ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses
KA Koekelberg - VUB
[email protected]
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Inleiding
Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch
Software Teksten: LATEX Dynamische meetkunde: Geogebra Grafieken: Graphmatica Symbolische berekeningen: Maxima
Internet Informatie: Mathworld, Wikipedia, St-Andrews Website: HTML Applets: JAVA
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Inleiding
Nieuwe leerplannen, nieuwe problemen! Onderzoekscompetenties Verdwenen/optionele onderwerpen Noodzakelijk in sommige richtingen! Wij: Gratis software: Geogebra Graphmatica Maxima
Hoe: Concrete voorbeelden Onderwerpen voor OC Website: Mathworld
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Inleiding
Geogebra: dynamische constructies planeetbanen, spirograaf Taylorveeltermen
Graphmatica ongelijkheden impliciete krommen, afh van parameter ”a” spiralen en poolco¨ ordinaten
Maxima symbolische berekeningen splitsen in partieel breuken exponenti¨ele vorm van complexe getallen 3d grafieken
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Geogebra
Geogebra Waar? http://www.geogebra.org/
Opdracht (OC: planeetbanen en spirograaf) De aarde draait om de zon en de maan op haar beurt om de aarde. Hoe ziet de baan van de maan eruit? Is er een verband met een spirograaf?
Antwoord Gebruik Geogebra om een meetkundige constructie van zulke systemen te beschrijven. Begin met cirkelvormige banen. Beschouw de hoek α tussen een vaste as, de zon en de aarde (niet vergeten van ”allow reflex angle” aan te vinken). Beschouw ook de hoek β tussen een vaste as, aarde en maan. Het verband tussen beide wordt gegeven door β = kα met k = 365 28 ' 13 (Waarom?). Veralgemeen dit systeem en beschouw verschillende gehele waarden voor k. Wat gebeurt er als k niet geheel is? Bepaal de parametervergelijking van de bekomen krommen. Gebruik Graphmatica om ze te tekenen.
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Geogebra
Geogebra Opdracht (OC: Taylorveeltermen) Bij de paragraaf ”hogere afgeleiden” kan de Taylor-veelterm gegeven worden: t0 (x)
=
f (a)
t1 (x)
=
f (a) +
f 0 (a) 1!
(x − a) (cfr. raaklijn)
0
t2 (x)
=
f (a) +
t3 (x)
=
f (a) +
=
f (a) +
... tn (x)
f (a) 1! f 0 (a) 1! f 0 (a) 1!
(x − a) + (x − a) +
(x − a) +
f 00 (a) 2! f 00 (a) 2! f 00 (a) 2!
(x − a)
2
2
(x − a) +
2
(x − a) +
f 000 (a) 3! f 000 (a) 3!
(x − a)
3
3
(x − a) + . . . +
f (n) (a) n!
(x − a)
n
Men kan gemakkelijk tonen dat de veeltermen tn steeds een betere benadering geven voor f (x). Gebruik Geogebra om grafisch te laten zien dat de Taylor veerterm steeds een betere benadering geeft van bijvoorbeeld de sinus- of de cosinusfunctie.
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Graphmatica
Graphmatica Waar? http://www.graphmatica.com/
Opdracht Zoek via Mathworld de cartesische vergelijking van de kromme die men ”de heks van Agnesi” noemt. Deze kromme hangt af van een parameter, dewelke? Wat stelt die voor? Gebruik Graphmatica om voor verschillende waarden van de parameter de grafiek te maken.
Opdracht Een de grafiek van een continue functie y = f (x) verdeelt het vlak in twee stukken. Deze delen zijn de oplossingenverzamelingen van de ongelijkheden y < f (x) en y > f (x). Gebruik Graphmatica om ongelijkheden en stelsels van ongelijkheden op te lossen. vb: Los op: y < cos x en y > sin x
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Graphmatica
Graphmatica Opdracht (OC: kegelsneden) Sommige krommen worden beschreven door een impliciete vergelijking waarbij de veranderlijken niet worden afgezonderd. Voorbeelden hiervan zijn de vergelijkingen van de kegelsneden. Men vertrekt van een cirkel: 2 2 x 2 + y 2 = r 2 ⇐⇒ xr 2 + yr 2 = 1 dan een ”cirkel” met twee stralen: de ellips: x2 a2
x2 a2
+ y2 b2
y2 b2
=1
en wat met een minteken? de hyperbool: − =1 Samen met de parabool vormen deze krommen de kegelsneden. Zoek op internet waarom men deze zo noemt. Een andere vorm van de impliciete vergelijking van een kegesnede is y 2 + (1 − e 2 )x 2 − 2x + 1 = 0 waarbij e de eccentriciteit is. Gebruik Graphmatica om deze te bestuderen. Dit kan ook gebeuren via poolco¨ ordinaten: r = 1+eecos θ Opmerking: Het algoritme dat Graphmatica gebruikt om impliciete vergelijkingen te tekenen is nog niet helemaal op punt.
