimenzióban) x ∈ (−∞, ∞), Nema interakcije / nincs kölcsönhatás ⇒ U = 0 h ¯ 2 ∂ 2ψ = Eψ 2m ∂x2 , h ¯ 2 ∂ 2ψ 2m + Eψ = 0 · 2 2 2m ∂x h ¯ 2 ∂ ψ 2mE + 2 ψ=0 ∂x2 | h ¯{z }

−

(3.85) (3.86) (3.87)

k2 2 2

E=

h ¯ k 2m

∂ 2ψ + k2ψ = 0 2 ∂x ψ(x) =23 A exp (ikx) + B exp (−ikx) Et Ψ(x, t) =3.55 exp −i ψ(x) h ¯ = A exp (−i(ωt − kx)) + B exp (−i(ωt + kx))

(3.88) (3.89) (3.90)

(3.91)

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 93 Kao reˇsenje dobijamo superpoziciju dva ravna talasa koji se kreću u suprotnim smerovima duˇz x ose. Primetimo da nemamo nikakvo ograniˇcenje na energiju koju slobodna ˇcestica moˇze da ima. A megoldás két, az x tengely mentén ellentétes irányban haladó s´ıkhullám szuperpoz´ıciója. Vegy¨ uk észre, hogy a szabad részecske energiájára nincs semmiféle korlátozás.

3.5.7

Primer: Slobodna ˇ cestica u kutiji / P´ elda: Bedobozolt szabad r´ eszecske

ˇ Cestica je i dalje slobodna, ali ne moˇze da se kreće duˇz cele x ose, nego samo unutar intervala [−a, a], tj. imamo neprobojne zidove na granicama intervala. (I dalje) Vaˇze jednaˇcine (3.85 - 3.90) i graniˇcni uslov: A részecske továbbra is szabad, de nem mozoghat az egész x tengelyen, hanem csak az [−a, a] intervallumon bel¨ ul, azaz az intervallum határain a ´ enyesek a részecske számára a´thatolhatatlan falak vannak. (Továbbra is) Erv´ (3.85 - 3.90) egyenletek és a határföltétel: ψ(−a) = ψ(a) = 0

(3.92)

Detaljnije / részletesebben A exp (ika) + B exp (−ika) = 0 A exp (−ika) + B exp (ika) = 0

)

(3.93)

Iz prethodnog sistema jednaˇcina ˇzelimo da odredimo amplitude A i B. Az el˝oz˝o egyenletrendszerb˝ol meg akarjuk határozni az A és B amplit´ udókat. Uslov postojanja netrivijalnih amplituda A i B je postojanje netrivijalnog reˇsenja homogenog sistema jednaˇcina. Nemtriviális A és B amplit´ udók létezésének föltétele egy homogén egyenletrendszer nemtriviális megoldásának létezésével egyenérték˝ u.

exp (ika) exp (−ika) = 0 exp (−ika) exp (ika) ⇔ exp (2ika) − exp (−2ika) =7 2i sin 2ka = 0

(3.94) (3.95)

94

´ KVANTUMELMELET


⇒

(3.95)

⇒

2ka = nπ

k=

nπ 2a

(3.96)

π2h ¯2 2 n 8am

E =3.88

(3.97)

Uvrstimo k iz (3.96) u (3.92). U nekoliko koraka dolazimo do veze izmedju amplituda i kvantnog broja n. (3.96)-ból helyettes´ıts¨ uk be k-t (3.92)-be. Néhány lépésben megkapjuk az amplit´ udók és az n kvantumszám közötti kapcsolatot. nπ nπ A exp i a + B exp −i a 2a 2a nπ nπ A exp i + B exp −i 2 2 n π π n A exp i + B exp −i 2 2 n Ai + B(−i)n in (A + B(−1)n ) ( mivel n A = −B, n = 2m i = 6 0, (3.98) ⇒ poˇsto A = B, n = 2m + 1

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0

(3.98) (3.99)

Uvrstimo rezultat (3.99) u (3.90). (3.99)-ból helyettes´ıts¨ unk be (3.90)-be. nπ nπ x + B exp −i x 2a 2a  nπ nπ  A exp i x − exp −i x n = 2m 2a 2a

ψ(x) = A exp i = =

A exp i nπ x + exp −i nπ x 2a 2a

  

2iA sin



2A cos

nπ

x 2a

n = 2m + 1

n = 2m

nπ x 2a

(3.100)

n = 2m + 1

Iz uslova normiranja talasne funkcije (3.36) moˇze se odrediti konstanta A. A hullámf¨ uggvény normálási (3.36) föltételéb˝ol meghatározható az A a´llandó. Na primer / Például: Z a −a

4A2 cos2

nπ x dx = 1 2a

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 95 A

1

=

r Ra

2 −a cos

2

nπ x 2a

dx 

 Z a −a

cos2

nπ x dx =(25) 2a

Z a −a

1 nπ  x  dx cos(0) + cos 2 | {z } a

=1



=



1 a  1 · 2a + sin 2 nπ

|

⇒A

=

nπx a    a −a  {z }

=a

=0

1 √ 2 a

(3.101)

Konaˇcni oblik parnih i neparnih talasnih funkcija je: A páros és páratlan hullámf¨ uggvények végs˝o alakja tehát:

ψ(x) =

  √1 

nπ x 2a 1 nπ √ cos x a 2a

sin a

n = 2m n = 2m + 1

(3.102)

Dobijeni rezultat je kvantni analogon treperenja strune ˇciji su krajevi fiksirani. Ako struna treperi, na njoj se formirao stojeći talas. Struna moˇze da treperi samo na odredjenim frekvencijama / talasnim duˇzinama, i to takvim, da na duˇzini strune moˇze da stane samo celobrojni umnoˇzak polovine talasne duˇzine stojećeg talasa. A kapott eredmény a rögz´ıtett vég˝ u rezg˝o h´ ur kvantum megfelel˝oje. Ha a h´ ur rezeg, akkor rajta egy állóhullám alakult ki. A h´ ur csak bizonyos frekvenciákon - hullámhosszakon rezeghet, a h´ ur hossza csak a fél hullámhossz egész szám´ u többszöröse lehet. U sluˇcaju dvodimenzionalne slobodne ˇcestice zatvorene u pravougaonu oblast ˇ stranica a i b reˇsavanje Sredingerove jednaˇcine je potpuno identiˇcno jednodimenzionalnom sluˇcaju. Poˇsto je kretanje duˇz x ose potpuno nezavisno od kretanja duˇz y ose, reˇsenje se moˇze svesti na jednodimenzionalni sluˇcaj, uz opasku: Kétdimenziós, téglalap alak´ u, a és b oldal´ u tartománybe zárt szabad részecske Schrödinger egyenletét az egydimenziós esettel teljesen analóg módon lehet megoldani. Mivel az x tengely menti mozgás f¨ uggetlen az y tengely menti mozgástól, a megoldás visszavezethet˝o az egydimenziós esetre, a következ˝o

96


´ KVANTUMELMELET

tények figyelembevételével: E = k2 = kx = ky =

h ¯ 2k2 2m kx2 + ky2 nx π 2a ny π 2b

(3.103) (3.104) (3.105) (3.106)

ˇ Poˇsto je reˇsenje Sredingerove jednaˇcine odredjeno sa dva kvantna broja (nx , ny ), razlikujemo sledeća ˇcetiri sluˇcaja: (paran, paran), (paran, neparan), (neparan, paran), (neparan, neparan). Mivel a Schrödinger egyenlet megoldását két kvantumszám határozza meg, (nx , ny ), a következ˝o négy esetet k¨ ulönböztetj¨ uk meg: (páros, páros), (páros, páratlan), (páratlan, páros), (páratlan, páratlan). Na seldeće tri slike 3.8 su prikazane gustine verovatnoća za reˇsenja odredjena kvantnim brojevima (1, 1), (1, 2) i (2, 2). Stranice pravougaonika su a = 1 i b = 2. A következ˝o három ábrán 3.8 az (1, 1), (1, 2) és (2, 2) kvantumszámoknak megfelel˝o valósz´ın˝ uség s˝ ur˝ uségf¨ uggvények vannak ábrázolva, a téglalap oldalai a = 1 és b = 2. Vidimo da nx broji ”grbe”, tj. maksimume duˇz x ose, a ny broji maksimume duˇz y ose. Dokaˇzite! Látjuk, hogy nx az x tengely menti ”p´ upokat” azaz a maximumokat számlálja, hasonlóképpen ny az y tengely menti maximumokat számlálja. Bizony´ıtsák be! Zadatak / F¨ oladat Ako skalarni proizvod dve funkcije definiˇsemo kao odredjeni integral njihovog proizvoda na intervalu [−a, a], (3.107) koristeći relacije (24, 25, 26) proverite da li su talasne funkcije date jednaˇcinom (3.102) normalne jedne na druge. Rezultate uporedite sa odeljkom 3.5.5. Amennyiben két f¨ uggvény skalárszozatát u ´gy definiáljuk mint a szorzatuk határozott integrálját a [−a, a] intervallumon, (3.107), az (24, 25, 26) o¨sszef¨ uggéseket kihasználva ellen˝orizze, egymással milyen szöget zárnak be a (3.102) egyenletben meghatározott hullámf¨ uggvények. Vesse össze az eredményeket a 3.5.5 fejezettel. ψ1 · ψ2 = hψ1 , ψ2 i =

Z a −a

ψ1 (x)ψ2 (x)dx

(3.107)

ˇ ˇ ¨ 3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 97

2

2

1

1

y

y 0

0

-1

-1

-2

-2

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-1

-1 -0.5

-0.5 0

x

0 0.5

x 1

0.5 1

2

1

y 0

-1

-2

0.4

0.2

0 -1 -0.5 0

x

0.5 1

Figure 3.8: |ψ1,1 (x, y)|2 , |ψ1,2 (x, y)|2 , |ψ2,2 (x, y)|2

98


´ KVANTUMELMELET

Matriˇ cni elementi operatora / Oper´ ator m´ atrixelemei Kako izgleda operator (matrica) koja opisuje poloˇzaj slobodne ˇcestice? Matriˇcne elemente nalazimo na osnovu definicije (3.37). xm,n =

