Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných

Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Robert Mařík 12. září 2006

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Obsah z = x4 + y4 − 4xy + 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 z = x2 y2 − x2 − y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 z = y ln(x2 + y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4 − 4xy + 30 zx′ =4x3 − 4y = 0, 4x3 − 4y = 0, 4y3 − 4x = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , 0 H(S1 ) = −4 16 H(S2 ) = −4 16 H(S3 ) = −4 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,

x(x8 − 1) = 0. Případ 2: Případ 3: x = 1, y = 1 x = −1, y = −1 S2 = [1, 1], S3 = [−1, −1]. = −4, z′′yy = 12y2 .

z′′xy −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] 0 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] 16

c


Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4 − 4xy + 30 zx′ =4x3 − 4y = 0, 4x3 − 4y = 0, 4y3 − 4x = 0.

zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , z′′xy 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = −4 0 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S2 ) = • Vypočteme derivace. −4 16 parciální 16 −4 =podle x 16 považujeme y za vkonstantu naopak. H(S•3 ) Při = derivování 162 − > 0, lok. min. bodě [−1,a −1] −4 16 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , z′′xy 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = −4 0 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S2 ) = −4 16 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] H(S3 ) = −4 16 body. Hledáme stacionární ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , z′′xy 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = −4 0 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S2 ) = −4 16 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] H(S3 ) = −4 16 kterou Toto je soustava, řešíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , z′′xy 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = −4 0 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S2 ) = −4 16 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] H(S3 ) = −4 16 Osamostatníme y z první rovnice. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , z′′xy 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = −4 0 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S2 ) = −4 16 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] H(S3 ) = Dosadíme−4 za y 16 do druhé rovnice. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4 − 4xy + 30 zx′ =4x3 − 4y = 0, 4x3 − 4y = 0, 4y3 − 4x = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , 0 H(S1 ) = −4 16 H(S2 ) = −4 16 H(S3 ) = Upravíme.−4 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


z′′xy −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] 0 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] 16

c


Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4 − 4xy + 30 zx′ =4x3 − 4y = 0, 4x3 − 4y = 0, 4y3 − 4x = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , 0 H(S1 ) = −4 16 H(S2 ) = −4 16 H(S3 ) = Rozložíme−4 na ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


z′′xy −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] 0 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] 16 −4 2 = 16 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] 16 součin.

c



zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , z′′xy 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = • Buď −4 x = 0,0 nebo (x8 − 1) = 0. 16 −4 = 162 − H(S2 ) = 8 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] • Druhý −4 případ 16 dává x = 1 a x = ±1. 16 −4 = tři tedy H(S•3 ) Uvažujme = 162různé − 16případy > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] −4 16 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



zy′ =4y3 − 4x = 0, 4(x3 )3 − 4x = 0, y=x

3

4x9 − 4x = 0,


Případ 1: x = 0, y = 0 S1 = [0, 0], z′′xx = 12x2 , z′′xy 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = −4 0 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S2 ) = −4 16 odpovídající 3 16 −4 y ke 2 každému x (y = x ). Dostáváme tři Najdeme H(S3 ) = = 16 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] −4 16 stacionární body. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4 − 4xy + 30 zy′ =4y3 − 4x = 0, zx′ =4x3 − 4y = 0, S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [−1, −1]. z′′xx = 12x2 , z′′xy = −4, z′′yy = 12y2 . 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = −4 0 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S2 ) = −4 16 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] H(S3 ) = −4 16 • Funkce má tři stacionární body. • Kvalitu těchto stacionárních bodů vyšetříme pomocí druhé derivace a Hessiánu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4 − 4xy + 30 zy′ =4y3 − 4x = 0, zx′ =4x3 − 4y = 0, S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [−1, −1]. z′′xx = 12x2 , z′′xy = −4, z′′yy = 12y2 . 0 −4 = −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S1 ) = −4 0 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S2 ) = −4 16 16 −4 = 162 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1] H(S3 ) = −4 16

