Irányítástechnika 2 7. Elıadás Zárt szabályozási körök stabilitása Irodalom - Csáki Frigyes, Bars Ruth: Automatika.1974 - Mórocz István: Irányítástechnika I. Analóg szabályozástechnika. 1996 - Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi: Automatic Control Systems, 2003 - Aradi Petra, Niedermayer Péter: Szabályozáselmélet segédlet, 2003 - Szilágyi Béla, Juhász Ferencné: Szabályozástechnika. Alapfogalmak. 2009 - Juhász Pál: Irányítástechnika II. Segédlet
Stabilitás fizikai képe Stabilitás: a szabályozási folyamat képes a rendszert érı bármilyen zavarás hatásának kiküszöbölésére, illetve kívánt mértékő csökkentésére.
S: stabilis rendszer szabályozott jellemzıje legfeljebb csillapított lengéseket végez. H: stabilitás határesete: állandó amplitúdójú lengések aperiodikus gerjesztés (zavarás) mellett. L: labilis rendszer: a lengések amplitúdója idıben növekvı.
Stabilitás fizikai képe
A lengési hajlam forrása: • a K hurokerısítés mértéke; • az energiatárolós, valamint (fıként) a holtidıs tagok jelenléte.
A stabilitás matematikai megfogalmazása
A stabilitás matematikai megfogalmazása
A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: az eredı átviteli függvény minden pólusa a negatív félsíkon legyen, azaz a karakterisztikus egyenlet minden gyökének valós része szigorúan negatív legyen.
zárt rendszer eredı átviteli függvénye
zavarójel átviteli függvénye
1 + Y1 (s )Y2 (s )Yv (s ) = 0
Karakterisztikus egyenlet
A stabilitás matematikai megfogalmazása periodikus labilitás
aperiodikus labilitás
Az átviteli függvény lehetséges pólus–zérus eloszlása
Routh-féle stabilitási kritérium Karakterisztikus egyenlet: Routh séma:
A sorok hossza egyre csökken (n -ed fokú polinomhoz n + 1 sor). A rendszer stabilis, ha a karakterisztikus polinom minden együtthatója pozitív és a séma elsı oszlopának minden eleme pozitív. Az elıjelváltások száma egyenlı a jobb félsíkra esı pólusok számával. Nulla megjelenése esetén kis értékő tetszıleges számmal helyettesítve folytatható (ilyenkor a rendszer a stabilitás határán áll, apró modellhibák esetén akár instabil is lehet).
Routh-féle stabilitási kritérium alkalmazása
Hatásvázlat:
A felnyitott kör átviteli függvénye: A karakterisztikus egyenlet: Például:
s (s + 2)(s + 5) + K = 0 s 3 + 7 s 2 + 10 s + K = 0
Routh séma:
1 7 (70-K)/7 K
10 K
A stabilitás feltétele: 0 < K < 70 K = 70 a kritikus körerısítés
K = 24 s1 = −6
K = 70 s1 = −7
K = 144 s1 = −8
s 2,3 = −0.5 ± 0.5 15 j
s 2,3 = ± 10 j
s 2,3 = 0.5 ± 0.5 71 j
Stabilis, csillapított lengı jelleg
Határeset, állandó amplitúdójú lengı jelleg
Labilis, növekvı amplitúdójú lengı jelleg
Hurwitz-féle stabilitási kritérium Karakterisztikus egyenlet:
Hurwitz determináns:
A stabilitás szükséges és elégséges feltétele, hogy a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója, valamint a ∆n determináns és ennek minden fıátlóra támaszkodó aldeterminánsa pozitív legyen. Például:
7
s 3 + 7 s 2 + 10 s + K = 0
K
∆3 = 1 10 0
7
0
0 = K (70 − K ) K
∆2 =
7 K = 70 − K 1 10
∆1 = 7 = 7
Mihajlov-Leonhard stabilitási kritérium Karakterisztikus egyenlet: s = jω behelyettesítéssel:
A rendszer akkor stabil, ha a karakterisztikus egyenlet helygörbélye ω: 0 → ∞ -re pontosan annyi negyeden megy át, amennyi az egyenlet foka.
Egyszerősített Nyquist stabilitási kritérium A zárt rendszer átviteli függvénye: W (s ) =
1 + Y0 (s ) = 0 s = σ + jω
Ye (s ) Y (s ) = e 1 + Ye (s )Yv (s ) 1 + Y0 (s )
Y0 - hurokátviteli függvény (a felnyitott kör átviteli függvénye)
Y0 ( jω ) = −1 Az egyszerősített Nyquist kritérium alkalmazásának feltétele: Y0 -nak nincs pozitív valós résző (a képzetes tengelytıl jobbra esı) pólusa. Az egyszerősített Nyquist kritérium: a zárt rendszer akkor stabil, ha Y0(jω) jelleggörbén ω = 0 –tól ω → ∞ felé haladva a (-1,0) pont mindig balkézre esik.
Általános Nyquist stabilitási kritérium Alkalmazása akkor szükséges, ha: Y0 -nak van pozitív valós résző (a képzetes tengelytıl jobbra esı) pólusa. A Cauchy- féle argumentum-elv alapján:
ahol N a zárt görbe által körülölelt zérushelyek, P a pólusok száma. Az általános Nyquist kritérium: a zárt rendszer akkor stabil, ha az Y0(jω) jelleggörbe
ω → −∞ –tıl ω → ∞ felé haladva a (-1,0) pontot pontosan annyiszor kerüli meg, ahány pozitív valós résző pólusa van Y0 -nak.
Általános Nyquist stabilitási kritérium
A felnyitott kör átviteli függvénye: Pólusai: s1 = − 3.72; s2,3 = 0.361 ± 1.6j
K < 1, instabil
K > 1, stabil
