Jan Šindel a matematika ukrytá v pražském orloji HMI
Alena Šolcová
10. května 2014
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
2
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
3
Znamení zvířetníkových souhvězdí:
Beran Býk Blíženci Rak Lev Panna Váhy Štír Střelec Kozoroh Vodnář Ryby 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
zodiak = zvěrokruh = zvířetník
4
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
5
Jaké časy lze určit na orloji? Staročeský (italský) čas Rozděluje den a a noc na 24 stejných hodin, Počítá se od západu Slunce. Je vyznačen na vnějším černém okruží gotickými indicko-arabskými číslicemi.
Německý čas Den a noc rozděluje na 12 a 12 hodin. Je vyznačen římskými číslicemi. Zavedl jej na orloj Jan Táborský z Klokotské Hory (2. pol. 16. st.)
Babylónský čas Světlý den je rozdělen na 12 hodin, v létě jsou delší, v zimě kratší. Je vyznačen indicko-arabskými číslicemi a hodinovými čarami v modrém poli astrolábu. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
6
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
7
Autor prvního popisu orloje
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
8
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
9
Vyobrazení orloje • • • • • •
1570 1730-1740 1793 1794 počátek 20. století květen 1945
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
10
Jan Táborský z Klokotské Hory Zpráva o orloji pražském, 1570
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
11
1730 - 1740
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
12
1793
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
13
1794 Výška radniční věže je 59 m = 100 loktů. Začala se stavět ze vlády Jana Lucemburského.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
14
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
15
Květen 1945
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
16
Jan Ondřejův, zvaný Šindel • • • •
Narozen kolem r. 1375 v Hradci Králové. 1395 bakalář na Pražské univerzitě 1399 mistr 1406 správce farní školy sv. Mikuláše Do roku 1410 vytvořil model orloje! • 1410 rektor pražské univerzity (24. 4. – 31. 10.) a doktor lékařství • lékař Václava IV. • Koncem r. 1412 zahájil přednášky o Ptolemaiově Almagestu. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
17
Stoicheia - Základy
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
18
Další osudy Jana Šindela • 17. září 1418 kanovník svatovítské kapituly, nepřestal působit na univerzitě, i když v roce 1419 vypukla skutečná revoluce Olomouc? • 1430 odchod do Norimberku, stal se městským fyzikem • lékař krále a císaře Zikmunda • 1432 jej Zikmund v Sienně přijal do svých služeb • Zikmundova korunovace 3. května 1433 • Doprovázel Šindel Zikmunda do Říma nebo se vrátil do Norimberku? 10. 5. 2014 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 19
Poslední léta Šindelova života • Návrat Zikmunda otevřel Šindelovi brány Prahy. • V září 1437 byl vysvěcen na jáhna. Knězem patrně vysvěcen nikdy nebyl. • 1441 děkanem kapituly vyšehradské • 1445 kontakty • 1448 Účastnil se promoce tří bakalářů. • Zůstal na univerzitě i za Jiříka z Poděbrad. • Úřad zastává, pokud je známo, do 15. ledna 1455. • 1457 zřídila kapitula z jeho odkazu zádušní mši na jeho památku. Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 10. 5. 2014 20
Původ Jana Šindela • hypotéza Josefa Smolíka Nudvojovice, Nudvovice - dnes součást Turnova románský farní kostel sv. Jana Křtitele patronem kostela v r. 1395 – Václav Šindel z Nudvojovic
• hypotéza F. M. Bartoše Šindel pochází z Prahy, z dosti rozvětvené rodiny, otec Ondřej není v žádném místopisu uveden, HK uvádí teprve 1608 Bacháček, citováno Balbínem
• hypotéza Eduarda Wintera Šindelovi předkové jsou Němci –měšťané 10. 5. 2014 v Hradci Králové Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
21
Dílo Jana Šindela • Matematické traktáty 1. Lectio Almagesti iuxta expositionem Thebitis 2. Lectura super Librium de numeris 3. De notitia triangulorum cum notis Iohannis Schindel
• Astronomická díla tabulky a popisy užívaných symbolů • Ostatní 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
22
De numeris, 1437
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
23
Z Almagestu
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
24
Z Almagestu
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
25
Almagest s komentářem Thabita
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
26
Thabit ibn Qurra - komentátor Eukleida • 826 (836) v Harranu, Mezopotámie, dnes Turecko • † 901 v Bagdadu, Irák, syrský matematik, astronom, lékař a filosof • latinizovaný tvar jeho jména: Thebit 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
27
Thabitovo dílo • Matematické vzdělání získal u Muhammada bin Musa bin Shakira, Dům moudrosti, Bagdad. • Thabit ibn Qurra do arabštiny přeložil řecká díla Archimedova, Apollonia z Pergy do arabštiny a přeložil a komentoval Eukleidovy Základy (19 rukopisů), Ptolemaiův Almagest a Geographii, lékařské práce Galena Pergamonu aAlena Hippokrata z Kosu. 10. 5. 2014 Šolcová, FIT ČVUT v Praze
28
Thabitovo dílo • Thabitův překlad Archimedova díla O pravidelném sedmiúhelníku byl objeven v 20. stol. • Zobecnění Pythagorovy věty • Věnoval se axiomu rovnoběžek • Studoval magické čtverce • Thabitova (Thebitova) čísla • Věta o spřátelených číslech 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
29
Thabit a Pythagorova věta
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
30
Eukleidův důkaz
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
31
Thabit a Pythagorova věta II
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
32
Thabit ibn Qurra
10. 5. 2014
• Thabit zobecnil Pythagorovu větu (podobně jako Pappos). • Zabýval se také trisekcí úhlu. • Byl srovnáván s Pappem (v roli komentátora). • Zakladatel překladatelské školy (Eukleides, Archimedes, Ptolemaios, Eutocius). • Diofantos a Pappos byli Arabům Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze do 10. století neznámí.