• Vypočteme Hessián ve stacionárním bodě S1 . • Hessián je záporný a funkce v tomto bodě nemá lokální extrém. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



• V bodě S2 je Hessián kladný a funkce zde má lokální extrém. • Protože z′′xx = 16 > 0, funkce má v bodě S2 lokální minimum. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



• Hessián je kladný v bodě S3 a funkce zde tedy má lokální extrém. • Protože z′′xx = 16 > 0, má funkce v bodě S3 lokální minimum. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



Hotovo! ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Najděte lokální extrémy funkce z = x2 y2 − x2 − y2 zx′ = y2 (x2 )x′ − (x2 )x′ = y2 2x − 2x = 2x(y2 − 1) zy′ = x2 (y2 )y′ − (y2 )y′ = x2 2y − 2y = 2y(x2 − 1) zx′ =2x(y2 − 1) = 0;

zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1

Případ 3: y = −1

2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1]

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] Budeme hledat parciální derivace. z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 ⊳ ⊲ ⊲⊲

⊳⊳

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] Derivujeme nejprve podle x. Derivujeme podle pravidla pro derivaci součtu a konstantního násobku. z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] Vypočteme derivace. z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 ⊳ ⊲ ⊲⊲

⊳⊳

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] Podobně derivujeme podle y. z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 ⊳ ⊲ ⊲⊲

⊳⊳

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] Vypočteme jednotlivé derivace. z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 ⊳ ⊲ ⊲⊲

⊳⊳

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1

c


Najděte lokální extrémy funkce z = x2 y2 − x2 − y2 zx′ =2x(y2 − 1) = 0;

zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy z′′yy = 2(x2 − 1)(y)y′ = 2(x2 − 1) · 1 z′′xx = 2(y2 − 1);

z′′xy = 4xy;

z′′yy = 2(x2 − 1)

Máme první derivace, které použijeme pro hledání stacionárních bodů. −2 0 0 4 c ⊳ ⊲

Robert Mařík, 2006 × ⊲⊲

⊳⊳

Najděte lokální extrémy funkce z = x2 y2 − x2 − y2 zy′ =2y(x2 − 1) = 0

zx′ =2x(y2 − 1) = 0; Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0


z′′xy = 4xy;

Položíme derivace rovny nule. −2 0 ⊳ ⊲ ⊲⊲

⊳⊳

z′′yy = 2(x2 − 1) 0 4

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy • Řešíme soustavu nelineárních rovnic z′′yy = 2(x2 − 1)(y)y′ = 2(x2 − 1) · 1 • Začneme s první rovnicí. z′′xx = 2(y2 − 1); z′′xy = 4xy; z′′yy = 2(x2 − 1) • Tato rovnice je ve tvaru “součin rovná se nule”. −2 0 0 4 c ⊳⊳ ⊳ ⊲



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy ′′ 2 ′ 2 − 1)(y) − 1) · 1 musí být nula. yy = 2(x na y = 2(x • Jeden ze zsoučinitelů levé straně první rovnice 2 z′′xx •= Budeme 2(y2 − 1); z′′xy odděleně = 4xy; případy, z′′yykdy = 2(x − zpracovávat x= 0 a1)(y2 − 1) = 0, t.j., y = ±1. −2 0 0 4 c ⊳⊳ ⊳ ⊲



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy z′′yy = 2(x2 − 1)(y)y′ = 2(x2 − 1) · 1 • Případ 1. z′′xx = 2(y2 − 1);

⊳⊳

z′′xy = 4xy;

• Dosadíme x = 0 do druhé rovnice. −2 0 ⊳ ⊲ ⊲⊲

z′′yy = 2(x2 − 1) 0 4

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0


z′′xy = 4xy;

z′′yy = 2(x2 − 1)

