Kapitola 1 Elementární plochy 1.1
Základní pojmy
Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme získt známá tělesa (hranol, jehlan, válec nebo kužel). Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k ⊂ σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s 6k σ), a je tvořena přímkami – površkami, které protínají lomenou čáru k a jsou směru s.(obr. 1.1) Jehlanová plocha je určena lomenou čarou k (k ⊂ σ) a bodem V , který neleží v rovině dané křivky (V 6∈ σ), a je tvořena přímkami – površkami, které protínají lomenou čáru k a procházejí bodem V .(obr. 1.2) Válcová plocha je určena rovinnou křivkou k (k ⊂ σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s 6k σ), a je tvořena přímkami – površkami, které protínají křivku k a jsou směru s.(obr. 1.3 a 1.5) Kuželová plocha je určena rovinnou křivkou k (k ⊂ σ) a bodem V , který neleží v rovině dané křivky (V 6∈ σ), a je tvořena přímkami – površkami, které protínají křivku k a procházejí bodem V .(obr. 1.4 a 1.6) Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r.
1.2
Řezy na elementárních plochách
K určení řezů na elementárních plochách je vhodné si zopakovat znalosti o osové afinitě a středové kolineaci (viz kapitoly ??, ??). Řez na elementární ploše najdeme pomocí následujícího algoritmu: • Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: 1. Sestrojíme průsečnici roviny podstavy a roviny řezu. (o = ρ ∩ σ) 2. Sestrojíme jeden bod řezu tj. průnik jedné hrany s rovinou ρ. (metoda krycí přímky)
1
1.2. Řezy na elementárních plochách
2
Obrázek 1.1:
Obrázek 1.2:
Obrázek 1.3:
Obrázek 1.4:
3. Další body můžeme sestrojit také jako průniky jednotlivých hran s rovinou řezu, ale jednodušší a rychlejší metodou je použití afinity pro hranolovou a kolineace pro jehlanovou plochu. a) V případě hranolové plochy sestrojíme další body řezu pomocí osové afinity určené osou o = ρ ∩ σ, směrem, který je rovnoběžný s hranami (neležícími v rovině podstavy) a dvojicí bodů, kterou tvoří bod podstavy a bod řezu, ležící na jedné hraně. Body řezu jsou obrazy vrcholů podstavy. b) V případě jehlanové plochy sestrojíme další body řezu pomocí středové kolineace. Kolineace je určena osou o = ρ ∩ σ, středem, kterým je vrchol jehlanu a dvojicí bodů, kterou tvoří bod podstavy a bod řezu, ležící na jedné hraně. Body řezu jsou obrazy vrcholů podstavy. • Je-li dána válcová nebo kuželová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ, zvolíme dostatečný počet površek a najdeme body řezu jako v případě hranolové a jehlanové plochy. (Aproximujeme plochu válcovou plochou hranolovou a plochu kuželovou plochou jehlanovou.) Získanými body proložíme křivku řezu. Příklad 1.1 Sestrojte řez jehlanu ABCDV , který má podstavu ABCD v půdorysně,
1.2. Řezy na elementárních plochách
Obrázek 1.5:
3
Obrázek 1.6:
rovinou ρ určenou stopami. - obr.1.7.
Obrázek 1.7:
Obrázek 1.8:
Řešení: (obr.1.8) 1. Najdeme průsečnici roviny řezu a roviny podstavy, tou je půdorysná stopa roviny ρ. 2. Určíme průsečík přímky AV s rovinou ρ. a) b) c) d)
Zvolíme půdorysně krycí přímku s1 = AV1 . Určíme stopníky P a M krycí přímky s (P ∈ pρ , M1 ∈ y, M ∈ mρ ). Body P a M určují přímku s. Průsečík přímek s a AV je hledaným průsečíkem A0 .
