LOGIKA MATEMATIKA
1
LOGIKA MATEMATIKA
I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pernyataan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan dengan bukti, atau disesuaikan dengan kenyataan yang sesungguhnya, hukum atau aturan tertentu. Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil p, q , r dan lain-lain Contoh : 1. p : Jakarta ibukota Indonesia (bernilai benar atau B) 2. q : Presiden RI yang pertama adalah Abdurrahman Wahid (bernilai salah atau S) 3. r : 3 + 2 = 10 (bernilai salah atau S) B. Negasi suatu Penyataan Negasi (ingkaran) adalah kalimat yang mengingkari atau menolak tentang suatu pernyataan. Negasi dari pernyataan p dinotasikan dengan –p. Notasi –p dibaca “tidak p” atau “ bukan p”, atau “ tidak benar p” Ketentuan : Jika pernyataan p bernilai benar, maka negasinya –p bernilai salah, atau sebaliknya. Jadi nilai kebenaran dari negasi (ingkaran) suatu pernyataan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Tabel Kebenaran : p -p Keterangan : B S B = benar S B S = salah Contoh soal : 1. p : 3 x 4 = 12 (B) -p : 3 x 4 12 (S) 2. p : Jogjakarta ibukota Indonesia (.......) -p : Jogjakarta bukan ibukota Indonesia (.......) 3. Negasi dari atau ingkaran dari pernyataan “ x lebih besar dari y “ adalah ..... a. x < y b. x = y c. x y d. x y e. x y Jawab :.... C. Kalimat Terbuka. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa ditentukan nilai benar atau salahnya, karena mengandung variabel. Variabel adalah lambang yang dapat menunjukkan anggota sebarang dari semesta pembicaraan. Kalimat terbuka bisa menjadi suatu pernyataan jika variabelnya diganti suatu konstanta dari semesta pembicaraannya. Konstanta adalah lambang untuk menunjukkan satu dan hanya satu anggota semesta pembicaraan. Anggota semesta pembicaraan yang jika menggantikan variabel dalam suatu kalimat terbuka menjadikan suatu pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut. Himpunan yang terdiri dari semua penyelesaian suatu kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian kalimat terbuka tersebut.
2
LOGIKA MATEMATIKA
Contoh : 1. Jika semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan real R, maka himpunan penyelesaian persamaan x2 – 1 = 0 adalah {-1, 1} 2. Jika x dan y adalah variabel pada himpunan bilangan cacah C, maka himpunan penyelesaian dari persamaan 2x + y = 6 adalah {(0,6), (1,4), (2,2), (3,0)}. II. PERNYATAAN MAJEMUK Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih. Ada empat macam pernyataan majemuk yaitu konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi. A. Konjungsi. Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ dan “ yang disimbolkan dengan “ “. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p q “ yang dibaca “ p dan q “. Konjungsi “p q” bernilai benar , jika p dan q keduanya benar. Dalam kondisi yang lainnya konjungsi “ p q “ bernilai salah. Tabel Kebenaran Konjungsi. p q pq B B B B S S S B S S S S Contoh Soal : Pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah ? 2. 4 + 0 = 4 dan 0 + 4 = 0 (........) 3. 5 x 1 = 5 dan 5 x 0 0 (........) 4. Bung Hatta lahir di Jakarta dan meninggal tidak di Jakarta (........) 5. Bung Hatta lahir di Medan dan meninggal di Jakarta (.........). B. Disjungsi. Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ atau “ yang disimbolkan dengan “ “. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p q “ yang dibaca “ p atau q “. Disjungsi “p q” bernilai salah, jika p dan q keduanya salah. Dalam kondisi yang lainnya disjungsi “ p q “ bernilai benar. Tabel Kebenaran Disjungsi. p q pq B B B B S B S B B S S S
