Invloed van de kansverdeling van de onderliggende waarde op rendementsgaranties

Invloed van de kansverdeling van de onderliggende waarde op rendementsgaranties. Marin Tomic 0335665 Blok 4, 2006

17-7-2006 Afstudeerseminar en Bachelorscriptie Actuariaat Dr. R.J.A. Laeven. A. Mattern

Faculteit der Economische wetenschappen en Econometrie Universiteit van Amsterdam / actuariaat

Inhoud 1. Inleiding.

1

2. Producten en garanties.

3

2.1 Het onderschatten van garanties.

3

2.2 Traditionele producten, Unit Linked producten en

4

bijbehorende garanties. 2.2.1 Garanties bij traditionele individuele verzekeringen

5

2.2.2 Unit Linked producten

6

2.3 Verschil Unit Linked en traditionele verzekering.

8

3. Link tussen garanties en onderliggende waarde.

9

3.1 Samenhang tussen garanties en onderliggende waarde.

9

3.2 Het belang van waardering van rendementsgaranties.

10

4. Kansverdelingen van de onderliggende waarde.

11

4.1 Aandelendata.

12

4.2 De verdelingen.

14

4.3 Schattingsmethoden

16

4.4 Simulatie aandelen

17

4.4.1 normale verdeling.

17

4.4.2 gamma verdeling.

20

4.4.3 Weibull verdeling.

21

4.4.4 t-verdeling.

22

4.5 Simulatie obligatiedata

25

4.6 Rente proces Euribor

28

4.7 Portefeuille simulatie

30

5. Conclusie

31

1

Bibliografie.

32

2

Inleiding. Bij traditionele verzekeringen wordt een rentegarantie afgegeven. Dit kan een expliciete garantie zijn of een impliciete garantie. Bij de expliciete garantie wordt aan de polishouder het rendeme nt beloofd, dat een vooraf bepaalde mix van obligaties haalt. Bij de impliciete garantie wordt een vaste rekenrente van x procent gebruikt om de voorziening te waarderen. Aan de klant wordt dan impliciet een rente van x procent beloofd. De uitkering vind plaats in de vorm van winstdeling.

Men spreekt bij Unit Linked producten van een rendementsgarantie in plaats van een rentegarantie. Het gegarandeerde rendement hangt samen met de portefeuille waarin belegd is. Unit Linked producten kennen een grotere beleggingsvrijheid dan traditionele producten, het risico van de beleggingen ligt echter bij Unit Linked bij de polishouder. Hierin schuilt ook het verschil tussen de traditionele en Unit Linked producten. Unit Linked producten bieden dus minder zekerheid. Te genover minder zekerheid staat een hoger verwacht rendement door een meer in aandelen te beleggen. Hoewel het risico voor Unit Linked producten bij de polishouder ligt, ligt het risico van de garanties op Unit Linked producten bij de verzekeraar.

Een essentiële stap voor de bepaling van de kosten van rendementsgaranties is het specificeren van de kansverdeling van het rendement op de onderliggende waarde. De centrale vraag is dus: Welke kansverdeling past het best bij de ontwikkeling van de onderliggende waarde? Als men een kansverdeling kan vinden die de waardeontwikkeling van de onderliggende waarde goed benadert, kan men de kosten van de rendementsgarantie kwantificeren. Vervolgens kan bekeken worden wat het effect van de keuze van een bepaalde kansverdeling is op de prijs van de garantie.

In hoofdstuk twee zal een beschrijving worden gegeven van de verschillende soorten traditionele en Unit Linked verzekeringen met verschillende vormen van rendementsgaranties respectievelijk rentegaranties. De verschillen zullen geëvalueerd worden, en er zal verklaard worden waarom er een grotere hang naar Unit Linked 1

producten is (DNB, 2005). Het derde hoofdstuk wordt besteed aan het leggen van een relatie tussen rendementsgaranties en onderliggende waarde. Verder wordt in dit hoofdstuk verklaard waarom er kosten zijn verbonden aan de rendementsgaranties, en waarom waardering van de garanties belangrijk is. In hoofdstuk vier wordt de kansverdeling voor de onderliggende waarden gezocht, hiertoe worden eerst een aantal kansverdelingen geïntroduceerd en worden simulaties van deze verdelingen met historische data van aandelenkoersen en obligatiekoersen vergeleken. Vervolgen wordt een prijs aan de garantie toegekend op basis van de kansverdelingen. Tenslotte wordt er geconcludeerd welke kansverdeling het best de ontwikkeling van de onderliggende waarde benadert, en wordt op basis van deze verdeling de kosten van een garantie voor een fictief samengestelde portefeuille geschat.

2

2. Producten en garanties. Bij allerlei soorten levensverzekeringen worden rente- of rendementsgaranties afgegeven. In het verleden werden deze garanties verleend zonder na te denken over consequenties van tegenvallende rendementen. In veel teksten wordt aan de garantie gerefereerd als een “out of the money put option”. Het behaalde rendement op de beleggingen lag immers in het verleden (tot begin jaren 90) altijd boven de verleende garantie. De optie werd dus niet uitgeoefend en kostte derhalve niets. Dat de kosten van deze optie werden onderschat blijkt uit het voorbeeld van de Engelse verzekeraar de Equitable (Bouwknegt, 2001 p.1013).

2.1 Het onderschatten van garanties.

In De ondergang van de Equitable beschrijft Bouwknegt hoe het verlenen van een GAR-Guaranteed Annuity Rate- optie de verzekeraar in problemen bracht bij het behalen van lage rendementen (Bouwknegt, 2001 p.10-13). De GAR-optie is een optie waarbij de kapitaalverzekering op de expiratiedatum tegen een bepaald tarief in een direct ingaande lijfrente kan worden omgezet. Men kan er ook voor kiezen om het kapitaal tegen de op het moment van expiratie geldende tarieven te laten uitkeren. Er werd een garantie tegen lage rente tarieven afgegeven. Voor deze garantie werden geen kosten in rekening gebracht, en voor polissen met GAR-optie werd geen ander beleggingsbeleid gehanteerd dan polissen zonder GAR-optie. Bouwknegt stelt dat er twee soorten winstdeling zijn (Bouwknegt, 2001): een jaarlijkse winstdeling, waarmee men voorzichtig is om een grote beleggingsvrijheid te houden, en een slot-winstdeling, die zorgt dat de polishouder een evenredig deel krijgt van de door hem ingelegde middelen. Bij de jaarlijkse winstdeling werd geen rekening gehouden met de GAR-optie. Bij de slotwinstdeling leidde het gebruik van de GAR tot een lagere winstdeling, omdat men de opbrengst van de GAR kortte op de slotwinstdeling. De polishouders spanden door het korten van hun uitkering een rechtzaak aan. 3

Aanvankelijk kreeg de verzekeraar gelijk, in de statuten stond namelijk dat de directie de behaalde winstdeling naar eigen inzicht mocht invullen. Na meer malen in beroep te zijn gegaan oordeelde de hoogste rechtsinstantie, The House of Lords, in het voordeel van de polishouders. Voor de GAR was echter een beperkte voorziening getroffen. De Equitable kwam in financiële problemen en ging op zoek naar een partij die de Equitable wilde kopen. Daar was echter geen enkele partij toe bereid, omdat men verwachtte de kosten van de GAR polissen niet te kunnen beheersen (Bouwknegt, 2001 p.10-13). Het volgende citaat geeft aan wat de omvang van de kosten was.

