Informatie PABO. 21+ rekenen

Informatie PABO 21+ rekenen


Beste lezer, Voor u ligt een uitleg over de 21+ rekentoets van de PABO. Gedegen basiskennis van rekenen is een voorwaarde om de didactiek van het rekenonderwijs in het basisonderwijs te begrijpen en in de praktijk uit te voeren. Elke PABO-student wordt ongeacht vooropleiding in het eerste jaar getoetst op de basiskennis van rekenen, taal en wereldoriëntatie (biologie, aardrijkskunde en geschiedenis). De 21+ toets rekenen die u gaat maken moet de PABO een beeld geven dat u in staat bent deze basiskennistoets voldoende af te sluiten. De 21+ rekentoets is dus een andere toets dan de CITO basiskennistoets die in het eerste jaar wordt afgenomen. De 21+ rekentoets bestaat uit 11 rekenonderdelen te weten: 1. Hoofdrekenen 2. Schattend rekenen 3. Verhoudingen 4. Rekenvaria 5. Meten 6. Breuken 7. Ordenen en vergelijken van kommagetallen, breuken en procenten 8. procenten 9. cijferen 10. meetkunde 11. toepassingen Deze onderdelen/categorieën worden op de volgende bladzijden uitgelegd. Voorbeeldopgaven worden uitgewerkt. Daarna is een oefentoets opgenomen met bijbehorende antwoorden. Bij de uitleg van de categorieën wordt verwezen naar het boek van Fred Goffree: “Rekenvaardig deel 0”. Dit boek is niet nieuw meer te koop maar tweedehands goed te verkrijgen. Ook wordt verwezen naar andere publicaties. Een ander goed boek, dat ook op de boekenlijst staat van alle eerstejaars studenten, is: “Basisvaardigheden rekenen voor de PABO”. Ook hier worden de 11 categorieën uitgelegd. De bijbehorende CD-rom heeft veel rekenopgaven om te oefenen. U kunt tevens gebruik maken van de verschillende rekenmethoden voor de basisscholen, Alle rekenmethoden kunnen worden ingezien bij de onderwijswerkplaats (OWP) op onze PABO zelf. Er zijn naast deze genoemde boeken nog meer boeken gericht op de basiskennis rekenen die gebruikt kunnen worden ter voorbereiding van de 21+ rekentoets. Raadpleeg hiervoor het internet. Ik wens u succes met de voorbereiding op de 21+ rekentoets! Jan Verriet. PABO HHS

bladzijde 1


Categorie 1 Omschrijving:

Hoofdrekenen Je kunt bij het hoofdrekenen vier vormen onderscheiden (Zie A. Treffers, Panama cursusboek 9, blz.41: Hoofdrekenen toen en nu). Bij deze categorie gaat het om hoofdrekenen 2. de vier vormen van hoofdrekenen staan hieronder vermeld.

Hoofdrekenen 0: Hoofdcijferen, de getallen worden meteen (in gedachte) onder elkaar geplaatst en er wordt gecijferd. Dat men veel deeluitkomsten niet opschrijft maar onthoudt, doet niets af aan het feit dat men toch eigenlijk cijfert, alhoewel het lijkt op papier dat men gebruik heeft gemaakt van eigenschappen.

Hoofdrekenen 1: Men werkt op een standaardmanier met getallen. B.v. 7 x 24, dat doe je zo: 7 x 20 + 7 x 4 Dit gedistilleerde hoofdrekenen is van oudsher de meest beoefende vorm van hoofdrekenen in het basisonderwijs en sterk verwant aan het cijferen, daar het ook immers volgens één standaardprocedure wordt uitgevoerd.

Hoofdrekenen 2: Dit is de gevarieerde vorm van hoofdrekenen. 7 x 98 = 7 x 90+7 x 8 dat kan, maar je kunt ook denken aan 7 euro en dan 7x 2 eurocent eraf

Hoofdrekenen 3: Het gaat om getalgevoeligheid. B.v. Iemand beweert: ik werk wel 220 uur per week! Kan dat? Je gaat benaderend rekenen: 7 dagen van 24 uur, zeg 25 uur dat is 7 x 25 uur is 175 uur ( denk aan kwarten) dus die 220 kan nooit! Of 220 uur: 7 = .... 8 x 25 = 200 dus er komt meer dan 25 uit .... En dat kan nooit: een dag heeft maar 24 uur. Je kunt ook zeggen: het zijn type opgaven waarbij de oplosser zelf gegevens moet aandragen en daarmee gaat rekenen om het probleem te kunnen oplossen. Zogenoemde open problemen met krantenknipsels spelen daarbij een essentiële rol. Aantal onderdelen:

5

Norm:

5 onderdelen goed: 4 punten, 4 onderdelen goed: 3 punten, 3 onderdelen goed: 2 punten, 2 onderdelen goed: 1 punt, 1 of 0 onderdelen goed: 0 punten.

Verwijzing:

Wiskunde & Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: serie 1 t/m 6; serie 7, opgave 3 en 4;serie 13, opgave 1. Hoofdstuk 2: serie 1,opgave 1 en 3; serie 2,opgave 3;serie 14,opgave 1 en 4 Hoofdstuk 3: par. 3.1, opgave 1,2,7 en 8; par. 3.2, opgave 1,2,4 en 8. Hoofdstuk 4: opgave 1,3,5,8,11,13,17,23,33,37 en 41.

bladzijde 2


Getallen (HBO-raad): Hoofdstuk 6. Uit getallen (hfst. 6): Veel

voorkomende eigenschappen van bewerkingen: Notatiecode: W

1.

De wisseleigenschap voor optellen en vermenigvuldigen (of commutatieve wet): 8+5=5+8 8x5=5x8 1

S

T

GEK

2.

3.

4.

1 1 x 15 = 15 x 1 3 3

5.

1 1 = x 0,84 2 2

De schakeleigenschap voor optellen en vermenigvuldigen ( of associatieve wet): 16 + (4+5) = (16 + 4) + 5 (16 x 4) x 5 = 16 x ( 4 x 5 ) Deze eigenschap wordt vaak gebruikt in combinatie met de wisseleigenschap:

16

1 1 1 1 + 29 + 13 = 16 + 13 + 29 = 30 + 29 = 59 2 2 2 2

12

1 1 x 7 x 8 = 12 x 8 x 7 = 100 x 7 = 700 2 2

Termen veranderen: 23 + 19 = 22 + 20 = 42

54 – 29 = 55 – 30 = 25

VerGroten En verKleinen van vermenigvuldiger en vermenigvuldiggetal: 1 16 x 12 = 8 x 25 = 200 2

GOK

0,84 x

15 x 3

1 = 5 x 10 = 50 3

VerGroten Of verKleinen van deeltal en deler bij het delen of Werken met verhoudingen: 3 : 0,6 = 30 : 6 = 5 0,42 : 5 = 42 : 500 = 84 : 1000 = 0,084 0,42 : 5 = 0,84 : 10 = 0,084 3,27 : 0,5 = 6,54 : 1 = 6,54

bladzijde 3


Voorbeeldopgave: 1.0

Los elk van de volgende opgaven op door gebruik te maken van Eigenschappen van getallen en eigenschappen van bewerkingen. Dus niet-cijferend. Licht je antwoord duidelijk toe. a. 3498,72 + 397,99 =

Uitwerking:

Als ik aan geld denk, dan is 397,99  € 397,99 dus bijna € 400.Daar maak ik gebruik van: 3498,72 + 400 – 2,01 = 3898,27 –2,01 = 3896,71 natuurlijk kun je ook uitgaan van 3498,72 want dat ligt vlakbij 4000, maar dan zijn de getallen iets lastiger. Hier is eigenschap T gebruikt. b. 998,17 – 99 = 998,17 – 100 = 898,17 een teveel eraf gedaan. Hier is eigenschap T gebruikt. 898,17 + 1 = 899,17 Memo: let wel op een correcte notatie! c. 55 x 44 = 55 x 44 = 110 x 22 (halveren/verdubbelen) 100 x 22 = 220 2200 x 220 = 2420 of: 55 x (2 x 22) ( eigenschap S) = (55 x 2) x 22 = 110 x 22 etc. d. (25 x 23) + (17 x 25) (25 x 23) + ( 17 x 25) = (23 x 25) + (17 x 25) (eigenschap W) = (23 + 17) x 25 = 40 x 25 = 1000 of: (25 x 23) + ( 25 x 17) = 25 x 40 = 1000 Een vijfde deel van 4

4 5

Een vijfde deel van (5 -



1 1 24 )1 5 25 25

bladzijde 4


Categorie 2

Schatten

Omschrijving:

Je kunt bij het hoofdrekenen vier vormen onderscheiden. Bij deze categorie gaat het om hoofdrekenen 3. Zie omschrijving bij categorie 1.

Aantal onderdelen:

2

Norm:

onderdeel a goed: 2 punten onderdeel b goed: 2 punten men kan per onderdeel ook een gedeelte van de punten behalen.

Verwijzing:

Wiskunde en Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: serie 10, opgave 4. Hoofdstuk 2: serie 1, opgave 2; serie 12, opgave 2 en 5; serie 14, opgave 3. Hoofdstuk 4: opgave 32.

