J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

JA N D E Z I D E R K E E S KO O M E N - M A J E R N I K

INLEIDING TOT DE K WA N T U M M E C H A N I C A

2

jan dezider kees koomen-majernik

Fundamentele vergelijkingen De Schrödingervergelijking: ∂Ψ ˆ = HΨ ∂t Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking: i¯h

ˆ = EΨ HΨ Standaard Hamiltoniaan: h¯ 2 2 Hˆ = − ∇ +V 2m Onzekerheidsrelatie van Heisenberg: σx σp ≥

h¯ 2

Paulivergelijking:

1 ∂ 2 (σ · ( p − qA)) + qφ |ψi = i¯h |ψi 2m ∂t

Diracvergelijking:

∂ψ cα · pˆ + βmc2 ψ = i¯h ∂t

Pauli matrices:

σx =

0 1

1 0

! , σy =

0 i

−i 0

! , σz =

Algemene onzekerheid: 2 1 σA σB ≥ h[ A, B]i 2i

1 0

0 −1

!

inleiding tot de kwantummechanica

Fundamentele constanten Constante van Planck:

h¯ = 1.05457 · 10−34 Js

Gravitatieconstante:

G = 6.672 · 10−11 m3/kgs

Constante van Avogadro:

NA = 6.022136736 · 1023 1/mol

Lichtsnelheid:

c = 2.99792 · 108 m/s

Massa van een elektron:

me = 9.10939 · 10−31 kg

Massa van een proton:

m p = 1.67262 · 10−27 kg

Lading van het elektron:

−e = −1.60218 · 10−19 C

Permittiviteit van het vacuüm:

e0 = 8.85419 · 10−12 C2/Jm

Constante van Boltzmann:

k B = 1.38066 · 10−23 J/K

3

Inhoudsopgave

I

Theorie

9

De klassieke mechanica Elektromagnetisme Kwantummechanica II

Simulatie

11 17 41

61

Het waterstofatoom

63

Voorwoord l vanaf jongs af aan was ik geïnteresseerd in het doen van huistuin-en-keuken experimenten uit populaire wetenschaps boeken. Mijn interesse in de wetenschap begon met scheikunde toen ik op elf jarige leeftijd een boek heb gekregen van mijn moeder over de fundamentele bouwstenen van de chemie. Daarna ontwikkelde ik een grote belangstelling voor de natuur- en wiskunde, maar vooral voor de kwantummechanica. De eerste keer dat ik in contact kwam met de kwantummechanica was ik compleet overrompeld door de magie van dit vak. Ik denk dat we veilig kunnen stellen dat geen één wetenschapper kwantummechanica echt goed begrijpt. Uit verschillende experimenten blijkt onomstotelijk dat kwantummechanica dé methode is voor het beschrijven van het aller kleinste in ons universum. In dit profielwerkstuk wordt de nadruk gelegd om op een uitgebreide maar duidelijke manier een compleet beeld te krijgen van de fundamentele bouwstenen van de natuurkunde. In het eerste deel van dit profielwerkstuk komen de volgende theorieën aan bod: klassieke mechinica, de vier Wetten van Maxwell, de Lorentzkracht, de Wet van Ohm en de Schrödingervergelijking. Ook zullen we in het eerste deel de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom afleidden. In het tweede deel gaan we met behulp van de gevonden oplossing een simulatie maken van de kansdichtheid van het elektron.

A

8


Het is sterk aan te raden dat de lezer een gevorderde kennis heeft van de analytische wiskunde. De lezer moet op de hoogte zijn van de volgende theorieën: differentiaalrekening, integraalrekening, vectorrekening, rijen en reeksen en differentiaalvergelijkingen. Is deze bagage noodzakelijk? Natuurkunde kan je vergelijken met timmerwerk. Gebruikmakend van het juiste gereedschap maakt het vak een stuk makkelijker. Als laatste wil ik alle mensen bedanken die mij hebben geholpen met het realiseren van dit profielwerkstuk. Ik wil in het bijzonder bedanken de heer N.G. Schultheiss en mevrouw A. Toll.

Jan Dezider Kees Koomen-Majernik Maart 2012

Deel I

Theorie

De klassieke mechanica Introductie e mechanica is het onderdeel van de natuurkunde die zich bezig houdt met evenwicht en beweging van voorwerpen onder invloed van de krachten die erop werken. De klassieke mechanica beschrijft het gedrag van macroscopische objecten zoals astronomische objecten, projectielen, sterren, planeten, sterrenstelsels en nog veel meer. Ze is van toepassing op ’allerdaagse’ situaties waar er sprake is van snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid of niet al te sterke zwaartekrachtvelden en waar het gedrag van de materie op atomaire schaal te verwaarlozen is. Wanneer we objecten gaan bestuderen die zeer klein zijn moeten we een andere vorm van mechanica gaan gebruiken namelijk kwantummechanica. Wanneer objecten zich voortbewegen met snelheden die bijna zo groot zijn als de lichtsnelheid wordt de klassieke mechanica versterkt door de speciale relativiteitstheorie. Isaac Newton leverde ons de fundamentele wetten van de klassieke mechanica. Deze drie natuurwetten zijn in 1687 geformuleerd in zijn boek Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

D

De Wetten van Newton De Wetten van Newton vormen samen met de wet van behoud van impuls en de wet van impulsmoment de grondslag van de klassieke mechanica. We beginnen simpel met de Wetten van Newton geschreven in de conventionele vorm: 1. Een voorwerp waarop geen resulterende kracht werkt, is in rust of beweegt zich rechtlijnig met constante snelheid voort 2. Als op een voorwerp een nettokracht werkt, krijgt het een versnelling. Kracht is gelijk aan massa maal versnelling: F = ma. 3. Een kracht komt nooit in z’n eentje, maar is altijd de helft van een tweeling. Actie en reactie zijn even groot, maar tegengesteld van richting.

12


Deze wetten zijn zo bekend dat we soms hun betekenis als een natuurkundige wet uit het oog verliezen. De Eerste Wet van Newton is weinigzeggend zonder het woord "kracht". Een woord dat Newton in alle drie zijn wetten gebruikt. De Tweede Wet van Newton geeft een toelichting wat precies een kracht is, namelijk: een kracht die uitgeoefend wordt op een object is gelijk aan de snelheid waarmee het impuls van een bewegend object veranderd. Newton definieerde het impuls als het product van de massa en de snelheid.

~p ≡ m~v Dus de tweede wet van Newton kan nu geschreven worden als

~F = d~p = d (m~v) dt dt

(1)

Het ging Newton om de verandering van de beweging, dus massa en snelheid mogen beide variëren. Als de massa m constant is kunnen we de tweede wet herschrijven tot de volgende welbekende vergelijking:

~F = m~a waarin ~F de kracht in Newton is in de richting van de versnelling, m de massa in kilogram en ~a de versnelling in m/s2 . Eigenlijk zijn de eerste en de tweede wet van Newton geen "wetten" maar kunnen beter beschouwd worden als definities, omdat afstand, tijd en massa concepten zijn die we al begrijpen.


Behoudswetten Laten we nu eens gaan kijken naar de mechanica van een individueel object en daarvan de behoudswetten uit proberen af te leiding. We moeten benadrukken dat dit geen bewijs is voor de behoudswetten maar een een afleiding. Om te kunnen concluderen of deze wetten correct zijn moeten we ze testen. Het feit dat deze wetten kloppen bewijst hoe perfect en elegant de wetten van Newton zijn, althans in de klassieke mechanica. De eerste behoudingswet betreft de lineaire impuls van een deeltje. Als een deeltje vrij is, dat wil zeggen dat er geen kracht op het deeltje d~p wordt uitgeoefend, dan wordt vergelijking (1) simpelweg dt = 0. Dat betekend dat de vector ~p constant blijft in de tijd. Dus de eerste behoudingswet wordt 1. De totale lineaire impuls ~p van een deeltje is een behouden grootheid wanneer de totale kracht op het deeltje gelijk is aan nul. We kunnen deze uitspraak ook in andere termen formuleren. Laten we ~s een constante vector zijn zo dat ~F ·~s = 0 en onafhankelijk is van de tijd. Dan wordt de vergelijking d~p ·~s = ~F ·~s = 0 dt wanneer we deze integreren naar de tijd krijgen we

~p ·~s = constant wat betekend dat de lineaire impuls in de richting van de kracht constant is in de tijd. De Wet van behoud van impulsmoment stelt dat als een voorwerp eenmaal in een bepaald tempo aan het draaien is het de neiging heeft om die draaiing vol te houden. Er is dus een externe kracht, of liever gezegd een moment, nodig om dat te veranderen. Het impulsmoment is als volgt gedefinieerd

~L ≡ ~r × ~p Het krachtmoment, of simpelweg moment, wordt gedefinieerd als

~ ≡ ~r × ~F N waar ~r de plaatsvector voorstelt vanaf het middelpunt tot aan het punt waar aan kracht ~F uitgeoefend op wordt.

13

14


Omdat ~F = m ddt~v kunnen we de vergelijking voor het krachtmoment herschrijven. Deze wordt

~ = ~r × m d~v = r × d~p N dt dt Laten we de vergelijking voor het impulsmoment differentiëren. Dit zal uiteindelijk een verband geven tussen het impulsmoment en het krachtmoment. Dus d~L d = (~r × ~p) = ~r 0 × ~p +~r × ~p0 dt dt maar ~r 0 × ~p = ~r 0 × m = m ~r 0 × ~r 0 = 0 dus d~L = ~r × ~p0 = N dt Dus als er geen krachtmoment op een deeltje wordt uitgeoefend (dus ~ N = 0) dan is d L = 0, maar ~L is een vector die constant blijft wanneer dt

de tijd vordert. Dit lijdt tot de tweede behoudingswet die luidt: 1. Het impulsmoment van een deeltje is een behouden grootheid wanneer het niet onderworpen is aan een krachtmoment. Als er een kracht ~F op een deeltje wordt uitgeoefend en het deeltje verandert van toestand 1 naar toestand 2 dan wordt de arbeid die nodig is voor het veranderen van de toestand gedefinieerd als ˆ2

~F · d~r

W12 ≡

(2)

1

Wanneer we de kracht ~F uitschrijven en de integraal herschrijven met de kettingregel krijgen we ˆ2

ˆ2

~F · d~r =

W12 = 1

m

d~v d~r dt

1

De variabele waarnaar geïntegreerd wordt, kunnen we herschrijven in d~r = ~v · dt ˆ2 1

d~v m d~r = dt

ˆ2 1

d~v m · ~v dt = m dt

ˆ2

~v · d~v = 1

1 2 2 mv 2 1


De arbeid die verricht wordt door een kracht ~F op een object is gelijk aan het verschil in kinetische energie W12 =

1 2 2 1 mv = m v22 − v21 = T2 − T1 = ∆T 2 2 1

waar T ≡ 12 mv2 de kinetische energie is van het object. Als T1 > T2 dan is W12 < 0 wat betekend dat het object arbeid heeft verricht met als resultaat een afname van de kinetische energie. Laten we eens vergelijking (2) van een andere kant bekijken. In veel voorkomende natuurkundige processen heeft de kracht ~F de eigenschap om een object van plaats A naar een plaats B te verplaatsen en met dezelfde hoeveelheid aan energie weer terug te plaatsen naar zijn beginpositie. Stel dat een deeltje op aarde met een massa m omhoog wordt geheven tot een hoogte h, dan wordt er arbeid mgh verricht om het deeltje omhoog te heffen. Maar het deeltje kan met dezelfde hoeveelheid aan arbeid terug keren naar zijn oorsprong. De arbeid waarmee een object terug kan keren naar zijn oorsprong met dezelfde hoeveelheid aan arbeid die verricht is om het te verplaatsen wordt potentiële energie genoemd. We kunnen de potentiële energie definiëren als de arbeid die nodig is om een object van plaats A naar B te verplaatsen verricht door een kracht ~F: ˆ2