De schattingen van de kosten kwamen op een bedrag van maximaal GBP 7,5 miljard. (Bouwknegt, 2001, p.12)

2.2 Traditionele producten, Unit Linked producten en bijbehorende garanties. Aan rentegaranties wordt vaak gerefereerd als “embedded options” van een verzekeringscontract. Dezelfde term wordt ook gebruikt voor winstdelingen en voor de optie tegen een vooraf bepaalde waarde af te kopen. Het waarderen van deze impliciete opties is nooit aan de orde geweest omdat ze “out of the money” waren. Dat de kosten onbeheersbaar proporties kunnen aannemen blijkt uit bovenstaand voorbeeld.

In het AFIR- rapport rendementsgaranties (AFIR, Januari 2004), wordt een overzicht gegeven van de verschillende soorten producten met rendementsgaranties. Elk land heeft zijn eigen regelingen, en er zijn talloze combinaties mogelijk, maar dit is de meest voorkomende indeling: wIndividueel niet-winstdelend; 4

wIndividueel winstdelend; wCollectief niet-winstdelend; wCollectief winstdelend; wSpaarhypotheken; wBeleggingsverzekeringen; De spaarhypotheek is een typisch Nederlands product, waarbij de garantie bestaat uit het hanteren van een vaste rekenrente. Omdat het een product is dat we alleen in Nederland en België kennen, en het in termen van de garantie weinig toevoegt aan de overige categorieën zal dit product verder niet behandeld worden. In dit werkstuk zal de nadruk liggen op het onderscheid tussen winstdelend en niet-winstdelend. Tevens is het onderscheid tussen beleggingsverzekeringen en traditionele verzekeringen van belang.

2.2.1 Garanties bij traditionele individuele verzekeringen Bij traditionele verzekeringen wordt er door winstdeling een impliciete rentegarantie gegeven, zoals door Bouwknegt en Pelsser beschreven in Marktwaarde van winstdeling (Bouwknegt, Pelsser, 2001, p.12-15).

Omdat het (ook voor de polishouder) duidelijk is dat in de markt vaak een hoger rendement te behalen is dan de rekenrente van 4%, kennen veel verzekeringscontracten een vorm van winstdeling. (Bouwk negt, Pelsser, 2001, p.13) De klant draagt echter geen risico voor de mogelijkheid dat de marktrente onder de 4% komt, in dat geval heeft de verzekeraar geen buffer om het tekort aan te zuiveren, omdat het overtollige rendement naar de polishouder is gegaan. Wanneer de rendementen tegenvallen zal de verzekeraar uit eigen middelen het verzekerd bedrag aan moeten vullen als ware er wel 4% rendement behaald. Omdat de verzekeraar wel een winstdeling geeft bij rendement boven de 4% maar bij tegenvallende rendementen zelf het tekort aanvult geeft hij impliciet een garantie van 4% volgens Bouwknegt en Pelsser. De premie is immers op voorhand zodanig bepaald, dat de voorziening die ontstaat uit de ontvangen premies, bij een rendement van 4% voldoende is om het eindkapitaal te genereren. 5

2.2.2

Unit Linked producten

Unit Linked polissen bestaan sinds de jaren 60. Tot de jaren 60 waren er alleen nog de traditionele verzekeringen. Bij de traditionele verzekering betaalde de klant een premie, en had verder geen zicht op hoe de premie werd geïnvesteerd. Bovendien wist de klant ook niet hoeveel er werd geïnvesteerd en welk deel er voor kosten beschikbaar was. Een van de doelen van Unit Linked was dan ook het transparanter maken waarin geïnvesteerd wordt aan de polishouder. Ook werd bij Unit Linked inzichtelijk gemaakt wel deel van de premie precies geïnvesteerd werd en hoeveel er voor kosten en voor sterfterisico beschikbaar was. Bij een Unit Linked beleggingsverzekering wordt een groter deel van de premies belegd in aandelen dan bij traditionele producten. Door meer in aandelen te beleggen is het verwachte rendement hoger dan bij producten waarbij alleen in obligaties wordt belegd. Het nadeel is echter dat risico’s van tegenvallende rendementen ook veel hoger zijn. De risico’s zijn bij Unit Linked geheel voor de polishouder. Om toch enige vorm van zekerheid te bieden, worden bij deze producten vaak rendementsgaranties gegeven. In de aandelen context kunnen deze garanties worden behandeld als een aandelenoptie. Er wordt immers een ondergrens aan het rendement gesteld. En zoals ook het geval is bij opties die op de aandelenbeurzen verhandeld worden, zijn er aan deze optie ook kosten verbonden. Wat volgt is een korte omschrijving van het Unit Linked product en de daarbij behorende garanties. De naam Unit Linked geeft het belangrijkste kenmerk van dit product al weg. De opgebouwde voorziening voor een deelnemer wordt bijgehouden in units in plaats van in geld. Deze unit is een evenredig deel van de fondswaarde van een fonds waarin de polishouder wenst te beleggen. Voor elke premie worden units gekocht, op de aandelenmarkt, in de fondsen naar keuze. Stel nu dat de waarde 10% daalt dan zal de unit in het fonds ook 10% dalen. Wanneer er een garantie gegeven is door de verzekeraar zal de waarde van de totale voorziening – alle units in de verschillende

6

fondsen waarover de polishouder beschikt – op de einddatum worden vergeleken met een vooraf bepaald bedrag. Er zijn verschillende garanties mogelijk betreffende een gegarandeerd bedrag (Hardy, 2001). Hier volgen de belangrijkste. De eerste mogelijkheid is dat er een gegarandeerd eindbedrag is. Dit is een geldbedrag dat onafhankelijk is van de waardeontwikkeling van de onderliggende aandelen. Een voorbeeld is de polissen met gegarandeerd uw inleg terug, al dan niet jaarlijks verhoogd met interest. De tweede mogelijkheid is om niet de eindsom van het contract te garanderen, maar een gegarandeerd bedrag bij overlijden te verlenen. De derde mogelijkheid is dat er een bedrag toegezegd wordt bij voortijdige beëindiging van het contract na een bepaalde datum. De laatste mogelijkheid is de GAR-optie, zie 2.1. Onderstaande grafiek laat de toenemende populariteit zien van Unit Linked verzekeringen

Grafiek ontleend aan DNB, Het actuele getal: 45% nieuwsbericht 22/3/2005

De stijging in populariteit van Unit Linked verzekeringen wordt ook erkend door Múnich Re (Munich Re Group , 2000). In het rapport Unit Linked insurance A general report worden de volgende oorzaken genoemd voor de stijging in populariteit van Unit Linked verzkeringen. •

Globalisering en deregulering van aandelenmarkten. Veel Europese markten zijn vrijgegeven.