33
Thabitova čísla Předpokládejme, že • (1) h = 3 . 2n - 1 Thabitovo číslo • (2) t = 3 . 2n - 1 - 1 • (3) s = 9 . 22n - 1 - 1 jsou prvočísla. Potom (2nht, 2n s) tvoří dvojici spřátelených čísel, např. 220, 284. Fermat (1636), Descartes (1638), zobecnil Euler. h = 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551 - Thabitova prvočísla. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
34
Astronomická díla Jana Šindela Tabulky a popisy užívaných přístrojů 1. Tabulae (Alphonsinae) de mediis et veris motibus planetarum super meridianum Pragensem reductae – vznik před r. 1428 2. Canones pro eclipsibus Solis et Lune per instrumentum adhoc factum inveniendis M. Johanniss Schindel 3. Compositio chilindri 4. De quantitate trium solidorum (Teige, Mnichov) 10. 5. 2014 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze a další
35
Ostatní práce Botanika komentovaný herbář podle Macera Florida „Mgri Syndel compilatum … Finitum a. D. 1424 IIa feria post Gregorii“ (13. 3. 1424) – k latinským názvům připojeny německé a české názvy
Medicina 2 spisy
Teologie Opus de decem praeceptis flagellum nuncupatum, Bamberg – výklad desatera 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
36
Korespondence • Obrana Johna Wykleffa - 5. 4. 1410. • Dopis rektora pražské univerzity papeži Janu XXIII. - 12. 12. 1410. • Výměna korespondence s Aenášem Sylviem – 20.11. 1445. Poznámky: • Jeho Tabulae astronomicae užíval Tycho Brahe, podle Tadeáše Hájka. Planetka č. 3847 a dalekohled v HK nese jméno Šindel. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
37
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
38
Rafie a ojnice měsíčního ukazatele
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
39
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
40
Věta 1 (Ptolemaios). Kružnice ležící na kulové ploše a neprocházející středem promítání se při stereografické projekci zobrazí opět na kružnici.
Věta 2. Kružnice ležící na kulové ploše a procházející středem promítání se při stereografické projekci zobrazí na přímku. A. Šolcová, M. Křížek: Pražský orloj a stereografická projekce, Matematika-fyzika-informatika, 2007. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
41
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
42
Pohled z prvního do druhého patra ukazuje spojení všech strojů orloje.
Hlavní hodinový stroj (tzv. jicí stroj) reguluje: a. ukazovací stroj b. diferenční stroj c. bicí stroj d. zvonicí stroj e. kalendářní stroj 10. 5. 2014 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
43
Bicí stroj byl původně ve věži. Později byl přemístěn do 2. patra a začleněn do hlavního hodinového stroje. To umožnilo vzájemnou synchronizaci obou strojů. Informace o počtu úderů zvonu se do věže předává pomocí drátěných táhel.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
44
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
45
Ukazovací stroj: První kolo má 365 zubů a otočí ekliptikou jednou za hvězdný den, tj. za 23 hodin 56 minut a 4 sekundy. Druhé kolo, které má 366 zubů, otočí sluneční ukazatel jednou za střední sluneční den, tj. za 24 hodin. Třetí kolo má 379 zubů a rotuje se středním zdánlivým pohybem Měsíce. Měsíční ukazatel se opozdí za slunečním o 379-366=13 zubů za den. To odpovídá úhlu (1-366/379).360° = 12,348°,
10. 5. 2014
což poměrně dobře vystihuje skutečnost, že se Měsíc každý den posune na ekliptice o 12,191 stupňů směrem na východ. Poloha Měsíce se Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze musí několikrát ročně upravovat. 46
Věta 4 (Gauss). Nechť p je liché prvočíslo. Pak lze pomocí kružítka a pravítka zkonstruovat pravidelný n 2 p-úhelník právě tehdy, když p = 2 +1.