=

Z a −a

                            

3.6

ψm (x)xψn (x)dx

(3.108)

parno páros R neparno 1 a cos mπ x x cos nπ x dx ; m, n a −a 2a 2a páratlan (3.109) R parno neparno mπ nπ 1 a sin x x cos x dx ; m , n a −a 2a 2a páros páratlan neparno parno 1 Ra cos mπ x x sin nπ x dx ; m ,n a −a 2a 2a páratlan páros 1 Ra a −a

sin

mπ x 2a

x sin

nπ x 2a

dx

; m, n

Hajzenbergove relacije neodredjenosti Heisenberg hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ oi

U kvantnoj mehanici merenje neke fiziˇcke veliˇcine uvek menja vrednost merene ili neke druge fiziˇcke veliˇcine. Ovaj efekat ne moˇze da se zanemari i nije vezan za tehniˇcke poteˇskoće niti za nesavrˇsenost mernog aparata, nego je inherentna osobina kvantno-mehaniˇckih veliˇcina. Sliˇcnu pojavu imamo i u klasiˇcnoj fizici11 , ali se u sluˇcaju merenja klasiˇcnih veliˇcina ovaj efekat moˇze uˇciniti proizvoljno malim, dok u sluˇcaju kvantno-mehaniˇckih veliˇcina to nije moguće. Precizna formulacija ovih ˇcinjenica rezultuje u Hajzenbergovim relacijama neodredjenosti. Kvantum-mechanikában egy fizikai mennyiség mérése mindég megváltoztatja annak vagy egy másik fizikai mennyiségnek az értékét. Ez a jelenség nem elhanyagolható és nem kapcsolódik méréstechnikai nehézségekhez vagy a mér˝oberendezés tökéletlenségéhez, hanem a kvantum-mechanikai mennyiségek alaptulajdonsága. Hasonló jelenséggel találkozhatunk a klasszikus fizikában is12 . M´ıg a klasszikus esetben ez az effektus elvileg tetsz˝olegesen kicsivé 11

Pomislite na termometar, koji pre poˇcetka merenja npr. ima viˇsu temperaturu od temperature sredine koju meri. Merenjem temperature u ovom sluˇcaju ujedno i povisujemo temperaturu merene sredine. 12 Gondoljunk pl. arra a h˝ omér˝ore, amelynek a h˝omérséklete a mérés kezdetén magasabb mint annak a k¨ ozegnek a h˝omérséklete, amely közeg h˝omérsékletét mérj¨ uk. Ebben az

´ OK ´ 3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELACI

99

tehet˝o, addig kvantum-mechanikai esetben ez nem lehetséges. Ezeknek a tényeknek a pontos megfogalmazása eredményezi Heisenberg határozatlansági relációit. ˆ ∆Aˆ je (apsolutna) greˇska merenja operatora A. ∆Aˆ az Aˆ operátor (abszol´ ut) mérési hibája. ∆Aˆ =

q

ˆ 2 hAˆ − hAii

(3.110)

Primetimo da izraz (3.110) daje oˇcekivanu vrednost odstupanja od oˇcekivane vrednosti. Vegy¨ uk észre, hogy a (3.110) kifejezés a várható értékt˝ol való eltérés várható értéke. ˆ je / Aˆ és B ˆ operátorok kommutátora Komutator operatora Aˆ i B h

i

ˆ B ˆ = AˆB ˆ −B ˆ Aˆ A,

(3.111)

Primetimo da za komutator vaˇze sledeće jednakosti: Vegy¨ uk észre a kovetkez˝o komutátorra vonatkozó egyenl˝oségeket: ˆ A] ˆ =0 [A, ˆ B] ˆ = −[B, ˆ A] ˆ [A,

(3.112) (3.113)

Opˇsti oblik Hajzenbergove relacije neodredjenosti glasi, (3.114): A Heisenberg határozatlansági reláció a´ltalános alakja, (3.114): ˆ B]| ˆ ˆ ≥ 1 |[A, ∆Aˆ ∆B 2

(3.114)

Dve fiziˇcke veliˇcine je moguće istovremeno meriti sa proizvoljnom taˇcnoˇsću samo ukoliko ime je komutator jednak nuli. U suprotnom sluˇcaju povećanje taˇcnosti merenja jedne veliˇcine uzrokuje smanjenje taˇcnosti merenja druge veliˇcine. Ova pojava je povezana s ˇcinjenicom da komutator meri nezavisnot fiziˇckih veliˇcina. Nezavisne fiziˇcke veliˇcine je moguće istovremeno meriti sa proizvoljnom taˇcnoˇsću, dok u sluˇcaju zavisnih fiziˇckih veliˇcina to nije moguće. Két fizikai mennyiséget egyidej˝ uleg tetsz˝oleges pontosságal csak akkor lehet mérni, ha a kommutátoruk nulla. Ellenkez˝o esetben az egyik fizikai menynyiség mérési pontosságának a növelése a másik fizikai mennyiség mérési pontosságának a csökkenését eredményezi. Ez a jelenség azzal f¨ ugg össze, esetben mérés¨ unkkel megemeljuk a k¨ ozeg h˝omérsékletét.

100


´ KVANTUMELMELET

hogy a kommutátor azt fejezi ki, mennyire f¨ uggetlenek egymástól a fizikai mennyiségek. F¨ uggetlen fizikai mennyiségeket egyidej¨ uleg tetsz˝oleges pontosságal lehet mérni, egymástól f¨ ugg˝o mennyiségeket pedig nem. Postoji i relacija neodredjenosti energije i vremena (3.115) koja je formalno sliˇcna, ali je priroda te relacije vrlo razliˇcita od relacije (3.114), iz prostog razloga ˇsto ne postoji kvantno-mehaniˇcka veliˇcina13 koja odgovara klasiˇcnom pojmu vremena. Relaciju (3.115) interpretiramo na sledeći naˇcin: greˇska merenja energije sistema je povezana sa taˇcnoˇsću kojom poznajemo ono vreme, koje sistem provede u datom stanju. Manja greˇska u merenju energije zahteva da vreme koje sistem provede u datom stanju bude duˇze. U graniˇcnom sluˇcaju, merenje bez greˇske zahteva da sistem u nekom stanju provede beskonaˇcno dugo vremena, i da isto toliko dugo traje i merenje energije. To npr. znaˇci da je merenje energije nestabilnih - kratkoˇzivućih stanja moguće samo uz (pricnipijelno!) ograniˇcenje taˇcnosti merenja. Létezik az energia-id˝o határozatlansági reláció is (3.115), amely formálisan nagyon hasonl´ıt a már ismertetett (3.114) határozatlansági relációra, viszont ez a határozatlansági relácio teljesen más jelleg˝ u, annál az egyszer˝ u oknál fogva, hogy a klasszikus id˝o fogalmának nem feleltethet˝o meg valamilyen kvantum-mechanikai változó. Adjuk meg a (3.115) reláció egy lehetséges értelmezését. Egy rendszer energiájának mérési pontossága összef¨ ugg annak az id˝onek a mérési pontosságával, amely ideig a rendszer az adott energiáj´ u a´llapotban van. Az energia pontosabb mérése akkor lehetséges, amikor az adott a´llapotban eltöltött id˝o hosszabb. Határesetben, az energia pontos mérése azt követeli meg, hogy a rendszer végtelen ideig tartózkodjon az adott a´llapotban, és ezzel egy¨ utt a mérés is végtelen ideig tart. Ez. pl. azt jelenti, hogy a rövid élet˝ u-instabil a´llapotok energiája (elvileg is!) csak véges pontossággal mérhet˝o. ∆E∆t ≥ h ¯

(3.115)

Prethodna relacija se moˇze napisati i u obliku koji joˇs viˇse podseća na relaciju ˆ fiziˇcka veliˇcina koja zavisi od vremena, (3.114) na sledeći naˇcin. Neka je B ˆ njena vremenski zavisna greˇska, i neka je d∆Bˆ brzina promene vremen∆B dt ski zavisne greˇske. Relacija neodredjenosti energije i vremenske zavisnosti ˆ je: veliˇcine B Az el˝oz˝o o¨sszef¨ uggést következ˝oképpen lehet föl´ırni olyan alakban, amely még 13

taˇcnije formulisano: opservabla


101

ˆ egy id˝of¨ jobban emlékeztet az eredeti (3.114) o¨sszef¨ uggésre. Legyen B ugg˝o ˆ d∆ B ˆ annak id˝of¨ fizikai mennyiség, ∆B ugg˝o mérési hibája és dt az a sebesség, ˆ id˝of¨ amellyel a mérési hiba változik. Ekkor az energia és B uggésének határozatlansági relációja: ˆ ∆B ∆E d∆Bˆ dt

≥

h ¯ 2

(3.116)

h i i ˆ 1 d∆B 1 h ˆ ˆ ≈ 1 H, ˆ B ˆ h ¯ = H, ∆B 2 dt 2 2

(3.117)

⇔

ˆ ≥ ∆E∆B

Primetimo da ovako formulisana relacija neodredjenosti energije i vremena ne zavisi eksplicitno od vremena! Vegyuk észre, hogy az ´ıgy megfogalmazott energia-id˝o határozatlansági reláció nem f¨ ugg explicit módon az id˝ot˝ol! Naizgled uznemiravajuću ˇcinjenicu da je mogućnost za taˇcna merenja minimalna, kvantna mehanika u primenama moˇze da preokrene u nevidjenu prednost. Npr. rad kvantnih raˇcunara je duboko povezan sa merenjem kvantnomehaniˇckih veliˇcina i sa fenomenima opisivim relacijama neodredjenosti. Abból a látszólagosan nyugalan´ıtó tényb˝ol, hogy a pontos mérések megvalós´ıtásának lehet˝osége gyakorlatilag minimális, a kvantummechanika alkalmazásaiban hihetetlen el˝onyt lehet kovácsolni. Pl. a kvantumszám´ıtógépek m˝ uködése mélyen összef¨ ugg a kvantummechanikai mérésekkel, ezzel egy¨ utt azokkal a jelenségekkel is, amelyeket a határozatlansági relációk fejeznek ki. Sliˇcne nejednakosti postoje i drugde, npr. u teoriji informacija ili u obradi signala, gde na primer znamo da nije moguće istovremeno imati podjednako dobru rezolucija signala u vremenu, odnosno po frekvenciji. Hasonló egyenl˝otlenségek más ter¨ uleteken is léteznek, pl. az információelméletben vagy a jelfeldogozásban, ahol tudjuk, hogy egy jelben lehetetlen egyszerre elérni a jó id˝obeli- és frekvenciabeli fölbontást. Izraˇcunajmo komutator operatora xˆ i pˆx . Számoljuk ki xˆ és pˆx kommutátorát. !

