IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f . Zahrnuje: • základní vlastnosti: 𝐷(𝑓), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde 𝑓(𝑥) > 0, resp. 𝑓(𝑥) < 0; • monotonie a extrémy funkce f – využití derivace 𝑓´; • konvexnost a konkávnost funkce f , inflexní body (tvar grafu) – využití derivace 𝑓´´; • asymptoty grafu funkce f – chování funkce v „nekonečně vzdálených“ bodech; • konstrukce grafu funkce f – náčrtek.
IX.1. Monotonie a extrémy Věta (Lagrangeova – o střední hodnotě): Nechť funkce f je spojitá na intervalu 𝑎, 𝑏 a diferencovatelná v 𝑎, 𝑏 . Pak existuje bod 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) takový, že platí 𝑓´ 𝑐 =
𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎
.
Ekvivalentní zápis: 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 = 𝑓´(𝑐) ⋅ (𝑏 − 𝑎).
Geometrický význam: Směrnice tečny grafu funkce f v bodě c je rovna směrnici sečny spojující krajní body tohoto grafu. Poznámka: diferencovatelnost funkce f v celém intervalu (𝑎, 𝑏) je podstatná.
Lagrangeova věta – geometrický význam Funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 + 2
𝑎 = −2, 𝑏 = 2
𝑡1
𝑠
𝑡2
Vztah derivace a monotonie funkce Věta: Nechť funkce f je spojitá na intervalu I. Jestliže pro všechny vnitřní body 𝑥 ∈ 𝐼 platí (a) 𝑓´(𝑥) > 0, (b) 𝑓´(𝑥) ≥ 0, (c) 𝑓´(𝑥) ≤ 0, (d) 𝑓´(𝑥) < 0,
pak funkce f je v intervalu I (a) rostoucí, (b) neklesající, (c) nerostoucí, (d) klesající.
Poznámka: Přímý důsledek Lagrangeovy věty. Příklad: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥 + 4, 𝐷 𝑓 = 𝐑 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥 2 − 6𝑥 − 9, funkce f je rostoucí v (−∞, −1 a v 3, +∞), klesající v intervalu −1, 3 (ověřte).
Lokální extrémy Def: Řekneme, že funkce f má v bodě 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓) lokální maximum (minimum), jestliže existuje takové okolí 𝑈(𝑥0 ), že platí 𝑥 ∈ 𝑈 𝑥0 ∩ 𝐷 𝑓 ⟹ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ) . Platí-li 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ), resp. 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0 ) pro každé 𝑥 ∈ 𝑈 𝑥0 ∩ 𝐷 𝑓 , 𝑥 ≠ 𝑥0 , má funkce f v bodě 𝑥0 ostré lokální maximum, resp. minimum. Poznámka: Maximum a minimum funkce na množině zavedené dříve (max 𝑓, min 𝑓) jsou tzv. globální (nebo 𝑀
absolutní) extrémy.
𝑀
Určování extrémů Věta: Má-li funkce f v bodě 𝑥0 extrém a existuje-li 𝑓´(𝑥0 ) (oboustranná), pak 𝑓´ 𝑥0 = 0. Poznámka: Nutná podmínka existence extrému – není postačující. Uvažte funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 , 𝑥0 = 0.
Je-li funkce f definována na intervalu I s krajními body 𝑎 < 𝑏, pak může v I nabývat extrémů: • v bodech 𝑎, 𝑏 (pokud patří do I), • v bodech 𝑥 ∈ 𝐼, kde f nemá derivaci, • v bodech 𝑥 ∈ 𝐼, kde 𝑓´ 𝑥 = 0. Poznámka: Není-li f v intervalu I spojitá, pak v tomto intervalu extrémů nemusí nabývat.
Určování extrémů - pokračování Věta: Nechť f je spojitá v intervalu 𝐼 = 𝑎, 𝑏 . Pak f nabývá v I svého (absolutního) maxima i minima, přičemž tyto extrémy mohou nastat: • v bodech 𝑎, 𝑏, • v bodech 𝑥 ∈ 𝐼, kde 𝑓´ 𝑥 = 0, • v bodech 𝑥 ∈ 𝐼, kde 𝑓´(𝑥) neexistuje.
Je-li funkce f definována na intervalu I, vyšetřujeme na tomto intervalu postupně: • spojitost f, existenci a spojitost 𝑓´; • maximální intervaly monotonie, extrémy; • chování v krajních bodech I případně pomocí limity.
IX.2. Konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body Def: Nechť funkce f je definována v intervalu I. Řekneme, že f je v I ryze konvexní, jestliže pro každé tři body 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ∈ 𝐼, 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 platí: bod 𝑄2 = 𝑥2 , 𝑓(𝑥2 ) leží pod přímkou 𝑄1 𝑄3 , kde 𝑄1 = 𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ) , 𝑄3 = 𝑥3 , 𝑓(𝑥3 ) . Poznámka – matematická formulace: Rovnice uvedené přímky je
𝑦 = 𝑓 𝑥1 + 𝑘 ⋅ 𝑥 − 𝑥1 = 𝐿(𝑥), 𝑘 =
𝑓 𝑥3 −𝑓(𝑥1 ) , 𝑥3 −𝑥1
uvedenou vlastnost lze vyjádřit nerovností
𝑓 𝑥2 < 𝑓 𝑥1 + 𝑘 ⋅ 𝑥2 − 𝑥1 = 𝐿(𝑥2 ). Příklad: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , 𝐼 = −2, 2 .
Další možnosti Analogicky se zavádějí obdobné pojmy pro funkci f: • ryze konkávní … nad přímkou … 𝑓(𝑥2 ) > 𝐿(𝑥2 ), • konvexní … pod přímkou nebo na ní … 𝑓(𝑥2 ) ≤ 𝐿(𝑥2 ), • konkávní … nad přímkou nebo na ní … 𝑓(𝑥2 ) ≥ 𝐿(𝑥2 ).
Věta: Nechť f je spojitá na intervalu I. Jestliže pro všechny vnitřní body 𝑥 ∈ 𝐼 platí 𝑓´´(𝑥) > 0, je funkce f ryze konvexní v I. Poznámka: Změnou znaménka nerovnosti dostaneme: • 𝑓´´(𝑥) ≥ 0 pro všechny vnitřní body ⟹ f je konvexní v I, • 𝑓´´(𝑥) ≤ 0 pro všechny vnitřní body ⟹ f je konkávní v I, • 𝑓´´(𝑥) < 0 pro všechny vnitřní body ⟹ f je ryze konkávní v I.
Inflexní body Def: Nechť f má (vlastní) derivaci v bodě 𝑥0 , tečna ke grafu funkce f v bodě 𝑀 = 𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ) má rovnici 𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓´ 𝑥0 ⋅ 𝑥 − 𝑥0 = 𝑇(𝑥).
Jestliže existuje 𝛿 > 0 takové, že platí 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 ) ⟹ 𝑓(𝑥) < 𝑇(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑥0 , 𝑥0 + 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 > 𝑇 𝑥
(nebo naopak), řekneme, že bod 𝑥0 je inflexním bodem funkce f (f má v bodě 𝑥0 inflexi). Geometrický význam: Graf funkce f přechází v bodě M z polohy „pod tečnou“ do polohy „nad tečnou“ nebo naopak. Příklady: a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 , 𝑥0 = 0 … tečnou je osa 𝑥; b) 𝑔 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑥0 = 0 … tečna má rovnici 𝑦 = 𝑥.
Funkce 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 , 𝒈 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝒙𝟎 = 𝟎 𝑔
𝑓
Určování inflexních bodů
Věta: Je-li bod 𝑥0 inflexním bodem funkce f a existuje-li 𝑓´´(𝑥0 ), pak 𝑓´´ 𝑥0 = 0. Poznámka: 𝑓´´ 𝑥0 = 0 je nutná podmínka existence inflexního bodu – není postačující! Příklady: a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 , 𝑓´´ 0 = 0, bod 0 je inflexním bodem. b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 4 , 𝑔´´ 0 = 0, funkce 𝑔 je ryze konvexní v R. Postačující podmínky: Nechť 𝑓´´ existuje na intervalu 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 , 𝛿 > 0. Jestliže platí 𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 ⟹ 𝑓´´(𝑥) < 0, 𝑥 ∈ 𝑥0 , 𝑥0 + 𝛿 ⟹ 𝑓´´(𝑥) > 0 (nebo naopak), je 𝑥0 inflexním bodem funkce f.