Najdeme y. stacionární bod S1 . Dostáváme −2 0 0 4 ⊳ ⊲ ⊲⊲

⊳⊳

c



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy z′′yy = 2(x2 − 1)(y)y′ = 2(x2 − 1) · 1 • Podobně pro Případ 2. z′′xx = 2(y2 − 1); z′′xy = 4xy; z′′yy = 2(x2 − 1) • Dosadíme y = 1 do druhé rovnice. −2 0 0 4 c ⊳⊳ ⊳ ⊲



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy z′′yy = 2(x2 − 1)(y)y′ = 2(x2 − 1) · 1 • Vyřešíme vzhledem′′k x. z′′xx = 2(y2 − 1); zxy = 4xy; z′′yy = 2(x2 − 1) • Dostáváme dvě řešení a tedy i dva stacionární body. −2 0 0 4 c ⊳⊳ ⊳ ⊲



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy z′′yy = 2(x2 − 1)(y)y′ = 2(x2 − 1) · 1 • Podobně Případ 3. ′′ z′′xx = 2(y2 − 1); zxy = 4xy; z′′yy = 2(x2 − 1) • Dosadíme y = −1 do druhé rovnice. −2 0 0 4 c ⊳⊳ ⊳ ⊲



zy′ =2y(x2 − 1) = 0

Případ 1: x = 0

Případ 2: y = 1


2y(0 − 1) = 0

2(x2 − 1) = 0

−2(x2 − 1) = 0

y=0 x2 = ±1 x2 = ±1 S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy z′′yy = 2(x2 − 1)(y)y′ = 2(x2 − 1) · 1 • Řešíme kvadratickou rovnici pro x. ′′ z′′xx = 2(y2 − 1); z′′xy = 4xy; zyy = 2(x2 − 1) • Máme dvě řešení a dva další stacionární body. −2 0 0 4 c ⊳⊳ ⊳ ⊲


Najděte lokální extrémy funkce z = x2 y2 − x2 − y2 zy′ =2y(x2 − 1) = 0 zx′ =2x(y2 − 1) = 0; S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1)(x)x′ = 2(y2 − 1) · 1 z′′xy = 2x(y2 − 1)y′ = 2x · (2y + 0) = 4xy z′′yy = 2(x2 − 1)(y)y′ = 2(x2 − 1) · 1 z′′xx = 2(y2 − 1); −2 H(S1 ) = 0

z′′xy = 4xy;

0 =4>0 −2

z′′yy = 2(x2 − 1) 0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

Celkem má funkce pět stacionárních bodů. Nyní budeme vyšetřovat tyto body pomocí 0 −4 0 4 druhé derivace. . = −16 < 0 H(S ) = = −16 < 0 H(S ) = 5 c ⊳⊳ ⊳2 ⊲



z′′xy = 4xy;

0 =4>0 −2

z′′yy = 2(x2 − 1) 0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

z ′ podle Derivujeme x a upravíme. 0 x4 0 H(S ) = = −16 < 0 H(S ) = 5 ⊳⊳ ⊳2 ⊲ ⊲⊲

−4 <Mařík, 0 2006 × c

Robert = −16


z′′xy = 4xy;

0 =4>0 −2

z′′yy = 2(x2 − 1) 0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

z ′ podle Derivujeme y a upravíme. 0 x4 0 H(S ) = = −16 < 0 H(S ) = 5 ⊳⊳ ⊳2 ⊲ ⊲⊲

−4 <Mařík, 0 2006 × c

Robert = −16


z′′xy = 4xy;

0 =4>0 −2

z′′yy = 2(x2 − 1) 0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

z ′ podle Derivujeme y a upravíme. 0 y4 0 H(S ) = = −16 < 0 H(S ) = 5 ⊳⊳ ⊳2 ⊲ ⊲⊲

−4 <Mařík, 0 2006 × c

Robert = −16

Najděte lokální extrémy funkce z = x2 y2 − x2 − y2 zy′ =2y(x2 − 1) = 0 zx′ =2x(y2 − 1) = 0; S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [−1, 1]; S4 = [1, −1]; S5 = [−1, −1] z′′xx = 2(y2 − 1); z′′xy = 4xy; z′′yy = 2(x2 − 1) −2 H(S1 ) = 0

