JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

Matematika

ÉRETTSÉGI VIZSGA ” 2014. május 6. EMBERI ER FORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA

MATEMATIKA

középszint Javítási-értékelési útmutató 1211

Fontos tudnivalók

Javítási-értékelési útmutató

írásbeli vizsga 1211

2 / 13

2014. május 6.

1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltér megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenérték& részeit, és ennek alapján pontozzon. 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következ részpontszámokat meg kell adni. 4. Elvi hibát követ en egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kett s vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következ gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 5. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes érték& a megoldás. 6. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhet . 7. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre el írt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 8. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 9. A vizsgafeladatsor II. B részében kit&zött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhet . A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehet leg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelel en a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelm&en, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kit&zött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni.

Tartalmi kérések:

1. A dolgozatot a vizsgázó által használt szín&t l eltér szín& tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelel en jelölni a hibákat, hiányokat stb. 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az els ben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette lev téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelel téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti.

Formai el írások:

Matematika — középszint

2 pont Nem bontható. 2 pont

2 pont Nem bontható. 2 pont

1 pont 1 pont Ha a grafikonról olvassa le a vizsgázó, akkor is jár 1 pont ez a 2 pont. 3 pont

3 -e. 4 2 A kör területe 3 ⋅ π (≈ 28,27 cm2). 27 A körcikk területe: ⋅ π (≈ 21,2) cm2. 4


3 / 13

Összesen:

3 pont

2014. május 6.

1 pont Ha a vizsgázó π értékét jól kerekítve használja, 1 pont akkor ez a 2 pont jár.

1 pont

1 pont 3 pont

A 270º a 360º-nak

1

Ha tudja, hogy 2 = 2 2 , 2 pont akkor 1 pontot kap.

2 pont

A = { 0 ;1; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

7.


2 pont Ha tudja, hogy a 35-öt hét egyenl részre kell 2 pont osztani, akkor 1 pontot kap.

1 pont 1 pont Összesen:

Összesen:

Összesen:

Összesen:

Összesen:

Összesen:

I.

5− x ≥ 0 (0 ≤) x ≤ 5 , ( x ∈ Z)

6.

A fokszámok összege: 14.

5.

A dolgozatot (33 =)27 tanuló írta meg.

4.

a) A (0; 4) pontban vagy ( y =)4 -nél. b) − 2 x + 4 = 6 x = −1

3.

x =1

2.

15 fiú van az osztályban.

1.


2

0,1

1

0

3

0,35

4

0,4


(Az AC átló felezi a BCD szöget.) Az ACD szög 60º-os, és ACD háromszög egyenl szárú, vagyis a háromszög szabályos. A keresett átló hossza ezért 6 cm.

12.

B)

11.

7⋅ 3 ≈ 6,1 A gömb sugara tehát 2

5

0,15

Összesen:

Összesen:

4 / 13

Összesen:

Összesen:

Összesen:

A kocka testátlójának hossza: 7 ⋅ 3 (≈ 12,1)

A gömb sugara a kocka testátlójának fele.

10.

A) igaz B) hamis C) igaz

9.

osztályzat relatív gyakoriság

8.


Ha nem jól kerekít, ez a pont nem jár.

1 pont 3 pont

2014. május 6.

1 pont A feladat szövegének megfelel jó ábráért 1 pont 1 pont jár.

2 pont 2 pont

3 pont

1 pont

Ha csak a számolásból 1 pont látszik ez a gondolat, akkor is jár az 1 pont. Ha megfelel közelít 1 pont értéket használ, jár az 1 pont.

1 pont 1 pont 1 pont 3 pont

Az adatok más formában (tört, %) történ helyes megadása esetén is jár 2 pont a 2 pont. 1 hibás érték esetén 1 pont, 1-nél több hiba esetén nem jár pont. 2 pont


2 pont

1 pont Ez a 2 pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Nem bontható.

Ez a pont akkor is jár, ha 1 pont ez a gondolat csak a megoldásból derül ki.

6 pont

1 pont

1 pont

1 pont

1 pont

1 pont




13 / 13

2014. május 6.

§ 5· A nem megfelel kiválasztások száma ¨¨ ¸¸(= 10) . 1 pont © 3¹ A megfelel kiválasztások száma így 35 − 10 = 25 . 1 pont Összesen: 6 pont Ha a vizsgázó a helyes eredményre a különböz kiválasztások rendszerezett felsorolásával jut el, akkor is jár a 6 pont. Ha az eseteket felsorolja, akkor minden hibás eset felírása, illetve minden helyes eset kihagyása esetén 1-1 pontot le kell vonni (összesen legfeljebb 6 pontot).

ezek közül nem megfelel ek azok, amikor csak fiúkat választ ki.