•

de positieve ontwikkeling van aandelenprijzen en het groeien van de populariteit van aandelen. De aandelen markt was al een aantal jaar erg stabiel in Europa. 7

•

tegenvallende renteontwikkeling en winstdelingen op traditionele producten.

•

de verwachting en introductie van de euro.

2.3 Verschil Unit Linked en traditionele verzekering. Unit Linked beleggingsproducten en traditionele verzekeringen hebben overeenstemmingen, vooral wat betreft premies. De hoogte van premies en de premieduur zijn van te voren vast gesteld. Er zijn echter duidelijke verschillen. Bij Unit Linked wordt meer in aandelen belegd, dit maakt de Unit Linked verzekeringen risicovoller. De waarde van de polis op einddatum staat bij Unit Linked niet vast, zoals bij traditionele verzekeringen, omdat de waarde uitgedrukt wordt in units. Bij traditionele verzekeringen is het beleggingsrisico voor de maatschappij. De verzekeringsmaatschappij draagt de tekorten die ontstaan door tegenvallende renteontwikkeling. Hier staat tegenover dat in het geval van overrente de winst in de vorm van winstdeling wordt uitgekeerd. Bij Unit Linked ligt het risico bij de polishouder, omdat de uitkering niet vast staat. Voor de Unit Linked producten zijn de rendementsgaranties ontstaan om de polishouder toch enige zekerheid te bieden over zijn uitkeringen. Traditionele producten kennen winstdelingen om polishouders mee te laten delen in een positieve renteontwikkeling. Unit Linked is ook een transparanter product, de premiebestanddelen voor kostendekking zijn apart identificeerbaar en de polishouder heeft meer zicht op het beleggingsbeleid. Bij veel Unit Linked producten heeft de polishouder ook zeggenschap over het beleggingsbeleid. Bij Unit Linked producten is het voor de klant inzichtelijker hoe de premie die betaald wordt is opgebouwd. Het voornaamste verschil tussen Unit Linked producten en traditionele producten schuilt in door wie het beleggingsrisico wordt gedragen.

8

3. Link tussen garanties en onderliggende waarde. In het vorige hoofdstuk zijn de verschillende soorten garanties beschreven op traditionele en Unit Linked producten. In het volgend hoofdstuk wordt gezocht naar de kansverdeling van de onderliggende waarde. Voordat hiermee begonnen kan worden zal in dit hoofdstuk eerst beschreven worden wat nou de link is tussen de garantie en de onderliggende waarde. Bij de rentegaranties op traditionele producten zijn obligaties de onderliggende waarde. Bij de rendementsgarantie op Unit Linked producten ligt de nadruk meer op aandelen als onderliggende waarde.

3.1 Samenhang tussen garanties en onderliggende waarde. Het feit dat Unit Linked producten wordt de garantie omschreven als een aandelenoptie volgt uit de onderstaande notatie (Schrager, Pelsser 2004). Laat St de prijs van een unit zijn op tijdstip t. Stel Pi is de premie op tijdstip i die gebruikt wordt om units te kopen, t0 = 0 en voor t geldt: ti, i = 0, . . . , n - 1. Op het moment ti is het aantal units dat kan worden gekocht P . Een aandeel heeft op de expiratiedatum tn =T een waarde van ST . De St i

i

totale waarde fondswaarde is:

FV =

 

n −1

 

∑ P ⋅  S  . Stel dat het gegarandeerde bedrag op  St  i =0

T

i

i

einddatum K is. Dan krijgt de verzekerde op de einddatum: +

     n− 1   Max (FV , K ) = ∑ Pi ⋅  S T  +  K − ∑ Pi ⋅  S T   S    S  i =0 i =0  ti    ti   n −1

De waarde van de garantie is dus een putoptie op FV (Schrager, Pelsser 2004). FV bevat de term  S T  die steeds gewogen wordt met Pi in de som. Een Aziatische optie wordt    S ti 

vaak ook beschreven met zo’n gemiddeld prijs niveau. Bij koopsom betaling kan de prijs van een garantie worden omschreven als een Europese Put, omdat er maar een betaling

9

plaats vind en er één garantie op de einddatum is. Bij deze garantie wordt dan ook vaak de Black-Scholes formule (Hull, 2006) gebruikt: p = Ke

− rT

N (− d2 ) − S 0 N ( −d1)

ln( S0 / K ) + (r + σ 2 / 2)T σ T d 2 = d1 − σ T r is in deze formule de continu samengestelde risicovrije rente, en σ de volatiliteit van de waabij d1 =

aandelenprijs. Bij Unit Linked tegen premiebetaling wordt er echter voor elke premie een garantie afgegeven en is de Black-Scholes formule niet bruikbaar. Dit is te wijten aan het feit dat bij de Black-Scholes formule koersen logno rmaal verdeeld worden verondersteld. De som van lognormale stochasten is echter niet lognormaal verdeeld en de formule kan daardoor niet toegepast worden.

3.2 Het belang van waardering van rendementsgaranties. Wat zijn de kosten die aan rendementsgarantie verbonden zijn? Nadat de kosten zijn omschreven rijst de vraag of deze kosten verwaarloosbaar zijn. Indien de kosten noemenswaardig zijn, zijn de kosten tegenwoordig hoger? Sterfterisico’s werken diversificerend, dat houdt in dat het risico dat de verzekeraar loopt kleiner wordt naarmate zijn portefeuille groter wordt. Bij beleggingsrisico’s werkt dit niet al het risico komt voort uit het risico van dezelfde financiële markt. In tegenstelling tot sterfte treft beleggingsrisico alle polissen tegelijk en diversificatie is dus niet mogelijk. Sterfterisico is ook een zekerheid, in het opzicht dat het vaststaat dat iemand overlijdt, voor financiële risico’s geldt dit niet. De kosten van rendementsgaranties kunnen dus niet weg gediversificieerd worden. Om deze financiële risico’s toch te kunnen beperken wordt vaak ‘hedging’ toegepast. Men kan echter pas tegen risico’s hedgen als men weet hoeveel risico men loopt. Dus voordat men kan hedgen tegen renterisico zal men eerst moeten bepalen hoeveel risico men loopt.