Voorbeeldopgave: 2.0

a.

Uitwerking:

Een atleet loopt de marathon ( 42 km en 195 m) in 2 uur, 21 minuten en 35 seconden. Maak een redelijke schatting van de gemiddelde snelheid van die loper In kilometer per uur. Licht je antwoord duidelijk toe. Marathon is dik 40 km. De tijd is ongeveer 2 uur en 20 min, je kunt ook zeggen 2

1 7 uur = . Oh, nu zie ik dat ik voor rekenen beter kan zeggen: 3 3

de marathon is ruim 42 km (want 42 is deelbaar door 7!) 7 1 3 42 km in – uur, dus 6 km in en 18 km in uur, dus zo’n 18 km 3 3 3 per uur

Je kunt natuurlijk ook met minuten gaan rekenen: 42 km in 2 uur en 20 min. 42 km in 140 min. Je kunt beide getallen door 7 delen  6 km in 20 minuten. Om aan de snelheid per uur te komen, moet je de 20 minuten met 3 vermenigvuldigen en dus ook de afgelegde afstand. Dus de snelheid per uur is 3 x 6 = 18 km. 2.0

a.

Yvonne rekent op haar zakrekenmachine correct uit: ( 715,348 + 589,2) x 4,555 = Bij het overschrijden vergeet ze in 594221614 de komma. Wat moet de goede uitkomst zijn? Licht je antwoord duidelijk toe.

bladzijde 5


Uitwerking:

Laat ik de getallen onder elkaar zetten en gaan cijferen, oh jé, dat wordt veel rekenwerk; iets anders proberen:

Op de basisschool leerde ik het volgende trucje om het aantal cijfers achter de komma te kunnen bepalen: 715,348 + 589,2 geeft als uitkomst een getal met 3 cijfers achter de komma. Die uitkomst vermenigvuldigen met 4,555 (een getal met 3 cijfers achter de komma), dan moeten in het antwoord 3+3=6 cijfers achter de komma verschijnen. Maar dat klopt hier helemaal niet!Stiekem toch maar even alles cijferend narekenen leverde als antwoord op: 5492,216140. Nu tel ik wel 6 cijfers achter de komma en begrijp ik waarom het hierboven misging: de ZRM laat zo’n nul aan het eind niet zien. In het vervolg maar niet meer afgaan op dit soort trucjes!

715,348 is ruim 700 589,2 is bijna 600 700 + 600 = 1300 4,555 is ongeveer 5 1300 x 5 = 6500. De uitkomst ligt wat lager, dus het zal ongeveer 6000 zijn. Dus de komma moet na 4 cijfers, tussen de 2 tweeën staan. even narekenen op mijn zakrekenmachientje (dat ik tijdens het tentamen natuurlijk niet mag gebruiken!) geeft de exacte uitkomst: 5942,21614

bladzijde 6


Categorie 3

Verhoudingen

Omschrijving:

De opgaven in deze categorie hebben betrekking op meetkundige en getalsmatige ervaringen met het verschijnsel ‘verhoudingen’, alsmede het organiseren van verhoudingssituaties in de verhoudingstabel. Niet niet alleen verhoudingen tussen grootheden van dezelfde soort maar ook verhoudingen tussen verschillende grootheden komen aan bod zoals begrippen als bijvoorbeeld snelheid, schaal, dichtheid en andere samengestelde grootheden.

Aantal onderdelen:

2

Typen:

Er zijn 4 typen opgaven. Iedere opgave bestaat uit twee onderdelen. Een onderdeel is steeds een som van type II; het andere onderdeel een van de overige drie typen. Type I : ? : ?, gevraagd wordt naar een verhouding Type II : x:y? a:b, gevraagd wordt naar de ‘gunstigste’ van twee (of meer) gegeven verhoudingen, Type III : x:y = a:? gevraagd wordt naar de ‘vierde evenredige’, Type IV : x;y = ?:? een gegeven verhouding in een ander getallenkoppel uitdrukken. Norm:

Onderdeel a goed: 2 punten, Onderdeel b goed: 2 punten, Men kan per onderdeel ook een gedeelte van de punten behalen.

Verwijzing:

Wiskunde en Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: serie 10, opgave 1,2 en 5; serie 13,opgave 3; serie 14, opgave 2. Hoofdstuk 2: serie 10, opgave 1,2,4, en 5; serie 11, opgave 4 en 5; serie 15. Hoofdstuk 3: par. 3.3, opgave 1; par. 3.4, opgave 1,3,4,7 en 8. Hoofdstuk 4: opgave 2 en 35 Reken Maar: Verhoudingen en procenten (par. Ia t/m Ie).

bladzijde 7


Voorbeeldopgaven van elk genoemd type: Type I

Op welke schaal is deze fiets ongeveer afgebeeld?

Uitwerking:

Hoe hoog een fiets is, weet ik niet precies, maar ik schat dat het zadel van mijn fiets zich op ongeveer 1m boven de grond bevindt. In de Tekening nameten levert 4 cm op. Dus 4cm komt overeen met 100cm. De verhouding tekening werkelijkheid is dan 4 op 100, ofwel 1 op 25. De schaal is dus ongeveer 1:25. De lengte van de fiets is op de tekening ongeveer 75mm, dat betekent in werkelijkheid 25 x 75= 25x25x3=625x3=1875 mm, dus ongeveer 1,9m, zeg maar 2m. dat lijkt aardig te kloppen. Je kunt natuurlijk ook redeneren vanuit het wiel bijvoorbeeld. In werkelijkheid heeft dat een diameter van ongeveer 70cm, op de tekening meet het 2,5cm. Met 4 vermenigvuldigen geeft: 280cm in werkelijkheid komt dat overeen met 10cm op tekening, ofwel 1:28. Dat scheelt niet zo heel veel met 1:25, wat ik eerst vond.

Type II

Caroline maakt grijze verf door zwarte verf en witte verf te mengen. 3 Soort I maakt zij door bij 7 blikken witte verf blik zwarte verf te doen 4 1 Soort II maakt zij door bij 10 blikken witte verf 1 blik zwarte verf te 5 doen. Welk mengsel heeft de donkerste kleur? Licht je antwoord duidelijk toe.

Uitwerking:

Deze opgave vraagt naar mijn idee om een verhoudingstabel. In beide gevallen eerst maar even de breuken uit de tabel wegwerken. Bij soort I 3 is blik zwarte verf gebruikt, 4 keer zoveel geeft dan drie hele blikken 4 Bij soort II neem ik 5 keer de genoemde hoeveelheden, dat zijn dan 6 blikken zwarte verf. Soort I Zwart Wit

3 4 7

3

6

Soort II: Zwart

28

56

Wit

1 5 10

1

6 50

Nu zie ik dat het handig is om bij soort I ook naar 6 blikken zwarte verf te kijken, dan is namelijk bij beide mengsels evenveel zwart toegevoegd. Soort II bevat minder wit (50 blikken) dan soort I (56 blikken) en zal dus donkerder uitvallen. bladzijde 8


Type III

Op een bepaald tijdstip op een zonnige dag is mijn schaduw 225cm lang. In mijn paspoort staat voor mijn lengte 1,80m. Hoe lang is op hetzelfde tijdstip de schaduw van een boom van 6m? Licht je antwoord duidelijk toe.

Uitwerking:

De verhouding tussen mijn lengte en de schaduwlengte is 180 op 225, Ofwel 36 op 45, of nog eenvoudiger 4 op 5. Op hetzelfde tijdstip is de Verhouding van de lengte van de boom en zijn schaduw dus ook 4:5. Een boom van 6m, dat is 1,5 x 4m heeft dan een schaduw van 1,5 x 5 = 7,5m. Oh, er stond dat ik een verhoudingstabel moest gebruiken, dat Is nu niet moeilijk meer, al is dit wel de omgekeerde wereld:

Schaduw Werkelijk

Ik 225 cm 5 180 cm 4 \ / \ : 45

Boom 750 cm 600 cm / x 150

Type IV

Een schaatser rijdt de 1500 m in 2 min 15 sec. Wat is haar gemiddelde snelheid in km per uur? Licht je antwoord duidelijk toe.

Uitwerking:

2 minuten en 15 sec = 2 x 60 + 15 = 135 sec. Om de gemiddelde snelheid in km/uur te vinden maak ik een verhoudingstabel, waarin ik ga rekenen naar  1uur = 60 min = 3600 sec: M Sec

1500 135 \

300 27 / \ :5

100 9 / \ :3

400 36 / \ x4

40000 3600 / x100

Die 135 sec deel ik door 5, dat komt ook mooi uit met die 1500 m erboven. Er komt 27 sec uit (waarin 300 m wordt geschaatst). Dat kun je allebei door 3 delen (dus ze doet over iedere 100 m gemiddeld 9 sec). Om op 3600 sec uit te komen is het duidelijk dat ik nu nog met 4 en met 100 moet vermenigvuldigen. In 1 uur gemiddeld 40000 m = 40 km; dat zal goed kunnen denk ik.