A megfelel kiválasztások számát megkapjuk, ha az összes lehetséges kiválasztások számából kivonjuk azokat, amelyek nem megfelel ek. §7· A 7 barát közül 3-at ¨¨ ¸¸(= 35) -féleképpen lehet ©3¹ kiválasztani,

18. c) második megoldás

Két lehet séget kell vizsgálni: 2 fiúnak és 1 lánynak vagy 1 fiúnak és 2 lánynak ad virágot. §5· Az 5 fiú közül kett t ¨¨ ¸¸(= 10) , a 2 lány közül egyet © 2¹ 2-féleképpen tud kiválasztani, vagyis az els esetben 10 ⋅ 2 = 20 különböz lehet sége van. Az 5 fiú közül egyet 5, a 2 lány közül kett t egyféleképpen tud kiválasztani, vagyis a második esetben 5 különböz lehet sége van. (Az összes lehet ség ezek összege), vagyis 20 + 5 = 25 -féleképpen választhat. Összesen:

18. c) els megoldás


Összesen:


12 / 13

(A logikai szita formula alapján:) 32 = x + x + x − (4 + 3) x = 13 (A fehér színt összesen 13-an választották, ebb l 13 − 7 =) 6 diák csak a fehér színt jelölte meg. Összesen:

S = F = B =x

S ∩ B = 0 (és S ∩ B ∩ F = 0 ).

A sárga színt választók halmazát S-sel, a fehéret választók halmazát F-fel és a bordót választók halmazát B-vel jelölve: S ∩ F = 4 és B ∩ F = 3 , továbbá

18. b) harmadik megoldás

3 y + 14 = 32 y=6 6 diák jelölte meg csak a fehér színt.

Venn-diagram, mint az els megoldásnál. (A csak a fehér színt választók számát y-nal jelölve:)

18. b) második megoldás


8 pont

1 pont

1 pont

2 pont

2 pont

2 pont


2 pont

2 pont

2014. május 6.


II. A

Az új változó bevezetése nélkül is jár a pont 1 pont az egyenlet helyes átrendezése esetén. 1 pont

5 pont

1 pont

1 pont

1 pont

1 pont

Ha a vizsgázó nem vizsgálja az értelmezési tartományt, de a gyök 1 pont helyességér l pl. behelyettesítéssel meggy z dik, akkor ezt a pontot is megkapja.



5 / 13

2014. május 6.

Az egyenlet gyökei a1 = 4 , 1 és a 2 = − . 1 pont 2 Az a = cos x = 4 nem ad megoldást, (mert cos x ≤ 1 .) 1 pont 1 A cos x = − egyenlet megoldásai [ 0 ; 2π ] -n: Ha a vizsgázó az egyenlet 2 1 pont* mindkét gyökét helyesen 2π adja meg fokban x1 = , 3 ( x1 = 120° és x 2 = 240° ), 4π x2 = . 1 pont* akkor 1 pontot kap. 3 Ellen rzés (például behelyettesítéssel). 1 pont Összesen: 7 pont Az egyenlet gyökeinek helyes felírása, de a megadott alaphalmaz figyelmen kívül hagyása (például végtelen sok gyök vagy negatív gyök megadása) esetén a két, *-gal jelölt pontból csak 1 pont adható.

a = cos x (ahol − 1 ≤ a ≤ 1 ) helyettesítéssel: 2a 2 − 7 a − 4 = 0 .

13. b)

A logaritmus megfelel azonosságának helyes alkalmazása. (A logaritmus függvény kölcsönösen egyértelm&.) 7 x + 18 = 9 (vagy 7 x + 18 = 9 x ) x x=9 Ellen rzés behelyettesítéssel vagy az x > 0 feltétel felírása mellett az ekvivalens átalakításokra való hivatkozás. Összesen:

Értelmezési tartomány: x > 0 .

13. a)


1816 ≈ 64,86 . 28


A kedvez esetek száma: 2 ⋅ 4(= 8) . Az összes eset száma: 6 ⋅ 5(= 30) . 8 A kérdéses valószín&ség: P = (= 0,26) . 30

14. c) els megoldás

„Kiváló” min sítést érdemel 6 osztály, „Nagyon jó”-t 13, „Jó” min sítést kap 9 osztály. Az oszlopdiagram:

14. b)

6 / 13

Összesen:

Összesen:

61 + 65 = 63 . 2 A válasz: igen, az átlag és a medián legalább 1 ponttal eltér egymástól. Összesen:

Mivel az adatok száma páros, ezért a medián a nagyság szerint sorba rendezett adatok közül a két középs számtani közepe:

=

Az adatok átlaga: 83 ⋅ 2 + 76 ⋅ 4 + 69 ⋅ 2 + ... + 58 ⋅ 4 + 56 ⋅ 4 + 55 = 28

14. a)


2014. május 6.