~F · d~r ≡ U1 − U2 1

15

16


Limitaties van de Newtoniaanse mechanica In dit hoofdstuk hebben we concepten als positie, tijd, impuls, momentum en energie geïntroduceerd. We hebben aangenomen dat ze allemaal meetbare kwantiteiten zijn die gemeten kunnen worden met speciale instrumenten. Deze formules zijn getest op allerlei macroscopische objecten en zijn bewezen dat ze kloppen. Maar wanneer we een meting willen uitvoeren op microscopische schaal dan ondervinden we een bepaald limiet van nauwkeurigheid in de meetresultaten.1 Men zou bijvoorbeeld de plek van een elektron kunnen meten door een foton op het elektron te botsen, maar we kunnen de plaats van dit elektron niet exact meten vanwege de onzekerheid σx die veroorzaakt wordt door de golflengte van het foton. Doordat we een meting proberen te verrichten door het elektron te beschieten met een foton veranderen we de toestand van het elektron, omdat tijdens de botsing tussen het elektron en het foton een impuls wordt overgedragen van het foton aan het elektron. De standaardafwijking van de onbekende hoeveelheid impuls die overgedragen wordt, wordt aangeduid met σp . Het product σx σp is een maat in hoeverre men de plaats en de impuls van een deeltje tegelijkertijd kan meten. In 1927 werd aangetoond dat het product van σx σp groter moest zijn dan een specifieke minimum waarde. De minimum waarde voor σx σp is ongeveer 10−34 Js. Dit is een extreme kleine waarde voor het beschrijven macroscopische objecten. Dus dat betekend dat het geen enkel probleem is om objecten op laboratorium schaal de positie en de impuls tegelijkertijd te meten. Dat betekend dat Newtoniaans mechanica niet toegepast kan worden op subatomaire deeltjes. Hiervoor moest een nieuwe natuurkundige theorie opgesteld worden: de kwantummechanica. Een ander probleem met Newtoniaanse mechanica is het concept van de tijd. Tijd is volgens de Newtoniaanse mechanica een absolute begrip. Volgens de Newtoniaanse mechanica is het mogelijk om exact te kunnen bepalen of twee gebeurtenissen tegelijkertijd hebben plaatsgevonden of de een na de ander. Dat betekend dat informatie met een oneindige snelheid reist, maar dit is onjuist. Interacties tussen objecten planten zich voor met een eindige snelheid. De maximum snelheid waarmee informatie zich kan voortplanten is de snelheid van het licht in vacuüm: c = 3 · 108 m/s. Dit leidde allemaal tot de conclusie dat tijd juist geen absolute eenheid is en dat tijd en ruimte een verband met elkaar hebben. De theorie die de oplossing biedt voor dit probleem is de speciale relativiteitstheorie.

We nemen aan dat de meetapparatuur oneindig nauwkeurig is. 1

Elektromagnetisme Introductie Elektromagnetisme is de tak van de natuurkunde die zich bezig houdt met het verklaren van de krachten tussen elektrisch geladen deeltjes. Deze krachten worden beschreven door middel van elektromagnetische velden. De elektromagnetische kracht is een van de vier fundamentele natuurkrachten die er in dit universum bestaan en wordt veroorzaakt door de ijkboson het foton. Veel krachten die men regelmatig voelt zijn er aan te danken. Bijvoorbeeld: je zakt niet door een vloer als deze de kracht erop kan verdragen. Deze ontstaat doordat atomen in het materiaal zich verzetten tegen verplaatsing uit hun evenwichtsstand. In dit hoofdstuk zullen we de vier vergelijkingen van Maxwell beschrijven en bewijzen. De Wet van Ohm, Gauss, Coulomb, Faraday, Ampere, Biot-Savart en de Wet van Kirchhoff zijn allemaal speciale gevallen van de Wetten van Maxwell.

Elektrostatische velden De Wet van Coulomb De Franse kolonel Charles-Augustin de Coulomb voerde rond 1770 een serie experimenten uit om kwantitatief de kracht te bepalen van twee elektrisch geladen objecten. De wet die hieruit voortkwam heet de Wet van Coulomb die stelt dat de kracht tussen twee kleine objecten die van elkaar verwijderd zijn omgekeerd kwadratisch evenredig is met de afstand. F=k

Q1 Q2 R2

waar Q1 en Q2 de positieve en negatieve ladingen zijn van de twee objecten, R de afstand is tussen de twee objecten en k een constante is. De constante k is k=

1 4πe0

18


waar e0 de permittiviteit van het vacuum is en gemeten wordt in Farads per meter F/m, . e0 = 8.854 · 10−12 =

1 10−9 36π

F/m

(3)

De Wet van Coulomb wordt dan F=

Q1 Q2 4πe0 R2

We kunnen de Wet van Coulomb ook in vectorvorm schrijven. Laten we ~r1 de vector zijn die de plaats aangeeft waar de lading Q1 bevind en ~r2 voor Q2 . De afstand tussen de twee vectoren is dus R~12 = ~r2 −~r1 . De wet van Coulomb in vectorvorm wordt dan

~F = Q1 Q2 ~a12 4πe0 R212

(4)

waar ~a12 de eenheidsvector is, oftewel

~R ~r −~r1 ~a12 = 12 = 2 |~r2 −~r1 | ~R12

Elektrische veldsterkte Stel dat we één lading onbeweegbaar maken, bijvoorbeeld Q1 , en we brengen een andere lading Q2 in het elektrische veld van lading Q1 . De lading Q2 zal overal een kracht ervaren dus is er sprake van een kracht veld. De lading Q2 noemen we voor het gemak de testlading Qt . De kracht op deze testlading wordt gegeven door de Wet van Coulomb.

~F =

Q1 Q t a~12 4πe0 R212

We herschrijven deze formule zodat we als eenheid kracht per lading krijgen.

~F Q1 ~a12 = Qt 4πe0 R212

(5)

Het rechter lid van formule (5) is een functie van Q1 en de afstand tussen de testlading en Q1 . Deze formule beschrijft een vectorveld en wordt de elektrische veldsterkte genoemd. We definiëren de elektrische veldsterkte als een kracht vector per testlading met als grootheid ~E

~ ~E = F Q


Distributie van ladingen Stel we hebben een gebied in de ruimte dat geladen is met een enorme hoeveelheid aan aparte ladingen die van elkaar gescheiden zijn met een relatief kleine afstand. Ondanks de ladingsverdeling discreet is, mag men een continu model toepassen waarbij de distributie van ladingen wordt beschreven door de ladingsdichtheid. We noteren de ladingsdichtheid met ρv en heeft als eenheid coulombs per meter C/m3 . De minuscule lading ∆Q in een minuscule volume ∆v is ∆Q = ρv ∆v waar we ρv mogen definiëren als een limiet ρv = lim

∆v→0

∆Q ∆v

Dus de totale lading over een eindig oppervlak kan berekend worden door te integreren over dat volume ˆ ρ dv Q= vol

De incrementele bijdrage aan de elektrische veldsterkte in ~r gevormd door een incrementele lading ∆Q op ~r 0 kan dan worden berekend door ˆ

ρv (~r 0 )dv0

~E(r ) = vol

~r −~r 0 4πe0 |~r −~r 0 |2 |~r −~r 0 |

19

20


Elektrische flux Rond 1937 raakte de directeur van de Royal Society in Londen Michael Faraday zeer geïnteresseerd in statische elektrische velden en de effecten van verschillende isolatoren op elektrische velden. Deze vraag viel hem lastig tijdens de tien jaar dat hij bezig was met het onderzoeken van inductiespanningen. Toen hij klaar was met zijn experimenten over inductiespanning bouwde hij een opstelling om de effecten van elektrische velden nader te bestuderen. Hij construeerde twee metalen bollen waarvan de één kleiner was dan de andere zodat de kleinere bol binnen in de grotere bol paste, zie figuur 1. De ruimte tussen de kleine en de grote bol vulde hij op met een isolator (ook wel een diëlektricum genoemd). We nemen aan de de isolatoren die hij gebruikt ideale isolatoren waren. Zijn experiment bestond hoofdzakelijk uit de volgende stappen: 1. De binnenste binnenste bol werd een bekende positieve lading gegeven. 2. De buitenste bol werd er omheen gemonteerd met de diëlektricum ertussen. 3. De buitenste bol werd voor een korte tijd ontladen door het te verbinden met de aarde. 4. De buitenste bol werd voorzichtig gedemonteerd en de lading werd nauwkeurig gemeten op de bollen. Faraday kwam erachter dat de totale lading op de buitenste bol even groot is als de binnenste bol ongeacht welk diëlektricum er gebruikt werd. Hij concludeerde dat er sprake was van een soort van verplaatsing van de binnenste bol naar de buitenste die onafhankelijk was van het soort medium dat er gebruikt werd, men noemt deze verplaatsing de elektrische flux.

De Wet van Gauss Het resultaat van het experiment van Faraday kan gezien worden als een wet die luidt dat de elektrische flux dat door een denkbeeldige bolvormig oppervlak heen gaat gelijk is aan de lading die omsloten wordt door dat denkbeeldige oppervlak. De fluxdichtheid veranderd naarmate het denkbeeldig bolvormig oppervlak verder van de bronlading verwijderd maar de lading van het denkbeeldige oppervlak is gelijk aan de bronlading. Als de totale lading Q is dan zal er ook een elektrische flux van Q coulombs door het omsluitende oppervlak gaan. Op elk punt van het oppervlak zal er een elektrische flux dicht~ A heersen waarbij de subscript A er ons aan herinnerd dat D ~ heid D berekend moet worden aan het oppervlak.

Figuur 1: Aangepast van Engineering Electromagnetics (p. 55), door William H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta: McGraw-Hill Science.


Laten we ons een klein stukje ∆A van de totale oppervlakte voorstellen. ∆A heeft een bepaalde plek in de ruimte waardoor en bepaalde flux doorheen gaat. De enige unieke richting die kan worden geassocieerd met ∆A is de richting die normaal op het gekozen oppervlakte staat, zie figuur 2 Beschouw op een willekeurig punt P een klein oppervlakte ∆A en ~ A een hoek θ maken met ∆A zoals te zien is in figuur 2. De flux laat D die door ∆A heen gaat is het product van de normale component van ~ O en ∆A, D

~ ~ A · ∆A Φ = f lux die door ∆A gaat = D A,normaal ∆ = D A A cos θ∆A = D ook wel het inwendig product genoemd. Om de totale flux Ete berekenen die door gehele oppervlakte gaat D ~ moeten we D A |∆A van al die kleine oppervlakte elementen bij

~ A het inwendig product genomen moet elkaar optellen. Omdat van D worden met ∆A en opgeteld moet worden totdat je de gehele oppervlakte gehad heb kunnen we dit herschrijven tot een integraal. ˛ ? ~ = ~ A · dA Φ= D Q A

¸ ~ gelijk moet zijn ~ A · dA We kunnen heel gemakkelijk bewijzen dat A D Q aan Q door de integraal uit te werken waarbij D = 4πr 2 voor een bol ~ = e0 ~E. en D ˛

En voor

A

¸ A

~ = ~ A · dA D

Q 4πr2

4πr2 = Q

~ wordt het dan ~E A · d A ˛ Q Q 2 ~ = ~E A · d A 4πr = 2 e 4πe r 0 0 A

Dus de Wet van Gauss is ˛ Φ=

~ = Q ~E · d A e0 A

21

Figuur 2: Overgenomen van Engineering Electromagnetics (p. 58), door William H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta: McGraw-Hill Science.