Voorbeeldopgave: 3.0 a. De auto van mijn zus verbruikt 8 liter benzine op 95 kilometer, terwijl mijn vaders auto 7 liter op 92 kilometer verbruikt. Welke auto rijdt het goedkoopst? Licht je antwoord duidelijk toe.

bladzijde 9


Uitwerking:

Eerst zet ik de gegevens in een verhoudingstabel: Zus

Vader Liter 8 Kilometer 95

Liter 7 Kilometer 92

Als mijn zus 7 keer 8 liter tankt kan ze daarmee 7 x 95 = 7 x 100 – 7x 5 = 700 – 35 = 665km rijden ( dat doet ze natuurlijk niet echt, maar het rekent wel gemakkelijk!) Mijn vader kan met 8 keer 7 liter benzine een afstand van 8 x 92 = 8 x 100 – 8 x 8 = 800–64 = 736km afleggen. De verhoudingstabel wordt nu: Zus Vader Liter 8 56 Liter 7 56 Kilometer 95 665 Kilometer 92 736

Met een zelfde hoeveelheid benzine (56 liter dus) kan de auto van mijn vader verder rijden dan die van mijn zus, dus de auto van mijn vader rijdt het zuinigst. Maar nu zie ik ook dat ik dat veel sneller had kunnen doen. Als mijn vaders auto op 1 (8-7) liter benzine meer dan 3 (95-92) kilometer kan rijden is dat zuiniger dan mijn zus. En dat lukt natuurlijk want dat betekent dat ie met 7 liter minstens 21 kilometer moet halen! Op deze manier hoef je het niet precies uit te rekenen, een schatting volstaat. 3.0 b. Voor het kinderfeestje maakte ik ranja. Ik gebruikte 4 liter siroop op 12 liter water. Omdat er meer kinderen kwamen dan verwacht moet ik nog 6 liter ranja (siroop en water) bijmaken. Hoeveel liter siroop heb ik daar voor nodig wanneer de ranja even zoet moet worden? Licht je antwoord duidelijk toe. Uitwerking:

De verhouding is 4 liter siroop en 12 liter water, dat is samen 16 liter ranja! In de tabel moet ik toewerken naar 6 liter samen. De onderste rij halveren totdat 4 en 2 erin staan. Dan deze bij elkaar tellen (of 2 liter ranja uit de onderste rij maal 3): Ranja Siroop 4 Water 12 Ranja 16

2 6 8

1 3 4

0,5 1,5 2

1,5 4,5 6

Je kunt ook zeggen dat de verhouding siroop op water 1 op 3 is. De verhouding siroop op ranja is dan 1 op 4. 6 liter ranja is 1,5 x 4 liter, dus vermenigvuldigen met 1,5: dat geeft 1 x 1,5 = 1,5 liter siroop en 3 x 1,5 = 4,5 liter water.

bladzijde 10


Categorie 4

Rekenvaria

Omschrijving:

Tot deze categorie behoren opgaven waarbij creatief met cijfers, getallen en bewerkingen van getallen omgegaan wordt. Ze hebben soms een puzzelachtig karakter. Om tot een correcte oplossing te komen moet geredeneerd worden. Er is inzicht in het positiestelsel en het schatten vereist. Getalgevoeligheid is van belang. Het gokelement speelt een ondergeschikte rol, het gaat meer om het vinden van een juiste oplossingsstrategie.

Aantal onderdelen:

1

Norm:

Antwoord goed: Anders:

Verwijzing:

Wiskunde & Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: serie 13, opgave 4. Hoofdstuk 2: serie 1, opgave 5. Hoofdstuk 3: par. 3.1, opgave 4; Hoofdstuk 4: opgave 4b, 7, 18, 30 en 39

Voorbeeldopgave: 4.0 ( I )

4punten 0 punten

Je hebt de cijfers 1, 2, 3 en 4. Daarmee ga je vermenigvuldigopgaven met twee getallen samenstellen. Ieder cijfer moet je precies één keer gebruiken, bijvoorbeeld 2 x 143 = of 13 x 42 = Bedenk een vermenigvuldigopgave met de kleinste uitkomst en bedenk een vermenigvuldigopgave met de grootste uitkomst. Toelichten is niet nodig.

Uitwerking:

Lukraak proberen leidt tot een onoverzichtelijke hoeveelheid van producten. Zoiets moet je systematisch aanpakken. Eigenlijk gaat het om twee soorten van vermenigvuldigen, die met een getal van 1 cijfer met ( dus) een getal van drie cijfers en die met getallen van elk 2 cijfers. In het eerste geval is 1x234=234 de kleinste en 4x321=1284 de grootste. Nu naar de tweede soort. Eerst houd ik de tientallen zo klein mogelijk, laat ik 1x24= proberen:13x24=10x24+3x24=240+60+12=312 en dat is meer dan 234.Ah, maar nu weet ik het antwoord op vraag a: 1x234=levert de kleinste uitkomst. Nu de tientallen zo groot mogelijk maken:31x42= of 32x41 zijn de mogelijkheden: 31x42=30 x42+42=1200+60+42=1302 ; 32x41=30x41+82=1200+30 +82=1312. Beide zijn groter dan 1284, dus 32 x 41= levert de grootste uitkomst. Conclusie: de kleinste uitkomst levert 1 x 234= 234 en de grootste uitkomst komt van 32 x 41= 1312.

bladzijde 11


4.0 ( II)

Maak van de cijfers 4, 5, 7 en 8 een getal van vier cijfers dat zo dicht mogelijk in de buurt van 6521 ligt. Gebruik de cijfers 4, 5, 7 en 8 precies één keer. Toelichten is niet nodig.

Uitwerking:

Voor het eerste cijfer (het duizendtal) kies ik 5, want die zit het dichtst bij de 6. En nu zorg ik er voor dat het getal zo groot mogelijk wordt: 5874. Maar ik moet natuurlijk ook nog de mogelijkheid van een getal groter dan 6521 proberen: als eerste cijfer neem ik 7 en nu de rest zo klein mogelijk: 7458. Nu de verschillen uitrekenen: 6521-5874=647 en 7458-6521=937. Het gezochte getal is dus 5874.

4.0 ( III)

Vul op de stippeltjes +,-,x of : in zo dat de volgende som correct wordt: ( 126 ... 16) ... 245= 1771. Toelichten is niet nodig.

Uitwerking:

Het x-teken valt op de tweede plaats af, want als iets met 245 vermenigvuldigd wordt, zal het antwoord op een 5 eindigen en hier eindigt het op een 1. Het :-teken vervalt, want dan zou het eerste deel van de som ongeveer 250x1600=1000x400=400000 moeten worden en dat lukt nooit. Laat ik het +-teken proberen: dan moet het eerste deel 1771-245=1526 worden. Misschien moet daar het x-teken komen: 126x16= 1260+6x126=1260+600+120+36=2016, te groot dus. Maar nu zie ik dat 1771+245=2016! Dus: (126 x16) – 245= 1771.

bladzijde 12


Categorie 5

Meten

Omschrijving:

Bij meten hebben we te maken met grootheden als lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd en zo meer. Aan deze grootheden kunnen (meet)getallen worden toegekend: de lengte van deze lat is 90cm, de oppervlakte van mijn kamer is 20m2, over deze opgave doe ik 4 min, enz. Meten is een zo allesomvattende activiteit, dat het niet mogelijk is opgaven waarbij meten een rol speelt, in een categorie te plaatsen. In nagenoeg alle andere categorieën zijn opgaven aan te wijzen waarbij meetactiviteiten in welke vorm ook plaatsvinden. Hier gaat het vooral om opgaven waarbij getoetst wordt in hoeverre begrip en inzicht aanwezig is betreffende omtrek, oppervlakte en inhoud en hun onderlinge relatie, opgaven waarbij herleidingen binnen het Metrieke Stelsel in toepassingsopgaven centraal staan en om opgaven over schaal. Ook het zal het schatten aan bod komen.

Aantal onderdelen:

2

Typen:

- berekeningen betreffende omtrek, oppervlakte en inhoud; - toepassingssituaties waarbij inzicht in en herleidingen binnen - het Metrieke Stelsel noodzakelijk zijn; - toepassingssituaties waarbij het begrip schaal centraal staat; - kale herleidingen binnen het Metrieke Stelsel.