3
LOGIKA MATEMATIKA
Contoh Soal : Pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah ? 1. 0 adalah bukan bilangan prima atau 0 adalah elemen identitas untuk penjumlahan (......) 2. 4 5 atau 4 – 5 0 (.......) 3. Bung Hatta lahir di Jakarta atau meninggal di Jakarta (........) 4. Jogjakarta ada di pulau Jawa atau 4 + 7 11 (.......) C. Implikasi. Implikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ Jika .... maka ...... “ yang disimbolkan dengan “ “. Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p q “ yang dibaca “ Jika p maka q “. i. pernyataan p disebut anteseden (sebab) ii. pernyataan q adalah konsequen (akibat) Implikasi “p q” bernilai salah, jika anteseden benar dan konsequen salah. Dalam kondisi yang lainnya implikasi “ p q “ bernilai benar. Tabel Kebenaran Implikasi p q pq B B B B S S S B B S S B Contoh Soal : Pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah ? 1. Jika Surabaya kota Pahlawan maka 2 + 3 = 5 (........) 2. Jika Jakarta Ibukota Indonesia maka 2 + 4 = 7 (.......) 3. Jika x = 2 maka x2 = 4 (........) 4. Jika x < 3 maka x2 < 9 (.......) D. Biimplikasi. Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ ..... jika dan hanya jika ...... “ yang disimbolkan dengan “ “. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p q “ yang dibaca “p jika dan hanya jika q “, yang berarti “ jika p maka q dan jika q maka p “ Biimplikasi “p q” bernilai benar, jika p dan q kedua-duanya benar atau p dan q keduan-duanya salah. Dalam kondisi yang lainnya biimplikasi “ p q “ bernilai salah. Tabel Kebenaran biimplikasi p q pq B B B B S S S B S S S B
4
LOGIKA MATEMATIKA
Contoh Soal : Pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah ? 1. 4 + 2 = 6 jika dan hanya jika 4 = 6 – 2 (..........) 2. x = 4 jika dan hanya jika x2 = 16 (..........) 3. 3 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 32 = 9 (..........) 4. Himpunan kosong jika dan hanya jika jimpunan yang mempunyai anggota (........) E. Konvers, Invers dan Kontraposisi. Dari suatu implikasi “ p q” dapat dibentuk implikasi-implikasi baru yaitu : 1. q p yang disebut konvers dari p q. 2. –p -q yang disebut invers dari p q 3. –q -p yang disebut kontraposisi dari p q. Hubungan antara implikasi , konvers , invers dan kontraposisi dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran seperti terlihat di bawah ini. p
Q
-p
-q
B B S S
B S B S
S S B B
S B S B
Implikasi pq B S B B
Konvers qp B B S B
Invers -p -q B B S B
Kontraposisi -q -p B S B B
Nilai logisnya sama ( ekuivalen logis ) Dari tabel kebenaran di atas dapat kita ketahui bahwa : (i) implikasi senilai dengan kontraposisi dan dinotasikan p q -q -p (ii) konvers senilai dengan invers dan dinotasikan q p -p -q Contoh soal : 1. Diketahui pernyataan “ Jika Rini lulus ujian, maka Rini akan kawin “, maka a. Konversnya :...................................................................................................... b. Inversnya :......................................................................................................... c. Kontraposisinya:................................................................................................ 2. Yang ekuivalen dengan pernyataan “ Jika laut pasang, maka tiang dermaga tenggelam “ adalah ..... (A) Jika laut surut , maka tiang dermaga tidak tenggelam. (B) Jika laut pasang , maka tiang dermaga tidak tampak. (C) Jika tidang dermaga tampak , maka laut tidak pasang. (D) Jika laut tidak pasang, maka tiang dermaga tidak tampak. (E) Jika laut tidak pasang, maka tiang dermaga tampak. 3. Kontraposisi dari “ –p q “ adalah ......... (A) p -q (D) q p (B) –q p (E) –p -q (C) q -p