22


Wet van Gauss in differentiële vorm De eerste Wet van Gauss, ook wel de eerste Wet van Maxwell genoemd, kan ook in differentiële vorm geschreven worden. De vier vergelijkingen van Maxwell vormen de basis van de elektromagnetische theorie. Laten we een punt P voorstellen in cartesische het coördinatenstel~ op het punt P kan uitgedrukt worden in de x, sel. De waarde van D ~ 0 = Dx0~a x + Dy0~ay + Dz0~az , zoals te zien is y, en z componenten, D op afbeelding 3. Wij kiezen een vierkant om punt P heen als een gesloten oppervlakte met als zijden ∆x, ∆y en ∆z waar we de Wet van Gauss op gaan toepassen, ˛

~ =Q ~ · dA D A

Om de integraal te kunnen nemen over een vierkant moeten we de integraal opsplitsen in zes aparte integralen, één voor elke zijde, ˆ

˛

ˆ

~ = ~ · dA D A

ˆ

+ voor

ˆ

+ achter

ˆ

+ links

ˆ

+ rechts

+ boven

onder

Laten we de eerste integraal uitwerken. Aangezien hot oppervlakte~ vrijwel constant is op element heel klein is kunnen we zeggen dat D dit oppervlakte-element dus, ˆ

· ~ ~ voor =D voor · ∆ A voor

· ~ =D voor · ∆y∆z~a x ·

= Dx,voor ∆y∆z ~ x moeten benaderen. De voorzijde is waar we alleen de waarde van D ∆x 2 van P verwijderd dus, ~ x,voor =· Dx0 + ∆x × snelheid van verandering van D tot x D 2 ∆x ∂Dx · = Dx0 + 2 ∂x waar Dx0 de waarde van Dx is op met punt P. We gebruiken een partiële afgeleide, omdat de verandering van D ook afhangt van x, y, en z. We hebben nu ˆ

·

= voor

∆x ∂Dx Dx0 + 2 ∂x

∆y∆z



Beschouw nu de integraal voor de achterkant. ˆ · ~ ~ =D achter · ∆ A achter achter

· ~ =D achter · (− ∆y∆z~a x ) ·

= − Dx,voor ∆y∆z waar

~ x,achter =· Dx0 − ∆x ∂Dx D 2 ∂x wat geeft ˆ

·

= voor

∆x ∂Dx − Dx0 + 2 ∂x

∆y∆z

Als we deze twee integralen combineren krijgen we ˆ

ˆ

·

+

=

voor

achter

∂Dx ∆x∆y∆z ∂x

Dit kunnen we ook doen voor de andere zijden ˆ

ˆ

+

·

∂Dy ∆x∆y∆z ∂y

·

∂Dz ∆x∆y∆z ∂z

=

rechts

links

en ˆ

ˆ

+

=

boven

onder

Wanneer we dit combineren krijgen we ˛

~ =· ~ · dA D A

∂Dy ∂Dx ∂Dz + + ∂x ∂y ∂z

∆x∆y∆z

ofwel ˛

~ = Q =· ~ · dA D

A

∂Dy ∂Dz ∂Dx + + ∂x ∂y ∂z

∆v

Deze uitdrukking is een benadering die beter wordt als ∆v nul nadert. De Wet van Gauss voor een gesloten oppervlak ∆v geeft ons een benadering die stelt dat

·

Lading omsloten door ∆v =

∂Dy ∂Dz ∂Dx + + ∂x ∂y ∂z

× volume ∆v (6)

23

24


Divergentie Vergelijking (6) geeft een benadering voor de Wet van Gauss. We zouden een exacte relatie kunnen krijgen voor de Wet van Gauss door ∆v naar nul te laten gaan. Vergelijking (6) wordt dan

∂Dy ∂Dx ∂Dz + + ∂x ∂y ∂z

¸

·

=

A

~ ~ · dA D Q = ∆v ∆v

A

~ ~ · dA D Q = lim ∆v ∆v→0 ∆v

of als een limiet

∂Dy ∂Dz ∂Dx + + ∂x ∂y ∂z

¸

= lim

∆v→0

Het is duidelijk dat de laatste term de ladingsdichtheid ρv voorstelt, dus

∂Dy ∂Dx ∂Dz + + ∂x ∂y ∂z

¸

A

= lim

∆v→0

~ ~ · dA D = ρv ∆v

Deze vergelijking bevat te veel informatie om in een keer te bespreken, daarom splitsen we ze op en bespreken we ze afzonderlijk.

∂Dy ∂Dx ∂Dz + + ∂x ∂y ∂z

¸

A

= lim

∆v→0

∂Dy ∂Dz ∂Dx + + ∂x ∂y ∂z

~ ~ · dA D ∆v

(7)

= ρv

(8)

We bespreken vergelijking (8) in de volgende paragraaf. Bij vergelijking (7) is er nog geen sprake van ladingsdichtheid. De methode die hierboven is uitgelegd had op elke willekeurige vector ~B toegepast kunnen worden. Dit lijdt tot de algemene vergelijking

∂By ∂Bx ∂Bz + + ∂x ∂y ∂z

¸

= lim

∆v→0

A

~ ~B · d A ∆v

waar ~B een snelheid, temperatuur gradiënt, kracht of een andere vector veld. Omdat deze operatie voor vaak voorkomt heeft deze een eigen naam gekregen, divergentie. De divergentie van ~B wordt gedefinieerd als ¸ div ~B = lim

∆v→0

A

~ ~B · d A ∆v

(9)

en wordt meestal afgekort als div ~B. De natuurkundige interpretatie van de divergentie van een vectorveld hangt af van de operaties die aan het rechter lid van vergelijking (9) uitgevoerd worden. Laten we nu ~B beschouwen als een vector van de fluxdichtheid familie om de fysische interpretatie makkelijker te maken.


De divergentie van een fluxdichtheid vector ~B is de uitstroom van flux uit een klein gesloten oppervlak per volume eenheid als het volume naar nul gaat. Bijvoorbeeld, laten we eens gaan kijken naar de divergentie van de snelheid van water nadat de kraan geopend is. De netto uitstroom van het water door een gesloten oppervlak moet gelijk zijn aan nul omdat de instroom en de uitstroom aan elkaar gelijk zijn. Vandaar dat de divergentie van de snelheid gelijk is aan nul. Echter, indien we de divergentie nemen van de luchtsnelheid van een zojuist geperforeerde fietsband is deze groter dan nul omdat de lucht in de band uitzet naarmate de druk in de band daalt.

De eerste vergelijking van Maxwell We kunnen met de kennis van de vorige paragrafen de Wet van Gauss in differentiële vorm schrijven ¸

~ = lim div D

∆v→0

A

~ ~ · dA D Q = ∆v ∆v

~ = ∇·D ~ = ρv div D

(10) (11)

waarbij ∇ als de del operator gedefinieerd wordt.

∇=

∂ ∂ ∂ ~a x + ~ay + ~az ∂x ∂y ∂z

Wanneer we Q delen door een volume ∆v krijgen we vanzelfsprekend de ladingsdichtheid. Dit is de eerste vergelijking van de vier vergelijkingen van Maxwell die elektrische en stationaire magnetische velden beschrijven. Uit deze vergelijking kan opgemaakt worden dat de elektrische flux die door een volume ∆v heen gaat exact het zelfde is aan de ladingsdichtheid in dat volume v.

25

26


Stoom, geleiders en weerstand Stroom en stroomdichtheid Als elektrische ladingen in beweging zijn, dan is er sprake van stroom. De eenheid van stroom is ampère (A) die gedefinieerd wordt als de hoeveelheid lading die per tijdseenheid in een punt stromen. Stroom wordt aangegeven door het symbool I, dus dQ dt In de veldtheorie is men meestal geïnteresseerd in gebeurtenissen op een bepaald punt dan op een groot oppervlak. De stroom die door een punt heen gaat kunnen we herschrijven als een product van een zogeheten stroomdichtheid, die gemeten word in ampère per vierkante meter ( I/m2 ). Stroomdichtheid is een vector die aangeduid wordt met ~J. De stroom ∆I die normaal door een heel klein oppervlakte ∆S gaat is I=

∆I = JN ∆S De totale stroom kan verkregen worden door te integreren over het oppervlak. ˆ I = ~J · dS S

Stroomdichtheid is gerelateerd worden aan de snelheid van de stroomdichtheid volume op een bepaald punt. Beschouw een ladingselement ∆Q = ρv ∆v = ρv ∆S∆L, zoals te zien is op afbeelding 4a. In een tijdinterval ∆t heeft de lading een afstand van ∆x afgelegd zoals te zien is op afbeelding 4b. De stroom is dan ∆Q ∆x = ρv ∆S ∆t ∆t Als we het limiet nemen met respect tot de tijd krijgen we ∆I =

∆I = ρv ∆S v x waar v x voor de snelheid in de richting van de x-as is. Dus in het algemeen kunnen we zeggen, in termen van stroom dichtheid

~J = ρv~v

(12)



De laatste vergelijking laat heel goed zien dat een lading in beweging een stroom veroorzaakt. Een goede analogie voor stroomdichtheid is een tunnel waar auto’s doorheen rijden. De dichtheid van auto’s door de tunnel kan worden verhoogt worden door de auto’s sneller te laten rijden of door meer auto’s per vierkante meter te laten rijden.

27

28


Metalen geleiders In de natuurkunde beschrijft men het gedrag van elektronen die om de nucleus heen bewegen in termen van totale energie van het elektron. De totale energie van het elektron is de som van de potentiële energie en de kinetische energie. Volgens de kwantummechanica bestaan er alleen bepaalde energielagen waar het elektron in zich kan bevinden als het om de nucleus heen "beweegt". Dat betekent dat een elektron alleen een bepaalde hoeveelheid aan energie kan absorberen en emitteren, ook wel kwanta genoemd, om naar een ander energie niveau te kunnen gaan. In een vaste kristallijne stof, zoals een metaal of een diamant, zitten de atomen dicht bij elkaar, dus er zijn meer elektronen beschikbaar en kunnen verschillen energie niveaus bezet worden. Bij een temperatuur van -273,15 graden Celsius zijn alle energie niveaus in het atoom netjes in volgorde bezet door elektronen. De elektronen met de hoogste hoeveelheid aan energie worden valentie elektronen genoemd en bevinden zich in de valentie band. Als er hogere energie niveaus zijn toegestaan in de valentie band of als er een geleiding band dicht tegen de valentie band aan zit kunnen elektronen onder invloed van een veld gaan stromen door de vaste stof, zoals te zien is in afbeelding 5a Dit wordt elektrische geleiding van metalen genoemd. Maar als de de hoeveelheid energie die nodig is om van de valentie band naar de geleidingsband erg hoog is om van de elektron in de geleidingsband te verplaatsen dan is de stof een isolator. Zie afbeelding 5b Als de energie gap tussen de valentie band en de geleidingsband niet al te groot maar niet al te klein is zoals te zien in de afbeelding is er sprake van een halfgeleider die onder speciale omstandigheden stroom kan geleiden zoals onder invloed van hitte. Deze stoffen worden halfgeleiders genoemd, afbeelding 5c



Beschouw een geleider waar de elektronen bewegen onder invloed van een elektrisch veld. Onder invloed van een veld ~E zal een elektron een kracht ondervinden.

~F = −e~E Een elektron zou in de ruimte continu versnellen, maar in de kristallijne stof zal het elektron voortdurend botsen tegen atomen waardoor een gemiddelde maximale snelheid behaalt wordt. Deze gemiddelde maximale snelheid vd wordt de drift snelheid genoemd en is evenredig met elektrische veld met een constante µ die de mobiliteit van het elektron aanduidt in de stof. Dus

~vd = −µ~E

(13)

Uit deze vergelijking kunnen we opmaken dat de snelheid van het elektron in een andere richting is dan de richting van het elektrische veld. Vergelijking (12) laat ook zien dat de mobiliteit gemeten wordt in de eenheid vierkante meter per voltseconde; voor aluminium is deze waarde 0.0012, 0.0032 voor koper en 0.0056 voor zilver. Wanneer we vergelijking (13) in vergelijking (12) substitueren krijgen we

~J = −ρe µe ~E

(14)

waar ρe de elektronen ladingsdichtheid is. De totale ladingsdichtheid ρv is nul omdat er evenveel positieve als negatieve deeltjes in het neutrale materiaal bevinden. De relatie tussen ~J en ~E voor een metalen geleider is ook een evenredig verband met de constante σ die de elektrische geleiding aangeeft.

~J = σ~E

(15)

waar σ gemeten wordt in siemens per meter (S/m). De geleiding is eigenlijk een functie van de temperatuur. De weerstand, wat de omgekeerde is van de geleiding, varieert lineair wanneer de temperatuur rond de kamertemperatuur bevindt. Als we vergelijking (15) en (18) combineren zien we dat de geleiding een product is van ladingsdichtheid en de mobiliteit van de elektronen. σ = −ρe µe

29

30


Vergelijking (15) wordt ook wel De Wet van Ohm in punt vorm genoemd. We kunnen de Wet van Ohm herschrijven die van toepassing is op macroscopische schaal. Laten we aannemen dat ~J en ~E homogeen zijn, zoals te zien is in het cilindrische gebied in figuur 6. Omdat ze uniform zijn is ˆ ~ = JA I = ~J · d A S

De potentiële energie is de integraal van de kracht over de afstand ˆ Vab = −

a b

~E · d~L = −~E · ~Lba

oftewel V = EL Dus J=

I V = σE = σ A L

oftewel L I σA De verhouding van het potentiaalverschil tussen de twee uiteinden van de cilinder wordt de weerstand genoemd dus V=

V = IR

(16)

L σA

(17)

waar R=



31

Magnetisme De Lorentzkracht Als er stroom door een metaal wordt gestuurd dan zullen alleen de elektronen in het metaal bewegen. De positieve nucleus blijft op zijn plek. De elektronen gaan bijna met de snelheid van het licht door de het metaal wat betekend dat er relativistische effecten optreden. Beschouw een metalen draad zoals te zien is in afbeelding 7. De zwarte stippen stellen de elektronen voor die naar links bewegen met een drift snelheid van v0 . Om het niet al te complex te maken beschouwen we Llab de afstand tussen de elektronen die overal uniform is. Het draad is elektrisch neutraal en als de lading q niet beweegt zal het ook geen aantrekkingskracht voelen naar de draad toe. Maar als de lading q gaat bewegen met een snelheid v dan zal er lengtecontractie optreden waarbij het lijkt voor de landing q alsof de afstand tussen de elektronen kleiner wordt, terwijl de afstand tussen de positieve nuclei het zelfde blijft toen de lading q stil stond. De lading q zal dan een aantrekkingskracht voelen richting de draad. Dit wordt de magnetische kracht genoemd. De lading q zal een bepaalde elektrische veldsterkte voelen wanneer het zich verplaatst met een snelheid v. De elektrische veldsterkte in een draad wordt gegeven door E=

1 ρ 2πr e0

waarbij ρ de ladingsdichtheid is in het draad. In dit geval is er sprake van twee lijnen van ladingen namelijk de lijn van de bewegende elektronen en de positieve lijn van lading van de nuclei. De elektrische 0 veldsterkte die de lading q voelt in het K frame is 0

0

E =

0

1 ρ− − ρ+ >0 2πr e0

(18)

0 0 en de vector ~E = E · jˆ omdat de aantrekking loodrecht op de draad staat. In dit geval zijn er drie verschillende referentiekaders namelijk:

• Referentiekader K: is het laboratorium frame waarbij men als ware naar de opstelling kijkt en stilstaat relatief tot de opstelling. 0

• Referentiekader K : is het frame dat meebeweegt met de lading q met een snelheid v. 00

• Referentiekader K : is het frame dat meebeweegt met de elektronen met een snelheid v0 .

Figuur 7: DoctorPhys. (2011, augustus 31). D2. The Magnetic Field [Video file]. Geraadpleegd op http://www.youtube.com/watch?v=0H3_yOYYZdc

32


De lading q "ziet" de positieve ladingen naar links bewegen met een snelheid van β = vc en ziet de negatieve ladingen bewegen met een snelheid van β T = vcT . De snelheid β T kan berekend worden door de de snelheden v en v0 relativistisch op te tellen. β0 + β 1 + β0 β

βT =

(19)

De ladingsdichtheid wordt berekend door de formule ρ = QL waarbij L de afstand is tussen twee ladingen in. In het laboratorium frame nemen we LQ waar elke lading Q met een lengte Llab van elkaar lab verwijderd is. De lading van de draad is in de laboratorium frame neutraal omdat er evenveel positieve ladingen als negatieve ladin00 00 gen bevinden. In de K is de separatie tussen de ladingen L . Om de elektrische veldsterkte te kunnen berekenen hebben we de waarden 0 0 voor ρ− en ρ+ nodig die bepaald kunnen worden door de formule 0 voor lengtecontractie. Gezien vanuit het K frame wordt de lengtecontractie voor de positieve deeltjes gegeven door 0

L+ = Llab

q

1 − β2

en voor de elektronen wordt deze gegeven door 0

L− = L

00

q

1 − β2

dus 0

ρ− =

L

00

√Q

1− β2T

en

0

ρ+ =

Llab

√Q

1− β2

0

De elektrische veldsterkte gezien uit het K frame wordt   1  Q Q  q p E = − 2πre0 L00 1 − β2 Llab 1 − β2 T 0

00

We willen de L kwijt zien te krijgen omdat we alles meten in het laboratorium frame. Gezien uit de laboratorium frame is de lengtecontractie tussen de electronen Llab = L

√ We substitueren

1 00 L

=

1− β20 Llab

00

q

1 − β20 0

in de vergelijking van E wat geeft

 q 2 1 Q  1 − β0 1  q E = −p 2πre0 Llab 1 − β2 1 − β2 0

T

(20)


Als we β T uitschrijven krijgen we  0

E =

q

1 Q  r 2πre0 Llab 

1−

 1−

β20

β0 + β 1+ β 0 β

 1  2 − p1 − β2 

De vergelijking lijkt er niet makkelijker op, maar we zullen later zien dat er q heel veel termen tegen elkaar kunnen weg strepen. Laten we eerst 1 − β2T herschrijven en daarna dit in vergelijking (20) substitueren en herleiden. s

s 1 + 2β 0 β + β20 β2 − β20 − 2β 0 β − β2 β0 + β 2 1− = 1 + β0 β (1 + β 0 β )2 s s s 1 − β20 (1 − β2 ) 1 + β20 β2 − β 0 − β2 β0 + β 2 1− = = 1 + β0 β (1 + β 0 β )2 (1 + β 0 β )2 q   2 1 + β β 1 − β ( ) 0 0 1 Q  1 0  q −p E = 2πre0 Llab 2 1 − β2 2 1 − β 0 (1 − β ) ! 0 1 1 Q (1 + β 0 β ) −p E = 2πre0 Llab (1 − β2 ) 1 − β2

0

E =

1 Q p ((1 + β 0 β) − 1) 2πre0 Llab 1 − β2 0 1 Q p E = β0 β 2πre0 Llab 1 − β2

De kracht op het elektron in y richting is 0

0

Fy = qE =

q Q p β0 β 2πre0 Llab 1 − β2

Hou er rekening mee dat dit een kracht is in de richting van de yas. Alle referentiekaders bewegen in de richting van de x-as dus dat betekend dat de y-component van de impuls geen relativistische effecten ondervindt. Fy =

dpy dt

en

0

Fy =

dpy 0 dt

33

34


Dit geldt echter niet voor de tijd. Er treedt namelijk tijd dilatatie op 0 p 0 dt = √dt 2 wat we kunnen herschrijven tot dt = 1 − β2 dt. 1− β

0

Wanneer we dit in de vergelijking Fy = 0

Fy =

dpy 0 dt

substitueren krijgen we

dpy dpy Fy 1 = p 0 = p 2 dt dt 1−β 1 − β2

Dus in het laboratorium frame krijgen we q Q β0 β 2πre0 Llab q Q vo v Fy = qE = 2πre0 Llab c c q 1 Q Fy = v 0 v 2πr e0 c2 Llab De term e 1c2 wordt ook wel gedefinieerd als e 1c2 ≡ µ0 waar µ0 0 0 de magnetische permeabiliteit van het vacuüm voorstelt. De (absolute) permeabiliteit µ van een medium is de mate waarin het medium een magnetisch veld geleidt. Letterlijk betekent de magnetische doordringbaarheid. Fy = qE =

Fy = De volgende groep omdat v0 = dan

Llab t

dus

Q Llab v0 Q Llab v0

q µ0 2πr

Q v0 v Llab

is niks anders dan de elektrische stroom

=

Q Llab Llab t

=

Q t

= I. Dus de formule wordt

µ0 I 2πr Het product qv beschrijft de eigenschap van de bewegende lading zoµ0 I als te zien is in afbeelding 7. Het product 2πr heeft betrekking op een externe krachtveld. Dit veld wordt het magnetische veld genoemd en wordt aangeduid met de letter B. Fy = qv

B=

µ0 I 2πr

De grootte van de kracht is

Fy = qvB


Maar de kracht Fy heeft een bepaalde richting namelijk naar de draad µ0 I ˆ toe dus ~Fy = qvB jˆ waarbij ~B = 2πr θ en ~v = v iˆ in de richting van de x-as zijn zoals the zien is in afbeelding 8. We kunnen hier het kruisproduct toepassen om de kracht ~F uit te drukken

~F = q~v × ~B

Figuur 8: DoctorPhys. (2011, augustus 31). D2. The Magnetic Field [Video file]. Geraadpleegd op http://www.youtube.com/watch?v=0H3_yOYYZdc

waar

~B = µ0 I θˆ 2πr De algemene wet die magnetische en elektrische velden beschrijft wordt de Wet van Lorentz genoemd. ~F = q~E + q~v × ~B We kunnen net als bij de Wet van Gauss een denkbeeldige lijn om de draad denken2 en het hele proces wat we bij de Wet van Gauss gedaan hebben uitvoeren maar dan nu van achter naar voren. Wat we krijgen als we de integraal uitwerken is de Wet van Ampère.

B=

µ0 I 2πr

˛ ,B (2πr ) = µ0 I

,

~B · d~l = µ0 I

De Wet van Ampère is ˛

~ = µ0 I ~B · dl Omdat bij een een magnetisch veld de veldlijnen altijd terug keren naar de bron kunnen we zeggen dat ‹

~ =0 ~B · d A

35

Bij de Wet van Gauss wordt er een denkbeeldige oppervlakte genomen maar nu nemen we een denkbeeldige lijn en volgen het zelfde proces als bij het uitwerken van de Wet van Gauss. 2

36


De Wet van Faraday De Wet van Faraday luidt als volgt ˛

~E · d~l = − dΦ B dt waar Φ B de magnetische flux is. De magnetische flux kan berekend worden door het magnetische veld te vermenigvuldigen met de oppervlakte waar het magnetische veld door heen penetreert, dus Φ B = BA. We gaan deze wet proberen af te lijden door middel van afbeelding 9. In de afbeelding stellen de "x"-en de magnetische veldlijnen voor die het papier in gaan. In het magnetische veld hebben we voor een deel een gesloten draad ingezet die met een snelheid v uit het magnetische veld getrokken wordt. Alleen de lading q die helemaal links in de draad is weergegeven zal een kracht ervaren die een stroom zal veroorzaken. De twee ladingen in het midden van de draad zullen niet bijdragen aan een stroom omdat deze ladingen een kracht ervaren die ze van de draad af wil "trekken". De meest linkse lading q zal in de draad gaan bewegen met een kracht F = qvB. Omdat er een inductiespanning gecreëerd wordt zal er ook een elektrisch veld gecreëerd worden. Het elektrische veld kan berekend worden met de formule E = vB aangezien F = qvB = qE. De snelheid v wordt gegeven dor dl dt waar l de lengte is van het draad dat in het magnetische veld bevind zoals te zien is in afbeelding 9. De minus voor de afgeleide is essentieel omdat l steeds kleiner zal worden. Dit geeft ons v=−

dl B dt Laten we een lijnintegraal opstellen over het elektrische veld ˛ ~E · d~l = Ew E = vB = −

(21)

(22)

Zijde l komt niet in de vorige vergelijking voor omdat de Lorentzkracht een hoek van 1/2π radialen maakt met de draad en is het inwendig product gelijk aan nul. Wanneer we vergelijking (21) in vergelijking substitueren krijgen we. ˛

~E · d~l = − dl Bw dt Maar als we het draad ook omhoog bewegen moeten we w in de afgeleide plaatsen. In ons voorbeeld is w constant maar in de gevallen w niet constant is moet het in de afgeleide staan.

Figuur 9: DoctorPhys. (2011, augustus 31). D3. Faraday’s Law [Video file]. Geraadpleegd op http://www.youtube.com/watch?v=gWwSiVr90og


˛

~E · d~l = − d (lw) B = − dA B dt dt

Doordat we l en w in de afgeleide plaatsen, krijgen we de oppervlakte. In ons voorbeeld is B constant dus we zouden ook B in de afgeleide plaatsen. Indien B wel variabel is kunnen we het vooralsnog in de afgeleide laten, omdat het tocht het zelfde effect zal veroorzaken volgens experimenten. De Wet van Faraday wordt ˛

waar Φ B = AB

~E · d~l = − dΦ B dt

37

38


De Wet van Ampère met Maxwell zijn correctie Maxwell focuste op het feit dan een verandering in magnetische flux een elektrisch veld creëert. Maak is het andersom ook waar? Kan een verandering in een elektrisch veld een magnetisch veld opwekken? Maxwell heeft uitgevonden dat dit mogelijk is. Maar voordat we naar Maxwell zijn correctie op de Wet van Ampère gaan kijken, herhalen we de Wet van Gauss op een oneindig grootte plaat met een ladingsdichtheid σ. We stellen ons een vierkant volume voor die een deel van de plaat omsluit zoals te zien is in afbeelding 10. We passen de Wet van Gauss toe op het het denkbeeldige oppervlak waar Q de lading is van de plaat ‹ ~ = Q ~E · d A e0

Figuur 10:

Het elektrische veld is omhoog gericht aan de boven kant van de plaat en naar beneden gericht op de onderkant van de plaat, dus kunnen we zeggen Ebeneden A + Eboven A =

σA e0

dus E is dan

E=

σ 2e0

Deze zullen we later nodig hebben voor de afleiding. Om de laatste vergelijking van Maxwell af te leiden maken we gebruik van een condensator zoals te zien is in afbeelding 11. Een condensator is een elektrische component die een lading kan opslaan. De stroom I gaat naar één van de platen die het circuit onderbreekt. Omdat de stroom niet verder kan lopen zal de lading op de platen steeds groter worden. Het elektrische veld wordt dus dan ook steeds groter op de ¸ ~ = µ0 I dat er plaat. We weten dat volgens de Wet van Ampère ~B · dl rond de draad een magnetische veld gecreëerd wordt maar Maxwell vroeg zich af wordt er ook een magnetisch veld opgewekt tussen de platen waar geen draad is? Kan een verandering in het elektrische veld een magnetisch veld opwekken? Op elke plaat in de condensator kan je de elektrische veldsterkte berekenen. Dat is de formule die we zojuist opgesteld hebben. E=

σ 2e0

Doordat de ene plaat positief geladen is en de andere negatief versterken ze elkaar dus wordt het elektrische veld twee maal zo sterk dus

Figuur 11: Figuur 10 & 11. DoctorPhys. (2011, augustus 31). D4. The Displacement Current [Video file]. Geraadpleegd op http://www.youtube.com/watch?v=q0oejYOPQ0


E=

σ e0

waar σ de ladingdichtheid is die geschreven kan worden als σ = Het elektrische veld veranderd in de condensator dus dΦ E d ( EA) d σ d σ d Q I = = A = A = = dt dt dt e0 dt e0 dt e0 e0 Laten we zeggen dat de ook een magnetische veld heerst buiten ¸ ~ = µ0 I. de platen, dan geld de Wet van Ampère hier ook ~B · dl In deze vergelijking staat er aan het rechte lid de term µ0 I maar dΦ E I I E wij hebben dΦ dt = e0 verkregen. We kunnen dt = e0 met µ0 e0 vermenigvuldigen om toch µ0 I te verkrijgen µ 0 e0

dΦ E I = µ 0 e0 = µ 0 I dt e0

Dit moeten we toevoegen aan de Wet van Ampère wat geeft ˛

~ = µ0 I + µ0 e0 dΦ E ~B · dl dt

Q A.

39

40


De vier vergelijkingen van Maxwell, de Lorentzkracht en de Wet van Ohm

‹

~ = Q ~E · d A e0

ρ ∇ · ~E = e0

~ =0 ~B · d A

∇ · ~B = 0

~ = µ0 I + µ0 e0 dΦ E ~B · dl dt

∂~E ∇ × ~B = µ0~J + µ0 e0 ∂t

‹

˛

˛

∂~B ∇ × ~E = − ∂t

~E · d~l = − dΦ B dt

~F = q ~E + ~v × ~B V=I

L σA

Kwantummechanica Introductie n tegenstelling tot de Newtoniaanse mechanica, Maxwell zijn theorie over elektrodynamica of Einstein zijn theorie over relativiteit is de kwantummechanica niet door één persoon ontdekt, sterker nog het herinnert men eraan aan de traumatische jeugd die de kwantummechanica onderging. Elke wetenschapper kan kwantummechanica "doen", maar waarom de deeltjes zo gedragen die met behulp van de vergelijkingen in de kwantummechanica beschreven worden begrijpt niemand goed. Een bekende pionier op het gebied van kwantummechanica was Richard Feynman die zei: "I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics." De kwantumtheorie benaderd de werkelijkheid op een hele andere manier dan dat de klassieke mechanica. De klassieke mechanica gaat er vanuit dat er een waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid is en dat natuurkundige grootheden continue variabelen zijn die in elke gewenste combinatie gemeten kunnen worden. In de kwantumtheorie zijn de grootheden gekwantificeerd (ze variëren in stapjes) en is er geen waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid. De keuzen die de waarnemer maakt bij het opstellen van zijn experiment bepaald in grote mate de uitkomst van het experiment, iets wat in de klassieke mechanica niet aan de orde is. Het product van de onnauwkeurigheden van de gelijktijdige metingen van twee grootheden (bijvoorbeeld plaats en impuls) heeft volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg een minimale waarde. Is de ene grootheid met de grootst mogelijke nauwkeurigheid gemeten, dan is de andere onvermijdelijk geheel onbepaald en onbepaalbaar. Vanwege deze onzekerheid die er heerst op kwantumniveau doet de kwantumtheorie slechte statistische uitspraken over een reeks van waarnemingen.

I

42


De Schrödingervergelijking in 1-D De Schrödingervergelijking Als we een deeltje met een massa m, die beperkt wordt om alleen in de x-richting te bewegen, onderworpen is aan een kracht F ( x, t) kunnen we (met behulp van de juiste initiële waarden) x (t) berekenen met behulp van de Wetten van Newton. De kwantummechanica benaderd dit probleem op een hele andere manier. Men is op zoek naar een golffunctie Ψ( x, t) van het deeltje die gevonden kan worden door het oplossen van de Schrödingervergelijking

i¯h

∂Ψ( x, t) h¯ 2 ∂2 Ψ( x, t) + V ( x, t)Ψ( x, t) =− ∂t 2m ∂x2

(23)

waar h¯ de Dirac constante is. Wat is nou die golffunctie? Immers is een deeltje is altijd gelokaliseerd op een specifiek punt terwijl de golffunctie verspreid is in de ruimte. Hoe kan een deeltje beschreven worden als een golffunctie? Het antwoord op deze vraag wordt gegeven door de waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born die stelt dat |Ψ( x, t)|2 je de kans geeft om een deeltje te vinden op plaats x op tijd t, beter gezegd

(

|Ψ( x, t)|2 dx =

kans om het deeltje te vinden tussen xen ( x + dx ), op tijd t.

) (24)


Normalisatie Laten we gaan kijken naar vergelijking 24 die stelt dat de kansdichtheid voor het vinden van een deeltje op plaats x op tijd t het kwadraat is van de golffunctie. Men weet niet waar het deeltje bevindt, maar we weten wel dat het deeltje ergens zich in de ruimte moet bevinden. Dit kunnen we als volgt in een vergelijking opschrijven

ˆ+∞ |Ψ( x, t)|2 dx = 1

(25)

−∞

Zonder deze regel zou de statistische interpretatie onzin zijn. Deze eis zou je moeten storen, omdat immers de golffunctie wordt bepaald door de Schrödingervergelijking. Als we naar vergelijking 23 kijken zien we dat Ψ( x, t) en AΨ( x, t) oplossingen zijn waarbij A een (complexe) constante is. We moeten dus een waarde voor A vinden die voldoet aan vergelijking 25. Dit proces wordt normalisatie van de golffunctie genoemd. Voor sommige oplossingen van de Schrödingervergelijking is de integraal oneindig, in dit geval zal geen enkele constante "1" als uitkomst maken. Het zelfde geldt voor Ψ = 0. Deze oplossingen kunnen niet genormaliseerd worden en dus kunnen ze geen fysische deeltjes beschrijven. Maar wacht eens even! Stel dat we de golffunctie genormaliseerd hebben voor tijd t = 0. Hoe weet men dat de golffunctie genormaliseerd blijft als de tijd verstrekt en Ψ evolueert? Men kan de golffunctie niet blijven normaliseren want dan wordt A en functie van t en dan heb je niet langer meer een oplossing voor de Schrödingervergelijking. Gelukkig bezit de Schrödingervergelijking de eigenschap dat het deels automatisch de golffunctie normaliseert. Zonder deze cruciale functie zou de Schrödingervergelijking incompatibel zijn met de statistische interpretatie en zou de hele theorie ineenstorten. Dus laten we hier pauzeren en een bewijs leveren voor dit belangrijke punt.

43

44


d dt

ˆ+∞ ˆ+∞ ∂ 2 |Ψ( x, t)|2 dx |Ψ( x, t)| dx = ∂t

−∞

(26)

−∞

∂ De ∂t |Ψ( x, t)|2 term kunnen we uitschrijven door middel van de productregel.

∂ ∂ ∂Ψ ∂Ψ∗ + Ψ (Ψ∗ Ψ) = Ψ∗ | Ψ |2 = ∂t ∂t ∂t ∂t De Schrödingervergelijking leert ons dat ∂Ψ i i¯h ∂2 Ψ − VΨ = ∂t 2m ∂x2 h¯ en de complexe geconjugeerde van de Schrödingervergelijking is dan i¯h ∂2 Ψ∗ i ∂Ψ∗ = − VΨ∗ ∂t 2m ∂x2 h¯ dus ∂ i¯h | Ψ |2 = ∂t 2m

∂2 Ψ ∗ − Ψ Ψ ∂x2 ∂x2 ∗∂

2Ψ

∂ i¯h ∂Ψ∗ ∗ ∂Ψ = Ψ + Ψ ∂x 2m ∂x ∂x

De integraal van vergelijking (26) kan nu uitgewerkt worden. Dit geeft ons d dt

+∞ ˆ+∞ ∂Ψ ∂Ψ∗ i¯h Ψ∗ + Ψ |Ψ( x, t)|2 dx = 2m ∂t ∂t −∞

−∞

Maar Ψ( x, t) moet de nul gaan naderen als x naar (±) oneindig gaat, want anders is de golffunctie niet normaliseerbaar en representeren ze geen deeltjes. Hieruit volgt dat d dt

ˆ+∞ |Ψ( x, t)|2 dx = 0 −∞

en dus is de integraal een constante (tijdonafhankelijke). Als Ψ genormaliseerd is op t = 0, dan zal Ψ voor altijd genormaliseerd blijven. QED


45

De tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking In de vorige paragraaf hebben we een aantal eigenschappen van de Schrödingervergelijking uitgelegd en bewezen. Laten we nu gaan kijken naar misschien de belangrijkste vraag "hoe lossen we de Schrödingervergelijking op?" We nemen aan dat de potentiële energie V onafhankelijk is van t. In dit geval kunnen we de Schrödingervergelijking oplossen door middel van scheiden van variabelen (de eerste aanval die men doet voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen). We zoeken oplossingen die simpele producten zijn, Ψ( x, t) = ψ( x ) f (t)

(27)

waarbij ψ alleen een functie is van x en f alleen van t. Op het eerste gezicht lijkt dit heel absurd, want de meeste oplossingen zullen misschien niet in de vorm van twee simpele en variabel onafhankelijke producten voorkomen, maar we zullen later zien dat de oplossingen die we krijgen door middel van deze aanname hele speciale oplossingen zijn. Als eerst substitueren we (27) in de Schrödingervergelijking, dit geeft i¯h

∂ψ( x ) f (t) h¯ 2 ∂2 ψ( x ) f (t) =− + V ( x )ψ( x ) f (t) ∂t 2m ∂x2

Uitwerken van de afgeleiden geeft ∂Ψ df =ψ , ∂t dt

∂2 Ψ d2 ψ = 2f 2 ∂ x dx

de Schrödingervergelijking wordt dan i¯hψ

df h¯ 2 d2 ψ f + Vψ f =− dt 2m dx2

Nu deelt men beide leden door ψ f zodat het linkerlid alleen afhankelijk is van f (t) en het rechterlid alleen van ψ( x ) i¯h

1 df h¯ 2 1 d2 ψ =− + V (x) f dt 2m ψ dx2

(28)

Het linkerlid is nu alleen een functie van t en het rechterlid is alleen een functie van x.3 De enige manier dat vergelijking (28) waar kan zijn is als beide leden in feite een constante zijn. Wij noemen deze constante E. We zullen later zien waarom we deze constante E noemen. i¯h

1 df =E f dt

Merk op dat dit niet het geval is als V een functie van x en t zou zijn.

3

46


iE df =− f dt h¯

(29)

en

−

h¯ 2 1 d2 ψ + V (x) = E 2m ψ dx2

−

h¯ 2 d2 ψ + V ( x )ψ = Eψ 2m dx2

(30)

Door de aanname te maken dat de oplossing voor de Schrödingervergelijking een product moet zijn van onafhankelijke variabelen namelijk Ψ( x, t) = ψ( x ) f (t), hebben we een partiële differentiaalvergelijking omgezet in twee gewone differentiaalvergelijkingen (vergelijking 29 en 30). Differentiaalvergelijking 29 is makkelijk om iEt

op te lossen. De algemene oplossing is Ce− h¯ , maar we kunnen de constante C ook samenvoegen met de integratieconstante die zal opduiken bij het oplossen van vergelijking 30, omdat de uiteindelijke oplossing toch een product is van ψ en f , dus f (t) = e−

iEt h¯

Vergelijking 30 wordt ook de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking genoemd. We kunnen niet verder gaan met oplossen totdat V gespecificeerd is. Nu we de Schrödingervergelijking omgezet hebben in een tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking vragen we ons af waarom deze aanname zo speciaal is, want de meeste oplossingen voor de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking zullen niet in deze vorm ψ( x ) f (t).


De oplossingen voor de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking De algemene oplossing voor de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking is een oneindige combinatie van oplossingen (ψ1 ( x ), ψ2 ( x ), ψ3 ( x ) . . .) elk met een met een daarbij behorende scheidingsconstante ( E1 , E2 , E3,... ) Ψ1 ( x, t) = ψ1 ( x )e−

iE1 t h¯

,

Ψ2 ( x, t) = ψ2 e−

iE2 t h¯

Dus elke combinatie van een oplossing (in vorm van een som) is dus ook een oplossing. Dit kunnen we in een wat meer algemene vorm opschrijven. Ψ( x, t) =

∞

∑ cn ψn (x)e−

iEn t h¯

n =1

De bovenstaande formule lijkt veel op de exponentiële vorm van de Fourier series. Met behulp van de Fourier series kan men elke continue functie construeren. Dus elke oplossing voor de (tijdafhankelijke) Schrödingervergelijking kan in de bovenstaande vorm geschreven worden. Dat betekend dat het scheidden van de Schrödingervergelijking met de aanname Ψ( x, t) = ψ( x ) f (t) alle oplossingen geeft. Als je de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking hebt opgelost ben je bijna klaar. Het oplossen van de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking is simpel, alleen moet je En vinden.

47

48


De Schrödingervergelijking in 3-D De Schrödingervergelijking in het Cartesisch coördinatenstelsel In de vorige paragraaf hebben we de Schrödingervergelijking in één dimensie beschreven en opgesplitst in twee gewone onafhankelijke differentiaal vergelijkingen, waarbij de potentiële energie alleen afhangt van de plaats. In deze paragraaf gaan we kijken naar de Schrödingervergelijking in drie dimensies. Het herschrijven van de Schrödingervergelijking in meerdere dimensies is vrij voor de hand liggend. De Schrödingervergelijking in het algemeen is i¯h

∂Ψ ˆ = HΨ ∂t

waar de Hamiltoniaan Hˆ verkregen wordt door substitutie van operators in de klassieke vergelijking voor kinetische energie 1 2 1 2 p x + p2y + p2z + V mv + V = 2 2m waar het impuls p in x, y en z coördinaten in de kwantummechanica gefineerd wordt als

pˆ x →

h¯ ∂ , i ∂x

pˆ y →

h¯ ∂ , i ∂y

pˆ z →

h¯ ∂ i ∂z

oftewel h¯ ∇ i Dus de Schrödingervergelijking in drie dimensies is dan

~p →

i¯h

∂Ψ h¯ 2 2 =− ∇ Ψ + VΨ ∂t 2m

waar

∇2 ≡

∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z

gedefinieerd wordt als de Laplaciaan in het Cartesisch coördinatenstelsel.


De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten Vaak is de formule voor de potentiële energie V alleen een functie van de afstand tot de oorsprong, dan het het vanzelfsprekend om bolcoördinaten (r, θ, φ) te gebruiken. In bolcoördinaten neemt de Laplaciaan de volgende vorm aan 1 ∂ ∇ = 2 r dr 2

∂ r ∂r 2

1 ∂ + 2 r sin θ ∂θ

∂ sin θ ∂θ

1 + 2 2 r sin θ

∂2 ∂φ2

In bolcoördinaten wordt de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking 2 h¯ 2 1 ∂ ∂ ∂ ψ 1 ∂ψ 1 2 ∂ψ + Vψ = Eψ r + sin θ + 2m r2 dr ∂r ∂θ r2 sin θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 (31) We gaan nu weer kijken naar oplossingen in vorm van simpele producten

−

ψ(r, θ, φ) = R(r )Y (θ, φ) Wanneer we dit substitueren in vergelijking 31 en de afgeleiden nemen krijgen we 2 h¯ 2 Y d R ∂ ∂Y R ∂ Y 2 dR − r + 2 sin θ + 2 2 + V RY = E RY 2m r2 dr dr ∂θ r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ2 Daarna delen we beide leden door R Y en vermenigvuldigen we 2 beide leden met −2mr om de variabelen te kunnen scheidden. 2 h¯

1 d R dr

r

2 dR

dr

−

2mr2 h¯ 2

1 [V (r ) − E ] + Y

1 ∂ sin θ ∂θ

∂Y sin θ ∂θ

1 + sin2 θ

De eerste term in de accolades is alleen een functie van r, terwijl de tweede term alleen een functie is van θ en φ. Dus, zoals eerder uitgelegd, elke term is gelijk gelijk aan een constante. Deze scheidingsconstante noemen we l (l + 1). We krijgen dus twee aparte differentiaalvergelijkingen 1 d R dr 1 Y

1 ∂ sin θ ∂θ

r2

dR dr

−

∂Y sin θ ∂θ

2mr2 h¯ 2

[V (r ) − E ] = l ( l + 1)

1 + sin2 θ

∂2 Y ∂φ2

(32)

= − l ( l + 1)

(33)

Vergelijking 32 kunnen we niet verder vereenvoudigen of oplossen totdat V (r ) bepaald is. In vergelijking 33 hangt Y af van θ en φ. Deze

∂2 Y ∂φ2

=0

49

50


vergelijking kunnen we, net als de vorige vergelijkingen, opsplitsen in twee gewone differentiaalvergelijkingen. We vermenigvuldigen vergelijking 33 eerst met Y sin2 θ, dit geeft 2 ∂ ∂Y ∂ Y = −l (l + 1) sin2 θY (34) sin θ sin θ + ∂θ ∂θ ∂φ2 Daarna gaan we de partiële differentiaalvergelijking proberen op te lossen door scheiden van variabelen: Y (θ, φ) = Θ(θ )Φ(φ) We voeren dit, in vergelijking (34) en nemen de afgeleiden en delen door Θ Φ geeft geeft ons

1 d dΘ 1 d2 Φ sin θ sin θ + l (l + 1) sin2 θ + =0 Θ dθ dθ Φ dφ2

De eerste term is alleen een functie van θ en de tweede term is alleen een functie van φ, dus de termen verschillen van elkaar een constante die we m2 noemen 1 d dΘ sin θ sin θ + l (l + 1) sin2 θ = m2 Θ dθ dθ

(35)

1 d2 Φ = − m2 Φ dφ2

(36)

De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten: de azimutale vergelijking Vergelijking 36 is vrij eenvoudig om op te lossen en heeft als oplossing: 1 d2 Φ = −m2 ⇒ Φ(φ) = eimφ Φ dφ2 Als nu φ zich verplaatst met 2π dan komen we precies op het zelfde punt in de ruimte terecht waar we starten, dus Φ(φ + 2π ) = Φ(φ) dus eim(φ+2π ) = eimφ dus e2πim = 1 Hieruit volgt dat m een geheel getal moet zijn. m = 0, ±1, ±2, . . .


De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten: de geassocieerde Legendre vergelijking Om de poolcoördinatenvergelijking (35) op te lossen moet deze herleidt worden tot de geassocieerde Legendrevergelijking. De poolcoördinatenvergelijking die we gaan oplossen is 1 d dΘ sin θ sin θ + l (l + 1) sin2 θ = m2 Θ dθ dθ herleiden geeft 1 d sin θ dθ

sin θ

dΘ dθ

m2 + l ( l + 1) − Θ=0 sin2 θ

(37)

Daarna gebruiken we de substitutie P (cos θ ) = Θ(θ ) en x = cos θ. De afgeleiden worden dan d dx d = = − sin θ dθ dθ dx Wanneer we dit substitueren in vergelijking 37 geeft dit d 1 (− sin θ ) sin θ dθ d dx

sin θ (− sin θ )

dP sin θ dx 2

dP dx

m2 + l ( l + 1) − P=0 sin2 θ

m2 + l ( l + 1) − sin2 θ

P=0

Omdat sin2 θ + cos2 θ = 1 kunnen we de volgende substitutie maken sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − x2 wat geeft d dx

1 − x2

dP m2 + l ( l + 1) − P=0 dx 1 − x2

Als we de afgeleide in de eerste term uitwerken met behulp van de productregel krijg je

d2 P dP m2 1−x − 2x + l ( l + 1) − P=0 dx dx2 1 − x2 2

Nu hebben we de poolcoördinaten vergelijking van de Schrödingervergelijking omgezet in de geassocieerde Legendrevergelijking waarvan de oplossing in de wiskundige literatuur te vinden is. De oplossing voor de geassocieerde Legendrevergelijking is

51

52


Plm ( x )

|m| d m 1 d l l 2 2 = 1−x x − 1 dx dx 2l l!

2

Nu we de oplossingen voor de geassocieerde Legendrevergelijking en de azimutale vergelijking hebben gevonden moeten we de normalisatiefactor vinden. Deze normalisatiefactor voor de geassocieerde Legendrevergelijking en de azimutale vergelijking samen is s

2n + 1 (n − m)! 4π (n + m)!

dus de genormaliseerde oplossing voor vergelijking 34 is s Ynm (θ, φ)

=

2n + 1 (n − m)! imφ m e Pl (cos θ ) 4π (n + m)!

(38)


Het waterstof atoom De geassocieerde Laguerre vergelijking Het waterstof atoom bestaat uit een zware bewegenloze kern (die we in de oorsprong plaatsen) met een lading e waar omheen een elektron beweegt met dezelfde lading e. Tussen het elektron en het proton heerst er een elektrisch veld vanwege de lading van het proton en elektron. Deze kracht wordt beschreven door de Wet van Coulomb. Door de Wet van Coulomb te vermenigvuldigen met r krijgen we een formule voor de potentiële energie die we in de Schrödingervergelijking kunnen invullen. V (r ) = −

e2 1 4πe0 r

Vergelijking (32) leert ons dat 1 d R dr

r2

dR dr

2mr2

[V (r ) − E ] = l ( l + 1) h¯ 2 waar V (r ) de potentiële is. Door de bovenstaande vergelijking te herleiden en voor V (r ) de potentiële energie te substitueren krijgt men −

" # h¯ 2 d2 u e2 1 h¯ 2 l (l + 1) − + − u = Eu + 2m dr2 4πe0 r 2m r2

(39)

We moeten nu u(r ) vinden en bepalen wat de toegestane waarden voor E zijn. Als eerste gaan we de constanten samenvoegen en maken hier één constante van om de vergelijking overzichtelijk te houden.

√

−2mE h¯ Als we vergelijking (39) delen door E krijgen we " # 1 d2 u me2 1 l ( l + 1) = 1− + u k2 dr2 2πe0 h¯ 2 k (kr ) (kr )2 k≡

(40)

(41)

Deze vergelijking kunnen we nog korter opschrijven door de volgende substitutie

p ≡ kr, en p0 ≡

me2 2πe0 h¯ 2 k

(42)

Dus vergelijking (41) wordt dan d2 u p0 l ( l + 1) = 1− + u p dp2 p2

(43)

53

54


Laten we nu het asymptotische vorm van de oplossingen bekijken. Als p → ∞ zal de term in de haakjes domineren en ongeveer gelijk zijn aan 1. Dus de vergelijking wordt dan d2 u =u dp2 met als algemene oplossing u( p) = Ae− p + Be p maar e p zal oneindig groot worden als ρ → ∞ dus B = 0, want anders is dit in strijdt met de statistische interpretatie van de golffunctie. De oplossing voor grote waarden van p is u( p) ∼ Ae− p Aan de andere hand, als p → 0 zal de centrifugale term domineren. De vergelijking wordt dan d2 u l ( l + 1) = u dρ2 p2 de algemene oplossing is u( p) = Cpl +1 + Dp−1 maar de oplossing p−1 zal het oneindige naderen als p → 0 dus is D = 0. De oplossing voor kleine waarden van p is u( p) ∼ Cpl +1 Men hoopt dat de oplossing voor vergelijking (41) in de volgende vorm is, waar v( p) een onbekende functie is die Cpl +1 en Ae− p aan elkaar vast "lijmt". u ( p ) = p l +1 e − p v ( p ) Nu moeten we v( p) vinden. Dit doen we door een differentiaalvergelijking op te stellen en oplossen voor v( p). We beginnen als eerste met het nemen van de eerste en tweede afgeleiden van u( p) dv du l −p =pe (l + 1 − p) v + p dp dp d2 u = pl e− p dp2

l ( l + 1) −2l − 2 + p + p

dv d2 v v + 2 (l + 1 − p) +p 2 dp dp

Nu kunnen we vergelijking (43) gelijkstellen aan de bovenstaande vergelijking. Na wat algebraïsche tussenstappen vindt men dat


p

d2 v dv + ( p0 − 2 (l + 1)) v = 0 + 2 (l + 1 − p) 2 dp dp

(44)

We nemen aan dat de oplossing voor v( p) uitgedrukt kan worden in een (oneindige) machtreeks. Deze methode wordt ook ∞

v( p) =

∑ aj pj

j =0

Het doel is nu om de onbekende coëfficiënten ( a0 , a1 , a2 , . . .) te bepalen. Wanneer we de eerste afgeleidde nemen krijgen we dv = dp

∞

∞

j =0

j =0

∑ ja j p j−1 = ∑ ( j + 1) a j+1 p j

Nogmaals differentiëren geeft d2 v = dp2

∞

∑ j ( j + 1 ) a j +1 p j −1

j =0

Het is de bedoeling dat we een recursief voorschrift krijgen voor het bepalen van de coëfficiënt a j . Als eerste substitueren we de afgeleidden in, in vergelijking (41), dit geeft ∞

∞

∞

∞

j =0

j =0

j =0

j =0

∑ j ( j + 1) a j+1 p j + 2 (l + 1) ∑ ( j + 1) a j+1 p j − 2 ∑ ja j p j + ( p0 − 2 (l + 1)) ∑ a j p j = 0

We kunnen nu de vergelijking onderbrengen onder één sommatie en de p j eruit factoriseren ∞

∑

j ( j + 1) a j+1 p j + 2 (l + 1) ( j + 1) a j+1 p j − 2 ja j p j + ( p0 − 2 (l + 1)) a j p j =0

j =0

Maar p j waarbij j = 0, 1, 2, 3, . . . zal nooit nul worden, dus

j ( j + 1) a j+1 + 2 (l + 1) ( j + 1) a j+1 − 2ja j + ( p0 − 2 (l + 1)) a j = 0 wanneer we a j+1 vrijmaken, krijgt men a j +1 =

2 ( j + l + 1) − p0 ( j + 1) ( j + 2l + 2)

aj

Dit recursief voorschrift geeft ons alle coëfficiënten en dus de functie v( p). Men start met de coëfficiënt a0 = A die bepaalde wordt door normalisatie. Maar we moeten nu controleren of de gevonden oplossing v( p) niet "opblaast" als j → ∞.

55

56


lim

j→∞

2 ( j + l + 1) − p0 ( j + 1) ( j + 2l + 2)

aj ≈

2j A j!

dus ∞

2j j p = Ae2p j! j =0

v( p) = A ∑ en dus is u( p)

u( p) = Apl +1 e p Maar u( p) zal het oneindige naderen als j → ∞ en dit is in strijd met de statistische interpretatie van de golffunctie, omdat ze niet normalizeerbaar zijn. Er is maar één oplossing voor dit dilemma en dat is de series aflopen moeten zijn zodat a jmax +1 = 0 dat betekend dat 2 ( jmax + l + 1) − p0 = 0 We definiëren n ≡ jmax + l + 1 (waarbij n het hoofdkwantumgetal genoemd wordt) dus p0 = 2n

(45)

Maar p0 bepaald de energie (vergelijking (40) en (42)), dus E=−

h¯ 2 k2 me2 =− 2m 8π 2 e02 h¯ 2 p20

Dat betekend dat de toegestane energieniveaus in het waterstof atoom berekend kunnen worden door

" En = −

m 2¯h

2

e2 4πe0

2 #

1 E = 21 , 2 n n

n = 1, 2, 3, . . .

Dit is de bekende formule van Bohr die deze formule gevonden heeft door klassieke mechanica te combineren met de toen jonge kwantummechanica. Met behulp van vergelijking (42) en (45) krijgen we k=

me2 4πe0 h¯

2

1 1 = n an


waar me2

−1

= 0.529 × 10−10 m 4πe0 h¯ 2 de Bohr radius genoemd wordt. Uit vorige vergelijking en vergelijking (42) volgt dat a≡

r an Blijkbaar wordt de golffunctie voor het waterstofatoom bepaald door drie kwantumnummers (n, m en l) p=

ψnlm (r, θ, φ) = Rnl (r )Ylm (θ, φ) waar 1 l +1 − p p e v( p) r waar v( p) een polynoom is waar de coëfficiënten bepaald worden door Rnl (r ) =

2 ( j + l + 1 − n) a ( j + 1) ( j + 2l + 2) j De polynoom v( p) waar de coëfficiënten bepaald worden door de formule hierboven komt veel voor in de toegepaste wiskunde. Die ook als volgt geschreven wordt a j +1 =

+1 v( p) = L2l n−l −1 (2p )

waar p

Lq− p ( x ) ≡ (−1) p

d dx

p Lq ( x )

waar Lq ( x ) ≡ e

x

d dx

q

e− x x q

p

De polynomen die uit Lq− p ( x ) worden de geassocieerde Laguerre polynomen genoemd. De algemene formule voor de normalisatiefactor voor de geassocieerde Laguerre vergelijking is s

( n − l − 1) ! 2 3 N= 2n(n + 1)! na Dus de genormaliseerde oplossing voor vergelijking (39) is s Rnl (r ) =

( n − l − 1) ! 2n(n + 1)!

2 na

3 e

2 − na

2r na

l

+1 L2l n − l −1

2r na

57

58


De golffunctie voor de grondtoestand De golffunctie voor ψ100 , dus de eerste schil van het waterstof atoom is Ψ100 (r, θ, φ) = R10 (r )Y00 (θ, φ) Het recursief voorschrift voor v( p) wordt al afgekapt bij de eerste term en geeft ons alleen de constante a0 . a0 − r e a a Nu moeten we alleen nog R10 (r ) normaliseren om a0 te vinden R10 (r ) =

ˆ∞

| R10 |2 r2 dr =

| a0 |2 a

0

dus a0 =

√2 a

ˆ∞ e

−r 2 a r dr

= | a0 |2

0

terwijl Y00 =

√1 , 4π

dus

Ψ100 (r, θ, φ) = √

1 4πa3

r

e− a

a =1 4


De golffunctie van het waterstofatoom We hebben in het begin de aanname gemaakt dat de oplossing Ψ voor het waterstofatoom in vorm van een product zal voorkomen Ψ(r, θ, φ) = N R(r )Y (θ, φ) waar N de normalisatiefactor is. Verder hebben we ook ontdekt dat bij het oplossen van de drie vergelijkingen (R(r ), Θ(θ ) en Φ(φ)) ook drie speciale gehele getallen n, l en m voorkomen. Als we alle oplossingen R(r ), Θ(θ ), Φ(φ) en de normalisatiefactor N aan elkaar vast plakken krijgen we de algemene oplossing voor het waterstofatoom. s Ψnlm (r, θ, φ) =

( n − l − 1) ! 2n(n + 1)!

2 na

3 e

r − na

2r na

l

+1 L2l n − l −1

2r na

s

2n + 1 (n − m)! imφ m e Pl (cos θ ) 4π (n + m)! (46)

59

Deel II

Simulatie

Het waterstofatoom Inleiding n het eerste deel van dit werkstuk hebben we veel theorie behandeld van klassieke mechanica tot kwantummechanica. Ook hebben we de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom opgelost waarbij we speciale effecten zoals relativistische effecten hebben verwaarloost. Het waterstofatoom is het enige atoom waarbij de Schrödingervergelijking in zijn meest "eenvoudigste" vorm exact opgelost kan worden. Dit maakt op zich niet heel veel uit, omdat de golffunctie van hogere elementen bijna het zelfde zijn als die van een geëxciteerd waterstofatoom. Het doel is om met behulp van Wolfram Mathematica 8® een dichtheidsplot te maken van de kansdichtheid. Met MathWorks MATLAB® zullen we een drie dimensionaal beeld te creëren van de golffunctie van het waterstofatoom en deze te analyseren. Dit vereist kennis over de syntaxis van Wolfram Mathematica 8® en MathWorks MATLAB®.

I

Implementatie In het vorige deel hebben we de algemene oplossing voor het waterstofatoom afgeleidt. Het handigste zou zijn als we een functie kunnen vinden voor Mathematica waarbij we alleen de waarden voor n, l en m hoeven in te voeren en dat Mathematica de juiste bijbehorende golffunctie geeft. Op het internet is de volgende functie voor het waterstofatoom te vinden voor Mathematica, 1 Hydrogen [ n_ , l _ , m_] : = 2 Sqrt [ 2 ^ 3 / ( n * a ) ^3] 3 Sqrt [ ( n − l − 1 ) ! / ( 2 * n * ( ( n + l ) ! ) ^3) ] * 4 Exp[− r /(n * a ) ] * ( ( 2 * r ) /(n * a ) ) ^ l * 5 LaguerreL [ n − l − 1 , 2 * l + 1 , ( 2 * r ) /(n * a ) ] * 6 SphericalHarmonicY [ l , m, \[ Theta ] , \[ Phi ] ] 7 // F u l l S i m p l i f y

64


4 Deze

voeren we in Mathematica en drukken op enter op om de functie in het geheugen op te slaan. Regel 6 stelt vergelijking 38 voor en regel 7 zorgt ervoor dat de oplossing zo veel mogelijk herleidt wordt. De rest spreekt voor zich.

4

jjjj

Met behulp van deze code hoeven we alleen de waarden voor n, l en m in te voeren en Mathematica zal ons de juiste oplossing voor de desbetreffende waarden geven. Als we voor Ψnlm = Ψ321 de golffunctie willen weten hoeven we alleen het volgende in Mathematica in te voeren Hydrogen [ 3 , 2 , 1 ] De a moet nu nog gedefinieerd worden, dit is de Bohr radius in ångström die we als volgt invoeren in Mathematica. a = 0.529 Wanneer we verschillende waarden voor n, l en m invoeren krijgen we de golffunctie Ψnlm voor de desbetreffende waarden, maar deze oplossing geeft nog niet de kansdichtheid van het elektron. Om de kansdichtheid te krijgen uit de golffunctie Ψnlm moeten we statistische interpretatie van Born toepassen op de golffunctie.5 De golffunctie die Mathematica ons levert moet gekwadrateerd worden en vermenigvuldigd worden met 4πr2 . Nadat we de oplossing Ψnlm vermenigvuldigd hebben met 4πr2 moeten we een coördinatentransformatie toepassen. De algemene oplossing voor de golffunctie is in bolcoördinaten terwijl het handiger is met het driedimensionale Cartesisch coördinatenstelsel in Mathematica te werken. Wanneer we l en m nul laten dus Ψnlm = Ψn00 is de golffunctie alleen een functie van r. Maar als we l niet nul laten, dus Ψnlm = Ψnm0 , wordt de golffunctie een functie van r en θ. En als Ψnlm = Ψnlm dan is de golffunctie een functie van r, θ en φ. Stel we willen een plot hebben waar Ψnlm = Ψn00 dan hebben we in principe voldoende aan een 2D plot waar de kansdichtheid een functie is van de afstand r. Om een plot te maken van Ψ100 moeten we eerst de golffunctie krijgen. Daarvoor gebruiken we de functie Hydrogen[n, l, m]. Wanneer we een 2D plot willen maken van de afstand tegen de kans moeten we eerst de golffunctie krijgen. Als voorbeeld nemen we Ψ100 . Als eerste voeren we het volgende stukje code in on de golffunctie te krijgen, Hydrogen [ 1 , 0 , 0 ] dit geeft ons q Ψ100 =

1 − ar e a3

√

π

Vergelijking 24 is de statistische interpretatie van Born in het Cartesische coördinatenstelsel. Vergelijking 24 voor ´ bolcoördinaten is |Ψ|2 d3~r = 1 5


65

De kansdichtheid voor Ψ100 wordt dan 2r

4e− a r2 a3 Om een 2D plot te maken van deze functie gebruiken de onderstaande syntaxis. De afstand r doen we in n termen van de Bohr radius, dus a, 2a, 3a, . . . na. PΨ100 (r ) =