Norm:

Onderdeel a goed: 2 punten Onderdeel b goed: 2 punten Men kan per onderdeel ook een gedeelte van de punten behalen. Wiskunde & Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: serie 8; Hoofdstuk 2: serie 10, opgave 3; serie 13, opgave 2; serie 14, opgave 3 en 5; Hoofdstuk 3: par.3.3, opgave 2,6,7,12,13,15 en 17. par. 3.4, opgave 2,6 en 10 Hoofdstuk 4: opgave 6,20,22,25,29,31,42 en 42. Reken Maar: verhoudingen en procenten (par. If:schaal)

Verwijzing:

bladzijde 13


Voorbeeldopgave: 5.0 ( I) 16mm 15,7hm 12dl 2,5cm² Uitwerking:

a. = = = =

Vul in: cm km m³ mm²

4,6m 0,05cm³ 805cl 0,03km²

= = = =

cm ml l ha

Bij herleidingen binnen het Metrieke Stelsel gebruik ik altijd een aantal steunpunten. Ik ga uit van de lengtematen: km --- hm --- dam --- m --- dm --- cm --- mm. Bij deze maten komt er een nul bij (of schuift de komma een plaats naar rechts) of gaat er een nul vanaf (of schuift de komma een plaats naar links), wanneer je een stapje verplaatst. Dat onthoud ik, omdat ik weet dat er 10cm een 1 decimeter gaan, of 10dm in 1m. Zo vind ik: 16 mm= 1,6 cm

4,6 m= 46 mm= 460 cm

15,7 hm= 1,57km

Bij de oppervlaktematen gaat het anders: daar gaat het steeds om twee nullen (of een verschuiving van de komma met twee plaatsen). Dat onthoud ik, omdat ik weet (zie!) dat er 100 dm² in een vierkante meter passen (of in een ruitjesschrift: 100 cm² in een vierkante decimeter.) Bij Bij een hectare ( ha) denk ik aan een vierkant van 100 bij 100 meter (ofwel 1 ha = 1 hm²) en dat onthoud ik weer omdat ik weet dat twee voetbalvelden samen pakweg 1 ha groot zijn. 2,5 cm²= 250 mm²

en 0,03 km²= 3 hm²= 3 ha

Bij inhoudsmaten gaat het om drie nullen (of een verschuiving van de komma met drie plaatsen). En ik weet dat 1 liter hetzelfde is als 1 dm³ (ooit gooit ik de inhoud van een literpak melk in een bakje van 1dm bij 1dm bij 1dm). Die liter hebben ze weer verdeeld net als bij de lengtematen dus: l --- dl --- cl --- ml, dus hier moet ik oppassen: hier gaat het weer om een nul (of een verschuiving van de komma met een plaats). Ik denk daarbij vaak aan de 1 deci <---> deel deca <---> 10 keer 10 1 centi <---> deel hecto <---> 100 keer 100 1 milli <---> deel kilo <---> 1000 keer 1000 0,05cm³ = 0,00005dm³ = 0,00005 l = 0,0005dl =0,005cl = 0,05ml of: 1 1 1cm ³= deel van 1 dm³ = deel van 11  1cm³ =1ml 1000 1000 1 1ml = deel van 11 1000 bladzijde 14


dus 0,05cm³ = 0,05ml

12 dl = 1,2l = 1,2 dm³ = 0,0012 m³

en 805 cl = 80,5 dl = 8,05 l

5.0 ( I) b. Het Deelerwoud is een natuurgebied ten noorden van Arnhem. Het ziet er op de kaart (schaal 1:100000) ongeveer zoals hieronder uit. Geef een schatting van de grootte van het Deelerwoud in hectares. Licht je antwoord duidelijk toe.

Uitwerking:

Laat ik op het kaartje eerst de oppervlakte van het natuurgebied bepalen. Ik kom op iets meer dan 9 hokjes van ieder 1 vierkante centimeter, laat ik zeggen dat op de kaart het Deelerwoud 10cm² is.

De schaal van de kaart is 1:100000 dat betekent dat in werkelijkheid iedere vierkante centimeter met 100000 wordt vergroot, dus zowel in de lengterichting als in de breedterichting, dus wordt het een vierkant van 1 kilometer bij 1 kilometer. Het Deelerwoud heeft dus een oppervlakte van 10 km². Nu nog naar hectares: ik weet dat 1 hectare overeenkomt met de oppervlakte van een vierkant van 100 bij 100 meter, dus 1 hm². Met een schetsje zie ik dat er 100 van dit soort vierkanten in 1 km² gaan.

bladzijde 15


De oppervlakte is dus 1000 hectaren. Navragen bij Natuurmonumenten gaf de ‘werkelijke’ oppervlakte: 1151 hectare; ik zit er dus niet zoveel naast. 5.0 (II)a.

Uitwerking:

5.0 ( II)

Uitwerking:

II

Het zwembad bij ons vakantiehotel is 18,5 meter lang en 8 meter breed. De diepte is 250 cm. Het is voor driekwart gevuld met water. Voor het verversen worden twee pompen gebruikt. Elke pomp kan ongeveer 5m³ per uur verzetten. Hoeveel tijd neemt het vullen van het bad ongeveer in beslag? Licht je antwoord duidelijk toe. Het bad is voor driekwart gevuld: voor de hoogte neem ik driekwart 1 x 240= 240- 60= 180) van 250cm en dat is ongeveer 180cm (240 4 Nu de inhoud in m³ uitrekenen: 18,5 x 8 x 1,8 m³ en dat is ongeveer 15 x 10 x 2 m³= 300 m³. In een kubieke meter gaat 1000 liter, dus gaat het om 300000 liter. Als beide pompen aan staan, wordt er per uur 10.000 liter aangevoerd; het vullen van het bad kost dus ongeveer 30 uur, meer dan een dag dus!

b.

Geef duidelijk aan of onderstaande uitspraken waar dan wel niet waar kunnen zijn:

I

In deze emmer gaat zeker wel 0,1 m³ water.

II

De vloer van dit klaslokaal is ongeveer 200 m² groot.

I

0,1 m³ water, hoeveel is dat eigenlijk in gewoon Nederlands. Ik ga uit van 1 m³ ofwel 1000 dm³, dat is 1000 liter. Maar dan is 0,1 m³ het tiende deel van 1000 liter, dus 100 liter. Zoveel gaat er natuurlijk nooit in een emmer, want die zou niet te tillen zijn. Immers 100 liter weegt 100 kg! Een vloer van 200 m². Probeer ik me daar iets bij voor te stellen, dan kom ik bijvoorbeeld 10 m bij 20 m. Dat lijkt meer op een gymzaal (waar altijd een volleybalveld van 9 m bij 18 m in past). Of 40 m bij 5 m, of 50 m bij 4 m; dat zijn lange gangen! Een normaal klaslokaal is veel kleiner, zeg hooguit ongeveer 80 m². Deze uitspraak klopt dus niet, tenzij ik nu in een collegezaal of gymzaal zit.

bladzijde 16


Categorie 6

Breuken

Omschrijving:

Tot deze categorie horen de volgende type opgave: Het vertalen van een formule waarin breuken voorkomen naar een realistische situatie. Een realistische situatie waarin breuken een rol spelen, omzetten in een formule. Optel-, aftrek-, vermenigvuldigen- en deelopgaven waarin breuken voorkomen, correct kunnen oplossen met gebruikmaking van de algoritmen.

Aantal onderdelen:

2

Typen:

-

Norm:

Onderdeel a goed: 2 punten Onderdeel b goed: 2 punten Men kan per onderdeel ook een gedeelte van de punten behalen.

Verwijzing:

Wiskunde & Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: Serie 11; Hoofdstuk 2: Serie 4; Serie 6; Serie 13. Hoofdstuk 3: Par. 3.1, opgave 9 en11; Par. 3.2, opgave 3,5,9 en 10 Hoofdstuk 4: Opgave 4a, 15, 24 en 27 Reken Maar: Breuken.

Vertalen van een formule waarin breuken een rol spelen in een realistische situatie en omgekeerd. - Optel-,aftrek-,vermenigvuldigen deelopgaven met breuken. - Plaatsen van breuken op de juiste plaats op de getallenlijn - Berekenen van optel-, aftrek-, vermenigvuldigen- en deelopgaven (Bij de deelopgaven wordt gewerkt met eenvoudige breuken en hebben de getallen met elkaar te maken)

bladzijde 17


Voorbeeldopgave 3 = Bedenk een reële situatie waaruit 4 bovenstaande opgave voorkomt. Licht je antwoord duidelijk toe.

6.0 ( I)

a.

Bereken de uitkomst van 2,25 :

Uitwerking:

a.

2,25 dat lijkt sterk op 2,25 meter,

3 3 lijkt op meter. Dan kan een 4 4

3 meter (75 cm) kan ik zagen uit een 4 lat van 2,25 meter? Of in timmermanstaal: ik moet een lat van 2,25 meter verzagen in latjes van 75cm. 3 x 75cm= 225cm. Dus er gaan 3 latjes uit. (als je tenminste de zaagsnede niet meerekent)

situatie zijn: hoeveel latjes van

6.0 ( I)

b.

Reken uit, (je hoeft alleen antwoorden te geven):

I.

2

II. III IV

Uitwerking:

I.

Uitwerking:

II.

1 1 ―1 = 4 2 1 3 3 x 4 = 8 2 1 1 12 :3 = 2 8 1 1 3 + 2 9 3 2

1 1 1 2 1 2 5 2 3 - =2 - 1 = 1 - = - = 4 2 4 4 4 4 4 4 4

1 27 126 3 9 3 x 4 = x = = 15 dat is wel heel erg formeel 8 2 8 16 16 2 opgelost, je kunt de som ook uitrekenen met het rechthoekmodel: 1 1 3 3 3 3 x 4 = 12 + 1 + = 15 8 2 2 16 16

3

bladzijde 18


6.0 ( II)

1 1 4 1 1 4 : 3 = 12 : 3 ;oh 3 gaat precies 4 keer in 12 2 8 8 8 8 8 dus de uitkomst is 4

III

12

IV.