A választ bármilyen helyes kerekítéssel vagy 1 pont százalékos alakban is el kell fogadni. 3 pont

1 pont 1 pont

Két jól számolt adat 2 pont esetén 1 pont, ez alatt 0 pont jár. Minden elvileg helyes ábrázolás (pl.: a tengelyek felcserélése, összeér oszlopok) is elfogadható. A 2 pont a függ leges tengely skálája (1), 2 pont az egyes oszlopok megfelel azonosíthatósága (2) és a megfelel adatok ábrázolása (3) esetén jár. Ha ezek közül csak valamelyik kett megfelel , akkor 1 pont, ez alatt 0 pont jár. 4 pont

5 pont

1 pont

1 pont

Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt.

1 pont

Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt.


kedvez esetek száma összes eset száma

Összesen:

25 (= 0,78125) . 32


11 / 13

3 x − 7 = 32 x = 13 (A fehér színt összesen 13-an választották, ebb l 13 − 7 =) 6 diák csak a fehér színt jelölte meg. Összesen:

(Az egyes színeket választók számát x-szel jelölve:)

A feladatban szerepl halmazok metszetének elemszámát helyesen megjelenít Venn-diagram:

18. b) els megoldás

A kérdéses valószín&ség: P =

P=

A 32 diák közül 7-en választottak két színt, így azok száma, akik csak egyet jelöltek: 25.

18. a)


8 pont

1 pont

2 pont 1 pont

2 pont

2 pont

2014. május 6.

Ez a pont akkor is jár, ha 1 pont ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Ez az 1 pont jár az eredmény helyesen kerekített 1 pont vagy százalékos alakban történ megadása esetén is. 3 pont

1 pont


1 pont


2a1 + (n − 1)d ⋅n 2


8 pont

1 pont


1 pont

Ezek a pontok akkor is járnak, ha ez a gondolat csak a megoldás menetéb l derül ki. Nem bontható. Nem bontható. Ha n-re 995 − 110 a = 59 értéket 15 fogadja el, akkor ez a 2 pont nem jár.


10 / 13

2014. május 6.

Ha a sorozat tagjainak felsorolásával jut helyes eredményre, akkor is jár a 8 pont.

Összesen:

Az 5-tel osztható és 3-mal osztva 2 maradékot adó pozitív egész számok egy olyan számtani sorozatot alkotnak, melynek különbsége 15. A legkisebb ilyen háromjegy& szám a 110, a legnagyobb ilyen háromjegy& szám a 995. 995 = 110 + (n − 1) ⋅ 15 n = 60 , a sorozatnak 60 darab (háromjegy&, 5-tel osztható) tagja van.

17. c)

Megoldandó (a pozitív egész számok halmazán) 2 ⋅ 2 + (n − 1) ⋅ 3 1 pont a 8475 = ⋅ n egyenlet. 2 2 pont Rendezve a 3n 2 + n − 16950 = 0 egyenlethez jutunk. Ennek gyökei n1 = 75 és n2 = −75,3 . 1 pont A feladat (pozitív egész) megoldása: n = 75 . 1 pont Összesen: 6 pont Ha a sorozat tagjainak felsorolásával jut helyes eredményre, akkor is jár a 6 pont.

Sn =

17. b)

Ezek a pontok akkor is járnak, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül 1 pont ki. A sorozat 25. tagja: a 25 = 2 + 24 ⋅ 3 = 74 . 1 pont Összesen: 3 pont Ha a sorozat tagjainak felsorolásával jut helyes eredményre, akkor is jár a 3 pont.

A feladatban szerepl számok egy olyan számtani sorozat tagjai, amelynek els tagja 2, különbsége pedig 3.

17. a)


15. a)

Összesen:

Összesen:


A metszéspont: M (25;−25) .

7 / 13

Összesen:

Az f egyenes egy irányvektora az AB(4;−8) vektor. Ezzel az egyenes egyenlete: − 8 x − 4 y = (−8) ⋅ 8 − 4 ⋅ 9 . Az f egyenes egyenlete: 2 x + y = 25 . (A metszéspont koordinátáit a következ egyenletrendszer megoldása adja:) 4 x + 3 y = 25½ ¾ 2 x + y = 25 ¿ Az egyenletrendszer megoldása: x = 25 és y = −25 .