∂Ψ −ˆ px (xΨ) [ˆ x, pˆx ]Ψ = xˆ(ˆ px Ψ) − pˆx (ˆ xΨ) = xˆ −i¯h | {z } ∂x |

{z

3.43

}

3.45

102

´ KVANTUMELMELET

CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA ∂Ψ ∂Ψ = −i¯h x + i¯ h Ψ+x ∂x} ∂x | {z 3.45

|

{z

19,3.43

!

= i¯hΨ

(3.118)

}

Iz (3.114) i (3.118) sledi da je nemoguće istovremeno izmeriti sa proizvoljnom taˇcnoˇsću poloˇzaj i impuls ˇcestice/kvantnog sistema. (3.114)-b˝ol és (3.118)-b˝ol következik, hogy lehetetlen egyszerre, tetsz˝oleges pontossággal megmérni egy részecske/vagy kvantum rendszer helyzetét és impulzusát. [ˆ x, pˆx ] = [ˆ y , pˆy ] = [ˆ z , pˆz ] = i¯h [ˆ x, yˆ] = [ˆ x, zˆ] = [ˆ y , zˆ] = 0 [ˆ px , pˆy ] = [ˆ px , pˆz ] = [ˆ py , pˆz ] = 0 [ˆ xj , pˆk ] = i¯ h δj,k 15

∆ˆ xj ∆ˆ pk ≥

(3.119) (3.120) (3.121) (3.122)

h ¯ δj,k 2

(3.123)

Primer / P´ elda Odredimo rad koji je potrebno uloˇziti da bi se slobodna ˇcestica lokalizovala unutar inervala duˇzine ∆x. Határozzuk meg azt a munkát amelyet ahhoz kell befektetni, hogy egy szabad részecskét ∆x hossz´ uság´ u intervallumba zárjunk.

A = Ek = h ¯ ∆p ≥ , 2∆x

3.6.1

p2 , 2m

∆x∆p ≥

h ¯ 2

p ≈ ∆p ⇒ Ek ≥

¯ h 2∆x

2

2m

=

h ¯2 8m(∆x)2

(3.124)

Operator momenta impulsa Impuzusmomentum oper´ ator

Operator momenta impulsa se definiˇse analogno klasiˇcnom momentu impulsa: Az impulzusmomentum operátort a klasszikus impulzus momentummal analóg


103

módon definiáljuk: !

∂ ∂ ∂ ˆ x, L ˆy, L ˆ z (3.125) ~ˆ = ~ˆr × pˆ~ = (ˆ h = L L x, yˆ, zˆ) × i¯ h , i¯h , i¯ ∂x ∂y ∂z ! ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ h − x i¯ h , x i¯ h − y i¯ h (3.126) = y i¯h − z i¯h , z i¯ ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x

Izraz (3.126) uporedite sa klasiˇcnim izrazom za moment impulsa. Hasonl´ıtsa o¨ssze (3.126)-t az impulzus-momentum klasszikus alakjával. Za operator momenta impulsa vaˇze sledeće komutacione relacije (proverite!): Az impulzusmomentum operátorra igazak a következ˝o kommutációs relációk (ellen˝orizze azokat!): h

ˆ i, L ˆj L

i

ˆk = i¯hi,j,k 16 L

(3.127)

Na osnovu (3.127) i (3.114) zakljuˇcujemo da je nemoguće istovremeno izmeriti sve komponente momenta impulsa sa proizvoljnom taˇcnoˇsću. (3.127) és (3.114) alapján arra következtet¨ unk, hogy lehetetlen egyszerre megmérni az impulzusmomentum mindhárom komponensét. ˆ2 ˆ2 + L ~ˆ2 = L ˆ2 + L Moˇze se (lako) dokazati, da kvadrat momenta impulsa L z y x komutira sa bilo kojom projekcijom momenta impulsa (dokaˇzite!). (Könnyen) bebizony´ıtható, hogy az impulzus momentum operátor négyzete ˆ 2 kommutál az impulzumomentum bármelyik vet¨ ˆ2 + L ~ˆ2 = L ˆ2 + L uletével L z y x (bizony´ıtsa be!).

~ˆ2 , L ˆz = 0 L

(3.128)

Na osnovu (3.128) zakljuˇcujemo da je moguće istovremeno izmeriti kvadrat intenziteta vektora momenta impulsa i jednu njegovu projekciju sa proizvoljnom taˇcnoˇsću. (3.128) alapján arra következtet¨ unk, hogy lehetséges az impulzusmomentum négyzetének és egy vet¨ uletének az egyidej˝ u, tetsz˝oleges pontosság´ u mérése. Mogu se dokazati sledeće dve jednakosti. Bebizony´ıtható a következ˝o egyenl˝oségpár. ~ˆ2 ψ = l(l + 1)¯h2 ψ, l = 0, 1, 2, . . . L ˆ z ψ = m¯hψ, m = −l, −l + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . l − 1, l L

(3.129) (3.130)

104


´ KVANTUMELMELET

l je orbitalni, a m magnetni kvantni broj. l az orbitális, m pedig a ma´gneses kvantum szám. Uporedite (3.23) i (3.129), ove dve jednaˇcine se ne slaˇzu. Bor nije bio u pravu kada je pretpostavio da je intenzitet momenta impulsa celobrojni umnoˇzak od h ¯ . Za velike vrednosti orbitalnog zno q kvantnog broja dve vrednosti se pribliˇ slaˇzu, ali za male vrednosti ne, l(l + 1) 6= l. Hasonl´ıtsa o¨ssze (3.23)-t és (3.129)-t, a két egyenlet nem egyezik egymással. Bornak nem volt igaza, amikor azt föltételezte, hogy az impulzusmomentum h ¯ -nak az egész szám´ u többszöröse. Az orbitális kvantumszám nagy értékeire q a két kifejezés közel´ıt˝oleg egyenl˝o, de l kis értékei esetén nem, l(l + 1) 6= l.

3.6.2

Kvantni rotator Kvantum rot´ ator

Kinetiˇcka energija rotacije u klasiˇcnoj fizici iznosi: Klasszikus fizikában a forgómozgás kinetikus energiája: Ek =

Iω 2 2

(3.131)

gde I oznaˇcava moment inercije a ω ugaonu brzinu. ahol I a tehetetlenségi momentum és ω a szögsebesség. Poˇsto ugaona brzina nema smisla u kvantnoj mehanici, potrebno je na drugaˇciji nacin izraziti kinetiˇcku energiju rotacije. Mivel a szögsebesség kvanummechanikában értelmeltlen fogalom, másképpen kell kifejezni a forgómozgás energiáját. =L

Ek =

2

2

z}|{

I ω ( Iω )2 L2 Iω I = = = 2 I 2I 2I 2I 2

(3.132)

gde L oznaˇcava moment impulsa. ahol L az impulzusmomentumot jelöli. Znaˇci da je operator kinetiˇcke energije u sluˇcaju rotacionog kretanja jednak: Tehát a kinetikus energia operátora forgómozgás esetén: 2 ~ˆ L Eˆk = 2I

(3.133)


105

ˇ Stacionarna Sredingerova jednaˇcina koja opisuje kvantni rotator je: A kvantum rotátor stacionáris Schrödinger egyenlete: 2 ~ˆ L ψ = Eψ 2I

(3.134)

Jednaˇcina (3.134) se reˇsava prelaskom na sferne koordinate. A (3.134)-s egyenletet kézenfekv˝o gömbi koordinátákban megoldani. Prostorna rotacija je opisiva sa dva ugla, φ i θ. A térbeli forgás két szöggel ´ırható le, φ-vel és θ-val. Kinetiˇcku energiju rotacije izraˇzava sledeći operator: A forgómozgás energiáját a következ˝o operátorral fejezhetj¨ uk ki: ¯2 ˆ = −h H 2I

1 ∂ ∂ sin θ sin θ ∂θ ∂θ

!

1 ∂2 + sin2 θ ∂ 2 φ

!

(3.135)

ˇ Znajući (3.129) i (3.130) Sredingerova jednaˇcina kvantnog rotatora glasi: Ismervén (3.129)-t és (3.130)-t a kvantum pörgety˝ u Schrödinger egyenlete: h ¯2 − 2I

∂ 1 ∂ sin θ sin θ ∂θ ∂θ

!

1 ∂2 + ψ = Eψ sin2 θ ∂ 2 φ !

(3.136)

Energiju kvantnog rotatora dobijamo prostim uporedjivanjem: A kvantum pörgety˝ u energiája egyszer˝ u összehasonl´ıtással adódik: h ¯2 El = l(l + 1) 2I

(3.137)

Reˇsenja jednaˇcine (3.136) zovu se sferni harmonici, u oznaci Ylm (θ, φ) i klasifikuju se pomoću orbitalnog i magnetnog kvantnog broja. A (3.136)-s egyenlet megoldásait gömbharmonikus f¨ uggvényeknek h´ıvjuk és m Yl (θ, φ)-vel jelölj¨ uk, és az orbitális és mágneses kvantum számokkal osztályozhatók.