3

1 1 1 3 5 + 2 =3 + 2 =5 9 3 9 9 9

1 1 x1 3 2 Bedenk een reële situatie waarin bovenstaande opgave voorkomt. Licht je antwoord duidelijk toe.

a.

Uitwerking:

Bereken de uitkomst van

1 1 x 1 =, als ik dat hardop lees, dan klinkt dat als éénderde maal 3 2 anderhalf of: het éénderde deel van anderhalf. Anderhalf dat zijn drie halven (denk maar aan anderhalve euro) dus het derde deel daarvan is dan één half. Het kan ook anders, met de regeltjes: 1 1 1 3 3 1 x1 = x = = 3 2 3 2 6 2

6.0 (III)

b.

Uitwerking:

Vul het juiste getal in bij de pijl. Licht je antwoord duidelijk toe

Als ik er een reële situatie bij bedenk, gaat dit vraagstuk gemakkelijker. 1 2 Bijvoorbeeld: één meter, meter  40 cm en meter  100 cm dus 1 5 7 70 cm ligt daar precies tussenin, dus meter. 10 Kan het ook in de breukentaal? 4 7 5 10 2 1= = en = dus ligt hier precies tussen in. 10 5 10 5 10 2 Natuurlijk kun je ook het gemiddelde uitrekenen van en 1. Hoe ging 5 dat ook alweer met dat regeltje, oh ja, optellen en delen door twee. Ik hoop wel dat ze me dat regeltje tijdens de didactieklessen nog eens inzichtelijk uitleggen. Nu maar het regeltje klakkeloos toepassen: 2 2 7 7 7 +1=1 = en :2= 5 5 5 5 10

bladzijde 19


Categorie 7

Ordenen en vergelijken van kommagetallen, breuken en procenten.

Omschrijving:

Bij deze categorie gaat het om het op volgorde zetten van breuken en kommagetallen (decimale getallen); ook moet kunnen worden Aangegeven welke plaats een getal heeft op de getallenlijn ten opzichte van andere getallen. Bij procenten gaat het niet om het rekenen (dat gebeurt in categorie 8), maar het kunnen vergelijken van percentages met breuken. Ook afronden op twee of drie decimalen nauwkeurig wordt gevraagd.

Aantal onderdelen:

2

Norm:

Onderdeel a goed: 2 punten, Onderdeel b goed: 2 punten, Men kan per onderdeel niet een gedeelte van de punten behalen.

Verwijzing:

Wiskunde & Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: Serie 7, opgave 1 en2; Serie 14, opgave 4. Hoofdstuk 2: Serie 1, opgave 4; Serie 8, opgave 2; Serie 12, opgave 4; Serie 14, opgave 5; Serie 16, opgave 1; Hoofdstuk 3: Par. 3.1, opgave 5 Reken Maar: Kommagetallen en cijferen met kommagetallen Getallen: Hoofdstuk 8.

bladzijde 20


Voorbeeldopgave: 7.0 ( I) a.

Welk getal ligt het dichtst bij 0,035? Licht je antwoord duidelijk toe. 1 3

Uitwerking:

1 30

0,04

0,0035

Er staan zowel breuken als kommagetallen, dat is lastig vergelijken. Als ik er overal kommagetallen van maak ontstaat het volgende: 1 = 0,33 3 1 = 0,033 (het tiende deel van de vorige) 30

0,33 ligt te ver van 0,035 0,033 ligt maar 0,002 af van 0,035 0,04 ligt 0,05 af van 0,035 0,0035 ligt te ver af van 0,035 dus 0,033 ligt het dichtst bij 0,035. Het antwoord is dus: 7.0 ( I)

Uitwerking:

b.

1 30

Rond het getal in het venster af op honderdsten nauwkeurig.

Het getal in het venster van de zakrekenmachine is 575.26649. Daarmee wordt bedoeld 575, 29649 want op rekenmachines werkt men met een punt in plaats van een komma ( dat is een Angelsaksische gewoonte en vanwege de oorspronkelijk Amerikaanse herkomst van deze machines overal ingeburgerd). Ik moet afronden op honderdsten nauwkeurig, dat wil zeggen dat in het antwoord nog precies twee cijfers achter de komma (punt) over mogen blijven, maar ik mag de laatste drie cijfers: 6,4 en 9 niet zomaar weg laten ( in dat geval spreekt men van afbreken). Bij afronden op honderdsten moet je kijken naar het cijfer dat de duizendsten aangeeft, in dit geval dus de 6. Ik vergeet steeds wanneer je nu precies naar beneden en wanneer naar boven afrondt, maar ik weet dat het eerlijk is geregeld. Dus dan schrijf ik alle mogelijke cijfers even op: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 en verdeel dat eerlijk in twee even grote groepjes: 0,1,2,3,4 en het andere groepje: 5,6,7,8,9. Hieruit zie ik dat alles tot en met de 4 nog naar beneden bladzijde 21


7.0 ( II) toe.

wordt afgerond, maar 5 of meer naar boven. In het voorbeeld stond een 6 dus naar boven afronden: de 9 honderdsten worden 10 honderdsten, maar dat kan niet, dus de 29 honderdsten worden 30 honderdsten. Conclusie: het afgeronde getal moet zijn 575.30 a. Zet op volgorde van groot naar klein. Licht je antwoord duidelijk 3 2 1 7 5 3 Breuken omzetten in kommagetallen gaat soms wel handig, 2 2 bijvoorbeeld bij , dan denk ik aan meter en dat is 40 cm = 0,4 m. 5 5 3 Maar kost me een hoop cijferwerk! 7 Door alle getallen te vermenigvuldigen met een vast getal blijft de onderlinge volgorde behouden, maar met welk getal kan ik dan het handigst vermenigvuldigen? 7x5x3= 35x3= 90 +15= 105 laat ik 100 eens proberen: 100 x 0,3 =30 3 300 280 20 100 x = = + – = 40 + 3 = 43 ( ongeveer, ik nam 7 7 7 7 21 20 maar even i.p.v. 7 7 2 100 x = 40 5 1 1 100 x = deel van 100= ongeveer 33 3 3 Nu is de volgorde duidelijk: 30 33 40 43 1 3 2 Dus weer met de oorspronkelijke getallen: 0,3 3 7 5 Nu de getallen zo netjes onder elkaar staan zie ik nog een andere Oplossing, namelijk door en verhoudingstabel te gebruiken. 0,3

Uitwerking:

0,3

1 3 3 10 3 2 1,5 5 3 2,1 1 4 2 2 3 5 43 40 33 30 Uit iedere regel van de tabel is de juiste volgorde te halen!

7.0 ( II)

3 7 30 7 15 7 3

2 5 4

b. Rond af op twee cijfers achter de komma: 5,005 0,995 34,64268 13,004721

bladzijde 22


Uitwerking:

5,005  5,01 34,6428  34,64

0,995  1,00 13,004721  13,00

bladzijde 23


Categorie 8

Procenten

Omschrijving:

Het woord procent komt oorspronkelijk uit het Italiaans (procento) en betekent letterlijk “op de honderd”. Daarmee wordt aangegeven dat het rekenen met een procenten een bijzondere vorm is van het werken met verhoudingen. Het zijn immers gestandaardiseerde verhoudingsmaten: zoveel procent van iets betekent altijd zoveel op de honderd. Procenten worden gebruikt om een deel van een geheel aan te duiden. Hierbij geeft het percentage aan om hoeveel op de honderd het gaat. Ook komen procenten voor in situaties waarbij het percentage begrepen moet worden als het vermenigvuldigen met een breuk waarvan de noemer gelijk aan 100 is. Bij het rekenen met procenten kun je veel baat hebben van de verhoudingstabel en de dubbele getallenlijn. Ook handig rekenen komt nog al eens voor.

Aantal onderdelen

3

Typen;

a: opgaven waarin berekend moet worden hoeveel een zeker percentage van iets is en opgaven waarin een percentage op grond van gegevens berekend moet worden. b: gevarieerde opgaven waarin procenten een rol spelen.