5
LOGIKA MATEMATIKA
III. NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK Seperti halnya negasi dari suatu pernyataan tunggal, pernyataan majemuk juga dapat dibuat negasinya. b. Negasi dari konjungsi yaitu –(p q) adalah –p -q c. Negasi dari disjungsi yaitu –(p q) adalah –p -q d. Negasi dari implikasi yaitu –(p q) adalah p -q e. Negasi dari biimplikasi yaitu –(p q) adalah (-p q) dan (p -q) Contoh soal : 1. Negasi dari p -q adalah .............. 2. Negasi dari –p q adalah ............. 3. Negasi dari p -q adalah ............. 4. Negasi dari pernyataan” Hidup dan mati “ adalah ..................... 5. Negasi dari pernyataan “ Surga atau neraka “ adalah ................ 6. Diketahui pernyataan implikasi “ p q”, maka a. Negasi dari negasinya adalah ......................... b. Negasi dari konversnya adalah ....................... c. Negasi dari inversnya adalah ......................... d. Negasi dari kontraposisinya adalah ................... IV. DUA PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN (EKUIVALEN LOGIS) Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (ekuivalen logis) jika untuk semua kemungkinan dari nilai-nilai kebenaran komponen-komponennya, kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Untuk menyelidiki ekuivalen atau tidak ekuivalennya dua pernyataan majemuk, kita menggunakan tabel kebenaran. Dua pernyataan majemuk P(p,q,....) dan Q(p,q,....) yang ekuivalen dinyatakan dengan lambang P(p,q,...) Q(p,q,....) Contoh : a. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi atau p q -q -p b. Konvers ekuivalen dengan invers atau q p -p -q Beberapa pernyataan majeku yang ekuivalen adalah : 1. Hukum Komutatif : a. p q q p b. p q q p 2. Hukum Assosiatif a. (p q) r p (q r) b. (p q) r p (q r) 3. Hukum Distributif
6
LOGIKA MATEMATIKA
a. p (q r) (p q) (p r) b. p (q r) (p r) (p r) 4. Hukum Absorbsi a. p (p q) p b. p (p q) p 5. Hukum De Morgan a. –(p q) -p -q b. –(p q) -p -q 6. Hukum Ekuivalensi a. p q -q -p b. –(p q) p -q c. –(p q) -p q V. PERNYATAAN BERKUANTOR DAN NEGASINYA A. Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor adalah suatu pernyataan yang mengandung kuantor yaitu suatu kata yang bermakna ada, baik dalam jumlah satu, beberapa banyak, maupun semua/setiap. Contoh : 1. Ada bilangan genap yang merupakan bilangan prima. 2. Ada bebrapa x, sehinggan tan x = 1 3. Semua bilangan real kuadratnya ridak negatif. Ada dua macam kuantor : 1. Kuantor universal yaitu kuantor yang menyatakan semua atau setiap yang dilambangkan dengan yang dibaca “ untuk semua “ Contoh : x A dibaca “ Untuk semua x anggota A” - Untuk semua bilangan ganjil ,kuadratnya adalah ganjil. 2. Kuantor eksistensial yaitu kuantor yang menyatakan ada, baik dalam jumlah satu atau beberapa banyak yang dilambangkan dengan yang dibaca “ ada beberapa “ Contoh : x A yang dibaca “ Ada beberapa x anggota A” - Ada beberapa x dan y sehingga x + y = x.y B. Negasi Pernyataan Berkuantor. 1. Negasi dari kuantor universal. Negasi dari pernyataan x A ( Untuk semua x anggota A) adalah x A (Ada x yang bukan anggota) Contoh :
7
LOGIKA MATEMATIKA
-
Negasi dari pernyataan “ x R, jika x2 < 1, maka x < 1” adalah “ x R, x2 < 1 tetapi x 1” Negasi dari “ x B , Jika x2 = 1 , maka x = 1” adalah “ x B, x2 = 1 tetapi x 1 “
2..Negasi dari kuantor eksistensial. Negasi dari pernyataan x A (Ada x anggota A) adalah x A (Untuk semua x bukan anggota A) Contoh : Negasi dari “ x B, x + 3 = 5 “ adalah “ x , x + 3 5 “ Negasi dari “ x R, x2 < 0 “ adalah “ x R, x2 0 “ VI. PENARIKAN KESIMPULAN Salah satu tujuan yang penting dari pelajaran logika matematika adalah untuk memperoleh pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan. Yang dimaksud dengan argumentasi dalam pembahasan ini adalah suatu penegasan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (disebut premis), melalui langkah-langkah logis, dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar (disebut konklusi atau kesimpulan). Suatu argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu bilamana semua premisnya benar, maka konklusinya juga benar. Ada 3 macam penarikan kesimpulan , yaitu : 1. Modus Ponens. Premis 1 : p q (benar) Premis 2 : p (benar) ------------------------------Konklusi : q (benar) 2. Modus Tollens. Premis 1 : p q (benar) Premis 2 : -q (benar) ---------------------------------Konklusi : -p (benar) 3. Silogisma Premis 1 : p q (benar) Premis 2 : q r (benar) ----------------------------------Konklusi : p r (benar) Contoh : Buatlah kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut : 1. Semua siswa SMUN 1 Rantau pandai dan rajin 8
LOGIKA MATEMATIKA
Ali tidak pandai atau tidak rajin ---------------------------------------------------------............................................................................. 2. Ali minum obat bila akan ulangan Ali minum obat ---------------------------------------...................................................... 3. Jika adik tidak makan maka adik lapar Jika adik lapar maka adik menangis. --------------------------------------------............................................................ 4. Jika bilangan itu ganjil , maka kuadratnya juga ganjil. 3 bilangan ganjil. -------------------------------------------------------------.................................................................................... 5. Jika saya diterima di SMAN 1 Rantau maka saya akan rajin belajar. Saya tidak rajin belajar. Kesimpulan yang sah adalah ....... (B) Saya sakit (C) Saya tidak beruntung (D) Saya diterima di SMAN 1 Rantau (E) Saya tidak diterima di SMAN 1 Rantau (F) Saya malas dan diterima di SMAN 1 Rantau. VII. PEMBUKTIAN SIFAT MATEMATIKA Suatu bukti dalam matematika adalah suatu argumentasi yang menunjukkan bahwa suatu pernyataan p q selalu benar (logis benar atau tautologi). Misalnya p adalah konjungsi premis-premis, dan q adalah konklusi suatu argumentasi. Dalam hal demikian p maupun q meungkin menyangkut beberapa pernyataan tunggal. Jadi harus ditunjukkan (dibuktikan) bahwa p q selalu benar bagaimanapun nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennya. Ada beberapa cara untuk membuktikan atau menunjukkan kebenaran suatu argumentasi, diantaranya adalah bukti langsung, bukti tidak langsung dan induksi matematika. 1. Bukti Langsung. Diantara argumentasi aratu penarikan kesimpulan yang sudah kata bahas di atas , modus ponens dan silogisma adalah termasuk contoh bukti langsung. Contoh : Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n ganjil, maka n2 juga ganjil !.
9
LOGIKA MATEMATIKA
Penyelesaian : Misalkan p : n bilangan bulat ganjil, dan q : n2 bilangan bulat ganjil. Harus dibuktikan bahwa p q bernilai benar. Bukti : Oleh karena n ganjil (p), maka dapat dimisalkan n = 2a + 1, dengan a bilangan bulat. Dengan demikian maka : n2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = bilangan bulat ganjil (q) Terbuktilah apa yang harus dibuktikan , jadi p q bernilai benar. 2..Bukti Tidak Langsung. Ada dua macam bukti tidak langsung, yaitu bukti tidak langsung kontradiski dan bukti tidak langsung dengan kontraposisi. a.
Bukti Tidak Langsung dengan Kontradiksi. Bukti tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan bahwa yang harus dibuktikan adalah salah. Melalui langkah-langkah logis diturunkan suatu kontradiksi (sesuatu yang dianggap benar dan salah sekaligus). Karena kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar, sehingga benarlah apa yang harus dibuktikan. Contoh : Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil. Penyelesaian: Misalkan p : n2 bilangan bulat ganjil. Dan q : n bilangan bulat ganjil. Harus dibuktikan bahwa p q bernilai benar. Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau –q benar, yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2a, dengan a bilangan bulat. Dengan demikian , maka : n2 = (2a)2 = 4a2 = bilangan bulat genap (-p) Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedang dari langkahlangkah logis diturunkan –p benar. Oleh karena kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar, yang berarti –q salah atau q benar. Terbuktilah apa yang harus dibuktikan.
b. Bukti Tidak Langsung dengan Kontraposisi. Bukti tidak langsung dengan kontraposisi dilakukan sebagai berikut :
10
LOGIKA MATEMATIKA
Misalkan kita hasrus membuktikan p q benar. Kita andaikan bahwa –q benar. Kemudian melalui langkah-langkah logis diturunkan –p benar. Jadi -q -p Oleh karena p q -q -p, maka jika –q -p benar, p q juga benar. Dengan demikian terbuktilah bahwa p q benar. Sebagai contoh kita mengambil bukti pada contoh a di atas, dengan menguraikannya menurut langkah-langkah sebagai berikut : Diketahui : n2 bilangan bulat ganjil :p Harus dibuktikan : n bilangan bulat ganjil : q Andaikan : n bukan bilangan bulat ganjil : -q 2 Maka : n bukan bilangan bulat ganjil : -p Langkah yang kita tempuh adalah –q -p , kontraposisi dari p q. Oleh karena kedua pernyataan itu ekuivalen (ekuivalen logis), maka terbuktilah apa yang harus kita buktikan. Dengan demikian sebenarnya kedua cara itu ( cara dengan kontradiksi dan dengan kontraposisi) pada dasarnya sama. 3..Induksi Matematika. Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika adalah dengan induksi matematika. Istilah “ induksi” biasanya berarti rumusan umum yang disimpulkan dari sejumlah hal yang khusus. Induksi matematika, walaupun namanya demikian, sebenarnya merupakan cara penalaran deduktif, bukan induktif. Induksi matematika berkenaan dengan pernyataan-pernyataan yang mencakup bilangan asli. Prinsip Induksi Matematika. Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar. Maka P(n) benar untuk semua n. Berdasarkan prinsip di atas. Dengan mengetahui bahwa P(1) benar, sekarang kita buktikan bahwa P(2) pasti benar (dengan mengambil k = 1), dan bahwa P(3) pasti benar (dengan mengambil k = 2), dan bahwa P(4) pasti benar (dengan mengambil k = 3) dan seterusnya. Jelaslah bahwa bilangan asli manapun cepat atau lambat akan tercapai, sehingga kita dapat mengatakan bahwa P(n) berlaku untuk semua bilangan asli n. Secara skematik, langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut : Langkah 1 (basisi induksi) : P(1) Langkah 2 (langkah induksi) : P(k) P(k+1) Langkah 3 (kesimpulan) : Untuk semua n, P(n). Contoh : 1. Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n – 1) = n2, untuk semua bilangan asli n.
11
LOGIKA MATEMATIKA
Penyelesaian: Misalkan P(n) adalah “ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2 “ Langkah 1 : P(1) benar, sebab 1 = 12 Langkah 2 : Apabila P(k) benar, yaitu apabila : 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k-1) = k2 maka P(k+1) yaitu : 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k-1) + {2(k+1)-1} = (k+1)2 k2 + {2(k+1)-1} = (k+1)2 k2 + 2k + 2 – 1 = (k+1)2 2 k + 2k + 1 = (k+1)2 sehingga P(k+1) benar Langkah 3 : Dengan demikian terbuktilah bahwa P(n) benar untuk semua n. 2. Buktikan bahwa n3 + 5n habis dibagi oleh 6, untuk semua n. Penyelesaian : Misalkan P(n) adalah “ n3 + 5n habis dibagi oleh 6 “ Langkah 1 : P(1) benar, sebab 13 + 5.1 = 6 habis dibagi 6. Langkah 2 : Apabila P(k) benar yaitu : k3 + 5k habis dibagi oleh 6, maka P(k+1) yaitu : (k+1)3 + 5(k+1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) 5k + 5 = (k3 + 5k) + (3k2 + 3k) + 6 = (k3 + 5k) + 3k(k+1) + 6 3 Karena k + 5k habis dibagi 6 yaitu P(k) dan 3k(k+1) juga habis dibagi 6 dan 6 habis dibagi 6, maka P(k+1) = (k3 + 5k) + 3k(k+1) + 6 habis dibagi oleh 6. Lanhkah 3 : Dengan demikian terbuktilah P(n) benar untuk semua n, yaitu n3 + 5n habis dibagi oleh 6.
SOAL-SOAL ULANGAN 1. Yang dimaksud dengan pernyataan adalah ..... a. Kalimat yang tidak mempunyai nilai benar atau salah. b. Kalimat yang mempunyai nilai benar saja. c. Kalimat yang mempunyai nilai salah saja. d. Kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah. e. Kalimat yang mengandung suatu variabel yang mempunyai nilai benar atau salah. 2. Di antara kalimat-kalimat berikut yang merupakan kalimat terbuka adalah..... a. Suatu bilangan yang dapat dibagi 8 juga dapat dibagi 4. b. Carilah jumlah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 8x – 12 = 0.
12
LOGIKA MATEMATIKA
c. Sebutkan siapa Perdana Menteri India sekarang. d. x adalah bilangan yang lebih besar dari bilangan prima genap. e. Bunga mawar selalu berwarna merah. 3..Negasi dari pernyataan “ Ada siswa baru yang tidak ditatar P-4 “. a. Semua siswa baru tidak ditatar P-4 b. Semua siswa baru ditatar P-4 c. Tidak ada siswa baru yang ditatar P-4 d. Beberapa siswa baru ditatar P-4 e. Ada siswa baru yang ditatar P-4 4.
p B B S S
q B S B S
...... B B B S
Tabel logika di samping ini adalah tabel kebenaran dari.... a. konjungsi d. biimplikasi b. disjungsi e. negasi c. implikasi
5..Jika turun hujan maka air sungai meluap. Pernyataan majemuk di atas adalah suatu ...... a. konjungsi b. disjungsi c. implikasi d. biimplikasi e. negasi. 6..Pernyataan yang ekuivalen dengan “ Ani tidak malas atau pandai “ adalah ..... a. Ani malas dan tidak pandai. b. Ani malas dan pandai c. Jika Ani malas maka Ani pandai d. Jika Ani tidak malas maka Ani pandai. e. Jika Ani pandai maka Ani tidak malas. 7..Negasi dari pernyataan “ Jika tidak minum obat maka ia mabuk “ adalah .... a. Ia tidak minum obat dan mabuk. d. Ia minum obat atau mabuk b. Ia minum obat dan tidak mabuk. e. Jika ia minum obat maka ia tidak mabuk. c. Ia tidak minum obat dan tidak mabuk. 8.. Kontraposisi dari –p -q adalah ..... b. -p q c. -q p a. p q d. q p e. -q -p 9..Jika saya diterima di SMAN 1 Rantau maka saya akan rajin belajar. Saya tidak rajin belajar. Kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas adalah ...... a. Saya sakit d. Saya tidak diterima di SMAN 1 Rantau b. Saya tidak beruntung e. Saya malas. c. Saya diterima di SMAN 1 Rantau 10..Menurut prinsip modus tollens penarikan kesimpulan adalah sebagai berikut ......
13
LOGIKA MATEMATIKA
a. p q b. p q c. p q d. p q e. p q p qr -p -q qr -------------------------------------q r -q -p pr 11. Negasi dari pernyataan “ Ada bilangan bulat x sehingga x + 5 > 0 “ adalah ... a. Tidak semua bilangan bulat x sehingga x + 5 > 0 b. Tidak ada satupun bilangan bulat x sehingga x + 5 > 0. c. Untuk semua bilangan bulat x sehingga x + 5 > 0 d. Ada bilangan bulat x sehingga x + 5 < 0 e. Untuk semua bilangan bulat x sehingga x + 5 0 12..Pernyataan p q ekuivalen dengan ..... a. –p -q b. q p c. –q -p
d. q -p
e. –p q
13..Diantara pernyataan-pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ..... a. Jika 3 x 5 = 15 maka 7 : 2 = 3 b. Jika A B = A maka B A. c. Jika 5 < 3 maka -3 < -5 d. Jika suatu bilangan adalah bilangan cacah, maka ia adalah bilangan asli. e. Jika A B = , maka A B = 14.
p B B S S
q B S B S
(-p q) (p q) ... ... ... ...
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk di samping adalah .... a. B B S S d. B S S B b. B S B S e. S B B S c. S S S B
15.. Pernyataan yang setara dengan “ Jika Ali merokok, maka Ali sakit jantung atau sakit paru-paru “ adalah . a. Jika Ali sakit jantung atau sakit paru-paru, maka Ali merokok. b. Jika Ali tidak sakit jantung dan tidak sakit paru-paru, maka Ali tidak merokok. c. Jika Ali tidak merokok, maka Ali tidak sakit jantung dan sakit paru-paru. d. Jika Ali tidak sakit jantung atau tidak sakit paru-paru, maka Ali tidak merokok. e. Jika Ali tidak merokok, maka Ali tidak sakit jantung atau sakit paru-paru. 16.. Tentukan nilai x agar “ 3x – 3 = x – 9 dan 2 bilangan prima” menjadi konjungsi yang bernilai benar !. 17. Lengkapilah tabel kebenaran di bawah ini : p Q -p -q p -q q -p B B ... ... ... ... B S ... ... ... ... S B ... ... ... ... S S ... ... ... ...
14
LOGIKA MATEMATIKA
18. Diketahui implikasi “ Jika Inem tidak datang ,maka saya kecewa “ Tentukan : c. Konversnya. d. Inversnya e. Kontraposisinya. 19. Tulislah kesimpulan dari premis-premis berikut sebagai penarikan kesimpulan yang sah . a. Jika memakan biji-bijian maka termasuk unggas. Manusia makan biji-bijian. ---------------------------------------------------------Kesimpulan :........................................................ b. Jika hemat maka akan kaya. John melarat --------------------------------------------------------Kesimpulan :....................................................... 20. Tunjukkan ekuivalensi di bawah ini dengan tabel kebenaran ! -(p -q) -p q 21. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa : p q {(-p q) (-q p)} ! 22. Buatlah negasi dari (x)(y){(x+y)2 = x2 – 2xy + y2} dan tuliskan cara membacanya beserta nilai kebenarannya. 23. Sah atau tidak penarikan kesimpulan di bawah ini ! Jelaskan !. Premis 1 : Saya akan berlayar hari Rabu atau kamis yang akan datang. Premis 2 : Ternyata saya tidak jadi berlayar hari Rabu. -----------------------------------------------------------------------------------Kesimpulan : Saya berlayar hari Kamis. 24. Buktikan dengan bukti tidak langsung bahwa “ Untuk setiap bilangan real a dan b, jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0 “ 25. Buktikan dengan induksi matematika bahwa : 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1) berlaku untuk semua bilangan asli n.
15
LOGIKA MATEMATIKA
DAFTAR PUSTAKA 1. Setrategi Memahami Matematika SMTA Seri B, 1991, Fata Asyari, dkk, Epsilon Group Bandung. 2. Matematika SMA Program ilmu-ilmu Fisik dan Ilmu-ilmu Biologi, 1991, Al Krismanto, Intan Pariwara 3. Matematika SMA 1, Wilson Simangunsong, Sukino, Drs. I Nyoman Susila, MSc, Erlangga, 1991 4. Matematik 1a, 2003, Tim Penyusun, Intan Pariwara. 5. Matematika 1a, 2005, Kartini dkk, Intan Pariwara 6. Matematika SMU Kelas 3 Program IPA, 2000, BK Noormandiri, Endar Sucipto, Erlangga.
16