Ylm (θ, φ) =

v u u 2l + 1 (l − m)! t

4π (l + m)!

exp(imφ)Plm (cos θ)

(3.138)

Funkcija Plm za negativne vrednosti orbitalnog kvantnog broja m se raˇcuna na sledeći naˇcin:

106

´ KVANTUMELMELET


A Plm f¨ uggvényt negat´ıv mágneses kvantum szám esetén a következ˝oképpen számoljuk: Pl−m (x) = (−1)m

(l − m)! m P (x) (l + m)! l

(3.139)

Navodimo nekoliko prvih sfernih harmonika: Fölsorolunk néhány gömbharmonikust: P00 = 1 P10 = cos θ P11 = sin θ 1 (3 cos2 θ − 1) P20 = 2 P21 = −3 sin θ cos θ P22 = 3 sin2 θ

(3.140) (3.141) (3.142) (3.143) (3.144) (3.145)

[4], [8] Na slikama 3.9, 3.10. prikazujemo primere sfernih harmonika za vrednost l = 4 orbitalnog kvantnog broja, i za vrednosti m = ±2 magnetnog kvantnog broja. A (3.9, 3.10).-as ábrákon bemutatjuk az l = 4 orbitális kvantumszám´ u és m = ±2 mágneses kvantumszám´ u gömbf¨ uggvényeket. 3 Y4m (φ, θ) = 8

s

5 exp(imφ)(−1 + 7 cos2 (θ)) sin2 (θ) 2π

(3.146)

0.2 0 −0.2

z

0.15 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15

z

0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4

0.15 0.1 −0.15 −0.1 −0.05

x

0.05 0 0

0.05

0.1

−0.05 −0.1 −0.15 0.15

y

−0.4 −0.3

−0.2 −0.1

0

x

Figure 3.9: |Y4m |2 , Re (Y42 ).

−0.1 −0.2 0.1 0.2 −0.3 0.3 0.4 −0.4

0

0.4 0.3 0.2 0.1

y

ˇ ´ KLASSZIKUS FIZIKA107 3.7. KVANTNA I KLASICNA FIZIKA / KVANTUM ES 0.2 0 −0.2

z

0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4

0.2 0 −0.2

z

0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4

0.3

0.3

0.2 −0.3 −0.2 −0.1

x

0.1 0 0

0.1

0.2

−0.1 −0.2 −0.3 0.3

y

0.2 −0.3 −0.2 −0.1

0.1 0 0

0.1

x

0.2

−0.1 −0.2 −0.3 0.3

y

Figure 3.10: Im (Y42 ), Im Y4−2 .

3.7

Veza izmedju kvantne i klasiˇ cne fizike A kvantum ´ es klasszikus fizika k¨ oz¨ otti kapcsolat

Dokazaćemo da iz kvantne mehanike sledi da drugi Njutnov zakon vaˇzi za usrednjene veliˇcine. Bebizony´ıtjuk, hogy a kvantum mechanikaból következik Newton második törvénye az átlagolt mennyiségekre. p , odnosno, da potenciZnamo, da za tela nepromenljive mase vaˇzi m~a = d~ dt jalne sile zemo napisati preko gradijenta potencijalne energije moˇ ∂U ∂U F~ = − ∂U , , . ∂x ∂y ∂z p Tudjuk, hogy az a´llando tömeg˝ u testek esetében m~a = d~ , illetve azt is dt tudjuk, hogya potenciálos er˝ o ket fel´ ırhatjuk mint a helyzeti energia gradi ∂U ∂U ∂U ~ ensét F = − ∂x , ∂y , ∂z . ˇ Primetimo sledeću vaˇznu ˇcinjenicu. Ako talasna funkcija zadovoljava Sredingerovu jednaˇcinu Vegy¨ uk észre a következ˝o fontos tényt. Ha a hullámf¨ uggvény kielég´ıti a Schrödinger egyenletet ∂Ψ(x, t) ˆ HΨ(x, t) = i¯h (3.147) ∂t onda transponovanjem i kompleksnim konjugovanjem sledi, da kompleksno konjugovana talasna funkcija Ψ∗ zadovoljava sledeću jednaˇcinu: akkor transzponálással és komplex konjugálással belátjuk, hogy Ψ∗ , a komplex konjugált hullámf¨ uggvény a következ˝o egyenletet elég´ıti ki: ˆ = −i¯h Ψ∗ (x, t)H

∂Ψ∗ (x, t) ∂t

(3.148)

108


´ KVANTUMELMELET

Neka je Aˆ+ = (A∗ )T = (AT )∗ . Iskoristili smo (bez dokaza) ˇcinjenicu, da vaˇzi: Legyen Aˆ+ = (A∗ )T = (AT )∗ . Bizony´ıtás nélk¨ ul használtuk fel a következ˝o tényt: ˆ+ = H ˆ H

(3.149)

Znaˇci, drugi Njutnov zakon moˇzemo da napiˇsemo u sledećem obliku: Tehát, Newton második törvényét fel´ırhatjuk a következ˝o alakban: ∂U ∂U ∂U d~p =− , , m~a = F~ ⇔ dt ∂x ∂y ∂z

!

= −∇U

(3.150)

Primetimo da: Vegy¨ uk észre, hogy: ∂ˆ p~ 6= −∇Uˆ ∂t

(3.151)

ˇ Znaˇci, da ne postoji (formalna) veza medju veliˇcinama opisivim Sredingerovom jednaˇcinom i kao u sluˇcaju veliˇcina opisivih drugim Njutnovim zakonom u klasiˇcnoj fizici. Vagyis, nincs olyan (formális) kapcsolat a Schrödinger-egyenlet a´ltal le´ırt mennyiségek között amely megfeleltethet˝o lenne Newton második törvénye a´ltal szolgáltatott kapcsolathoz a klasszikus mennyiségek között. Dokaˇzimo sledeću relaciju izmedju srednjih veliˇcina: Bizony´ıtsuk be, hogy az átlagos értékek között igaz a következ˝o kapcsolat: D E ∂ DÊ p~ = − ∇Uˆ ∂t

(3.152)

Znaˇci, da klasiˇcna jednaˇcina kretanja vaˇzi za usrednjene veliˇcine, tj. klasiˇcna fizika vaˇzi “u srednjem”. Tehát, a klasszikus mozgásegyenlet az átlagolt mennyiségekre igaz, vagyis a klasszikus fizika “átlagban igaz”. Da se ne bismo izgubili u matematiˇckoj notaciji dokaz ćemo izvesti za sluˇcaj jednodimenzionalnog sistema. Za trodimenzionalni sluˇcaj dokaz je potpuno analogan. Hogy ne vessz¨ unk el a matematikai jelölésekben, a bizony´ıtást egydimenziós rendszer esetében végezz¨ uk el. Háromdimenziós rendszer esetében a bizony´ıtas teljesen analóg módon végezhet˝o el. *

dpˆ~ dt

+

= x

∂ DÊ ∂ ∂ Z ∗ p~ = hˆ px i = Ψ (x, t)ˆ px Ψ(x, t)dx x ∂t ∂t ∂t

ˇ ´ KLASSZIKUS FIZIKA109 3.7. KVANTNA I KLASICNA FIZIKA / KVANTUM ES ∂ ∂ Z ∗ Ψ (x, t) i¯h (Ψ(x, t)) dx = ∂t ∂x} | {z =ˆ px

Zarad preglednosti umesto Ψ(x, t) pisaćemo Ψ. Az áttekinthet˝oség kedvéért Ψ(x, t) helyett Ψ-t ´ırunk. !! Z ∂Ψ∗ ∂Ψ ∂Ψ ∗ ∂ = i¯ h +Ψ i¯ h dx ∂t ∂x ∂t ∂x 



=

Z      |

∂Ψ∗ i¯h ∂t

!

{z

ˆ ∗ =−HΨ

!

!

∂ ∂Ψ ∂Ψ    dx + Ψ∗ i¯ h ∂x ∂x ∂t  } | {z } ˆ =HΨ

!

∂Ψ ∂ ˆ + Ψ∗ HΨ dx ∂x ∂x ! ! Z ∂Ψ∗ ˆ ∗ ˆ ∗ ∂Ψ ˆ + HΨ dx = Ψ HΨ − HΨ ∂x ∂x | {z } =

Z

ˆ ∗ −HΨ

=0

=−

Z

h ¯ 2 ∂ 2 Ψ∗ ∂Ψ∗ ∗ ∂Ψ − + U Ψ + 2m ∂x2 ∂x ∂x !

!

h ¯ 2 ∂ 2Ψ − + UΨ 2m ∂x2

!!

dx

110


´ KVANTUMELMELET

Chapter 4 Radioaktivni raspad Radi´ oakt´ıv boml´ as 4.1

Elementarne ˇ cinjenice o strukturi materije Elemi t´ enyek az anyagszerkezet´ er˝ ol

Zavisno od skale na kojoj posmatramo materiju, moˇzemo smarati da se ona na malim skalama organizuje u molekule, atome, odnosno elementarne ˇcestice. Dimenzije atoma su reda veliˇcine 10−10 m, red veliˇcine masa ime je u rasponu od 10−27 kg do 10−25 kg. Najmanji po veliˇcini je atom vodonika, sa povećanjem rednog broja elementa (broj protona u jezgru i/ili broj elektrona u elektronskom omotaˇcu) razmere atoma rastu. Atom moˇzemo grubo opisati kao sferu koja ima razlivenu povrˇsinu, tj. ne postoji oˇstra granica koja deli atom od njegove okoline1 . Atom je elektriˇcno neutralan, tj. sadrˇzi istu koliˇcinu pozitivnog i negativnog elektriˇcnog naboja. Atom ima svoju strukturu, koju ˇcine elektronski omotaˇc i atomsko jezgro. Atomska fizika prouˇcava elektronski omotaˇc, dok nuklearna fizika prouˇcava atomsko jezgro. Attól f¨ ug˝oen, hogy milyen skálán vizsgálódunk, azt mondhatjuk, hogy kis léptékben az anyag molekulákba, atomokba, illetve elemi részecskékbe szervez˝odik. Az atomi méretek nagyságrendje 10−10 m, az atomi tömegek 1

Neˇsto sliˇcno postoj i u svakodnevnom iskustvu, gledano iz daljine znamo gde se nalazi oblak, kako mu se pribliˇzavamo granica oblaka postaje sve neodredjenija.

