Jak tvořit úlohy ze světa našich žáků

Jak tvořit úlohy ze světa našich žáků

Oldřich Odvárko Jarmila Robová Jiří Kadleček

Studijní materiály k projektu Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP č. projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů

© JČMF 2006

SU

∑

MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

Obsah 1. Variace a modifikace 1.1 Tyč ke smetáku 1.2 Čtverečný kilometr 1.3 Koza 2. Nácvik algoritmů 2.1 Tabulky 2.2 Karty 3. Sběr dat a jejich využití 3.1 Účet za elektřinu 3.2 Katalogy cestovních kanceláří 3.3 Články v novinách 3.4 Parkovné 3.5 Slevy zboží 3.6 Nákupy 4. Lokalizace do žákovského prostředí 4.1 Mapy a plány 4.2 Kuchařské recepty 4.3 Kaluž a zrcátko 5. Aktualizace úloh 5.1 V restauraci 5.2 O cenách 6. Optimalizační úlohy 6.1 Termínované vklady 6.2 Sankční poplatky 6.3 Standard, Special či Minilease? Témata seminárních prací Literatura

strana 2 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA

Společnost učitelů matematiky JČM F

Vážené kolegyně, vážení kolegové! V této brožuře Vám chceme poskytnout náměty na to, jak můžete Vy sami nebo Vaši žáci tvořit úlohy z matematiky. Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak lze k tomu využít učebnice a sbírky, materiály různých institucí, společností a firem a v neposlední řadě také internet. Přirozeně vzniká otázka, proč se vůbec věnovat tvorbě vlastních úloh, proč by měli dokonce žáci tvořit nějaké úlohy. Na tuto otázku se pokusíme odpovědět postupně, v průběhu sledování jednotlivých úloh. V úvodu bychom ještě rádi upozornili na některé okolnosti, které považujeme za důležité. Neočekáváme, že všechny příklady na tvorbu úloh, které zde uvádíme, budou vhodné pro třídy, ve kterých učíte. Co může být atraktivní pro třídu ve velkém městě, nemusí vzbudit zájem na vesnické škole; v jiných případech to bude třebas právě naopak. Může se stát, že některé příklady budou pro Vaše žáky nadměrně složité, jiné zase až příliš jednoduché. V příkladech na vytváření úloh uvádíme obvykle jen několik ukázek; necháváme Vám tak prostor k tomu, abyste další úlohy sestavovali sami. Ve většině případů se vyhýbáme uvádění názvů společností, které figurují ve vytvářených úlohách, neboť nechceme dělat reklamu jedněm na úkor druhých. Pokud budete úlohy sestavovat sami, bude situace jiná – tam právě příslušná konkretizace vzbudí jistě ze strany žáků větší zájem. Při tvorbě úloh z mimomatematických oblastí najdeme někdy v autentických materiálech, ze kterých vycházíme, nejasné či nejednoznačné formulace, které mohou ovlivnit výsledek i postup řešení. V takovýchto případech se můžete obrátit s dotazem přímo na nositele informace, nebo se věnovat všem variantám, které z nejednoznačné formulace vyplývají, či sami formulace upravit a zpřesnit.

Ať se Vám a Vašim žákům daří vytvářet zajímavé a efektivní úlohy.

Autoři


SU

∑ MA


1. Variace a modifikace Některé úlohy z učebnic, sbírek a dalších zdrojů přímo vybízejí k vytváření variací na dané téma.

1.1 Tyč ke smetáku Následující úloha vede řešitele přirozeným způsobem k tvorbě vlastních úloh, neboť formulace úkolu nenabízí jednoznačný postup řešení. Sázka Ve vlaku společnosti LOKO se mohou přepravovat jen zavazadla, jejichž délka, šířka ani výška není větší než 1 m. Pan Koumes se vsadil, že tímto vlakem převeze tyč ke smetáku dlouhou 1,5 m a přitom neporuší předpisy. Může vyhrát? Obr. 1

Úloha je převzata z učebnice [8], při řešení se mohou využít poznatky o druhé mocnině, druhé odmocnině a Pythagorově větě. Uvedený obrázek vede žáky k tomu, aby usoudili, že pan Koumes patrně využije k přepravě krabici ve tvaru kvádru, do které se pokusí tyč vložit. Pozornost se tedy soustředí na hledání rozměrů vhodné krabice – kvádru. Lze využít drátěný model kvádru nebo skutečnou krabici a tyčky, které do tělesa žáci vkládají. Na základě vlastní činnosti žáci mohou dospět k poznatku, že tělesová úhlopříčka kvádru představuje nejvýhodnější umístění tyčky (obr. 2). Obr. 2

c b a


SU

∑ MA


Lze očekávat, že žáci navrhnou krabici ve tvaru krychle s délkou hrany 1 m. Výpočtem délky tělesové úhlopříčky (přibližně 1,73 m) dané krychle zjistí, že tyč můžeme do krychle umístit. Získaný výsledek může vést k dalším úlohám, které tvoří vyučující či sami žáci: • Krabice z předchozí úlohy je zbytečně velká. Zkusíme vypočítat přibližnou výšku krabice, jejíž délka i šířka je 1 m a do které se tyč dlouhá 1,5 m „přesně vejde“. (0,5 m přesně.) Doporučujeme před výpočtem požádat žáky, aby výsledek odhadli. • Chtěli bychom, aby krabice měla tvar krychle. Jaká je nejmenší možná délka hrany krychle, do které se ještě tyč vejde? (Přibližně 0,87 m.) Opět je vhodné, aby žáci před výpočtem provedli odhad výsledku. • Zkuste najít jiné rozměry krabice, do které se tyč „přesně vejde“. Dva rozměry zvolte a třetí vypočítejte. Nezapomeňte zkontrolovat, zda společnost LOKO vaše zavazadlo přepraví. (Např. při zvolených rozměrech 0,8 m a 0,6 m nelze přepravit, při rozměrech 0,8 m a 0,8 m lze přepravit.) Žáci mohou vytvářet úlohy a volit konkrétní rozměry ve skupinách nebo individuálně. V učebnici [9] se opět objeví úloha o tyči ke smetáku: Tyč ke smetáku ve válci V 1. dílu učebnice matematiky pro 8. ročník (cvičení 17, str. 53) jsme se dozvěděli, že ve vlaku společnosti LOKO se mohou přepravovat jen zavazadla, jejichž délka, šířka ani výška není větší než 1 m. Pan Koumes vyhrál sázku, když převezl tyč ke smetáku dlouhou 1,5 m v krychli s délkou hrany 1 m. Mohl by stejnou tyč převézt ve válci, jehož výška ani průměr podstavy nejsou větší než 1 m? (Nemohl.) Obr. 3

Tato úloha může být impulsem k tvorbě dalších úloh poté, kdy se žáci seznámí s dalšími tělesy jako jehlan, kužel, koule. 1.2 Čtverečný kilometr Podnětem k tvorbě úloh může být nesprávné nebo neúplné řešení předloženého úkolu: • Jak velký je obvod čtverečného kilometru? Tato otázka zazněla v jedné z televizních soutěží a za správnou byla označena odpověď čtyři kilometry. strana 5 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Odpověď je jistě správná, pokud čtverečný kilometr chápeme jako čtverec s obsahem 1 km2, k čemuž žáci zřejmě nejdříve dospějí. Pokud však čtverečný kilometr chápeme pouze jako míru obrazce, bude odpověď košatější. Daný problém vede bezprostředně k další úloze: • Jaký obvod má obdélník, jehož obsah je jeden čtverečný kilometr? (Úloha má nekonečně mnoho řešení. Např. obdélník o rozměrech 2 km a 0,5 km má obvod 5 km, obdélník o rozměrech 25 km a 0,04 km má obvod 50,08 km atd.) Doporučujeme samostatnou práci žáků následovanou diskusí, která by měla vést k závěru, že v případě zvětšování jednoho rozměru obdélníku roste také obvod obdélníku při daném obsahu. Další úlohy se mohou týkat pravidelných n-úhelníků: • Jaký obvod má rovnostranný trojúhelník, jehož obsah je jeden čtverečný kilometr? (Přibližně 4,56 km.) • Jaký obvod má pravidelný pětiúhelník, jehož obsah je jeden čtverečný kilometr? (Přibližně 3,81 km.) • Jaký obvod má pravidelný šestiúhelník, jehož obsah je jeden čtverečný kilometr? (Přibližně 3,72 km.) Vyřešení předchozích úloh může vést k hypotéze, že s rostoucím n klesá při daném obsahu obvod pravidelného n-úhelníku. Nabízí se tedy závěrečná úloha: • Jaký obvod má kruh, jehož obsah je jeden čtverečný kilometr? (Přibližně 3,54 km.)

1.3. Koza Teď si ukážeme, jak lze vytvořit soubor úloh volbou různých modifikací předložené situace. Obtížný úkol Venda pase kozu. Aby ji nemusel hlídat, napnul mezi dvěma kůly 4 m dlouhý drát. Na drát navlékl očko a k němu přivázal 2 m dlouhým provazem kozu. Nakresli plánek části trávníku, na který se dostane takto přivázaná koza. Předpokládej, že koza umí drát podlézt. Obr. 4


SU

∑ MA


Úloha je převzata z pracovního sešitu [10]. Předem upozorňujeme, že počítáme s určitou idealizací dané situace, tj. koza je bod a drát i provaz jsou úsečky příslušné délky, vše leží v jedné rovině. Dříve než začneme řešit předloženou úlohu, můžeme žákům nabídnout jednodušší varianty: • Koza je přivázána ke kůlu provazem dlouhým 2 m. (Kruh o poloměru 2 m.) • Drát je napnut kolmo mezi dvěma rovnoběžnými ploty vzdálenými od sebe 4 m. a) Koza se pase jen na jedné straně od drátu. b) Koza se pase na obou stranách od drátu. ( a) Obdélník o rozměrech 2 m a 4m. b) Čtverec o délce strany 4 m.) • Jeden plot z předchozí úlohy je nahrazen kůlem a koza podlézá drát. (Obrazec se zvětší oproti výsledku z předchozí úlohy o půlkruh s poloměrem 2 m.) Nyní lze vyřešit původní zadanou úlohu. (Výsledek je uveden na obr. 5.) Obr. 5

Tuto úlohu můžeme opět modifikovat: Koza není schopná drát mezi kůly ani podlézt ani přelézt. (Výsledek je na obr. 6.)

Obr. 6


SU

∑ MA


Provaz, na kterém je uvázaná koza, byl a) zkrácen na 1 m, b) prodloužen na 3 m. Výsledek záleží na tom, zda koza drát umí podlézt, či ne ( a) obr. 7 a 8, b) obr. 9 a 10). a) Obr. 7

Obr. 8

b) Obr. 9

Obr. 10


SU

∑ MA


•

Drát je napnut okolo čtyř kůlů do tvaru čtverce s délkou strany 3 m. Očko provazu dlouhého 1 m s uvázanou kozou je postupně navlečeno na různé strany čtverce. Koza a) nemůže dovnitř čtverce, b) může podlézt i do vnitřku čtverce. (Výsledky jsou na obr. 11 a 12.)

a)

b)

Obr. 11

Obr. 12

•

Drát je napnut do tvaru rovnostranného trojúhelníku s délkou strany 3 m. Ostatní údaje jsou stejné jako v předchozí úloze. (Výsledky jsou uvedeny na obr. 13 a 14.)

a)

b)

Obr. 13

Obr. 14


SU

∑ MA


2. Nácvik algoritmů Početní operace s čísly i s výrazy s proměnnými, výpočty obsahů jednoduchých obrazců, povrchů a objemů základních těles, řešení jednoduchých lineárních rovnic atd. je důležité zautomatizovat na velkém počtu úloh. K realizaci tohoto záměru obvykle příklady a úlohy z učebnic ani sbírek nestačí.

2.1 Tabulky Pro žáky lze připravovat různé „tabulky“, se kterými se pracuje v hodině například v rámci rozcviček. Uvedeme si některé varianty. Varianta 11

1 2 3 4 5

a -4 6 0 8 7

b 5 4 -7 2 -9

c -3 -3 -5 -2 0

d 1 2 3 9 -2

e -6 -1 4 -1 0

Každý žák má tabulku k dispozici, tabulka slouží k procvičování početních operací. Pomocí tabulky lze tvořit řadu úloh, např.: • Sčítej čísla pod sebou z řádků 1 a 2. • Od čísel ze sloupce e odčítej čísla ze sloupce d. • Vynásob mezi sebou všechna čísla z řádku 1. Varianta 22

1 7 13 19 25

2 8 14 20 26

3 9 15 21 27

4 10 16 22 28

5 11 17 23 29

6 12 18 24 30

Každý žák má k dispozici tuto základní tabulku s čísly 1 až 30. Zadáváme žákům předem připravená různá záhlaví tabulky, která se připojují (např. kancelářskou sponkou) k základní tabulce. Pro ilustraci uvádíme příklady záhlaví na procvičení násobení jednočlenů a dvojčlenů a na řešení lineárních rovnic.

1 2

Námět poskytla dr. L. Hozová z Opavy. Námět dodala Mgr. A. Polová z Příbrami.

Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

strana 10 SU

∑ MA


· 5u – 3u2 u+1 2–u 1 + u2

u

0,1u

4u2

– u3

– 2u

u5

= x+3 x–1 2–x 2x 0,5x

0

2

5

–6

18

150

Zvolíme některé z čísel 1 až 30 ze základní tabulky, např. 213. V případě prvního záhlaví generuje číslo 21 úlohu: • Vypočítej součin (2 – u) a 4u2. V případě druhého záhlaví generuje toto číslo úlohu: • Řeš rovnici 2x = 5. (Pro nalezení příslušných políček tabulky odpovídajících danému číslu je možné použít jako pomůcku průsvitný trojúhelník.)

Varianta 3 Jednoduché tabulky mohou tvořit i žáci. Uvedeme příklad na práci ve dvojicích. Každý žák v rámci domácí práce vytvoří tabulku na sčítání desetinných čísel ve dvou verzích. První tabulku, která má vyplněné pouze záhlaví se zadáním úloh, předloží v hodině svému sousedovi v lavici k řešení. Pomocí druhé tabulky, kterou má předem kompletně vyplněnou, pak zkontroluje spolužákovo řešení. V případě neshody rozhodneme my.

+ 4,4 0,9 -5,6

3

1,2

-3,5

0,7

+ 4,4 0,9 -5,6

1,2 5,6 2,1 -4,4

-3,5 0,9 -2,6 -9,1

0,7 5,1 1,6 -4,9

Pro zpestření rozcvičky mohou čísla volit i žáci.


strana 11 SU

∑ MA


2.2 Karty Tvoří-li žáci sami úlohy, výuka se může výrazně oživit. Pro ilustraci uvádíme hru s kartami, pomocí které lze procvičit učivo o celých číslech a kterou mohou řídit sami žáci. Každý žák dostane čtvrtku, na kterou zapíše námi určené celé číslo; např. ve třídě s 31 žáky půjde o čísla od – 15 do 15. Zadáme téma k procvičení, např. porovnávání celých čísel. „Dobrovolníci“ z řad žáků formulují úkoly, na kontrole se může podílet celá třída: • Zvedněte karty s celými čísly, která jsou větší než 9, a ukažte je ostatním. • Zvedněte čísla menší nebo rovna – 10. • Zvedněte čísla větší než – 7 a menší než 3. • Zvedněte čísla s absolutní hodnotou 2. • Zvedněte čísla s absolutní hodnotou menší nebo rovnou 0. • Zvedněte čísla s absolutní hodnotou větší než 11. Obdobné hry lze využít k procvičení početních operací na množině celých čísel. Další náměty na hry s kartami jsou uvedeny v [3], str. 10 – 11 a str. 55 – 56.

3. Sběr dat a jejich využití Data a informace vhodné pro tvorbu úloh lze získávat z materiálů nejrůznějších institucí (banky, pošty, elektrárenské a plynárenské společnosti, telefonní společnosti), z reklamních publikací (katalogy cestovních kanceláří, brožury realitních společností, katalogy internetových firem) a reklamních letáků (akční nabídky různých obchodů a firem), z denního tisku, časopisů apod.

3.1 Účet za elektřinu Mezi úkoly, se kterými se žák jako dospělý bude stále setkávat, je kontrola účtů (za plyn, za elektřinu, za telefon, za odběr vody atd.). Předkládáme část zákaznického účtu za odběr elektřiny4 (obr. 15). Úlohy zaměříme jednak na orientaci v účtu, jednak na kontrolu uváděných údajů: • Jak vysoká byla celková spotřeba elektřiny? (244 kWh) • Zkontrolujte, zda je správně vypočítáno, kolik korun zaplatíme za spotřebu elektřiny. (Ano.) • Kolik korun činí plat za příkon za 1 měsíc a za celé účtovací období? (40 Kč a 160 Kč)

4

Citlivé údaje jsou z účtu vymazány.


strana 12 SU

∑ MA


Obr. 15

• • •

Zkontrolujte, zda je správně vypočítána celková dodávka elektřiny. (Ano) Kolik korun bylo zaplaceno celkem na zálohách? (960 Kč) Uveďte, zda zákazník přeplatil či nedoplatil složenými zálohami poskytované služby. Kolik je to korun? (Nedoplatil 34,48 Kč.)

Před řešením výše uvedených úloh je důležité, aby žáci byli seznámeni s tím, že cena za dodávku elektřiny se skládá ze dvou částí: z měsíčního paušálu a ceny za spotřebovanou elektřinu. Měli bychom také sdělit význam symbolů kWh a A (jednotka elektrické energie a jednotka elektrického proudu).

3.2 Katalogy cestovních kanceláří Zalistujeme v katalozích cestovních kanceláří a vybereme několik pasáží, které mohou sloužit jako základ pro tvorbu úloh.


SU

∑ MA


Putování střední Francií 8.7. – 16.7. 9 990 Kč Základní cena zahrnuje dopravu autobusem, šest noclehů v hotelu (dvoulůžkové pokoje), průvodce, komplexní pojištění, informační materiál, nezahrnuje vstupné do hradů a zámků (45 EUR). Sleva 700 Kč na osobu ve třílůžkovém pokoji. Příplatek 3 000 Kč za jednolůžkový pokoj. Příplatek 760 Kč za šest snídaní. Slevy ze základní ceny: 10 % při zaplacení 50 % ceny zájezdu do 31.12., 5 % při zaplacení 50 % ceny zájezdu do 31.1., 3 % při zaplacení 50 % ceny zájezdu do 28.2. a navíc 1 % ze základní ceny zájezdu za každý absolvovaný zájezd s naší cestovní kanceláří od roku 1998. Sleva se uplatní při doplacení zájezdu. Na ukázku uvedeme několik úloh: • Kolik korun činí základní cena zájezdu (bez slev) pro zákazníka, který chce být na jednolůžkovém pokoji a připlatí si za snídaně? (13 750 Kč) • Kolik korun si zákazník bude muset připravit pro výměnu korun za eura na vstupné, jestliže předpokládá, že 1 EUR nepřekročí hranici 30 Kč? (1 350 Kč) • Kolik korun za zájezd zaplatí tříčlenná rodina, která bude bydlet na třílůžkovém pokoji se snídaněmi, zálohu zaplatila 25.1. a s cestovní kanceláří jede poprvé? (28 651,50 Kč) • Kolik korun za zájezd zaplatí manželé, kteří budou bydlet na dvoulůžkovém pokoji bez snídaní, zaplatili zálohu 15.2. a s cestovní kanceláří jedou od roku 1998 počtvrté? (18 781 Kč)

Za zdravým vzduchem do Jizerských hor Termíny – cena za osobu a noc 1.4. – 8.7. 8.7. – 26.8. 26.8. – 28.10.

Dospělý Lůžko Přistýlka 470 341 499 356 470 341

Dítě od 5 do 15 let Lůžko Přistýlka 470 241 499 256 470 241

Příplatek za 1 lůžkový pokoj 221 221 221

Služby zahrnuté v ceně Ubytování ve dvoulůžkových pokojích se sprchou, WC, TV, telefonem a lednicí, s možností až dvou přistýlek, snídaně bufetovým způsobem, pojištění. Jedno dítě do pěti let na přistýlce se snídaní zdarma! strana 14 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Poplatky placené na místě Rekreační poplatek (od 15 let) …17 Kč/den Parkovné …………………..……35 Kč/den Pes ………………………………20 Kč/den Na místě lze dokoupit obědy i večeře Oběd dosp./dítě ……………….100 Kč/60 Kč Večeře dosp./dítě ………………..80 Kč/50 Kč Úhrada objednaných služeb musí být zákazníkem provedena nejpozději 35 dnů před počátečním dnem objednaného termínu pobytu. Odstoupení od smlouvy Pokud zákazník odstoupí od uzavřené smlouvy, je povinen zaplatit následující stornopoplatky: 35 a více dnů před nástupním dnem termínu pobytu …………………………...100 Kč, 22 až 35 dnů ………………………….……25 % z celkové ceny objednaných služeb, 8 až 21 dnů …………………………….…...50 % z celkové ceny objednaných služeb, 4 až 7 dnů ……………………………….….85 % z celkové ceny objednaných služeb, 3 dny a méně ……………………………….100 % z celkové ceny objednaných služeb. Uvedeme tři úlohy pro ilustraci. • Čtyřčlenná rodina Novákova (otec, matka, dvanáctiletý Petr a čtyřletá Monika) se chystá za zdravým vzduchem do Jizerských hor. Objednali si třídenní pobyt, od 15.4. do 17.4., ve dvoulůžkovém pokoji se dvěma přistýlkami. Kolik korun celkem zaplatili za služby zahrnuté v ceně? (3 543 Kč) • Novákovi předpokládají, že pojedou autem, vezmou s sebou psa Arguse a pro celou rodinu si doplatí večeře na dva dny. Kolik korun by v tomto případě doplatili na místě? (787 Kč) • Petr s Monikou bohužel onemocněli, a proto otec Novák 5.4. pobyt zrušil. Kolik korun mu cestovní kancelář vrátí? (1 771,50 Kč) 3.3 Články v novinách I zběžná prohlídka denního tisku se často vyplatí. Například v jedněch novinách se objevily dne 19.1. 2006 čtyři články, v nichž byly zařazeny i tabulky vhodné pro tvorbu jednoduchých úloh, na kterých si žáci procvičují operace na množině přirozených čísel a zároveň se učí číst a interpretovat data v tabulkách. Tabulky mohou být také využity k procvičování procent. Okopírované tabulky můžeme prezentovat žákům např. na fóliích prostřednictvím zpětného projektoru.


SU

∑ MA


Do Turína má jet rekordní výprava Plénum ČOV dnes ke schválení dostane 82 olympioniků Obr. 16

• • •

Ověřte, zda v tabulce je počet všech olympioniků skutečně 82. (Ano.) Kolik je na olympiádu nominováno žen a kolik mužů? (Žen 20, mužů 62.) Kolik procent z celkového počtu nominovaných olympioniků tvoří lední hokejisté? (28 %)

Pošta zdraží poštovné u zásilek do ciziny Letecká pošta mimo Evropu naopak zlevní Obr. 17

•

U kterých zásilek uvedených v tabulce (obr. 17) se cena zvýšila a u kterých se snížila? (Zvýšila se u zásilek do evropských zemí a ekonomických zásilek do mimoevropských zemí, snížila se u letecké pošty do mimoevropských zemí.) strana 16


SU

∑ MA


• •

O kolik korun se zvýšilo poštovné do evropských zemí u jednotlivých zásilek podle hmotnosti? ( O 1 Kč; 3 Kč; 4 Kč; 20 Kč; 25 Kč; 63 Kč; 110 Kč.) O kolik procent se zvýšilo poštovné do evropských zemí u jednotlivých zásilek podle hmotnosti? Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta. (O 11,1 %; 17,6 %; 12,9 %; 40 %; 26,3 %; 35,6 %; 37,9 %.)