Norm:

3 onderdelen goed 4 punten, 2 onderdelen goed 2 punten, 1 onderdeel goed 1 punt, een onderdeel is pas goed wanneer ook de toelichting correct is

Verwijzing: Wiskunde & Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 2: Serie 8, opgave 1,3,4 en 5; Serie 16, opgave 2 en 3 Hoofdstuk 3: Par. 3.3, opgave 4,9,11 en 16 Par 3.4, opgave 9 Par 3.6 Hoofdstuk 4: Opgave 10,14,19 en 26 Reken Maar: Verhoudingen en procenten (par. II)

Voorbeeldopgave: 8.0 ( I)

Uitwerking:

Licht elk onderdeel duidelijk toe: a. Hoeveel 12,5% van € 256,-? Die € 256,- is het bedrag waarvan ik een percentage moet nemen, dus € 256,- staat voor 100%. Nu kan ik natuurlijk eerst 1% gaan berekenen, en het antwoord met 12,5 vermenigvuldigen, maar ik kijk eerst of het op een handige manier kan. De verhoudingstabel kan me daarbij helpen: Geldbedrag Percentage

€ 256 100% bladzijde 24

€ 128 50%

€64 25%

€32 12%


8.0 ( I)

Het antwoord is dus €32,Het kan natuurlijk ook sneller: ik weet dat 12,5 van iets hetzelfde is als 1 1 deel, ofwel x € 256,- = €256:8= €32,8 8 b. Bereken 100% als 0,4 % gelijk is aan € 13,-

Uitwerking:

Ik gebruik weer een verhoudingstabel: Geldbedrag Percentage

€ 13 0,4%

€ 130 4%

€650 20%

€ 3250 100%

Het antwoord is dus € 3250,Je kunt hier ook als volgt redeneren: 0,4% is € 13,- dus 0,1% is € 3,25 dan is 1% is € 32,50, zodat 100% € 3250,- is. 8.0 ( I)

c. Uitverkoop: 20% korting, staat er in etalage te lezen. Bij een artikel hangt een prijskaartje van € 320,Bereken de oorspronkelijke prijs.

Uitwerking:

Het bedrag van € 320,- is ontstaan door van de oude prijs ( die staat 100% ) 20% van die oude die prijs af te trekken. Dan staat € 320,- dus voor 80% van die oude prijs. Nu verder: Geldbedrag Percentage

€ 320 80%

€40 10%

€400 100%

De oude prijs was € 400,-. Even controleren: 20% van € 400,- is gelijk aan een vijfde deel van € 400,- en dat is € 80,-. De nieuwe prijs moet dus zijn €400,- - €80,- = €320,-. Klopt! Een andere aanpak gaat uit van het volgende plaatje: € 320,<-----------------------------------------------------> Door de korting van 20% hoef ik nog maar 80% van de oorspronkelijke prijs te 20% 20% 20% 20% betalen. <-----------------------------------------------------> 80% € 320,€ 80,Dat betekent dus dat de <------------------------------------><--------------> oorspronkelijke prijs 5x€80,- of € 80,€ 80,€80,€80,€80,€320,- + €80,- is geweest <------------------------------------------------------> 100% 8.0 ( II)

Licht elk onderdeel duidelijk toe: a. Bereken 120% van € 4,90

bladzijde 25


Uitwerking:

120%: dan moet het antwoord meer zijn dan €4,90 120% is hetzelfde als 100% + 20% dus krijg ik € 4,90 +20% van € 4,90 = €4,90+ 1/5 deel van €4,90= € 4,90+ €1,- - €0,02 = € 5,88

8.0 ( II)

b. 37,5% van een geldbedrag is gelijk aan € 24,30. Hoe groot is het geldbedrag?

Uitwerking:

37,5% is hetzelfde als 3x12,5% 1 3 Met andere woorden: 3 x deel = deel komt overeen met 8 8 1 € 24,30. Dan is deel gelijk aan €24,30:3=€8,10. Dus 100% 8 8 gelijk deel en dat is 8x € 8,10 = € 64,80. Natuurlijk kan het ook 8 weer met een verhoudingstabel.

8.0 ( II)

c. Iemand zet € 300,- op de bank tegen een rente van 6% per jaar. Hoeveel staat er na twee jaar op de bank, als de rente niet tussentijds wordt opgenomen?

Uitwerking:

Na 1 jaar krijg ik aan rente: 6% van €300,-= € 18,-. Dit bedrag wordt bijgeschreven op de rekening: € 318,Over dit bedrag ontvang ik opnieuw na het tweede jaar 6% rente, ofwel 6% van € 318,-= 6x3,18= € 19,08, zodat ik na twee jaar in totaal € 318,00+ € 19,08= € 337,08 op mijn rekening heb.

bladzijde 26


Categorie 9

Cijferen

Omschrijving:

Cijferen is kort gezegd rekenen-op-schrift dat voor iedere basisbewerking (optellen,aftrekken, vermenigvuldigen en delen) op een bepaalde manier gebeurt, namelijk volgens een standaardmethode onder elkaar. meestal wordt gecijferd als het om grotere getallen of kommagetallen gaat, waarmee niet eenvoudig (lees:handig) gerekend kan worden.

Aantal onderdelen:

4

Type:

Iedere bewerking komt eenmaal voor, soms als een zogenaamde stipsom of een vlekkensom.

Norm:

4 onderdelen goed: 3 onderdelen goed: 2 onderdelen goed: 1 of 0 onderdelen goed:

Verwijzing:

Wiskunde en Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: serie 7, opgave 5 Hoofdstuk 3: par. 3.2, opgave 6 en 7. Reken Maar: Cijferen met gehele getallen; Kommagetallen en cijferen met kommagetallen.


Cijferen: 20731 8279 ------- +

90004 .......... ------- 2566 Uitwerking:

111 20731 8279 ------- + 29010

90004 .......... -------- 2566 8999

4 punten 3 punten 1 punten 0 punt

1674 404 ----- x

30,3 / 1530,15 \

1674 404 ------ x 6696 669600+ 676296 Wat moet van 90004 worden afgetrokken om 2566 te krijgen? Dat is hetzelfde als 90004 – 2566= uit rekenen!

bladzijde 27


90004 2566 ------- 87438 Je kunt hier ook van onder naar boven rekenen: 90004 6+ .... = 4 .......... 6+ (8) = 14 -------- ------------2566 6+ 1 = 7 1111 7 + ... = 10 7 + (3) = 10 -------------6 + (4) = 10 -------------3 + (7) = 10 --------------1 + (8) = 9 Dus het antwoord is: 8 7 4 3 8

Om van de komma in 30,3 af te komen, heb ik beide getallen met 10 vermenigvuldigd; zie ook eigenschap GOK in categorie 1. 303/ 15301,5 \ 50,5 1515 ------- 151,5 151,5 ------ 0

bladzijde 28


Categorie 10

Meetkunde

Omschrijving:

Meetkunde kan allereerst gelezen worden als de kunde van het meten: het toekennen van getallen aan aspecten van de werkelijkheid, bijv: het huis is 6 hoog; hij loopt met een snelheid van ‘6’ enz. Deze interpretatie van het woord meetkunde valt hier onder categorie 5: meten. Een tweede interpretatie van het woord meetkunde heeft te maken met ruimte, zowel 3- als 2- dimensionaal. Men beschouwt daarin ruimtelijke aspecten van de werkelijkheid en legt die vast in ‘meetkundige plaatjes’. Men gebruikt die plaatjes om verbanden duidelijk te maken. Dat zie je ook terug in bouwplaten van ruimtelijke figuren ( bijv. kubussen), voor- en zijaanzichten en plattegronden. Het gaat hier dus om het ruimtelijk inzicht.

Aantal onderdelen:

1

Norm:

alles goed: 4 punten Men kan ook een gedeelte van de punten behalen.

Verwijzing:

Wiskunde & Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: serie 9. Hoofdstuk 2: serie 2, opgave 4 en 5; serie 5, opgave 2,3,4 en 5.

Voorbeeldopgave: 10.0 ( I) Hiernaast zie je het bovenaanzicht van een flatgebouw. De getallen in de tekening geven het aantal bouwlagen aan. Van het flatgebouw worden foto’s gemaakt. a. Foto 1 wordt genomen van voren. Maak een schets van hoe deze foto er uit zal zien . b. Foto 2 wordt genomen van links. Maak een schets van hoe deze foto er uit zal zien. Uitwerking:

a.

Als je het flatgebouw zou bouwen ziet het er zo uit: Bij een vooraanzicht doe je alsof je voor het gebouw staat. Je tekent de contouren van het bouwwerk, zonder rekening te houden met de diepte. Het is net als of het bouwwerk in de mist staat. Je ziet dan ook alleen maar de vage omtrekken van het bouwwerk. De contouren van dit bouwwerk worden dan bepaald door zijn hoogste punten:

bladzijde 29


b. Voor het linker zijaanzicht geldt

hetzelfde:

P.S. Het rechter-zijaanzicht ziet er gewoon zo uit: Dat is precies het gespiegelde van het linker zijaanzicht. Zo ook met voor- en achteraanzicht. Bovenaanzicht en plattegrond zijn hetzelfde. Denk daar maar eens over na!

10.0 ( II)

Hieronder vind je twee bouwplaten van een dobbelsteen. Vul de ogen van de dobbelsteen op juiste manier in. Twee tegenover elkaar liggende vlakken hebben samen steeds 7 ogen. De stand van de ogen speelt geen rol, Dus, beschouwen we hetzelfde als a.

Uitwerking:

a.

b.

De tegenover elkaar liggende vlakken zijn steeds samen 7, dus begin ik zo: ik neem in gedachte het vlak met drie erop als voorvlak en klap dan de vlakken met de 1 en de 6 erop naar achter.

bladzijde 30


Dan het achtervlak: dat is 4,...... en dan de twee zijkanten:

b.