111

´ ÍV BOMLAS ´ 112 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKT nagyságrendje 10−27 kg-tól 10−25 kg-ig terjed. Legkisebb méret˝ u a hidrogénatom, az elem rendszámának (protonok száma az atommagban, vagy az elektronok száma az elektron burokban) növelésével az atom mérete is növekszik. Az atomot durván ugy lehet le´ırni mint egy elmosódott perem˝ u gömböt, azaz nem létezik éles határ amely elválasztaná az atomot annak környezetét˝ol2 . Az atom elektromosan semleges, azaz ugyanolyan mennyiség˝ u pozit´ıv ill. negat´ıv elektromos töltéssel rendelkezik. Az atom szerkezetét az elektron burok és az atommag képzik. Az atomfizika az elektron burkot, a magfizika pedig az atommagot tanulmányozza. Postoji velik broj reakcija koje mogu da se odigraju u atomskom jezgru. Uslovno moˇzemo reći da reakcije koje zovemo radioaktivni raspad ˇcine jednu podgrupu nuklearnih reakcija koje se spontano odvijaju. Az atommagban nagyszám´ u reakció mehet végbe. Föltételesen áll´ıthatjuk, hogy a rádióakt´ıv bomlás az ilyen reakciók részhalmazát alkotják, mégpedig azt, amelyben a reakciók spontán módon mennek végbe.

4.2

Elementarne ˇ cinjenice o atomskom jezgru. Elemi t´ enyek az atommagr´ ol

Atomsko jezgro je neverovatno malo u odnosu na veliˇcinu atoma (od 1.75× 10−15 m za jezgro vodonika do otprilike 15×10−15 m za jezgro urana) i sadrˇzi praktiˇcno ukupnu masu atoma, ˇsto povlaˇci za sobom ˇcinjenicu da je atomkg se vrsta ˇcestica, sko jezgro izuzetno gusto (∼ 3×1017 m 3 ). U jezgru ima viˇ za nas su najvaˇznije dve, pozitivno naelektrisani proton i eletriˇcno neutralni neutron. Protone i neutrone zbirnim imenom zovemo nukleoni. U atomskom jezgru se znaˇci na veoma malom rastojanju nalaze brojna istoimena naelektrisanja. Poˇsto medju njima deluje neverovatno jaka odbojna Kulonova sila, jezgro drˇzi na okupu interakcija koja je jaˇca od ovog odbojnog medjudejstva, i ta interakcija je ˇsta viˇse u stanju da drˇzi na okupu i elektriˇcno neutralne neutrone. Tu interakciju zovemo jakom nuklearnom interakcijom. Masa elektrona je otprilike 2000 (taˇcnije 1836) puta manja od mase pro2

Valami hasonl´ o létezik a mindennapi tapasztalunkban is. Pl. messzir˝ol nézve tudjuk, hogy hol van egy felh˝ o, viszont ahogyan közeled¨ unk egyre bizonytalanabbá válik a felh˝ o hat´ ara.

´ 4.2. O ATOMSKOM JEZGRU. AZ ATOMMAGROL

113

tona (1.672621777(74)×10−27 kg), i iznosi 9.10938291(40) × 10−31 kg dok su mase neutrona i protona otprilike iste, s opaskom da je masa neutrona (1.674927351(74)×10−27 kg) malo veća od mase neutrona. Elementarni naboj elektrona je negativan, a protona pozitivan i iznosi 1.602176565(35) × 10−19 C. Primetimo da postoje i makroskopski objekti koji imaju neke osobine vrlo sliˇcne atomskom jezgru, to su tzv. neutronske zvezde (koje tipiˇcno imaju preˇcnik od svega ∼ 12 km). Njihov gradivni materijal i fiziˇcke osobine moˇzemo opisati kao vrlo sliˇcan onome unutar atomskog jezgra. Pored svih sliˇcnosti vredni pomenuti i bitnu razliku, a to je mehanizam koji drˇzi jezgro, odnosno neutronsku zvezdu na okupu. U prvom sluˇcaju to je jaka nuklearna interakcija, a u drugom sila gravitacije. Az atommag mérete rendk´ıv¨ ul kicsi az atom méretéhez viszony´ıtva (hidro−15 gen esetén 1.75× 10 m-t˝ol az uránium atommagig, amely kb. 15×10−15 m méret˝ u), miközben az atom tömege gyakorlatilag teljes mértékben az atommagba tömör¨ ul. Ebb˝ol az is következik, hogy az atommag s˝ ur˝ usége 17 kg rendk´ıv¨ ul nagy, (∼ 3×10 m3 ). Az atommagban többféle részecske van, számunkra legfontosabbak a pozit´ıv proton és az elektromosan semleges neutron. A proton és neutron gy˝ ujt˝oneve nukleon. Tehát az atommagban pozit´ıv töltés˝ u részecskék sokasága egymáshoz rendk´ıv¨ ul közel helyezkedik el. Mivel között¨ uk a tasz´ıtó Coulomb-kölcsönhatás rendk´ıv¨ ul er˝os, ez azt jelenti, hogy az atommagot még ennél is er˝osebb kölcsönhatás tartja egyben, mely ráadásul az elektromosan semleges neutronokra is hat. Ezt a kölcsönhatást er˝os nukleáris kölcsönhatásnak nevezz¨ uk. Az elektron tömege 9.10938291(40) × 10−31 kg ami kb. 2000-szer (pontosabban 1836-szor) kisebb mint a proton tömege (1.672621777(74)×10−27 kg). A proton és neutron tömegek kb. egyenl˝oek, azzal a megjegyzéssel, hogy a neutron tömege (1.674927351(74)×10−27 kg) egy kicsit nagyobb mint a protoné. Az elektron elemi töltése negat´ıv, a protoné pozit´ıv, melynek értéke 1.602176565(35) × 10−19 C. Vegy¨ uk észre, hogy léteznek olyan makroszkopikus fizikai objektumok, u ń. neutroncsillagok (melyek jellemz˝o a´tmér˝oje nagyjábol csak 12 km), amelyek sok értelemben nagyon hasonl´ıtanak az atomma´ ıt˝oanyagukról bizton áll´ıthatjuk, hogy fizikai tulajdonságaiban és gra. Ep´ o¨sszetételében nagyon hasonl´ıt az atommagra. Minden hasonlóság ellenére fontos megeml´ıteni egy nagy k¨ ulönbséget is, az pedig az atommagot, illetve neutroncsillagot egyben tartó mechanizmus. Az els˝o esetben az az er˝os kölcsönhatás, a másodikban pedig a gravitáció. Neka jezgra su stabilna, a neka nisu i raspadaju se. Procesi raspada jezgara u kome nestabilna jezgra nestaju (i postepeno prelaze u stabilna jezgra), se

´ ÍV BOMLAS ´ 114 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKT zbirnim imenom zovu procesi radioaktivnog raspada. U ovim procesima se odrˇzava broj nukleona i elektriˇcni naboj. Vannak stabil atommagok, és vannak olyanok amelyek nem azok és ezért elbomlanak. A bomlási folyamatok gy˝ ujt˝oneve radióakt´ıv bomlás. Ezekben a folyamatokban elt˝ unnek és fokozatosan a´talakulnak az instabil atommagok. Ezekben a folyamatokban megmarad a nukleonok száma és az elektromos töltés. U daljnjem tekstu Z X A oznaˇcava element X koji sadrˇzi Z protona (i isto toliko elektrona), odnosno ima A nukleona u jezgru. Znaˇci da je broj neutrona odredjen razlikom N = A − Z. ˇ Cest je sluˇcaj, da imamo jezgra sa istim rednim bojem, tj. istim brojem protona, ali razliˇcitim brojem nukleona. Takva jezgra se razlikuju po broju neutrona i zovemo ih izotopima elementa odredjenog rednim bojem Z. Npr. u jezgru atoma vodonika (Z = 1) moˇzemo naći nijedan, jedan ili dva neutrona. Hemijski sva tri jezgra su vodonik, ali se mase izotopa vodonikovih jezgara znatno razlikuju, pa samim tim i njihove osobine vaˇzne za opis hemijskih reakcija, atomi veće mase su manje pokretljivi. Neki izotopi mogu biti stabilni, a neki nestabilni. A kovetkez˝okben Z X A az X elem jele, melynek Z protonja és A nukleonja van. Tehát a neutronok számát az N = A − Z k¨ ulönbség határozza meg. Gyakran el˝ofordul, hogy ugyanolyan rendszám´ u elemb˝ol olyan atommagokat találunk, amelyeknek k¨ ulönbözik a nukleonszámja. Ez csak u ´gy lehetséges, hogy ezekben az atommagokban k¨ ulönböz˝o szám´ u neutron van. Ezeket az atommagokat ugyanannak a Z rendszám´ u elemnek a k¨ ulönböz˝o izotópjai. Pl. a hidrogén atommagban (Z = 1) lehet semennyi-, egy- vagy két neutront találni. Mindhárom izotóp kémialilag hidrogén, de a tömeg¨ uk igencsak k¨ ulönbözik, ezért kémiai reakciókban is másképpen viselkednek, mert a nagyobb tömeg˝ u atomok kevésbé mozgékonyak. Egy adott elem valamely izotópja lehet stabil vagy instabil. Radioaktivno zraˇcenje se obiˇcno/ˇcesto javlja u prirodi u obliku kosmiˇckog zraˇcenja, odnosno kao posledica radioaktivnog zraˇcenja ˇciji je izvor u zemljinoj kori. Legtöbbször/s˝ ur˝ un észlelhet¨ unk rádióakt´ıv sugárzást a természetben, kozmikus sugárzás formájában, vagy olyan rádióakt´ıv sugárzás formájában melynek forrása földkéregben van. Nukleoni u atomskom jezgru popunjavaju dozvoljena stanja na naˇcin sliˇcan kao i elektroni u elektronskom omotaˇcu. U stabilnim jezgrima broj neutrona je jednak ili veći od broja protona u jezgru. Kako redni broj elementa raste,