15. c)

Ezzel az egyenes egyenlete: 4x + 3y = 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 , azaz 4 x + 3 y = 25 .

Az egyenes egy normálvektora az n e (4; 3) vektor.

15. b)

= 80 (≈ 8,944) (egység).

d AB = (8 − 12) 2 + (9 − 1) 2 =

A kérdéses távolság:

Összesen:

§2 4 · 8 (= 0,26) . A kérdéses valószín&ség: P = ¨ ⋅ = ¸ © 6 5 ¹ 30

Annak valószín&sége, hogy legfelül 83 pontos 2 dolgozat fekszik: . 6 Annak valószín&sége, hogy alatta 76 pontos dolgozat 4 fekszik: . 5

14. c) második megoldás


A választ bármilyen helyes kerekítéssel vagy százalékos alakban is el kell fogadni.

2014. május 6.

Ha a vizsgázó a metszéspont koordinátáit a he1 pont lyes grafikonról jól olvassa le, akkor 1 pontot kap. Ha mindkét egyenes 2 pont egyenletébe történ behelyettesítéssel ezeket 1 pont ellen rzi is, akkor mind a 4 pont jár. 7 pont

1 pont

1 pont

1 pont

1 pont 3 pont

1 pont

1 pont

A képletért 1 pont (behelyettesítés nélkül) nem jár pont. Ha a pontos érték nem 1 pont szerepel és rosszul kerekít a vizsgázó, akkor a második pont nem jár. 2 pont

3 pont

1 pont

1 pont

1 pont


II. B

1 pont*

1 pont Csak a képletekért 1 pont (behelyettesítés nélkül) nem jár pont. Ha 3,141 pont gyel jól számol, akkor a megfelel pontok 1 pont járnak.

Ez a pont akkor is jár, ha ábra nélkül helyes 1 pont adatokkal dolgozik a vizsgázó.



8 / 13

A gyerekjegy 800 ⋅ 0,75 = 600 Ft-ba kerül. 600 x + 800 ⋅ (1000 − x) = 665 800 Az egyenlet megoldása: x = 671 . 671 gyerekjegyet és 329 feln ttjegyet adtak el. Szöveg szerinti ellen rzés. Összesen:

Az eladott gyerekjegyek számát jelölje x, ekkor a feln ttjegyek száma 1000 − x .

16. b) els megoldás

Ebben a sátorban a maximális néz szám 1017.

2014. május 6.

Ez a pont akkor is jár, ha 1 pont ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 6 pont

Ha a vizsgázó felfelé 1 pont* kerekít, akkor ez a pont nem jár. Összesen: 7 pont A *-gal jelölt 2 pont jár, ha a vizsgázó a henger térfogatát 4072 m3-re, a kúp térfogatát 2036 m3-re kerekítve a maximális néz számot 1018-ban határozza meg.

Vh + Vk § 4071,5 + 2035,8 · ≈ 1017,9 ¸ ¨= 6 © 6 ¹

1 A kúp térfogata: Vk = ⋅18 2 ⋅ 6 ⋅ π ≈ 3 ≈ 2035,8 (m3).

A henger térfogata: Vh = 18 2 ⋅ 4 ⋅ π ≈ ≈ 4071,5 (m3).

A feladat megértését (a kúp magassága 6 méter) tükröz jó ábra.

16. a)



9 / 13

A legalsó szinten álló 4 artista 4!(= 24) féleképpen állhat egymás mellett, a rajtuk álló 3 artista 3!(= 6) , a felettük álló 2 artista 2-féleképpen állhat. Az összes lehet ség(et ezek szorzata adja): 4!⋅ 3!⋅ 2!(= 288) . Összesen:

16. c)

Az eladott gyerekjegyek számát megkapjuk, ha az 1000 db feln ttjegyb l származó lehetséges bevétel és a tényleges bevétel különbségét elosztjuk a gyerekjegyekre adott kedvezménnyel. A gyerekjegyre 800 ⋅ 0,25 = 200 Ft kedvezményt adnak. 800 000 − 665 800 = 671 200 671 gyerekjegyet és 329 feln ttjegyet adtak el. Összesen:

16. b) második megoldás


4 pont

1 pont

1 pont 1 pont

1 pont

1 pont 6 pont

2 pont

1 pont

2014. május 6.

Ez a 2 pont akkor is jár, 2 pont ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki.


JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

Recommend Documents