H vezetés
(írta:Dr Ortutay Miklós) 1. H átviteli módok: 2. Alapfogalmak 3. Feladatok 4. H átadás és konvekció H átvitel, energiatranszport hajtóer (h mérséklet különbség) hatására. 1. H átviteli módok: • vezetéses h átvitel, h vezetés (elemi részecskék h mozgása, csak szilárd fázisban zavartalan(?) gáz és folyadék fázis esetén konvekció van) • konvekciós h átvitel (makroszkopikus részcskék áramlanak, a térben helyüket változtatják, az áramló közeg és a határoló fal közötti h átmenet a h átadás) • sugárzásos h átvitel (energiatranszport a molekulák, atomok rezgése következtében kibocsátott elektromágneses sugárzással. Egy test energiatartalmának egy része sugárzó energiává alakulva egy másik testbe ütközve részben(?) h energiává alakul vissza)
2. Alapfogalmak H mérsékletmez : Egy tér ill. térrész minden pontjához h mérséklet rendelhet . A h mérséklet-eloszlás ha függ az id t l (instacionárius) t = f (x, y, z, τ), ha id ben állandósult (stacionárius) t = f (x, y, z) függvénnyel írható le. Az azonos h mérséklet pontokat összeköt felület az izoterma. Az izotermák nem metszik egymást. H mérséklet gradiens a maximális h mérséklet növekedést mutatja az eloszlás függvény normális irányában: ∂t = grad t ∂n H áram (id egység alatt áramló energia), mértékegysége: J/s, W, (régebben) kcal/s. Fajlagos h áram, h árams rüség (felület egységen áthaladó energia) mértékegysége: W/m2, J/(m2s), kcal/(m2s) H vezetés tapasztalati egyenlete (Fourier I)
Ha egy fal vastagsága állandó, anyaga homogén és olyan méret , hogy a vizsgált felületen (F) a h áramlás csak a falra mer legesen mehet végbe, akkor állandósult állapotban az átáramló h mennyiség arányos a h mérséklet gradienssel. dt dQ = −λF dτ dx ahol Q az áthaladt h mennyiség [Ws], λ a h vezet -képesség [ W/(mK), J/(msK)], dt/dx az x irányú a h mérsékletesés [K/m], F a keresztmetszet [m2]. Stacioner esetben (dQ/dτ=Q/τ) a h árams rüség jellemz mennyiség: dt q = −λ , [ W / m 2 ] dx Néhány szerkezeti anyag h vezet képessége: Anyag Anyag λ W/(Km) λ W/(Km) réz 395 sárgaréz 55-160 acél (ferrites) 30-60 acél (ausztenites) 13-17 titán 22 tégla 1,2 üveg 0,7-1,1 polipropilén 0,23 PVC 0,17 farostlemez 0,07-0,14 H vezetés differenciálegyenlete (Fourier II), id ben változó h vezetés (nincs állandósult állapot). Feltételezés az anyag homogén, izotrop. Az elemi térfogatú zárt térbe érkez és távozó energiák legyenek csak x irányúak.
Egy falban stacioner esetben a h mérséklet-változás lineáris. Ha fal egyik oldalán h mérséklet megváltozik, akkor a falban a h mérséklet-eloszlás mindaddig változik, míg elegend id után az új stacioner állapot ki nem alakul.
Energiamérleg: Belép :
∂t dτ ∂x Kilép ( a h mérséklet-gradiens helyileg és id ben változik ) ∂t ∂ ∂t dQ kivx = −λdydz dτ − λdydz ( )dxdτ ∂x ∂x ∂x A vizsgált térben a be- és kilép energia különbsége marad: ∂t dQ tŽr = dxdydzρc dτ ∂ τ ∂ ∂ t ∂t dQ bevx − dQ kivx = λdydz ( )dxdτ = dxdydzρc dτ ∂ x ∂x ∂τ ∂2t ∂ t λ =ρc 2 ∂x ∂ τ x Három irányú vezetés esetén a vizsgált térben maradó energia: ∂2t ∂2t ∂2t dQ bev − dQ kiv = λdxdydz + + dτ ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 a térben a változatlan formában felírható h mennyiség változáshoz vezet, azaz: ∂t dQ tŽr = dQ bev − dQ kiv = dxdydzρc dτ ∂τ A két egyenletb l: ∂2t ∂2t ∂2t ∂ t λ + + = ρc 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂ τ Figyelembe véve, hogy λ a= , ρc az általános differenciálegyenlet: ∂t a∇ 2 t = ∂τ dQ
bevx
= −λ dydz
Az "a" h mérséklet-vezetési tényez a h mérséklet változás sebességével arányos. Egy h mérséklet ugrást követ h mérséklet kiegyenlít dési folyamat így nagy vezet képesség és kis fajh j anyag estén gyors.