´ ORV ¨ ENY ´ 4.3. ZAKON RADIOAKTIVNOG RASPADA / BOMLAST 115 tako raste i proseˇcan broj neutrona po protonu. Kao ˇsto ima sluˇcajeva vrlo stabilnih elektronskih omotaˇca (sluˇcaj idealnih gasova), tako ima i vrlo stabilnih nukleonskih konfiguracija. Navodim primer tzv. magiˇcnih brojeva, 2, 8, 20, 28, 50, 82, . . . . Jezgra u kojima je broj protona ili neutrona magiˇcan su vrlo stabilna. Ukoliko je i broj protona i broj neutrona magiˇcan, imamo sluˇcaj dvostruko magiˇcnih jezgara, He4 , O16 , Ca40 , Ca48 , N i48 , i P b208 koja su neobiˇcno stabilna. A nukleonok az atommagban hasonlóképpen töltik meg a lehetséges a´llapotokat mint ahogyan azt az elektronok az elektronhéjban teszik. Stabil atommagokban a neutronok száma legalább akkora mint a protonoké. A rendszám növekedésével a protonkénti átlagos neutronszám növekedik. Mint ahogyan léteznek kifejezetten stabil elektronhéj szerkezetek (gondoljanak a nemes gázokra), ugyan´ ugy léteznek nagyon stabil nukleon elrendezések is. Ezzel o¨sszef¨ uggésben megelml´ıtj¨ uk az u ń mágikus számokat, 2, 8, 20, 28, 50, 82, . . . . Azok az atommagok amelyekben a proton- vagy a neutronszám mágikus, nagyon stabilak. Amennyiben mint a proton-, mint a neutronszám mágikus, kétszeresen mágikus atommagokrol (He4 , O16 , Ca40 , Ca48 , N i48 , i P b208 ) beszél¨ unk, ezek kifejezetten stabilak. Obilje informacija o radioaktivnosti moˇze se naći u Wikipediji [1]. Rengeteg információ található a rádióaktivitásról a Wikipédiában, [1].

4.3

Broj neraspadnutih jezgara Az elnembomlott atommagok sz´ ama

Broj neraspadnutih jezgara se stalno smanjuje, odredimo kako se taj broj menja tokom vremena. Az elnembomlott atommagok száma folyamatosan csökken. Határozzuk meg az id˝obeli változását. A je aktivnost. / A az aktivitás. N oznaˇcava broj neraspadnutih jezgara. N a még el nem bomlott atommagok száma. λ je konstanta aktivnosti. λ az aktivitási állandó.

´ ÍV BOMLAS ´ 116 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKT

A=

dN dt

(4.1)

Aktivnost je proporcionalna broju neraspadnutih jezgara, tj. ˇsto je broj neraspadnutih jezgara veći, veća je i verovatnoća da u nekom vremenskom intervalu uoˇcimo raspad. Vezu izmedju verovatnoće i broja neraspadnutih jezgara daje kofecijent aktivnosti. Az aktivitás az elnembomlott atommagok számával arányos, azaz, minél nagyobb az elnembomlott magok száma, annál nagyobb az a valósz´ın˝ uség, hogy adott id˝ointervallumban rádióakt´ıv bomlást észlel¨ unk. A valósz´ın˝ uség és az elnembomlott atommagok száma közötti kapcsolatot az aktivitási állandó határozza meg. dN = −λN dt (22) ⇒ N = N (0) exp(−λt)

(4.2) (4.3)

Jedinica akivnosti je Bekerel, ˇsto je broj raspada u jednici vremena. Az aktivitás mértékegysége Bequerel, ami az egységnyi id˝o alatti bomlások száma. Zadatak / F¨ oladat Ukoliko element A radioakivnim raspadom predje u element B, i broj neraspadnutih jezgara elementa A se menja po zakonu (4.2) odnosno (4.3), odredite po kom zakonu se menja broj jezgara elementa B, ukoliko ih u poˇcetku nije bilo. Amennyiben valamilyen rádióakt´ıv bomlási folyamatban egy A elem B elemmé bomlik, és az A elem elnembomlott magjainak a száma (4.2) illetve (4.3) alapján változik, határozzák meg, milyen törvényszer˝ uség szerint változik a B elem magjainak a száma, amennyiben a kezdeti pillanatban nem léteztek B t´ıpus´ u atommagok.

4.3.1

Vreme poluraspada / Felez´ esi id˝ o

Neka je τ1/2 vreme za koje se poˇcetni broj neraspadnutih jezgara prepolovi. Uvrstimo ovu informaciju u zakon radioaktivnog raspada, (4.3).

ˇ 4.4. POZADINSKO ZRACENJE

´ ERSUG ´ ´ AS ´ HATT ARZ

117

Legyen τ1/2 az az id˝o ami alatt a kezdeti atommagok száma a felére csökken. Helyettes´ıts¨ uk be ezt az információt a rádióakt´ıv bomlás törvényébe, (4.3). . N0 = N0 exp(−λτ1/2 ) : N0 2 . 1 = exp(−λτ1/2 ) ln 2 . − ln 2 = −λτ1/2 · (−1)

(4.4) (4.5) (4.6)

Nalazimo vezu izmedju vremena poluraspada i konstante aktivnosti Ezek alapján a felezési id˝o és az aktivitási a´llandó közötti o¨sszef¨ uggés λτ1/2 = ln 2

(4.7)

Poˇsto se aktivnost relativno lako meri, ova veza je vaˇzna za odredjivanje vremena poluraspada onih jezgara za koje je to vreme veoma dugaˇcko. Npr. na osnovu ove relacije znamo da je vreme poluraspada 238 U viˇse nego 4 milijarde godina. Mivel az aktivitás aránylag könnyen mérhet˝o, ez az o¨sszef¨ uggés nagyon fontos a nagy felezési idej˝ u elemek felezési idejének a meghatározásához. Pl. ez alapján tudjuk, hogy a 238 U felezési ideje meghaladja a 4 milliárd évet.

4.4

Pozadinsko zraˇ cenje H´ att´ ersug´ arz´ as

U prirodi smo praktiˇcno svuda u većoj ili manjoj meri izloˇzeni zraˇcenju. Dva glavna izvora zraˇcenja kojima smo izloˇzeni su Svemir, kao izvor kosmiˇckog zraˇcenja, odnosno zemljina kora, kao izvor radioaktivnog zraˇcenja. Primarne kosmiˇcke zrake ˇcine naelektrisane ˇcestice velike energije, koje u sudarima sa ˇcesticama atmosfere mogu da stvore sekundarne kosmiˇcke zrake. Kosmiˇcki zraci najveći uticaj imaju u blizini Zemljinih magnetnih polova. Tu se ˇcesto moˇze uoˇciti interakcija kosmiˇckih zraka sa Zemljinim magnetnim poljem u vidu polarne svetlosti. U zemljinoj kori u većoj ili manjoj koncentraciji postoje nestabilni izotopi, koji svojim raspadom postaju izvor radioaktivnog zraˇcenja. Ima mesta na zemljinoj kugli gde je intenzitet pozadinskog radioaktivnog zraˇcenja izuzetno visok, naveˇsćemo primere Ramsara u Iranu, odnosno priobalnih podruˇcja u indijskoj drˇzavi Kerala.

´ ÍV BOMLAS ´ 118 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKT A természetben ki vagyunk téve a sugárzasnak. A természeti sugárzásnak két f˝o forrása a Világ˝ ur, mint a kozmikus sugárzás forrása és a földkéreg, mint a radióakt´ıv háttérsugárzás forrása. Az els˝odleges kozmikus sugarak nagy energiáj´ u töltött részecskék, amelyek másodlagos részecskéket kelthetnek a földi légkör részecskéivel u ¨tközve. A kozmikus sugarak hatásait leginkább a Föld mágneses pólusai közelében észlelhet˝ok. Gyakran megfigyelhet˝o a sarki fény, amely a kozmikus sugarak és a Földi mágneses tér kölcsönhatásának a következménye. A földkéregben kisebb vagy nagyobb mértékben instabil izotópok is léteznek, amelyek bomlásukkal radióakt´ıv forrásokká válnak. A földkerekségen vannak olyan helyek, ahol a háttérsugárzás inteznitása rendk´ıv¨ ul magas, példaként felsoroljuk az iráni Ramsar-t és Kerala indiai a´llam partmenti részeit.

4.5

Vrste radioaktivnog zraˇ cenja A r´ adioakt´ıv sug´ arz´ as oszt´ alyoz´ asa

Prilikom radioakivnog raspada javlja se viˇse vrsta zraˇcenja. Grubom podelom zraˇcenja moˇzemo razvrstati na α, β i γ zraˇcenje. Radióakt´ıv bomlásnál többféle sugárzás észlelhet˝o. Durva osztályozás alapján α, β és γ sugárzást k¨ ulönböztet¨ unk meg.

4.5.1

Klasifikacija radioaktivnih raspada A radi´ oakt´ıv boml´ asok oszt´ alyoz´ asa

Atomska jezgra u procesima radioaktinih raspada prelaze iz nestabilnih u stabilne izotope. Dato jezgro moˇze da predje u druga jezgra na viˇse razliˇcitih naˇcina, npr. s verovatnoćom p1 u procesu Π1 i s verovatnoćom p2 u procesu Π2 , uz uslov p1 + p2 = 1. Az atommagok rádióakt´ıv bomlási folyamatokban kevésbé stabil izotópokból stabil izotópokká alakulnak a´t. Egy adott atommag többféleképpen alalkulhat át másmilyen atommaggá. Pl. p1 valósz´ın˝ uséggel valamilyen Π1 folyamatban és p2 valósz´ın˝ uséggel valamilyen Π2 folyamatban, azzal, hogy p1 + p2 = 1.