P l o t [ f , { x , x−min , x−max } ] dus voor PΨ100 (r ) wordt deze P l o t [ ( Hydrogen [ 1 , 0 , 0 ] ) ^ 2 * 4 * Pi * r ^2 , { r , 0 , AxesLabel −> {Å, 4 \[ Pi ] r ^2 S u b s c r i p t [ R , PerformanceGoal −> " Q u a l i t y " , PlotRange −> Full , P l o t S t y l e −> { Thick , Thick } ]

5 a} , nl ]^2} ,

Voor golffuncties waarbij Ψnlm = Ψnm0 is de oplossing niet meer punt- en draaisymmetrisch wat wel het geval is bij golffunctie waar Ψnlm = Ψn00 dus moeten we gebruik maken van een 3D plot waar de x-as de kansdichtheid voorstelt en y en z de afstand als m = 0.t6 Een oplossing van de golffunctie waarbij Ψnlm = Ψnm0 zal altijd een functie zijn van r en cos θ (zie vergelijking 46), dus moeten we r en cos θ uitschrijven in termen van x en y. Daarvoor gebruiken we de volgende substitutie

De z-as omhoog, de y-as rechts en de x-as het papier uit

6

q

x 2 + y2 z cos θ = p y2 + z2 r=

De syntaxis voor de 3D plot in Mathematica is Plot3D [ f , { x , x−min , x−max } , { y , y−min , y−max } ] De 3D plot voor bijvoorbeeld PΨ210 ( x, y) is Plot3D [ ( E^( − ( Sqrt [ x^2+y^2]/ a ) ) ( x^2+y^2)^4 ( x/Sqrt [ x^2+y ^ 2 ] ) ^ 2 ) / ( 2 8 8 a ^ 5 ) , { x , −20a , 20 a } , { y , − 20, 20 a } , PlotRange −> All ] De meest belangrijkste plot die we gaan gebruiken is de kansdichtheidsplot. Deze plot zal met behulp van kleuren aangeven waar de kans het grootst zal zijn om het elektron te vinden. De syntaxis die we gaan gebruiken voor de dichtheidsplot is

66


DensityPlot [ HydrogenNxz [ n , l , 0 ] , { y , −b , b } , { z , −b , b } , Mesh −> False , Frame −> False , P l o t P o i n t s −> 1 0 0 , ColorFunctionScaling −> True , ColorFunction −> " S u n s e t C o l o r s " , PerformanceGoal −> " Q u a l i t y " , Axes −> True , Ticks −> False , ] De functie HydrogenNxz heb ik zelf gedefinieerd waar HydrogenNxz[n, l, m] = (Hydrogen[n, l, m])2 4πr2 q r = y2 + z2 y θ = arctan z Als laatste gaan we een contourplot maken van alle mogelijke golffuncties gaande van n = 1 tot n = 5 waarbij we ook l en m variëren. Deze plot kunnen we niet maken in Mathematica, omdat Mathematica niet geavanceerd genoeg is. In plaats daarvan gebruiken we MathWorks MATLAB® voor het plotten. Het script dat we gaan gebruiken is % P l o t t i n g hydrogen o r b i t a l s close a l l ; % Quantum numbers ========================== n=1; l = 0 ; % 0<= l
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

f a c t o r i a l ( n+ l ) ) ) . * . . . exp(− r /( a * n ) ) . * ( 2 * r /( a * n ) ) . ^ l * 1/ f a c t o r i a l ( n−l − 1+2* l +1) . * . . . A s s o c i a t e d L a g u e r r e ( n−l − 1 ,2 * l + 1 , 2 * r /( a * n ) ) ; % Wave f u n c t i o n p s i =@( n , l ,m, r , t h e t a , phi ) R ( n , l , r ) . * Y ( l ,m, t h e t a , phi ) ; % Setting the grid border = 3 2 ; accuracy =100; [ x , y , z ]= ndgrid ( l i n s p a c e (− border , border , a c c u r a c y ) , l i n s p a c e (− border , border , a c c u r a c y ) , l i n s p a c e (− border , border , a c c u r a c y ) ) ; % Conversion Cartesian to s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s r = s q r t ( x .^2+ y .^2+ z . ^ 2 ) ; t h e t a =acos ( z . / r ) ; phi=atan2 ( y , x ) ; % P l o t o r b i t a l , − and + wave f u n c t i o n p h a s e c o l o r s =sign ( p s i ( n , l ,m, r , t h e t a , phi ) ) ; i s o s u r f a c e ( p s i ( n , l ,m, r , t h e t a , phi ) . ^ 2 , p r o b a b i l i t y , colors ) ; t i t l e ( [ ’ n = ’ num2str ( n ) ’ , l = ’ num2str ( l ) ’ , m = ’ num2str (m) ] , ’ FontName ’ , ’ Times ’ , ’ F o n t S i z e ’ , 1 2 ) ; s e t ( gcf , ’ c o l o r ’ , [ 1 1 1 ] ) ; daspect ( [ 1 1 1 ] ) ; axis off ; view ( 3 ) ; camlight ( ’ l e f t ’ ) ; camzoom ( 0 . 9 5 ) ; l i g h t i n g phong ; axis vis3d ; r o t a t e 3 d on ; brighten ( 1 ) ; We hoeven alleen de waarden voor n, l en m te wijzig in regels 4, 5 en 6 om een contourplot te krijgen. Voor grotere waarden van n zullen we ook de waarden in regels 8 en 20 wijzigen en eventueel ook regel 21 om de rekentijd in tekorten.

67

68


Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψn00 Als eerste beginnen we met de gemakkelijkste golffuncties waarbij we n variëren en waar we l = m = 0. Als eerste gaan we de functie Hydrogen[n, l, m] definiëren in Mathematica door in te voeren: Hydrogen [ n_ , l _ , m_] : = Sqrt [ 2 ^ 3 / ( n * a ) ^3] Sqrt [ ( n − l − 1 ) ! / ( 2 * n * ( ( n + l ) ! ) ^3) ] * Exp[− r /(n * a ) ] * ( ( 2 * r ) /(n * a ) ) ^ l * LaguerreL [ n − l − 1 , 2 * l + 1 , ( 2 * r ) /(n * a ) ] * SphericalHarmonicY [ l , m, \[ Theta ] , \[ Phi ] ] // FullSimplify dan moet a nog gedefinieerd worden. De eenheid van de Bohr radius doen we in de ångström. a = 0.529 We voeren in Mathematica het volgende in on de formules voor de golffuncties te verkrijgen: Hydrogen [ n , 0 , 0 ] waar we apart voor n de waarden n = 1, 2, 3, 4, 5 invullen. Dit geeft ons vijf golffuncties die allemaal tot de s-orbitalen horen.7 Ψnlm = Ψn00

Golffunctie Ψn00 (r ) q

n=1

π

q

n=2

r 1 e− 2a a3

√

q

n=3

n=4 q

n=5

1 e− ar 3 a√

1 a3

r 1 e− 5a a3

3/2

r 1 e− 3a a3

e

r − 4a

(2− ar )

8 2π

(27a2 −18ar+2r2 )

√ 486a2 3π

(192a3 −144a2 r+24ar2 −r3 )

√ 36864 π (9375a4 −7500a3 r+1500a2 r2 −100ar3 +2r4 ) √ 5625000a4 5π

Vervolgens maken we een plot van de afstand gezien vanaf het proton tegen de kansdichtheid.

De "a" heb ik expres niet uitgewerkt, omdat dan de formules in de tabel hieronder onoverzichtelijk worden 7


Figuur 12: 2 4 Πr2 Rnl

4 Πr2 R2nl

1.0 0.08 0.8

0.06 0.6

PY200

PY100 0.04 0.4

0.02

0.2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Å 2

4 Πr2 R2nl

4

6

8

Å

2 4 Πr2 Rnl

0.005

0.00020

0.004

PY400

0.00015

0.003

PY300

0.00010

0.002

0.00005 0.001

5

10

Å 15

5

4 Πr2 R2nl 6. ´ 10-6

5. ´ 10-6

PY500 4. ´ 10-6

3. ´ 10-6

2. ´ 10-6

1. ´ 10-6

0

5

10

15

20

25

30

Å

Met deze grafieken kunnen we heel goed analyseren waar het elektron het meeste van zijn tijd doorbrengt. In de grafiek van PΨ100 zien we dat de top van de grafiek als x-coordinaat 0.529 A˚ heeft. Dit is exact de afstand die N.Bohr berekend heeft voordat de Schrödingervergelijking opgesteld werd. Een ander interessant fenomeen is dat bij golffuncties waarbij n > 1 er plaatsen (de dalen) zijn waar de kans dat we het elektron kunnen vinden 0 is. Dus als een elektron van de ene kant van het dal naar de andere wilt gaan, ondergaat het elektron tunneling. Naast de normale plot maken we ook een een dichtheidsplot.

10

15

20

Å

69

70


Figuur 13:


Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψnl0 Het hoofdkwantumgetal n is de hoofdverdeling van de energieniveaus in een atoom (de (hoofd)schillen). Het impulsmoment verdeelt de (hoofd)schillen in subschillen. Voor een hoofdkwantumgetal n kan l de waarden 0, 1, 2, . . . n − 1 bezitten. De subschillen worden aangegeven door een letter uit de reeks s, p, d, f , g, h, i, j, k, . . . (voor l = 0, 1, . . . n − 1) toe te voegen aan het hoofdkwantumgetal n. Anders dan de hoofdkwantumletters, worden deze letters nog steeds veelvuldig in natuur- en scheikunde gebruikt. De mogelijke combinaties van l die bij een bepaalde waarde van n horen die we gaan plotten staan in de tabel hieronder Ψnlm n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 ...

s-orbitalen Ψ100 Ψ200 Ψ300 Ψ400 Ψ500 l=0

p-orbitalen Ψ210 Ψ310 Ψ410 Ψ510 l=1

d-orbitalen Ψ320 Ψ420 Ψ520 l=2

f-orbitalen Ψ430 Ψ530 l=3

g-orbitalen Ψ540 l=4

Nu we verschillende waarden voor l invullen in onze functie Hydrogen[n, l, m] krijgen we oplossingen die een functie zijn van r en cos θ. Voordat we een plot kunnen maken van de kansdichtheid, moeten we eerst een coördinatentransformatie toepassen (zie vorige paragraaf).

71

72


Figuur 14:


Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψnlm Het magnetische kwantumgetal ml beschrijft het magnetische impuls in een willekeurige richting. Het magnetisch kwantumgetal kan de waarden −l0 ≤ ml ≤ l0 aannemen. Het magnetisch kwantumgetal ml heeft geen invloed op de energie van het elektron, maar het veranderd wel de kansdichtheid. Alle mogelijke golffunctie die we kunnen tekenen met n = 1, 2, . . . 5 staan in de tabel hieronder

n n n n n

=1 =2 =3 =4 =5 ...

l=0

l=1

l=2

l=3

l=4

...

ml = 0 0 0 0 0 ...

-1, 0, 1 -1, 0, 1 -1, 0, 1 -1, 0, 1 ...

-2, -1, 0, 1, 2 -2, -1, 0, 1, 2 -2, -1, 0, 1, 2 ...

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...

-4, -3, -2 -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...

... ...

Nu we waarden voor ml gaan invoeren betekend dat de golffunctie Ψnlm een functie wordt van r, θ en φ. Om de orbitalen te plotten gebruiken we MATLAB®, omdat Mathematica® minder geavanceerd is in het plotten van 3D grafieken. We moeten alleen de waarden van n, l en m wijzigen en het script runnen. Voor elke energieniveau n zullen we een 3D plot maken met MATLAB.

73

jan dezider kees koomen-majernik 74

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5 Tabel 1:

s ( l = 0) m=0 s m=0 pz

p ( l = 1) px

m = ±1 py

Tabel 2:

n=5

n=4

n=3

n=1 n=2

m=0 d z2 d xz

m = ±1 dyz

p ( l = 2) d xy

m = ±2 d x 2 − y2

inleiding tot de kwantummechanica 75

jan dezider kees koomen-majernik 76

n=1 n=2 n=3

n=4

n=5 Tabel 3:

m=0 f z3 f xz2

m = ±1 f yz2

f ( l = 3) f xyz

m = ±2 f z ( x 2 − y2 )

f x( x2 −3y2 )

m = ±3

f y(3x2 −y2 )

=1 =2 =3 =4

=1 =2 =3 =4

Tabel 4:

n=5

n n n n

n=5

n n n n

m=0

m = ±3

g ( l = 4)

m = ±1

g ( l = 4)

m = ±4

m = ±2

inleiding tot de kwantummechanica 77

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

Recommend Documents