10

De kosten van rendementsgaranties kan men niet zomaar verwaarlozen, wanneer de kostenanalyse wordt gemaakt. In tijden van hoge rendementen en hoge rentes, zoals eind vorige eeuw, hebben de garanties geen waarde. Immers wanneer de rente op 5% staat en er 3% gegarandeerd wordt zijn er geen kosten. In het huidige beursklimaat zijn de rendementen echter vaker lager dan de afgegeven garanties en kosten de garanties meer. Deze twee ontwikkelingen benadrukken de relevantie van het analyseren van rendementsgaranties.

4. Kansverdelingen van de onderliggende waarde. In de voorgaande hoofdstukken zijn de traditionele verzekeringen en Unit Linked verzekeringen behandeld. De verschillen zijn belicht en een aantal garantievormen zijn vermeld. Voordat men over kan gaan tot het bepalen van de prijs van een garantie, zal men veronderstellingen moeten maken over de kansverdeling van de onderliggende waarde. Zoals men kan zien in de onderstaande prijsformule voor de garantie: n −1 T ~ S Gt = e − r (T − t) E Q[ I [ M x > T ]] * E Q [( K − ∑ Pi ( n) T ) + ] (Schrager, Pelsser 2004) St i i= o

herbergt de formule een verwachtingswaarde. E Q[ I [ M x > T ]] is de kans dat een x+t jarige

~ in leven blijft tot en met T. E Q geeft de risiconeutrale kansmaat aan. Verder is Pi ( n) de premie minus een aantal kosten. Voor een verdere behandeling van deze formule nodig ik u uit om het artikel van Schrager te lezen, daar de formule in de scriptie verder niet gebruikt wordt en slechts geld ter illustratie. Voor het berekenen van deze verwachtingswaarde zijn veronderstellingen over de kansverdeling essentieel. Daarom wordt er in dit hoofdstuk gezocht naar de kansverdeling van aandelenindices en obligatie- indices, zij vormen namelijk de onderliggende waarde vormen bij de traditionele respectievelijk Unit Linked verzekeringsproducten.

11

4.1 aandelendata.

De investeringsfondsen bij Unit Linked producten volgen vaak de ontwikkeling van een index, omdat de index vaak wordt beschouwd als een benchmark, waarvan niet teveel afgeweken mag worden. Daarom bekijken we voor de ontwikkeling van aandelenrendementen een aantal aandelen- indexen. De indexen die worden bekeken zijn: De FTSE, de DAX, de S&P500 en de AEX. De valuta is voor alle indices gelijk, namelijk de euro. Dit zijn globale indexen die de marktontwikkeling goed weergeven. Bij het bepalen van de verdeling wordt er niet een verdeling voor de prijsindex gezocht, maar er wordt gezocht naar een verdeling van de aandelen rendementen. Voor het bepalen van return op de aandelen- index kan de volgende formule worden gehanteerd indien er wordt uitgegaan van continue rendementen:

R

t

 DY    = ln  PI t ⋅ 1 +    PI t −1  100 ⋅ n  

RIt in deze formule is de return op de index vandaag. RIt-1 de return van gisteren. PIt , PIt-1 zijn respectievelijk de indexprijs van vandaag en gisteren. DY is de dividend yield n is het aantal dagen in een financieel jaar, men verondersteld meestal n=260 dagen. Deze formule wordt gehanteerd door data stream en geeft de groei van de waarde van het aandeel weer, als men uitgaat van herinvestering van dividend. De hiervoor beschreven return is echter een beschrijving van de return op de index, voor de vertaalslag naar aandelenrendement, het rendement op tijdstip t van de investering die op tijdstip t-1 gedaan is, is de volgende formule nodig.

R

t

  = ln RI t     RI t −1 

Wanneer men de definitie van RI invult laat, deze formule zich herleiden tot de standaard formule voor een sommatie van periodieke rendementen op dezelfde onderliggende waarde. Namelijk:

R

t

 +  = ln  PI t D t     PI t −1 

12

R

    + Dt DY    = ln  RI t  = ln  PI t ⋅ 1 + = ln  PI t        RI t −1   PI t −1  100 ⋅ n    PI t −1

t

   

In de volgende beschrijving van de aandelendata zal worden gekeken naar maandrendementen. De data zijn afkomstig uit de periode: juni 2002 tot en met mei 2006. Er wordt steeds uitgegaan van het rendement op de eerste dag van de maand. Wanneer er op de eerste dag van de maand niet gehandeld werd wordt het rendement gelijk aan nul verondersteld, in dat geval kijken we naar de tweede dag van de maand. In onderstaande grafieken zijn de rendementen weergeven op de eerder genoemde koersen.

-0,1

-0,2

-0,15

-0,3 maand

37

41

45

41

45

25 25

21

17

-0,1

13

1

return

45

41

37

33

29

25

21

0

17

0 13

0,1 9

0,05 5

0,2

1

0,1

9

DAX

5

S&P

return

21

maand

maand

-0,05

37

-0,15

33

-0,3

33

-0,1

29

-0,2

13

9

5

1 -0,05

29

-0,1

return

45

41

37

33

29

25

21

0

17

0 13

0,05 9

0,1 5

0,1

1

return

0,2

17

FTSE

AEX

maand

13

Bij de data valt vooral op dat er grotere negatieve extreme waarden zijn dan positieve waarden. Negatieve waarden volgen elkaar vaak op, dit geldt ook voor positieve waarden. Het vaker optreden van extreme rendementen zou kunnen leiden tot een verdeling met dikkere staarten dan de normale verdeling. Men verwacht ook dat de verdeling een dikkere staart aan de linkerkant heeft, omdat grote negatieve rendementen tot schokken in de markt leiden (Schrager, 2001). Met extreme positieve rendementen heeft men echter minder problemen. Dit beeld wordt bevestigd door de histogrammen in bijlage 1. Aan de negatieve “skewness” ziet men dat de verdeling links scheef is. In de histogrammen valt ook de grote massa ver in de linker staart op. Bij de S&P is de skewness laag in verhouding tot de andere drie koersen. Bij de S&P ziet men ook meer massa in de rechterstaart. De staart van de verdeling is echter ook bij de S&P groter aan de linkerkant. Welke verdeling is nu wenselijk om de data te beschrijven.

4.2 De verdelingen Voor het beschrijven van de aandelendata kan men natuurlijk allerlei verdelingen hanteren. In de Black- Scholes formules voor het prijzen van opties worden lognormale aandelenprijzen, en dus normale rendementen verondersteld. Het veronderstellen van een normale verdelingen heeft als voordelen dat de som van normaalverdeelde stochasten ook normaalverdeeld is, en voor de som van n normaalverdeelde stochasten bestaat een analytische uitdrukking namelijk als

n

n

n

i =1

i =1

i =1

2 X i ~ N (µi ,σ i ) dan geldt ∑ X i ~ N (∑ µi , ∑σ i2 ) .

Het nadeel van de normale verdeling is dat deze verdeling symmetrisch is en dunne staarten heeft. Men kan dus vooral in de staarten problemen krijgen met het modeleren van extreme rendementen, omdat de kans hierop wordt onderschat. Een grafiek van een trekking van een steekproef van 47 rendementen uit een normale verdeling verduidelijkt e.e.a.

14

9 Series: Normaldist random Sample 1 47 Observations 47

8 7 6

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

5 4 3 2 1

Jarque-Bera Probability

0 -2

-1

0

-0.316071 -0.464761 1.735829 -2.300729 1.037437 -0.013679 2.304761 0.948040 0.622495

1

2

1

0

-1

-2

-3 5

10

15

20

25

30

35

40

45

N

In bovenstaand histogram komt ook tot uiting dat enige voorzichtigheid geboden is met betrekking tot conclusies die men kan verbinden aan een steekproef van 47 waarnemingen. De trekking is namelijk afkomstig uit een standaardnormale verdeling. Het gemiddelde in de steekproef wijkt echter af van het gemiddelde van de standaard normale verdeling. Wat men echter wel in de grafiek terugziet zijn de dunne staarten. Een andere mogelijkheid is de t- verdeling. De t-verdeling heeft dikkere staarten dan de normale verdeling. Een overeenkomst met de normale verdeling is de symmetrie. De tverdeling is echter symmetrisch rond 0, en heeft alleen een schaalparameter en geen locatieparameter. In onderstaande grafieken ziet men de pdf van een t(1)- verdeling, een t(10)-verdeling, een t(100)- verdeling en een standaardnormale verdeling. Het is duidelijk te zien dat de t- verdeling dikkere staarten heeft, maar naarmate het aantal vrijheidsgraden hoger wordt lijkt de t-verdeling steeds meer op de standaardnormale verdeling en worden de staarten dunner.

15

De gammaverdeling lijkt op voorhand een beter optie omdat deze verdeling dikkere staarten heeft en over een dikke staart beschikt. Verder heeft de gammaverdeling een schaal en vorm parameter, waardoor men kan variëren met scheefheid en staartdikte. Het probleem bij een gammaverdeling is dat deze alleen gedefinieerd is voor x>0.Rendementen zijn echter niet altijd positief. De gammaverdeling is dan wel niet symmetrisch, voor de scheefheid γ geldt altijd γ>0. Deze twee problemen zijn echter op te lossen door de ‘translated gamma approximation’ methode 1 toe te passen.

4.3 Schattingsmethoden. In de vorige paragraven is een korte beschrijving gegeven van de aandelendata en obligatiedata. Nu zal er worden gezocht naar een kansverdeling die het best bij deze data past. De methode die hiervoor gehanteerd worden zijn Maximum Likelihood Estimation (MLE) en Method of Moments ( MME). Bij MLE worden de parameters zodanig gekozen dat bij een willekeurige trekking uit de verdeling voor elk data punt de kans op

1

Voor een beschrijving van de translated gamma approximation methode zie Kaas, R, e.a. (2001) Modern actuarial risk theory

16

selectie maximaal is. MLE maakt gebruik van de Likelihood functie. Dit is de kansverdelingfunctie van de te schatten parameters gegeven de waarnemingen. Stel we gaan uit van een normale verdeling en we veronderstellen σ bekend. We willen µ schatten en we hebben waarnemingen Rt met t=1,..,n . De likelihood functie is dan L(µ

R ,L R ) waarbij Rt 1

n

bekend. Nu maximaliseren we Log L, indien L een monotoon

stijgende fuctie is, is dit namelijk hetzelfde als L maximaliseren. Het maximaliseren volgt door de eerste orde conditie

d log L =0 op te lossen voor de onbekende parameter µ.. dµ

Voor het bepalen van de MLE schatters wordt het programma R gebruikt, meer informatie hierover volgt in de volgende paragraaf. De method of moments bestaat uit het gelijkstellen van het theoretische r de moment van de verdeling, aan het rde moment van de steekproef. E (X ) r

1 n r = ∑X n i=1

4.4 simulatie aandelen. In deze paragraaf worden voor de normale verdeling, de t-verdeling , de gamma verdeling en de weibull verdeling de parameters gezocht op basis van de aandelendata, per verdeling worden 10000 uitbetalingspatronen gesimuleerd. Van deze 10000 uitbetalingspatronen wordt de verwachting bepaald, welke dient als prijs voor de garantie. De standaardafwijking kan men hanteren als opslag.

4.4.1 normale verdeling. n

Voor de normale verdeling geldt µ = X en

σ = 2

∑ (x − x ) i =1

i

n

µ en σ2 zijn nu uit de data te berekenen. Stel X ~ N ( µ ,σ 2 ) en we noteren de pdf van X als f(X:µ,σ2 ) en de cdf als F(X:µ,σ2 ).

17

We kunnen nu met de random functie een willekeurig getal p tussen 0 en 1 trekken. Als we p als kans beschouwen volgt p= F(X:µ,σ2 ). Dus F −1 ( p , µ ,σ 2 ) = x waarbij x een trekking is uit F(X:µ,σ2 ). F-1 is de inverse verdelingsfunctie. Deze methode is ook toepasbaar voor andere kansverdelingen, mits men ook schattingen heeft voor de onbekende parameters. In R kunnen direct willekeurige trekkingen worden gedaan uit een aantal verdelingen, voor overige verdelingen kan de inverse analytisch bepaald worden. Als de data x is ingevoerd kan met het commando fitdistr(x,“normal”), voor de normale verdelingen voor µ en σ2 de volgende waarden voor de aandelen koersen gevonden worden. µ

AEX FTSE S&P DAX e 0.002419882 0.004709592 -4.225545 -06 0.003244246

σ

0.071232471 0.039960186 4.375169 -02 0.071815238

e

De MME schatters hoeven in dit geval niet berekend te worden, omdat de MLE en MME gelijk zijn voor de normale verdeling. De MME kan overigens wel berekend worden om zo de MLE schattingen van R te controleren. Op basis van deze µ en σ kan men simuleren. Met het commando rnorm(n,µ ,σ) kunnen n waarnemingen uit een normale verdeling met gegeven µ en σ worden getrokken. We hebben waarnemingen over 47 maanden, er kunnen nu ook paden van 47 maanden worden gesimuleerd. Zij rit de simulatie van pad i, i=1,..,10000 en maand t, t=1,..,T met T

T=47. Dan geldt 1+ riT = e

∑ rit

t =1

∀i . Zo kan dus een rendement op einddatum bepaald

worden. Wanneer men nu een vast rendement op jaarbasis veronderstelt van r kan men op basis van dit rendement een eindrendement rT bepalen. (1+ rT )= (1 + r )

47 12

Voor een Unit Linked verzekering tegen koopsom kan men dan de kosten van de garantie op t=T als volgt beschrijven als percentage van de inleg.

18

Stel we garanderen (1+ rT )K, waarbij K de koopsom en rT het gegarandeerde rendement n −1





i =0

S   ti 

op (0,T). Het fonds heeft in geval van premiebetaling een waarde van FV = ∑ P i ⋅  S T   

   S T  (zie 3.1). Bij koopsom betaling wordt dit echter, FV = ∑ K ⋅  . De rendementen  S  i= 0  t0  n−1

   ST  + 0 ,T r = ln zijn i,T   , dus FV = Ke . De uitbetaling van de garantie is normaal ( K − FV )  St i  vullen we voor de garantie (1+ rT )K in en voor FV: FV = Ke 0 ,T , dan is het garantie uitbetalingspatroon in perunage van K uit te drukken als: ((1+ rT )- e 0, T )+. Als men vervolgens rendements en sterfterisico onafhankelijk verondersteld kan men de prijs van de garantie bepalen als P=E(((1+ rT )- e 0, T )+). Hierbij kan s gehanteerd worden als opslag, s is de standaarddeviatie van (((1+ rT )- e 0, T )+) Voor rT =4% volgen voor 10000 simulaties de volgende P en voor de normale verdeling. De volgende formule is toegepast voor simulatie i. for(I in 1:10000) aexnorm[I]= max(1.166041-exp(sum((rnorm(47, µ, σ)),0) In deze formule is 1.166041 het cumulatieve rendement na 47 maanden, wanneer men een jaarrendement van 4% veronderstelt.

P

AEX FTSE 0.1869912 0.07861424

S&P 0.2000945

DAX 0.1679859

S

0.2372205

0.1947198

0.2275942

0.1297093

De kosten van de garantie zijn dus alleen voor de FTSE redelijk afwijkend. Een uitleg hiervoor kan zijn dat de FTSE een hogere µ en lagere σ2 heeft dan andere verdelingen.

19

4.4.2 gammaverdeling.

Voor de gammaverdeling volgen we dezelfde werkwijze als hierboven beschreven voor het simuleren. We hebben natuurlijk wel andere parameters. Deze parameters kunnen gevonden worden met de translated gamma methode. Deze methode is alleen toepasbaar op data waarvoor geldt dat de scheefheid γ groter dan 0 is. Dat is voor de aandelendata echter niet het geval, dus zullen we de methode toepassen op Y=–X, bij de willekeurige trekking moet dan ook wel weer x met –1 vermenigvuldigd worden. voor S=Y-x0 geldt dan S~G(y;α,β ) met α =

4 2 2σ , β= en x0 = µ − . γ γσ γ

Er kan nu een willekeurige trekking uit S worden gedaan en gebruik worden gemaakt van het feit dat X=-(S+x0 ). Voor de gegeven aandelenkoersen vind men bij het toepassen van translated gamma de volgende parameters. X0

α β

AEX FTSE 0.120049466 0.058047514

S&P DAX 0.122493968 0.139353337

2.668929363 2.413964024

7.671313253 3.858789596

22.68926981 38.4651905

62.62820931 27.06069429

Nu kunnen prijs en opslag met behulp van simulatie weer berekend worden P

AEX 0.1898370

FTSE 0.3470625

S&P 0.1971210

DAX 0.3165827

S

0.2413651

0.201581

0.1963628

0.2822143

Bij het toepassen van MLE op de gammaverdeling komt het probleem aan de orde dat de gammaverdeling alleen gedefinieerd voor x>0. Aandelenrendementen kunnen echter best negatief zijn. Aandelenrendementen hebben een lange staart aan de linkerkant gamma aan de rechter, daarom zal de gamma verdeling op –x geschat worden. Verder moet de gammaverdeling verschoven worden, want als x~gamma, dan moet X>0. Het gevolg hiervan is dat –X<0, maar X is niet kleiner dan 0. In deze steekproef is X kleiner dan max(x). Dus –x- max(x) ~gamma (a,b). 20

Y=–x+max(x) ~gamma (a,b). Dus als y een willekeurige trekking uit Y is, dan is – y+max(x) een willekeurige trekking uit x. Omdat R de optimalisatie niet toepast als waarnemingen gelijk aan 0 zijn moet er behalve max(x) nog een extra ε worden opgeteld bij –X. MLE heeft een aantal eigenschappen, waardoor MLE verkozen wordt boven MME. In dit geval is de keuze van de verschuivingparameter bij MLE erg subjectief, en zal er ook serieus gekeken moeten worden naar MME. AEX α β

1.2162598

FTSE

S&P

DAX

1.0432553

1.0691704

1.493286

10.0387971 15.6620382

13.0506291

8.752550

Vervolgens kunnen p en s weer bepaald worden.

P

AEX 0.2416935

FTSE 0.132917

S&P 0.2475326

DAX 0.2677325

S

0.3107825

0.2059965

0.2755992

0.3438024

4.4.3 Weibull verdeling De weibull verdeling heeft als voordeel dat de verdeling zowel dunne staarten kan genereren als dikke. De vorm van de weibull verdeling variert van de vorm van een exponentiele verdeling voor de schape parameter <1 naar de vorm van een gammaverdeling voor een schape parameter rond 2. De weibull verdeling is alleen gedefinierd voor X>0 en de MLE schatting wordt dus uitgevoerd zoals bij de gamma verdeling.

AEX

FTSE

S&P

DAX

Schape

1.7102910 1.72378383

1.86745948

2.3040625

Scale

0.1359394 0.07554113

0.09242698

0.1903907

AEX

FTSE

S&P

DAX

P

0.1766366 0.07651158

0.1783440

0.1360245

S

0.2356924

0.1933655

0.2147976

0.1302142

21

4.4.4 t-verdeling. De t-verdeling is symmetrisch rond nul. Voor X geldt echter E(X) ≠ 0. In R wordt de tverdeling beschouwd als onderdeel van de familie van verdelingen met locatie en schaalparameters. Men kan een locatie parameters schatten M en een schaalparameter S, naast de gebruikelijke vrijheidsgraden df.

M

AEX FTSE 0.012602959 0.012196936

S&P DAX 0.002327950 0.013655868

S

0.050641858 0.025301964

0.038783358 0.047732778

Df

3.650049581 2.757933292

9.826866557 2.600362970

Bij het simuleren uit de t-verdeling in R wordt gebruikt dat M, S en df worden geschat, maar alleen M en df kunnen worden ingevuld. Dit probleem kan als volgt worden opgelost. Stel y is een willekeurige trekking uit

(X − M ) S

y=rt(1,df), dan y*S+ M een sample uit X. P

AEX FTSE 0.05162822 0.01568424

S

0.1346993

0.070935

S&P DAX 0.1360588 0.06698571 0.1713349

0.1712532

MME kan niet worden toegepast, de reden hiervoor is dat de varantie van de t- verdeling gelijk is aan

υ , waarbij υ >2 moet zijn. Voor de aandelendata geldt echter var<2, dus υ −2

de vergelijking kan niet opgelost worden.

Het Akaike informatie criterium (AIC) is een maatstaf voor de fit van een model op een dataset, hoe lager het AIC hoe beter de fit. We kunnen aan de hand van AIC toepassen welke verdeling de beste fit geeft voor MLE. Voor MME is geen maatstaf beschikbaar om de fit van verschillende verdelingen te vergelijken.

Hieronder een overzicht van de AIC per verdeling voor de koersdata. AEX Normaal

-110.9496

FTSE

S&P

-165.2877

-156.7669

DAX -110.1837

22

T

-113.7907

-169.8763

-155.7593

-116.3605

Gamma

-101.4689

-156.6947

-137.3151

-72.32423

Weibull

-116.8988

-173.405

-157.6883

-104.5879

De gammaverdeling geeft de minst goede fit, omdat de AIC voor alle aandelenkoersen het hoogst is. De weibull verdeling geeft voor de AEX, FTSE en S&P de beste fit, de DAX is een uitzondering. In onderstaande figuur kan gezien worden hoe de verschillende verdelingen de data beschrijven.

empirische verdeling AEX. Normale verdeling. MME Gamma verdeling. MLE Gamma verdeling. t-verdeling. Weibullverdeling.

23

4.5 Simulatie obligatiedata.

Voor de obligatie data wordt de JPM GBI EUROPE 3-5Y (LOC) en de JPM GBI EUROPE 5Y-10Y (LOC) gebruikt, uit datastream. De RI van deze variabelen wordt op maandbasis berekent, net zoals bij de aandelen. De RI data is helaas slechts vanaf september 2003 beschikbaar, dus we beschikken in dit geval over 32 waarnemingen. Onderstaande grafiek geeft de waarnemingen voor beide indices weer. In figuur 1 en 2 zien we de statistieken van de obligatiedata opgesomd. Het valt op dat de scheefheid bij obligatie data ook negatief is, daarom kan de translated gamma methode evenals de MLE methode op dezelfde manier worden toegepast als bij aandelen. De obligatierendementen hebben een lager gemiddelde en standaard deviatie dan aandelenrendementen. De lage standaard deviatie komt overeen met het lagere beleggingsrisico van obligaties. Het rendement is echter gemiddeld ook lager dan bij aandelen vanwege de kleinere vergoeding voor het lagere risico. De skewness van de data ligt dichterbij 0 dan bij aandelen, dit doet vermoeden dat een symmetrische verdeling de obligatierendementen goed benaderd.

0,025 0,02 0,015 0,01

JPM GBI EUROPE 3-5Y (LOC) - TOT RETURN IND

0,005

-0,01 -0,015

29

25

21

17

13

9

5

1

0 -0,005

JPM GBI EUROPE 5-10Y (LOC) - TOT RETURN IND

-0,02 -0,025 -0,03

24

6 Series: JPM GBI EUROPE 3-5Y Sample 1 32 Observations 32

5 4

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

3 2 1

Jarque-Bera Probability

0.002805 0.003442 0.015346 -0.015452 0.007077 -0.432630 2.736720 1.090653 0.579652

0 -0.01

0.00

0.01

figuur 1 8 Series: JPM GBI EUROPE 5-10Y Sample 1 32 Observations 32

7 6 5 4 3 2 1 0 -0.02

-0.01

0.00

0.01

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.003692 0.006618 0.019802 -0.024602 0.011304 -0.608731 2.487505

Jarque-Bera Probability

2.326489 0.312471

0.02

figuur 2

De obligatie data volgt voor elke looptijd exact dezelfde beweging, alleen is bij langere looptijd de variantie groter. Dit komt overeen met de theorie dat lang lopende obligaties een grotere rentegevoeligheid hebben. De methode beschreven voor de aandelendata kunnen we ook toepassen op obligatiedata. Onderstaande resultaten volgen voor de betreffende verdelingen.

25

Normale verdeling Parameters normale verdeling. 3-5 jaar 5-10 jaar µ 0.002804650 0.003691639 σ

0.006965080 0.011125999

Prijs en opslag onder normale verdeling P

3-5 5-10 0.03620287 0.02367328

s

0.03852119 0.04095395

t-verdeling. Parameters t-verdeling. 3-5 5-10 M 2.940061e-03 0.003988624 S

6.637730e-03 0.010830998

Df

15.47622 21.085571029

Prijs en opslag onder t-verdeling 3-5 5-10 P 0.03165979 0.01971138 s

0.03710613 0.03825421

Gamma verdeling met behulp van MLE Parameters gamma verdeling. 3-5 5-10 Schape 6.334426 0.8276575 Scale

355.138989

51.4620876

Prijs en opslag onder gamma verdeling 3-5 5-10 0.0348703 P 0.04079843 0.03941542 s 0.06991095

Gamma met behulp van MME X0

3-5 -0.03396

5-10 -0.03907

26

Schape

19.38913

9.793532

Scale

622.2415

276.845

P s

3-5 0.03660890 0.03986824

5-10 0.02415910 0.04233035

Weibull MLE. Schape

3-5 5-10 2.00947866 1.54301402

Scale

0.01527591 0.01900543

3-5

5-10

P

0.03600556 0.02431086

s

0.0396898 0.04297799

Voor al de verdelingen kan opnieuw het AIC berekend worden. AIC 3-5

5-10

normaal

-223.0661

-193.0901

T

-220.6521

-190.6447

gamma

-224.6231

-197.0372

AIC

-225.1389

-200.0603

We kunnen concluderen dat de weibull verdeling de beste fit geeft voor de obligatie rendementen. In onderstaande figuur kan gezien worden hoe de verschillende verdelingen de data beschrijven.

27

empirische verdeling 3-5 jaars obligaties. Normale verdeling. MME Gamma verdeling. MLE Gamma verdeling. t-verdeling. weibullverdeling.

4.6 Renteproces Euribor.

Naast de beleggingscategorieën aandelen en obligaties wordt er door de verzekeraar ook een hoeveelheid geld aangehouden op de lopende rekening. Dit geld wordt gebruikt voor kosten en uitkeringen. Het rendement op dit “cash” geld is gelijk aan de euribor 1 maandsrente. De euribor rente is de rente waartegen banken geld aan elkaar lenen. Bij de 1 maandsrente betreft het leningen met een looptijd van 1 maand, de rentepercentages zijn op jaar basisgegeven. De data is gegeven op maandbasis en afkomstig uit de periode juni 2002 tot en met mei 2006.