3. Feladatok: Stacioner h átadás síkfal esetén:
Q = −λF
dt τ dx
t2
s
− dt = t 1 − t 2 = t1
Q=
0
Q dx λ Fτ
λ λ F( t 1 − t 2 ) τ = F∆tτ s s
Többréteg fal esetén állandósult esetben: Minden rétegen ugyanannyi energia halad át, a h áram állandó.
λ1 s (t1 − t 2 ) → t1 − t 2 = q 1 s1 λ1 λ s q = 2 (t 2 − t 3 ) → t 2 − t 3 = q 2 s2 λ2 λ s q = n ( t n − t n +1 ) → t n − t n +1 = q n sn λn q=
t 1 − t n +1 = q
s1 s s + 2 +Κ + n λ 1 λ2 λn
t 1 − t n +1 n si i =1 λ i t −t Q = 1 n n +1 Fτ si i =1 λ i q=
Lerakódás, rozsda, vízk stb. h ellenállás s r= λ felvétele végs állapotra. Hengeres fal (csövek)
Q = −λF
dt τ dx
t2
rk
− dt = t 1 − t 2 = ∆t = t1
rb
Q dx τλF
rk
∆t =
Q dx 2πLτλ r x b
Egy réteg: Q= Több réteg: Q=
2πL( t 1 − t 2 ) τ 1 rk ln λ rb 2πL( t 1 − t n +1 ) τ n ri 1 ln ri +1 i =1 λ i
4. H átadás és konvekció
Egy fal h mérséklete tf, a fal mellett áramló közeg átlagos h mérséklete az adott keresztmetszetben t. A faltól az áramló közeg h mérséklete monoton változik. A fal mellett, a lamináris határrétegben a h mérsékletváltozás nagyobb mint a közeg belsejében, ahol az áramlási turbulencia miatt a h mérséklet gyorsabban kiegyenlít dik. A lamináris határrétegben h vezetés van. Az elemi felületen átmen h mennyiség Newton tapasztalati törvényével írható fel: dQ = α dF( t f − t )dτ
Az α arányossági tényez t h átadási tényez nek nevezik. Értéke a h átadó felület (pld. h cserél cs ) és az azt körül (belül) vev közeg közötti h átadás intenzitását fejezi ki. Elképzelhet egy olyan határréteg vastagság, amelyben a teljes (tf - t ) h mérséklet változás létrejön. λ =α x Az összefüggésben λ az áramló közeg h vezetési tényez je. Együttes h vezetés és konvekció differenciálegyenlete (Fourier-Kirchhoff) A h vezetésre vonatkozó egyenlet a konvekciót figyelembe vev résszel b vül. x irányba konvekcióval (anyag áramlik a térbe) érkez energia: Q bekx = w x dy dz c ρ t dτ A dx távolság után a távozó: ∂ (c ρ w x t ) Q kikx = Q bekx + dy dz dx dτ ∂x A vizsgált térben bekövetkez változás állandónak tekinthet fajh (c) esetén: ∂ (ρw x t ) Q bekx − Q kikx = − dx dy dz c dτ, ha ρ = állandó ∂x ∂ (ρw x t ) ∂ wx ∂t dτ = tρ + ρ wx ∂x ∂x ∂x Mindhárom irány esetén: ∂w x ∂w y ∂w z ∂t ∂t ∂t tρ + + + ρ wx + wy + wz ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Feltételezve, hogy forrás ill. nyel a térben nincs (div w=0) konvektiv áramlás következtében a vizsgált térben maradó energia: ∂t ∂t ∂t Q bek − Q kik = − dx dy dz c ρ w x + wy + wz dτ ∂x ∂y ∂z Összevonva a vezetéses taggal, egyszer sítve: ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t a∇ 2 t = + wx + wy + wz = + w∇t ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂τ
