A Borel–Cantelli lemma ´ es annak ´ altal´ anos´ıt´ asa. A val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as egyik fontos eredm´enye a Borel–Cantelli lemma. El˝osz¨ or inform´alisan ismertetem, hogy milyen probl´ema vizsg´alat´aban jelent meg ez az eredm´eny. A k´erd´es a k¨ ovetkez˝ o: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos esem´enyek k¨ oz¨ ul v´egtelen sok bek¨ovetkezik: a.) egy val´ osz´ın˝ us´eggel, b.) pozit´ıv val´ osz´ın˝ us´eggel? P´eld´aul mikor mondhatjuk, hogy egy (vagy pozit´ıv) val´ osz´ın˝ us´eggel v´egtelen sok olyan nap van, amikor valami j´ o t¨ort´enik? Ha ez teljes¨ ul, akkor minden nap b´ızhatunk abban, hogy lesz a j¨ ov˝oben olyan nap, amelyben valami j´ o t¨ort´enik, ´erdemes m´eg ´elni. A Borel–Cantelli lemm´at megfogalmaz´as´anak ´es bizony´ıt´ as´anak ´erdek´eben ´erdemes a halmazelm´elet nyelv´en megfogalmazni azt a t´enyt, hogy b´ızonyos esem´enyek k¨ oz¨ ul v´egtelen sok k¨ ovetkezik be. Ez azt jelenti, hogy ha adva van v´egtelen sok A1 , A2 , . . . esem´eny (halmaz) egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, akkor azt az esem´enyt, hogy ezek k¨ oz¨ ul v´egtelen sok k¨ ovetkezik be defini´alni k´ıv´anjuk az A1 , A2 , . . . esem´enyek halmazelm´eleti f¨ uggv´enyek´ent, azaz (megsz´aml´alhat´ o) uni´o, metszet ´es komplementerk´epz´es seg´ıts´eg´evel. Ennek a feladatnak a megold´ as´at t´argyaltuk az el˝ oad´ason. (L´asd a 2. t´ema jegyzet´enek 7. feladat´at.) E feladat megold´ as´anak az eredm´enye alapj´ an a keresett esem´eny ∞ ∞ S T Ak alakban adhat´o meg, ´es ennek val´ osz´ın˝ us´eg´et akarjuk megbecs¨ ulni. Err˝ ol a
n=1 k=n
val´ osz´ın˝ us´egr˝ ol ad inform´ aci´ot a Borel–Cantelli lemma.
Borel–Cantelli lemma. Legyen adva v´egtelen sok A1 , A2 , · · · esem´eny egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. A k¨ ovetkez˝ o k´et a ´ll´ıt´ as igaz: ∞ P a.) Ha P (An ) < ∞, akkor n=1
P
∞ [ ∞ \
Ak
n=1 k=n
!
= 0,
azaz ebben az esetben egy val´ osz´ın˝ us´eggel csak v´eges sok An esem´eny k¨ ovetkezik be. ∞ P P (An ) = ∞, ´es az An , n = 1, 2, . . . , esem´enyek f¨ uggetlenek, akkor b.) Ha n=1
P
∞ [ ∞ \
n=1 k=n
Ak
!
= 1,
azaz ebben az esetben egy val´ osz´ın˝ us´eggel v´egtelen sok An esem´eny k¨ ovetkezik be. Teszek n´eh´ any megjegyz´est ezzel az eredm´ennyel kapcsolatban. Ha a P (An ) val´ osz´ın˝ us´egek viszonylag kicsik, ami jelen esetben azt jelenti, hogy az o¨sszeg¨ uk konvergens, akkor csak v´eges sok An esem´eny k¨ ovetkezik be 1 val´ osz´ın˝ us´eggel. A m´ asik ir´any´ u all´ıt´ ´ asban nemcsak azt k¨ ovetelt¨ uk meg, hogy az esem´enyek val´ osz´ın˝ us´egei legyenek viszonylag nagyok, ¨ osszeg¨ uk legyen divergens, hanem azt is, hogy az egyes An esem´enyek legyenek f¨ uggetlenek. Ebben az esetben viszont er˝ osebb ´ all´ıt´ ast fogalmaztam meg. Nemcsak azt a´ll´ıtottam, hogy ebben az esetben annak a val´ osz´ın˝ us´ege hogy v´egtelen sok An 1
esem´eny k¨ ovetkezik be pozit´ıv, hanem azt is, hogy ez a val´ osz´ın˝ us´eg 1. Ha teh´at az An esem´enyek f¨ uggetlenek, akkor csak k´et eset fordulhat el˝ o. Vagy nulla val´ osz´ın˝ us´eggel k¨ ovetkezik be v´egtelen sok An esem´eny (ha a val´ osz´ın˝ us´egek ¨ osszege konvergens) vagy pedig egy val´ osz´ın˝ us´eggel (ha a val´ osz´ın˝ us´egek ¨ osszege divergens). K¨ ozb¨ uls˝ o lehet˝ os´eg nincs. A b) esetben megfogalmazott eredm´enyben az An esem´enyek f¨ uggetlens´ege nagyon fontos felt´etel. Ezt a felt´etelt lehet gyeng´ıteni, (a 2. kieg´esz´ıt´esben ismertetni fogok egy ilyen eredm´enyt,) de teljesen elhagyni nem lehet. Ezt mutatja az al´ abbi k´et p´elda: Legyen az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o a [0, 1] intervallum, rajta a Borel m´erhet˝ o halmazok σ-algebr´aja, ´es a P val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek a Lebesque m´ert´ek. ∞ P P (An ) = ∞, 1. p´elda. Legyen An = 0, 12 minden n = 1, 2, . . . , sz´amra. Ekkor n=1 ∞ ∞ ∞ S ∞ S T T Ak = 12 . Ak = 0, 12 , ez´ert P n=1 k=n
n=1 k=n
∞ ∞ P P 1 2. p´elda. Legyen An = 0, n1 , n = 1, 2, . . . . Ekkor P (An ) = n = ∞, n=1 j=1 ∞ ∞ ∞ ∞ S T T S Ak = ∅, ez´ert P Ak = 0.
n=1 k=n
n=1 k=n
Az els˝ o p´eld´aban egy olyan esetet l´attunk, amelyben annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy 1 asodik p´eld´aban v´egtelen sok An k¨ ovetkezik be, 2 , teh´at sem nem nulla sem nem 1. A m´ ∞ P P (An ) = ∞ egy val´ osz´ın˝ us´eggel csak v´eges sok An esem´eny k¨ ovetkezett be, noha a n=1
rel´ aci´o teljes¨ ult. Term´eszetesen egyik p´eld´aban sem voltak a tekintett An esem´enyek f¨ uggetlenek. Ezek a p´eld´ak mutatj´ak, hogy a Borel–Cantelli t´etel b) r´esz´eben szerepl˝o f¨ uggetlens´eg felt´etel l´enyeges. Az gyeng´ıthet˝ o ugyan, de teljesen el nem hagyhat´ o. R´ at´erek a Borel–Cantelli lemma bizony´ıt´ as´ara. A bizony´ıt´ ashoz sz¨ uks´eg¨ unk van a k¨ ovetkez˝ o lemm´ara, amelynek ´ all´ıt´ as´at tartalmazza a 2. t´ema jegyzet´enek 15. oldal´ an megfogalmazott T´etel A. Lemma val´ osz´ın˝ us´ egi m´ ert´ ekek folytonoss´ ag´ ar´ ol. Legyen adva B1 ⊂ B2 ⊂ · · · , Bn ∈ A, n = 1, 2, . . . , esem´enyeknek n¨ ovekv˝ o sorozata egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi ∞ S Bn . Ekkor l´etezik a lim P (Bn ) hat´ ar´ert´ek, ´es lim P (Bn ) = mez˝ on. Legyen B = n→∞
n=1
n→∞
P (B). Legyen adva C1 ⊃ C2 ⊃ · · · , Cn ∈ A. n = 1, 2, . . . , esem´enyeknek cs¨ okken˝ o ∞ T Cn . Ekkor l´etezik a sorozata egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. Legyen C = n=1
lim P (Cn ) hat´ ar´ert´ek, ´es lim P (Cn ) = P (C).
n→∞
n→∞
A Borel–Cantelli lemma bizony´ıt´ asa. Az a.) r´esz bizony´ıt´ asa: P
∞ [ ∞ \
n=1 k=n
Ak
!