ˇ ´ AS ´ 4.5. α, β, γ ZRACENJE / α, β, γ SUGARZ

119

α raspad / α boml´ as U procesu α raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe helijumovo jezgro, pri tome mu se atomski broj umanji za 4, a redni broj za 2. α bomlási folyamatban az X elem atommagja kivet magából egy hélium atommagot, eközben az atomszáma 4-el, a rendszáma pedig 2-vel csökken.

ZX

A

→ Z−2 Y A−4 + 2 He4

(4.8)

β − raspad / β − boml´ as U procesu β − raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe jedan elektron, pri tome mu se atomski broj ne menja, a redni mu se broj se uveća za 1. β − bomlási folyamatban az X elem atommagja kivet magából egy elektront, eközben az atomszáma nem változik, a rendszáma pedig 1-el növekszik.

ZX

A

→ Z+1 Y A + e− + ν e

(4.9)

ν e oznaˇcava elektronski antineutrino, ˇcesticu koja oseća samo gravitacionu i slabu silu, i vrlo slabo interaguje sa ”obiˇcnom” materijom. ν e az elektron antineutr´ınó, egy olyan részecske amelyik csak a gravitációs és gyönge kölcsönhatást érzi, ezért a ”közönséges” anyaggal alig van kölcsönhatásban. β + raspad / β + boml´ as U procesu β + raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe jedan antielektron, ˇcesticu koja ima masu elektrona i pozitivan naboj, i pri tome mu se atomski broj ne menja, a redni mu se broj se smanji za 1. β + bomlási folyamatban az X elem atommagja kivet magából egy antielektront, egy eletron tömeg˝ u, pozit´ıv töltet˝ u részecskét és eközben az atomszáma nem változik, a rendszáma pedig 1-el csökken.

ZX

A

→ Z−1 Y A + e+ + νe

(4.10)

νe oznaˇcava elektronski neutrino, ˇcesticu koja oseća samo gravitacionu i slabu silu, i vrlo slabo interaguje sa ”obiˇcnom” materijom.

´ ÍV BOMLAS ´ 120 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKT νe az elektron neutr´ınó, egy olyan részecske amelyik csak a gravitációs és gyönge kölcsönhatást érzi, ezért a ”közönséges” anyaggal alig van kölcsönhatásban. Antineutrino je antiˇcestica neutrina. Az antineutrino a neutrino antierészecskéje.

Prikaz radioaktivnih raspada u N-Z ravni. Rádióakt´ıv bomlási csatornák a´brázolása N-Z s´ıkban. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tryby rozpadu promieniotworczego.svg

4.5.2

Nuklearna fisija i fuzija Nukle´ aris f´ıszi´ o´ es f´ uzi´ o

Nuklearne reakcije u kojima se teˇska atomska jezgra raspadaju na lakˇsa jezgra zovu se zbirnim imenom nuklearna fisija (cepanje jezgara). Nuklearne reakcije u kojima se lakˇsa jezgra spajaju i grade teˇza jezgra zove se nuklearna fuzija (stapanje jezgara). Spontano se odvijaju sledeće reakcije: fisija teˇskih i fuzija lakih jezgara.


121

Prikaz nizova radioaktivnih raspada. Rádióakt´ıv bomlási sorozatok a´brázolása. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Radioactive decay chains diagram.svg

´ ÍV BOMLAS ´ 122 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKT Azokat a nukleáris reakciókat amelyekben nehéz atommagok könnyebb atommagokká bomlanak nukleáris f´ıszió nak h´ıvjuk (maghasadás). Azokat a nukleáris reakciókat amelyekben könny˝ u atommagok olvadnak o¨ssze nehéz atommagokká nukleárisf´ uzió nak h´ıvjuk. Spontán módon a nehéz atommagok f´ısziója és a könny˝ u magok f´ uziója megy végbe. Reakcije nuklearne fisije se koriste za dobijanje energije u nuklearnim centralama. Reakcija fuzije se odvija u zvezdama, to je npr. mehanizam u kojem se oslobadja energija kojom Sunce greje Zemlju. A maghasadást nukleáris reaktorokban használják a´ramtermelésre. Nukleáris f´ uzió az a mechanizmus amellyel a csillagok energiát termelnek, pl. ilyen mechanizmus a´ltal termel˝odik az az energia amelyet a Nap sugároz a Földre. Energija koja se oslobodi u nuklearnim reakcijama potiˇce od razlike u energiji veze po nukleonu. Npr. u nuklearnoj fisiji se po jedinici mase oslobodi nekoliko stotina miliona puta viˇse energije nego u oksidacionim reakcijama. Energija po jedinici mase koja se oslobodi u nuklearnoj fuziji je viˇsestruko veća od energije (po jedinici mase) koja se oslobodi u nuklearnoj fisiji. Oslobodjena energija se javlja kao kinetiˇcka energija produkata fisije i kao energija oslobodjnog (elektrmagnetnog) zraˇcenja. A magreakciókban felszabaduló energia a nukleonkénti a´tlagos kötesi energiák közti k¨ ulönbségb˝ol ered. Pl. maghasadásnál egységnyi tömegb˝ol néhány száz milliószor nagyobb mennyiség˝ u energia szabadul föl mint okszidációs folyamatokban. A (mag)f´ uzióban (egységnyi tömegként) felszabaduló energia többszöröse a maghasadásban felszabaduló energiának. A felszabaduló energia a bomlási termékek mozgási energiájában és (elektromágneses) sugárzási energiában nyilvánul meg. Zbir masa mirovanja (mp ) produkata fisione reakcije je manja(!) od (poˇcetne) mase mirovanja (mg ) fisionog materijala (goriva) - javlja se defekt mase ∆m = mg − mp > 0! Na osnovu Ajnˇstajnove relacije koja povezuje masu i energiju (4.11) zakljuˇcujemo da defektu mase odgovara oslobodjena energija (veze), ∆mc2 . Amennyiben o¨sszeadjuk a maghasadás végtermékeinek (nyugalmi) tömegeit (mvt ), az összeg kisebb(!) lesz mint a kezdeti hasadó anyag (nyugalmi) tömege (muä ). A hiányzó tömeg (∆m = muä − mvt > 0!) a felszabaduló kötési energia (∆mc2 ), a kett˝ot Einstein tömeg és energia közötti kapcsolata (4.11) köti o¨ssze. E = mc2

(4.11)


123

Energija veze po nukleonu je prikazana na slici 4.1. Vidimo da ima maksimum u blizini jezgra gvoˇzdja, i da kriva strmije raste s leva nego s desna. To je i razlog zaˇsto se u fuziji oslobodi veća koliˇcina energije nego u fisiji. A nukleonkénti kötési energia görbéjét a 4.1 a´bra szemlélteti. Látjuk, hogy a görbe maximuma a vas körul van, továbbá a görbe balról sokkal gyorsabban növekedik mint jobbról. Ez az oka annak, hogy f´ uzióban nagyobb energia szabadul föl mint maghasadásban. U praksi za dobijanje energije reakcijom nuklearne fisije dolazi u obzir

Figure 4.1: Energija veze po nukleonu. Nukleonkénti kötési energia. cepanje jezgara urana ili torijuma. Tehnologija uranijumskih reaktora je razradjena, dok se torijumski reaktori upravo razvijaju. A gyakorlati alkalmazásban energiaforrásként uránium és thórium has´ıtása jöhet szöba. Az urániumos reaktorok technológiája már létezik, a thóriumos reaktorokat mostanában fejlesztik. Cepanje jezgra U 235 se odvija u sledećoj reakciji (vidi sl. 4.2): Az U 235 mag hasadása a következ˝o reakcióban megy végbe (ld. a 4.2 ábrát):


U 235 + n → U 236 → Kr92 + Ba141 + 3n

(4.12)

Krajnje pojednostaljeno, jezgro urana 235 moˇze da zahvati neutron samo ukoliko je neutron dovoljno spor. Nakon zahvatanja neutrona nastaje izuzetno nestabilno jezgro urana 236 koje se praktiˇcno trenutno raspada (najˇceˇsće) na izotope kriptona i barijuma i dodatno se oslobadjaju tri neutrona. Ukoliko postoji medijum (npr. teˇska voda) koji moˇze da uspori novooslobodjene neutrone reakcija cepanja jezgara urana 235 se nastavlja. A végs˝okig leegyszer˝ us´ıtve, a 235 uránium izotóp csak a lass´ u neutronokat tudja befogni. A befogott neutron egy nagyon instabil uránium izotópot hoz létre, az uránium 236-ost, amely gyakorlatilag pillanatszer˝ uen fölbomlik. A bomlási termék leggyakrabban egy kripton és egy bárium izotóp és további három neutron. Amennyiben van egy megfelel˝o közeg, (pl. nehéz v´ız) amely lelass´ıthatja a kiszabadult neutronokat, az uránium 235 hasadása folytatódhat. Da bi se reakcija fisije odvijala kontrolisano, od tri oslobodjena neutrona po cepanju svakog jezgra U 235 potrebno je zahvatiti (barem) dva. Hogy a maghasadás szabályozottan mehessen végbe, minden U 235 mag hasadásánál fölszabadult három neutronból (legalább) kett˝ot be kell fogni. Na slici 4.3 je predstavljena reakcija nuklearne fuzije vodonika u helijum (jednaˇcine 4.13 - 4.15) koja se odigrava u mladjim zvezdama sliˇcnim suncu. Vezano stanje protona (p) i neutrona (n) je jezgro teˇskog vodonika ili deuterijuma (D), e+ je pozitron, γ je foton. A 4.3 a´brán a naphoz hasonló, aránylag fiatal csillagokban végbemen˝o hidrogénb˝ol héliumot termel˝o f´ uziós reakció (4.13 - 4.15 egyenletek) van bemutatva. Egy proton (p) és egy neutron (n) kötött állapota a nehéz hidrogén avagy deutérium (D) mag, e+ a pozitron, γ pedig foton.