De manier van redeneren is hetzelfde als bij onderdeel a. Oplossing:

bladzijde 31


10.0 ( III) Spekkie nr.2 kost 8 cent. Hoeveel kosten de andere spekjes? Licht je antwoord duidelijk toe.

Uitwerking:

Spekkie nr. 2 kost 8 cent, daar maak ik uit op dat ik de grootte (of oppervlakte) van de andere spekkies moet vergelijken met spekkie 2 om de prijs te weten. Spekkie 1 gaat 4 keer in spekkie 2 en kost dus 2 cent.

Spekkie 1 gaat 9 keer in spekkie 3 en kost dus 9 x 2 cent = 18 cent. Bij deze opgave gaat het er om dat je ziet dat je de oppervlakten van spekkie 1 en 3 kunt uitdrukken in die van 2. daarom is het uitrekenen van de oppervlakte van spekkie 2 en daarmee verder rekenen niet de bedoeling.

bladzijde 32


Categorie 11 Toepassingen Omschrijving:

Bij deze categorie gaat het om kritisch bekijken van berichten uit de krant en andere publicaties. Ook gaat het om het interpreteren van de grafische weergave evenals het zien van de verbanden tussen de in het artikel vermelde gegevens en de grafische weergave.

Aantal onderdelen:

1, 2 of 3

Norm:

Alles goed: 4 punten Men kan ook een gedeelte van de punten behalen.

Verwijzing;

Wiskunde & Didactiek, deel 0: Hoofdstuk 1: Serie 12; Serie 13, opgave 5; Serie 14, opgave1; Hoofdstuk 3: Par. 3.2, opgave 6 en 7; Reken Maar: Cijferen met gehele getallen; Kommagetallen en cijferen met kommagetallen.


Uitwerking:

Een kaars heeft een brandtijd van twee uur. Hij wordt om 19:00 uur aangestoken.

a.

Geef in onderstaande grafiek aan hoe de lengte van de kaars afneemt naarmate de tijd vordert. Geef in dezelfde grafiek aan op welk moment de kaars voor driekwart is opgebrand. Hoe laat is het dan?

a.

De kaars wordt om 19:00 aangestoken, dan heeft hij dus nog zijn volle lengte. Dat levert mij punt A op. Om 21:00, twee uur later, is de kaars

bladzijde 33


volledig opgebrand en heeft dus de lengte nul; dat levert me punt B op. Hoe zal het er tussendoor aan toe gaan? Het lijkt er op dat de grafiek een rechte lijn moet worden!

b

11.0 ( II)

Dat klopt ook, want in ieder vast tijdsverschil gaat er steeds evenveel van de lengte af. En dat betekent dat de grafiek een rechte lijn moet zijn. Nu nog de tijden bij de horizontale as zetten: van 19:00 uur tot 21:00 uur tel ik 16 stukjes. Twee uur staat voor 16 stukjes, 1uur voor 8 stukjes, een kwartier voor 2 stukjes. De hele kaars komt overeen met 12 stukjes langs de verticale as. Als hij voor driekwart is opgebrand, is er nog een kwart over en dat komt dan overeen met drie stukjes. In de grafiek lees ik dan af: 20:30 uur Ik had het ook zo kunnen beredeneren: in 2 uur de hele lengte opgebrand, in 1 uur dus de halve lengte, in een half uur dus een kwart van de lengte. Dan moet ik anderhalf uur wachten wil hij voor driekwart zijn opgebrand. Weer dus om 20:30 uur! Ik ben bankafschrift nr. 27 kwijt. Ik herinner mij nog wel dat er een cheque was afgeschreven van een cd van Mozart van € 42,- en dat mijn vader het geld voor het autowassen had gestort. Ik krijg daar altijd € 15,- voor. Hieronder zie je de bankafschriften nummer 26 en 28. Welk bedrag moet ik nu nog achterhalen, en was dat positief of negatief? Licht je antwoord duidelijk toe. Bankafschrift nr. 26 Datum 26.11.2003

Bankafschrift nr.28 Datum 30.11.2003

bladzijde 34

vorig saldo nieuw saldo

vorig saldo nieuw saldo

3442,75 2768,00

2704,50 3168,15


Uitwerking:

Als ik op bankafschrift 26 kijk, staan daar twee bedragen. Het bedrag achter vorig saldo is voor de vraagstelling niet interessant; het is ontstaan door uitgaven en inkomsten die op afschrift 25 stonden. Het bedrag achter nieuw saldo (€ 2768.-) is op bankafschrift 27 mijn vorig saldo geworden, dus het bedrag aan geld waar in deze opgave rekening mee moet worden gehouden is, € 2768,-. Die cd kostte me € 42,-. Dus ik had na die aankoop nog € 2768-€ 42=€ 2726 over. Het autowassen leverde me € 15 op, dat bedrag wordt dus bijgeschreven: € 2726 + € 15= € 2741. uit bankafschrift nummer 28 kan ik afleiden, dat het eindsaldo op afschrift nummer 27 gelijk was aan € 2704,50 want ik moet daar achter vorig saldo kijken. Maar dan heb ik blijkbaar nog een bedrag van € 2740 - € 2704,50 = € 36,50 uitgegeven om op het juiste bedrag te komen. Het onbekende bedrag is dus € 36,50 en het is negatief. Toch maar even controleren: Saldo: Af: CD BIJ: autowassen AF:onbekend

€ “ “ “ “ “ “

2768,00 42,00 2726,00 15,00 + 2741,00 36,50 2704,50

klopt!

bladzijde 35


Overzicht van soorten opgaven voor de 21+ rekentoets (voorbeeldtoets) 01. Hoofdrekenen I. (flexibel gebruik maken van eigenschappen van getallen en bewerkingen) Voorbeelden: Los elk van de volgende opgaven op door gebruik te maken van * eigenschappen van de getallen in de opgave en * eigenschappen van de bewerkingen. Het gaat dus niet om standaard methode die “altijd” tot een oplossing leiden. Geef steeds duidelijk aan welke methode je gekozen hebt. * 3489, 72 + 397,99 = * 399,9 + 126,7 = * 13,72 + 74,29 + 6,28 = * 998,17 – 99 = * 75465 – 2898 = * 5235 – 2197 = * 35 x 222 = * 25 x 297 = * 12,5 x 64 = * een derde deel van 3

*11:

3 = 8

3 : 4= 4

* een vijfde deel van 14

1 2

01 Hoofdrekenen II (schatten) Voorbeelden: * Een atleet loopt de marathon ( 42 km en 195 m) in 2 uur, 21 minuten en 35 sec. Maak een redelijke schatting van de gemiddelde snelheid van die loper in kilometer per uur. Licht je antwoord duidelijk toe. * Als alle 25000 deelnemers aan een demonstratie met bussen komen, levert dat een file op. Maak een schatting van de lengte van de file. Licht je antwoord toe. * Iemand tikt in op een zakrekenmachine: ( 715,348 + 589,2) x 4,555= Hij schrijft de uitkomst over op een blaadje, maar vergeet daarbij de komma. Op het blaadje staat 594221614 Wat moet de goede uitkomst zijn?

bladzijde 36


02 Verhoudingen Voorbeeld: * Op welke schaal is dit mannetje ongeveer getekend? * Hoe hoog is de lantaarnpaal in werkelijkheid ongeveer? * Caroline maakt roze verf door rode en witte verf te mengen. 3 Soort I maakt ze door 7 blikken witte verf blik rode verf te doen 4 1 Soort II maakt ze door bij 10 blikken witte verf 1 blik 5 rode verf te doen Welk mengsel heeft de donkerste kleur roze? * Op een bepaald tijdstip op een zonnige dag is mijn schaduw 225 cm lang. In mijn paspoort staat voor mijn lengte 1,80 m. Een boom is 6 meter hoog. Hoe lang is op hetzelfde tijdstip de schaduw van deze boom? * Een schaatser rijdt de 1500 meter in 2 min 15 sec. Wat is haar gemiddelde snelheid in kilometer per uur? 03 Rekenvaria Voorbeelden: * Je hebt de cijfers 1,2,3 en 4. Met deze cijfers ga je vermenigvuldigopgaven van 2 getallen samenstellen. Ieder cijfer gebruik je precies een keer. Bedenk de vermenigvuldiging met de grootste uitkomst. * Maak met behulp van de cijfers 4, 5, 7 en 8 een getal dat zo dicht mogelijk in de buurt van 6521 ligt. Ieder cijfer gebruik je precies een keer. * Vul op de stippeltjes +, -, x of : in, zo dat de som klopt: ( 126... 16) ... 245 = 1771 04 Meten Voorbeelden: * 16 mm = 805 cl =

cm l

4,6 m² = 0,05 cm³ =

cm² ml

0,03 km² =

ha

*

Geef aan of de onderstaande uitspraken waar of niet waar kunnen zijn: A: In een emmer gaat zeker wel 0,1 m³ water B: De vloer van een klaslokaal is ongeveer 200 m² groot