M. Křížek, F. Luca, L. Somer: 17 Lectures on Fermat numbers, Springer, New York, 2001. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
47
Bicí stroj obsahuje velké oběžné kolu s 24 zářezy na vnějším obvodu, jejichž vzdálenosti postupně narůstají. To umožňuje periodické opakování 1-24 úderů zvonu během každého dne.
Součástí bicího stroje je i pomocné kolečko, jehož obvod je rozdělen 6 zářezy na segmenty o délkách oblouku 1, 2, 3, 4, 3, 2 .
10. 5. 2014
Tato čísla se periodicky opakují po každé otočce a jejich součet je s = 15 . Na začátku každé hodiny se zvedne západka, obě kola se začnou otáčet a zvon odbíjí příslušný počet hodin. Kola se zastaví, jakmile západka zapadne současně do zářezů na obou Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 48 kolech.
1
2
3
...
24
300
je počet úderů zvonu každý den, a protože toto číslo je dělitelné s = 15, bude pomocné kolečko na počátku každého dne vždy ve stejné poloze.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
49
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
50
Dále ukážeme, jak trojúhelníková čísla
Tk
1
2
...
k
souvisí s bicím strojem pražského orloje. Pro periodickou posloupnost
s
a1
a2
...
ap
a i položme ,
kde p je délka periody. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
51
T7
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
52
Definice. Periodická posloupnost {ai } se nazývá šindelovská, jestliže pro každé přirozené číslo k existuje přirozené číslo n tak, že
Tk
a1
a2
... a n
Věta 3. Periodická posloupnost je pro liché číslo s šindelovská, jestliže pro každé k<(s+1)/2 existuje přirozené číslo n tak, že
Tk 10. 5. 2014
a1
a2
... a n
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
53
Věta 4. Periodická posloupnost je pro sudé číslo s šindelovská, jestliže pro každé k<s existuje přirozené číslo n tak, že
Tk
a1
a2
... a n
Věta 5. Nerovnost k<(s+1)/2, resp. k<s ve větě 3, resp. 4 nelze zlepšit. M. Křížek, L. Somer, A. Šolcová: Jaká matematika se ukrývá v pražském orloji?, Matematika-fyzika-informatika 16 (2006/ 2007), 129-137. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
54
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
55
Věta 7. Periodická posloupnost a i je šindelovská právě tehdy, když pro každé a n n = 1, 2,…, p a každé j = 1, 2,…, je číslo 8 ( a1 ... a n j) 1 kvadratické nereziduum modulo s. Věta 8 (Plútarchos). Přirozené číslo r je trojúhelníkové právě tehdy, když 8r + 1 je čtvercem. M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: What mathematics is hidden behind the astronomical clock of Prague, Proc. of the IAU XXVI.General Assembly, Cambridge Univ. Press, 2007. 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
56
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
57
s Primitivní šindelovské posloupnosti 1 1 2 1 1 3 1 2 4 1 1 1 1 5 1 2 2 6 1 2 1 2 7 1 2 3 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 2 3 3 10 1 2 2 1 2 2 11 1 2 1 2 4 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 13 1 1 1 3 2 2 3 14 1 2 3 1 1 2 3 1 15 1 2 3 4 3 2 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17 1 1 1 1 2 4 1 4 2 18 1 2 3 3 1 2 3 3 19 1 1 1 3 1 2 1 5 2 2 10. 5. 2014 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 20 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
58
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
59
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
60
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
61
Padova 1344 (1434)
62 10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
Ulm 1520
10. 5. 2014
63 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
Hampton Court 1520
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
64
LITERATURA Z. Horský: Pražský orloj, Panorama, Praha, 1988. ********************************************************** M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: Construction of Šindel sequences, CMUC 48 (2007) V. Rosický: Staroměstský orloj v Praze, nakl. J. Otto, Praha, 1923. J. Smolík: Mathematikové v Čechách od založení university Pražské, Antonín Renn, Praha, 1864. K. Teige: Doplňky a nové zprávy k dějinám věd mathematických v Čechách, ČPMF XXII (1893), 244 – 246. V. Vojtíšek: Radnice staroměstská v Praze, nakl. A.B. Černý, Praha, 1923. a další. 10. 5. 2014 65 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
Děkuji za pozornost!
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
66