Na ptačí chřipku jde 1,9 miliardy dolarů Obr. 18

• • •

Kolik milionů dolarů činí celkem součet všech příslibů z tabulky? (1 439 miliónů USD) Kolika korunami přispěje Česká republika za předpokladu, že 1 USD je přibližně 24 Kč?5 (4 800 000 Kč) Kolik procent tvoří příspěvek České republiky v rámci zemí Evropské unie? Výsledek zaokrouhlete na setiny procenta. (0,16%)

Stát výhodně půjčí mladým na modernizaci bydlení Mohou získat až 150 tisíc korun Obr. 19

5

Jde o kurz ke dni 23.1. 2006.


strana 17 SU

∑ MA


•

Kolik korun celkem zaplatí mladí lidé měsíčními splátkami za 10 let, jestliže dostanou půjčku 50 000 Kč?(Neuvažujeme poplatky za vedení účtu, ani poplatek za uzavření smlouvy.) (55 200 Kč)

Poslední úloha evokuje otázku, zda připravovaná státní půjčka pro mladé je výhodnější než běžný úvěr poskytovaný bankami. Uvádíme část tabulky s nabídkou úvěrů jednoho bankovního ústavu. Orientační tabulka maximálních měsíčních splátek Výše půjčky v Kč

50 000

100 000

12 splátek 24 splátek 36 splátek 48 splátek 60 splátek

4 580 2 443 1 744 1 395 1 185

8 786 4 779 3 389 2 698 2 286

•

•

Kolik korun celkem zaplatí klient banky měsíčními splátkami, jestliže si půjčí 50 000 Kč na rok, na dva roky, na tři roky, na čtyři roky, na pět let?(Neuvažujeme poplatky za vedení účtu, ani poplatek za uzavření smlouvy.) (54 960 Kč, 58 632 Kč, 62 784 Kč, 66 960 Kč, 71 100 Kč) Porovnejte finanční výhodnost státní půjčky pro mladé a úvěru poskytovaného bankou. (Z výsledků uvedených v předchozích úlohách lze odhadnout, že státní půjčka pro mladé je finančně výhodnější. Běžný úvěr lze ale použít k libovolným účelům, což je jeho nesporná výhoda. Navíc je zde i otázka dostupnosti státní půjčky.)

Náměty na další úlohy tohoto typu poskytuje stavební spoření a hypoteční úvěry; viz např. [12].

3.4 Parkovné Na sběru dat se mohou výrazně podílet žáci. Je ovšem třeba, aby byli k této činnosti dostatečně motivováni a též patřičným způsobem nasměrováni. Motivací může být například úloha z učebnice: Obr. 20 Parkovné pro náročnější Za každou započatou hodinu parkování se platí 30 Kč. Maximální doba parkování je 2,5 hodiny. Nakresli graf znázorňující výši parkovného v závislosti na době parkování. (Výsledek je na obr. 21.)


SU

∑ MA


Obr. 21

Úloha je převzata z učebnice [11] a procvičuje sestrojování grafů lineárních závislostí. Při diskusi nad řešením této úlohy lze dospět k problému, zda se vůbec někde takto parkovné platí. A odtud může vyplynout úkol pro dobrovolníky z řad žáků: Všimněte si, jak jsou na parkovištích stanoveny poplatky za parkování v závislosti na jeho době, a zapište si potřebné údaje. Zkuste pak sami doma sestrojit grafy příslušných závislostí. Za týden nám předvedete svá řešení. (Z žákovských řešení by mělo vyplynout, že vesměs půjde o závislosti, které jsou po částech konstantní, tj. o „schodovité funkce“, které se mohou lišit v počtu, délce a výšce „schodů“.)

3.5 Slevy zboží Atraktivním zdrojem úloh jsou slevy cen, se kterými se žáci setkávají na každém kroku. Ať se žáci rozhlédnou například po výkladních skříních obchodů a shromáždí slogany o slevách. Slevy všeho zboží o 40%. Veškeré zboží zlevněno na 40%. Sleva všeho až 30%. Nová cena nejvýše 70% z ceny původní. Sleva všeho zboží o 20% až 60%. Sleva téměř všeho zboží na 60%. Sleva vybraných druhů zboží na 50%. Zajímavé jsou zvláště slogany: Sleva veškerého zboží o 100%. Sleva všech druhů zboží o – 30%. Můžeme vybrat konkrétní druh zboží a tvořit úlohy na slevy podle výše uvedených sloganů. • Dámský svetr stál původně 850 Kč. Kolik korun za něj zaplatíme po uvedené slevě? (510 Kč, 340 Kč, 595 Kč až 850 Kč, 0 Kč až 595 Kč, 340 Kč až 680 Kč, 510 Kč nebo 850 Kč, 425 Kč nebo 850 Kč, 0 Kč, 1 105 Kč. Poslední dva případy slev obchodníci nechápou tak jako my, tj. správně matematicky; v prvním případě mají pravděpodobně na mysli zlevnění na polovinu, ve druhém slevu o 30 %.) strana 19 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Přirozeným způsobem se dostáváme i k úlohám, které ukazují důležitost základu, ze kterého se při výpočtu slev vychází. • V první prodejně stál svetr 850 Kč a byl zlevněn o 15%, ve druhé prodejně byl stejný svetr zlevněn o 35% a původně stál 1 200 Kč. Ve které prodejně je výhodnější svetr po slevě koupit? (V první prodejně.) Řadu námětů na tvorbu dalších úloh tohoto typu lze nalézt např. v [1].

3.6 Nákupy Vděčným námětem jsou ceny zboží v různých prodejnách. Připravíme tabulku vhodnou pro vyvěšení na nástěnku, do jejíhož záhlaví vyplníme určené druhy zboží (u kterých lze předpokládat, že se v různých obchodech vyskytují přibližně ve stejné jakosti). Název obchodu

Pomeranče Kč/kg

Banány Kč/kg

Citrony Kč/kg

Paprika Česnek červ. Kč/kg Kč/kg

Cibule žlutá Kč/kg

Žáci postupně doplňují tabulku názvy obchodů a zjištěnými cenami; třída je rozdělena do skupin, každá skupina provádí průzkum cen v jedné prodejně. Vyplněnou tabulku využijeme k řešení nejrůznějších úkolů: • Ve které prodejně jsou pomeranče nejlacinější a ve které nejdražší? Kolik korun činí rozdíl na jeden kilogram? • Určete cenu nákupu 0,5 kg citronů, 2,1 kg pomerančů a 1,8 kg banánů v jednotlivých prodejnách z tabulky. Ve které prodejně je cena nákupu nejnižší a ve které nejvyšší? Kolik korun činí rozdíl těchto cen? Tuto úlohu lze modifikovat změnou volby nákupu. Žáci řeší úlohy ve stejných skupinách, ve kterých prováděli sběr dat, a nakupují ve „svých prodejnách“. Jinou variantou, která může být zvláště pro chlapce zajímavější, je například sběr a vyhodnocování informací týkajících se cen pohonných hmot na různých čerpacích stanicích. Můžeme řešit obdobné úlohy jako v předchozím případě.

4. Lokalizace do žákovského prostředí Pro žáky, zvláště mladší věkové kategorie, je motivačně přitažlivé, když se úlohy váží k jejich okolí (místo bydliště, region) a k jejich vlastním činnostem a zkušenostem (třída, škola, rodina, sportovní nebo zájmový oddíl atd.). Na ukázku uvedeme několik námětů na úlohy, jak transformovat tímto způsobem zadání z učebnic do „místních poměrů“. strana 20 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


4.1. Mapy a plány Na obrázku 22 je plán části města Zlín v měřítku 1 : 15 000. Obr. 22

• • • •

Jaké skutečné vzdálenosti odpovídá na plánku délka 1 cm? Zjisti přibližnou délku Školní ulice. Urči skutečnou vzdálenost po třídě Tomáše Bati od semaforů na náměstí Práce k Malé scéně ZUŠ. Odhadni, jak dlouho by ti trvala cesta z finančního úřadu na katastrální úřad, když jdeš rychlostí 4 kilometry za hodinu a jdeš po ulicích Zarámí, Kvítková a Díly III.

Úlohu lze modifikovat tak, že se řeší obdobné úkoly nad plánem města či nad mapou regionu, ve kterém žáci žijí. Odhady krátkých vzdáleností v místě bydliště mohou žáci sami prověřit např. krokováním, odhady delších vzdáleností v regionu pomocí údajů na turistických ukazatelích a směrových tabulích.


SU

∑ MA


4.2 Kuchařské recepty Vděčným zdrojem úloh jsou při procvičování poměrů recepty na jídla a nápoje. Sýrový salát Předpis pro 4 osoby: 4 plátky eidamu, 2 jablka, 2 pomeranče, 1 bílý jogurt, cukr, citrónová šťáva. Napiš předpis: a) pro 2 osoby, b) pro 6 osob, c) pro 9 osob. Takové jídlo nemusí být pro žáky lákavé, a úloha je proto asi ani nezaujme. Bohatou nabídku zajímavých druhů jídel a nápojů lze nalézt na různých internetových stránkách, např. http://www.iprima.cz/primarodina/, http://www.klucivakci.cz. Recepty ale mohou žáci sami vyhledávat doma v kuchařkách či v různých časopisech. Nejatraktivnější budou oblíbené recepty maminek, babiček a tet, případně otců, dědů a strýců. Žáci mohou sestavovat recepty pro různě početné skupiny hostů, třebas i pro celou třídu.

4.3 Kaluž a zrcátko Uvedeme ještě jednu úlohu, jejíž lokalizace vede i k manuálním činnostem. Po dešti Zdeněk určoval výšku stromu po velkém lijáku. Když zahlédl, jak se vršek stromu zrcadlí v kaluži, vzpomněl si na zákon odrazu z fyziky. Obr. 23

Změřil, že jeho vzdálenost od místa odrazu vršku stromu v kaluži je 1,9 m, vzdálenost stromu od tohoto místa je 41 m a vzdálenost očí od země je 1,7 m. Vypočítej výšku stromu. (Přibližně 37 m.) strana 22 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Jednoduchou modifikaci této úlohy můžeme realizovat přímo ve třídě: Zvolíme výrazné místo na stěně učebny, např. horní okraj okna či konec stěny u stropu, a budeme spolu s žáky určovat vzdálenost tohoto místa od podlahy. Místo kaluže použijeme zrcátko, které položíme na podlahu; výsledky budou přesnější, vyznačíme-li na zrcátku místo, ve kterém se má sledovaný objekt odrážet, např. pomocí křížku fixem. V první fázi jde o to, aby všichni žáci pokus správně pochopili. Postavíme se tak, abychom v označené části zrcátka viděli zvolené místo, a vyzveme žáky, aby v této situaci - ukázali a popsali myšlené pravoúhlé trojúhelníky, - znázornili situaci jednoduchým náčrtkem, - změřili potřebné délky a zapsali je do náčrtku. Na tabuli se objeví například tento obrázek: Obr. 24

V této části řešení úlohy nepovažujeme za vhodné provádět výpočet, protože po získání výsledku mohou někteří žáci ztratit o úlohu zájem. V další části řešení klademe žákům nové otázky, které pozměňují základní případ. Žáci nejprve odhadují správné odpovědi a potom je prakticky předvádějí. Reálné situace využijeme k ověření správnosti žákovských odpovědí. Můžeme pokládat např. tyto otázky: • Výšku horního okraje okna postupně určovali při stejné poloze zrcátka velký a malý žák. Který z nich stál blíže u zrcátka? (Ten malý.) • Zdeněk zkouší při stejné poloze zrcátka určit i výšku dolního okraje okna. Musí jít blíže k zrcátku nebo dál od zrcátka? (Dál od zrcátka.) • Když Jana pozorovala v zrcátku horní okraj okna, Marek posunul zrcátko o malý kousek blíže k oknu. Co uviděla Jana v zrcátku při jeho nové poloze; okno nebo stěnu nad oknem? (Okno.) • Kterým směrem musela popojít Jana v situaci z předcházející otázky, aby v zrcátku znovu uviděla horní okraj okna; k zrcátku nebo od zrcátka? (K zrcátku.) Jednotlivé situace je vhodné doplnit náčrtky. Ve třetí části řešení provedeme s žáky výpočet. Doporučujeme změřit odpovídající délky a vypočítat hledanou výšku i v některé ze situací popsaných otázkami. Žáci si tak lépe uvědomí nezávislost výsledku na konkrétní volbě podobných trojúhelníků. strana 23 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


5. Aktualizace úloh Mnohé aplikační úlohy z mimomatematických oblastí uváděné v učebnicích a sbírkách (zvláště úlohy týkající se cen zboží, cen služeb a různých poplatků) postupem času ztrácejí svou aktuálnost a zastarávají, proto je nutná jejich časová aktualizace. (Naše aktualizace, kterou provádíme v lednu 2006, už nemusí být aktuální teď, když o aktualizaci čtete.)

5.1 V restauraci Nabízíme úlohu z učebnice [14]. • Pavel byl s tatínkem na obědě v restauraci. Pavel měl hovězí polévku za 1,70 Kčs a vepřové na houbách za 16,20 Kčs. Tatínek si objednal také hovězí polévku a svíčkovou s knedlíkem, která stála 16,30 Kčs. Stačily tatínkovi na zaplacení oběda dvě dvacetikoruny? (Ano.) Určitě neuškodí tuto téměř historickou úlohu vyřešit; žákům můžeme učebnici, pokud ji máme k dispozici, ukázat. Žáci se možná zeptají, proč to „s“ v Kčs. Inovace úlohy by měla vycházet z reality (ceny zjistil jeden z autorů přímo v restauraci). • Pavel byl s tatínkem na obědě v restauraci. Pavel měl hovězí polévku za 18 Kč a vepřové na houbách za 82 Kč. Tatínek si objednal také hovězí polévku a svíčkovou s knedlíkem, která stála 95 Kč. Stačily tatínkovi na zaplacení oběda dvě stokoruny? (Ne.) Navštívíme-li restauraci, vybíráme si jídlo a pití podle jídelního lístku. Jídelní lístek můžeme sami vytvořit, můžeme jej získat na internetu nebo přímo v některé z restaurací z okolí školy či místa bydliště. Zde uvádíme výběr z bohatého jídelního a nápojového lístku jedné z mimopražských restaurací (obr. 25). Kompletní jídelní lístky některých restaurací lze nalézt na internetové adrese http://www.seznam.cz/ Cestovni-sluzby-a-pohostinstvi/Restauracni-a-pohostinske-sluzby/. Každý žák by měl mít jídelní lístek před sebou. • •

•

Host si objednal gulášovou polévku, pečenou domácí sekanou s bramborovým salátem a Korunní kyselku. Kolik korun zaplatil? (83 Kč - do výsledné ceny v žádné úloze nezapočítáváme spropitné.) Rodina Kalinova (otec, matka a dvě malé děti) si objednala k jídlu dva hovězí vývary, jedny kančí výpečky, jednu kuřecí kapsu se žampiónovou náplní a dvě poloviční porce kuřecích nudliček s brokolicí. K pití jim číšník přinesl nealkoholické pivo, jednu Korunní kyselku a dvakrát dva decilitry multivitaminu. Kolik korun pan Kalina zaplatil? (299 Kč) Objednej si oběd podle své chuti, máš ale jen 60 Kč, víc utratit nemůžeš. Napiš, co poobědváš a kolik korun zaplatíš. (Např. smažený sýr a 1 dcl sody, 59 Kč.)


SU

∑ MA


Obr. 25

Žáci se mohou rozdělit do skupinek (dvoučlenných či vícečlenných), v nichž někteří vystupují jako číšníci (ti přijímají objednávky a počítají útratu) a ostatní jsou hosty (ti si vybírají jídla a nápoje a také kontrolují vystavené účtenky). strana 25 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


5.2 O cenách Podívejme se nyní na některé úlohy vázané na ceny zboží. Následující úloha je vybrána opět z učebnice [14]. • Martin kupoval 2 kg cukru krupice po 7,30 Kčs, 3 mléčné pudinky po 3,20 Kčs, 1 kg hrubé mouky za 3,80 Kčs, 5 rohlíků po 0,30 Kčs a sáček bonbónů za 2,50 Kčs. Stačilo mu na nákup 30 Kčs? (Nestačilo.) Obdobně jako v případě oběda v restauraci je vhodné tuto úlohu vyřešit (a uvést i zdroj). Před aktualizací úlohy doporučujeme zeptat se žáků, zda vědí, kolik korun přibližně dnes stojí dané druhy zboží. V dále uvedené inovované úloze jsou ceny, které zjistil jeden z autorů v prodejně v blízkosti svého bydliště (bonbony vybral své oblíbené): • Martin kupoval 2 kg cukru krupice po 21,50 Kč, 3 mléčné pudinky po 4,50 Kč, 1 kg hrubé mouky za 9,90 Kč, 5 rohlíků po 1,50 Kč a sáček bonbonů za 13,40 Kč. Stačilo mu na nákup 100 Kč? (Stačilo.) Úkol v dané úloze lze také formulovat jinými způsoby: • Kolik korun je celková cena zboží v nákupním košíku (před pokladnou)? (87,30 Kč) • Kolik korun Martin zaplatil u pokladny? Výsledky této úlohy mohou být různé, a to podle toho, jakým způsobem prodejna zaokrouhluje součet cen na pokladně. I. Nejběžnější způsob je zaokrouhlování na padesátihaléře podle matematických pravidel, jak je ukázáno v tabulce: Cena zboží 87 Kč 87,10 Kč 87,20 Kč 87,30 Kč 87,40 Kč 87,50 Kč 87,60 Kč 87,70 Kč 87,80 Kč 87,90 Kč 88 Kč

Kolik zaplatíme 87 Kč

87,50 Kč

88 Kč

V tomto případě Martin zaplatil 87,50 Kč.


SU

∑ MA


II. V některých obchodech se ceny zaokrouhlují na padesátihaléře „dolů“: Cena zboží 87 Kč 87,10 Kč 87,20 Kč 87,30 Kč 87,40 Kč 87,50 Kč 87,60 Kč 87,70 Kč 87,80 Kč 87,90 Kč 88 Kč

Kolik zaplatíme 87 Kč

87,50 Kč

88 Kč

V tomto případě Martin zaplatil 87 Kč. III. Pokud by prodejna zaokrouhlovala na celé koruny „dolů“, zaplatil by Martin, stejně jako v předchozím případě, 87 Kč. Další úloha o cenách zboží opět ukazuje, že aktualizace může přinést problémy při formulování úkolu; uvedená úloha je převzata z učebnice [6]. V první prodejně stojí polomáčené sušenky 8,80 Kč, ve druhé 8,60 Kč a ve třetí 9,20 Kč. Ve které prodejně jsou nejlevnější? Zadaný úkol není jednoznačný. Záleží na tom, zda se otázka vztahuje na nabízenou cenu či na cenu, kterou zaplatíme u pokladny. Dále jde o způsob zaokrouhlování výsledné ceny nákupu. • Ve které prodejně je nabízená cena sušenek nejnižší? (Ve druhé prodejně.) • Nakupujeme pouze jedno balení polomáčených sušenek. Ve které prodejně zaplatíme za nákup nejméně? a) Prodejna zaokrouhluje ceny nákupu na padesátihaléře „matematickým způsobem“, tj. podle I. b) Prodejna zaokrouhluje ceny nákupu na padesátihaléře „dolů“, tj. způsobem II. (a) Ve druhé prodejně. b) V první a druhé prodejně.)

6. Optimalizační úlohy Naznačme nyní další možnosti časové aktualizace na několika jednoduchých úlohách z finanční matematiky.

6.1 Termínované vklady Pan Mrkvička vložil na termínovaný vklad 20 000 Kč. Vklad je splatný za 1 rok a jeho roční úroková míra je 3,5 %. Daň z úroku je 15 %6. 6

Předpokládáme, že úrokovací období je jeden rok.


strana 27 SU

∑ MA


a) Vypočítej úrok z termínovaného vkladu před zdaněním. b) Vypočítej celkovou částku, kterou pan Mrkvička po roce dostane. (a) 700 Kč, b) 20 595 Kč) Úloha je převzata z učebnice [7], úroková míra není aktuální. Přehled úrokových měr pro některé banky a pro vybrané výše vkladu lze nalézt v denním tisku (obr. 26). Obr. 26

Pokud chceme aktualizovat v úloze pouze úrokovou míru a neměnit výši vkladu, tabulka nám nepomůže. Z uvedené tabulky totiž nepoznáme, zda pro vklad 20 000 Kč je úroková míra stejná jako pro vklad 51 000 Kč. Aktuální úrokovou míru můžeme zjistit přímou návštěvou bankovního ústavu, kde lze získat potřebné informace (obr. 27). Obr. 27

•

Pan Mrkvička vložil 20 000 Kč na termínovaný vklad do Československé obchodní banky (ČSOB). Vklad je splatný za 1 rok a jeho roční úroková míra je 0,95 %. Daň z úroku je 15 %.

a) Vypočítej úrok z termínovaného vkladu před zdaněním. strana 28 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


b) Vypočítej celkovou částku, kterou pan Mrkvička po roce dostane. (a) 190 Kč, b) 20 161,50 Kč7. Různé banky nabízejí různé úrokové míry, a není tedy jedno, ve které bance si pan Mrkvička termínovaný vklad zřídí. •

Pan Mrkvička zdědil 20 000 Kč. Rozhodl se uložit je na termínovaný vklad na 1 rok do České spořitelny, nebo do Raiffeisenbank. Ve které bance získá pan Mrkvička po roce vyšší úrok? Kolik korun činí rozdíl zdaněných úroků v České spořitelně a Raiffeisenbank? Daň z úroku je 15 %. K vyřešení úlohy je potřeba zjistit aktuální úrokové míry v jednotlivých bankách. To zjistíme pohodlně s využitím internetu, například na adrese www.finance.cz/home/bankovnictvi/vklady/sazby_TV/ (obr. 28). Obr. 28

Na této stránce zvolíme v seznamu bankovních ústavů Českou spořitelnu, měnu CZK a po kliknutí na políčko Vyhledej získáme potřebné informace (obr. 29).

7

Předpokládáme, že banka vyplácí částky zaokrouhlené na padesátihaléře.


strana 29 SU

∑ MA


Obr. 29

•

Česká spořitelna nabízí termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 0,9 %.

Stejným způsobem obdržíme data pro Raiffeisenbank (obr. 30). Obr. 30

•

Raiffeisenbank nabízí termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 0,85 %. strana 30


SU

∑ MA


Po získání údajů o úrokových mírách obou bank už můžeme úlohu řešit. Dospějeme k tomuto výsledku: Pan Mrkvička získá vyšší úrok v České spořitelně. Rozdíl zdaněných úroků činí 8,50 Kč. Úlohu lze dále rozšířit zařazením dalších bank. Přirozeně budeme hledat bankovní ústav, ve kterém by měl pan Mrkvička největší zisk. Výsledky můžeme snadno zkontrolovat pomocí internetu na adrese www.finance.cz/home/bankovnictvi/financni_kalkulacky/terminovane_vklady (obr. 31). Obr. 31

Na této stránce zadáme částku 20 000 Kč, úrokovou dobu 1 rok a měnu CZK. Získáme přehled vyplacených částek v jednotlivých bankách (obr. 32). Obr. 32


SU

∑ MA


6.2 Sankční poplatky Údaje na internetu dávají podnět k tvorbě dalších úloh z finanční matematiky. Uvedeme ještě jeden příklad. Často se stává, že peníze uložené v bance na určité období potřebujeme předčasně vyzvednout. Pokud to bankovní ústav umožňuje, účtuje si sankční poplatek. Sankční poplatky zjistíme na internetové adrese www.penize.cz/produkty/terminovane_vklady (obr. 33). Obr. 33

Na této stránce lze v dolní části nalézt heslo K porovnání, které má pod sebou uveden přehled různých bankovních ústavů (obr. 34). Kliknutím na ikonu , která je umístěna v každém řádku tabulky vpravo, zařadíme do výběru příslušnou banku. Porovnání spustíme kliknutím na odkaz Porovnat.


SU

∑ MA


Obr. 34


SU

∑ MA


Ke stránce na obr. 35 jsme se dostali výběrem ČSOB, PPF banky a Raiffeisenbank. Obr. 35

Nyní můžeme formulovat různé úlohy týkající se sankcí. • Pan Mrkvička zdědil 20 000 Kč. Peníze uložil na termínovaný vklad na 1 rok u ČSOB. Po 7 měsících potřeboval peníze nutně vybrat. Určete sankční poplatek, který pan Mrkvička zaplatil. (300 Kč) • Kolik by činil sankční poplatek za stejných podmínek v PPF bance? (1 000 Kč) 6.3 Standard, Special či Minilease? V běžné denní praxi se často setkáváme se situacemi, kdy je nabízeno několik variant a my se musíme rozhodnout, která z nich je pro nás optimální, např. z finančního hlediska. Takové situace jsou vděčným námětem pro tvorbu úloh. strana 34 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Uvedli jsme už několik úloh tohoto typu z finanční matematiky; teď si ukážeme další optimalizační úlohu. Před námi leží inzerát týkající se pronájmu osobního auta8. Obr. 36

Informace v inzerátu evokují celou řadu jednoduchých úloh, které jsou řešitelné pouze aritmetickými prostředky. Pro ilustraci uvádíme několik z nich: • Kolik korun zaplatí zákazník za pronájem Fordu na 5 dnů při volbě typu ceny Special? (7 975 Kč) • Zákazník si pronajal Ford na 7 dnů a zvolil přitom typ ceny Standard. S vozem ujel celkem 1 250 km. Kolik korun za pronájem zaplatil? (17 738 Kč) • Nebylo by pro zákazníka v předchozí úloze finančně výhodnější, aby si při pronájmu Fordu zvolil typ ceny Special? (Ano. Zaplatil by jenom 9 394 Kč.) • Zákazník si pronajímá Ford na 60 dnů. Předpokládá, že denně ujede průměrně 150 km. Který z nabízených typů cen by si měl z hlediska finanční výhodnosti zvolit? (Speciál. Special 80 520 Kč, Standard 136 440 Kč, Minilease 84 900 Kč) 9. • Některé plánované cesty zákazníka v předchozí úloze se nerealizovaly, zákazník s Fordem najezdil za 60 dnů pouze 6 245 km. Byla i při těchto změněných podmínkách volba typu ceny Special finančně nejvýhodnější? (Nebyla. Minilease 59 829,50 Kč, Special 80 520 Kč, Standard 111 369,50 Kč. Inzerátu rozumíme tak, že při volbě typu ceny Minilease si lze za 60 dnů odpočítat 100 · 60 km, u kterých nezaplatíme „nad limit“.)

8 9

Adresa firmy je vymazána. Přirozeně nás teď napadne, zda by nebylo účelnější koupit starší ojetý vůz.


strana 35 SU

∑ MA


Zajímavější, ale také náročnější, jsou úlohy, ve kterých žák může uplatnit znalosti o řešení lineárních rovnic, případně lineárních nerovnic, a dovednosti týkající se sestrojování grafů lineárních funkcí: •

Při jakém počtu ujetých kilometrů je výhodnější v případě pronájmu na jeden den zvolit typ Standard než typ Special? (Menší než 133,7 km. Výsledek zjistíme řešením nerovnice 1 010 + 9,10x < 2 227, kde x je neznámý počet ujetých kilometrů. Grafické řešení je na obr. 37.)

Obr. 37 (Kč) 3 000 y = 9,1x + 1 010 2 227 2 000

y = 2 227

1 010

0

50

100

x

150

200

(km)

•

Při jakém počtu průměrně ujetých kilometrů za den je finančně výhodnější pro pronájem v intervalu 7 až 27 dnů typ Standard než typ Special? (Denní průměr ujetých kilometrů menší než 47,6 km. Označíme počet ujetých kilometrů za celou dobu pronájmu z a počet dnů pronájmu n. Cena za pronájem u typu Standard (909n + 9,10z) Kč, u typu Special (1 342n) Kč. z Počet x průměrně ujetých km za jeden den je roven . K výsledku dospějeme buď: n - řešením nerovnice 909 + 9,10x < 1 342 - nebo řešením rovnice 909 + 9,10x = 1 342 - s využitím grafů lineárních funkcí y = 9,1x + 909 a y = 1 342.) •

Pro jaký počet průměrně ujetých kilometrů za jeden den při pronájmu na 28 až 60 dnů je finančně nejvýhodnější typ ceny Standard; Special; Minilease? (Standard do 5,6 km, Minilease od 5,6 km do 142 km, Speciál od 142 km. Cestu k výsledku napovídá obr. 38. Definiční obor funkce y = 960 je interval 〈0, 100〉, definiční obor funkce y = 960 + 9,1(x – 100) tvoří všechna x > 100.)


SU

∑ MA


Obr. 38

Úlohy mohou být zaměřeny ještě v dalším směru: • Kolik korun zaplatí zákazník za pronájem vozu při typu ceny Special na 6 dnů a kolik korun za pronájem na 7 dnů? (Za 6 dnů 9 570 Kč, za 7 dnů 9 394 Kč.) Výsledek úlohy si zaslouží detailní diskusi, která může vést k tvorbě a řešení dalších úloh: • Sestavte do tabulky ceny za pronájem na 1 až 10 dnů při volbě typu Special; závislost ceny na počtu dnů znázorněte graficky. (Výsledek je uveden v následující tabulce a na obr. 39.) Počet dnů

1

2

3

4

2 227 4 454 4 785 6 380

Cena v Kč

5

6

7

8

9

10

7 975

9 570

9 394

10 736

12 078

13 420

Obr. 39 y (tis. Kč) 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x (dny)


SU

∑ MA


•

•

Jeden ze zákazníků si pronajal Ford na 180 dnů, druhý na 181 dnů. Oba zvolili typ ceny Minilease. Který z nich zaplatil méně a o kolik korun, počítáme-li, že žádný z nich nepřekročil denní limit 100 km? (Méně zaplatil zákazník, který si půjčil Ford na 181 dnů, a to o 21 853 Kč.) Na kolik dnů maximálně si může zákazník při volbě typu Minilease pronajmout Ford v intervalu 61 až 180 dnů, aby cena za denní paušál (do 100 km denně) nepřekročila cenu denního pronájmu na 181 dnů? (Maximálně na 151 dnů. Výsledek je řešením nerovnice 772n ≤ 647 · 181, kde n značí neznámý počet dnů.)

Soubor úloh, který jsme zde uvedli, lze rozšiřovat a případně zarámovat do komplexního projektu, v němž žáci pracují jako zaměstnanci poradenské firmy, která pomáhá zájemcům o pronájem Fordu minimalizovat jejich finanční náklady.


SU

∑ MA


Témata seminárních prací Seminární práce by se zpravidla měly skládat ze dvou částí: 1. Vytvoření souboru vlastních úloh s řešeními nebo příprava materiálů a postupů pro tvorbu úloh ze strany žáků (případně kombinace obou těchto variant), a to na základě sběru dat z učebnic, sbírek a dalších informačních zdrojů. 2. Realizace ve výukovém procesu: vyhodnocení zvolených metod a forem práce, analýza přístupu žáků k řešení, resp. k samostatné tvorbě úloh, pozitivní i negativní zkušenosti atd. Jedna z uvedených dvou částí může být rozsáhlejší, druhá stručnější (lze např. realizovat jen některé z vytvořeného souboru úloh apod.). Seminární práce se mohou vázat ke kterémukoli tematickému celku matematiky druhého stupně základní školy. Můžete tvořit jak soubory úloh „ryze matematických“ (např. na procvičování určitých algoritmů), tak i soubory aplikačních úloh z různých oblastí praxe. Rozhodující pro volbu seminární práce by mělo být především to, aby vycházela z Vaší vlastní pedagogické zkušenosti. Některé náměty na seminární práce nyní uvedeme: •

• • •

Využití jednoduchých pomůcek k tvorbě úloh na osvojování pojmů a procvičování algoritmů Naznačili jsme již možnosti využití tabulek a karet. Další pomůckou mohou být např. špejle, které slouží k demonstraci vzájemných poloh přímek, shodnosti úhlů, os souměrnosti atd., nebo papírové modely rovinných obrazců. Odhady a odhadování Odhady výsledků početních operací, odhady vzdáleností, obsahů, povrchů, objemů. Využití v praktických úlohách. Odhady ve spojení s počítáním na kalkulačkách. Historické úlohy Soubor úloh ze starších učebnic matematiky, které nejsou zařazeny do současných učebnic ani sbírek úloh. Časová aktualizace. Využití induktivních metod Motivační úlohy vedoucí k obecným pojmům, např. osová souměrnost na základě pozorování motýla, staveb, pokusů s překládáním papíru apod. Úlohy vedoucí k tvorbě hypotéz a jejich ověřování, např. cesta k větě o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku, k obsahu rovnoběžníku apod.

V dalších námětech se soustředíme na soubory úloh, které řeší jeden komplexnější problém z praxe, a mohou tedy sloužit jako základ určitého projektu. • • •

Platby v domácnosti Platby za plyn, elektřinu, vodu atd. Kontrola účtů. Určování finanční výhodnosti jednotlivých sazeb a tarifů v závislosti na velikosti „spotřeby“. Telefony Pevné linky, mobilní sítě. Porovnávání cen služeb u různých operátorů. Různé tarify u daného operátora. Optimalizační úlohy. Na poště Poštovní poplatky za různé druhy zásilek v tuzemsku a do zahraničí (evropské a mimoevropské země). Doplňkové služby.

strana 39


SU

∑ MA


• • •

• •

• • • • • • •

•

Daně Daň dědická, daň darovací. Daň z nemovitosti a z převodu nemovitosti. Daň z příjmu. Daň z přidané hodnoty. Daň silniční. Pojištění Povinné ručení a havarijní pojištění motorových vozidel. Pojištění mládeže, úrazové pojištění. Zdravotní pojištění. Pojištění nemovitosti a domácnosti. Cestovní pojištění. Dovolená autem Dovolená v tuzemsku či zahraničí. Projektování trasy podle mapy, počty kilometrů. Finanční rozvaha: cena benzinu, dálniční poplatky, cena za ubytování a stravování, vstupné do objektů, kapesné atd. Dovolená s cestovní kanceláří Výběr z katalogů. Doprava autobusem, letadlem, či po vlastní ose. Různé možnosti stravování a ubytování. Slevy a stornopoplatky. Městská hromadná doprava Trasy a přestupy nad plánem města. Jednotlivé jízdenky a předplatní jízdenky na kratší i delší období, slevy pro různé skupiny osob. Cenová výhodnost v daných konkrétních podmínkách. Cestujeme vlakem a autobusem Jízdní řády, vlaková a autobusová spojení, optimalizace z hlediska času a z hlediska výše jízdného. Slevy jízdného. Rekonstrukce pokoje Projekt rekonstrukce, plán nového uspořádání pokoje. Finanční rozvaha: nákup barev, tapet, koberce, svítidla, pracovního stolu, počítače s příslušenstvím. Zahrada Oplocení zahrady (různé varianty s finanční rozvahou). Projekt osázení zahrady. Nákup keřů a stromků, potřebné zeminy a hnojiv, zahradní techniky a nářadí. Nákup automobilu Výběr tovární značky a typu, porovnávání cen. Základní a nadstandardní výbava, doplňky. Platba v hotovosti, leasing, úvěr. Finanční matematika Běžný účet, kontokorentní účet, termínovaný vklad, dluhopisy. Podílové listy a akcie. Stavební spoření. Spotřebitelský úvěr, prodej na splátky. Hypoteční úvěr. Obchodní transakce Ceny zboží a jejich slevy. Marže. Skonto, diskont. Statistický průzkum Projekt, realizace a vyhodnocení statistického průzkumu (vyučující navrhne oblasti průzkumu a poskytuje konzultace). Náměty na obsahové zaměření průzkumu lze najít např. v [13]. Respondenty mohou být žáci ve třídě, ve škole, v zájmovém kroužku, obyvatelé obce atd. Třídní party Vytvoření jídelního a nápojového menu, odhad množství potravin a nápojů. Finanční odhad nákladů na občerstvení (včetně kelímků, tácků, ubrousků apod.). Stanovení výše zálohy pro jednotlivce, výběr zálohy. Nalezení prodejen pro finančně nejvýhodnější nákup jednotlivých položek, vlastní nákupy. Vyúčtování. Finále – realizace party


SU

∑ MA


Literatura [1] Odvárko, O : Matematika pro každý den. Prospektrum. Praha: 1995 [2] Odvárko, O.: Standard, Special či Minilease? Matematika-fyzika-informatika. roč. 5, č. 3, str. 117 – 123 [3] Odvárko, O., Kadleček, J.: Knížka pro učitele k učebnicím matematiky pro 6.ročník základní školy. Prométheus. Praha: 1998 [4] Odvárko, O., Kadleček, J.: Pokusy ve výuce geometrie. In.: Jak učit matematice žáky ve věku 10 – 15 let. str. 102 – 108. JČMF. Praha: 2002 [5] Odvárko, O., Kadleček, J.: Obvod čtverečného kilometru. Matematika-fyzika-informatika, roč. 15. č. 7. str. 394 – 398 [6] Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 6.ročník základní školy 1. Opakování z aritmetiky a geometrie. Prométheus. Praha: 2003. 2.vydání [7] Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 7.ročník základní školy 2. Poměr. Přímá a nepřímá úměrnost. Procenta. Prometheus, Praha: 2004. 2.vydání [8] Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 8.ročník základní školy 1. Mocniny a odmocniny, Pythagorova věta, výrazy. Prométheus. Praha: 2004 [9] Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 8.ročník základní školy 3. Kruh, kružnice, válec. Konstrukční úlohy. Prométheus. Praha: 2004 [10] Odvárko, O., Kadleček, J.: Pracovní sešit z matematiky. Soubor úloh pro 8.ročník základní školy. Prométheus. Praha: 2004 [11] Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 9.ročník základní školy 2. Funkce. Podobnost. Goniometrické funkce. Prométheus. Praha: 2004. 2.vydání [12] Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 9.ročník základní školy 3. Jehlan, kužel, koule. Finanční matematika. Prométheus. Praha: 2004. 2.vydání [13] Statistická ročenka České republiky. ČSÚ. Praha. vychází každoročně [14] Urbanová, J. a kol.: Matematika pro 5. ročník základní školy, I.díl. SPN. Praha: 1988


SU

∑ MA


Jak tvořit úlohy ze světa našich žáků

Recommend Documents