*

Jolanda heeft een stuk grond gekocht. Ze wil hier een gebouw neerzetten, waarin een sauna met zonnebank geplaatst kan worden. De afmetingen van het gebouw moet 9 m bij 8 m worden. Er wordt een bouwtekening gemaakt met schaal 1:25. Hoe groot zijn de afmetingen van het gebouw op de bouwtekening?

bladzijde 37


05 Breuken Voorbeelden: *

* *

bereken de uitkomst van 2,25:

Geef de uitkomst met een gewonen breuk (dus geen kommagetal) bedenk een reële situatie waarin bovengaande opgave voorkomt. Bereken en geef de uitkomst in gewone breuken: 2

1 1 -1 = 4 2

*

06

3

3 1 x4 = 8 2

12

1 1 :3 = 8 2

7,8 + 5

3 5

De getallen op onderstaande getallenlijn liggen op gelijke afstanden van elkaar. Welke getallen moeten er staan bij de vraagtekens (uitkomsten in gewone breuken) | | | | | 1 3 ? ? ? 3 5

Ordenen en vergelijken van kommagetallen,breuken en procenten Voorbeelden: *Welke van de onderstaande getallen ligt het dichtst bij 0,035? Licht je antwoord toe. 1 3

*

1 = 8

1 30

0,04

0,035

Rond het onderstaande getal af op honderdsten nauwkeurig: 575,234576 *Zet de onderstaande getallen op volgorde van klein naar groot: 0,3

1 3

2 5

3 7

bladzijde 38


07 Procenten 1 % van € 256,-? 2 *Bereken 100% als 0,4% gelijk is aan €13,*Uitverkoop: 20% korting! Bij een artikel hangt een prijskaartje van € 320,- Dat is de prijs die het nu(met korting)kost. Bereken de oorspronkelijke prijs (dus zonder korting) *Iemand zet € 300,- op de bank tegen een rente van 6% per jaar. De rente wordt steeds na een jaar berekend en op de bankrekening erbij gezet. Hoeveel staat er na 2 jaar op de bank als de rente niet tussentijds wordt opgenomen? Voorbeeld: *Hoeveel is 12

08 Cijferen Voorbeelden: * 20731 8279+

1674 404x

9004 ........

30,3/ 1530,15 \

09 Meetkunde Voorbeelden: *Hiernaast zie je een bovenaanzicht van een flatgebouw. De getallen in de tekening geven het aantal bouwlagen aan. Van het gebouw wordt een foto gemaakt vanaf de rechter zijkant. Doordat de foto met tegenlicht gemaakt is blijk je op de foto alleen het silhouet te zien. Schets hoe deze foto eruit ziet. *Hiernaast vind je de bouwplaat van een dobbelsteen. Twee tegenover elkaar liggende vlakken hebben op de dobbelsteen steeds samen 7 ogen. Vul op de bouwplaat de ogen zo in,dat dat klopt. *De beide kubussen die je hier naast ziet, zijn precies aan elkaar gelijk. Op de zijden staan letters S,H, I, X, V en O Schrijf vier paren letters op, steeds twee letters die tegenover elkaar staan.

bladzijde 39


10 Toepassingen Voorbeelden: *Een kaars heeft een brandtijd van twee uur. Hij wordt om 21.00 uur aangestoken. Maak een grafiek die aangeeft hoe de lengte van de kaars afneemt naar mate de tijd vordert. Zet een kruisje in de grafiek op het punt waar de kaars voor driekwart is opgebrand. Hoe laat is het dan? *Ik ben bankafschrift nr 27 kwijt. Ik weet zeker dat er een cheque was afgeschreven van een CD van € 42,- en dat mijn moeder het geld voor het autowassen heeft gestort. Ik krijg daar altijd € 15,- voor. Op bankafschrift nr. 26 staat: Vorig saldo € 3442,75 Nieuw saldo € 2768,00 Op bankafschrift nr 28. staat:

Vorig saldo € 2704,50 Nieuw saldo € 3168,15

Welk bedrag moet ik nog achterhalen? Heb ik dat bedrag ontvangen of uitgegeven?

bladzijde 40


Antwoorden van voorbeeldopgaven voor de 21+ rekentoets 01. Hoofdrekenen I. (flexibel gebruik maken van eigenschappen van getallen en bewerkingen) * 3489, 72 + 397,99 = 3487,71 + 400 = 3887,71 * 399,9 + 126,7 = 400 + 126,6 = 526,6 * 13,72 + 74,29 + 6,28 = 20 + 74,29 = 94,29 * 998,17 – 99 = 999,17 – 100 = 899,17 * 75465 – 2898  75465 – 3000 + 102 = 72465 + 102 = 72567 * 5235 – 2197 = 5238 – 2200 = 3038 * 35 x 222 = 70 x 111 = 7770 * 25 x 297 = 25 x 300 – 25 x 3 = 7500 – 75= 7425 * 12,5 x 64 = 25 x 32= 100 x 8= 800 * een derde deel van 3

3 3 1 = een derde deel van 3 + een derde van = 1 8 8 8

1 15 1 3 : 4 = (12 - ) : 4 = 3 =2 4 16 16 4

*11

* een vijfde deel van 14

1 1 1 9 – = een vijfde van 15 - een vijfde van =3–=2 2 2 10 10

02 Hoofdrekenen II (schatten) * Hij loopt iets meer dan 42km in iets meer dan 2 Km Uur

42 1 2 3 Dus 18 km/uur

126 7

1 uur. In verhoudingstabel: 3

18 1

*

Stel 50 deelnemers per bus, dan heb je 25000:50=500 bussen. Als een bus 15 m lang is en er wordt steeds 2 m afstand tussen de bussen gelaten nemen ze achter elkaar 17x500=8500 m ruimte in beslag. Als de file in een rij staat heb je dus 8,5 km file.

*

Schatten: ongeveer (700 +600) x 5 = 1300 x 5= 6500 Het moet dus 5942,21614 zijn.

bladzijde 41


03 Verhoudingen * Op het plaatje is het mannetje 2,5 cm lang. Als hij in het echt 1,80 cm lang is, is de schaal 2,5:180 = 5 : 360= 1: 72 *Op het plaatje is de paal 6,5 cm hoog. Bij een schaal van 1:72 is dat in het echt 6,5x72= 468 cm, dus ongeveer 4,7 m hoog. * 2 verhoudingstabellen: Soort I Wit Rood

7 3 4

28 3

56 6

Soort II heeft op 6 blikken rood het minste wit en is dus het donkerste roze. Wit Rood

10 1 1 5

50 6

*Verhoudingstabel: Lengte Schaduw

180 225

60 75

600 750

De lengte van de schaduw is 7,50 m *Verhoudingstabel: Afstand 1500m 6000m 2000m 40000m Tijd 9 min 3 min 60 min 1 2 min 4 De snelheid is 40km/uur

40km 1 uur

04 Rekenvaria * De vermenigvuldiging met de grootste uitkomst is 32 x 41 *5874 ligt er het dichtst bij ( 126 x 16) – 245 = 1771 05 Meten * 16mm = 1,6 cm 805 cl = 8,05 l

4,6 m² = 46000 cm² 0,05 cm³ = 0,05 ml

0,03 km² = 3 ha

* Geef aan of de onderstaande uitspraken waar of niet waar kunnen zijn: A: In een emmer gaat zeker wel 0,1 m³ water. Kan niet. (101 = 0,01 m³) B: De vloer van een klaslokaal is ongeveer 200 m² groot. Kan wel, maar is erg groot (14 m bij 14 m= 196 m²) * 36 cm bij 32 cm

bladzijde 42


06 Breuken 3 –=3 4 Hoeveel stukken touw van driekwart meter kan je knippen van 2,25 m touw?

* 2,25:

*2

1 1 3 -1 = 4 2 4

| 1 3

| 2 5

3

3 5 1 x 4 = 16 8 16 2

|

|

7 15

8 15

12

1 1 :3 =4 2 8

7,8 + 5

3 2 = 13 5 5

| 3 5

07 Ordenen en vergelijken van kommagetallen, breuken en procenten 1 = 0,3333 3 Dus

1 = 0,03333 30

0,04

0,035

1 ligt het dichtst bij 0,035 30

* 575, 234576 is ongeveer 575, 23 * Zo staan de getallen van groot naar klein. 0,3

1 = 0,33 3

2 = 0,40 5

3 = 0,43 7

08 Procenten * 12,5% van € 256,- = € 32,* 0,4% is gelijk aan € 13,- dan is 100% gelijk aan € 3250,* De oorspronkelijke prijs (dus zonder korting) is € 400,* Na 2 jaar staat er € 337,08 op de bank 09 Cijferen * 20731 8279 ------- + 29010

1674 404 ------ x 676296

9004 6438 ------ 2566

bladzijde 43

30,3/ 1530,15 \ 50,5


10 Meetkunde

* Zijaanzicht van rechts af gezien Voorbeeld hoe dobbelsteen kan zijn gevuld * De drie paren letters zijn S-H; I-X en V-O

11 Toepassingen

* 3 opgebrand 4 * Je hebt nog € 36,50 uitgegeven

Om 22.30 is de kaars voor

bladzijde 44

Informatie PABO. 21+ rekenen

Recommend Documents