28

euribor maandelijkserente 4 3,5 3 2,5 euribor maandelijkserente

2 1,5 1 0,5 45

41

37

33

29

25

21

17

13

9

5

1

0

Om een volledige portefeuille te simuleren, zal het renteproces voor de euribor ook beschreven moeten worden. Er wordt uitgegaan van AR-proces voor de euribor. De rente van deze maand is afhankelijk van de rente van vorige maand, daarom wordt de term euribor(-1) opgenomen in de vergelijking. Verder is de rente van vandaag afhankelijk van de mate waarin de rente van vorige maand afwijkend was ten opzichte van voorgaande maanden, daarom wordt de AR(1) term opgenomen.

Dependent Variable: EURIBOR Method: Least Squares Date: 07/12/06 Time: 16:02 Sample(adjusted): 3 48 Included observations: 46 after adjusting endpoints Convergence achieved after 4 iterations Variable C EURIBOR(-1) AR(1) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted AR Roots

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

0.229348 0.896324 0.311512

0.110984 0.046492 0.158754

2.066492 19.27916 1.962238

0.0448 0.0000 0.0562

0.960884 0.959065 0.080764 0.280478 52.02653 2.075661

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

2.353717 0.399180 -2.131588 -2.012329 528.1538 0.000000

.31

De AR(1) term lijkt net niet significant wanneer men een toetsgrootte van 5% kiest. Bij beperkte steekproefgrootte is enige voorzichtigheid altijd geboden bij dit soort conclusies. Het ligt echter voor de hand dat deze AR(1) term wel invloed heeft. 29

De volgende vergelijking beschrijft nu het renteproces: rt = 0.229348 + 0.896324 * rt-1 + 0.311512 * ε t -1 + ε t waarbij ε t ~N(0,1) de storingsterm in periode t is. Bij de simulatie stelt men r0 =2.66 , want 2.66 is het laatste element van de steekproef. r2 = 0.229348 + 0.896324 * r1 + ε t . Voor r3 tot en met rt kan men gewoon weergebruik maken van: rt = 0.229348 + 0.896324 * rt-1 + 0.311512 * ε t -1 + ε t 4.6 Portefeuille simulatie. Veronderstel nu een portefeuille , met 30% aandelen AEX, 40% obligaties met vijf tot tien jaar looptijd en 30% op de lopende rekening voor kosten en uitkeringen. Het rendement voor de lopende rekening wordt gelijk gesteld aan de euribor 1 maandsrente. De euribor is het rentetarief waarvoor de banken aan elkaar lenen. Er wordt uitgegaan van de best passende verdeling, dat wil zeggen voor de aandelen en obligaties trendementen worden verondersteld. Men kan nu uit deze verdelingen simuleren tezamen met het proces voor de euribor.

P s

0.05913306 0.07813848

skewness 1.159445

30

5. Conclusie. In hoofdstuk 4 geeft de weibull verdeling de beste fit. Enige voorzichtigheid is echter geboden bij het trekken van deze conclusie vanwege de beperkte steekproefgrootte. Verder is de verschuivingsparameter bij de MLE voor de weibull verdeling met de beschikbare techniek ook niet eenduidig te bepalen. Wanneer men de garantieprijs voor de portefeuille zoals in 4.6 veronderstelt bekijkt, ziet men dat de prijs bijna 6% is. Wanneer men dan ook nog eens de opslag van 8% hanteert, komen de totale kosten van de garantie op 14%. 14% is misschien niet de grootste kostenpost. De garantie wordt in dit voorbeeld echter slechts afgegeven voor 47 maanden. Bij langere looptijd kunnen de kosten nog hoger oplopen.

31

Bibliografie. ASLI WERKGROEP ,GARANTIES OP UL-PRODUCTEN, OKTOBER 2005 AFIR- werkgroep rendementsgaranties, Rendementsgaranties, Januari 2004 http://www.agai.nl/files_content/ag%20publicaties/AFIR%20wg%20rg.%20rapport%20rendementsgara nties%201.2%20041301.pdf , 26 februari, 2006 Bain, L.J; Engelhardt, M (2000) , Introduction to probability and mathematical statistics, Duxbury Thomson Learning. Bouwknegt , P, Pelsser, A, Marktwaarde van winstdeling. De Actuaris maart 2001 Bouwknegt , P De ondergang van de equitable De Actuaris, November 2001 DNB, Het actuele getal: 45% nieuwsbericht 22/3/2005 http://www.dnb.nl/dnb/pagina.jsp?pid=tcm:12-53155-64 , 26 februari, 2006. Dougherty, C (2002), Introduction to econometrics.Oxford university press Grosen, A; Jòrgensen, P, Valuation of Early Exercisable Interest Rate Guarantees The journal of risk and insurance, vol. 64 (1997), afl. 3, pag. 481-504 (24) Hardy, M (2003) Investment guarantees, Wiley Hull, J (2006) Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall Kaas, R, e.a. (2001) Modern actuarial risk theory, Kluwer Academic Publishers. Münchener Rück (2000), Unit Linked insurance A general report, Munich Re Group R Development Core Team (2006). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org. Schrager D; Pelsser A (2004), Pricing Rate of Return Guarantees in Regular Premium Unit Linked Insurance, Insurance: Mathematics and Economics afl. 35 pag 369–398 Schrager D; (2001), Market Based Valuation of Interest Rate Guarantees in Unit Linked Life Insurance with stochastic volatility, Universiteit van Amsterdam mei 2001 Universal Life - De techniek Pensioen & Praktijk http://www.merceroliverwyman.nl/index.asp?http://www.merceroliverwyman.nl/comme nt/publicaties/arteve001.html , mei 2006 32

Bijlage 1 12 Series: AEX Sample 1 47 Observations 47

10 8 6 4

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.002420 0.017252 0.123576 -0.249142 0.072003 -1.184803 5.104633

Jarque-Bera Probability

19.67051 0.000054

2 0 -0.2

-0.1

0.0

0.1

10 Series: FTSE Sample 1 47 Observations 47

8

6

4

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.004710 0.009479 0.071316 -0.125473 0.040392 -1.245803 4.619933

Jarque-Bera Probability

17.29655 0.000175

2

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

33

7 Series: S&P Sample 1 47 Observations 47

6 5 4 3 2 1 0 -0.10

-0.05

0.00

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-4.23E-06 0.005762 0.081921 -0.121643 0.044225 -0.698843 3.617567

Jarque-Bera Probability

4.572547 0.101645

0.05

12 Series: DAX Sample 1 47 Observations 47

10 8

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

6 4 2

Jarque-Bera Probability

0 -0.2

-0.1

0.0

0.003244 0.020276 0.173856 -0.230847 0.072592 -0.985347 5.185966 16.96324 0.000207

0.1

34