0 =4>0 −2

0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

0 4 0 −4 Použijeme druhé derivace pro testování stacionárních na<existenci bodů H(S2 ) = = −16 < 0 H(S5 ) = = −16 0 4 0 extrému. Začneme bodem −4 0 S1 a vypočteme Hessián a kvalitu lokáního ′′ ′′ −2 0 H(S1 ) = zxx zxy = 4 > 0. = ′′ 0 −4 z′′ 0 −2 =xy−16zyy [x,y]=[0,0] H(S3 ) = < 0 −4 0 V bodě S1 má funkce lokální maximum. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



0 H(S2 ) = 4

0 =4>0 −2

4 = −16 < 0 0

0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

0 −4 = −16 < 0 H(S5 ) = −4 0

0 z′′xx z′′xy H(S ) = = 0 −4 2 ′′ ′′ 4 = zxy H(S3 ) = −16z< yy0[x,y]=[1,1] −4 0 V bodě S2 není lokální extrém. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

4 = −16 < 0 0

c



0 H(S2 ) = 4

0 =4>0 −2

4 = −16 < 0 0

0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

0 −4 = −16 < 0 H(S5 ) = −4 0

′′ z xx z′′xy 0 −4 = −16 < 0 H(S03 ) =−4 = z ′′= −16 0 z′′yy< −4 0 H(S3 ) = xy [x,y]=[−1,1] −4 0 V bodě S3 není lokální extrém. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



0 H(S2 ) = 4

0 =4>0 −2

4 = −16 < 0 0

0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

0 −4 = −16 < 0 H(S5 ) = −4 0

0 z′′xx z′′xy H(S ) = = 0 −4 4 ′′ ′′ z=xy−16zyy H(S3 ) = < 0[x,y]=[1,−1] 4 −4 0 V bodě S4 není lokální extrém. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

4 = −16 < 0 0

c



0 H(S2 ) = 4

0 =4>0 −2

4 = −16 < 0 0

0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

0 −4 = −16 < 0 H(S5 ) = −4 0

′′ zxx 0 −4 z′′xy = −16 < 0 H(S05 ) =−4 = z′′ = −16 z′′yy < −4 0 H(S3 ) = 0 xy [x,y]=[−1,−1] −4 0 V bodě S5 není lokální extrém. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



0 H(S2 ) = 4

0 =4>0 −2

4 = −16 < 0 0

0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

0 −4 = −16 < 0 H(S5 ) = −4 0

• Jediný lokální extrém je v bodě S1 = [0, 0]. Jedná se o lokální maximum. 0 −4 = −16 < 0 H(S3 ) = −4 stacionární 0 • Ostatní body jsou sedlové body. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



0 H(S2 ) = 4

0 H(S3 ) = −4 Hotovo! ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

0 =4>0 −2

4 = −16 < 0 0

0 4 = −16 < 0 H(S4 ) = 4 0

0 −4 = −16 < 0 H(S5 ) = −4 0

−4 = −16 < 0 0 c


Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y). Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y > 0} y 2xy = 0, zy′ = ln(x2 + y) + 2 =0 zx′ = 2 x +y x +y 2xy = 0 CASE 1: x = 0 CASE 2: y = 0 y = 0, y ln y = −1,

ln y +

ln(x2 ) = 0 x2 = e0 = 1 x = ±1

y = e−1

S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ] S1 = [0, e−1 ],

⊳⊳

z′′xx = ⊳

⊲

S2 = [1, 0],

2y(x2 + y) − 2xy2x , ⊲⊲ (x2 + y)2

S3 = [−1, 0]

z′′xx =

2y2 − 2yx2 , c Mařík, 2006 × (x2 + y)2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y). Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y > 0} y 2xy = 0, zy′ = ln(x2 + y) + 2 =0 zx′ = 2 x +y x +y 2xy = 0 CASE 1: x = 0 CASE 2: y = 0 y = 0, y ln y = −1,

ln y +

y = e−1

x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ] S1 = [0, e−1 ],

ln(x2 ) = 0

S2 = [1, 0],

S3 = [−1, 0]

The ′′ln(·) function restrictions to the′′ domain the 2function. 2y(x2 + yields y) − 2xy2x 2y2 of − 2yx zxx = , , z = xx c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y). Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y > 0} 2xy y =0 zx′ = 2 = 0, zy′ = ln(x2 + y) + 2 x +y x +y 2xy = 0 CASE 1: x = 0 CASE 2: y = 0 y = 0, ln(x2 ) = 0 y x2 = e0 = 1 ln y = −1, We find the partial derivatives. Differentiating withx respect = ±1 to x we use y = e−1 the constant multiple rule, since in the product y ln(x2 + y) the factor y is treated as a constant. The chain the[−1, function S2 rule = [1,follows, 0] andsince S3 = 0] . −1 2 [0, e S1 = ln(x + y) is ]a composite function with inside function (x2 + y). S1 = [0, e−1 ], S2 = [1, 0], S3 = [−1, 0] 1 2 ′ 2 ′ (2x + 0) (y ln(x + y))x = y(ln(x + y))x = y 2 x +y 2 2 2y(x + y) − 2xy2x 2y − 2yx2 ′′ z′′xx = , , z = xx c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert ln y +

Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y). Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y > 0} 2xy y zx′ = 2 = 0, zy′ = ln(x2 + y) + 2 =0 x +y x +y 2xy = 0 CASE 1: x = 0 CASE 2: y = 0 y = 0, y ln y = −1,

ln y +

y = e−1 S1 = [0, e−1 ]

ln(x2 ) = 0 x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ], S2 = [1, 0], S = [−1, 0] Differentiating with respect to y we use the3product rule, since both factors y and ln(x2 + y) are functions (x is treated as a constant and y as ′′a variable). 2y(x2 + y) − 2xy2x 2y2 − 2yx2 ′′ zxx = , , z = xx c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y). Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y > 0} 2xy y zx′ = 2 = 0, zy′ = ln(x2 + y) + 2 =0 x +y x +y 2xy = 0 CASE 1: x = 0 CASE 2: y = 0 y = 0, y ln y = −1,

ln y +

y = e−1

x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ] S1 = [0, e−1 ],

ln(x2 ) = 0

S2 = [1, 0],

S3 = [−1, 0]

2 2 To find stationary we put the derivatives equal to zero. 2y(x2 +points y) − 2xy2x 2y − 2yx ′′ z′′xx = , , z = xx c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y). Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y > 0} 2xy y = 0, zy′ = ln(x2 + y) + 2 =0 zx′ = 2 x +y x +y 2xy = 0 CASE 1: x = 0 CASE 2: y = 0 y = 0, y ln y = −1,

ln y +

y = e−1 S1 = [0, e−1 ]

ln(x2 ) = 0 x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

−1 S1 =• [0, ], with the S2first = [1, 0], S3 = [−1, 0] Wee start (simpler) equation.

⊳⊳

• The fraction equals zero iff the numerator is zero. 2y(x2 + y) − 2xy2x 2y2 − 2yx2 ′′ z′′xx = , , z = xx c ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert


ln y +

y = e−1

ln(x2 ) = 0 x2 = e0 = 1 x = ±1

S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] . −1 S1 = [0, eensure ] that a product is zero, (at least) one of the factors has • To −1 S1 = [0, ], S2 = [1, 0], S3 = [−1, 0] to ebe zero.

