Hosszú rúd, a közepén felemelve Feküdjön egy hosszú, egyenes rúd egy vízszintes síkú merev aljzaton, majd középen emeljük fel – 1. ábra!
1. ábra – forrása: [ 1 ] A rúd lehet például ún. folyóméteráru: tetőléc, betonacél, acél vízcső, stb. Adott: ~ P: a felemelő erő nagysága; ~ p: a rúd folyómétersúlya, vagyis az egyenletesen megoszló teherintenzitás nagysága; ~ EI: a rúd hajlítómerevsége. Keresett – ld. 2. ábra! – : ~ a: az a P erő hatásvonalától mért szakaszhossz, melyen kívül a rúd már fekszik az aljzaton; ~ M: a legmagasabb keresztmetszetben ébredő hajlítónyomaték értéke; ~ f: a legnagyobb rúdelmozdulás / felemelkedés nagysága.
2. ábra – forrása: [ 1 ] Megoldás A rudat a P erő hatásvonalának keresztmetszetében kettévágottnak képzeljük.
2 A fél rúdra e keresztmetszetben a P / 2 nyíróerő és az M hajlítónyomaték, a fél rúd teljes hosszában a megoszló p önsúlyterhelés, a támaszkodó részeken pedig az itt nem ábrázolt reakció - erőrendszer hat. A választott ( O x y ) koordináta - rendszerben fennáll – [ 2 ] – , hogy
v"(x)
M(x) . E I
(1)
A hajlítónyomatéki függvény:
P x2 M(x) x p M . 2 2
(2)
Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
P x2 E I v"(x) x p M . 2 2
(3)
Egyszer integrálva:
P 2 x3 E I v '(x) x p M x c1. 4 6
(4)
Érvényesítve az ábrákról is leolvasható, a szimmetria miatt fennálló
v '(0) 0
(5)
összefüggést, ( 4 ) és ( 5 ) - tel – c1 = 0 - val – :
P 2 x3 E I v '(x) x p M x . 4 6
(5)
Újból integrálva:
P 3 x4 x2 E I v(x) x p M E I f , 12 24 2
(6)
ahol már alkalmaztuk a
v(0) f
(7)
jelölést is. A megoldás során az ( a , f , M ) adatok meghatározására három feltételi egyenletet kell felírnunk. Ezek:
v(a) 0 , v '(a) 0 , v"(a) 0 .
(8)
A ( 8 ) feltételi egyenletek azt fejezik ki, hogy a rúd és a merev aljzat első érintkezési pontjában a rúd elmozdulása, érintőjének hajlása és görbülete is zérus. Részletezve: ( 8 / 1 ) és ( 6 ) - tal:
P 3 a4 a2 a p M E I f 0 ; 12 24 2
(9)
3 ( 8 / 2 ) és ( 5 ) - tel:
P 2 a3 a p Ma 0 ; 4 6
( 10 )
( 8 / 3 ) és ( 5 ) - tel:
P a2 a p M 0 . 2 2
( 11 )
Most ( 10 ) és ( 11 ) - gyel:
P 2 a3 a M a p 4 6 P a2 a M p . 2 2
;
( 12 )
Majd ( 12 / 2 ) - t a - val végigszorozzuk:
P 2 a3 a Ma p 4 6 P 2 a3 a Ma p 2 2
; .
( 13 )
Most ( 13 / 2 ) - ből kivonjuk ( 13 / 1 ) - et:
P 2 a3 a 2 1 M a 11 p 3 1 , 4 6 tehát:
P 2 a3 a p , 4 3 innen:
4 P pa . 3 Majd ( 12 / 2 ) és ( 14 ) - gyel:
4 a2 2 p a M p , 6 2 innen:
a2 a2 M p 3 4 p , 6 6 tehát:
( 14 )
4
a2 M p . 6
( 15 )
Most ( 14 ) - ből:
3 P a . 4 p
( 16 )
Majd ( 15 ) és ( 16 ) - tal: 2 a2 p 3 P 3 P2 M p , 6 6 4 p 32 p
tehát:
3 P2 M . 32 p
( 17 )
Ezután ( 9 ), ( 16 ) és ( 17 ) - tel:
a4 P 3 a 2 a 2 p a 2 Pa E I f p a M M 24 12 2 2 12 6 p 3 P 2 P 3 P 3 P 2 12 4 p 6 4 p 32 p 9 P2 p 9 P 2 3 P 2 3 P2 2 2 32 p 12 16 p 24 p 32 p
1 3 P 2 4 p
2
9 P 2 P 2 3 1 3 9 P 2 P 2 3 8 6 2 2 32 p p 64 8 32 32 p p 64 9 P2 P 2 9 P4 , 32 64 p 2 p 2048 p3 tehát:
9 P4 f . 3 2048 E I p
( 18 )
5 A rúd rugalmas szálának egyenlete ( 6 ), ( 16 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cal:
P p M x3 x4 x2 f 12 E I 24 E I 2E I P p 3 P2 9 P4 3 4 2 x x x 12 E I 24 E I 64 p E I 2048 E I p3
v(x)
9 P4 3 P2 P p 2 3 x x x4 , 3 2048 E I p 64 p E I 12 E I 24 E I tehát:
9 P4 3 P2 P p 2 3 v(x) x x x4 . 3 2048 E I p 64 p E I 12 E I 24 E I
( 19 )
Némi átalakítás után, bevezetve a
0
x 1 a
( 20 )
új változót, a rugalmas szál egyenlete a ( 20 ) szerinti tartományban:
9 P4 v() 1 6 2 8 3 3 4 . 3 2048 p E I
( 21 )
Más alakban, ( 18 ) és ( 21 ) - gyel is:
v() f 1 6 2 8 3 3 4 ;
( 22 )
most bevezetve az
( )
v() f
( 23 )
újabb változót is, ( 22 ) és ( 23 ) - mal:
() 1 6 2 8 3 3 4 .
( 24 )
A ( 24 ) függvényt a Graph szoftverrel a 3. ábrán ábrázoltuk, a ( 20 ) tartományon kívül is. Látjuk, hogy a határokon túl már nem ad a függvény jó értéket, ahogy az várható is, hiszen a határoktól a gerenda már egyenes, mivel felfekszik a merev aljzaton.
6 1
y
0.8
0.6 f(x)=1-6*x^2+8*x^3-3*x^4
0.4
0.2
x -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
3. ábra Ezért újra ábrázoljuk ( 24 ) - et, de most már a ( 20 ) megkötéssel – 4. ábra. Megjegyzések: M1. A tetőléc és a betonacél között nemcsak anyagukat tekintve van lényeges különbség. Míg a tetőléc közel állandó méretű, téglalap keresztmetszetű rúd, addig a betonacél nem ritkán ún. periodikus profilú, vagyis csavarfelületre emlékeztető alakú. Ez azt is jelenti, hogy hajlítómerevsége sem állandó, hanem a rúd hossza mentén periodikusan változó mennyiség. M2. A fenti eredmények a viszonylag hajlékony folyóméteráru helyszíni anyagvizsgála tára is alkalmasak lehetnek. A hosszú anyagot középen adott f értékre megemelve, majd a 2a távolságot megmérve következtethetünk az EI hajlítómerevség átlagos értékére, ezzel pedig az anyag minőségére is. Ugyanis a G súllyal és az L hosszúsággal adódó
p
G L
( 25 )
7 1.1
éta
1
Merev aljzatról középen felemelt gerenda felének alakja
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5 f(x)=1-6*x^2+8*x^3-3*x^4 f(x)=0
0.4
0.3
0.2
0.1
kszi -0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
-0.1
4. ábra ismert / lemért folyómétersúly - értékkel, valamint ( 14 ) - gyel:
4 2 2 P p a p 2 a p h , 3 3 3
( 26 )
ahol bevezettük a közvetlenül lemérhető
h 2 a
( 27 )
hosszat. Most ( 18 ) és ( 26 ) - tal: 4 2 p h 9 P4 9 3 p h4 f f , 2048 E I p3 2048 E I p3 1152 E I innen:
p h4 E I . 1152 f
( 28 )
8 A ( 28 ) képlet szerint ( p , h , f ) helyszíni mérésével az EI hajlítómerevség egy tűrhető közelítő értékéhez juthatunk, egy mérleg / erőmérő és egy mérőszalag / mérővessző alkalmazásával, na meg a ( 25 ) és ( 28 ) képletekkel. Ez nem olyan bonyolult, úgy - e? M3. A vizsgált anyag ne legyen pl. hajlékony műanyag cső, mert annak keresztmetszete a hajlítás során belapul, stb. M4. Tudjuk, hogy építőanyagok helyszíni anyagvizsgálatára rendelkezésünkre állnak a szabvány által előírt megoldások is. Ilyen pl. állványpallók esetén az, hogy a két végétől adott távolságban alátámasztják, két embert adott helyen ráállítanak, majd megmérik a behajlást középen, ezt pedig összevetik egy – táblázatból vett – megengedett értékkel. Csakhogy a palló viszonylag merev anyag, a viszonylag nem nagy hossza és eléggé nagy keresztmetszete miatt, így oda más eljárás kell. M5. A 4. ábra szerint a 0,9 < ξ ≤ 1 szakaszon a görbe már nagyon simul a vízszintes érintőjéhez, így a leolvasásnál erősen figyelni kell. Nem árt egy kis előgyakorlat sem. M6. Ha valaki szerint itt most feltaláltam a meleg vizet, akkor Sz. Dusán halhatatlan sorait ajánlom figyelmébe – [ 3 ] – : „ Nem baj, ha mindenki énekel, nem baj, ha nem nagyon jól, nem baj, ha mindenki >> Mindenki << lesz, nem baj, mert egyedül nem tudom jól.” Ha muszáj, el is játszom. Jó lesz az? Üdv az erdésznek!
Irodalom: [ 1 ] – Jean Roux: Resistance des materiaux par la pratique – Tome 1. Editions Eyrolles, 1995. [ 2 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [ 3 ] – LGT NAGY KÉPES KOTTÁS EMLÉKKÖNYV LOCOMUSIC Zeneműkiadó, Budapest ( ? ), évszám nélkül
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. július 20.
