Janos meninggalkan sekolahnya pada saat kelas 4. Ia

BAB 4 PENGENALAN GEOMETRI AFFINE Janos Bolyai dilahirkan pada tanggal 15 Desember 1802 di Koloszvar, sekarang Cluj, bagian dari Romania Transylvania. Orang tua dari Janos Bolyai adalah Farkas Wolfgang Bolyai dan Zsuzsanna Benko. Ayahnya Farkas Bolyai mempunyai pekerjaan di Perguruan Tinggi Calvinist sebagai pengajar Matematika, Ilmu Fisika dan Ilmu Janos meninggalkan sekolahnya pada saat kelas 4. Ia Kimia.

masuk di Perguruan Tinggi Calvinist di Marosvasarhely pada umur 12 tahun dan selama 3 tahun lebih ia dijuluki sebagai “a real child genius”. Dan saat umur 13 tahun dia telah menguasai kalkulus dan analitis, mekanika dan yang lain. Pada umur 15 tahun, ia telah menemukan solusi dalam menggunakan salah satu cabang dari hiperbola xy=c. Ia juga ahli bahasa yang terkemuka yang menguasai sembilan bahasa asing termasuk Cina dan Tibet. Ia belajar di Akademi Rancang-Bangun di kerajaan Vienna dari tahun 1818 sampai 1822. Setelah itu ia bergabung di Angkatan Perang Kesatuan Rancang-Bangun selama 11 tahun. Kemudian pada tahun 1833 ia dipensiunkan di rangking Kapten karena sering terkena penyakit. Kemudian ia tinggal di pengasingan dengan keluarganya di Marosvasarhely tanpa memperoleh informasi tentang peristiwa ilmiah. Meskipun demikian ia mencapai hasil penting didalam matematika. Antara tahun 1820 dan 1824, ia mengembangkan ilmu ukur non-Euclide-nya yang baru yang berasal dari solusi permasalahan dalam parallel. Pada saat berusia 21 Geometri Affine /

77

tahun, ia melaporkan temuannya pada ayahnya: “Aku sudah menemukan hal yang bagus dan aku sangat dikejutkan… Aku sudah menciptakan sesuatu yang baru, dunia yang lain, yang keluar dari tidak ada apapun…”. Suatu catatan tersebut adalah gambaran ilmu ukur kemutlakan yang disebut ilmu ukur hyperbolic, dan diterbitkan sebagai catatan tambahan pada buku teks ayahnya yang berjudul “Tentamen” pada tahun 1832. Judulnya adalah catatan tambahan, Scientiam Spatii Veram Absolut Exhibens …”, yaitu “Ilmu Pengetahuan Riil yang Absolut …”. Melalui ayahnya, ia menerima suatu catatan oleh Lobachevski berjudul “Geometriche Untersuchungen Zur Theorie der Parallellinien” (Penyelidikan Geometris mengenai Teori Garis Sejajar), yang mana catatan tersebut hampir sama dengan catatan tambahan dan dimana orang Rusia Ahli Matematik menguraikan Ilmu Ukur non-Euclide hyperbolic. Pada tahun 1850, Bolyai mulai menyiapkan suatu naskah yang diberi hak Jerman yang berjudul “Raumlehre” (Ilmu Pengetahuan Ruang). Ia mencoba untuk mengembangkan suatu system Geometris lengkap berdasar pada aksioma, tetapi pekerjaan ini tidak diselesaikan. Bolyai juga mengembangkan suatu konsep Geometris kaku tentang angka-angka kompleks sebagai penghembus dari angka-angka riil. Walaupun ia tidak pernah menerbitkan lebih dari 26 halaman catatan tambahan, namun pemikirannya telah dibukukan lebih dari 14.000 halaman naskah mathematical. Dan pada saat itulah ia meninggal. Ahli Matematika tulen telah ditemukan. Dialah Janos Bolyai yang sebagian besar menghasilkan teori baru. Dasar dari Geometri Affine adalah adalah Geometri Terurut. Bidang Affine dipandang sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian pangkalnya sama yaitu titik dan keantaraan. Aksiomaaksioma dari geometri terurut yang berlaku adalah 78 /Geometri Affine

Aksioma 3.1, 3.7, 3.8, 3.9 Aksioma 4.1 Ada paling sedikit dua titik Aksioma 4.2 Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [AFB]. Aksioma 4.3 (Dalam ruang dimensi dua) Semua titik ada dalam satu bidang Aksioma 4.4 Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masingmasing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya. Aksioma 4.5 Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A ada paling banyak satu garis melalui A dalam bidang Ar, yang tidak memotong r. Aksioma 4.6 Jika A, A’, B, B’ C, C’, O adalah 7 buah titik berlainan sedemikian hingga AA’, BB’, CC’ adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika AB//A’B’, BC//B’C’, maka CA//C’A’. A 1

A 0

1

B

B 1

C

C Geometri Affine /

79

Kesejajaran dalam Geometri Affine ini adalah suatu relasi ekuivalensi. Jadi memenuhi sifat-sifat: a. refleksi, yaitu setiap garis a sejajar dengan a sendiri b. simetrik, yaitu jira garis a sejajar denga garis b, maka garis b sejajar dengan garis a c. transitif, yaitu jira garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar denan garis c. Aksioma 2 dapat kita gambarkan sebagai berkut: Teorema 4.1 Jika ABC dan A’B’C’ adalah 2 segitiga dengan titik-titik sudut yang berlainan, diletakkan sedemikian,hingga BC//B’C’, CA/C’A’ dan AB//A’B’, maka ketiga garis AA’, BB’ dan CC’ adalah berpotongan pada satu titik (konkuren) atau sejajar. Diketahui : BC//B’C’, CA/C’A’, AB//A’B’ Dibuktikan : AA’, BB’ dan CC’ berpotongan pada satu titik atau sejajar. Bukti: Jika ketiga garis AA’, BB’ dan CC’ tidak semuanya sejajar, dua diantaranya tentu berpotongan, misalnya AA’ dan BB’ berpotongan di 0 dan 0C memotong B’C’ di C”. Maka didapat AA’, BB’ dan CC” berpotongan di 0 dan AB//A’B’, BC//B’C’, karena C” pada B’C’. Menurut Aksioma 4.6 AC// 0 A’C”. 0

A

C

A

C

B B C’ 1

C1

C” A’

Affine 80 /Geometri 1 A

1

B1

B’ 1

Diketahui AC// A’C” , maka C” pada A’C’, C” juga pada B’C’ (menurut pemisalan). Karena A’B’C’ suatu segitiga, maka haruslah C” berimpit dengan C’. jadi AA’, BB’ dan CC’ berpotongan pada satu titik 0, jika AA’, BB’ dan CC’ tidak semuanya sejajar.

B

Teorema 4.2 Jika A, A’, B, B’, C, C’, adalah 6 titik berlainan pada 3 garis sejajar berlainan AA’, BB’, dan CC’, diletakkan sedemikian, hingga garis AB sejajar dengan A’B’. BC sejajar dengan B’C’, maka CA juga sejajar dengan C’A’ . Diketahui : AA’// BB’//CC’ AB//A’B’ dan BC//B’C’ Dibuktikan : CA// C’A’. Bukti Melalui A’ dilukis A’C’’, sejajar C A AC, sehingga C’’ terletak pada B’C’. Maka AB//A’B’, dan BC//B’C’’ dan AC//A’C’’, jadi menurut Teorema 4.1, AA’// A1 C” BB’//CC’’. Karena diketahui, bahwa AA’// BB’//CC”, maka C’’ terletak pada CC’, C’’ juga B1 terletak pada B’C’. Karena garisgaris BB’ dan CC’ berlainan, maka tidak mungkin B’ terletak pada CC’. jadi dari C’’ pada CC’ dan C’’ pada B’C’ dapat disimpulkan bahwa C’’ berimpit dengan C’ dengan demikian CA sejajar dengan C’A’. D C

P Geometri Affine / A B

81

Definisi 4.1 Empat titik A, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajargenjang ABCD jika AB sejajar dengan DC dan BC sejajar dengan AD. A, B, C, dan D adalah titik-titik sudutnya. Segmensegmen AB, BC, CD dan DA adalah sisi-sisinya dan segmen-segmen AC dan BD diagonal diagonalnya. Karena B dan D pada pihak yang berlainan dari AC, maka diagonal-diagonal berpotongan di suatu titik yang disebut pusat jajargenjang. Definisi 4.2 Suatu dilatasi ialah suatu transformasi yang mentransformasikan setiap garis ke garis yang sejajar.

Teorema 4.3 Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garisgaris yang sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi AB  A’B’. C P Bukti 1

P

A

B 1

A 82 /Geometri Affine

1

C

B1

Misalkan P sebarang titik pada bidang. Untuk melukis bayangan P1 di buat garis melaui A’ yang sejajar AP dan garis melalui B’ yang sejajar BP. Titik potong kedua garis ini ialah P1, bayangan dari P. Garis-garis melalui A’ dan B’ tidak mungkin sejajar, sebab AP dan BP tidak sejajar. Dengan jalan serupa, jika C diketahui, maka dapat dilukis C’. Menurut Teorema 4.1, maka AA’// BB’// PP1. jadi jika garis-garis sejajar AB dan A’B’ tidak berimpit, maka garis-garis AA’ dan BB’, CC’ dan PP1 adalah konkuren atau sejajar, sehingga C’P1 sejajar dengan CP. Jadi transformasi itu betul suatu dilatasi dan tunggal. Jika garis-garis AB dan A1B1 berimpit, maka transformasi dapat dipandang sebagai AC  A1C1. Sehingga dua segmen sejajar menentukan dengan tunggal suatu latasi Definisi 4.3 Invers dari dilatasi AB  A’B’ ialah dilatasi A’B’  AB. Definisi 4.4 Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. Maka hasil kali dua dilatasi AB  A’B’ dan A’B’  A”B” ialah dilatasi AB  A”B”

1

B

A’

11

11

B

A

A

B Geometri Affine /

83

 

Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB  AB. Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangnya adalah garis-garis invarian. Garis-garis ini berpotongan pada satu titik atau sejajar.

● B’ ● A’

●B

● C’ ●A ●C

● ●





Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan bayangannya, yaitu yang menghubungkan dua titik berkorespondensi, berpotongan pada satu titik, dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi 0, titik pusat dilatasi ini tunggal. Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi.

84 /Geometri Affine

1

A

1

A

A

A

1

0

C

1

C

1

C

C

1

B B

1

B



1

B

Jika pada translasi AB  A’B’, AA’B’B tidak berupa jajargenjang dapat ditunjukkan jajargenjang lainnya seperti pada gambar berikut. C

C1 B1

A1

A

B D

D1

AB  A1B1 sama dengan AC  A1C1 dengan AA1 C1C suatu jajargenjang atau AD A’D’ suatu jajargenjang. Jika A, A’ dan B diketahui, maka letak B’ tidak tergantung dari pemilihan C atau D, sehingga terdapat Teorema berikut Teorema 4.4. Sebarang dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi A  A’. Bukti Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan Geometri Affine /

85

hanya bila tidak mempunyai titik invarian. Translasi A  A’ sama dengan translasi B  B’. Jika AA’ B’B suatu jajargenjang. ●A’

●A

A  A’.

●B

Teorema 4.5 Dilatasi AB → A’B’ mentransformasikan setiap titik. Bukti A  A’ atau B  B’. ●B ●A ●A’

●B ●P

●B’

Dalam Geometri●P Terurut, ada Teorema yang mengatakan, bahwa jika ABC dan A’B’C’ merupakan dua pasangan 3 titik yang segaris sedemikian, hingga garis-garis AA’, BB’, dan CC’ tidak mempunyai titik potong dan jika [ACB] maka [A’C’B’]. jika kita misalkan garis AA’ ialah garis A, garis BB’ ialah garis b dan garis CC’ ialah garis c maka kita dapat [ACB]. Maka untuk setiap titik C, titik potong C dengan suatu segmen AB dengan A pada a dan B pada b, 86 /Geometri Affine

berlaku [ACB]. Maka Teorema di atas terbukti. a

c

b

A’ C’ B’ A C

B

Jika ABC dan A’B’C’ merupakan 2 pasangan 3 titik yang segaris pada garis-garis yang berlainan sedemikian hingga ketiga garis AA’ BB’ dan CC’ mempunyai titik persekutuan O yang tidak terletak antara A dan A’, tidak terletak antara B dan B’ dan juga tidak antara C dan C’, dan jika [ACB], maka [A’C’B’]. Hal ini juga mudah dibuktikan mengingat bahwa sinar OC terletak di dalam sudut AOB sehingga untuk setiap titik C’, titik potong OC dengan suatu segmen A’B’ dengan A’ pada sinar OA dan B’ pada sinar OB dipenuhi [A’C’B’]. D A’ a A’

b C’

C’

c B’

A

C

B’ D

B A ’

A

C

C’

B’

B A

C

Geometri Affine /

B

87

Untuk titik-titik A, B dan C yang terletak pada garis invarian digunakan garis-garis sejajar sebagai pertolongan untuk menunjukkan kebenaran Teorema 4.5 ini. [ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’] [ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’] Jadi terbukti, jika [ACB], maka [A’C’B’] a

A

A

c b

a ' A

1

2

B

C

B 1

b ' c' B’

A’ C’ B 2

0

a A’ A

b

c

C

B

a ' A2 A’

c '

b ' B’

C ’ B2

Teorema 4.6 Hasil kali 2 translasi A → B dan B → C adalah translasi A→C Bukti Hasil kali 2 dilatasi adalah suatu dilatasi. 

  



Andaikan hasil kali 2 translasi ini bukan suatu translasi, maka tentu ada titik invariannya O, oleh translasi pertama A → B, titik O dibawa ke O’. karena titik O titik invarian oleh B → C maka titik O’ dibawa ke-O O’ → O adalah invers dari O → O’. jadi hasil kali dua translasi mempunyai titik invarian jika yang satu invers dari yang lain, dan hasil kali ini berupa identitas. Jadi hasil kali dua translasi adalah suatu translasi, yaitu dilatasi yang tidak ada titik

88 /Geometri Affine

invariannya. Hasil kali dua translasi ini memenuhi sifat komutatif. Hal ini mudah dibuktikan, D

A

C

B

Misalkan kedua translasi itu tidak menurut dua garis sejajar. Dengan melukis jajargenjang ABCD, tampak bahwa A → B sama dengan D → C dan B → C sama dengan A → D, A → C = (A → B) (B → C) = (A → D) (D → C) = (B → C) (A → B) (terbukti) Jika kedua translasi menurut garis yang sama, misalkan kedua translasi T dan X, misalkan translasi Y suatu translasi yang tidak menurut garis yang sejajar dengan translasi-translasi di atas, maka X dan Y komutatif, demikian pula X dan TY.  T(X Y) = T(Y X) = (T Y)X = X(TY) (TX)Y = (XT)Y, sehingga TX = XT (terbukti) Definisi 4.5 Jika 2 titik berlainan, misalnya A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB → BA atau A  B, maka transformasi itu disebut setengah putaran. Jika C sebarang titik diluar garis AB, maka untuk mencari bayangannya, kita hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melalui Geometri Affine /

89

B sejajar AC dan yang melalui A sejajar BC ialah D, bayangan dari C.

C

B O

T’

T A

D

Jika ACBD adalah suatu jajargenjang. Setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan C  D. garisgaris invarian AB dan CD, karena diagonal-diagonal suatu jajargenjang, berpotongan di titik O, yang menjadi titik invarian dari setengah putaran. Titik O adalah titik pusat jajargenjang. Pada setengah putaran A  B, titik O adalah titik tengah segmen AB. Untuk melukis bayangan titik T pada garis AB, dihubungkan T dengan C (atau D) dan kemudian dilukis garis melalui D (atau C) yang sejajar dengan TC (atau TD) dan terdapat T’ pada garis AB. Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai (A  B) atau (B  C). andaikan hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O, maka oleh setengah putaran A  B, O dibawa ke-O’. Jadi A  B sama dengan O  O’. oleh setengah putaran B  C maka O’ dibawa ke O, jadi B  C sama dengan O’  O. Jadi ada titik invarian jika A  B = B  C. dalam hal ini yang lain tidak ada titik invarian.

90 /Geometri Affine

Teorema 4. 7 Hasil kali 2 setengah putaran A  B dan B  C adalah translasi A  C. Bukti : Jika A  B tidak sama dengan B  C, maka (A  B) (B  C) tidak mempunyai titik invarian. Jadi berupa translasi. Jika ADBC suatu jajargenjang, maka A  B sama dengan C  D dan A  D sama dengan C  B C B Hubungan ini tetap berlaku jika jajargenjang berubah menjadi segmen garis O dengan 4 titik yang letaknya teratur simetrik. A

D

A

C

D

B

Contoh 4.1 1. Diketahui (A  B) (B  C) = (A  C), tunjukkan bahwa sebarang C yang ditentukan adalah titik invarian dari suatu setengah putaran, dengan mengganti A = C dalam persamaan Penyelesaian (A  B) (B → C) = (A  C) Jika A = C, maka diperoleh (C  B) (B → C) = (C  C) (C  C), berarti C suatu titik invarian. Teorema 4.8 Setengah putaran A  B dan C  D sama, bila dan hanya bila translasi A  D dan C  B sama. Diketahui A  B = C  D Geometri Affine /

91

Dibuktikan : A  D = C  B A  D = (A  B) (B  D) = (C  D) (B  D) = (C  D) (D  B) =CB Diketahui A  D = C  B Dibuktikan : A  B = C  D Bukti: A  B = (A  D) (D  B) = (C  B) (D  B) = (C  B) (B  D) =CD Jika C dan D berimpit, yang dapat disebut C’, maka C’ adalah titik tengah AB bila dan hanya bila translasi A → C’ dan C’ → B sama. Kemudian dapat dibuat C jajargenjang AC’A’B’ dan BC’C’A’ dan terdapat ∆ A’ B’ ABC dengan A’, B’ dan C’ sebagai titik-titik tengah sisi-sisinya. Kemudian diperoleh Teorema berikut. B C’ Bukti:

A

Contoh 4.2 Jika ketiga diagonal dari suatu segienam (tidak perlu konveks) mempunyai titik tengah yang sama, maka buktikan sebarang dua sisi berhadapan sejajar. Diketahui: AO = OD, BO = OE, CO = OF Dibuktikan : 2 sisi berhadapan adalah sejajar. Bukti: DA=BE D  E = B  A (Teorema 4.8) 92 /Geometri Affine

Berarti DE sejajar dengan BA DA=FC F  D → C = F → A (terbukti)

E

D

O

Jadi DC sejajar dengan FA C B A EB=CF  E → F = C→ B (terbukti) Jadi EF sejajar dengan CB. Terbukti sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Teorema 4.9  Garis yang menghubungkan titik-titik tengah DUA sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga dan  suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar dengan sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga.

C

Contoh 4.3 Titik-titik tengah sisi-sisi suatu segi empat sebarang adalah titik-titik sudut suatu jajargenjang. Teorema ini ditemukan oleh Pierre Varignon (1654 – 1722). Diketahui: ABCD segi empat sebarang P, Q, R dan S berturut-turut titik-titik tengah AB, BC, CD dan DA. Geometri Affine /

93

D R C S

Q

A

P

Dibuktikan : PQRS suatu jajargenjang.

B

Bukti: Dipandang ∆ACD dan ACB. Maka SR sejajar dengan AC dan PC sejajar dengan AC (menurut Teorema 9). Jadi SR sejajar dengan PQ. Dipandang ∆BDA dan ∆BDC. Maka PS sejajar dengan BD dan QR PQRS suatu segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar, jadi PQRS suatu jajargenjang. LATIHAN 4 1. Buktikan Teorema 4.9

94 /Geometri Affine