≤P
∞ [
k=n
Ak
!
≤
∞ X
k=n
2
P (Ak )
minden n sz´amra.
∞ P
P (Ak ) < ∞, minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan n = n(ε) sz´am, hogy ∞ ∞ ∞ P T S ovetkezik P (Ak ) < ε, ahonnan az el˝ oz˝ o rel´ aci´o szerint P Ak ≤ ε. Innen k¨
Mivel
k=1
n=1 k=n
k=n
az a.) r´esz ´ all´ıt´ asa.
A b.) r´esz bizony´ıt´ asa: Az el˝ obbi lemma szerint a val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek folytonoss´ag´ ar´ ol kapjuk, hogy az An halmazok f¨ uggetlens´ege miatt P
∞ [ ∞ \
n=1 k=n
Ak
!
= lim P N →∞
= lim
N →∞
= lim
N →∞
Ez´ert el´eg bel´ atni, hogy ha
∞ P
∞ [
Ak
k=N
" "
lim
M →∞
lim
M →∞
!
= lim
N →∞
1−P
M \
"
lim P
M →∞
(Ω \ Ak )
k=N
1−
M Y
!#
k=N M Q
M →∞ k=N
n=1
k=N
Ak
!#
!!#
(1 − P (Ak ))
P (An ) = ∞, akkor lim
M [
.
(1 − P (Ak )) = 0 minden
M Q r¨ogz´ıtett N sz´amra. Viszont az 1 − x ≤ e−x egyenl˝otlens´eg alapj´ an (1 − P (Ak )) ≤ k=N M M ∞ P Q P exp − P (An ) = ∞. P (Ak ) , ahonnan lim (1 − P (Ak )) = 0, ha M →∞ k=N
k=N
n=1
−x
A felhaszn´alt 1 − x ≤ e egyenl˝otlens´eg p´eld´aul a k¨ ovetkez˝ o m´ odon l´athat´ o: Az f (x) = ex f¨ uggv´eny konvex, f (0) = 1, f ′ (0) = 1. Az f (x) = ex f¨ uggv´eny konvexit´ asa miatt e f¨ uggv´eny (0, f (0)) = (0, 1) ponton ´ atmen˝o ´erint˝oje minden val´ os x sz´amra az x f (x) f¨ uggv´eny alatt van, azaz e ≥ x + 1. Az x sz´am helyett −x-et ´ırva megkapjuk a k´ıv´ant ´ all´ıt´ ast. Megjegyz´es. Az anal´ızisben bizony´ıtj´ak ´es haszn´ alj´ak a k¨ ovetkez˝ o eredm´enyt: Adva xn val´ os sz´amoknak olyan sorozata, amelyre 0 ≤ xn < 1 minden n = 1, 2, . . . , sz´amra ∞ ∞ ∞ ∞ Q P Q P (1 − xk ) > 0, ha xk < ∞, ´es (1 − xk ) = 0, ha xk = ∞. B´ar nek¨ unk erre
k=1
k=1
k=1
k=1
az eredm´enyre nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk, az 1. kieg´esz´ıt´esben megadom ennek a formul´ anak el˝ obb heurisztikus indokl´ as´at majd prec´ız bizony´ıt´ as´at, mivel az tanuls´ agos.
3
1. kieg´ esz´ıt´ es. Egy anal´ızisbeli t´ etel bizony´ıt´ asa. Igazolom a k¨ ovetkez˝ o eredm´enyt: ´ ıt´ All´ as. Legyen xn val´ os sz´ amoknak olyan sorozata, amelyre 0 ≤ xn < 1 minden ∞ ∞ ∞ Q P Q n = 1, 2, . . . , sz´ amra. Ekkor (1 − xk ) > 0, ha xk < ∞, ´es (1 − xk ) = 0, ha k=1
∞ P
k=1
k=1
xk = ∞.
k=1
Indokl´ as. Heurisztikusan a k¨ ovetkezz˝o m´ odon ´ervelhet¨ unk: Logaritmust v´eve kapjuk, ∞ ∞ Q P hogy (1 − xk ) > 0 akkor ´es csak akkor, ha − log(1 − xk ) < ∞. Viszont azt, k=1
k=1
hogy az ut´ obbi ¨ osszeg konvergens-e vagy divergens az d¨onti el, hogy kis xk sz´amokra a 2 3 − log(1 − xk ) ¨ osszeadand´ ok milyen kicsik. Mivel − log(1 − x) = x + x2 + x3 + · · · , a − log(1 − xk ) mennyis´egnek term´eszetes j´ o k¨ ozel´ıt´ese az xk kifejez´es, (a Taylor sor els˝ o ∞ ∞ P P tagja), ´es ez azt sugallja, hogy a − log(1 − xk ) illetve xk v´egtelen sorok egyszerre k=1
k=1
konvergensek vagy divergensek. N´emi munk´ aval a fenti ´ervel´es prec´ızz´e tehet˝ o. El˝osz¨ or azt kell meggondolni, ∞ ∞ Q P hogy a feladat ´ all´ıt´ as´aban a (1 − xk ) > 0 tulajdons´ag a − log(1 − xk ) < ∞ k=1
egyenl˝otlens´eggel, a
∞ Q
k=1
(1 − xk ) = 0 tulajdons´ag pedig a
k=1
∞ P
− log(1 − xk ) = ∞
k=1
rel´ aci´oval ekvivalens. Ehhez azt kell felhaszn´alni, hogy eset¨ unkben 0 < 1 − xk < 1, ´es − log(1 − xk ) > 0, tov´ abb´a ∞ Y
k=1
(1 − xk ) = lim
N →∞
N Y
(1 − xk ) = lim exp N →∞
k=1
= exp
(
N X
k=1
(
∞ X
∞ P
log(1 − xk ) ´es
k=1
)
log(1 − xk ) .
k=1
Ezut´an vegy¨ uk ´eszre, hogy a −
log(1 − xk )
)
∞ P
xk sorok mindegyike diver-
k=1
1 sz´amot az xk sz´amsorozatnak gens, ha r¨ogz´ıtve egy kis pozit´ıv sz´amot p´eld´aul az 10 1 sz´am. Tov´ abb´a, ´egy v´egtelen sok olyan tagja van, amelyek nagyobbak mint ez az 10 v´egtelen o¨sszeg konvergenci´ aj´at vagy divergenci´ aj´at nem befoly´ asolja v´eges sok tagj´ anak 1 az ´ert´eke. Ez´ert az ¨ osszegekben szerepl˝o xk ≥ 10 tagokat elhagyva el´eg csak azzal az 1 minden k-ra. Viszont ekkor 12 xk < − log(1 + xk ) < esettel foglalkozni, amikor xk ≤ 10 n n n P P P 2xk minden k = 1, 2, . . . sz´amra, ahonnan 21 xk < − log(1 − xk ) < 2 xk k=1
minden n-re, ´es innen k¨ ovetkezik, hogy a
∞ P
k=1
konverg´ alnak vagy diverg´ alnak.
4
xk ´es
k=1
∞ P
k=1
k=1
− log(1 − xk ) sorok egyszerre
2. kieg´ esz´ıt´ es. A Borel–Cantelli lemma egy ´ eles´ıt´ ese. L´ attunk p´eld´at arra, hogy a Borel–Cantelli lemma b) r´esz´enek ´erv´enyess´eg´ehez, azaz ahhoz hogy v´egtelen sok Ak esem´eny k¨ ovetkez´ek be 1 val´ osz´ın˝ us´eggel nem elegend˝ o ∞ P csak azt feltenni, hogy P (Ak ) = ∞. Valamilyen m´ odon biztos´ıtani kell azt is, k=1
hogy a tekintett Ak esem´ anyek ‘nem fedik le t´ uls´ agosan egym´ ast’. Ezt biztos´ıtja azAk esem´enyek f¨ uggetlens´ege. Ezt a felt´etelt lehet gyeng´ıteni. Erre mutat p´eld´at az al´ abbi eredm´eny.
