5
∞
∞
= rb P(t) + kB(t)∫ xe−r x Sa ( x)ek (t −x−a) x dx, (3.16)
P(t ) = ∫ B(t − x) St − x ( x)dx
b
0
0
∞
x
= ∫ B (t )e − r x exp(− ∫ µu (t − x)du )dx b
0
0
∞
x
= B(t ) ∫ e − r x exp(− ∫ µu (a + t − x − a )du )dx b
0
0
∞
rp(t) diperoleh dengan cara persamaan (3.17) dengan (3.16) d P(t ) p dt r (t ) = P (t ) ∞
x
= B(t )∫ e−r x exp(−∫ [µu (a) − k (t − x − a)]du)dx 0
0 x
= B(t )∫ e−r x exp(−∫ µu (a)du)ek (t − x−a) x dx b
0
0
∞
= B (t ) ∫ e − r x Sa ( x)e k ( t − x − a ) x dx. b
(3.15)
0
Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t, maka diperoleh: ∞
b d ⎛d ⎞ P(t ) = ⎜ B(t ) ⎟ ⋅ ∫ e− r x Sa ( x)ek (t − x − a ) x dx + dt dt ⎝ ⎠ 0
∞
r b P(t ) + kB(t ) ∫ xe − r x S a ( x)e k (t − x − a ) x dx b
b
∞
membagi
=
0
∞
B (t ) ∫ e
− rb x
S a ( x)e k (t − x − a ) x dx
0
= r b + kx (t ),
(3.17)
dimana x (t ) merupakan rata-rata dari umur pada populasi kuasi-stabil pada waktu t. Pada persamaan (3.17) diperoleh bahwa pada populasi kuasi-stabil terdapat variabel k, k >0 yaitu faktor perbaikan mortalitas. Hal tersebut yang menjadi perbedaan antara populasi stabil dengan populasi kuasi-stabil.
b ⎛d ⎞ B(t )∫ e− r x Sa ( x) ⎜ ek (t − x − a) x ⎟ dx ⎝ dt ⎠ 0
∞
= r b B(t )∫ e− r x Sa ( x)ek (t − x −a ) x dx + b
0
∞
kB(t )∫ xe− r x Sa ( x)ek (t − x −a ) x dx b
0
IV APLIKASI MODEL TERHADAP PENDUDUK INDONESIA Dalam bab ini akan diperlihatkan hasil simulasi dari model matematis yang telah dijelaskan di atas. Kemudian hasil dari simulasi dengan menggunakan software Mathematica 7.0 tersebut akan dibandingkan dengan data yang ada pada kondisi
sebenarnya, yaitu dengan data penduduk indonesia. Pada karya ilmiah ini data penduduk yang dijadikan acuan untuk perhitungan adalah data penduduk Indonesia pada tahun 2000.
Tabel 1. Populasi wanita tahun 2000 Umur Populasi wanita 0–4 11.286.663 5–9 10.730.466 10 – 14 10.483.347 15 – 19 10.591.934 20 – 24 10.326.572 25 – 29 9.458.310 30 – 34 8.286.038 35 – 39 7.578.665 40 – 44 6.821.886 45 – 49 5.561.111 50 – 54 3.756.367 55 – 59 3.591.664 60 – 64 3.147.530 65 – 69 2.362.196
6
70 – 74 1.495.429 75 – 79 901.062 80 ++ 657.052 Total 107.036.292 Jumlah kelahiran 4.215.500 Sumber: U.S. Census Bureau, International Data Base 4.1 Model Penduduk Stabil Struktur usia dan pertumbuhan dari suatu populasi ditentukan oleh tingkat kelahiran, kematian, dan migrasi. Pada populasi stabil tidak ada perubahan struktur usia. Pada subbab ini akan dibuat model berdasarkan formula sebagai berikut : 1. P(2005) = P (2000)e5⋅rb , ∞
2.
P(2005) = e5 rb ∫ B(2000)e − rb x S ( x) dx. 0
dan akan dibandingkan dengan data sebenarnya. Nilai rb dapat dilihat pada
Lampiran (4) Tabel (6), dengan persamaan r=CBR-CDR. x
x
0
i=0
S w ( x ) = exp( − ∫ µ y dy ) ≈ exp( − ∑ µ i ), dan nilai
µ
diperoleh dengan menggunakan 1⎡ 1 ⎤ persamaan µˆ x ≈ ⎢1 + ( ex +1 − ex −1 ) ⎥ , yang ex ⎣ 2 ⎦ dapat dilihat pada Lampiran (5) Tabel (7). Sedangkan ei diperoleh dari angka harapan hidup penduduk Indonesia pada tahun 2000.
2000
2005 Gambar 1. Grafik perbandingan model stabil vs data Indonesia Model 2 Data Indonesia Model 1
Pada gambar 1, dapat dilihat bahwa hasil proyeksi model 1 lebih bagus daripada model 2, karena model 1 memiliki galat 1,326% sedangkan model 2 memiliki galat 64,5%. Model 1 berbeda dengan model 2, mengakibatkan bahwa asumsi dari angka harapan hidupnya bernilai konstan kurang
tepat. Kalau angka harapan hidup dipaksakan untuk konstan, maka nilai dari rb harus berubah menjadi 0,04106937.
4.2 Model Kuasi-Stabil
7
Menurut pembahasan pada subbab di atas, maka metode stabil kurang bagus untuk menggambarkan kondisi penduduk di Indonesia. Oleh karena itu pada subbab ini akan dibahas mengenai aplikasi tentang metode kuasi-stabil untuk penduduk Indonesia. Pada metode ini faktor yang sangat berpengaruh untuk memproyeksikan total penduduk wanita di Indonesia adalah k, yaitu faktor perbaikan kematian. Kematian itu sendiri dapat disebabkan oleh beberapa faktor, antara lain kecelakaan, kematian normal, kematian mendadak, penyakit (Mustafa Alkik, 1965; www.who.int). Ada tiga faktor utama penyebab kecelakaan anatara lain adalah faktor manusia, kendaraan, dan lingkungan. Kematian normal yang dimaksud disini adalah kematian yang melalui proses menua secara perlahan. Sedangkan untuk kematian mendadak adalah kematian yang terjadi tanpa melalui sakit atau kecelakaan, seperti bunuh diri, ibu yang meninggal pada saat melahirkan dan kematian neonatal. Kematian neonatal adalah kematian bayi yang berumur 0 sampai 28 hari setelah hidup atau bayi berumur 1 bulan (Mc Donald 1990, diacu dalam Sapriana 2006). Dan yang terakhir disebabkan oleh penyakit, penyakit-penyakit
pHtL
yang banyak menyebabkan kematian antara lain penyakit jantung koroner, stroke, infeksi saluran pernapasan bawah (influenza), penyakit paru obstruktif kronik, diare, HIV/AIDS, TBC, kanker, gagal ginjal (www.who.com). Ada juga beberapa faktor yang dapat menurunkan tingkat kematian, diantaranya adalah perbaikan yang dilakukan untuk mengurangi jumlah kecelakaan, yaitu dengan memberikan pengetahuan untuk pengguna jalan, memperbaiki infrastruktur. Selain itu, menurut berita yang dilansir, Reuters ada 5 faktor yang menyebabkan kematian dini, antara lain adalah seks yang tidak aman, alkohol, kekurangan gizi, sanitasi buruk dan tekanan darah tinggi. Jika kelima faktor di atas dapat dicegah, maka angka harapan hidup dapat meningkat untuk 5 tahun ke depan (www.Liputan6.com). Nilai k ini yang nantinya akan dapat diubah – ubah untuk menemukan proyeksi yang terbaik bagi aplikasi ini. Dalam kehidupan nyata, nilai dari faktor perbaikan kematian dapat dipengaruhi dari beberapa aspek, diantaranya adalah dengan meningkatkan taraf hidup, memperbaiki aspek kesehatan, menurunkan tingkat kriminalitas, dll.
2.0 µx 108
x 108 1.5 µ 1.0 µx 108 5.0 µx 107
0 0
2000
2
4
6 2005
Gambar 3. metode kuasi-stabil (k=0.000133809) vs data Indonesia Kuasi-Stabil (k=0.000133809) Data Indonesia Dengan menggunakan nilai regresi dari persamaan µ(2005) = µ(2000)-k·5 dan data pada tahun 2000, maka akan diperoleh nilai k=0.000133809 atau dapat dilihat pada Lampiran (12). Nilai tersebut akan digunakan
pada persamaan (3.16) yang akan menghasilkan proyeksi penduduk bagi Indonesia. Dengan nilai k di atas, persamaan tersebut akan mendapatkan hasil proyeksi yang jauh berbeda dengan nilai sebenarnya.
8
t
8
Dengan mengubah nilai k, maka akan diperoleh hasil yang cukup baik, dengan cara trial and error seperti yang ditampilkan pada Lampiran (10), sehingga diperoleh nilai k yang baru yaitu 0.00083228184. Selanjutnya nilai k tersebut kembali dimasukkan ke dalam persamaan ∞
Proyeksi yang dihasilkan dengan menggunakan k yang baru memiliki hasil yang cukup baik karena memiliki nilai galat yang semakin kecil, yaitu 0.017% pada tahun 2005 dan 1.291% pada tahun 1995, yang ditampilkan pada Gambar (4 ) dan Tabel (2).
x
P(2000) = B(2000)∫ e−r x exp(−∫ µu (a)du)ek (5−x−0) x dx. b
0
0
120,000,000
Total Penduduk
100,000,000 80,000,000 60,000,000 data
40,000,000
proyeksi
20,000,000 0 1995
2000
2005
Tahun Gambar 4. metode kuasi-stabil (k=0.00083228184) vs data Indonesia
Tabel 2. Nilai galat pada setiap model Model Stabil Kuasi-stabil
model 1 model 2 k=0.000133809 Tahun 2005 k=0.00083228184 Tahun 1995 k=0.00083228184
Selain menampilkan proyeksi agregat dalam bentuk per tahun, akan diperlihatkan juga hasil proyeksi tahun 2000 menurut umur, seperti dapat dilihat pada gambar (5). Hasil ini juga kurang baik, dikarenakan pada model
Galat 1.326% 64.507% 49.439% 0.017% 1.291%
karya ilmiah ini tidak ikut disertakannya faktor migrasi atau mobilitas sosialnya. Kemungkinan lain model kuasi – stabil perlu dikembangkan dengan membuat fertilitas yang semakin menurun.
9 P(t)
Nilai simulasi
Nilai sebenarnya
t Gambar 5. Model kuasi-stabil (k= 0.00083228184) per satuan umur