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Graphmatica
Graphmatica
Opdracht (OC: spiralen) Naast de cartesische co¨ordinaten bestaan er ook poolco¨ordinaten. In deze poolco¨ordinaten kunnen we ook de grafiek van een kromme tekenen: r = f (θ). Sommige krommen hebben zeer eenvoudige voorschriften in deze co¨ordinaten. Gebruik Mathworld om verschillende soorten spiralen de vinden. Maak de gepaste grafieken met Graphmatica. (Gebruik r en t (ipv θ) als parameters. Je kan het interval waartoe t behoort veranderen via Options > Theta Range ...) Waaraan moet f voldoen om een spiraal te bekomen als grafiek? Welke soorten spiralen kan je onderscheiden? Wat over het asymptotisch gedrag?
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Graphmatica
Graphmatica Antwoord Een uitwaartse spiraal is de grafiek in poolco¨ ordinaten van een strikt stijgende functie f : R+ → R+ . vb: f (θ) = θ Een uitwaartse spiraal is de grafiek in poolco¨ ordinaten van een 1 strikt stijgende functie f : R+ → R+ . vb: f (θ) = √1+θ Een spiraal kan begrensd of onbegrensd zijn. vb: f (θ) = √ f (θ) = θ
1 1+θ
en
Spiralen kunnen rechte en/of cirkelvormige asymptoten vertonen. vb: f (θ) = √1θ , f (θ) = θ1 , f (θ) = θ1 + 2 of zelfs f (θ) = atan(θ − 10π) + π ...
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Maxima
Maxima Waar? http://maxima.sourceforge.net/
Opdracht Maak een volledig functieonderzoek van de functies gegeven door de x x2 x3 1 voorschriften: 1+x 2 , 1+x 2 , 1+x 2 , 1+x 2 Gebruik Maxima om de symbolische berekeningen vlotter te laten gaan. (Klik op de uitdrukking en kies in het k menu Calculus ...) Voor een passende waarde k is 1+x 2 een kansverdeling. Bepaal k.
Opdracht (OC: splitsen in partieelbreuken) Integralen van veeltermbreuken kunnen altijd bepaald worden door de veeltermbreuk te splitsen in partieelbreuken, dwz door ze te schrijven als som van gemakkelijk integreerbare veeltermbreuken. Gebruik Maxima om dit voor enkele voorbeelden te doen (via Calculus > Partial fractions ...).
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Maxima
Maxima
Opdracht (OC: e ix = cos x + i sin x) Gebruik Maxima om de Taylorontwikkeling te bepalen van de functies: sin x, cos x, e x en e ix (via Calculus > Get series ..., gebruik %i voor de imaginaire eenheid). Ga na dat e ix = cos x + i sin x. Dit kan gebruikt worden om de exponenti¨ele notatie voor complexe getallen in te voeren.
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Maxima
Maxima Opdracht (OC: 3D-grafieken) De analyse in de derde graad focust op krommen in het vlak van de vorm y = f (x). In de ruimte kan men gaan kijken naar krommen van de vorm z = f (x, y ). Gebruik Maxima om de grafiek te maken van z = 2x − 3y , z = x 2 + y 2 , z = x 2 − y 2 , z = xy of nog andere voorbeelden (via Plotting > Plot3D ... (het kan nuttig zijn om het commando wxplot om te zetten naat plot) ). Eventueel kan dit kader ook aangegrepen worden om de vergelijkingen van vlakken te herhalen/introduceren of zelfs met een korte uitleg parti¨ele afgeleiden en de vergelijking kan een raakvlak ∂f ∂f aan z = f (x, y ) in (a, b): z = ∂x (a, b)(x − a) + ∂y (a, b)(y − b) + f (a, b) te behandelen.