Jiná možnost zjištění extrému a inflexního bodu Věta: Nechť 𝑓´ 𝑥0 = 0. Pak platí: • Je-li 𝑓´´(𝑥0 ) > 0, má f v bodě 𝑥0 ostré lokální minimum. • Je-li 𝑓´´(𝑥0 ) < 0, má f v bodě 𝑥0 ostré lokální maximum. Příklad: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥 + 5. 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥 2 − 12, 𝑓´ 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = ±2. 𝑓´´ 𝑥 = 6𝑥 ⟹ minimum pro 𝑥 = 2, maximum pro 𝑥 = −2. Poznámka: Neplatí „tvrzení“: Je-li 𝑓´ 𝑥0 = 0, 𝑓´´(𝑥0 ) ≥ 0, má f v bodě 𝑥0 lokální minimum – uvažte funkci 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 , 𝑥0 = 0.
Věta: Jestliže platí 𝑓´´ 𝑥0 = 0, 𝑓´´´(𝑥0 ) ≠ 0, pak bod 𝑥0 je inflexním bodem funkce f.
IX.3. Asymptoty grafu funkce Asymptota grafu funkce f … přímka, k níž se graf „blíží“ v „nekonečně vzdáleném“ bodě.
Def: a) Přímku o rovnici 𝑦 = 𝑐 nazveme vodorovnou asymptotou grafu funkce f pro 𝑥 → +∞, jestliže platí lim 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑥→+∞
(Analogicky pro 𝑥 → −∞.)
b) Přímku o rovnici 𝑥 = 𝑑 nazveme svislou asymptotou grafu funkce f, jestliže f má v bodě 𝑥 = 𝑑 alespoň jednu jednostrannou nevlastní limitu. 1
Příklad: Funkce 𝑓 𝑥 = má svislou asymptotu 𝑥 = 0, 𝑥 vodorovnou asymptotu 𝑦 = 0 pro 𝑥 → +∞, 𝑥 → −∞.
Šikmá asymptota (v nevlastním bodě) Def: Nechť funkce f je definována v jistém intervalu (−∞, 𝑐), resp. (𝑐, +∞). Přímku o rovnici 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞 nazveme šikmou asymptotou grafu funkce f pro 𝑥 → −∞, resp. pro 𝑥 → +∞, jestliže platí lim 𝑓 𝑥 − 𝑘𝑥 − 𝑞 = 0, resp. lim 𝑓 𝑥 − 𝑘𝑥 − 𝑞 = 0.
𝑥→−∞
𝑥→+∞
Význam: Pro 𝑥 → −∞, resp. 𝑥 → +∞ je funkce f „téměř lineární“, její graf je „skoro přímka“. Příklad: Funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1 má pro 𝑥 → +∞ asymptotu 𝑦 = 𝑥, pro 𝑥 → −∞ asymptotu 𝑦 = −𝑥 (𝑘 = ±1, 𝑞 = 0). (Asymptoty rovnoosé hyperboly o rovnici 𝑥 2 − 𝑦 2 = 1.)
Určení šikmé asymptoty • Jestliže přímka o rovnici 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞 je asymptotou grafu funkce f pro 𝑥 → +∞, pak platí 𝑓(𝑥) 𝑥→+∞ 𝑥
𝑘 = lim
, resp. 𝑘 = lim 𝑓´(𝑥), 𝑥→+∞
𝑞 = lim 𝑓 𝑥 − 𝑘𝑥 , 𝑥→+∞
přičemž obě limity jsou konečné. • Při určování asymptoty počítáme hodnoty 𝑘 a 𝑞 jako uvedené limity. Jsou-li obě konečné, je asymptota popsána rovnicí 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. (Obdobně postupujeme pro 𝑥 → −∞.) Poznámka: Je-li některá z limit nevlastní nebo neexistuje, pak graf funkce 𝑓 nemá šikmou asymptotu.