1.2. Řezy na elementárních plochách
4
3. Body B 0 , C 0 , D0 získáme pomocí kolineace určené osou o = pρ , středem S = V a párem odpovídajících si bodů A, A0 . Příklad 1.2 Sestrojte řez hranolu, jehož podstava ABCDE leží v rovině xz a hrany jsou rovnoběžné s osou y, rovinou ρ určenou stopami. - obr.1.9. Řešení: (obr.1.10) 1. Najdeme průsečnici roviny řezu a roviny podstavy, tou je nárysná stopa roviny ρ. 2. Protože rovina řezu protíná podstavu ABCDE (protíná ji stopa nρ ), určíme dva body řezu jako průsečíky stopy nρ s podstavou. 3. Určíme průsečík B ∗ přímky BB 0 s rovinou ρ. 4. Body C ∗ , D? , E ? získáme jako obrazy bodů C, D, E v afinitě určené osou o = nρ a párem odpovídajících si bodů B, B ∗ .
Obrázek 1.9:
Obrázek 1.10:
• Řezem kulové plochy rovinou ρ je kružnice (potřebujeme znát rovinu, střed, poloměr) Sestrojíme kolmici k: k ⊥ ρ, S ∈ k. Určíme průsečík O: O = k ∩ ρ, dostáváme střed řezu. Vypočítáme poloměr R: Zjistíme |OS| (skutečnou velikost úsečky) a potom R = p 2 2 r − |OS| . 4. Řezem je kružnice : l ≡ (O, R). 1. 2. 3.
1.3. Průsečíky přímky s plochou
Obrázek 1.11:
1.3
5
Obrázek 1.12:
Průsečíky přímky s plochou
1. Proložíme přímkou p libovolnou rovinu ρ 2. Najdeme řez plochy (tělesa) rovinou ρ 3. Najdeme průsečíky přímky p a řezu Aby byl řez co nejjednodušší volíme jako rovinu ρ tzv. vrcholovou rovinu, která • pro kužel a jehlan prochází vrcholem (a přímkou p) • pro válec a kužel je rovnoběžná s površkami (a prochází přímkou p) Příklad 1.3 Sestrojte průsečík přímky p s kuželem, jehož podstava leží v rovině xy a vrcholem je bod V . - obr.1.13. Řešení: (obr.1.14) 1. Přímkou p proložíme vrcholovou rovinu ρ(p, V ). Podstava kužele je v půdorysně, potřebujeme tedy půdorysnou stopu roviny ρ a) b) c) d)
Určíme stopník P přímky p. Zvolíme bod M na přímce p. Určíme stopník P 0 přímky V M . Spojnice stopníků P 0 a P je půdorysná stopa roviny ρ.
2. Stopa pρ protne podstavu ve dvou bodech, které spojíme s vrcholem a získáme řez kužele vrcholovou rovinou. 3. Průnik řezu a přímky p jsou body X, Y . V těchto bodech protíná přímka p kužel. Příklad 1.4 Sestrojte průsečík přímky p s hranolem, jehož podstava leží v rovině xz a hrany jsou rovnoběžné s osou y. - obr.1.16.
1.3. Průsečíky přímky s plochou
Obrázek 1.13:
6
Obrázek 1.14:
Řešení: (obr.1.17) 1. Přímkou p proložíme vrcholovou rovinu ρ. Podstava hranolu je v nárysně, potřebujeme tedy nárysnou stopu roviny ρ a) b) b) c) d)
Určíme nárysný stopník N přímky p. Zvolíme bod M na přímce p. Bodem M vedeme rovnoběžku q s hranou BB 0 . Určíme stopník N 0 přímky q. Spojnice stopníků N 0 a N je nárysná stopa roviny ρ.
2. Stopa nρ protne podstavu ve dvou bodech, kterými vedeme rovnoběžky s hranami a získáme řez hranolu vrcholovou rovinou. 3. Průnik řezu a přímky p jsou body X, Y . V těchto bodech protíná přímka p hranol.
1.3. Průsečíky přímky s plochou
7
10 8 6 4 2 0 2
2 4
4
6 8
6
10 8 10
Obrázek 1.15:
Obrázek 1.16:
Obrázek 1.17:
