Náhodná hodná velič veličina Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné veličiny. Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině elementárních E pravděpodobnostního prostoru S. Diskrétní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Spojitá náhodná veličina může nabývat všech hodnot z nějakého intervalu (doba bezporuchového chodu zařízení, výška náhodně vybraného člověka)
Diskré Diskrétní tní náhodná hodná velič veličina Házejme 3 mincemi, které umíme rozlišit, např. pětikorunou, desetikorunou a dvacetikorunou českou. Na každé minci může padnout líc (L) nebo rub (R). Určete prvky množiny všech možných výsledků.
n = V3′(2) = 23 = 8 Nechť X udává počet líců. Pak X je diskrétní náhodná veličina, která může nabývat hodnot 0,1,2,3. Určeme její rozdělení…
1
Diskré Diskrétní tní náhodná hodná velič veličina
n = V3′( 2) = 2 3 = 8 1 = 0,125 8 3 P( X = 1) = = 0,375 8 3 P( X = 2) = = 0,375 8 1 P( X = 3) = = 0,125 8 P( X = 0) =
{LLL, LLR, LRL, RLL, RRR, RRL, RLR, LRR}
Diskré Diskrétní tní náhodná hodná velič veličina Hustota Distribuční pravděpodobnosti funkce 1 0,4
n = V3′( 2) = 2 3 = 8
0,35
P( X P( X P( X P( X
1 = 0) = = 0,125 8 3 = 1) = = 0,375 8 3 = 2) = = 0,375 8 1 = 3) = = 0,125 8
pdf(x)
0,3 0,25 0,5 0,2 0,15 0,1 0,05 00 F(X) pdf(x)
00 0,125 0,125
11 0,5 0,375
22
33
0,875 0,375
0,125 1
xx
f ( x) = P ( X = x ); F ( x ) = P ( X ≤ x ) 3 3 3 E ( X ) = ; V ( X ) = ; RSD = 2 4 3
2
Diskré Diskrétní tní náhodná hodná velič veličina 3x sázíme 100 Kč na líc. Určete psti všech možností.
Rozdělení pravděpodobnosti 0,5 0,4 pdf(x)
1 = 0,125 8 3 P( X = −100) = = 0,375 8 3 P( X = 100) = = 0,375 8 1 P( X = 300) = = 0,125 8 P( X = −300) =
0,3 0,2 0,1 0 pdf(x)
-300
-100
100
300
0,125
0,375
0,375
0,125
x
E ( X ) = 0; V ( X ) = 25000; RSD = ∞
Náhodná hodná velič veličina Proměnná, jejíž hodnota je určena výsledkem náhodného pokusu. Každému el. jevu E z prostoru všech jevů S přiřadíme reálné číslo X(E), takové, že pro každé reálné číslo a je jevem i množina
A = {E; X ( E ) ≤ a} Diskrétní náhodná veličina (množina hodnot je konečná, nebo spočetná) je popsána pravděpodobnostní funkcí P(a)=P(X(E)=a), nebo diskrétní distribuční funkcí Spojitá náhodná veličina (množina hodnot je interval I⊂R) – distribuční funkce F(x)
F ( x) = P( X ≤ x) – hustota pravděpodobnosti f(x) x
F ( x) =
∫ −∞
b
f (u )du
F (b) − F (a ) = ∫ f (u )du a
3
Stř Střední ední hodnota a rozptyl Střední hodnota – diskrétní náhodné veličiny
E [ x ] = ∑ xi P ( X = xi ) i ∞
– spojité náhodné veličiny
∫ x ⋅ f ( x) dx
E[ X ] =
−∞
vlastnosti střední hodnoty: E[c.X] = c.E[X] E[X+Y] = E[X] + E[Y] E[X .Y] = E[X] . E[Y] pro X, Y nezávislé Rozptyl – diskrétní náhodné veličiny
V [ x ] = ∑ ( xi − E [ X ] ) P ( X = xi ) 2
i ∞
– spojité náhodné veličiny
V[X ] =
∫ ( x − E( X ))
2
⋅ f ( x ) dx
−∞
Vybrané Vybrané rozlož rozložení ení pravdě pravděpodobnosti
Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti – Binomické – Geometrické – Poissonovo
Spojité rozdělení pravděpodobnosti – Rovnoměrné – Normální – Exponenciální – Erlangovo http://www.socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Distributions.html
4
Geometrick é rozdě Geometrické rozdělení lení diskré diskrétní tní náhodné hodné velič veličiny Počet pokusů do prvního úspěšného výsledku. Experimenty jsou nezávislé, pravděpodobnost úspěchu je dána p.
pi = P ( X = i ) = p (1 − p )i −1 1 p 1− p V[X ] = 2 p E[ X ] =
p=1/4
Příklad: Zařízení kontrolujeme pravidelně jednou za hodinu. Pravděpodobnost, že se za hodinu zařízení nepokazí je 0,9. Určete pravděpodobnost, že k chybě zařízení dojde při šesté kontrole. Určete průměrnou dobu bezvadného chodu.
p = 0,1 P ( X = 6) = 0,1 ⋅ (0, 9) 5 = 0, 059 E[ X ] =
1 = 10 ( hod ) 0.1
Binomické Binomické rozdě rozdělení lení diskré diskrétní tní náhodné hodné velič veličiny Nechť i je počet úspěšných výsledků z n provedených nezávislých experimentů, kde pravděpodobnost úspěšného výsledku je dána p, potom
n pi = P ( X = i ) = p i (1 − p ) n −i i
E[ X ] = n ⋅ p V [ X ] = np (1 − p )
5
Binomické Binomické rozdě rozdělení lení diskré diskrétní tní náhodné hodné velič veličiny Nechť i je počet úspěšných výsledků z n provedených nezávislých experimentů, kde pravděpodobnost úspěšného výsledku je dána p, potom
n pi = P ( X = i ) = p i (1 − p ) n −i i
E[ X ] = n ⋅ p V [ X ] = np (1 − p )
Příklad: Test obsahuje 10 otázek s výběrem z 5 možných odpovědí. 1. Určete pravděpodobnost, že student nezaškrtne ani jednu odpověď správně 10
1 P ( X = 0 ) = 1 − 5 2.
0,11
Určete pravděpodobnost, že všechny odpovědi budou správné 10
1 P ( X = 0) = 5
3.
0, 0000001
Určete pravděpodobnost, že student zvolí alespoň 7 odpovědí správně P ( X ≥ 7 ) = P ( X = 7 ) + P ( X = 8 ) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
4.
0, 000864
Určete průměrný počet správných odpovědí 1 E ( X ) = 10 ⋅ = 2 5
Binomické Binomické rozdě rozdělení lení v Excelu
6
Poissonovo rozdě rozdělení lení diskré diskrétní tní náhodné hodné velič veličiny počet výskytů sledovaného jevu v určitém časovém intervalu t, jestliže posloupnost časových okamžiků sledovaného jevu tvoří ordinální homogenní proces s nezávislými přírůstky (Elementární tok).
P ( N (t ) = k ) =
(λ t ) k!
k
e − λt
E[ X ] = λ ⋅ t
Poissonovo rozdě rozdělení lení diskré diskrétní tní náhodné hodné velič veličiny Pokud n→∞, np=λ, pak náhodná veličina s binomickým rozdělením konverguje k Poissonovu rozdělení
Binom(n, p ) → Poisson(n ⋅ p )
n=10
np=5 n=20
P(X = k ) =
k
λe
−λ
k!
E [X ] = λ n=1000
7
Poissonovo rozdě rozdělení lení v Excelu
Rovnomě Rovnoměrné rné rozdě rozdělení lení spojité spojité náhodné hodné velič veličiny
f ( x) =
1 ; a≤ x≤b b−a
E[ X ] =
(a + b) a+b ; V[X ] = 2 12
2
Příklad: Tramvaje jezdí pravidelně každých 5 minut. Na zastávku přijdeme náhodně. 1. Určete pravděpodobnost, že budeme čekat nejvýš 1 minutu 1 f ( x) = ; 0 ≤ x ≤ 5 5 1
2.
Určete průměrnou dobu čekání
1
1 1 1 P ( x < 1) = ∫ dx = x = 5 5 0 5 0
5 E[ X ] = ; 2
8
Exponenciá Exponenciální lní rozdě rozdělení lení spojité spojité náhodné hodné velič veličiny f ( x) = λ e− λ x ; 0 ≤ x F ( x) = 1 − e− λ x 1 1 E[ X ] = ; V [ X ] = 2
λ
λ
Příklad: 1. Doba dvou po sobě následujících jevů je exponenciálně rozdělená náhodná veličina s parametrem λ. Určete průměrný počet jevů za časovou jednotku. E[T ] =
2.
1
λ
Doba bezvadného chodu nového automobilu je náhodná veličina =1/10 [rok]. a) Určete pravděpodobnost, že se do 5 let neobjeví žádná závada. 1 1 − x − P ( X ≥ 5 ) = 1 − F ( 5 ) = 1 − 1 − e 10 = e 2 = 0,606
b) Určete průměrnou dobu bezvadného chodu auta. E[T ] =
1 = 10 (let ) 0.1
Exponenciá Exponenciální lní rozdě rozdělení lení v Excelu
9
Erlangovo rozdě rozdělení lení spojité spojité náhodné hodné velič veličiny X~ Erlang(λ,k) k −1
f ( x) = λ e− λ x
(λ x) ; ( k − 1) !
0 ≤ x E[ X ] =
k
λ
; V[X ] =
k
λ2
Součet k nezávislých náhodných veličin, jež mají všechny exponenciální rozdělení Xi ~exp(λ) je Erlangovo rozdělení X ~ Erlang(λ,k) Normá Normální lní rozdě rozdělení lení spojité spojité náhodné hodné velič veličiny X ~ N(µ,σ2) − 1 f ( x) = e 2πσ
( x − µ )2 2σ 2
Poč Počet bodů bodů z testu inteligence σ = 15, µ = 100
10
Normá Normální lní rozdě rozdělení lení v Excelu
Studentovo rozdě rozdělení lení Pokud má proměnná X normální rozdělení, pak proměnná Z=
X −µ
σ
má normované normální rozdělení. Průměr náhodného výběru má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ =
σ n
Odchylku σ většinou neznáme, ale můžeme ji odhadnout pomocí výběrové směrodatné odchylky s. Proměnná t
t=
X −µ s
má Studentovo t rozdě rozdělení lení.
11
Studentovo rozdě rozdělení lení U ≈ N (0,1) V ≈ χ 2 ( n)
n = 30 n=3 n=1
Obr. t-distribuce pro různé stupně volnosti n. Pro n= =∞, t distribuce je identická s normální distribucí.
Studentovo rozdě rozdělení lení v Excelu
12
χ 2 rozdě rozdělení lení Součet kvadrátů proměnné s normálním rozdělením.
Domá Domácí úkol - Centrá Centrální lní limitní limitní věta Centrální limitní věta označuje tvrzení, podle něhož (za určitých podmínek) se rozdělení výběrového průměru blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení. WikipediE
Např: Vygenerujte 100 hodnot náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením na intervalu (a,b) a vypočtěte průměr vzorku. Výběr 50 x opakujte. Nakreslete histogram výběrových průměrů, vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku. -1)+1 ů) )*(10 erval ÍSLO( e int z e m =NÁHČ R(data) Ě horní =PRŮM STI(data; O N T E Č =
13
Domá Domácí úkol – Centrá Centrální lní limitní limitní věta
Vygenerujte 100 hodnot náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením na intervalu (a,b) a vypočtěte průměr vzorku. Výběr 50 x opakujte. Nakreslete histogram výběrových průměrů, vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku.
1)+1 *(10valů) SLO() ) inter Í Č H Á a meze =N t a í d n ( r ĚR ho =PRŮM STI(data; O =ČETN
MoivreovaMoivreova-Laplaceova věta
14
Spojnice trendu x hustota pravdě pravděpodobnosti
15