A Borel–Cantelli lemma b) r´ esz´ enek ´ elesebb v´ altozata. Legyenek A1 , A2 , . . . olyan esem´enyek egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, amelyekre teljes¨ ulnek a ∞ X
P (Ak ) = ∞,
´es
lim inf n→∞
k=1
n P n P
P (Aj ∩ Ak )
j=1 k=1 n P
P (Aj )
j=1
!2
=1
felt´etelek. Ekkor az A1 , A2 , . . . esem´enyek k¨ oz¨ ul 1 val´ osz´ın˝ us´eggel v´egtelen sok k¨ ovetkezik be. Megjegyz´es. Ha A1 , A2 , . . . esem´enyek f¨ uggetlenek, akkor n n X X
P (Aj ∩ Ak ) =
n n X X
j=1 k=1
j=1 k=1
2 n X P (Aj ) P (Aj )P (Ak ) = j=1
minden n indexre. Ez´ert ebben az esetben a fenti eredm´eny m´ asodik felt´etele teljes¨ ul. Ez´ert a Borel–Cantelli lemma b) r´esze k¨ ovetkezik ebb˝ol az eredm´enyb˝ol. Bizony´ıt´ as. Jel¨olje IA (ω) egy A halmaz indik´ator f¨ uggv´eny´et, ´es v´ alaszunk ki egy olyan nl nl P P P (Aj ∩Ak )
nl r´eszsorozatot, amelyre lim
j=1 k=1
l→∞
n Pl
P (Aj )
j=1
2 = 1. El˝osz¨ or megmutatjuk, hogy
P nl (IAj (ω) − P (Aj )) j=1 > ε = 0 lim P n Pl l→∞ P (Aj ) j=1
minden ε > 0 sz´amra. Val´ oban, P nl
(IA (ω) − P (Aj )) j=1 j = Var nl P P (Aj )
nl P nl P
P (Aj ∩ Ak ) −
j=1 k=1
j=1
j=1 nl P
j=1
5
nl P
P (Aj )
!2
P (Aj )
!2
→ 0,
nl P
(IAj (ω)−P (Aj ))
j=1 ha l → ∞, ´es E nl P
P (Aj )
j=1
= 0. Ez´ert a fenti ´ all´ıt´ as k¨ ovetkezik a Csebisev
egyenl˝otlens´egb˝ol. Innen, alkalmazva ezt az eredm´enyt ε =
1 2
v´ alaszt´ assal, kapjuk, hogy
nl nl X X 1 IAj (ω) < lim P (Bnl ) = lim P P (Aj ) = 0. l→∞ l→∞ 2 j=1 j=1 Ez´ert l´etezik az nl sorozatnak olyan np r´eszsorozata, amelyre
∞ P
P (Bnp ) < ∞, ´ıgy a
p=1
Borel–Cantelli lemma a) r´esze miatt 1 val´ osz´ın˝ us´eggel v´egtelen sok olyan n = n(ω) inn P dex van, (az nl sorozat elemei v´eges sok kiv´etellel ilyen indexek), amelyre IAj (ω) > j=1
1 2
n P
j=1
P (Aj ). Mivel
∞ P
P (Aj ) = ∞. Innen k¨ ovetkezik a Borel–Cantelli lemma b)
j=1
r´esz´enek ´elesebb v´ altozata. 1. feladat. Legyenek A1 , A2 , . . . olyan esem´enyek egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, melyekre P (An ) ≥ α valamely 0 < α ≤ 1 sz´ammal minden n = 1, 2, . . . indexre. Mutassuk meg, hogy annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy v´egtelen sok An esem´eny k¨ ovetkezik be nagyobb vagy egyenl˝o, mint α. Seg´ıts´eg: Fejezz¨ uk ki metszet ´es uni´o oper´ aci´ok seg´ıts´eg´evel azt az esem´enyt, hogy v´egtelen sok An esem´eny k¨ ovetkezik be. 2. feladat. Bizony´ıtsuk be az el˝ oz˝ o bizony´ıt´ as m´ odszereinek finom´ıt´ as´aval ´es az el˝ oz˝ o feladat eredm´eny´enek seg´ıts´eg´evel a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ ast. Ha A1 , A2 , . . . esem´enyek olyanok, hogy n P n P P (Aj ∩ Ak ) ∞ X j=1 k=1 P (Ak ) = ∞, ´es lim inf !2 = 1 + c n→∞ n P k=1 P (Aj ) j=1
valamely 0 ≤ c < 1 sz´ammal, akkor annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy v´egtelen sok An esem´eny k¨ ovetkezik be nagyobb vagy egyenl˝o, mint 1 − c.
6