⊳⊳

• We distinguish two possible cases. 2y(x2 + y) − 2xy2x 2y2 − 2yx2 ′′ z′′xx = , , z = xx c ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert


ln y +

y = e−1

x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ] S1 = [0, e−1 ],

ln(x2 ) = 0

S2 = [1, 0],

S3 = [−1, 0]

We substitute the second equation and 2y(xx2 = + 0y)into − 2xy2x 2y2simplify. − 2yx2 ′′ z′′xx = , , z = xx c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert


ln y +

y = e−1

x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ] S1 = [0, e−1 ],

ln(x2 ) = 0

S2 = [1, 0],

S3 = [−1, 0]

2 The ′′inverse2y(x function function is an exponential + y)to − ln 2xy2x 2y2 −function. 2yx2 ′′ zxx = , , z = xx c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert


ln y +

y = e−1 S1 = [0, e−1 ]

ln(x2 ) = 0 x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ], S2 = [1, 0], S3 = [−1, 0] • We have the stationary point S1 = [0, e−1 ]. We check that S1 ∈ Dom(f). 2y(x2 + y) − 2xy2x 2y2 − 2yx2 ′′ z′′xx = , , z = xx c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert


ln y +

y = e−1 S1 = [0, e−1 ] −1 S1 =• [0, ], to theS2Case = [1, Wee return 2.0],

⊳⊳

ln(x2 ) = 0 x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] . S3 = [−1, 0]

• We put y = 0 into the red equation. 2y(x2 + y) − 2xy2x 2y2 − 2yx2 ′′ z′′xx = , , z = xx c ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert


ln y +

ln(x2 ) = 0 x2 = e0 = 1 x = ±1

y = e−1

S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ] S1 = [0, e−1 ],

S2 = [1, 0],

2 2y(x + solve y) − 2xy2x We isolate x2 and for x. z′′xx = , 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ (x + y)2

S3 = [−1, 0]

z′′xx =

2y2 − 2yx2 , c Mařík, 2006 × (x2 + y)2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y). Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y > 0} 2xy y =0 zx′ = 2 = 0, zy′ = ln(x2 + y) + 2 x +y x +y 2xy = 0 CASE 1: x = 0 CASE 2: y = 0 y = 0, y ln y = −1,

ln y +

y = e−1

x2 = e0 = 1 x = ±1 S2 = [1, 0] and S3 = [−1, 0] .

S1 = [0, e−1 ] S1 = [0, e−1 ],

ln(x2 ) = 0

S2 = [1, 0],

S3 = [−1, 0]

2 We have two stationary belong 2y(x + y) − points. 2xy2x We check ′′that both 2y2 − 2yx2 to Dom(f). z′′xx = , , z = xx c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × (x2 + y)2 (x2 + y)2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y). 2xy y = 0, zy′ = ln(x2 + y) + 2 =0 x2 + y x +y −1 S1 = [0, e ], S2 = [1, 0], S3 = [−1, 0]

zx′ =

z′′xx =

2y(x2 + y) − 2xy2x , (x2 + y)2

2x(x2 + y) − 2xy , (x2 + y)2 x2 + y − y 1 . + = 2 x +y (x2 + y)2

z′′xx =

2x3 , + y)2 x2 1 . + 2 = 2 x + y (x + y)2

z′′xy =

z′′xy =

z′′yy

z′′yy

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2 2x3 Up to z′′xynow = we2 have 2this. , (x + y) ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ z′′xx =

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2 (x2

2 H(S1 ) = 0 0 H(S2 ) = 2

0 > 0, e 2 = −4 < 0, 2

c



zx′ =

z′′xx =

2y(x2 + y) − 2xy2x , (x2 + y)2

2x(x2 + y) − 2xy , (x2 + y)2 x2 + y − y 1 . + = 2 x +y (x2 + y)2

z′′xx =

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2

2x3 , + y)2 x2 1 . + 2 = 2 x + y (x + y)2

z′′xy =

z′′xy =

z′′yy

z′′yy

(x2

2 2y2 − 2yx2 z′′xx = , H(S1 ) = 2 2 (x + y) 0 We will use the second derivative test to recognize, 3 2x at the stationary points. 0 extremum z′′xy = appears , H(S2 ) = 2 + y)2 (x 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

0 > 0, e whether a local 2 = −4 < 0, 2

c



zx′ =

z′′xx =

2y(x2 + y) − 2xy2x , (x2 + y)2

2x(x2 + y) − 2xy , (x2 + y)2 x2 + y − y 1 . + = 2 x +y (x2 + y)2

z′′xx =

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2

2x3 , + y)2 x2 1 . + 2 = 2 x + y (x + y)2

z′′xy =

z′′xy =

z′′yy

z′′yy

(x2

2 0 2y2 − 2yx2 > 0, , H(S1 ) = (x2 + y)2 0 e 2x3z ′ with respect to x. This gives z0′′ .2 ′′ We zdifferentiate x , H(S2 ) = xx = −4 < 0, xy = (x2 + y)2 2 2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 × z′′xx =


zx′ =

z′′xx =

2y(x2 + y) − 2xy2x , (x2 + y)2

2x(x2 + y) − 2xy , (x2 + y)2 x2 + y − y 1 . + = 2 x +y (x2 + y)2

z′′xx =

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2

2x3 , + y)2 x2 1 . + 2 = 2 x + y (x + y)2

z′′xy =

z′′xy =

z′′yy

z′′yy

(x2

2 0 2y2 − 2yx2 > 0, , H(S1 ) = (x2 + y)2 0 e 2x3z ′ with respect to y. This gives 0z′′ 2. ′′ We zdifferentiate x xy = −4 < 0, , H(S2 ) = xy = (x2 + y)2 2 2 Robert c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × z′′xx =


zx′ =

z′′xx =

2y(x2 + y) − 2xy2x , (x2 + y)2

2x(x2 + y) − 2xy , (x2 + y)2 x2 + y − y 1 . + = 2 x +y (x2 + y)2

z′′xx =

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2

2x3 , + y)2 x2 1 . + 2 = 2 x + y (x + y)2

z′′xy =

z′′xy =

z′′yy

z′′yy

(x2

2 0 2y2 − 2yx2 > 0, , H(S1 ) = (x2 + y)2 0 e ′′ 2x3z′′ with respect to y. This gives 0 z 2 . ′′ We zdifferentiate yy , H(S2 ) = yy = −4 < 0, xy = 2 + y)2 (x 2 2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 × z′′xx =


zx′ =

z′′xx =

2y(x2 + y) − 2xy2x , (x2 + y)2

2x(x2 + y) − 2xy , (x2 + y)2 x2 + y − y 1 . + = 2 x +y (x2 + y)2

z′′xx =

2x3 , + y)2 x2 1 . + 2 = 2 x + y (x + y)2

z′′xy =

z′′xy =

z′′yy

z′′yy

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2 2x3 ′′ We zsimplify. , xy = (x2 + y)2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ z′′xx =

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2 (x2

2 H(S1 ) = 0 0 H(S2 ) = 2

0 > 0, e 2 = −4 < 0, 2

c



zx′ =

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2

2 0 > 0, H(S1 ) = 0 e 0 2 2x3 = −4 < 0, z′′xy = 2 , H(S2 ) = (x + y)2 2 2 x2 1 0 −2 . + 2 z′′yy = 2 = −4 < 0. H(S3 ) = x + y (x + y)2 −2 2 Local minimum at [0, e−1 ]. No other local extremum. z′′xx =

We evaluate the hessian at each of the stationary points. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



zx′ =

2y2 − 2yx2 , (x2 + y)2

2 0 > 0, H(S1 ) = 0 e 0 2 2x3 = −4 < 0, z′′xy = 2 , H(S2 ) = (x + y)2 2 2 x2 1 0 −2 . + 2 z′′yy = 2 = −4 < 0. H(S3 ) = x + y (x + y)2 −2 2 Local minimum at [0, e−1 ]. No other local extremum. z′′xx =

According to the second derivative test we obtain the following conclusion. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Konec

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných

Recommend Documents