2p → pn +e+ + ν

(4.13)

|{z} D

D + p → ppn +γ

(4.14)

|{z}

3 2 He

3

22 He → 2 He4 + 2p

(4.15)


125

ˇ Figure 4.2: Sematski prikaz cepanja jezgra urana 235, [19]. A 235-os uránium atommag hasadásának sematikus a´brázolása, [19]. Primetimo da se u pretposlednjem koraku sudaraju dva izotopa helijuma, 3 ceva praˇsina (regolit) je bogata tim izotopom, i to je jedan 2 He . Meseˇ od osnovnih razloga zbog koga mnoge zemlje razmiˇsljaju o ponovnim ili novopokrenutim misijama na Mesec. Taj izotop helijum će biti vrlo verovatno biti koriˇsćen kao gorivo u budućim fuzionim reaktorima. Vegy¨ uk észre, hogy az utolsó el˝otti lépésben két hélium izotóp u ¨tközik, 3 nevezetesen 2 He . A holdpor ebben az izotópban igen gazdag. Ez a legf˝obb oka annak, hogy néhány ország miért tervezi fel´ uj´ıtani illetve elkezdeni a holdprogramját. Ezt a héliumizotópot nagy valósz´ın˝ uséggel u ¨zemanyagként fogják használni a közeljöv˝oben kifejlesztend˝o f´ uziós reaktorokban. 3 Ukoliko u zvezdama pored vodonika postoji i mala koliˇcina ugljenika, azota i kiseonika, nuklearna fuzija se paralelno odvija i u drugoj reakciji, tzv. Be3

U Suncu i Suncu sliˇcnim zvezdama vodonik ˇcini viˇse od 95 % ukupne mase.


Figure 4.3: Nuklearna reakcija pretvaranja vodonika u helijum. Hidrogénb˝ol héliumot termel˝o magreakció.


127

teovom ciklusu, u kojoj navedena jezgra imaju ulogu katalizator a, tj. u ˇ Beteovom ciklusu se koliˇcina ugljenika, azota i kiseonika ne menja. Sematski prikaz Beteovog ciklusa moˇze se videti na slici 4.4. Amennyiben a csillagokban hidrogén4 mellett jelen van a szén, nitrogén és oxigén, a magreakció az el˝oz˝o reakcióval párhuzamosan is végbemehet u ´gy, hogy a felsorolt elemek abban katalizátor ként viselkednek, azaz a Betheciklusban a szén, nitrogén és az oxigén mennyisége nem változik. Ezt a reakciót h´ıvjuk Bethe-ciklusnak. A Bethe-ciklus a´brázolása a 4.4 ábrán látható.

Figure 4.4: Beteov ciklus. Bethe-ciklus.

4

A Nap és Napszer˝ u csillagok t¨ omegének több mint 95%-a hidrogén.


Bibliography [1] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactivity [2] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Interference [3] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Diffraction [4] http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html [5] http://en.wikipedia.org/wiki/File:EM_Spectrum_Properties_ edit.svg [6] http://commons.wikimedia.org/wiki/File: Electromagnetic-Spectrum.png [7] http://en.wikipedia.org/wiki/Debye_model [8] http://commons.wikimedia.org/wiki/Spherical_harmonic [9] http://www.youtube.com/watch?v=YKjFPpuK-Jo [10] http://www.youtube.com/watch?v=2Z6UJbwxBZI [11] http://t3.gstatic.com/images?q=tbn: ANd9GcQXpCqPoOkeIDpdPtK4Nljh7g3qRnFxfUOIwLa6M9hqMzbzXZCy [12] http://tasmancoast.files.wordpress.com/2007/09/ wave-diffraction.jpg [13] internet [14] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/X-ray_ diffraction_pattern_3clpro.jpg 129

130

BIBLIOGRAPHY

[15] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/b/ ba/Meissner_effect.ogv/Meissner_effect.ogv.360p.webm [16] http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/ historic-papers/1901_309_553-563.pdf [17] http://bourabai.kz/articles/planck/planck1901.pdf [18] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Cavity_ radiation.jpg [19] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Nuclear_fission.svg

Contents 0.1

Podsetnik/Emlékeztet˝o: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Geometrijska optika Geometriai optika 1.1 Fermaov princip Fermat-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Zakon prelamanja svetlosti A fénytörés törvénye . . . . . . . . . . 1.2 Svetlovod / Fényvezet˝o . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Primer / Példa . . . . . . . . . . . . . 1.3 Gausova optika Gauss-féle optika . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Kardinalni elementi soˇciva A lencse kardinális elemei . . . . . . . 1.3.2 Soˇcivo, drugi put / Lencse, másodszor 1.3.3 Predznaci / El˝ojelek . . . . . . . . . . 1.3.4 Jednaˇcina soˇciva / Lencseegyenlet . . . 2 Talasna optika / Hull´ amoptika 2.1 EM talasi / EM hullámok . . . . . 2.1.1 Zadatak / Föladat . . . . . 2.2 Izbijanje / Lebegés . . . . . . . . . ´ ohullámok . . . . 2.3 Stojeći talasi / All´ 2.4 Polarizacija Polarizáció . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Zadatak / Föladat . . . . . 2.5 Intenzitet svetlosti / Fényintenzitás 2.6 Interferencija/Interferencia . . . . . 131

2

5 . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 9

. . . . . . . . . 12 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

18 19 19 21

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

23 23 27 27 29

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

33 34 35 36

132

CONTENTS 2.6.1

2.7

Jangov eksperiment Young-féle k´ısérlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Jangov eksperiment sa viˇse proreza Young-féle k´ısérlet több réssel . . . . . . . . . . . 2.6.3 Interferencija na planparalelnom sloju Interferencia planparalell rétegen . . . . . . . . . 2.6.4 N-tostruka interferencija na planparalelnom sloju N-szeres interferencia planparalell rétegen . . . . 2.6.5 Interferencije u primeni Interferencia a gyakorlati alkalmazásban . . . . . Difrakcija/Diffrakció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Dugaˇcak prorez ˇsirine b / Hossz´ u, b szélesség˝ u rés 2.7.2 Difrakciona reˇsetka / Diffrakciós rács . . . . . . . 2.7.3 Primena difrakcije u ispitivanju osobina materijala A diffrakció alkalmazása anyagtulajdonsági vizsgálatokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Kvantna teorija Kvantumelm´ elet 3.1 Uvod / Bevezet˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Energija elektromagnetnih talasa Az elektromágneses hullámok energiája . . . . . . . 3.3 Plankov zakon / Planck törvény . . . . . . . . . . . 3.3.1 Rejli-Dˇzinsov zakon/Rayleigh-Jeans-törvény 3.3.2 Vinov zakon / Wien-törvény . . . . . . . . . 3.3.3 Plankov zakon zraˇcenja Planck-féle sugárzási törvény . . . . . . . . . 3.3.4 Vinov zakon pomeranja Wien-féle elmozdulási törvény . . . . . . . . ˇ 3.3.5 Stefan-Bolcmanov zakon Stefan-Boltzmann-féle törveny . . . . . . . . 3.3.6 Primena zakona zraˇcenja Sugárzási törvények alkalmazása . . . . . . . 3.4 Borov model atoma Bohr-féle atom modell . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Objaˇsnjenje linijskih spektara A vonalspektrumok magyarázata . . . . . .

. . . 40 . . . 41 . . . 44 . . . 47 . . . .

. . . .

. . . .

49 51 51 56

. . . 57

61 . . . . . . 61 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

62 62 64 64

. . . . . . 65 . . . . . . 68 . . . . . . 69 . . . . . . 70 . . . . . . 70 . . . . . . 75

CONTENTS 3.5

3.6

3.7

133

ˇ Sredingerova jednaˇcina Schrödinger egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.1 Osnovni pojmovi Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5.2 Operatori, oˇcekivane vrednosti, i ”kako do njih” Operátorok, várható értékek, és hogyan ”érjuk el” azokat 79 ˇ 3.5.3 Sredingerova jednaˇcina, bis Schrödinger egyenlet, bis . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ˇ 3.5.4 Stacionarna Sredingerova jednaˇcina Stacionáris Schrödinger egyenlet . . . . . . . . . . . . . 84 3.5.5 Svojstvene vrednosti i svojstveni vektori Sajátértékek és sajátvektorok . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5.6 Primer: Slobodna ˇcestica / Példa: Szabad részecske . . 92 3.5.7 Primer: Slobodna ˇcestica u kutiji / Példa: Bedobozolt szabad részecske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Hajzenbergove relacije / Heisenberg-relációk . . . . . . . . . . 98 3.6.1 Operator momenta impulsa Impuzusmomentum operátor . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.6.2 Kvantni rotator Kvantum rotátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Kvantna i klasiˇcna fizika / Kvantum és klasszikus fizika . . . . 107

4 Radioaktivni raspad Radi´ oakt´ıv boml´ as 4.1 Elementarne ˇcinjenice o strukturi materije Elemi tények az anyagszerkezetér˝ol . . . . . . 4.2 O atomskom jezgru. Az atommagról . . . . . 4.3 Zakon radioaktivnog raspada / Bomlástörvény 4.3.1 Vreme poluraspada / Felezési id˝o . . . 4.4 Pozadinsko zraˇcenje Háttérsugárzás . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 α, β, γ zraˇcenje / α, β, γ sugárzás . . . . . . 4.5.1 Klasifikacija radioaktivnih raspada A radióakt´ıv bomlások osztályozása . . 4.5.2 Nuklearna fisija i fuzija Nukleáris f´ıszió és f´ uzió . . . . . . . . .

111

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

111 112 115 116

. . . . . . . . . 117 . . . . . . . . . 118 . . . . . . . . . 118 . . . . . . . . . 120

Jegyzet 2013

Recommend Documents